Manual Preuniversitario

NÚMEROS NATURALES

El conjunto de números naturales son aquellos , que no tienen parte decimal , se denota por

N

, y está definido como



1,2,3,4,5,6,







N

NÚMEROS ENTEROS

Se llama números enteros a aquellos números no tienen parte decimal incluyendo al cero



, 3, 2, 1,0,1,2,3,



    



Z

Ejemplo: −783 y 154 son números enteros, mientras que 45,23 y −34/95 no

NÚMEROS RACIONALES

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros, con denominador distinto de cero

Ejemplos:

9

3



,

9

3

,

1

3

,

2

6

Hay ocasiones en que el resultado de un número racional nos da números con decimales los cuales pueden ser:

- Decimal exacto: se trata de un número con parte decimal finita, es decir conocemos todos los números después de la coma o punto.

Ejemplos: 0.2 , 3.3 , 0.123 102.43 3.12121

- Decimal periódico puro: se trata de un número con parte decimal infinita, es decir NO se conocemos todos los números después de la coma o punto.

Ejemplos: 0,333… ; 12,222… ; 1,333…. 0,32 32 32… ; 12,21 21 21… ; 1,362 362 362….

- Decimal periódico mixto: se trata de un número con parte decimal infinita, es decir NO se conocemos todos los números después de la coma o punto, pero se caracteriza porque lo periodicidad no comienza después de la coma.

Ejemplos: 0,32 11111… ; 12,2143333… ; 1,362 8888… ; 0,3 21 21 21 21 21 … ; 12,214 3131 31… ; 1,362 123 123 123….

CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO A FRACCIÓN : en el numerador copiamos el número sin la

coma, y en el denominador escribimos el 1 seguido de tantos ceros como números haya después de la coma en el número decimal exacto.

Ejemplo 1: Expresar 0,75 como fracción

Paso 1: Escribe:

75

1

Paso 2: luego escribe en el denominador dos ceros después del 1 pues hay dos números después de la coma en 0,75

75

100

, así pues

75

0,75

100



Ejemplo 2: Expresar 1,125 como fracción

Paso 1: Escribe:

1125

1

Paso 2: luego escribe en el denominador tres ceros después del 1 pues hay tres números después de la coma en 1,125

1125

1000

, así pues

1125

1,125

1000



CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO A FRACCIÓN : escribimos en el numerador el número sin

la coma hasta su primer periodicidad luego restamos la parte entera, por último en el denominador escribimos tantos nueves como números tenga la periodicidad.

Ejemplo 1: expresar 0,33333… como fracción

Paso1. Escribimos 3-0 en el numerador pues la periodicidad empieza después de la coma y la parte entera es cero,

después note que el 3 se repite infinitamente

3 0



Paso2. Escribimos 9 en el denominador pues después de la coma la periodicidad se repite de uno en uno

3 0

9



Es decir

3 1

0,333...

9

3

 

Ejemplo 2: expresar 12,67 67 67… como fracción

Paso1. Escribimos 1267 en el numerador pues la periodicidad empieza después de la coma, además restamos la parte

entera 12, después note que el 67 se repite infinitamente

1267 12



Paso2. Escribimos 99 en el denominador pues después de la coma la periodicidad se repite de dos en dos

1267 12

99



Es decir

1267 12 1255

12,676767...

99

99







CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO A FRACCIÓN: escribimos en el numerador el número

sin la coma hasta su primer periodicidad luego restamos la parte del número justo antes de que empiece la periodicidad, por último en el denominador escribimos tantos nueves como números tenga la periodicidad seguido de tantos ceros como números tenga después de la coma y antes del periodo.

Ejemplo 1: exprese 12,345 67 67 67… como fracción

1234567 12345 1222222

611111

12,345676767...

99000

99000

49500









Ejemplo 2: exprese 0,35 12 12 12… como fracción:

3512

,

35

3477

9900

99

...

00







0 35 12 12 12

Ejemplo 3: exprese 10,3 123 123 123… como fracción:

103123 103 103020

3434

9990

9990

333

1 , 3 3 3...

0 3 12 12 12









Ejemplo 4: exprese 0,055555… como fracción:

5 0

5

0,0555...

90

90







Ejemplo 5: exprese 0,051515151… como fracción:

51

0,00515151...

9900



OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

ADICIÓN.- se tienen dos posibilidades, según sea el caso las posibilidades son las siguientes:

CASO 1. Si se suman números de igual signo

Si se tienen dos o más números de igual signo se suman los números y se conserva el signo. Ejemplos: 3+5=8 , 4+7+1=12 , -1-3=-4 , -2-5-1=-8

CASO 2. Si se suman números de distinto signo

Se conserva el signo del número mayor y luego se restan.

Ejemplos: 2-1=2 , 6-12=-6 , 1-5=-4 , -3+6=3 , -11+4=-7

Propiedades de la adición en los números reales:

- Ley conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado: Ejemplos : 3+5=5+3 , -1-2=-2-1 , -1+4=4-1 , -4+3+2=3-4+2

- Ley Asociativa (con respecto a la suma de tres o más números de signo positivo): Ejemplos: 2+3+1=2+(3+1) , 11+2+3=(11+2)+3 , 1+3+2+6=1+(3+2+6)

NOTA: la propiedad asociativa no se cumple para la suma de tres o más números de signo negativos. - Ley del Elemento neutro: todo número sumado 0 es igual al mismo número.

Ejemplos: 2+0=2 , -4+0=4 , -4-0=-4 , -2+0=-2

MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE NÚMEROS REALES

Ley de signos: la ley de signos es la que rige si el resultado de una multiplicación de dos o más términos es positivo o negativo. CASO 1. Si se multiplican dos números de mismos signos el resultado es un número positivo.

Ejemplos:

5 10 50

g



,

  



5

g



10





50

,

   



2

g

 

6

12

,

   

4 6

g



24

CASO 2. Si se multiplican dos números de signos opuestos el resultado es un número negativo.

Ejemplos:





5

g



10

 

50

,

   



5 10

g

 

50

,

   



2 6

g

 

12

,

   



4 6

g



24

Propiedades del producto de los números reales:

- Ley conmutativa: el orden de los multiplicandos no altera el resultado: Ejemplos : (-2)(3)=(3)(-2), (2)(8)=(8)(2) , (-10)(-3)=(-3)(-10)

- Ley Asociativa :

           

4 6 2

 

_

4 6



_

2

,

           



4 6

  

2



_

4 6



_



2

- Ley del Elemento neutro: todo número multiplicado por 1 es igual al mismo número.

