CICLO HAMILTONIANO ÓPTIMO EN UN GRAFO
(PROBLEMA DEL VIAJANTE)
Leire Alfaro
Trabajo de fin de grado en Matemáticas Universidad de Zaragoza
Director del trabajo: Alfredo García Olaverri
26 de Junio de 2020
PRÓLOGO
El problema del viajante, también conocido como TSP, ha sido uno de los problemas más estudiados en optimización combinatoria a lo largo de la historia. Este problema trata de determinar el camino que debe realizar un comerciante si quiere visitar n ciudades, empezando y acabando en la misma. En la vida real este problema aparece más veces de lo que cualquiera pueda imaginar. Basta con retroceder a 1930, a su origen, cuando se propuso resolver un problema de enrutamiento de un autobús escolar. Se buscaba la ruta más corta que podía hacer un autobús que, saliendo del colegio, debía pasar por todas las paradas y regresar al punto de partida.
A lo largo del trabajo, el TSP vendrá descrito mediante la teoría de grafos como una red cuyos nodos representan ciudades y cuyos enlaces tienen ciertos pesos que indican distancias entre dichas ciudades.
El trabajo contiene 3 capítulos dedicados a formulaciones y ejemplos para el problema, así como a algoritmos aproximados para resolverlo. Los diferentes algoritmos se desarrollan de forma sencilla para que los lectores puedan comprender de manera fácil qué es lo que se está haciendo. También aparece un algoritmo exacto, que podría entenderse sin tener la necesidad de leer todo el trabajo.
El Capítulo 2 es el más denso de todos. Se profundiza en su complejidad matemática ya que, a pesar de la simplicidad de su formulación, el TSP es un problema NP-Completo.
Para terminar, el último capítulo recoge resultados elementales para el TSP euclídeo, que es un caso particular del TSP general, en el que la distancia entre ciudades se calculan de acuerdo a la métrica euclídea.
III
RESUMEN
The study of The Traveling Salesman Problem is the main objetive of this project. This problem tries to determine the path that a salesman, who wants to visit n cities, must follow to get the tour whose distance is as small as possible.
The document consists of 5 chapters. We are going to describe briefly each of them:
Chapter 1: An overview of The Traveling Salesman Problem (TSP).
The first chapter of this project works as an introduction of the TSP study. After a short historic view, in which authors like Flood, Turker, Menger and the corporation RAND of Santa Mónica remarkably contribute, this section collects a first mathematical description of the problem, composed by an input and an output.
Most of the progress in the TSP history has been motivated by using it in quotidian facts. For this reason, one part of this chapter gather different applications based on logistics and industry above all, highlighting the problem of the job sequencing, which is explained in depth.
The characteristics of the TSP are defined by a distance matrix, so that in the last part of this first block are explained different features that can have aforementioned matrices. Moreover, this chapter contains basic results of one of the most important cases of the TSP known as Euclidean TSP.
Chapter 2: The TSP is NP-Complete.
This is one of the most difficult chapters of the project, as it tries to demonstrate clearly that the TSP is NP-complete.
At the beginning we can find new concepts like the Big O-notation, just as those related to the de- cision problems, highlighting those which are P and NP and giving examples like the graph colouring problem.
Finally, it focuses on NP-complete problems, showing that the question of the Hamiltonian cycle belongs to this kind of problems. This fact is essential to be able to conclude that the TSP is a NP- complete too.
Chapter 3: Held-Karp exact algorithm.
Once we have explained the problem we are facing up to, we need to find how to solve it. This chap- ter focuses on the exact algorithm, based on dynamic programming that rose up in the early 60’s, known as the Held-Karp algorithm . We can find an example of how to carry out this algorithm in appendix C.
V
VI RESUMEN Chapter 4: Approximated algorithms.
As we are working with a complex problem, it’s difficult to find an exact algorithm that allows us to solve it. There are different heuristic algorithms that give us an approximate solution. In this chapter we will study five of these heuristic algorithms, each of them paired with an explanatory example so that it will be easier to understand them.
Índice general
PRÓLOGO III
RESUMEN V
1. VISIÓN GENERAL DEL TSP 1
1.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA . . . 1
1.1.1. INTRODUCCIÓN . . . 1
1.1.2. HISTORIA . . . 1
1.1.3. APLICACIONES . . . 2
1.2. DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN MATEMÁTICA . . . 3
1.2.1. TSP PARA TEORÍA DE GRAFOS . . . 4
2. EL TSP ES NP-COMPLETO 7 2.1. COMPLEJIDAD ALGORÍTMICA . . . 7
2.1.1. NOTACIÓN O-GRANDE . . . 7
2.1.2. PROBLEMAS DE DECISIÓN . . . 8
2.1.3. PROBLEMAS DE CLASES NP-COMPLETO Y NP DURO . . . 8
2.1.4. EL TSP ES NP-COMPLETO . . . 10
3. ALGORITMO EXACTO: HELD-KARP 15 3.1. ALGORITMO BRUTO . . . 15
3.2. PROGRAMACIÓN DINÁMICA. HELD Y KARP (1962) . . . 15
4. ALGORITMOS APROXIMADOS 17 4.1. ALGORITMOS HEURÍSTICOS . . . 17
4.1.1. MEDIDA DE CALIDAD DE UN ALGORÍTMO . . . 17
4.2. MÉTODOS CONSTRUCTIVOS DEL TSP . . . 18
4.2.1. VECINO MÁS PRÓXIMO . . . 18
4.2.2. ALGORITMO DE LIN-KERNIGHAN . . . 20
4.2.3. ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA(MINIMUM SPANNING TREE) . . . . 22
4.2.4. MATCHING DE MÍNIMO PESO O ALGORITMO DE CHRISTOFIDES . . 24
BIBLIOGRAFÍA 27 ANEXOS 29 A. ENSAMBLADO DE FRAGMENTOS DE ADN 29 B. TSP EUCLÍDEO 31 B.1. RESULTADOS ELEMENTALES SOBRE EL TSP EUCLÍDEO . . . 31
B.2. TSP PARA UNA CLAUSURA CONVEXA Y UNA LÍNEA INTERIOR . . . 32
B.3. EJEMPLO VISUAL DEL TSP PARA UN CONVEXO Y UNA LÍNEA INTERIOR . . 34
VII
VIII Índice general
C. EJEMPLO PARA EL ALGORITMO DE HELD-KARP 37
D. EJEMPLOS PARA LOS ALGORITMOS APROXIMADOS 39
D.1. ÁRBOL DE MÍNIMO PESO. . . 39 D.2. MATCHING DE EXPANSIÓN MÍNIMA . . . 40
Capítulo 1
VISIÓN GENERAL DEL TSP
1.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
1.1.1. INTRODUCCIÓN
El problema del viajante de comercio, también conocido como TSP por sus siglas en inglés (Tra- veling Salesman Problem) es uno de los problemas más destacados de optimización combinatoria. Este problema responde a la siguiente pregunta:
Dada una lista de ciudades junto con la distancia que hay entre cada par de ellas, ¿cuál es la ruta más corta posible que se puede elegir para visitar cada ciudad y regresar a la ciudad origen?
Considerando el conjunto de ciudades como una red de nodos, donde la distancia entre el nodo i y el j viene dada como ci j, se trata de encontrar en qué orden se recorrerán los nodos de la red, de modo que se minimice la distancia total recorrida.
El TSP remonta sus orígenes a 1930, siendo hasta hoy uno de los problemas de optimización com- binatoria más estudiados. Destaca por su simplicidad en el enunciado y la dificultad de encontrar una solución válida para ese enunciado simple.
1.1.2. HISTORIA
Los orígenes del TSP no son claros, pero el primer indicio bibliográfico fue en 1832, en Alemania, en un libro titulado “ El vendedor ambulante: cómo debe ser y qué debe hacer para obtener comisiones y éxito en su negocio. Por un vendedor ambulante veterano ”. Se llega a la esencia del TSP en su último capítulo, indicando que con una elección adecuada en la ruta se puede ahorrar mucho tiempo y, además, da como sugerencia principal el visitar cada ciudad una única vez.
Asimismo, el libro incluye cinco rutas que recorren regiones de Alemania y Suiza, siendo una de ellas la solución óptima al TSP. En cuanto a las otras cuatro, en las que se visita alguna ciudad más de una vez, se cree que teniendo en cuenta los medios de transporte existentes en la época podrían haber sido también rutas óptimas. Sin embargo, este libro no aporta ningún teorema matemático que demues- tre esto.
