Calculo Diferencial-jesus Del Valle

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

Elementos Básicos de

CCCCCálc

álc

álc

álculo D

álc

ulo D

ulo D

ulo Dif

ulo D

if

if

iferencial

if

erencial

erencial

erencial

erencial

Jesús del Valle Sierra

Jesús del Valle Sierra

Jesús del Valle Sierra

Todos los derechos reservados. No se permite la reproducción, archivo o transmisión total o parcial de este texto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquier otro sin permiso de los editores Ude@.

Impreso en Medellín, Colombia.

Imagen de la portada

Fotografía de la escultura «El coqueteo»

Escultura elaborada en bronce policromado a la cera perdida. «El coqueteo» y «El beso», ambas ubicadas frente al Museo Universitario, pertenecen a la colección Expresiones. Su autor, Gabriel Vélez Calle, fue el Artista Invitado a la Bienal Especializada en Arte: Primer Salón Nacional de Escultura 2004.

Jesús del Valle Sierra

Acerca del autor

Jesús del Valle Sierra

Matemático de la Universidad de Antioquia (1977), especialista en Matemáticas Avanzadas de la Universidad Nacional de Colombia (Sede Bogotá, 1987). Actualmente se desempeña como Coordinador de Cur-sos de Servicio del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Antioquia. Correo electrónico: [email protected]

Como estudiante del programa de Educación no presencial de la Universidad de Antioquia, Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendi-zaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería.

Los cursos Ude@ permiten fortalecer estas características mediante el desarrollo de diferentes actividades1_.

„ Estudio individual, apoyado en diferentes medios (impresos, audiovisuales, multimedia).

„ Estudio en grupo y acompañamiento del profesor a través del aula virtual. „ Tutorías presenciales, cuya finalidad es apoyar el aprendizaje y afianzar los

temas estudiados.

El texto Ude@

En el modelo Ude@ los contenidos educativos son aportados por cada medio te-niendo en cuenta las fortalezas propias de cada uno de ellos. Desde el punto de vista pedagógico, el texto impreso es por tradición un medio idóneo para los procesos de educativos ya que facilita el aprendizaje de hechos, la compresión de principios generalizados o abstractos y el desarrollo del razonamiento lógico. En estos aspec-tos, el texto Ude@ es un medio muy eficaz para desarrollar y adquirir tales destrezas.

Estructura del texto

El texto Elementos Básicos de Cálculo Diferencial ha sido desarrollado como parte del material educativo de los estudiantes del programa; sin embargo, su contenido puede ser de gran utilidad para cualquier persona que desee estudiar este tema. La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica.

La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos o temas. Al empezar cada capítulo se encuentra un «Contenido breve» que muestra el número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, una introducción, los objetivos de aprendizaje, unas preguntas básicas (relacionadas con los conocimientos previos requeridos) y el índice temático del contenido, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase.

Los iconos y la interrelación de medios

El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (audiovisuales, web, multimedia, videoconferencias), con enlaces entre los mismos. La esencia de estos enlaces está dada por los iconos Ude@.

Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráfi-cos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios.

Sugerencias para los estudiantes

En la lectura del libro:

„ Antes de iniciar el estudio de un capítulo, lea el contenido breve y la presen-tación.

„ Trate de resolver las preguntas básicas de cada módulo; estas preguntas están diseñadas para ayudarle a comprender los conceptos o temas presentados a lo largo del mismo.

„ Lea los ejemplos intercalados en los bloques de texto y trate de resolver los ejercicios con el fin de mejorar sus habilidades en la solución de problemas reales.

„ Complemente la lectura del libro con las herramientas de comunicación que posee en el aula virtual y en su correo electrónico.

„ Recuerde que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso tam-bién existe material disponible en otros medios, y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se re-pite sino que se complementa.

En el aula virtual:

„ Aprenda cómo funcionan las herramientas indispensables para participar en un curso por red: sistema de correo electrónico, sistema de chat, grupos de discusión, búsquedas en Internet, consulta en bases de datos especializadas, entre otras.

„ Revise el correo electrónico todos los días.

„ Visite con relativa frecuencia el sitio Ude@ y la plataforma donde se publica el curso en Internet para enterarse de cualquier nueva información. Apóyese en la red como un sistema de consulta y establezca criterios para seleccionar la información requerida.

„ Desarrolle, en la primera semana, las actividades preparativas para el curso indicadas en el aula virtual.

„ Dedique al menos tres horas semanales por cada crédito asignado a un curso para leer los módulos, realizar trabajos, participar en los foros de discusión y presentar evaluaciones, de acuerdo con lo establecido en el cronograma. „ Planee su agenda personal para participar activamente en cada curso y

entre-gar oportunamente sus tareas. En caso de algún imprevisto, debe comunicarse inmediatamente con el tutor.

„ Participe de las actividades propuestas para realizar en forma individual y en grupos de trabajo. Haga parte de grupos de trabajo conformados con sus compañeros de curso y en ningún caso pretenda realizar todas las actividades sin ayuda de los demás.

„ Manifieste oportunamente a sus compañeros y al profesor las dificultades que se le presentan con las actividades propuestas.

„ Elabore su propio horario de trabajo independiente para el curso y cumpla con el cronograma del curso.

„ Realice con honradez las actividades de evaluación, autoevaluación y co-evaluación que encuentre programadas en el curso.

„ Durante su proceso de aprendizaje trate de adquirir autonomía con el conoci-miento, es decir, intente construir nuevos conocimientos recurriendo a fuen-tes de información bibliográfica y a sus habilidades de comparación, análisis, síntesis y experimentación.

„ Mantenga una actitud de colaboración con compañeros, tutores y monitores, y esté siempre dispuesto a realizar las actividades de aprendizaje.

„ Relaciónese de manera respetuosa y cordial con los demás estudiantes, con el tutor y con los monitores.

Objetivos generales Objetivos generales Objetivos generales Objetivos generales Objetivos generales

1. Familiarizar al estudiante con el lenguaje propio del cálculo (el análisis matemático) y hacerle notar la ne-cesidad de dicho lenguaje cuando se aborda el estu-dio de cualquiera de sus áreas.

2. Manejar apropiadamente el cálculo de funciones de una variable real, así como los conceptos fundamen-tales relacionados con ellas: límite, continuidad y deri-vada.

3. Indicar las diferentes etapas y estrategias que pueden emplearse cuando se analiza una situación problemá-tica y se busca llegar a su solución. Evidenciar la ne-cesidad de distinguir con claridad cuáles son los da-tos y cuáles son los resultados pedidos; así mismo, diferenciar claramente, en los teoremas, las hipótesis y las tesis.

4. Facilitarle al estudiante, mediante el desarrollo teórico de los temas, el trazado de curvas con todos sus ele-mentos básicos: dominio, rango, asíntotas, máximos, mínimos, concavidad, etc.

5. Desarrollar en el estudiante, mediante modelos pro-pios de la ingeniería, la capacidad de plantear y resol-ver problemas de optimización.

6. Conocer el concepto fundamental del cálculo, como es el límite de una función, puesto que éste no sola-mente aparece en los temas siguientes del curso (con-tinuidad, derivación e integración), sino también en los temas de los cursos de Cálculo II y Cálculo III (series, funciones de varias variables, integrales múl-tiples y cálculo vectorial).

