Transformaciones complejas

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Cap´ıtulo 7

Transformaciones complejas

Objetivos

Conocer las propiedades de las transformaciones complejas elementales.

Emplear las transformaciones complejas para construir aplicaciones entre recintos del plano.

7.1. Transformaciones complejas elementales

Las funciones de variable compleja son complicadas de representar como gr´aficas, ya que habr´ıan de visualizarse como funciones de dos variables reales con dos componentes, es decir, como superficies en un espacio de cuatro dimen- siones, lo cual es inviable. Por ello es m´as frecuente interpretar las funciones de variable compleja como aplicaciones del plano en s´ı mismo, es decir, como transformaciones del plano. Denotaremos f (z) = f (x, y) = (u, v) = w, donde u, v son, respectivamente, la parte real e imaginaria de f (z).

En particular, hemos visto ya que las funciones holomorfas proporcionan representaciones conformes del plano, ya que son transformaciones que preservan los ´angulos. Esta propiedad es de gran importancia para problemas f´ısicos en el plano relacionados con la ecuaci´on de Laplace.

Para ello, recordemos que las funciones armónicas son partes reales e imagi- narias de funciones holomorfas. Y como la composición de dos funciones holomorfas es una función holomorfa, tenemos que las transformaciones holomorfas llevan soluciones de la ecuación de Laplace a soluciones de la ecuación de La- place.

Por ello, nos interesa estudiar funciones complejas que transformen subconjuntos del plano en subconjuntos sencillos, por ejemplo, el disco de radio unidad.

Estudiando el comportamiento de las funciones sencillas, podremos obtener, por composici´on, el comportamiento de transformaciones m´as complicadas.

Recordemos que entre los subconjuntos más sencillos del plano real, podemos describir por la ecuación impl´ıcita cuadrática,

a(x²+ y²) + bx + cy + d = 0 , (7.1)

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circunferencias, si a 6= 0, o rectas, si a = 0. Si d = 0, pasan por el origen. Si d 6= 0, no.

En forma can´onica esta ecuaci´on se reduce, para circunferencias, a (x − x⁰)²+ (y − y⁰)²= R², x0= − b

2a , y0= − c

2a , R²=(b²+ c²) 4a² −d

a . Esta ecuaci´on se puede reescribir en notaci´on compleja como

Az ¯z + Bz + ¯B ¯z + D = 0 , (7.2) con A = a, B = (b − ic)/2, D = d. En forma can´onica,

(z − z⁰)(z− z⁰) = R².

Decimos que dos puntos z1, z2alineados con el centro de una circunferencia son inversos respecto a ella si verifican

a(x1x1+y1y2)+b(x1+ x2) + c(y1+ y2)

2 +d = 0 ⇔ Az¹z¯2+Bz1+ ¯B ¯z2+D = 0 . La interpretación geométrica es sencilla en la forma canónica,

R²= (z1−z⁰)(z2− z⁰) = (x1−x⁰)(x2−x⁰) + (y1−y⁰)(y2−y⁰) = hz⁰z¹, z⁰z²i , ya que indica que el producto de las longitudes de los vectores z0z1 y z0z2 es R².

En el caso de rectas, circunferencias degeneradas, los pares de puntos inversos son sim´etricos respecto a la recta en cuesti´on.

7.2. Transformaciones afines

Las transformaciones afines del dominio complejo, muchas veces llamadas lineales, son de la forma f (z) = az + b, donde a, b ∈ C.

Si a = 1, la transformaci´on es una traslaci´onde vector b = (b1, b2), u = x + b1, v = y + b2.

Si b = 0, podemos descomponer la transformaci´on f (z) = az en dos partes.

Como a = |a|e^iα, f = h◦g es el resultado de componer una homotecia de raz´on

|a|, g(z) = |a|z, con una rotación, h, de ángulo α: si z = reîφ, h(z) = reî(α+ϕ). Una construcción t´ıpica de la geometr´ıa af´ın es la razón simple de tres puntos, que denotaremos por

[z1, z2, z3] := z1z3

z³z² =z3− z¹ z2− z³ ,

que no es más que la proporción existente entre los dos segmentos en los que divide el punto z3 al segmento z1z2 en la recta compleja. Si es un número real, estarán alineados en el plano.