Ejemplos: 2(1)=2 ,

3 1 3

g



,

   



3 1

 

3

- Ley cancelativa: todo número multiplicado por 0 es igual a 0.

Ejemplos:

   



3 0



0

,

   

3 0



0

,

   

0.5 0



0

,





0.5 0

  



0

- Ley distributiva:



1 2

...

n



1 2

...

n

a x

  

x

x



ax



ax

 

ax

Ejemplos:





   

2 3 2

 

2 3



2 2

,



      

2 3 2 4

  

2 3



2 2



2 4



      

2 3 2 4

  

2 3



2 2



2 4

,



      

2 3 2 4

  

2 3



2 2



2 4

DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

En estudios más avanzados se llegó a la conclusión que la división realmente es una multiplicación, pero en nuestro estudio no lo tomaremos en cuenta.

- CASO 1. La división de dos números de igual signo siempre es positiva

Ejemplos:

4

2

2



,

4

2

2

 



,

3

3

2

2

 



- CASO 2. La división de dos números de distinto signo siempre es negativa

Ejemplos;

3

3

2

2

  

,

3

3

2

 

2



,

9

3

3

  

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN?

Una fracción es un número que indica parte de un entero o parte de un grupo.

Una fracción es una expresión matemática usada para representar las partes de un todo.

x

y

En donde la parte de arriba de la fracción

x

se le conoce como numerador.

En donde la parte de abajo de la fracción

y

se le conoce como denominador.

El siguiente círculo está dividido en 8 partes iguales de las cuales 3 partes están coloreadas.

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas. El número de abajo de la fracción, el denominador, nos dice el número total de partes iguales que tiene la figura.

Esta figura muestra que

3

8

partes del círculo están coloreadas.

¿Cómo se leen las fracciones?

Para leer fracciones decimos primero el número del numerador y a continuación el denominador de acuerdo con la siguiente tabla:

2….. Medios 3….. Tercios 4….. Cuartos 5…… quintos 6….. Sextos 7….. Séptimos 8….. Octavos 9….. Novenos 10.. Décimos

A partir de 10 al nombre del número se le añade la terminación -avos : onceavos, doceavos, … quinceavos,… veinteavos, treintavos,….

Ejemplos:

3

8

Tres octavos

5

15

cinco quinceavos

1

2

Un medio

8

20

ocho veintidosavos Ejemplo 1: los 3/5 de 100 es

 

3

300

100

60

5



5



Ejemplo 2: los 9/2 de 20 es

 

9

180

20

90

2



2



Ejemplo 3: los 5/6 de 60 es

 

5

300

60

50

6



6



FRACCIONES EQUIVALENTES: dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, por

ejemplo

1

2

,

2

4

y

4

8

son equivalentes.

El siguiente grafico nos nuestras las fracciones anteriores como fracciones equivalentes.

Dadas dos fracciones

a

b

y

c

d

se pueden determinar si estas son equivalentes siempre que

a d b c

  

Simplificar una fracción es encontrar una fracción equivalente con un denominador menor. También se llama obtener la

fracción irreducible. Para simplificar una fracción, divide su numerador y denominador por el mismo número. Ejemplos:

8

8 4

2

20

20 4

5









,

3

3 3

1

27

27 3

9









,

40

40 5 8

25

25 5

5









Ejercicio 1: observe como se ha simplificado la siguiente expresión

20 10 5

20

2 3



g g

g

10

10 5

2

g g

1

10 10 5

500

3

3

3





g g

g

Ejercicio 2: observe como se ha simplificado la siguiente expresión





10 5

10

2



40



g

g

5

5

2

g





1

5 5

25

40

40





 



g

g

5

40

8

5

8

 

NOTA: cualquier número entero terminado en 0 o en 5 es divisible para 5.

Ejemplos: los números 0, 10, 55, -20, 500, 305 son divisibles para 5.

NOTA: cualquier número entero par es divisible para 2.

Ejemplos: los números 0, 10, 20, -20, 500, -30 son divisibles para 2.

¿CÓMO SE COMPARAN Y ORDENAN LAS FRACCIONES?

Ordenar fracciones con igual denominador

D e do s f r ac c i on es q u e ti e n en el mi s m o d en om in a dor e s me n or l a q u e t ie n e m en or nu mer ad or .

2

3

3



3

,

1

2

6



6

El símbolo > se lee “mayor que” El símbolo < se lee “menor que”

Ordenar fracciones con igual numerador

D e do s f r ac c i on es q u e ti e n en el mi s m o n u me r ad or es me nor e l q u e ti e n e m ay or d en om i na do r .

11 11

25



6

,

2

2

5



3

Ordenar fracciones con numeradores y denominadores distintos

E n pr i me r l u g ar l a s t e n em os q u e po ne r a co mú n de no m in ad or .

, l u eg o

E s me no r l a q u e ti e n e me n or nu mer ad or .

SUMA DE FRACCIONES

CASO 1. Suma de fracciones homogéneas: se dice que dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. Entonces se conserva el denominador y se suman los denominadores.

Ejemplo 1:

1 2 6 1 2 6

9

₃

3 3 3

3

3

 

  

 

Ejemplo 2:

1 2 1 2

1

3 3

3

3



 

 

Ejemplo 3:

7 4

7 4 11

2 2

2

2



 



CASO 2. Suma de fracciones heterogéneas: se dice que dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferente denominador.

Entonces como denominador es el m.c.m de los denominadores de las fracciones.

Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el m.c.m por el denominador original de cada fracción. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fracción equivalente.