7. Establecer los fundamentos y nexos requeridos con los proyectos de aula que tiene este curso como prerre-quisito o correprerre-quisito, especialmente con Cálculo II, Cálculo III y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 8. Diseñar situaciones problema integrales que faciliten la intervención del mayor número posible de elemen-tos teóricos básicos, mostrando la necesidad de es-tablecer relaciones adecuadas entre ellos para su uti-lización óptima.

9. Proponer situaciones problema que involucren

pro-10. Mostrar en el desarrollo temático del curso, cómo se articula la teoría, introduciendo las definiciones co-rrectas que surgen de manera natural para designar relaciones y demostrar los teoremas más importantes.

Objetivos específicos Objetivos específicos Objetivos específicos Objetivos específicos Objetivos específicos

1. Establecer inicialmente de una manera intuitiva, por medio de ejemplos, el concepto más importante del cálculo: el límite. Notar cómo en el mapa conceptual del curso aparece la palabra límite en el centro y los temas principales emanan de ella.

2. Establecer la definición rigurosa (definición de Cauchy) del límite de una función (conocida como la forma

G

  ) y cuál es su significado geométrico en el pla-no cartesiapla-no.

3. Ilustrar la definición rigurosa de límite por medio de los plantemientos desarrollados en la Grecia antigua (siglo III a.C.) y los métodos sistemáticos de Newton y Leibniz veinte siglos después.

9. Presentar la definición precisa de la derivada de una función, su interpretación geométrica y física, y las distintas notaciones que se usarán durante el curso. 10. Destacar la relación existente entre derivabilidad y continuidad mediante un teorema, cuyo contrarrecí-proco establece un criterio de discontinuidad. 11. Mostrar con ejemplos gráficos el significado de las

expresiones «ser derivable» y «no ser derivable», y cómo influyen en el grado de suavidad de una curva. 12. Establecer las propiedades de las funciones deriva-bles (reglas de derivación) y cómo usarlas en la solu-ción de ejercicios.

13. Mostrar cómo el operador derivada puede aplicarse de manera reiterada a una función, generando las lla-madas derivadas de orden superior y, de esta forma, dar sentido a la expresión: «función n-veces derivable». 14. Introducir la noción de derivada implícita y la forma de usarla para calcular la derivada de una función, sin necesidad de despejar la variable y como función

16. Combinar adecuadamente las funciones _ex

yexpara generar las funciones hiperbólicas, sus derivadas y algunas aplicaciones a la ingeniería: la catenaria. 17. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites

infinitos y límites al infinito, y su significado geomé-trico en el plano cartesiano.

18. Introducir la noción de asíntota (horizontal, vertical y oblicua) y su relación con los límites infinitos y lí-mites al infinito.

19. Presentar las formas indeterminadas 0

0 o f

f, y cómo

eliminarlas usando la llamada regla de L´Hopital. 20. Reducir otras formas indeterminadas: f  f 0 ,, f 0

0 ,

0

,

f 1 ,f _{a una de las formas} 0

0 o f

f y aplicar la regla

de L’ Hopital.

21. Usar la derivación en el trazado de curvas en lo con-cerniente a la determinación de extremos absolutos, extremos relativos, análisis de monotonía y análisis de concavidad.

22. Ilustrar con ejemplos el trazado de curvas, usando

ade-23. Ilustrar con ejemplos el uso de la derivada en proble-mas de optimización que son de relevancia en diferen-tes áreas de la ingeniería.

24. Usar la derivada como razón de cambio en problemas de variables ligadas, las cuales presentan variación con respecto al tiempo.

25. Intentar dar un significado a la notación de Leibniz

dy dx § · ¨ ¸

© ¹ para la derivada, no como un símbolo

comple-to, sino como símbolos separados dy y dx . 26. Deducir las fórmulas diferenciales a partir de las reglas

de derivación y usarlas en la solución de problemas de aproximaciones y en la estimación de errores en al-gunos problemas característicos en las ciencias.

Capítulo 1:

Límite de funciones de

variable real

Pág. 19

Tabla de contenido

Módulo 1

Noción intuitiva del límite 21

Módulo 2

Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función 27 Módulo 3

Escogencia del delta (δ) dado el épsilon ( ) 31 Módulo 4

Teoremas sobre límites 35

Módulo 5 Límites laterales 41 Ejercicios Capítulo 1, módulos 1 al 5 45

Capítulo 2:

Continuidad de funciones

de variable real

Pág. 59 Módulo 6

Idea intuitiva y definición de función continua 61 Módulo 7

Teoremas sobre funciones continuas 67

Módulo 8 Continuidad en un intervalo 71 Ejercicios Capítulo 2, módulos 6 al 8 74

Capítulo 3:

Derivación de funciones de

variable real

Pág. 81 Módulo 9

Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y 83 notación

Módulo 10

Relación derivada-continuidad y derivadas laterales 89 Módulo 11

Reglas de derivación 95

Módulo 12

Derivadas de orden superior y derivación implícita 105 Módulo 13

Módulo 15

Límites al infinito y asíntotas de una curva 137 Módulo 16

Límites infinitos y asíntotas verticales 149

Módulo 17

Asíntotas oblicuas 155

Módulo 18

Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital 159 Módulo 19

Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos 167 Ejercicios Capítulo 3, módulos 9 al 19 188

Capítulo 4:

Aplicaciones de la derivada

Pág. 195 Módulo 20

Interpretaciones geométrica y física de la derivada 197 Módulo 21

Valores extremos de una función de variable real 209 Módulo 22

Teorema del valor medio (TVM) para derivadas 221 Módulo 23

Criterio de la primera derivada 229

Módulo 24

Criterio de la segunda derivada 237

Módulo 25

Análisis y trazado de curvas 247

Módulo 26

Problemas de máximos y mínimos 267

Módulo 27

La derivada como razón de cambio 277

Módulo 28

La diferencial 287

Ejercicios

Apéndice:

Pág. 303

Apéndice I

El sistema de los números reales 303

Apéndice II

La línea recta 323

Apéndice III

Prólogo

Consciente de la gran cantidad de textos de cálculo que invade el mercado universi-tario, y atendiendo la solicitud del profesor Guillermo Ospina a nuestro Departamento de Matemáticas, he decidido recopilar en este primer texto lo que, a mi juicio, debe ser un curso inicial de esta materia para cualquiera de las carreras de ingeniería. Como docente que he sido de los cursos de Cálculo I, Cálculo II y Cálculo III que nuestro Departamento sirve a la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Antioquia, lo que he hecho es recoger e integrar los tópicos básicos del curso Cálculo I (límite, continuidad y derivada) en una forma coherente, racional y metodológica. Así por ejemplo, he considerado que los límites al infinito y límites infinitos están íntimamente ligados con el concepto de asíntota de una curva, al igual que con la regla de L’Hopital que permite la evaluación de los mismos. Por esta razón, presento dichos temas en los módulos 15 a 18. Igualmente, en la deducción de las fórmulas para las derivadas de las funciones inversas (módulos 13 y 14) se hace uso de la definición y de la derivación implícita, método que, según mi parecer, asimila más fácilmente el estudiante que el proporcionado por el teorema de la derivada de la función inversa que aparece al final del apéndice III.