Se puede demostrar que las transformaciones afines conservan la raz´on simple de tres puntos,

[f (z1), f (z2), f (z3)] = f (z3) − f(z¹)

f (z2) − f(z3) = z3− z¹ z2− z3

= [z1, z2, z3] . 2

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7.3. Transformaciones proyectivas

Otra transformaci´on importante es la definida por f (z) = 1/z,

u = x

x²+ y² , v = − y x²+ y² .

Obviamente, está definida para todo número complejo, excepto el cero. Aunque también podemos entender que está definida en el dominio complejo ampliado con el punto del infinito. As´ı, f (0) = ∞, f(∞) = 0.

Como podemos expresar la transformaci´on como f (z) = z¯

|z|² ,

podemos separarla, f = h ◦ g, en una inversi´on respecto a la circunferencia de radio unidad,

g(z) = z

|z|² , y la conjugaci´on, h(z) = ¯z.

Esta última es fácil de interpretar, ya que transforma (x, y) en (x, −y). Es decir, es una reflexiónrespecto al eje real.

Las propiedades de la inversión son sencillas de visualizar. Obviamente, transforma la circunferencia unidad en s´ı misma. Son sus puntos fijos. Y cualquier punto de la forma reîφ se transforma en eîφ/r. Es decir, se ha invertido su módulo.

Por tanto, el interior de la circunferencia, |z| < 1, se intercambia con el exterior, |z| > 1.

La funci´on rec´ıproca es una involuci´on, f f (z) = z.

Otra propiedad es que las circunferencias y rectas de ecuaci´on ?? se transforman en circunferencias y rectas de ecuaci´on,

d(u²+ v²) + bu − cv + a = 0 ⇔ A + ¯Bw + B ¯w + Dw ¯w . Por tanto, f transforma:

Circunferencias que no pasan por el origen, d 6= 0 6= a, en circunferencias que no pasan por el origen.

Rectas que no pasan por el origen, a = 0, d 6= 0, en circunferencias que pasan por el origen.

Circunferencias que pasan por el origen, d = 0 6= a, en rectas que no pasan por el origen.

Rectas que pasan por el origen, d = 0 = a, en rectas que pasan por el origen.

Una propiedad interesante de la inversi´on y de la funci´on rec´ıproca es que transforman puntos inversos respecto a una circunferencia en puntos inversos respecto a la circunferencia imagen,

Az1z¯2+ Bz1+ ¯B ¯z2+ D = 0 ⇔ A + ¯B ¯w1+ Bw2+ Dw1w¯2= 0 .

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Esta propiedad tambi´en la cumplen las transformaciones afines trivialmente y, por tanto, las transformaciones proyectivas que definimos a continuaci´on.

Si combinamos esta transformación con las transformaciones afines, obtenemos la familia más general de transformaciones proyectivas, también llamadas transformaciones de Möbius o transformaciones especiales conformes o transformaciones racionales lineales,

f (z) = az + b

cz + d , ad − bc 6= 0 . (7.3)

El “determinante” ad−bc tiene que ser no nulo. En caso contrario, a/c = b/d y la funci´on ser´ıa constante y no ser´ıa, por tanto, una transformaci´on del plano.

Obsérvese que si multiplicamos los coeficientes a, b, c, d de la transformación por un mismo número complejo, la transformación sigue siendo la misma.

La función no está definida en z = −d/c, pero podemos extender la definición al punto del infinito, de modo que f (−d/c) = ∞, f(∞) = a/c.

Como casos particulares, si c = 0, recuperamos las transformaciones afines.

Y si d = 0, obtenemos una funci´on rec´ıproca compuesta con una traslaci´on.

De hecho, observamos que una transformación proyectiva f es la composición de una transformación af´ın g, la transformación rec´ıproca y otra transformación af´ın h,

g(z) = cz + d , h(w) = a

c +bc − ad

c w , f (z) = h

1 g(z)

. Por tanto, las transformaciones proyectivas transforman rectas y circunferencias en rectas y circunferencias, ya que esto es lo que hacen las transformaciones afines y la transformaci´on rec´ıproca.

Una propiedad algebraica importante es que las transformaciones proyectivas forman grupo. Es decir, la composici´on de transformaciones proyectivas es una transformaci´on proyectiva,

w = f (z) = az + b

cz + d , g(w) = Aw + B Cw + D , h(z) = g f (z) = (Aa + Bc)z + Ab + Bd

(Ca + Dc)z + Cb + Dd , y toda transformaci´on proyectiva tiene su inversa,

w = f (z) = az + b

cz + d , z = f⁻¹(w) = −dw − b cw − a .