Ejemplo 1:

1

2 1 3

1

2

2

2



 



, donde 2 es el m.c.m entre 1 y 2. Ejemplo 2:

   

2 2

3 5

2 5

4 15 19

3 2

6

6

6





 





, donde 6 es el m.c.m entre 3 y 2. Ejemplo 3:

   

2 1

1 3

1 3

2 3

1

2 4

4

4

4





 



 

, donde 4 es el m.c.m entre 2 y 4. Ejemplo 4:

     

10 1

5 3

4 3

1 3 3

10 15 12

13

2 4 5

20

20

20







  

   



 

, donde 20 es el m.c.m entre 2 , 4 y 5. .Calcular: a)

2 1

3 5



b)

37 4

5



5

c)

15

5

10

10 10 10





d)

2

3

5

3

 

2

e)

2

3

5

3

 

2

f)

2

3

4

5

7

3

2

3



_{ }

 

_

_





 





 



NUMERO MIXTO

El numero mixto consta de un entero y fracciones, es decir contiene un número exacto de unidades (parte entera), y además de una o varias partes iguales de la unidad (parte decimal), ejemplo:

2

1

3

, en donde 1 es el número exacto de unidades o parte entera y

2

3

es la parte decimal.

PASAR UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN

1. SE DE JA EL M I SM O DEN OM I N A DOR 2 . El n u m er a dor e s l a s u m a d e l a mu l t ip l i c ac i ón d el e n te r o por el de no m in ad or más el n u m er a dor d el n ú m er o m ix t o . Ejemplos: ; TEORIA DE EXPONENTES

La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos.

La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cual se define así:

POTENCIACIÓN

Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor, como lo indique otro llamado exponente; al resultado de esta operación se le denomina potencia, y se representa así:

Potencia=(base)

exponente La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo.

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base.

Ejemplos: 2

5



5 5 25

g



, 3

5



5 5 5 125

g g



,

       

3

3

3

3

3

27



 

g



g

  

,

     

2

3

3

3

9



 

g

 

1. Un numero elevado a la cero es igual a 1.

0

₁

x



con

0

x



Ejemplos: 50_{=1 , (-2)}0_{=1 , (0.4)}0₌₁ 2. Un numero elevado a la 1 es igual a si mismo

1

x



x

Ejemplos: 11_{=1 , (-3)}1_{=-3 , 5}1_{=1 (0.5)}1 _=0.5 3. Producto de potencias de igual base

n m n m

x x



x

 Ejemplos: 2 3 2 3 5

2 2

_g

_

2



_

2

,

     

3 3 3 3

 

6

3

3

3



3



g



 

 

, 2 2 2 2 2 4

2 4 2 2

_g

_

_g

_

2



_

2

4. Division de potencias de igual base

n n m m

x

x

x





, con

0

x



Ejemplos:

 

 

 

 

3 3 3 0 3

3

3

3

1

3





 

 





, 3 3 5 2 5

2

2

2

2

 





,   3 3 5 3 5 8 5

2

2

2

2

2

   







5. Potencia de una potencia

 

_n m _{n m}

x



x

g Ejemplos:

 

₂ 3 _{2 3 6}

2



2

g



2

,

 



4



3

 

4 3

 

12

3

3

3



 

g

 

,

 



_1/2



3

 

 _{1/2 3}

_{ }

_3/2

3

3

3



 

g

 

6. Producto de potencias de exponente igual

( )

n n n

x y



xy

Ejemplos:

 

2 2 2

2 3

g



2 3

g

,

 

2



 



2 2

2



g



3





2

g



3

 ,

 

3



 



3 3

2

g



3



2

g



3

7. Cociente de potencias de igual exponente

n n n

x

x

y

y

 

  

 

, con

0

y



Ejemplos: 2 2 2

2

2

3

3

 

  

_{ }

, 3 3 3

2

2

3

3

 

  

_{ }

, 3 3 3

2

2

3

3

 



_{   }

 

, 3 3 3

4

4

6

6

  

  

 

_{ }

Signo de una potencia de base entera

Para determinar el signo de la potencia de un número entero tendremos en cuenta que: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

(+)p a r_{=+ , (-)}p a r₌₊

Ejemplos: 26 _{= 64 , (−2)}6 _{= 64}

2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base. (+)i m p a r_{=+ , (-)}i m p a r_=-

Ejemplos: 23 _{= 8 , (−2)}3 _{= −8}

Potencias de exponente negativo

La potencia de un número entero con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

1

n n

x

x



_

con

0

x



Ejemplo: 3 3

1

1

2

2

8



_

_

Potencias fraccionarias de exponente negativo

Una potencia fraccionaria de exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada a exponente positivo . n n

x

y

y

x



 

_{  }

 

 

_{ }

 

, con

0

x



e

0

y



. Ejemplo: 3 3 ₃ 3

3

2

2

8

2

3

3

27



 

 

_

_

_

 

 

 

 