El texto está escrito en el lenguaje normal de nuestros cursos de cálculo. Las defini-ciones (muchas de ellas presentadas de manera intuitiva) y teoremas, están seguidos de observaciones y ejemplos gráficos que ayudan a su comprensión. Al final de cada capítulo aparece una colección de ejercicios resueltos en cuyos procedimientos se dan pautas para que el estudiante resuelva luego los ejercicios propuestos que apa-recen a continuación.

Las preguntas básicas en cada uno de los módulos pueden responderse después de estudiado el módulo correspondiente. Con ellas se busca medir el grado de aprendi-zaje del mismo por parte del estudiante, así como también empezar a prepararlo para las pruebas tipo ECAES que debe presentar para la cualificación profesional respec-tiva.

Al final del texto he adjuntado tres apéndices, cuyos contenidos ayudan a compren-der los conceptos básicos del cálculo. Estos tres apéndices, al igual que la mayor parte de los contenidos del curso, se encuentran en la página web http:// huitoto.udea.edu.co/Matematicas/, en el material que he elaborado para el programa de Matemáticas de la carrera de Ingeniería de Sistemas.

Agradezco los comentarios positivos que ayuden a mejorar una futura edición. To-dos serán bien recibiTo-dos en la dirección [email protected]

1

Límite de

funciones de

variable real

Capítulo 1

Presentación

Los temas tratados hasta ahora en el curso de Álgebra y Trigonometría de esta misma serie constituyen lo que se conoce como precálculo; es decir, proporcionan las herramientas básicas para el cálculo, pero no son cálculo. Nuestro propósito ahora es establecer inicialmente de una manera intuitiva por medio de ejemplos, y posteriormente mediante la definición precisa, el concepto más importante del cál-culo, como es el límite. Algunos autores definen el cálculo como el estudio de los límites. La noción de límite no solamente aparece en los temas siguientes del cálculo que se presentan en este curso (continuidad, derivación e integración), sino tam-bién en los temas de próximos cursos de cálculo (series, funciones de varias varia-bles, integrales múltiples y cálculo vectorial). El mapa conceptual que se adjunta tiene la palabra límite en el centro, y se ve cómo los temas principales del cálculo emanan de él. Contenido breve Contenido breve Contenido breve Contenido breve Contenido breve Módulo 1

Noción intuitiva del límite Módulo 2

Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función

Módulo 3

Escogencia del delta (δ) dado el épsilon(



)

Módulo 4

Teoremas sobre límites Módulo 5

Límites laterales Ejercicios

Capítulo 1, módulos 1 al 5 La velocidad en caída libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por v - 1 .

k

_e

§ · ¨ ¸ ¨ ¸ © kt4¹ 64 pies = 1 seg

El limt_of 64 pies_seg

v

k se conoce con el nombre de velocidad terminal, la cual depende de k (k = 3: posición de águila extendida; k

Introducción

Entre todos los conceptos del cálculo infinitesimal, el de límite es sin duda el más importante y quizás también el más difícil. Por esta razón iniciamos su estudio de una manera intuitiva. Lo que vamos a definir no es la palabra «límite» sino la noción de función que tiende hacia un límite.

Objetivos del módulo

1. Empezar a familiarizar al estudiante con el lenguaje propio del cálculo y hacer ver la necesidad de dicho lenguaje al abordar el estudio de cualquiera de sus áreas. 2. Establecer de una manera intuitiva el concepto más importante del cálculo: el

lí-mite de una función.

Preguntas básicas

1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso: si f (a) no existe, ¿entonces

 

lim xoa f x no existe? 2. Considere la función

 

2 2 . 2 x x f x x    a. ¿Existe f (2)?

b. Elabore una tabla de valores de f (x), con x cercanos a 2 (por ejemplo, x =2.1, 2.01, 2.001, 1.9, 1.99, 1.999) y de esta forma estime el valor del límite lim ( )._xo2f x

Contenidos del módulo

1.1 Noción intuitiva del límite

1

Noción intuitiva del límite

Maria Gaetana Agnesi

Maria Agnesi nació en Milán el 16 de mayo de 1718 y murió en esa misma ciudad el 9 de enero de 1799.

Una caída con altura

Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la sección Sitios de Interés del curso Elementos Básicos de Cálculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/ lms/moodle/

1.1 Noción intuitiva del límite

Nuestro propósito ahora es acercarnos intuitivamente a la definición rigurosa del límite de una función.

Considérese la función definida por

2 2 1 ( ) , con 1 1 x x y f x x x   _z  . El único

va-lor para el cual f (x) no está definida es x = 1, pero en puntos tan cercanos a 1 como se quiera la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿se aproxima f (x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1? En la tabla 1 se hace un seguimiento de f (x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha (valores mayores que 1).

Tabla 1. Valores de f (x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha

La observación atenta de la tabla 1 sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida que los valores de x se «acercan» a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f (x) se «acercan» a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:

El límite de la función f (x) es 3 cuando x tiende a 1.

La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas

( ) 3

f x o cuando xo1 (se lee: f (x) tiende a 3 cuando x tiende a 1). O también,

1

lim ( ) 3

xo f x (se lee: el límite de f (x), cuando x tiende a 1, es 3).

De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra límite, se dice que:

lim ( )

xoaf x L, si se puede hacer que f (x) esté tan «cerca» de L como se quiera,

haciendo que x esté suficientemente «cerca» de a, pero siendo distinta de a. Volviendo al ejemplo inicial, supóngase que se quiere que f (x) difiera de 3 en valor absoluto en menos de 1. Es decir, se quiere que:

Vea el módulo 1 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Acercarse a 1 por la izquierda

5 2 x 0 f (x) 0.30.50.75 0.90.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 1 1.0001 1.0005 1.001 1.005 1.01 1.05 1.1 1.25 1.5 1.7 1.6 2 2.5 2.82.9 2.98 2.99 2.998 2.999 2.9998 NO DEF 3.0002 3.001 3.002 3.01 3.02 3.1 3.2 3.5 4 4.4 1

Acercarse a 1 por la derecha

* *

** **

( ) 3 1.

f x   (1)

Pregunta

¿Cómo elegir los valores de x para que se cumpla (1)?

En primer lugar, nótese que la desigualdad (1) puede escribirse en las formas equi-valentes: ( ) 3 1 1 ( ) 3 1, 2 ( ) 4. f x f x f x   œ     œ   (2)

En la tabla 1 se señalaron con asterisco (*) los valores de x para los cuales f (x) = 2 y f (x) = 4. Para que la desigualdad (2) se cumpla, nótese que se pueden elegir los valores de x de tal modo que

0.5 x 1.5, xz1, (3) o equivalentemente, 0.5 x 1.5, xz1 œ0.5 1   x 1 1.5 1, xz1, 0.5 x 1 0.5, x 1, œ     z 1 0.5, 1, x x œ   z 0 x 1 0.5. œ    (4)

El anterior procedimiento nos indica que para que se satisfaga la desigualdad (2) basta que se satisfaga la desigualdad (4). Esto es,

si 0  x 1 0.5, entonces f x( ) 3 1. (5)

Supóngase ahora que se quiere que f x( ) 3 0.01. (6) La pregunta que surge nuevamente es la siguiente: ¿cómo elegir los valores de x para que se cumpla (6)?