El grupo de transformaciones proyectivas del dominio complejo incluye, pues, a las transformaciones afines y a la transformaci´on rec´ıproca.

Claramente, las aplicaciones proyectivas no respetan la raz´on simple. Sean z1, z2, z3tres n´umeros complejos,

[f (z1), f (z2), f (z3)] = f (z3) − f(z¹)

f (z2) − f(z3) =cz2+ d

cz1+ d[z1, z2, z3] ,

las razones simples coinciden para toda terna si y s´olo si c = 0, es decir, si la aplicaci´on es realmente af´ın.

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Sin embargo, dado que la expresi´on anterior no depende de z3, vemos que el cociente de dos razones simples s´ı es conservado,

[f (z1), f (z2), f (z4)]

[f (z1), f (z2), f (z3)]= [z1, z2, z4]

[z1, z2, z3] . (7.4) De hecho, se puede demostrar que las aplicaciones proyectivas son las únicas que conservan este cociente, que, por ser razón de dos razones simples, denomi- naremos razón doblede los puntos z1, z2, z3, z4,

[z1, z2, z3, z4] := [z1, z2, z4]

[z1, z2, z3] =z4− z1

z2− z4 ·z2− z3

z3− z1

. (7.5)

Finalmente, una propiedad interesante es que una transformaci´on proyectiva queda un´ıvocamente determinada por la imagen de tres puntos distintos.

Esto es trivial si tenemos en cuenta la propiedad de conservaci´on de la raz´on doble. Si sabemos que f (z1) = w1, f (z2) = w2, f (z3) = w3, podemos despejar w = f (z) a partir de la igualdad de las razones dobles,

w − w¹

w2− w·w2− w³ w3− w1

= [f (z1), f (z2), f (z3), f (z)] = [z1, z2, z3, z] = z − z¹

z2− z·z2− z³ z3− z1

. En particular, si w1= 0, w2= ∞, w³= 1,

f (z) = [z1, z2, z3, z] = z − z¹

z2− z ·z2− z³ z3− z1

.

Veamos algunos ejemplos de como las transformaciones proyectivas pueden emplearse para aplicar subconjuntos del plano sobre otros:

Ejemplo 7.3.1 Transformaciones proyectivas que aplican el semiplano=(z) >

0 en el disco abierto de radio unidad, |z| < 1, y el eje real sobre la circunferencia de radio unidad.

En primer lugar, buscaremos transformaciones que lleven el eje real a la circunferencia de radio unidad,

f (x) = ax + b

cx + d , |f(x)| = 1 .

En particular, de f (0) = b/d deducimos que |b| = |d|. Y de f(∞) = a/c deducimos que |a| = |c|. Es decir, denotando a = ce^iα, z0= −b/a, z1= −d/c,

f (z) = e^iαz − z0

z − z¹ , |z0| = |z1| . Para acabar de determinar la expresi´on, sobre el eje real,

|x − z0| = |x − z1| ,

es decir, el eje real equidista de z0 y z1. Por tanto, es la mediana del segmento z0z1, de donde se deduce que z1= ¯z0.

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As´ı pues, la expresión más general de una transformación proyectiva que aplique el eje real sobre la circunferencia unidad es

f (z) = e^iαz − z0

z − ¯z0

.

S´olo resta ver si aplica el semiplano superior sobre el disco unidad. Para ello, es preciso que z0 pertenezca al semiplano superior, es decir, =(z0) > 0, ya que

|z − z⁰|²= (x − x⁰)²+ (y − y⁰)²< (x − x⁰)²+ (y + y0)²= |z − ¯z⁰|², si y, y0> 0. Por tanto, |f(z)| = |z − z0|/|z − ¯z0| < 1. 2

Ejemplo 7.3.2 Transformaciones proyectivas que aplican el semiplano superior sobre el semiplano superior y el eje real sobre el eje real.

Intuitivamente, las transformaciones que dejan invariante el eje real deber´ıan ser las que tienen coeficientes reales. Lo comprobamos:

f (x) = ax + b

cx + d =ax + b cx + d

¯ cx + ¯d

¯

cx + ¯d = a¯cx²+ (a ¯d + b¯c)x + b ¯d

|c|²x²+ (c ¯d + d¯c)x + |d|² , x ∈ R . Para que esta expresión sea real, como el denominador ya es real, tendrá que ser real el polinomio del numerador. Y esto es posible sólo si sus tres coeficientes son reales,

a¯c ∈ R ⇒ a = αz0, c = γz0, α, γ ∈ R , z0∈ C b ¯d ∈ R ⇒ b = βz¹, d = δz1, β, δ ∈ R , z1∈ C

a ¯d + b¯c = αδz0z¯1+ βγz1z¯0.