Aunque se tiene constancia del libro publicado en 1832, desde el punto de vista matemático los orígenes del TSP se remontan a principios de 1930. No se sabe quién introdujo el nombre de TSP en el mundo de las matemáticas; sin embargo, se sabe que Merill Flood es el mayor responsable de publici- tarlo, ya que en una entrevista que le hicieron contó cómo al empezar a trabajar en la ruta de un autobús escolar en New Jersey, se empezó a interesar por el problema y afirmó haberlo conocido a través de A.W. Tucker en 1937. Además Flood relató que Tucker se lo había escuchado a Hassler Whitney en
1
2 Capítulo 1. VISIÓN GENERAL DEL TSP la Universidad de Princeton, alrededor del curso 1931-32. Ello haría que Whitney fuera el pionero del TSP, pero éste negó cualquier relación con dicho problema.
Mientras tanto, en Viena, el matemático Karl Menger estudió también el problema denominándolo “ el problema del mensajero”, que se basaba en encontrar el camino mínimo uniendo todos los puntos de un conjunto con distancia entre ellos conocida. Esto le surgió gracias a una definición que propuso [10]:
la longitud de una curva se define como el límite superior mínimo del conjunto de todos los números que pueden ser obtenidos tomando cada conjunto finito de puntos sobre la curva. Para Menger, este problema podía ser resuelto en un número finito de pasos pero se desconocía la existencia de reglas que permitiesen reducir este número de pasos por debajo del número de permutaciones existentes entre los puntos.
Durante los años 1950-1960, el problema fue incrementando su popularidad entre el círculo de cien- tíficos de Europa y Estados Unidos. Una notable contribución fue la de George Dantzig, Delbert Ray Fulkerson y Selmer M. Johnson de la Corporación RAND en Santa Mónica, quienes formularon el problema como un problema de Programación Lineal en Enteros y, para solucionarlo, desarrollaron el método de los planos de corte. Con este nuevo método, resolvieron de manera óptima el problema con 49 ciudades mediante la construcción de un recorrido y probando que no había un recorrido que pudiera ser más corto.
En las siguientes décadas el problema fue estudiado por muchos investigadores, matemáticos, cien- tíficos de la computación, químicos, físicos, etc.
1.1.3. APLICACIONES
El nombre de este problema: “el problema del viajante de comercio” hace pensar que tiene una apli- cación muy concreta, es decir, que consiste en decidir la ruta que debe seguir un vendedor. Sin embargo, el TSP se puede emplear en cualquier situación que requiera seleccionar nodos en cierto orden de cara a reducir costes o distancias.
La mayor parte de los avances en la historia del TSP han sido motivados por aplicaciones del mismo en casos cotidianos. Hoy en día hay multitud de campos en los que el problema del viajante de comer- cio juega un papel importante, destacando la elección de un recorrido eficiente a la hora de transportar mercancías, pasajeros y vehículos en n ciudades distintas. Este problema básico da lugar a varias aplica- ciones de enrutamiento de vehículos, de cableado de ordenadores, de recolección de basuras de manera domiciliaria, de autobuses escolares...Todos ellos siguen un mismo patrón pero con diferentes sujetos que realizan la acción.
Aparte de estos problemas basados en logística, cabe destacar el uso del TSP en la industria. Un ejemplo es “el problema de la secuencia de trabajos” en el que hay n trabajos a realizar en una máquina simple. Los trabajos se pueden llevar a cabo en cualquier orden, siendo el objetivo del problema com- pletar todos estos trabajos en el menor tiempo posible.
Para poder empezar el trabajo j la máquina debe estar en el estado Sj, que representa las condiciones necesarias para realizarlo (la posición de rotación, el color, la presión...), mientras que el estado inicial y final de la máquina será S0.
El tiempo requerido para completar el trabajo j directamente después del trabajo i es ti j= ci j+ pj,
donde ci jes el tiempo que se necesita para transformar la máquina del estado Sial Sj, y pj es el tiempo que tarda en realizar el trabajo j (con p0= 0). Para una permutación cíclica π de 0, ..., n, el tiempo
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 3 requerido para completar todos los trabajos es:
n
∑
i=0
(ciπ(i)+ pπ (i)) =
n
∑
i=0
ciπ(i)+
n
∑
j=0
pj
Como la suma de todos los pjes una constante y lo que se busca es que permutación cíclica π minimiza esa suma, el problema de la secuencia de trabajos es un TSP.
El problema del TSP, además de usarse en los múltiples ámbitos ya mencionados, ha llegado a ser utilizado en laboratorios con partículas muy pequeñas, siendo uno de los ejemplos más destacados el ensamblado de ADN que podemos ver descrito en el Anexo A.
En la práctica es muy común encontrarse con problemas del viajante que presenten pequeñas varia- ciones respecto del problema original, como puede ser el TSP con vendedores múltiples, con condicio- nes de repetición sobre algunas ciudades, etc.
A lo largo del trabajo se estudiarán de manera matemática algunos ejemplos.
1.2. DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Una vez se tiene una idea general de qué es el TSP y de cuál es el objetivo del problema, es necesario plantearlo de manera matemática.
Una descripción genérica del problema del viajante está compuesta por una entrada y una pregunta relacionadas entre sí, es decir, la pregunta se debe plantear según la información que se dé en la entrada.
TSP
ENT RADA: Entero n ≥ 3 y una matriz nxn, denotada C = (ci j) , donde ci json enteros no negativos.
PREGU NTA: ¿Qué permutación cíclica π de enteros del 1 al n minimiza la suma ∑ni=0ciπ(i)? Notar que, en esta definición, se restringe la distancia entre ciudades para que sean enteros. Se quiere conseguir un algoritmo que dada una entrada nos genere el recorrido de mínima distancia. Un algorit- mo trivial sería generar todos los recorridos, evaluar cada uno de ellos y elegir el mejor. Aunque en la práctica no es útil ya que si la entrada del problema es n = 30 el número de recorridos posibles es 30!
que es aproximadamente 2,65x1032y esto implica un tiempo computacional muy grande e imposibilita llevarlo a cabo.
Al igual que existen diversas variaciones, existen también varias formulaciones del TSP y para cada una de ellas existirá un método de resolución distinto. El tipo de TSP asociado a un problema se distingue según su matriz de costes (o distancias), es decir, según las propiedades que tenga C. Por ejemplo:
Si la matriz es simétrica:
El TSP tendrá una matriz simétrica asociada a él si la distancia entre ciudades es la misma se tome el sentido que se tome. Por el contrario, si la distancia puede ser diferente a la ida como a la vuelta e incluso no existir una de ellas se llamará matriz asimétrica.
Si la matriz cumple la propiedad triangular:
Matriz cuyas distancias forman una métrica que satisfacen la desigualdad triangular ≡ dAB≤ dAC+ dCA, es decir, que la conexión directa entre dos nodos A y B nunca sea mayor que hacer el camino pasando por C.
4 Capítulo 1. VISIÓN GENERAL DEL TSP Si la matriz es euclídea:
Matriz de costes donde el conjunto de las n ciudades dadas están en un espacio euclídeo, donde la distancia entre cada par de ciudades se representa como d(x1, x2) = ||x1− x2||2. Como estas distancias forman una métrica, concretamente la métrica euclídea, satisfacen la desigualdad trian- gular.
1.2.1. TSP PARA TEORÍA DE GRAFOS
La matriz de costes del problema es la que permite definir el grafo asociado a dicho problema o vi- ceversa, es decir, un grafo siempre va ligado a una matriz de costes. Definamos pues el TSP para teoría de grafos, pero antes de ello veamos algunas definiciones previas:
Definiciones.
- Grafo: conjunto de objetos llamados vértices o nodos, unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
- Grafo completo: grafo no orientado que tiene entre cualquier par de sus nodos al menos una arista que los une.
- Grafo dirigido: grafo en el cual las aristas tienen un sentido definido.
- Camino hamiltoniano: camino que recorre todos los nodos del grafo una y sólo una vez.
Contrucción de la matriz de distancias asociada a un grafo.
Sea G = (V, A) un grafo completo siendo V = 1, ..., n el conjunto de vértices y A el conjunto de arcos.