,

Potencias de exponente fraccionario

m m n n

x



x

Ejemplos: 1 2

2



2

, 2 2 3 3

4



4

Potencias de exponente fraccionario y negativo

1

m n m n

x

x





Ejemplo: 2 4 2 4

1

3

3





Ejemplos: 1 E s cr ib e en f or m a de u na s ol a po t en c ia : 1 33 _{· 3}4 _{· 3 = 3}8 _{2 5}7 _{: 5}3 _{= 5}4 _{3 ( 5}3₎4 _{= 5}1 2 4 ( 5 · 2 · 3 ) 4 _{= 30}4 _{5 (3}4₎4 _{= 3}1 6 _{6 [ (5}3₎4_]2 _{= (5}1 2₎2 _{= 5}2 4 7 ( 82₎3 _{= [( 2}3₎2_]3 _{= (2}6₎3 _{= 2}1 8 _{8 ( 9}3₎2 _{= [ (3}2₎3_]2 _{= ( 3}6₎2 _{= 3}1 2 9 25 _{· 2}4 _{· 2 = 2}1 0 _{1 0 2}7 _{: 2}6 _{= 2} 1 1 (22₎4 _{= 2}8 _{1 2 ( 4 · 2 · 3 )}4 _{= 2 4}4 1 3 (25₎4 _{= 2}2 0 _{1 4 [ (2}3 ₎4_]0 _{= (2}1 2₎0 _{= 2}0 _{= 1} 1 5 ( 272₎5 _{=[ (3}3₎2_]5 _{= ( 3}6₎5 _{= 3}3 0 _{1 6 ( 4}3₎2 _{= [(2}2₎3_]2 _{= (2}6₎2 _{= 2}1 2 2 R ea l i zar l as s ig u i en t es op er ac i on e s co n p o t en c ia s : 1 (− 2)2 _{· ( −2 )}3 _{· (− 2)}4 _{= (− 2)}9 _{= −51 2} 2 ( −8 ) · ( −2 )2 _{· (− 2)}0 _{(− 2) = ( −2 )}3 _{· (− 2)}2 _{· ( −2 )}0 _{· (− 2) = ( −2 )}6 _{= 6 4} 3 ( −2 )− 2 _{· ( −2 )}3 _{· (− 2)}4 _{= (− 2)}5 _{= −3 2} 4 2− 2 _{· 2}− 3 _{· 2}4 _{= 2}− 1 _{= 1/ 2} 5 22 _{: 2}3 _{= 2}− 1 _{= 1 / 2} 6 2− 2 _{: 2}3 _{= 2}− 5 _{= (1 / 2 )}5 _{= 1 / 32} 7 22 _{: 2}− 3 _{= 2}5 _{= 3 2} 8 2− 2 _{: 2}− 3 _{= 2} 9 [ ( −2 )− 2_] 3 _{· (− 2)}3 _{· ( −2 )}4 _{= ( −2 )}− 6 _{· ( −2 )}3 _{· (− 2)}4 _{= −2} 1 0 [ (− 2) 6 _{: ( −2 )}3_] 3 _{· ( −2 )· ( −2 )}− 4 _{= [ (− 2)}3_] 3 _{· (− 2) · (− 2)}− 4 _{= (− 2)}9 _{· (− 2) · (− 2)}− 4 ₌ ( −2 )6 _{= 6 4} 3 R ea l i zar l as s ig u i en t es op er ac i on e s co n p o t en c ia s : 1 (− 3)1 _{· (− 3)}3 _{· ( −3 )}4 _{= ( −3 )}8 _{= 6 561} 2 ( −2 7) · (− 3) · (− 3)2 _{· ( −3 )}0_{= (− 3)}3 _{· ( −3 ) · ( −3 )}2 _{· (− 3)}0 _{= (− 3)}6 _{= 72 9} 3 ( −3 )2 _{· (− 3)}3 _{· ( −3 )}− 4 _{= −3} 4 3− 2 _{· 3}− 4 _{· 3}4 _{= 3}− 2 _{= (1 / 3 )}2 _{= 1 / 9} 5 52 _{: 5}3 _{= 5}− 1 _{= 1/ 5} 6 5− 2 _{: 5}3 _{= 5}− 5 _{= (1 / 5)}5 _{= 1/ 31 25} 7 52 _{: 5}− 3 _{= 5}5 _{= 31 25} 8 5− 2 _{: 5}− 3 _{= 5} 9 ( −3 )1 _{· [ (− 3)}3_]2 _{· ( −3 )}− 4 _{= (− 3)}1 _{· (− 3)}6_{· (− 3)}− _{= (− 3)}3

1 0 [ (− 3)6 _{: (− 3)}3_]3 _{· ( −3 )}0 _{· ( −3 )}− 4 _{= [( −3 )}3_]3 _{· (− 3)}0_{· (− 3)}− 4 _{= ( −3 )}9 _{· (− 3)}0 _{· ( −3 )}− 4 ₌ ( −3 )5 _{= −2 43} 4 R ea l i za l a s s ig u i en t e s op er ac i on e s c on po t en c ia s : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2

RADICACIÓN

L a r ad ic a ci ó n e s l a o p er a ci ó n in v e r s a a l a p ot e n ci a ci ó n . Y c on s i s t e e n q u e d ado s do s n ú m er o s , l l am ado s r ad ic an d o e ín di c e , hal l a r u n t e r ce r o, l l a ma do ra í z , ta l q u e, e l e v a do al í nd ic e , s ea i g u al al r ad ic an d o .

índice

_Radicando



_raíz

Propiedades de la radicación: 2

x



x

n m

_x

_

n m

_x

veces n n n n n k

x



x



x

  

x

k x



1 4 4 442 4 4 4 43

n n

_{x y}

 

_x



n

_y

n n n

x

x

y

y



con

0

y



Ejercicios: 1. C al cu l a l os v al or e s de l as s ig u ie n t es p o t en c ia s :

1 2 3 4 2 . E x tr a er f a ct or es del r ad ic a l : 1 2 3. I nt r o du cir f ac t or e s : 1 2 4 . P on er a c om ú n í nd i ce l o s r adi ca l e s : 5. R e al i za l as s u ma s de r ad ic al es : 1 2 3 4 Ejercicios:

Respuestas: 1) 289/100 2) 1 3) 11/10 4) -8/27 5) 32/243 6) 49/4 7) 64/15625 8 ) 512/1953125 9) -4 10) 10/3 11) 3/2 12) 64/125 13) 63/55 14) -1/3

MONOMIOS Y POLINOMIOS

Tr ab a jar e n ál g e b ra co ns i s t e en m an e jar r el ac i on e s n u mé r i ca s en l as q u e u n a o m ás ca n t id ad es s on de s c on o c id as . E s t as c an t id ad e s s e l l am an v ar ia bl es , i nc ó g n i ta s o in de t er m in ad as y s e r e pr e s e n ta n p or l e tr as .

VALOR NUMÉRICO

E l v al or nu m ér i c o d e u n a ex pr es ió n a l g e br ai ca es e l nú me r o q u e s e o bt i e ne al s u s t i tu i r l a s l et ra s d e l a m is m a p or nú me r os de t er m in ad os y ef ec t u a r l as op e ra c i on e s i nd ic a da s en l a e xp r e s i ón .

Un monomio

e s u n a ex pr es ió n a l g e br ai c a en l a q u e l as ú ni ca s o pe r a ci o ne s q u e a par ec e n e nt r e l as v ar ia bl es s on e l pr o du ct o y l a p o t en c ia de e xp o n en t e n at u r a l .