Para que esta última expresión sea también real, caben dos posibilidades:

O bien αδ = βγ, para que la expresi´on sea esencialmente la parte real de z0z¯1. Pero en este caso,

ad − bc = αδz⁰z1− βγz⁰z1= 0 , la transformaci´on proyectiva no est´a definida.

O bien z0z¯1es real, con lo cual z0, z1son múltiplos reales entre s´ı, λz0= µz1, con λ, µ ∈ R, y todos los coeficientes, a, b, c, d, de la transformación son múltiplos reales de un mismo número complejo, que podemos simplificar en la expresión.

Por tanto, todos los coeficientes son reales.

Es decir, las ´unicas transformaciones proyectivas que dejan invariante el eje real son las que tienen coeficientes reales.

Queda ver cu´ales aplican el semiplano superior sobre el semiplano superior.

Lo averiguamos con el punto z = i, f (i) =ai + b

ci + d = ai + b ci + d

d − ci

d − ci= ac + bd + i(ad − bc)

|c|²+ |d|² ,

cuya imagen deberá estar en el semiplano superior, para lo cual, su parte imaginaria, el determinante de la transformación, ad − bc, tendrá que ser positivo.

2

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Ejemplo 7.3.3 Transformaciones proyectivas que aplican el disco abierto de radio unidad,|z| < 1, sobre el disco abierto de radio unidad, y la circunferencia de radio unidad, |z| = 1, sobre la circunferencia de radio unidad.

Haremos uso de la propiedad de las transformaciones proyectivas de llevar parejas de puntos inversos respecto a una circunferencia a parejas de puntos inversos respecto a la circunferencia imagen.

Los puntos cuyas imágenes son cero e infinito son inversos. Por tanto, existe a ∈ C tal que f(a) = 0, f(¯a⁻¹) = ∞, con |a| < 1 para que el disco unidad se aplique sobre el disco unidad. Por tanto, la transformación proyectiva será de la forma,

f (z) = k z − a

¯az − 1 , y s´olo queda por determinar k. Como,

|z−a|²= |z|²+|a|²−¯az−a¯z = |a|²+1−¯az−a¯z = |a|²|z|²+1−¯az−a¯z = |¯az−1|², tenemos que |k| = 1.

Por tanto, las transformaciones proyectivas que buscamos son de la forma f (z) = e^iα z − a

az − 1¯ , α ∈ R . 2

7.4. Potencias y ra´ıces

Como primer ejemplo de transformación elemental no proyectiva, estudiaremos la transformación cuadrática, w = f (z) = z². En coordenadas cartesianas,

u = x²− y², v = 2xy ,

aunque la interpretación geométrica más clara se obtiene en coordenadas pola- res, f (z) = r²eî2φ. Es decir, el módulo queda elevado al cuadrado, mientras que el argumento se ve multiplicado por dos.

Por tanto, esta transformaci´on lleva la circunferencia de radio R centrada en el origen sobre la circunferencia de radio R².

Las rectas de ´angulo φ0que pasan por el origen se transforman en semirrectas de ´angulo 2φ0.

Esta transformaci´on no es biyectiva, a diferencia de lo que suced´ıa con las transformaciones proyectivas. Si consideramos argumentos en el plano comprendidos en el intervalo [0, 2π], en la imagen los argumentos recorren [0, 4π], es decir, el plano es recorrido dos veces.

Para conseguir una aplicación biyectiva, tenemos que restringir el dominio a un semiplano abierto. La imagen será el plano cortado, es decir, salvo un semieje. Si consideramos el semiplano abierto limitado por la recta de ángulo φ0/2, 0 ≤ φ⁰ < 2π, la imagen es el plano cortado por la semirrecta de ángulo φ0. En particular, la imagen del semiplano superior es el plano cortado por la semirrecta real positiva.

Una propiedad importante de las curvas u = const. y v = const. es que son familias de hip´erbolas equil´ateras ortogonales. La imagen de cada rama de la

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hipérbola de ecuación x²− y² = k es la recta vertical u = k. Y la imagen de cada rama de la hipérbola de ecuación 2xy = k⁰ es la recta horizontal v = k⁰.

Esta propiedad permite transformar la regi´on comprendida entre dos ramas de hip´erbolas en una franja horizontal o vertical del plano.