Un procedimiento similar al del caso anterior permite escribir la desigualdad (6) en la forma equivalente

( ) 3 0.01 2.99 ( ) 3.01.

f x   œ  f x  (7)

En la tabla se señalaron con doble asterisco (**) los valores de x para los cuales f (x) = 2.99 y f (x) = 3.01.

Ahora, para que la desigualdad (7) se cumpla, los valores de x deben elegirse de tal manera que:

0.995 x 1.005, xz1 œ0.995 1   x 1 1.005 1, xz1,

Módulo 1: Noción intuitiva del límite

Maria Gaetana Agnesi

Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, Maria Agnesi fue la mayor de seis hermanos (cuatro hermanas y dos hermanos). En 1738 le publicaron Propositiones philosophicae, que abordaba los problemas de filosofía natural que habitualmente se discutían en los salones. Después escribió el libro Instituciones analíticas al uso de la juventud italiana, en el que explicaba una parte novedosa de las matemáticas: el cálculo analítico. El libro tuvo muy buena crítica. Se dedicó en profundidad al estudio del álgebra y la geometría y nueve años más tarde aparecieron publicadas las Instituzioni analitiche, sin duda la obra más importante de toda su carrera como matemática. Fue editado en varios idiomas y se utilizó como manual universitario en las universidades de distintos países, siendo aún cincuenta años más tarde el texto matemático más completo. Se encargó en Italia de los cursos de su padre, convirtiéndose así en la primera mujer de la historia que había dado clase de matemáticas en una institución de este nivel.

El primer texto que incluyó el cálculo diferencial e integral, junto a la geometría analítica, las series infinitas y las ecuaciones diferenciales, fue escrito en la década de 1740 por la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi.

0.005 x 1 0.005, x 1,

œ     z

0 x 1 0.005.

œ    (8)

Esto nos indica nuevamente que para que se cumpla la desigualdad (7) es suficiente que se cumpla la desigualdad (8). Esto es,

si 0  x 1 0.005,entonces f x( ) 3 0.01. (9) De manera similar a las dos preguntas anteriores, se podría preguntar cómo elegir los valores de x de tal forma que la diferencia f x( ) 3 sea menor que cualquier número positivo, tan pequeño como se quiera. Se usa frecuentemente la letra griega

 (épsilon) para denotar tales números positivos.

La pregunta entonces formulada de manera general sería la siguiente: ¿para cuáles valores de x, xz1, se cumple que f x( ) 3  ?

Un procedimiento similar al desarrollado en los dos casos anteriores permite verifi-car que es suficiente elegir los valores de x de tal manera que la diferencia x1sea menor que cierto número positivo, corrientemente denotado por la letra griega G (delta).

Resumiendo:

Si 0  x 1 G, entonces f x( ) 3  .

La cantidad de ensayos que se pueden efectuar con valores pequeños dados de  es innumerable y no se demostraría nada con respecto a la existencia del límite de f (x). Sólo serviría para convencernos intuitivamente de que f (x) tiende al valor 3 cuando x tiende a 1. Únicamente cuando se logre demostrar que para cualquier número positivo  dado, existe al menos otro número positivo G tal que si

0  x 1 G, entonces f x( ) 3  , se le dará a nuestra intuición una formula-ción exenta de ambigüedades.

Observación

Muchas veces las cosas no son tan simples como parece en la noción intuitiva del límite de una función. En algunos casos el uso de la calculadora puede desorientar-nos, así como también nuestra propia intuición.

Así por ejemplo, si deseamos calcular lim_xo0ª«x2_10.000cosx º»

¬ ¼, y usamos la calculadora,

se puede construir la tabla 2 que aparece a continuación: Escuche el audio Historia del cálculo en las

culturas antiguas en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Tabla 2. Valores de la función, cuando x se aproxima a 0

Módulo 1: Noción intuitiva del límite

2 cos 10.000 x x  x ± 0.1 · · · ± 0.01 ± 0.5 ± 1 0 0.99995 · 0.24991 0.00990 0.000000005 · · ?

Si nos guiamos por la tabla, nuestra intuición nos llevará a concluir que

2 0 cos lim 0. 10.000 x x x o ª _ º « » ¬ ¼

Pero dicho resultado es incorrecto, ya que cerca de 0 la función coseno toma el valor 1. Así que:

2 2 0 cos 1 lim 0 0.0001. 10.000 10.000 x x x o ª _ º _{ } « » ¬ ¼

Definición de Cauchy (rigurosa) del límite

de una función

2

Introducción

En este módulo se precisan matemáticamente las ideas expuestas en forma intuitiva en el módulo 1. Es conveniente tener en cuenta que en un primer curso de cálculo no es muy importante familiarizarse con la definición rigurosa ya que a la misma matemática le costó más de 100 años precisarla como se conoce actualmente. Sin embargo, el trabajo intuitivo del módulo anterior nos permitirá, al menos, entender su contenido.

Objetivos del módulo

1. Establecer la definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función y su sig-nificado geométrico en el plano cartesiano.

Preguntas básicas

Diga si los dos enunciados siguientes son verdaderos o falsos:

1. ¿0   œ x 3 2 x

 

1.5 ?

2. ¿  1 x 5 y xz œ   2 0 x 2 3?

Contenidos del módulo

2.1 Definición de límite

Augustin Louis Cauchy

Augustin Cauchy nació el 21 de agosto 1789 en París y murió el 24 de mayo de 1857 cerca de esa misma ciudad, en Sceaux.

Escuche el audio Newton, el cálculo, la luna y las manzanas en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

2.1 Definición de límite

Sea a un punto de un intervalo abierto I, y sea f (x) una función definida en I excepto posiblemente en el punto a. El límite de f(x) cuando x tiende al punto a es un real L y se escribe lim ( )_xoa f x L, si y solamente si para cada  !0 existe un G !0 tal que para todo xI, f x( )  L siempre que 0  x a G. (1) Observaciones

1. La implicación (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes:

0   Ÿx a G f x( )  L , ( ) , x a  š z Ÿ  G x a f x   L ( ) , x a x a L f x L G G     š z Ÿ       ( ) , a    š z Ÿ  G x a G x a L f x   L



,



, ( )



,



. x a G aG xz Ÿa f x   L L

La figura 2.1 ilustra gráficamente el significado de  y G en esta última implicación. Obsérvese que para aquellos x que pertenecen al intervalo (aδ, a + δ), los corres-pondientes f (x) pertenecen al intervalo (L∈, L + ∈).

Vea el módulo 2 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

2. El límite de una función no depende del valor de la función en el punto, aun-que algunas veces coincide, sino del valor de la función en las «cercanías» del punto.