2x

2

_y

3

_z,



5x

_,

3xy

PARTES DE UN MONOMIO

1 C oe f i c ie n t e E l co ef i ci e n t e d el mo no m io es e l nú mer o q u e ap ar e c e m u l t ip l i c an do a l as v ar i ab l e s . 2 P ar t e l it e ra l L a p ar t e l it er al e s t á c on s ti t u i da por l a s l e tr a s y s u s ex p on e n t es . M ON OM I OS SE M E JA NT E S D os m on om i os s o n s e me j an t e s cu an do ti e n en l a mi s m a par te l i te r al . E j em pl o 1 : 2x2_y3_{z es s em ej a n te a 5x}2_y3_z E j em pl o 2: x2 _{es s em e ja n te a 6x}2 E j em pl o 3:

2

3

x

es s em ej a n te a

5x



S U MA DE M ON O MI OS S ó l o p od e mo s s u mar m on om i os s e me ja n t es . L a s u ma d e l os mo no m io s e s o tr o mo no mi o q u e ti e ne l a m is m a par t e l i t er a l y c u y o c oe f i c i en t e e s l a s u ma d e l o s c o ef i ci e n t es . Ejemplo 1:

3

xy



2

xy



xy

(NOTA: generalmente el coeficiente 1 no se escribe en un monomio)

Ejemplo 2:



 



3

xy



2

xy



3

x



4

x



3

xy



2

xy



3

x



4

x



xy



7

x

Ejemplo 3:





3

xy



2

y



3

x



4

xy



3

xy



4

xy



2

y



3

x



7

xy



2

y



3

x

Ejemplo 4:

2

1

3

3

x



3

x



3

x



x

Ejemplo 5: 2 2 2

2

5

3

x



x



3

x

PR OD UC T O D E U N N ÚM E R O POR U N M ON O MI O E l pr o du c t o d e u n n ú m er o p or u n m on om i o e s o tr o mo no m io s e me j an t e cu y o co e f i c i en t e e s el p ro du c t o d el c oe f i c i en t e de m on o mi o po r e l nú me r o . Ejemplo 1: 2 2 2

2

3 2

3

2

3

x

3

x

x



_{ }

_









g

Ejemplo 2:

 

_

₂

 

_{x y}

2

_{ }

₂

_{x y}

2 Ejemplo 3: 2 2

2

1

2

5

3

x y

15

x y



_





_{ }













PR OD UC T O D E M ON OM IO S E l pr o du c t o d e mo n om i os e s o tr o mo no m io q u e ti e n e p or c o ef ic i e n te el pr od u c t o de l os c o ef ic i e n te s y cu y a p ar t e l it er al s e ob t i en e mu l ti pl ic a nd o l a s po t en c i as q u e t e ng a l a mi s m a b as e . Ejemplo 1:

  

2 3 2



5 3

x y x y



x y

Ejemplo 2: 2 3

2

1

2

5

x

3

x y

15

x y



_





_{ }













Ejemplo 3:





2

2

2

5

x

xy

5

x y



_



_

_{ }









C OC IE NT E D E MO NO M IO S E l co c ie n t e d e mo no m io s e s o tr o mo no m io q u e ti e n e p or co e f i c i en t e e l co c i en t e de l os c o ef ic i e n te s y cu y a p ar t e l it e ra l s e ob t i en e di v i di en d o l a s po t en c ia s q u e t en g a l a mi s m a b as e. Ejemplo 1: 2 1 1 3 2

1

x y

x y

x y

xy

 





Ejemplo 2: 3 2

2

x

2

x

xy



y

Ejemplo 3: 3 2 3

2

2

x y

x y

y



_



Ejemplo 3: 3 3

5

5

x

x



U n

polinomio

e s u n a ex pr es ió n a l g e br ai c a de l a f or m a:

P(x) = a

n

x

n

+ a

n - 1

x

n - 1

+ a

n - 2

x

n - 2

+ ... + a

1

x

1

+ a

0 S i en d o an, an - 1 . .. a1 , ao nú mer os , l l a mad os co e f i c i en t es . n u n nú me r o n at u r al . x l a v ar ia b l e o i nd e te r mi na da . ao e s el t é rm i n o i nd ep e nd ie n t e.

Grado de un polinomio

E l g r ad o de u n po l i no m io P ( x) e s el m ay o r ex po n en t e al q u e s e e n cu en t r a e l e v a da l a v ar ia bl e x .

Polinomio completo

E s aq u el q u e t i en e to d os l os t ér m in o s de s d e el t ér mi no in de p en di e n t e h as t a e l t ér m in o d e m ay or g r ad o

Polinomio ordenado

U n p ol in om i o e s t á or de na do s i l os m on om i os q u e l o f or ma n es tá n e s c r i t os d e ma y or a m en or g r a do .

Polinomios iguales

D os p ol in o mi o s s o n ig u a l e s s i v er if ic a n: L os do s po l i n om i os t i en e n e l mi s m o g rad o . L os c o ef ic i e n te s d e l o s té r m in os d el m is mo g r a do s o n i g u al es .

Valor numérico de un polinomio

E s el r e s u l ta do q u e ob t e ne m os a l s u s ti t u i r l a v ar i ab l e x po r u n nú mer o c u al q u ier a. Ejemplo: sea el polinomio P(x) = 3x2 _{+ x + 2, si x=2 entonces P(2)= 3 (2)}2 _{+(2) +2 =16}

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:

ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y

a

es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

Como procedimiento general para resolver ecuaciones de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½ = 56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Ejemplos:

1

D es pe j am os l a in c óg ni t a:

2 A g r u p am os l os t ér mi no s s e me j an t e s y l os i nd ep e nd i en t e s , y s u ma mo s : 3 Q u i ta m os p ar é n te s i s : A g r u p am os t ér mi no s y s u m am os : De s p e ja mo s l a i nc ó g n i ta : 4 Q u i ta m os d en om i na do r e s , p ar a e l l o e n pr im er l u g ar h al l am os e l mí ni mo co mú n mú l t ip l o . Q u i ta m os p ar é n te s i s , ag r u pa mo s y s u m am os l os t ér m in os s e me j an t es : D es pe j am os l a in c óg ni t a: 5 Qu i t am os par én t es is y s im pl if ic am os : Q u i ta m os d en om i na do r e s , ag r u p am os y s u ma mo s l os t ér mi no s s em ej a n te s : 6

7

8

9

1 0 1 1 1 2

1 3 Qu i ta mo s c or c h et e : Qu i t am os par én t es is : Qu i t am os de no mi n ad or es : Qu i t am os par én t es is : A g r u p am os té r mi n os : S u m am os : D iv id im os l os d os m ie m br o s po r : −9

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

R e s o l v er u n s is te ma d e e cu a ci o n es co ns i s t e e n e n co n tr ar l o s v a l or es de s c on o c id os d e l as v ar i ab l e s q u e s a ti s f ac e n t od as l as e cu ac i on e s .