De igual manera se pueden estudiar potencias más generales, f (z) = zⁿ = rⁿeînφ, que asimismo transforman circunferencias de radio R en circunferencias de radio Rⁿ y semirrectas de ángulo φ0 en semirrectas de ángulo nφ0.

Tampoco son biyectivas, aunque aplican un sector abierto de ´angulo 2π/n en el plano cortado. Por ejemplo, el sector comprendido en 0 < φ < 2π/n se aplica en plano cortado por el semieje real positivo.

Finalmente estudiaremos la transformaci´on ra´ız cuadrada, f (z) = (√ z)_α=

√re^iφ/2, en una determinaci´on α, α − 2π < φ < α.

Esta transformación está definida en el plano cortado por la semirrecta φ = α y su imagen es el semiplano abierto limitado por la recta φ = α/2. En particular, si la determinación es la principal, α = π, la imagen del plano cortado por el semieje real negativo en el semiplano derecho. Y si la determinación es α = 2π, la imagen del plano cortado por el semieje real positivo es el semiplano superior.

Esta transformaci´on aplica circunferencias de radio R centradas en el origen, salvo un punto, en semicircunferencias abiertas de radio√

R. Y semirrectas de

´angulo φ0, en semirrectas de ´angulo φ0/2.

La expresión de la transformación en coordenadas cartesianas la podemos obtener teniendo en cuenta que es la inversa de la transformación cuadrática,

x = u²− v², y = 2uv , simplemente intercambiando (x, y) por (u, v).

Eliminando par´ametros,

y²= 4u²(u²− x) , y²= 4v²(v²+ x) .

Aqu´ı observamos que las parábolas de ecuación y²= 4k²(k²− x) se transforman en rectas verticales de ecuación u = k. Y las parábolas de ecuación y²= 4k⁰²(k⁰²+ x) se transforman en rectas horizontales de ecuación v = k⁰.

Por tanto, la ra´ız transforma regiones comprendidas entre dos par´abolas en franjas.

Consideraciones análogas pueden hacerse para las ra´ıces n-ésimas, f (z) = (√ⁿz)α= √ⁿreîφ^α^/n.

La imagen del plano cortado bajo esta transformaci´on es un sector abierto de ´angulo 2π/n.

Las circunferencias centradas en el origen de radio R, salvo un punto, se transforman en arcos de circunferencia de radio √ⁿ

R y ángulo 2π/n y las semirrectas de ángulo φ0, en semirrectas de ángulo φ0/n.

Obviamente, combinando todas estas transformaciones podemos aplicar se- miplanos, sectores, c´ırculos. . . entre s´ı.

7.5. Transformaciones trascendentes

Dentro de las transformaciones definidas por funciones trascendentes, es es- pecialmente interesante la transformaci´on exponencial, f (z) = e^z= se^iϕ,

s = e^x, ϕ = y .

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Observamos que una franja comprendida entre las rectas horizontales y = y1, y = y2, se transforma en un sector infinito comprendido entre las semirrectas ϕ = y1, ϕ = y2, siempre que la franja no tenga un ancho superior a 2π.

Por ejemplo, la transformaci´on es inyectiva si nos restringimos a una franja delimitada por y = y1, y = y1 + 2π. La imagen es el plano cortado por la semirrecta ϕ = y1. Una franja de anchura π tiene por imagen un semiplano.

Limitando la coordenada x controlamos el radio del sector en la imagen. As´ı, un rect´angulo limitado por y = y1, y = y2, x = x1, x = x2 se transforma en un sector de corona circular comprendido entre los radios s = e^x¹, s = e^x² y los

ángulos ϕ = y1, ϕ = y2. Si el rectángulo se extiende a una franja semiinfinita, y1< y < y2, x < x1, la imagen es un sector circular de radio e^x¹, comprendido entre los ángulos ϕ = y1, ϕ = y2.

Las transformaciones inversas son los logaritmos, f (z) = (ln z)α= log r + iφ, α − 2π < φ < α, en una determinaci´on α.

La actuaci´on de esta transformaci´on es, obviamente, la inversa. Transforma el plano cortado por la semirrecta φ = α en la franja horizontal α − 2π < v < α.

Las circunferencias, salvo un punto, de radio R se transforman en segmentos de rectas verticales u = log R y las semirrectas de ´angulo φ se transforman en rectas horizontales v = φ.

Acabamos esta revisi´on de las transformaciones trascendentes elementales con la transformaci´on seno, f (z) = sin z,

u = sin x cosh y , v = cos x sinh y .