Los vértices representan las ciudades que se deben visitar, siendo v1 la ciudad de origen y final. Cada arco (i, j) tendrá asociado un valor no negativo ci jque recoge la distancia que hay entre las ciudades i y
j.
A partir de esta información se construye la matriz de costes asociada al grafo G, donde las filas de la matriz representan los nodos i y las columnas los nodos j, es decir, la matriz tendrá la siguiente
forma:
c11 c12 · · · c1n c21 c22 · · · c2n ... ... . .. ... cn1 cn2 · · · cnn
.
Hay veces que dentro de un grafo no todos los nodos están conectados, es decir, faltan conexiones para construir la matriz. En ese caso, como el TSP consiste en conseguir un camino de mínima distancia o coste, suponemos que aquellas conexiones que no aparecen en el grafo tendrán un coste muy alto, in- dicándolo como ci j= ∞ para que dichas conexiones nunca formen parte del recorrido óptimo. Además, en este problema no es posible quedarse en una misma ciudad más de una iteración, por lo que por la misma razón todas las componentes ciide la matriz se representarán con el valor ∞.
A modo de resumen se puede concluir que el problema del viajante se define sobre un grafo (gene- ralmente completo) con costes asociados a los arcos y consiste en encontrar el camino hamiltoniano de coste mínimo.
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 5 Ejemplo 1.1. Matriz de costes asociada a un grafo:
Como la matriz de costes C siempre va relacionada con un grafo G, las propiedades que pueden tener las matrices anteriormente mencionadas también influyen en las características del grafo. Notar que, en el caso en el que la matriz de costes C que recoge las distancias es asimétrica , es decir, ci j6= cji Gserá un grafo dirigido, dando lugar al problema asimétrico del TSP (ATSP). Mientras que, si la matriz de costes es simétrica ci j= cjipara todo (i, j) que pertenece a A, G será no dirigido y se denotará como STSP.
Como todo grafo no dirigido puede transformarse en uno dirigido duplicando las aristas de ma- nera que haya una en cada sentido, el STSP puede verse como un caso especial del ATSP, siendo uno de los ejemplos más destacados para el TSP asimétrico el ensamblado de ADN explicado en el Anexo A.
Si la matriz de costes C es euclídea se tiene el TSP euclídeo de n-ciudades que es un importante caso particular del TSP, donde cada ciudad i viene representada como un punto pi= (xi, yi), xi, yi∈ R en el plano y las distancias c(i, j) entre cada par de ciudades i, j se calculan de acuerdo a la métrica euclídea, i, j = 1, ..., n. Para leer mas información sobre este caso de TSP ir al Anexo B.
Capítulo 2
EL TSP ES NP-COMPLETO
En este capítulo se va a estudiar la complejidad del TSP. Para ello se van a enunciar algunas de las cuestiones más estudiadas sobre la teoría de la complejidad como es, por ejemplo, determinar si un problema pertenece a la clase P o NP de problemas de decisión en función de si se conoce un algoritmo eficiente para el mismo (se verán con detenimiento las definiciones correspondientes para las clases P y NP). Después se definirán los conceptos NP-Duro y NP-Completo para así poder demostrar que el problema del que se viene hablando durante todo el trabajo pertenece a esta segunda clase, es decir, es NP-Completo.
2.1. COMPLEJIDAD ALGORÍTMICA
2.1.1. NOTACIÓN O-GRANDE
En análisis de algoritmos una cota superior asintótica es una función que sirve de cota superior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación de Landau:O(g(n)), Orden de g(n), coloquialmente llamada notación O-Grande, para referirse a las funciones acotadas superiormente por la función g(n).
Definición 2.1. Sea f : Z+→ R+ y g : Z+→ R+ funciones del conjunto de los enteros positivos al conjunto de los número reales positivos. La función f (n) está en la familia O(g(n)) si hay constantes c y N mayores que 0 tales que
f(n) ≤ cg(n) para todo n > N
Si f (n) está en O(g(n)), se dice que f (n) está asintóticamente dominado por g(n). En otras palabras, para una n y una constante c suficientemente grandes, cg(n) es mayor que f (n).
Nota: Se sigue de la definición que f (n) está en O(g(n)) si y solo si existe una constante c tal que l´ımn→∞ f(n)
g(n) ≤ c.
Ejemplo 2.1. La función f (n) =n22+n está en O(n2). Para ver esto, observamos que para n > 0.
f(n) = n22+n < n2+ n ≤ n2+ n2= 2n2
Satisface la ecuación para c = 2 y N = 0. Es verdad que f (n) está en O(nr) para todo r ≥ 2, pero O(n2) es lo más preciso. Además, tomando c = 2 y N = 0, la siguiente cadena de desigualdades muestra que n2está en O( f (n)).
n2< n2+ n = 2 f (n)
7
8 Capítulo 2. EL TSP ES NP-COMPLETO Las funciones f (n) y g(n) son equivalentes O-grande si y solo si l´ımn→∞g(n)f(n) = c para alguna constante no nula. Dos funciones polinómicas son O-grande equivalentes si y solo si ellas tienen el mismo grado.
Definición 2.2. El tiempo de ejecución T (n) de un algoritmo se dice que es O(g(n)) si existe una constante positiva c y un número entero N tales que ∀n ≥ N se tiene T (n) ≤ cg(n).
Definición 2.3. Un algoritmo de tiempo polinomial es un algoritmo cuyo tiempo de ejecución está en O(nk) para algún valor de k.
2.1.2. PROBLEMAS DE DECISIÓN
Definición 2.4. Un problema de decisión es un problema que requiere solo una respuesta de si o no.
Definición 2.5. Un problema de decisión pertenece a la clase P si hay un algoritmo de tiempo polinomial que resuelve el problema.
Definición 2.6. Un problema de decisión pertenece a la clase NP si una respuesta que sea “sí” puede ser confirmada por un algoritmo de tiempo polinomial.
Nota: La letra P proviene de “polynomial” mientras que las letras NP vienen de “nondeterministic polynomial”.
Ejemplo 2.2. El problema de decisión “¿ Es G bipartito ?” dado un grafo G pertenece a la clase P.
Ejemplo 2.3. No se sabe si el problema de decisión “¿Pueden colorearse los vértices de un grafo con tres colores distintos tal que los vértices adyacentes sean de colores diferentes?” está en la clase P.
Primero se debe dar una respuesta para la pregunta planteada, la cual sea “sí” o “no”. Imaginando que la respuesta que se ha dado es “sí”, se eligen 3 colores para los vértices. Una vez se tienen elegidos, hay que comprobar que utilizando sólo estos 3 colores se pueden colorear todos los vértices cumpliendo los requisitos. Para ello se asigna un color a cada uno de los n vértices, lo cual se puede realizar en un tiempo lineal. Y después se revisa que cada par de vértices adyacentes posea dos colores diferentes, para esto se necesitará un tiempo cuadrático ya que el número de ejes es cuadrático con respecto al número de vértices.
Por tanto, una vez dada la respuesta “sí” esta se puede comprobar en un tiempo polinomial por lo que el problema pertenece a la clase NP.
Puede parecer que la clase de problemas que podrían resolverse en tiempo polinomial con un orde- nador no determinista deberían ser más grandes que los que pueden resolverse mediante algoritmos de tiempo polinomial en un ordenador secuencial. Sin embargo, nadie ha podido encontrar un problema en la clase NP que no esté en la clase P. Determinar si existe tal problema de decisión es uno de los principales problemas no resueltos en la informática teórica.
2.1.3. PROBLEMAS DE CLASES NP-COMPLETO Y NP DURO
Definición 2.7. Un problema de decisión R es polinomialmente reducible a un problema de decisión Q si hay una trasformación en tiempo polinomial de cada ejemplo IRdel problema R a un ejemplo IQdel problema Q, donde los ejemplos o casos de IRy IQtienen la misma respuesta (sí o no).
Definición 2.8. Un problema de decisión C es NP-completo si:
1. C está contenido en el conjunto NP.
2. Todo problema de NP es reducible a C en tiempo polinomial.
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 9 Esto implica que si encontramos un algoritmo de resolución polinomial para un problema NP-completo, podríamos resolver en tiempo polinomial cualquier problema de NP a través de su transformación y estaría demostrado que P=NP.