Para nuestro estudio veremos:

- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

- Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas M É TO DO D E SU S T IT U C IÓ N 1 - S e d es pe j a u na i nc ó g n i ta en u na d e l as e cu a ci o n es . 2 - S e s u s t i tu y e l a ex pr e s i ó n d e es ta in c óg ni t a e n l a o tr a ec u a c i ón , o b t en i en do u n a e cu a ci ó n c on u n a s ol a in c óg ni t a . 3 - S e r es u e l v e l a ec u a c i ón . 4 - El v a l or o b t en id o s e s u s t i tu y e en l a ec u a c ió n e n l a q u e a par ec í a l a i nc ó g n i ta d es pe j ad a. 5 - L o s d os v al or es ob t e ni d os c on s ti t u y en l a s ol u ci ó n d el s i s t em a . Ejemplo: 1 De s p e ja mo s u na de l as in c óg ni t as e n u na de l as do s e cu a ci o n es . El eg im os l a i nc ó g n i ta q u e te ng a e l co e f i c ie n t e m ás ba j o . 2 S u s t it u im os en l a o tr a e cu a ci ó n l a v ar i ab l e x, p or el v a l or a nt er io r : 3 R e s o l v em os l a ec u a c i ón o bt e n id a: 4 S u s t it u im os el v al or o b t en i do en l a v ar ia bl e de s p e ja da . 5 S o l u ci ón

M É TO DO D E IG UA L A CI ÓN 1 - S e de s p e ja l a mi s m a in c óg ni t a e n a mb as e cu a ci o n es . 2 - S e ig u a l a n l as e xpr es i on e s , c on l o q u e o b t en e mo s u na e cu ac i ón co n u na i nc ó g n i ta . 3 - S e r es u e l v e l a ec u a c i ón . 4 - El v al or o b t en id o s e s u s t i tu y e e n c u a l q u ie r a de l as do s e xp r e s i on e s e n l as q u e a par ec í a d es pe ja da l a o tr a i n có g n i ta . 5 - L o s d os v al or es ob t e ni d os c on s ti t u y en l a s ol u ci ó n d el s i s t em a . E j em pl o: 1 De s p e ja mo s , por e j em pl o, l a in c óg ni t a x d e l a pr im er a y s e g u nd a ec u a c ió n: 2 I g u al a mo s am ba s e xpr es i on e s : 3 R e s o l v em os l a e cu ac i ón : 4 S u s t it u im os el v al or d e y , e n u n a de l as do s e xp r e s i on e s e n l a s q u e te n em os de s p e ja da l a x : 5 S o l u ci ón :

M É TO DO D E RE D UC C IÓ N 1 - S e pr e pa r a n l as d os e cu ac i on e s , m u l t i pl ic án d ol as p or l o s n ú m er o s q u e co n v e ng a. 2 - L a r es ta m os , y d es ap ar e c e u na d e l as i nc ó g n i ta s . 3 - S e r es u e l v e l a ec u a c i ón r es u l t an t e . 4 - El v a l or o b t en id o s e s u s t i tu y e en u na d e l as e cu a ci o n es i ni c i al es y s e r es u el v e . 5 - L o s d os v al or es ob t e ni d os c on s ti t u y en l a s ol u ci ó n d el s i s t em a . Ejemplo: L o más f ác il e s s u pr i mir l a y , d e es t e m od o n o t en dr í am os q u e pr e par ar l as ec u a c i on e s ; p er o v am os a op ta r por s u pr i mir l a x , par a q u e v e am os m e jo r el pr o c es o .

R e s t a mo s y r es ol v em o s l a e cu ac i ón : S u s t it u im os el v al or de y e n l a s eg u nd a e cu ac i ón in i ci al . S o l u ci ón : E j em pl os : 1 R e s u e l v e po r s u s ti t u c i ón , i g u al a ci ó n, re du c ci ó n y g ráf ic am e n te el s is t em a:

P or s u s ti t u c i ón : D es pe j am os x de l a s eg u n da e cu ac i ó n y l u e g o r ee mp l a za m os e n l a pr i mer a. P or ig u al ac i ón : D es pe j am os l a mi s m a v ar ia bl e d e am ba s ec u a c i ón , e n es t e c as o h em os el eg id o l a v ar ia bl e x . P or r edu cc i ó n: 2









3 Ha l l a l as s o l u ci on e s d el s i s t em a:









SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

M ÉT OD O DE G A U S S E s t e m é to d o c on s i s te en u t il i zar e l mé t od o d e r ed u c ci ó n de m an er a q u e e n c ad a ec u a c i ón t e ng am os u na i nc ó g n i ta me no s q u e e n l a e cu ac i ó n pr e c ed en t e . 1 - P o ne m os co m o pr im er a ec u a c i ón l a q u e t en g a el có m o co e f i c i en t e de x: 1 ó - 1 , e n c as o d e q u e no f u er a po s i b l e l o h ar e mo s co n y o z, c am bi a nd o e l or d en d e l a s i n có g n i ta s . 2 - Ha c em os r ed u c ci ó n co n l a 1 ª y 2ª ec u a c i ón , p ar a e l i mi na r el té r m in o en x de l a 2ª e cu a ci ó n . D es pu és p on e mo s c om o s eg u nd a e cu ac i ón el r e s u l ta do de l a o p er a c ió n: 3 - Ha c em os l o m is m o c on l a e cu ac i ón 1 ª y 3ª ec u a c ió n , p ar a e l i mi na r el t ér mi no en x. 4 - To ma m os l as ec u a c i on e s 2ª y 3ª , tr a s f o r ma da s , p ar a h ac er r ed u c ci ó n y el im in ar e l t ér mi no en y . 5 - Ob t en e mo s e l s i s t em a e q u iv al e n t e e s c al on ad o . 6 - En c on tr ar l as s ol u ci o n es . Ejemplo: 1 - P o ne m os co m o pr im er a ec u a c i ón l a q u e t en g a có m o co e f i c i en t e de x: 1 ó - 1 , e n c as o d e q u e no f u er a po s i b l e l o h ar e mo s co n y o z, c am bi a nd o e l or d en d e l a s i n có g n i ta s .