La imagen de las rectas horizontales y = y1 son elipses oblatas de semiejes cosh y1, | sinh y¹|,

u

cosh y1

2

+

v

sinh y1

2

= 1 , que degeneran al segmento horizontal (−1, 1) cuando y¹= 0.

Por tanto, para que la transformaci´on sea biyectiva debemos restringirnos a media franja vertical x1< x < x1+ 2π, y > 0. La imagen ser´a el plano cortado por la semirrecta horizontal v = 0, x > −1.

Por contra, las rectas verticales x = x1 se transforman en ramas de hip´erbolas de semiejes | sin x1|, cos x1,

u

sin x1

2

−

v

cos x1

2

= 1 .

Si sin x1 es positivo se trata de la rama derecha y, si es negativo, de la izquierda.

Son casos degenerados x1 = nπ, que se transforman en el eje vertical, y x1 = (2n + 1)π/2, que se transforman en semiejes horizontales: el positivo si n es par y el negativo, para n impar.

Por tanto los rectángulos en coordenadas cartesianas se transforman en cua- driláteros curvos limitados por elipses e hipérbolas.

7.6. Transformaci´ on de Schwarz-Christoffel

Acabamos esta revisi´on de las principales transformaciones complejas con una transformaci´on que permite aplicar el semiplano superior sobre el interior

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de cualquier pol´ıgono. Para ello, vamos a aplicar el eje real sobre el contorno del pol´ıgono.

Consideremos n puntos sobre el eje real, x1 < · · · < xn. Queremos que sus imágenes, w1 = f (x1), . . . , wn = f (xn), bajo una función holomorfa f sean los vértices de un pol´ıgono de n lados. Además, f debe aplicar cada segmento xixi+1 sobre el segmento wiwi+1.

La imagen del eje real es la curva parametrizada por w = f (t), con vector tangente f⁰(t) en cada punto, que forma un ´angulo arg f⁰(t) con el semieje real positivo. Por tanto, debemos buscar funciones cuya derivada presente argumento constante en cada uno de los intervalos [xi, xi+1] y s´olo cambie de argumento, por no ser holomorfa, en los puntos xi.

Una funci´on que verifica estas propiedades es la que tiene por derivada f⁰(z) = A(z − x¹)⁻^k¹· · · (z − xⁿ)⁻^kⁿ , A ∈ C , k1, . . . , kn∈ R , (7.6) como se comprueba f´acilmente tomando argumentos,

arg f⁰(z) = arg A − k1arg(z − x1) − · · · − knarg(z − xn) . Si x ∈ (−∞, x¹), todas las diferencias x − xⁱ son negativas, con lo cual,

arg f⁰(x) = arg A − (k1+ · · · + kn)π ,

el argumento es constante y denota que la imagen de este intervalo es un segmento del plano.

Del mismo modo, si x ∈ (x1, x2), s´olo x − x1 es positivo, arg f⁰(x) = arg A − (k²+ · · · + kⁿ)π .

Por tanto, al cambiar de intervalo el argumento sufre un salto de valor k1π.

Repitiendo el argumento, llegamos a la conclusión de que las imagénes de los intervalos [xi, xi+1] son segmentos del plano y que en los puntos xiel argumento sufre un incremento de valor kiπ. Por tanto, los valores de ki deberán estar comprendidos en (−1, 1).

As´ı pues, la imagen del eje real es una l´ınea poligonal de v´ertices w1, . . . , wn

y πki es el ´angulo formado por los lados wi−1wi y wiwi+1.

Obviamente, debemos evitar que los lados del pol´ıgono imagen se corten.

Adem´as, exigiremos que la poligonal sea cerrada, lo cual se consigue si la suma de los ´angulos es 2π, es decir, si k1+ · · · + kn= 2.

Si el punto xn se lleva a infinito, el t´ermino (z − xn)⁻^kⁿ desaparece de la expresi´on de f⁰(z).

El problema se reduce a encontrar la primitiva f y, en general, será com- plicado encontrarla como combinación de funciones elementales. Habrá que demostrar, en cualquier caso, que dicha primitiva existe.

Para comenzar, las potencias reales no son holomorfas en alguna semirrecta, con lo cual hay que escoger determinaciones que permitan que f⁰ sea holomorfa en el semiplano superior. Por ejemplo, α = 3π/2 permite definir f como

f (z) = Z z

z0

f⁰(s) ds + B = A Z z

z0

(s − x1)⁻^k¹· · · (s − xn)⁻^kⁿds + B , siendo z0 un punto del semiplano superior y B, una constante.