Definición 2.9. Un problema de decisión C es NP-duro cuando cada problema en NP se puede reducir en tiempo polinomial a C.
Hay una larga colección de problemas NP-completos, incluyendo el problema del viajante (cuando se formula como un problema de decisión), para los que no se han encontrado algoritmos con tiempo polinomial a pesar del considerable esfuerzo realizado en las últimas décadas, por lo que queda en el aire la cuestión de si existen dichos algoritmos para estos problemas.
El primer problema NP-completo fue el llamado problema de satisfacibilidad (SAT) de expresiones booleanas.
Definición 2.10. Sea U = {u1, u2, ..., um} un conjunto de variables booleanas. Se llama correspondencia de verdad para U, a una función T : U → {true, f alse}.
Si T (u) = true entonces decimos que u es verdad con respecto a T . En caso contrario, decimos que ues falsa.
Definición 2.11. Sea u ∈ U , entonces u, ¯u son literales de u. El literal u es cierto con respecto a T si y solo si la variable u es cierta con respecto a T (es decir, T (u) = true) y ¯u es cierto si y solo si T(u) = f alse.
Definición 2.12. Una cláusula sobre U es un conjunto de literales de U tal que representa la disyunción de los literales, es decir, es satisfecha por una correspondencia de verdad T si y sólo si al menos uno de sus miembros es cierto bajo T .
Definición 2.13. Una colección de cláusulas C sobre U es satisfacible si y sólo si existe alguna corres- pondencia de verdad para U que satisface todas y cada una de las cláusulas de C.
Definición 2.14. Sea X = x1, x2, ..., xnun conjunto de n variables booleanas. El problema de satisfaci- bilidades el problema de saber si, dada una expresión booleana con variables y sin cuantificadores, hay alguna asignación de valores para sus variables que hace que la expresión sea verdadera.
Problema de Satisfacibilidad (SAT):
Sea U un conjunto de variables, y C una colección de claúsulas sobre U ¿Existe alguna correspondencia de verdad que satisfaga C?
Teorema 2.1. (Teorema de Cook) El problema de Satisfacibilidad (SAT) es NP-Completo.
Problema de la 3-Satisfacibilidad (3-SAT):
Es una restricción del problema SAT donde toda entrada tiene que tener exactamente 3 literales en cada claúsula.
Teorema 2.2. El problema de la 3-satisfabilidad (3-SAT) es NP-Completo.
10 Capítulo 2. EL TSP ES NP-COMPLETO 2.1.4. EL TSP ES NP-COMPLETO
En esta sección primero se demostrará que el problema del ciclo hamiltoniano es NP-Completo, de ahí se pasará a demostrar lo mismo para el TSP.
Definición 2.15. Un ciclo hamiltoniano en un grafo es un camino cerrado que pasa una sola vez por todos los nodos (vértices) del grafo. A su vez, un grafo hamiltoniano es aquel que contiene un ciclo hamiltoniano.
Nota: Cuando hablamos de grafos que poseen costes en sus aristas, el ciclo hamiltoniano de menor coste es también la solución del TSP.
Definición 2.16. La versión de decisión del TSP viene dada por:
Entrada- Matriz de distancias asociada al problema y un entero B.
Pregunta- ¿Existe un camino de coste (longitud) menor o igual que B?
Teorema 2.3. El problema de decidir si un grafo es hamiltoniano es NP.
Demostración. Dada una entrada I para el problema, es decir, un grafo G. ¿Se podrá comprobar que G es hamiltoniano en un tiempo polinomial? Por definición sabemos que un grafo es hamiltoniano si con- tiene un ciclo que pase por todos sus vértices, por lo que se puede obtener un certificado de la respuesta mediante una permutación de sus vértices. Suponiendo, por ejemplo, que los vértices que componen dicho grafo son v6, v3, v1, v7, v5, v8, . . . v9, v2, se puede comprobar que G es un grafo hamiltoniano averi- guando en tiempo O(n2) si existen las aristas v6v3, v3v1, v1v7, . . . , v9v2, v2v6en el grafo. De este modo se comprueba la afirmación en tiempo polinomial, y por tanto el problema de decisión pertenece a la clase NP.
Teorema 2.4. El problema del circuito hamiltoniano es NP-Completo.
Demostración. En la proposición anterior se acaba de demostrar que el problema del ciclo hamilto- niano es NP. Siguiendo la definición, para poder ver que este problema es NP-completo se necesitará comprobar que todo problema de NP es reducible a él en tiempo polinomial. Por ello, vamos a tomar el problema 3-SAT que es NP-completo y a comprobar que se transforma polinomialmente en dicho problema.
Dada una colección de cláusulas de tres literales Z = {Z1, ..., ZM} sobre un conjunto de variables U = {u1, ..., un} como entrada del problema 3-SAT, se quiere construir un grafo G que cumpla que: Z es satisfacible si y solo si G contiene un ciclo hamiltoniano.
Construcción del grafo.
Para la contrucción del grafo se crean dos estructuras distintas:
1. La figura 5.2(a) corresponde a la primera de las estructuras que se van a utilizar. Es un subgrafo Ade G donde ningún vértice de A excepto u, u0, v, v0inciden con otra arista de G que no esté en A.
Por tanto, si se quiere buscar un ciclo hamiltoniano en A se podrá hacer de dos formas distintas como se muestra en la Figura 5.2 (b),(c).
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 11
Figura 5.2: Estructura A.
Si se consideran únicamente las dos aristas u − u0,v − v0, éstas se unirán mediante A cuando entre ellas se cree una estructura igual a la que aparece en la Figura 5.2(a). Para simplificar el resultado, se describe la unión de las dos aristas mediante A como se puede ver en la Figura 5.2(d).
Se puede asegurar que si en un grafo hay una estructura de tipo A, cualquier ciclo hamiltoniano del grafo debe contener exactamente una de las aristas u − u0,v − v0. Para poder entenderlo mejor nos podemos fijar otra vez en la Figura 5.2 (b),(c). En el caso de (b) se puede apreciar que el ciclo hamiltoniano pasa tanto por el vértice v como por el vértice v0por lo que contiene a la arista v − v0. Sin embargo, en la (c) son los vértices u y u0 los que están contenidos en el ciclo hamiltoniano, por lo que en este caso la arista contenida es u − u0.
2. La segunda estructura necesaria para la construcción es la que representa el grafo B de la Figura 5.3(a). B es también subgrafo de G donde los únicos vértices incidentes con otras aristas de G son u, u0. En este caso ningún circuito hamiltonano de G podrá atravesar a las tres aristas {e1, e2, e3}.
Se representará B para simplificar la estructura como la Figura 5.3(b).
Figura 5.3: Estructura B
Con estas dos estructuras ya se puede construir desde Z el grafo G que se buscaba. Para cada cláusu- la Zi=1,...,mse pone una copia de B tras otra en una misma columna, y en una columna paralela se pone una sucesión de vértices, dos por cada variable uj( j = 1, ...n) que exista en las cláusulas. La primera y la última copia de B se unen con esta sucesión de vértices. Estos vértices están a su vez unidos entre ellos.
La arista que une cada par de vértices correspondería a cada variable uj, esta se dobla para representar a los literales ujy ¯uj. En la Figura 5.4 se puede ver esto gráficamente.
12 Capítulo 2. EL TSP ES NP-COMPLETO
Figura 5.4: Ejemplo
Ahora cada copia de B se une mediante copias de A con la sucesión de vértices, es decir, las aristas e1, e2, e3de cada B estarán unidas con el primer, segundo y tercer literal de la cláusula correspondiente.
Notar que al estar unidos por A cualquier ciclo hamiltoniano de G debe contener o bien a ei o bien al literal relacionado mediante A con esa arista. La arista correspondiente a un literal puede formar parte de más de una copia de A.
A continuación se da un ejemplo concreto para la construcción de este grafo. Para ello, vamos a to- mar como entrada del problema 3-SAT un conjunto de cláusulas concreto, sea U = {{x1, ¯x2, ¯x3}, { ¯x1, x2, ¯x3}, { ¯x1, ¯x2, x3}}, el grafo correspondiente para U siguiendo lo anteriormente explicado es el que se repre- senta en la Figura 5.5(a). Además, en la Figura 5.5(b) se puede ver la primera parte del grafo ampliada, es decir, la primera estructura de tipo A y B que aparece en el ejemplo anterior, para que ayude a enten- der mejor lo que se está intentando representar.