2 - Ha c em os r ed u c ci ó n c on l a 1 ª y 2ª ec u a c i ón , p ar a e l i mi na r el t ér mi no en x d e l a 2ª e cu a ci ó n . D es pu és p on e mo s c om o s eg u nd a e cu ac i ón el r e s u l ta do de l a o p er a c ió n: E '2 = E2 − 3E1 3 - Ha c em os l o m is m o c on l a e cu ac i ón 1 ª y 3ª ec u a c ió n , p ar a e l i mi na r el t ér mi no en x. E '3 = E3 − 5E1 4 - To ma m os l as ec u a c i on e s 2ª y 3ª , tr as f or m ad as , p ar a ha cer r ed u c ci ó n y el im in ar e l t ér mi no en y . E ''3 = E'3 − 2E '2 5 - Ob t en e mo s e l s i s t em a e q u iv al e n t e e s c al on ad o . 6 - En c on tr ar l as s ol u ci o n es . z = 1

− y + 4 · 1 = − 2 y = 6

x + 6 − 1 = 1 x = − 4

Hallar el valor de x e y en cada uno de los siguientes sistemas:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Lenguaje coloquial a simbólico:

El Lenguaje Simbólico nos permite escribir con símbolos matemáticos las expresiones coloquiales, para luego resolver los problemas planteados.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

el doble de un número 2 x el triple de un número 3 x el consecutivo de un número x + 1 el anterior de un número x -1

Palabras comúnmente utilizadas en el planteamiento de problemas matemáticos

Mas, adición, agregar, añadir, aumentar +

Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar

-Multiplicación, de, del, veces, producto, por, factor *

División, cociente, razón, es a /

Igual, es, da , resulta, se obtiene ,equivale a =

Un numero cualquiera x

Antecesor de un numero entero cualquiera x-1

sucesor de un numero entero cualquiera X+1

Cuadrado de un numero cualquiera X2

El cubo de un numero cualquiera X3

Dos números cualquiera X, y

Razón de dos números x/y

Algunas expresiones

El doble de un número, duplo , numero par, dos veces un número, múltiplo de 2 2x El triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3 3x

Cuádruplo de un número, cuatro veces 4x

Mitad de un numero

2

x

Tercera parte de un numero

3

x

Dos quintos de un numero

₂

5

x

Número impar cualquiera 2x+1

Semi-suma de dos números

2

x y



Semi-diferencia de dos números

2

x y



Números enteros consecutivos cualquiera X, x+1, x+2, x+3

Números pares enteros consecutivos 2x, 2x+2, 2x+4

Números impares enteros consecutivos 2x+1,2x+3, 2x+5 Las dos terceras partes de un numero disminuido en 5 es igual a 12





2

₅

₁₂

3

x

 

Tres números naturales consecutivos X, x+1, x+2

El cuadrado de un numero aumentado en 7 X2₊₇

El producto de un numero positivo con su antecesor equivale a 30

_{x x}



_{ }

₁



₃₀

Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres

₃

₁

3

5

2

x

x







El doble de la diferencia de dos números

_{2 x y}



_



El denominador de una fracción es cinco unidades menor que su denominador

5

x

x



ó

5

x

x



El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho numero

_x

3

_

₃

_x

2

El triple del consecutivo de un numero

₃



_x

_

₁



La suma de tres números consecutivos

_x

_{   }



_x

₁

 

_x

₂



La suma de tres números impares consecutivos



₂

_x

_{ }

₁

 

₂

_x

_{ }

₃

 

₂

_x

_

₅



1-Si a un número se le suma la mitad de 18 obtengo 30 ,¿ cual es el número ?

:

Solución

Solución: primero identificamos el problema

x



es el numero

9



la mitad de 18

9 30

x

 



si a un número se le suma la mitad de 18 obtengo 30 Ahora resolvemos la ecuación lineal

9 30

30 9

21

x

x

x

 







, entonces el número es 21.

2- Si a un número le resto el doble de 15 , obtengo 36 , ¿ cuál es el número ?

:

Solución

Solución: primero identificamos el problema

x



es el numero 30



el doble de 15

30 36

x







si a un número le resto el doble de 15 , obtengo 36 Ahora resolvemos la ecuación lineal

30 36

30 36

66

x

x

x











, entonces el número es 66. 3 .- L a c if ra d e l as d ec e na s de u n nú m e ro d e do s c if ra s e s el do bl e de l a c if ra d e l as u ni da de s , y s i a di ch o nú me r o l e re s t am o s 2 7 s e o b t i en e e l n ú me r o q u e r es u l ta al in v e r t ir e l or d en de s u s ci f r as . ¿C u ál e s es e n ú m er o ?

:

Solución

x c if r a de l as u n id ad es y c if r a de l as de c en as 1 0 x + y nú mer o 1 0 y + x nú mer o in v e r t id o y = 2x (1 0y + x ) − 27 = 1 0x + y 1 0 · 2 x + x − 2 7 = 1 0 x + 2 x 2 0x + x − 1 2x = 27 x = 3 y = 6, e nt o n ce s e l N ú m er o e s 6 3

4.-Una Granja Tiene Pavos Y Cerdos, En Total Hay 58 Cabezas Y 168 Patas. ¿Cuantos Cerdos Y Pavos Hay?

:

Solución

Sea x



el número de pavos Y



el número de cerdos

Un pavo y un cerdo tienen una cabeza, entonces

58

x

 

y

Un pavo tiene 2 patas, y un cerdo 4 pastas entonces

2

x



4

y



168

Es decir tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

58

2

4

168

x y

x

y

 





_

_



Resolvemos el sistema y obtenemos

32

x



e

26

y



Es decir hay 32 pavos y 26 cerdos.

5.- Las edades actuales de Lucho y Hernán suman 48 años. Lucho le dice a Hernán "Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía 5 años menos de la que tienes hoy " ¿qué edad tiene Hernán?

:

Solución

Sea

L



la edad de Lucho

H



la edad de Hernán

48

L H

 



Las edades actuales de Lucho y Hernán suman 48 años.

5

H





la edad de Hernán hace 5 años



 



2

5

L





_

H

 

L H





_

_

la edad de Lucho es el doble de la edad de Hernán cuando Lucho tenía 5 años menos de la que Hernán hoy

Es decir tenemos el siguiente sistema de ecuaciones



 



48

2

5

L H

L

H

L H









_

_

_{ }

_

_









, resolviendo el sistema se llega

a

26

L



y

22

H



. Es decir la edad de Hernán es 22 años

6.- Un padre saca de uno de los bolsillos de su pantalón, $ 120 y los reparte entre sus hijos Juanito y Anita. Al observar Anita que el reparto no ha sido equitativo le pide a su papa que del otro bolsillo le de $ 24 más, para tener lo mismo que Juanito. ¿Cuánto tenia Anita al principio?