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Observemos que la constante B simplemente sirve para trasladar el pol´ıgono y la constante A = |A|e^iα sirve para modificar el tama˜no y girar el pol´ıgono.

Podemos tomar A = 1 y B = 0 para obtener un pol´ıgono de la forma adecuada y modificarlo por semejanza a posteriori.

Además, sabemos que en los puntos de ramificación x1, . . . , xn f⁰ no es holomorfa, pero habrá que exigir que por lo menos la integral esté bien definida:

Consideremos el punto x1. La funci´on g(z) = A(z − x²)⁻^k²· · · (z − xⁿ)⁻^kⁿ es holomorfa en una bola centrada en x1 de radio x2− x¹ y tiene, por tanto, una serie de Taylor,

g(z) = a0+ a1(z − x¹) + O (z − x¹)² . Por tanto, podemos descomponer f⁰ en dicha bola,

f⁰(z) = a0(z − x1)⁻^k¹+ (z − x1)^1−k¹h(z) ,

donde h es una función holomorfa. El segundo término es una función continua, ya que el exponente (1 − k1) es positivo, por lo que la integral de dicho término está bien definida en las proximidades de x1.

Por su parte, la integral del primer término también está bien definida, Z z

z0

(s − x1)⁻^k¹ds =(z − x¹)^1−k¹

1 − k1 −(z0− x¹)^1−k¹ 1 − k1

,

por lo que, repitiendo el argumento para el resto de puntos de ramificaci´on, la primitiva de f⁰ es una funci´on continua en el semiplano cerrado =(z) ≥ 0.

También tendremos que ver si la función está bien definida para grandes valores de |z|. El módulo de la derivada,

|f⁰(z)| = |A| · |z − x1|⁻^k¹· · · |z − xn|⁻^kⁿ,

se comporta para grandes valores de |z| como |z|⁻^k¹^−···−^kⁿ= |z|⁻², lo cual nos asegura la integrabilidad de f⁰. Si xn = ∞, |f⁰(z)| se comporta como |z|^kⁿ⁻² y como kn− 2 < −1, tambi´en en este caso tenemos la integrabilidad garantizada.

Con este razonamiento garantizamos que el eje real se aplica sobre el pol´ıgo- no de vértices w1, . . . , wn, pero queda la duda de si aplica el semiplano superior sobre el interior o el exterior del pol´ıgono. Como los puntos del semiplano superior quedan a la izquierda del eje real, recorrido en sentido positivo, por la propiedad de la representación conforme, los puntos imagen están también a la izquierda de los lados del pol´ıgono y, por tanto, en su interior.

¿Cuánta libertad nos queda para definir f ? Fijados A = 1, B = 0, podemos tomar z0 = 0, ya que sólo afecta en una traslación. Los exponentes ki

quedan determinados por los ángulos del pol´ıgono. Para determinar el pol´ıgono precisamos n − 3 proporciones entre sus lados. Para conseguirlo, podemos va- riar los valores de los n puntos de ramificación, xi, con lo cual nos quedan tres parámetros libres para jugar.

Esto no nos debe extrañar, ya que siempre podemos realizar transformaciones de Möbius de la recta, que tienen tres parámetros libres precisamente, y el problema no se ve afectado.

A la hora de calcular la transformaci´on de Schwarz-Christoffel nos encon- tramos con dos problemas. Uno ya ha sido mencionado, es dif´ıcil hallar f⁰ como combinaci´on de funciones elementales sencillas en la mayor´ıa de los casos.

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Además, los parámetros que definen la transformación son los puntos xidel eje, no los vértices wi del pol´ıgono, con lo cual hace falta mucha intuición para dar con la transformación adecuada.

Este segundo problema desaparece cuando el pol´ıgono es un triángulo, ya que queda definido, salvo semejanza, por los ángulos k1, k2, k3, y como tenemos tres parámetros libres, podemos escoger arbitrariamente los valores de x1, x2, x3. Ejemplo 7.6.1 Transformación de Schwarz-Christoffel que aplica el semiplano superior sobre un triángulo equilátero.

Como el triángulo es equilátero, los tres coeficientes angulares son iguales, k1 = k2 = k3 = 2/3. Para simplificar la expresión, tomamos x3 = ∞ y, por simetr´ıa de la expresión, x1 = −1, x² = 1. Tomamos z0 = 1 para conocer al menos de antemano un vértice del triángulo, w2 = f (x2) = 0. Con toda esta información,

f (z) = Z z

1 (s − 1)⁻^2/3(s + 1)⁻^2/3ds .