Cada una de las estructuras de tipo A de la Figura 5.5(a) se representaría de esta manera. Hay que tener en cuenta que si hay dos cláusulas que tienen el mismo literal, en la arista correspondiente a ese literal aparecerán puntos intermedios independientes para cada una de las dos estructuras A.
(a) (b)
Figura 5.5: Ejemplo
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 13 Una vez se ha construido el grafo G, se debe probar:
G es hamiltoniano ↔ z es satisfacible y la construcción es polinomial.
→ | Sea C un ciclo hamiltoniano, definimos una correspondencia de verdad T que verifique que T (x) = true, y que x literal si y solo si C contiene a la arista correspondiente. Por la propiedad de B, un ciclo hamiltoniano no puede tener a la vez a las aristas e1, e2, e3correspondientes a una misma cláusula y por la propiedad de A, si el ciclo hamiltoniano no contiene a uno de esas tres aristas, entonces contiene a la arista correspondiente al literal unido mediante A, por lo que toda cláusula contiene un literal tal que la arista correspondiente a ese literal pertenece al ciclo. Luego existe una correspondencia de verdad para U y por tanto z es satisfacible.
← | Por otro lado, si Z es satisfacible , entonces cualquier correspondencia de verdad que satisfaga Z define un conjunto de aristas que corresponden a los literales que son verdad. Como cada cláusula contiene al menos un literal cierto (pues Z es satisfacible), entonces este conjunto de aristas puede ser completado hasta un ciclo en G, usando la construcción explicada anteriormente.
Se demuestra así que un problema NP-completo, como es 3-SAT, puede reducirse al problema del ciclo Hamiltoniano, por lo que éste también es NP-completo.
Teorema 2.5. El problema de decisión de ciclos Hamiltonianos (HCP) se transforma polinómicamente en el TSP.
Demostración. Se debe encontrar una función f que a cada problema de decisión HCP le corresponda uno del TSP, y que satisfaga las propiedades de transformación polinomial.
Sea G = (V, E) entrada del HCP con |V | = m. Su entrada correspondiente en el TSP tiene un conjunto Cde ciudades idéntico a V y para cada par de ciudades vi, vj∈ C su distancia será:
d(vi, vj)=1 si vi, vj∈ E d(vi, vj) = 2 en otro caso.
Se sabe que la longitud máxima del recorrido entre ciudades siguiendo las aristas pertenecientes al grafo es m. Se llamará a esta longitud B.
Ahora bien, se necesita transformar también la pregunta del problema de decisión del HCP a la correspondiente al TSP, es decir, se necesita ver:
G contiene un ciclo hamiltoniano ↔ hay un camino que pasa por todas las ciudades de f (G) cuyo recorrido no es mayor que B.
Primero⇒
Sea {v1, v2, ..., vm} un circuito hamiltoniano de G. Entonces v1, v2, ..., vmes también un tour en f (G) de longitud m = B pues cada una de las aristas visitadas es un elemento de E con longiutd 1.
Ahora⇐
Sea {v1, v2, ..., vm} tour en f (G) con longitud total menor o igual que B. Como las distancias entre las ciudades son o bien 2, o bien 1, y se recorren en total m ciudades (m sumandos), entonces la distancia entre las ciudades visitadas es exactamente 1, es decir, por definición de f , {vi, vi+1},{vm, v1} ∈ E
∀ i=1,...,m-1, luego {v1, v2, ..., vm} es un circuito hamiltoniano de G.
Por una parte, se ha demostrado que el problema de decisión del ciclo hamiltoniano es NP-Completo;
por la otra, se ha visto que dicho problema se puede transformar polinómicamente en el TSP. Por tanto, se puede concluir que el TSP también es un problema NP-Completo.
Capítulo 3
ALGORITMO EXACTO: HELD-KARP
Una vez estudiado qué es el TSP, en qué consiste y su complejidad, es necesario buscar un algoritmo que lo resuelva. Este capítulo se centrará sobre todo en un método exacto para resolver el problema del viajante, conocido como el método de Held-Karp basado en programación dinámica. Cabe destacar que a lo largo de la historia, además de este método, se han planteado muchos otros como es el de los planos de corte u otros métodos basados en algoritmos de ramificación y acotación (Branch and Bound).
3.1. ALGORITMO BRUTO
Uno de los algoritmos más básicos propuestos para el TSP consiste en generar todas las permuta- ciones posibles de los vértices dados y ver cuál es el camino de mínimo coste que une todos ellos. Para esto se siguen los siguientes pasos:
1. Se denota como ciudad 1 aquella que sea el punto de inicio y final del camino.
2. Se generan todas las (n − 1)! permutaciones de las ciudades.
3. Se calcula el coste de todas las permutaciones y se elige el camino que corresponde a la permuta- ción de mínimo coste.
4. Se vuelve a la ciudad 1 siguiendo el camino elegido.
El tiempo computacional para este algoritmo es O(n!). Es un tiempo computacional muy grande, por lo que no es un algoritmo útil.
3.2. PROGRAMACIÓN DINÁMICA. HELD Y KARP (1962)
El algoritmo de resolución para el TSP recurriendo a la teoría de programación dinámica surgió a principio de los años sesenta. Held y Karp propusieron la siguiente idea [2]: en un circuito óptimo tras haber recorrido una serie de ciudades, el camino que atraviese las restantes ciudades debe ser también óptimo. Este hecho permite construir el camino paso a paso: a partir de una lista de los caminos de mínimo coste entre las ciudades de todos los subconjuntos de tamaño k, especificando en cada caso el origen y el destino, se puede crear una lista de todos esos caminos para conjuntos de k ciudades.
El procedimiento que sigue el algoritmo de Held y Karp es el siguiente:
Sea {1, 2, ..., n} el conjunto de vértices (ciudades) dado, donde 1 es la ciudad de salida y llegada.
Para cada vértice i (excluyendo el vértice 1) se debe encontrar el camino de mínimo coste con 1 como punto de inicio e i como vértice final, donde todos los vértices del conjunto aparecen una única vez.
15
16 Capítulo 3. ALGORITMO EXACTO: HELD-KARP Se denota el coste de estos caminos cost(i), por lo que el coste total del ciclo viene dado por cost(i)+
d(i, 1) siendo d(i, 1) la distancia que hay para llegar desde el vértice i al inicial. De esta manera, se esco- ge como camino óptimo el ciclo cuyo coste asociado sea menor, es decir, el mini=2,...n[cost(i) + d(i, 1)].
Parece un procedimiento simple pero, ¿cómo obtenemos cost(i)? Para poder calcular el cost(i) con pro- gramación dinámica, se debe tener una relación recursiva en términos de subproblemas.
Primero, para cada vértice i, se generan todos los posibles subconjuntos con los vértices dados (ex- cluyendo a 1 y a dicho vértice i) , desde el conjunto vacío hasta conseguir el conjunto total, es decir, para cada ciudad i se tendrá una lista de subconjuntos de cada tamaño. Por ejemplo, el grupo de los subconjuntos de tamaño uno estará compuesto por los vértices de manera individual, los de tamaños dos serán conjuntos con pares de vértices y así sucesivamente.
Ahora se define C(i, S) como el coste total del camino de coste mínimo que visita todas las ciudades del conjunto S empezando en 1 y terminando en i. Y se calcula este coste para todos los subconjutos S de manera recursiva empezando por los subconjuntos de tamaño más pequeño.
Es decir, se tiene:
• Si el tamaño de S es 0, S debe ser el conjunto vacío.
C(i, S) será el coste del camino que parte de 1 y llega hasta i sin tener que pasar por ninguna ciudad.
C(i, S) = C(i, /0) = dist(1, i).
• Si el tamaño de S es 1, S debe ser { j} donde j 6= i y j 6= 1
C(i, S) será el coste del camino que empieza en 1 y acaba en i pasando por la ciudad j.
C(i, S) = C(i, { j}) = dist(i, j) +C( j, /0).
• Si el tamaño de S es mayor que 1. C(i, S) es el mínimo coste de los costes de todos los caminos que empiezan en 1 y acaban en i recorriendo todas las ciudades de S.