Así por ejemplo, considérese la función f definida por:

2 2 1 si 1 ( ) ₁ 5 si 1 x x x f x x x ­   _z ° _ ® ° ¯

Vimos intuitivamente en la sección 1.1 que lim ( )₁ 3

xo f x ; sin embargo, f (1) = 5. Nótese que



 

 

2 _{2 1 1} 2 1 ( ) 2 1 si 1. 1 1 x x x x f x x x x x     _{ z}  

De esta forma la función f (x), después de simplificarla, se puede escribir así:

2 1 si 1 ( ) 5 si 1 x x f x x  z ­ ® ¯

Su gráfica aparece en la figura 2.2. Nótese que los valores de f (x) están cerca de 3, cuando los valores de x están próximos a 1.

Figura 2.2

3. La definición de límite no establece la manera de determinar el δ para un ∈ dado. En las demostraciones sobre límites el procedimiento está orientado a dejar en claro cómo se puede determinar dicho δ. Algunas veces, como en los dos ejemplos de la sección siguiente, se puede establecer una relación entre δ y ∈ que satisface la definición y esto es suficiente para dar por terminada la demostración.

Módulo 2: Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función

.

Augustin Louis Cauchy

Augustin Cauchy no sólo fue uno de los impulsores del análisis en el siglo XIX, sino que también investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Cauchy precisó los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir, curvas sin tangentes.

Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, la teoría de las funciones complejas, las secuencias de Cauchy y las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Cauchy produjo 789 escritos, pero fue desaprobado por la mayoría de sus colegas. Mostró una obstinada rectitud a sí mismo y un agresivo fanatismo religioso.

Introducción

En este módulo se incluyen dos ejemplos que le enseñan al estudiante a encontrar elG apropiado con el  dado. No se pretende con ellos dar un esquema general de demostración, sino, más bien, ilustrar el método directo de demostración.

Objetivos del módulo

1. Ilustrar la definición rigurosa de límite por medio de ejemplos, en los cuales dado el , se pide encontrar el correspondiente G en concordancia con la definición.

Preguntas básicas

1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso (antes de responder, conside-re algunas propiedades del valor absoluto):

¿Si 2 1, y 2 5      x x _{, entonces x}2  ₄ ?

Contenidos del módulo

3.1 Ejemplo 1 3.2 Ejemplo 2

Escogencia del delta (

G

) dado el épsilon ( )

3

El término elongación se utiliza en mecánica para indicar estiramiento de un resorte (dispositivo fabricado con un material elástico, que experimenta una deformación significativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza). En el bungee jumping, por ejemplo, este dispositivo suele estar arrollado y su elongación es proporcional a la fuerza aplicada, con lo que el resorte puede calibrarse para medir dicha fuerza.

Relación épsilon-delta

Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la sección Sitios de Interés del curso Elementos Básicos de Cálculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/lms/moodle/



3.1 Ejemplo 1

Usando la definición del límite de una función, demuestre que

2 1 2 1 lim 3. 1 x x x x o    Solución/Análisis preliminar

Sea ∈ un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un G!0tal que si 0  x 1 G, entonces 2 2 1 3 . 1 x x x    (1)

Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1).

2 2 1 (2 1)( 1) 3 3 1 ( 1) x x x x x x   _{  œ}   _{  }   (factorizando), (2x 1) 3

œ     (simplificando, puesto que x1z0),

2x 2 , œ    1 1. 2 x  x œ   š z (2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger

2

G  (cualquier valor menor funciona). Solución/Prueba formal Dado !0, existe 0 2 G ! tal que: 0  x 1 G Ÿ   š zx 1 G x 1, 1 1, 2 x  x Ÿ   š z 2x 2 x 1, Ÿ    š z (2x 1) 3 x 1, Ÿ     š z (2 1)( 1) 3 , ( 1) x x x   Ÿ _    2 2 1 3 . ( 1) x x x   Ÿ    

Vea el módulo 3 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

El significado de la dependencia entre el  y el G es la siguiente: si una persona A rodea al valor y = 3 con una banda de ancho , entonces B rodea el valor x = 1 con una banda de ancho δ = ∈/2.

En particular, si en este ejemplo A escoge un ∈ = 0.01, entonces B responderá con un δ = 0.005. Si A propone ∈ = 0.0002, B escogerá δ = 0.0001 (cualquier valor menor también cumple). La gráfica de la función 2 2 1 ( ) 1 x x y f x x  

 es la misma que corresponde a la

recta de ecuación y 2x 1, con xz1.

En la figura 3.1 aparece la gráfica de la función dada. Nótese que si el ancho de la banda alrededor del punto y = 3 es , entonces el ancho de la banda alrededor del punto x = 1 es δ = ∈/2.

Figura 3.1

3.2 Ejemplo 2

Usando la definición del límite de una función, demuestre que

2 2

lim ( 4 7) 5.

xo x   x

Solución/Análisis preliminar

Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un G !0 tal que si

0   x ( 2) G, entonces (x2    4x 7) 5 . (1) Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1). Esto es,

2

(x     4x 7) 5 œ _x2 _{4x 12 (x}_6)(x₂₎  _,

6 2 .

x x

œ  ˜    (2)

G 

factor x6 .

Para ello, podemos asumir inicialmente que x 2 1.

Así que x 6 (x  d     2) 8 x 2 8 1 8.

Esto es, x  š   Ÿ 6 9 x 2 G x 6 x 2 9 .G (3)

Comparando las desigualdades (2) y (3) se puede escoger G / 9 (cualquier valor menor funciona).

Solución/Prueba formal

Dado ∈ > 0, existe δ d mínimo 1,

9  § · ¨ ¸ © ¹ tal que: 0 2 2 1 2 , 9 x G x x     Ÿ   š   6 ( 2) 8 2 8 9 2 , 9 x x x x  Ÿ    d     š   6 2 9· , 9 x x  Ÿ  ˜   6 2 , x x Ÿ  ˜    2 _{4 12 ,} x x Ÿ     2 (x 4x 7) 5 . Ÿ     

Introducción

En este módulo se presentan, sin demostración, los teoremas más importantes del álgebra de los límites funcionales. Estos teoremas son al mismo tiempo herramien-tas útiles que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición.

Objetivos del módulo

1. Establecer las propiedades de los límites de funciones (álgebra de límites) y la forma de usarlas en la solución de ejercicios.

2. Establecer la primera forma indeterminada y la manera de eliminarla factorizando y/o racionalizando.

Preguntas básicas

Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

1. Si no existen los límites lim ( )_xoa f x y lim ( )_xoag x , ¿pueden existir lim_{x a}

>

f x( ) g x( )

@

o 

y lim ( ) ( )

xoa f x g x ?

2. Si existen los límites lim ( )_xoa f x y lim

>

( ) ( )

@

xoa f x g x , ¿debe existir lim ( )xoag x ?

3. Si existe lim ( )_xoa f x y no existe lim ( ),_xoag x ¿puede existir lim

>

( ) ( )

@

xoa f x g x ?

4. Si existen los límites lim ( )_xoaf x y lim ( ) ( ),_xoaf x g x ¿se sigue de ello que existe

lim ( )

xoag x ?

Contenidos del módulo

4.1 Teorema 1: Unicidad del límite 4.2 Teorema 2: Álgebra de límites

4.3 Teorema 3: Límite de funciones iguales 4.4 Teorema 4: Teorema del sánduche

Teoremas sobre límites

4

René Descartes

René Descartes nació en La Haye (hoy llamada Descartes) el 31 de marzo de 1596 y murió en Estocolmo el 11 de febrero de 1650.