Tratemos de obtener los otros v´ertices del tri´angulo. Para w1= f (x1), tenemos que integrar a lo largo del eje real, entre 1 y −1. En este segmento x + 1 es positivo y tiene argumento nulo. Pero x − 1 es negativo y tiene argumento π.

Por tanto, podemos reducir la integral de l´ınea a una integral real,

w1= e⁻^i2π/3 Z ⁻1

1 (1 − x)⁻^2/3(x + 1)⁻^2/3dx = e^iπ/3 Z 1

0

2 dx (1 − x²)^2/3 . As´ı pues, el primer vértice está en w = leîπ/3, siendo l la longitud del lado,

l = Z 1

0

2 dx (1 − x²)^2/3 =

Z 1 0

t⁻^1/2(1 − t)⁻^2/3dt = B 1 2,1

3

= Γ ¹₂ Γ ¹₃ Γ ¹₂+¹₃ , tomando x =√

t, en funci´on de la funci´on beta de Euler.

Lógicamente, el tercer vértice está en w3 = l. Lo comprobamos expl´ıcita- mente,

w3= Z ^∞

1

dx (x²− 1)^2/3 ,

que tambi´en podemos obtener integrando a lo largo del semieje real negativo,

w3 = Z ⁻1

1 (s − 1)⁻^2/3(s + 1)⁻^2/3ds + Z ^−∞

−1 (s − 1)⁻^2/3(s + 1)⁻^2/3ds

= w1+ e⁻^iπ/3 Z ^∞

1

dx

(x²− 1)^2/3 = le^iπ/3+ e⁻^iπ/3w3, de donde despejamos w3= l. 2

Ejemplo 7.6.2 Transformaci´on de Schwarz-Christoffel que aplica el semiplano superior sobre un rect´angulo.

Como ya se ha indicado, no conocemos a priori los valores de los puntos x1, x2, x3, x4 que corresponden a un rect´angulo dado. Pero sabemos que los

´angulos son iguales, k1= k2= k3= k4= 1/2 y, por simetr´ıa, tomamos x1= −a,

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x2 = −1, x3 = 1, x4 = a > 1, y origen en z0 = 0. Tomando A = −1, para evitar signos negativos, y B = 0, la expresi´on de la transformaci´on de Schwarz- Christoffel es

f (z) = − Z z

0

(z + a)⁻^1/2(z + 1)⁻^1/2(z − 1)⁻^1/2(z − a)⁻^1/2dz . Calculamos los v´ertices del rect´angulo,

w3 = − Z 1

0

(z + a)⁻^1/2(z + 1)⁻^1/2(z − 1)⁻^1/2(z − a)⁻^1/2dz

= Z 1

0

(x + a)⁻^1/2(x + 1)⁻^1/2(1 − x)⁻^1/2(a − x)⁻^1/2dx

= Z 1

0

√ dx 1 − x²√

a²− x² =K(a⁻¹)

a ,

en t´erminos de integrales el´ıpticas,

K(k) = Z 1

0

√ dx 1 − x²√

1 − k²x² .

Luego w3 = b/2 est´a sobre el eje real y, por simetr´ıa de la integral, w2 =

−b/2, con lo cual b = 2K(a⁻¹)/a es la longitud de un lado del rect´angulo.

Finalmente, podemos calcular otro v´ertice del rect´angulo, w4 = b

2− Z a

1

(z + a)⁻^1/2(z + 1)⁻^1/2(z − 1)⁻^1/2(z − a)⁻^1/2dz

= b

2+ i Z a

1

(x + a)⁻^1/2(x + 1)⁻^1/2(x − 1)⁻^1/2(a − x)⁻^1/2dx

= b

2+ i Z a

1

√ dx x²− 1√

a²− x² = b 2+ i

Z 1 0

dy

pa²− (a²− 1)y²p1 − y²

= b

2+ ic , c = K(√

a²− 1/a)

a ,

tomando y =√

a²− x²/√

a²− 1. Por simetr´ıa, w1= −b/2 + ic, con lo cual las longitudes de los lados del rect´angulo son b, c. 2

El cuadrado se obtiene cuando b = c, que corresponde a a ≈ 5,828427, aunque este no es el procedimiento m´as eficiente para conseguirlo.