C(i, S) = min{dist(i, j) +C( j, S − j)} donde j ∈ S, j 6= i y j 6= 1.
Para llevar esto a cabo se generan 2nsubconjuntos y para cada subconjunto se pasa por cada vértice.
Mientras se pasa por cada vértice se verifica cual debería ser el vértice anterior, luego se está haciendo un trabajo de n2 para cada subconjunto. Así, el tiempo total de ejecución de este método es O(n22n) que es mucho menor que O(n!) conseguido mediante el otro método. El principal inconveniente de este método es la cantidad de tiempo computacional que requiere incluso con la tecnología actual. Por eso se restringe su uso a pequeños problemas.
Ejemplo 3.1. Se puede ver un ejemplo para este algoritmo en el Anexo C.
Capítulo 4
ALGORITMOS APROXIMADOS
Normalmente para resolver el problema del viajante se utilizan algoritmos aproximados ya que los algoritmos exactos requieren un tiempo computacional muy grande y no son útiles. Los algoritmos apro- ximados más frecuentes están basados en métodos heurísticos, es decir, algoritmos que no garantizan una solución óptima pero que las soluciones que encuentran son aproximadas al óptimo.
4.1. ALGORITMOS HEURÍSTICOS
Antes de comenzar con la descripción de los algoritmos heurísticos, que proporcionan una buena aproximación para la solución del TSP, se debe saber qué es un algoritmo heurístico y cuáles son sus propiedades.
Definición 4.1. En programación se dice que un algoritmo es heurístico cuando la solución no se de- termina de forma directa, sino mediante ensayos, pruebas y reensayos.
Todos los algoritmos heurísticos siguen un método similar. Primero se generan los candidatos de soluciones posibles de acuerdo a un patrón dado. Después, estos candidatos son sometidos a pruebas de acuerdo a un criterio que caracteriza la solución. Si un candidato no es aceptado se genera otro y los pasos dados con el candidato anterior no se consideran. Por esta razón, este tipo de algoritmos también se denominan “ algoritmos con vuelta atrás ”.
4.1.1. MEDIDA DE CALIDAD DE UN ALGORÍTMO
Un buen algoritmo heurístico se caracteriza por ser eficiente, robusto y bueno, es decir, debe tener un esfuerzo computacional realista para obtener la solución, siendo muy baja la probabilidad de obtener una solución lejana a la óptima.
Para medir la calidad de un heurístico existen diversos procedimientos, entre los que se encuentran los siguientes:
• Comparación con la solución óptima: para cada uno de los ejemplos se mide la desviación porcentual de la solución heurística frente a la óptima, calculando después el promedio de estas desviaciones.
• Comparación con una cota: muchas veces no podemos obtener un algoritmo óptimo aunque se cuente con un conjunto reducido de ejemplos. En estos casos, podemos evaluar la calidad de nuestro heurístico con una cota del problema.
• Comparación con otros heurísticos: es uno de los métodos más empleados. Se usan algoritmos heurísticos ya conocidos y se compara con el nuevo. Para ello, se somete a comparación su tiempo de ejecución, su facilidad de implementación, su flexibilidad e incluso su simplicidad.
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18 Capítulo 4. ALGORITMOS APROXIMADOS
4.2. MÉTODOS CONSTRUCTIVOS DEL TSP
Los métodos constructivos son métodos iterativos que se basan en tomar un subtour inicial, nor- malmente elegido de manera aleatoria, y a partir de ahí en cada paso se añade un elemento más hasta completar la solución. En el caso del TSP en cada iteración se añade una ciudad nueva hasta completar el recorrido óptimo. Para ello, en cada paso, se debe decidir entre qué ciudad se selecciona para insertarla en el subciclo correspondiente y dónde se insertará la ciudad.
4.2.1. VECINO MÁS PRÓXIMO
El método del vecino más próximo es un algoritmo heurístico de los más sencillos. Consiste en construir un ciclo Hamiltoniano de bajo coste basándose en el vértice más cercano a uno dado. Para llevarlo a cabo se siguen los siguientes pasos:
1. Elección de un vértice inicial arbitrario v1.
2. Búsqueda del vértice más cercano a v1 e inserción de éste en el recorrido. Este nuevo vértice pasará a estar marcado como vértice visitado.
3. Si el subtour actual está formado por los vértices v1, v2, ..., vk, se busca el vértice más próximo a vk, que será vk+1, pasando éste a formar parte del tour.
4. Si todos los vértices del conjunto han sido visitados, cerramos el algoritmo y se vuelve al vértice inicial v1. Si no, se vuelve al paso 3.
Se puede ver el algoritmo enunciado de manera matemática:
Algoritmo del vecino más próximo:
Inicialización:
• Seleccionar un vértice j al azar.
• Hacer t = j y W = V \{ j} donde t es el vértice actual en cada iteración y V los vértices del conjunto.
Mientras (W 6= ∅): Tomar nuevo j de W tal que ct j= min{cticon i en W }.
Para llevar a cabo este método se realiza un número de operaciones de orden O(n2). Si se lleva a cabo el proceso para un ejemplo dado, se podrá observar que al principio comienza muy bien, seleccio- nando aristas de coste bajo. Pero en las últimas iteraciones del proceso probablemente queden vértices cuya conexión obligará a introducir caminos más costosos.
Este algoritmo puede codificarse en pocas líneas. Sin embargo, una implementación directa será muy lenta para ejemplos de gran tamaño (1000 vértices), por lo que hasta para un heurístico sencillo como éste es importante tener en cuenta la eficiencia y la velocidad del algoritmo.
Se pueden incluir diversas mejoras al algoritmo tales como:
• Al seleccionar el vértice j que se va a unir a t (tour en construcción), en lugar de examinar todas las conexiones posibles con otros vértices, se tienen en cuenta solo los adyacentes a t en el subgrafo candidato. En caso de que todos los adyacentes ya formen parte del tour se examinarán todos los posibles.
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 19
• Cuando un vértice queda conectado al tour, es decir, tiene dos enlaces, se eliminan del subgrafo candidato las aristas incidentes a él.
• Se especifica un número s < k. Si un vértice no está en el tour o está conectado únicamente a un número de aristas del subgrafo menor o igual que s, entonces se considerará que se está quedando aislado y por ello se insertará inmediatamente en el tour. Como punto de inserción se toma el mejor de los k vértices más cercanos presentes en el tour.
En el peor de los casos, el algoritmo da como resultado un recorrido que es mucho más largo que el recorrido óptimo. Para ser precisos, para cada constante r hay una entrada del problema del viajante, de modo que la longitud calculada con el algoritmo del vecino más próximo es mayor que r veces la duración del recorrido óptimo. Esto se recoge en el siguiente teorema:
Teorema 4.1. Para todo r > 1 existe una entrada de n-ciudades para el TSP, que cumple la desigualdad triangular y donde n es un número arbitrario grande tal que:
NN(I)≥ r OPT(I)
donde NN representa la longitud calculada con el algoritmo del vecino más próximo.
Demostración. Para i > 0 se construye una entrada Fipara la cual el algoritmo del vecino más próximo funcione mal, encontrando un ciclo cuya longitud sea al menos (i + 2)/6 veces la longitud óptima.
Teniendo en cuenta que esta relación va aumentando conforme i tiende a infinito, las entradas Fise construyen de manera recursiva. En la Figura 4.1(a) se puede ver F1. Al igual que todos los Fiposterio- res, F1tiene tres vértices distinguidos (en el caso de F1, no tiene más que esos tres): un punto final a la izquierda A, un punto medio B y un punto final a la derecha C.
En la Figura 4.1 (b) se puede ver F2y F3. La entrada Fi, i > 1, se construye a partir de dos copias de Fi−1junto con tres ciudades adicionales, como muestra la Figura 5.2(c). La ciudad E es el punto medio de Fi, y las ciudades A y C0 son los puntos finales izquierdo y derecho, respectivamente. Teniendo en cuenta que en la figura solo se especifican algunas de las distancias ci j, si ci j no se especifica en la figura, se toma como la longitud del camino más corto entre las ciudades i y j a través de los ejes que sí que poseen una distancia específica en el grafo. Esta elección de longitudes garantizará la desigualdad triangular.