4.1 Teorema 1: Unicidad del límite

Si lim ( ) 1

xoa f x L y lim ( )xoa f x L2, entonces L1 L2.

En palabras: si una función tiene límite en un punto a, dicho límite es único. Una manera equivalente y de uso práctico de enunciar el teorema 1 es la siguiente: si lim ( )_xoa f x L1 y lim ( )_xoa f x L2 y L₁zL₂, entonces lim ( )_xoa f x no existe.

4.2 Teorema 2: Álgebra de límites

Sea n un entero positivo, K una constante real y f y g funciones tales que lim_xoa f x( )y

lim ( )

xoag x existen. Entonces:

1. lim_{x a}K K.

o (el límite de una constante es la constante)

2. lim_{x a}x a.

o (límite de la función identidad)

3. lim_{x a}K f x( ) K lim ( )._{x a} f x

o ˜ ˜ o (toda constante puede salir del límite)

4. lim

>

( ) ( )

@

lim ( ) lim ( ).

xoa f x g x xoa f x xoag x

(el límite de una suma de funciones es la suma de los límites)

5. lim

>

( ) ( )

@

lim ( ) lim ( ).

xoa f x g x xoaf x xoag x

(el límite de la diferencia de funciones es la di-ferencia de los límites)

6. lim

>

( ) ( )

@

lim ( ) lim ( )

xoa f x g x˜ xoaf x ˜xoag x

(el límite de un producto es el producto de los límites) 7. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x g x g x o o o

siempre que lim ( )_xoag x z0

(el límite de un cociente es el cociente de los límites) 8. lim

>

( )

@

lim ( ) n n xoa f x xoa f x ª º

¬ ¼ (el límite de una función potencial es la potencia del límite)

Vea el módulo 4 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Consecuencias del teorema 2 (C.L.) Si lim 1( ), lim 2( ),..., lim n( )

xoa f x xoa f x xoaf x existen, entonces son válidas las siguientes

dos reglas (C.L1, C.L2): C.L.1

>

1 2

@

1 2

lim ( ) ( ) .... _n( ) lim ( ) lim ( ) .... lim _n( ).

xoa f x r f x r rf x xoaf x r xoa f x r rxoa f x

C.L.2

>

1 2

@

1 2

lim ( )· ( )... ( )_n lim ( )·lim ( )····lim _n( ).

xoa f x f x f x xoa f x xoaf x xoa f x

C.L.3

Si n es un entero positivo, lim_{x a}xn an.

o

C.L.4

Como caso particular del límite de un cociente, se tiene que lim_{x a}1 1 si a 0. x a

o z

En general, si n es un entero positivo y az0, entonces lim1_n 1_n.

xoa_{x a}

C.L.5

Límite de una función polinómica

Si 1

1 1 0

( ) n n ...

n n n

P x b x b_x   b xb es un polinomio de grado n en x, entonces:

1 1 1 1 0 1 1 0 lim n n .... n n .... . n n n n x a b x b x b x b b a b a b a b     o ª¬     º¼     C.L.6

Límite de una función racional

Si m y n son enteros positivos, b_nz0, c_mz0,entonces

1 ₁ 1 1 0 _{1 1 0} 1 1 1 1 0 1 1 0 .... _.... lim . .... .... n n _{n n} n n n n m m m m x a m m m m b x b x b x b _{b a b a b a b} c x c x c x c c a c a c a c  _     o   ª     º _{   } ¬ _¼         siempre que 1 1 .... 1 0 0. m m m m c a c _a   c a zc

4.3 Teorema 3: Límite de funciones iguales

Sean f (x) y g (x) dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto a y tales que:

1. f x( ) g x( ) para todo xI, excepto posiblemente en a.

Módulo 4: Teoremas sobre límites

René Descartes

Al dejar la escuela en 1612, René Descartes fue a París y una vez allí, por medio de los jesuitas, renovó su contacto con el teólogo y filósofo Marin Mersenne, con quien consagró dos años al estudio de la matemática. También conoció al filósofo Isaac Beeckman, con quien trabó una calurosa amistad. Hacia 1626 se estableció en París donde se dedicó a la construcción de elementos ópticos hasta 1629, cuando, influenciado por el Cardenal de Berulle, viajó a Holanda y escribió para el periódico Le Monde una teoría física del universo, pero convencido de que ello le podría significar una enemistad con la Iglesia, decidió finalmente abandonar la idea, que recién se publicaría en 1664. Se dedicó entonces a componer un tratado de ciencia universal que finalmente fue publicado junto a dos apéndices en 1637. En 1641 publicó otro trabajo llamado Meditaciones, que trataba su posición en la filosofía. Luego, en 1644, publicó su Principia philosophiae, dedicado esencialmente a la física, en especial a las leyes de movimiento. Sin duda, la principal contribución de Descartes a la ciencia matemática fue su visión de que un punto cualquiera del plano geométrico podía representarse por medio de un par ordenado (x, y) –llamadas luego, en honor a él, «coordenadas cartesianas»– que en definitiva representaban la distancia perpendicular desde los ejes del sistema hasta dicho punto. En uno de sus libros, llamado Géométrie, Descartes expone un análisis del álgebra general sentando las bases de un idioma que luego resultaría universal. Es allí donde por primera vez denota con las primeras letras del alfabeto aquellas cantidades conocidas, y con las últimas las cantidades desconocidas, notación que ha prevalecido hasta la actualidad.

2. lim ( )_xoag x existe y es L. Entonces, lim ( ) .

xoa f x L

Así por ejemplo, la función

2 2 5 3 si 3 ( ) 3 2 si 3 x x x f x x x ­   _z ° _ ® ° ¯

y la funcióng x( ) 2x 1 son iguales en todos los puntos del eje real, excepto en el punto x = 3 (figura 4.1).

Pero lim ( )xo3g x lim (2_xo3 x 1) 7. Así que de acuerdo al teorema 3, lim ( )xo3 f x 7.

Módulo 4: Teoremas sobre límites

Observación importante

Si en el ejemplo anterior evaluáramos directamente lim ( ),_xo3f x se tendría que

2 2 3 3 2 5 3 2(3) 5(3) 3 0 lim ( ) lim . 3 3 3 0 x x x x f x x o o      

El cociente0 0 no es un número real y se conoce en el cálculo como una forma indeterminada (no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). Sin embargo, usando manipulaciones algebraicas se puede transformar la función en una función equivalente que tiene límite y que de acuerdo con el teorema 3 coincide con el límite de f (x).

Efectuar el proceso algebraico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculo como «eliminar la indeterminación».

Así, 2 3 3 2 5 3 (2 1)( 3) lim lim 3 ( 3) x x x x x x x x o o       (factorizando), 3 lim (2 1) xo x (simplificando), = 2 · 3 + 1 = 7.

En los ejercicios resueltos 2, 3, 4, 5 y 6 al final del capítulo 1 se ilustra nuevamente este procedimiento.