:

Solución

Sea

J



el dinero que le dieron a Juanito

Sea

A



el dinero inicial que le dieron a Anita

Luego

120 J

 

A

, $ 120 repartido entre Juanito y Anita

24

J

 

A

, el dinero de Anita más $24 es igual al dinero de Juanito





120

120

24

96 2

48

24

J

A

A

A

A

A

J

A

 



_

_

_

_{ }

_

_{ }



_{ }



Es decir el dinero inicial de Anita fue $48.

7.-Dispongo de $ 80 y gasto los 3/5 de lo que no gasto. ¿Cuánto gasto?

Solución: identifiquemos el problema, el dinero gastado más el dinero no gastado será igual al dinero que tenías inicialmente.

Sea

x



el dinero que no gasto

3

5

x



3/5 de lo que no gasto Luego

3

80

5

x x

 

(lo que gastas + lo que no gastas) , despejando y resolviendo llegamos a

50

x



, Es decir el dinero que no gasto es $50, pero el problema nos pide el dinero que gaste es decir

 

3

3

50

30

5

x



5



.

Por tanto el dinero que gaste fue $30.

8.- Qué día del año se leía en la hoja de un almanaque, cuando el número de hojas arrancadas excedió en 5 al doble del número de hojas que quedaban?

:

Solución

Un año tiene 365 días

Sea

x



el número de hojas arrancadas

y



el número de hojas restantes

2

5

x



y

_{ }

el número de hojas arrancadas excedió en 5 al doble del número de hojas que quedaban

Por otro lado

365

x y

 

Es decir tenemos el siguiente sistema





365

2

5

365

3

360

120

2

5

x y

y

y

y

y

x

y

 



_

_{  }

_

_

_{ }

  



, entonces

120 365

245

x





 

x

Por tanto fue el día 245.

RAZONES Y PROPOCICIONES

RAZONES

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.

Ejemplo: 7 es a 6 , es decir 7:6 o 7/6

PROPORCIONES

Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras: a/b=c/d ó a:b::c:d Y se lee

a

a es a

b

como

c

es a

d

. Los puntos

a

y

d

se llaman extremos y los puntos

b

y

c

se llaman medios. - El símbolo : se lee “es a” y representa una división.

- El símbolo :: se lee “como” y representa una igualdad. PROPIEDADES.

- En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a d

  

b c

- En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por el otro MEDIO.

a d

b

c





- En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

b c

a

d





Ejemplo 1: Ejemplo 2:

NOTA revise al final del libro la sección de ejercicios resueltos de razones y proposiciones.

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

Binomio al cuadrado:

(a + b )2 _{= a}2 _{+ 2 ab + b}2 (a − b )2 _{= a}2 _{− 2 ab + b}2 EJEMPLOS 1 . (x + 3)2 _{= x} 2 _{+ 2 · x ·3 + 3}2 _{= x} 2 _{+ 6 x + 9} 2 . ( 2x − 3 )2 _{= ( 2x )}2 _{− 2 · 2x · 3 + 3}2 _{= 4x}2 _{− 1 2 x + 9} 3. 2 2 2 2

2

3

2

2

3

3

4

9

2

2

3

x

2

3

x

3

x

2

2

9

x

x

4



_



_







_

   

_

_

_

_











   











   

Suma por diferencia

( a + b) · ( a − b) = a2 _{− b}2

EJ EM P L OS 1 . ( 2x + 5 ) · ( 2x - 5) = (2 x)2 _{− 5}2 _{= 4 x}2 _{− 25} 2. (2 x² + y ³ ) · (2 x² − y ³ ) = ( 2x² )2 _{− ( y ³ )}2 _{= 4x}4 _{− y}6

Binomio al cubo

( a + b)3 _{= a}3 _{+ 3a}2_{b + 3a b}2 _{+ b}3 ( a − b)3 _{= a}3 _{− 3a}2_{b + 3a b}2 _{− b}3 Ejemplo ( x + 3)3 _{= x}3 _{+ 3 · x}2 _{· 3 + 3 · x · 3}2 _{+ 3}3 _{= x}3 _{+ 9 x}2 _{+ 27 x + 27}

REGLAS DE TRES

C u a nd o co mp ar am os do s c an t id ad es , e s t a s s e d en om i na n ca n ti da de s pr o po r c io n al es y d ep en di e nd o d el r es u l t ad o de e s t a c om pa r a ci ó n s u r g en l os s ig u i en t es cr i t er i os : - C a nt i da de s di re c ta m en t e pr o p or c i on al es : s on aq u e l l a s c an t id ad es q u e v ar í an de l a mi s m a m an er a , e s d ec ir , s i u na de el l as au me nt a l a ot r a ta mb i é n l o h ar á , o s i u n a d e e l l a s d is mi nu y e l a ot r a t am b ié n l o har á. E j em pl o: m ás p er s on as , co n s u me n má s co mi da . - C a nt i da de s in v e rs am en t e p ro p or c i on al es : s on aq u e l l a s c an t id ad es q u e v ar í an de ma ne r a c on t ar ía , e s de c ir , s i u n a de e l l a s au m en t a l a o tr a di s m in u ir á, o s i u na d e e l l a s dis mi nu y e l a o tr a au me n tar a

E j em pl o: m ás o br er o s , r e q u ier en me no s d ía s par a c o mp l e t ar u n a ob r a .

L a r e g l a d e tr es e s u n pr oc ed im i e nt o par a ca l c u l ar e l v al or de u na c an t id ad c om pa r á nd ol a co n o tr as tr es o más c an t id ad e s co n o ci da s .

Regla de tres simple directa: es aquella donde intervienen solo dos magitudes a comparar , y ademas son directaente

proporcionales.

Regla de tres simple inversa: es aquella donde intervienen solo dos magitudes a comparar , y ademas son inversamente

proporcionales proporcionales.

Regla de tres compuesta: cuando intervienen mas de dos magnitudes.

Directa Inversa

- Mas a mas - Menos a menos

- Mas a menos - Menos a mas

Ejemplo 1: ¿si 4 libros custan $8 , cuanto costaran 7 libros?