Si llamamos fial número de ciudades en la etapa i, por construcción se verifica que fi= 2 fi−1+ 3 y la solución de esta recurrencia con f1=3 es fi= 3(2i− 1). Un posible ciclo puede ser aquel que atraviese las ciudades en orden, de izquierda a derecha, y después volver directamente al punto de inicio. Se tiene OPT(I)≤6(2i)-8, el término derecho de la desigualdad lo extraemos de recorrer dos veces las conexiones que unen las ciudades, es decir, 2(3(2i− 1) − 1) = 6(2i) − 8 que es el camino que se realiza al seguir las distancias conocidas.
Por otro lado, el algoritmo del vecino próximo podría, dada una secuencia desfavorable de opciones donde se enfrenta con “lazos” entre posibles vecinos más próximos, encontrar un ciclo de longitud (i + 2)2i− 3, como vemos para F3en la Figura 4.1(d). Es necesario ver de dónde sale esta longitud:
- Para empezar se parte de la figura F1que empieza en el punto A, sigue en C con costo AC = 1 y termina en B con BC = 1, por lo que la longitud de este camino es l1= 2.
- Si ahora se tienen dos copias de la figura Fi−1, cada figura de manera independiente representa un camino que empieza en A y termina en el centro, es decir, en B, y como se ha visto tendrá longitud li−1.
20 Capítulo 4. ALGORITMOS APROXIMADOS - Éstas se combinan como se ve en la Figura 4.1(c) y se añaden 3 puntos intermedios con distancia 1, estos puntos son D, E y D0. Siguiendo el camino de la copia izquierda, se une el punto B con D0 con un arco BD0= 2i−1, de D0vamos al comienzo de la copia derecha de Fi−1con D0A0de costo 1, se recorre la segunda copia como hemos hecho para la primera, llegando así a B0. Y se conecta B0con D mediante el arco B0D= 2i−1y de D se va al punto central E y así se define el camino Fi, que empieza en su primer extremo A y acaba en su centro E.
Por tanto, la longitud liviene dada por li= 2 ∗ li−1+ 2 ∗ 2i−1+ 2 (dos copias de Fi−1, más dos arcos de longitud 2i−1, más dos arcos de longitud 1). Esta recurrencia con longitud inicial l1 = 2 da como resultado la longitud (i + 1)2i− 2 y añadiendo el arco EA (arco de vuelta al nodo de origen) de costo 2i−1se consigue la longitud que se buscaba.
FIGURA 4.1 (a) - F1
FIGURA 4.1 (b) - F3:Número de ciudades 21.
FIGURA 4.1 (c) - Contrucción recursiva Fi, i > 0.
FIGURA 4.1 (d) - Tour conseguido mediante el método del vecino más próximo aplicado a F3. Longitud: (i + 2)2 − 3 = 37.
4.2.2. ALGORITMO DE LIN-KERNIGHAN
La heurística de Lin-Kernighan para el problema del viajante (TSP) data del año 1973, pero es consi- derada todavía la mejor heurística disponible para este problema. Consiste en que k ejes de un recorrido factible se intercambien por k ejes que no están en ese camino, siempre y cuando el nuevo recorrido siga siendo solución y su longitud sea menor que la del recorrido anterior. Aunque aquí lo encontremos junto los heurísticos constructivos también se puede clasificar como un algoritmo de búsqueda local.
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 21 Definición 4.2. Dado un ciclo hamiltoniano con dos aristas {i, j} y {k, l} incidentes en cuatro nodos distintos y tales que el camino visita los nodos de la siguiente manera i,j,k,l; un 2-intercambio asociado con las aristas {i, j} y {k, l} consiste en reemplazarlas por las aristas {i, k} y { j, l}.
Ejemplo 4.1.
Figura 5.4: ejemplo 3-opt.
(a) Camino inicial. (b) Camino después de los intercambios.
Nota: El realizar un 2-intercambio en un ciclo hamiltoniano da lugar a un nuevo ciclo hamiltoniano, donde la diferencia de costes entre el ciclo original y el nuevo es la diferencia de costes entre las aris- tas intercambiadas. A partir de la definición de 2-intercambio se define de la misma forma el concepto k-intercambios.
Los procedimientos de intercambio son denominados procedimientos k-opt, donde k es el número de ejes intercambiados en cada iteración. En un algoritmo k-opt, todos los intercambios de k ejes se prueban hasta que no hay intercambio factible que mejore la solución actual. Esta solución se conocerá como k-óptimo.
En general, cuanto mayor sea el valor de k mayor probabilidad habrá de que la solución final sea óptima, pero el número de operaciones necesarias para probar todos los intercambios k aumenta rápida- mente a medida que incrementa el número de ciudades. Por ello, los valores k = 2 y k = 3 son los más comunes. El planteamiento es el siguiente:
El algoritmo de Lin-Kernighan decide de manera dinámica en cada iteración cuántos ejes hay que in- tercambiar, es decir, se decide el valor de k. Para ello, se empieza eligiendo un número s de intercambios donde s < k y se realizan una serie de pruebas para determinar si se deben considerar los intercambios de s + 1 aristas. Esto continúa hasta que se cumplen las condiciones de parada obteniendo así el valor k deseado.
Los pasos del algoritmo de Lin-Kerninghan son:
Algoritmo de Lin-Kernighan:
Dada la figura 5.4, se va a ilustrar como funciona el algoritmo. Sea G∗pla mejora o el ahorro que se puede obtener si los p ejes considerados se intercambian para generar un nuevo recorrido. En términos generales, el procedimiento funciona de la siguiente manera.
Paso 1 Elegir un recorrido inicial.
Paso 2 Tomar G∗p=0. Elegir algún nodo como origen (e.g nodo l) y uno de los ejes que sale de este vértice y que además pertenezca al recorrido (e.g {l, r}). Poner p = 1.
22 Capítulo 4. ALGORITMOS APROXIMADOS
Paso 3 Desde el otro punto final de este eje (nodo r) elegir otro eje que no esté en el recorrido donde g1= clr− cri> 0. El eje se elige de manera que g1se maximice (gies la ganancia al intercambiar una arista por otra).
Paso 4 Habiendo elegido {l, r} para salir y {r, i} para entrar en la solución de la iteración anterior, el eje que abandona en la p−ésima iteración está determinado. Debe de ser uno de los dos ejes adyacentes del nodo i de manera que al quitarlo siga el recorrido conectado. En este caso, {i, j}
debe salir de la solución. Notando que al añadir { j, l} se reconstruye el camino, sería un candidato para entrar. Ahora G∗1= g1+ ci j− cjl. Suponiendo que g1> G∗1> 0. Incrementar p en 1.
Paso 5 El eje { j, l} no tiene porque ser el eje que entre en esta iteración. Es decir, nosotros buscamos un nodo q que maximice gp= ci j− cjqsi en vez de tomar el nodo l tomamos q = m observamos que este eje aún nos produce una mejora mayor por lo que éste es el eje que entra { j, m}. Una vez elegidas las conexiones que cambian se debe calcular Gp= ∑s=1p gsy luego G∗p= Gp+ cmn− cnl. Siendo G∗= max{G∗0, G∗1, ..., G∗p}.
Incrementamos p y se repite el Paso 5 a no ser que:
(a) No existan más intercambios factibles.
(b) La configuración actual ya es un recorrido.
(c) Gp≤ 0.
(d) Gp≤ G∗.
Si una de estas condiciones se cumple, se construye el tour asociado con el mejor de {G∗1, G∗2, ..., G∗p}.
Todo el proceso se repite hasta que todo vértice es usado como punto de origen y no se hayan encontrado mejoras adicionales.
4.2.3. ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA(MINIMUM SPANNING TREE)
Definición 4.3. Un árbol de expansión (spanning tree) para un conjunto de n ciudades es una colección de n − 1 aristas que une todas las ciudades en una única componente.
La búsqueda del árbol de expansión mínima consistirá pues en encontrar el árbol de expansión que menor coste tenga. Este problema puede ser resuelto de manera eficiente, ya que si un problema viene dado por una matriz de distancias C, ésta tendrá un tamaño proporcional a n2y por tanto se podrá cal- cular el árbol de expansión mínima en un tiempo O(n2).
Además, esta solución proporciona un límite inferior para el recorrido óptimo, ya que al eliminar cualquier eje del ciclo óptimo del problema se consigue un árbol de extensión, es decir, un camino sim- ple que pasa por todas las ciudades. Por tanto, el recorrido óptimo para el problema del viajante debe ser estrictamente mayor que la longitud del árbol de expansión mínima.