4.4 Teorema 4: Teorema del sánduche

Sean f (x), g (x) y h (x) tres funciones definidas en un intervalo I, excepto posible-mente en el puntoaI y tales que:

1. f x( )dg x( )dh x( ) para todo xI. 2. lim ( )xoa f x lim ( )_xoah x L. Entonces, lim ( ) . x a g x L o

Este importante teorema, cuya ilustración gráfica aparece en la figura 4.2, será de gran utilidad para demostrar que

0 sen lim 1. t t t

o Igualmente, se usa en cálculo

inte-gral para calcular áreas bajo curvas, usando las llamadas sumas aproximantes.

Vea la animación «Teorema del sánduche» en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

.

Introducción

Al estudiar el límite de una función hemos analizado el comportamiento de f (x) en una vecindad de L, cuando los valores de x pertenecen a una vecindad de a. Es decir, valores de x mayores que a y valores de x menores que a.

En ocasiones sólo nos interesa conocer el comportamiento de f (x) cuando la x se encuentra cerca de a, pero por un lado concreto de dicho punto. De esta manera surgen de modo natural los límites laterales o unilaterales de la función f (x).

Objetivos del módulo

1. Presentar la definición intuitiva de los límites laterales y establecer cuál es su relación con el límite de una función en un punto dado de su dominio

Preguntas básicas

1. Considere la función definida por:

1 si 0 ( ) 1 si 0 x f x x t ­ ®_¯ 

Grafique la función y responda las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el valor de lim ( ) ?_xo0 f x

b. ¿Cuál es el valor de lim ( ) ?_{x 2}f x

o

Contenidos del módulo

5.1 Ejemplo: necesidad del uso de los límites laterales 5.2 Definiciones intuitivas de los límites laterales

5.2.1 Límite por la derecha 5.2.2 Límite por la izquierda

5.3 Teorema: relación entre límite y límites laterales

Límites laterales

5

Sonia (o Sofía) Kowalewski

Sonia (o Sofía) Kowalewski, cuyo nombre de soltera era Sonja Corvin-Kroukowsky, nació en Moscú el 15 de febrero de 1850 y murió en Estocolmo el 10 de febrero de 1890.

5.1 Ejemplo: necesidad del uso de los límites laterales

Considere la función f, definida por

2 2 3 si 1 ( ) 1 si 1 3 4 si 3 x x f x x x x x ­  d ° _{  d} ® °  ! ¯

y cuya gráfica aparece en la figura 5.1.

Figura 5.1 Se desea conocer el valor de los siguientes límites: a. _xlim ( )._o1f x b. lim ( ).₂ xo f x c. lim ( )._xo5f x d. lim ( ).₁ xo f x e. lim ( )._xo3f x

El problema ahora se reduce a «sustituir» apropiadamente f (x) en cada uno de los literales anteriores.

a. Nótese que en las «cercanías» de x =1 la función f (x) es _{f x( )} _{3 x}2_.

Así que



2



1 1

lim ( ) lim 3 2.

xo f x xo x

Vea el módulo 5 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Escuche el audio Weierstrass y Sofía en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Módulo 5: Límites laterales

b. Igualmente, en las «cercanías» dex 2 la función f (x) es f x( ) x 1. De esta forma, lim ( )_{x 2} f x lim_{x 2}

 

x 1 3.

o o 

c. También en las «cercanías» de x = 5 la función f (x) es f (x) = x2 _{4. Por tanto,}



2



5 5

lim ( ) lim 4 21.

xo f x xo x 

Ahora nótese en la figura 5.1 que para los valores de x anteriores al 1, (x < 1), f (x) viene dada por f (x) = 3 x2_{, mientras que para los valores de x próximos a 1, pero} posteriores a 1, (x > 1), f (x) viene dada por f (x) = x + 1. ¿Cuál es entonces la f (x) apropiada para sustituir en la parte d? En situaciones como ésta, es útil y natural introducir los llamados límites laterales.

El símbolo xo1significa que x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores menores que 1).

El símbolo xo1significa que x se aproxima a 1 por la derecha (por valores mayores que 1).

En el caso particular que interesa, se tiene que

d.



2



1 1 lim ( ) lim 3 2, x x f x x   o o  (1)

 

1 1 lim ( ) lim 1 2. x x f x x   o o  (2)

Igualmente, en el caso e ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir,

2 ( ) 1 si 3, y ( ) 4 si 3. f x x xd f x x x! Así que: e. lim ( )₃ lim₃

 

1 4, x x f x x   o o  (3)



2



3 3 lim ( ) lim 4 5. xo f x xo x  (4)

En general, denotamos por xoapara expresar que x se aproxima al valor a por la derecha. Esto es, por valores de x > a. Y denotamos por xoapara expresar que x se aproxima al valor a por la izquierda. Esto es, por valores de x, x < a. Lo anterior nos permite dar una definición informal de los límites laterales.

Sonia (o Sofía) Kowalewski

A los 15 años de edad, Sonia Kowaleski comenzó el estudio de la matemática y luego se matriculó en la Universidad de Heidelberg. De extraordinario talento, no sólo fue la mujer matemática más conocida de los tiempos modernos, sino que también consiguió una reputación como directora del movimiento para la emancipación de las mujeres, particularmente por lo que se refiere a su supuesta incapacidad en el campo de la educación superior. Además fue una brillante escritora. Después de haber compuesto su trabajo matemático más importante (La memoria premiada), se dedicó a la literatura como un descanso y escribió los recuerdos de su infancia en Rusia en forma de novela, que fue publicada primero en sueco y en danés. Esta obra dio lugar al siguiente comentario: «La crítica literaria de Rusia y de los países escandinavos fue unánime al declarar que Sonja Kowalewski estaba a igual altura, en estilo y pensamiento, que los mejores escritores de la literatura rusa».

5.2 Definiciones intuitivas de los límites laterales

5.2.1 Límite por la derecha

Decir que _xlim_oa f x( ) L significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de a,

entonces f (x) está cerca de L.

5.2.2 Límite por la izquierda

Decir que _xlim_oa f x( ) Lsignifica que cuando x está cerca, pero a la izquierda de a,

entonces f (x) está cerca de L. Observación

Decir que xoa es diferente a decir que xo a.

El siguiente teorema, cuya demostración se deja para el lector, establece la relación que existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales.

5.3 Teorema: relación entre límite y límites laterales

lim ( ) lim ( ) lim ( ) .

xoa f x œL xoa f x šL xo a f x L

Observaciones

1. Otra forma equivalente de enunciar el teorema 5.3 es la siguiente: lim ( )_xoa f x no existe si y sólo si no existe alguno de los límites laterales, o, si existen, son diferentes.

2. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no del límite de una función; en particular, para la función inicial de estudio en este módulo se deduce de (1) y (2) que:

1

lim ( )

xo f x existe y lim ( )xo1 f x 2, puesto que 1 1

lim ( ) lim ( ) 2

x x

f x f x

 

o o .

De igual forma, de (3) y (4) se deduce que:

3

lim ( )

xo f x no existe, ya que 3 3

lim ( ) 5 lim ( ) 4.

Ejercicios resueltos

1. Usando la definición rigurosa de límite de una función, pruebe que





5

lim 9 3 6.

xo  x 

Solución

Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un G !0 tal que

0   Ÿ x 5 G (9 3 ) ( 6)x    . (1)

Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).

(9 3 ) ( 6) x     œ    9 3x 6 , 15 3x , œ    3x 15 , œ    3 x 5 œ    (factorizando), 5 . 3 x  œ   (2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger

3

G  (por supuesto, cualquier valor menor funcionará para ).

Prueba formal Dado !0, existe 0 3 G ! tal que 0  x 5 G 5 , 3 x  Ÿ   3x 15 , Ÿ    15 3x , Ÿ    9 3x 6 , Ÿ    



9 3x

  

6 . Ÿ     

En particular, si A escoge  0.01 en este ejemplo, entonces B responderá con un G 0.01 3 0.0033. Si A propone

0.000003,

 B escogerá G 0.000001(cualquier valor menor también satisface).

Al graficar la recta y f x( ) 9 3x(figura 1) se nota que para obligar a (9 3 ) x a estar cerca de 6 se debe obligar a x a que esté cerca de 5.

Figura 1

2. Considere la función definida por _{f x}( ) _xn _con

n `. Evalúe el siguiente límite:

0 (2 ) (2) lim . h f h f h o   Solución 0 0 (2 ) (2) (2 ) 2 lim lim . n n h h f h f h h h o o     (1)

Si evaluamos directamente el último límite se tendría (2 0) 2 0

0 0

n n

 _

(indeterminado).

Se puede eliminar la indeterminación factorizando el numerador de la fracción (1), así:

0 (2 ) 2 lim n n h h h o  

>

@

1 2 3 2 1 0 (2 ) 2 (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 ... 2 lim , n n n n h h h h h h     o ª º   _¬    ˜   ˜   _¼ 1 2 3 2 1 0 (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 ... 2 lim , n n n n h h h h h h     o ª    ˜   ˜   º ¬ ¼ 1 2 3 2 1 lim (2 )n (2 )n 2 (2 )n 2 ... 2n , h n-términos h  h  h   ofª¬_   ˜   ˜   º¼ 1 1 1 1 2n 2n 2n .... 2n , n-términos  _  _  _{ }   

3. Evalúe el siguiente límite: lim₄ 4 . 2 x x x o   Solución

Si se aplica directamente el límite de un cociente, se llega a la forma indeterminada 0

0. Se puede eliminar la

indeter-minación racionalizando el denominador y simplificando, así:

4 4 lim 2 x x x o   4 ( 4)( 2) lim , ( 2)( 2) x x x x x o     2 2 4 ( 4)( 2) lim , ( ) 2 x x x x o    4 ( 4)( 2) lim , 4 x x x x o    4 lim( 2) 4 2 4. xo x 

4. Evalúe el siguiente límite: lim₄ 2 1 3.

2 2 x x x o     Solución

Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada0.

0 Para tratar de eliminar la indeterminación, se

mul-tiplican el numerador y el denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador, así:

4 2 1 3 lim 2 2 x x x o     4 ( 2 1 3)( 2 2) lim , ( 2 2)( 2 2) x x x x x o         4 ( 2 1 3)( 2 2) lim , ( 2) 2 x x x x o       4 ( 2 1 3)( 2 2) lim . 4 x x x x o     

Al sustituir nuevamente x por 4, en la última expresión, continúa la indeterminación 0

0. Para eliminarla, se multiplican

el numerador y el denominador de la última fracción por ( 2x 1 3),que es el conjugado de ( 2x 1 3) y que está produciendo nuevamente la indeterminación. Por tanto,

4 2 1 3 lim 2 2 x x x o     4 ( 2 1 3)( 2 2)( 2 1 3) lim , ( 4)( 2 1 3) x x x x x x o          4 (2 1 9)( 2 2) lim , ( 4)( 2 1 3) x x x x x o        4 2( 4)( 2 2) lim , ( 4)( 2 1 3) x x x x x o       4 2( 2 2) 4 2 2 2 lim . 6 3 ( 2 1 3) x x x o    

5. a. Use el teorema del sánduche para demostrar que si t está expresado en radianes, entonces lim_{t 0}sent 1

t o . b. Demuestre que 0 1 cos lim 0. t t t o  Solución

a. Considere el círculo centrado en el origen y radio 1 que aparece en la figura 2 y en el cual se han trazado el sector circular OAP, el triángulo OAP y el triángulo rectángulo OAQ.

La ecuación de la recta que pasa por O y P viene dada por sen

cos t

y x

t .

En particular, cuando x = 1, se obtiene el punto Q sobre la recta y cuyas coordenadas aparecen en la figura 2.

Consideremos inicialmente 0 t S/ 2.

Claramente de la gráfica se deduce que:

Área del triángulo OAP < área sector circular OAP < área de triángulo OAQ. (1)

Pero, área del triángulo 1·sen sen ,

2 2

t t

OAP (2)

área del sector circular

2 1 · , 2 2 t t OAP (3)

área del triángulo

sen 1 · sen cos , 2 2cos t t t OAQ t (4) Sustituyendo (2), (3) y (4) en (1), se obtiene:

sen sen sen

sen . 2 2 2 cos cos t t t t t t t t   œ   (5)

De la desigualdad sen t < t se obtiene:

2 2

sen sen 0 y 0 .

2 t t §_¨ t!  t S·_¸

© ¹

Es decir, 1 cos 2 2 1 22 cos 2 . 2

t

t t t

 _{œ }

En particular, reemplazando t por

2 t

en la última desigualdad, se dice que:

2 1 1 cos . 2t t   (6) De (5) también se tiene sen cost t 1. t   (7)

Por tanto, de (6) y (7) se obtiene que si 0 , 2 t S   entonces 2 1 sen 1 1. 2 t t t    (8)

Ahora, si 0, 0 ,

2 t t 2

S S

      es decir (t) verifica la desigualdad (8). Esto es,

2 2 1 sen ( ) 1 sen 1 ( ) 1 1 1. 2 2 t t t t t t      œ     En conclusión: 2 1 sen 1 1 para todo , y 0. 2 2 2 t t t t t S S § ·     _{¨ ¸} z © ¹ Ahora, 2 0 0 1 lim (1 ) 1 lim1. 2 to  t to

En consecuencia, por el teorema del sánduche se concluye que

0 sen lim 1. t t t o b. 0 1 cos lim t t t o 

tiene la forma indeterminada 0

0.

Para eliminar la indeterminación, multipliquemos el numerador y el denominador por la cantidad positiva

1 cos . t Esto es,

0 1 cos lim t t t o  0 (1 cos )(1 cos ) lim , (1 cos ) t t t t t o    2 0 1 cos lim , (1 cos ) t t t t o   2 0 sen lim , (1 cos ) t t t t o  0 sen 1 lim sen , 1 cos t t t t t o § ·_{˜ ˜} ¨ ¸ _ © ¹ 1 1 0 0. 2 ˜ ˜

6. Use el ejercicio 5 para evaluar los siguientes límites trigonométricos:

a. lim₀sen sen x x x D E

o , siendo D E, constantes reales, Dz0,E z0.

b. lim₀tan 2 . sen x x x o