Ahora bien, si lo que se quiere es conseguir un recorrido que visite todas las ciudades dadas de un conjunto a partir del árbol de expansión mínima se hace lo siguiente: se duplican las aristas del grafo (ramas del árbol) y se aplica el algoritmo de Euler para encontrar un ciclo que contenga a todos los ejes una sola vez. Al duplicar las aristas del grafo se consigue que todos los vértices tengan grado par y por tanto el grafo será euleriano (Teorema de Euler: Un grafo conexo es euleriano si y solo si todos los vértices del grafo tienen grado par) y así se puede asegurar que se puede construir un camino que pase por todos los vértices, donde el vértice inicial y el final sea el mismo y que todas las ramas del árbol sean recorridas.
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 23
Nota: En teoría de grafos el grado de un vértice es el número de aristas incidentes al vértice.
Así pues, la distancia que se ha recorrido siguiendo el proceso es, por la propiedad triangular, menor o igual que dos veces la del árbol mínimo. Pero con este método algunas ciudades son visitadas más de una vez, cosa que no se permite en el problema del TSP. Para que el recorrido únicamente visite todos los nodos una vez se recurre a la desigualdad triangular, ya que se puede evitar repetir ciudades introduciendo ”atajos”, es decir, se sigue el procedimiento anterior pero cada vez que se llegue a un vértice ya visitado, este se salta y se va directamente al próximo que no haya sido visitado todavía. Y si todos los vértices ya han sido visitados, volvemos al inicial.
Como el recorrido obtenido de este modo aún es más corto que el obtenido anteriormente, este reco- rrido estará acotado superiormente por dos veces la longitud del árbol de extensión mínima y, por tanto, según las observaciones anteriores sobre los límites inferiores, como máximo será el doble del óptimo del problema del viajante.
Se tiene entonces, un algoritmo de tiempo polinomial que proporciona cierta garantía. Se puede ver el algoritmo matemático del árbol de expansión mínima a continuación.
Algoritmo del árbol de expansión mínima:
1. Buscar un árbol de extensión mínima A para el conjunto de vértices dados - O(n2).
2. Construir un primer recorrido de A, duplicando las aristas y aplicando el algoritmo de Euler - O(n).
3. Meter atajos en el recorrido anterior para obtener el tour buscado - O(n).
El tiempo de ejecución del algoritmo está dominado por el tiempo de búsqueda del árbol de exten- sión mínima en el Paso 1, por lo que el tiempo de ejecución es O(n2).
Teorema 4.2. Para todo TSP con entrada I que obedece a la desigualdad triangular, si MST (I) es la longitud de un tour construido por el algortimo del árbol de expansión mínima aplicado a I, se tiene:
MST(I) ≤ 2OPT (I)
Demostración. Se considera MST (I) como la longitud del árbol de expansión mínima, y MST (I) tal y como se describe en el enunciado del teorema. Según lo anteriormente explicado se tiene que, por una parte, el recorrido óptimo para el problema del viajante debe ser estrictamente mayor que la longitud del árbol de expansión mínima, es decir, MST (I) < OPT (I). Por otra parte, se tiene que la longitud del camino generado a través del algoritmo está acotada superiormente por dos veces la longitud de expansión mínima, es decir, MST (I) ≤ 2MST (I).
Y juntando estas dos expresiones se llega a lo que se quería demostrar:
MST(I) ≤ 2MST (I) ≤ 2OPT (I).
Ejemplo 4.2. Se puede ver un ejemplo para este algoritmo en el Anexo D.1.
24 Capítulo 4. ALGORITMOS APROXIMADOS 4.2.4. MATCHING DE MÍNIMO PESO O ALGORITMO DE CHRISTOFIDES
Christofides propuso una nueva visión para el problema del TSP, que provenía del concepto de grafo euleriano ya mencionado en el apartado anterior.
La idea general es parecida a la del método del árbol de expansión mínima, donde se empieza con un árbol de mínima expansión, se duplican sus ramas para obtener un grafo euleriano y se busca el camino más corto o de menor coste usando “atajos”. Sin embargo, este nuevo método, en vez de conseguir el grafo euleriano duplicando las ramas del árbol de mínima expansión, plantea encontrar una mejor manera de generar un grafo euleriano que conecte las ciudades consiguiendo así mejores rutas para el TSP. Fue en 1976 cuando Christofides introdujo el concepto de matching de mínimo peso.
Definición 4.4. Dado un número par de vértices , un matching es una colección M de ejes, de modo que cada vértice es el extremo de un único eje en M. Y un matching de mínimo peso es un matching para el cual la longitud total de sus ejes es mínima. Estos matchings de mínimo peso se pueden encontrar en un tiempo O(n3).
En un árbol de expansión mínima T para un TSP, no todos los vértices tienen el mismo grado. Algu- nos son de grado par y otros, por el contrario, de grado impar. Además, hay que tener en cuenta que por definición la suma de todos los vértices de un grafo euleriano es par, por lo que debe haber un número par de vértices impares.
Ahora bien, debemos enfrentamos a la búsqueda de la solución del problema. Como ya se ha men- cionado, se empieza con un árbol de expansión mínima que contenga todos los vértices del conjunto dado y hay que convertir ese árbol en un grafo euleriano. En vez de duplicar todas las ramas del árbol, con el algoritmo de Christofides los únicos vértices que habrá que modificar son aquellos que tengan grado impar, añadiéndoles a éstos un matching. Esto incrementará en una unidad los grados de los vér- tices impares, quedando ahora todos con un número par de conexiones y por tanto, si se suma a T el matching de mínimo peso para los vértices impares, se obtiene un grafo euleriano con longitud mínima conteniendo a T , que es lo que se buscaba. Una vez obtenido esto se buscará, dentro de este nuevo grafo, el camino óptimo de la misma forma que se hacía con el método anterior.
En resumen:
Algoritmo de Christofides:
Suponemos un grafo F asociado al TSP.
a) Crear un “mininimum spanning tree” T de F - O(n2).
b) Obtener el conjunto de vértices de grado impar en el árbol T - O(n).
c) Encontrar un matching de mínimo peso (refiriéndonos a peso como a la distancia o coste total del recorrido) para los vértices de grado impar y añadirlo a T - O(n3).
Consiguiendo un grafo con todos sus vértices de orden par P, el cual será euleriano.
d) Buscar un tour euleriano para P - O(n).
e) Aplicar los “ atajos” para evitar repeticiones - O(n).
El tiempo de ejecución del algoritmo está dominado por el tiempo de búsqueda del matching en el paso c, por lo que el tiempo de ejecución es O(n3).
TFG - Leire Alfaro Goicoechea 25 Teorema 4.3. Para toda entrada I del TSP que cumpla la desigualdad triangular, se cumple:
C(I)<32OPT(I)
Demostración. Por definición del algoritmo de Chistofides, se tiene que la longitud del camino conse- guido por este método es igual a la suma de la longitud del árbol de expansión mínima y la longitud del matching, es decir, C(I) = MST (I) + M(I).
Sabemos que MST (I) < OPT (I). Además, el ciclo óptimo produce dos matchings M y M0 entre los nodos impares, cuya suma de longitudes es menor o igual que la longitud del ciclo óptimo, es de- cir, M(I) + M0(I) ≤ OPT (I). Esto se debe a que cada conexión del matching satisface la desigualdad triangular y, por tanto, uno de los matchings siempre tendrá menor longitud que el otro implicando M(I) ≤ M0(I) ≤ OPT (I)/2.
Juntando todas las condiciones se llega a que
C(I) =< MST (I) + M(I) < OPT (I) + OPT (I)/2 = 3
2OPT(I).
Nota: Siendo en este caso MST (I) la longitud del árbol de expansión mínima conteniendo a I, C la longitud del camino conseguido mediante el algoritmo de Chistofides y OPT (I) la solución óptima del TSP.
Ejemplo 4.3. Se puede ver un ejemplo de este algoritmo en el Anexo D.2.
Hasta ahora todos los algoritmos heurísticos estudiados han sido constructivos. Sin embargo, existen otros como son los heurísticos de búsqueda local en el problema del viajante o métodos combinados que no se tratarán en este trabajo.
