El principio de inducci´
on
El objetivo fundamental de este cap´ıtulo es familiarizarnos con el principio de inducci´on y comenzar a utilizarlo en algunos ejemplos, ya que ser´a una herramienta necesaria a lo largo de toda la asignatura —y de las dem´as asignaturas, no s´olo de este curso.
Al final del cap´ıtulo se incluyen una serie de referencias en las que podr´an completarse algunos de los temas que aqu´ı se esbozan; en casi todas ellas hay ejercicios adicionales (a veces, resueltos) para practicar con el principio de inducci´on, pero es bastante m´as formativo tratar de resolver a fondo personalmente unos pocos ejercicios que leer muchas soluciones ajenas.
0.1.
Revisi´
on de los n´
umeros naturales
Para comenzar a llevar a cabo nuestro plan de revisi´on, empezaremos por reflexionar sobre los objetos matem´aticos m´as sencillos o, mejor dicho, que nos son m´as familiares: los n´umeros naturales.
Previamente, pong´amonos de acuerdo en un punto:
¿Cu´al es el primer n´umero natural?
La cuesti´on no es tan trivial como aparenta. De hecho, en algunos libros se da como respuesta 1 (especialmente en los de An´alisis matem´atico) pero en otros se contesta que es 0 (especialmente en los de ´Algebra).
Esta pluralidad de respuestas obedece, fundamentalmente, al uso que vaya a hacerse de los n´umeros naturales. Simplificando burdamente, podr´ıamos decir que incluir 0 entre los n´umeros naturales responde al deseo de operar con ellos de una manera similar para la suma y el producto; es decir, que igual que para el producto se dispone de un n´umero que multiplicado por cualquier otro deja como resultado el mismo n´umero, puede parecer conveniente que haya tambi´en un n´umero que sumado con cualquier otro deje este ´ultimo como resultado.
Tambi´en puede argumentarse que con el cero podemos representar el n´umero de elementos de un conjunto vac´ıo, de un conjunto sin elementos. Pero en la vida cotidiana, cuando contamos, contamos “algo”, y empezamos por el 1; escribimos normalmente hh1oii por hhprimeroii, hh2oii por
segundo, . . . (El 0 parece m´as ‘artificial’ que ‘natural’, valga el juego de palabras. De hecho, el 0 ha tenido una larga y complicada historia: fue introducido inicialmente como un s´ımbolo y no como un “verdadero” n´umero, ver [3]).
Que en libros ‘serios’ se adopte tanto una como otra posibilidad y en ambos casos se desarrolle una teor´ıa coherente de los n´umeros naturales, parece sugerir que el quid de la cuesti´on no est´a en las operaciones aritm´eticas, sino en la propia g´enesis de los n´umeros naturales, en la manera de ‘fabricarlos’. En este sentido, podr´ıamos preguntar ‘ingenuamente’
¿Cu´al es la propiedad m´as importante de los n´umeros naturales?
Tal vez lo esencial no es que ‘el primer’ n´umero natural sea el 0 o el 1, sino que haya un primer n´umero natural, al cual sigue otro, y a ´este otro, y a ´este otro, . . . , y as´ı sucesivamente, sin tope.
Utilizando la jerga profesional, lo que importa es lapropiedad de inducci´on del conjunto de los n´umeros naturales. Antes de desarrollar esta idea, introducimos la siguiente
Notaci´on.
En lo sucesivo, denotaremos con N el conjunto de los n´umeros naturales o enteros positivos 1, 2, 3, . . .
y con N0 el conjunto de losn´umeros enteros no negativos 0, 1, 2, 3, . . .
Acordada esta notaci´on, volvamos al asunto de la inducci´on en N. Tenemos en N, pues, un elemento inicial que denotamos con 1, al que sigue otro elemento denotado por 2, al que sigue otro elemento denotado por 3, al que . . . . Es decir, como propiedad b´asica de N consideramos que, en general, cada n´umero natural n tiene un siguiente o sucesor, que acostumbramos a denotar por n + 1 (en realidad, esta es la definici´on de n + 1, en el sentido de que hhse define 1 + 1ii como el
siguiente a 1, es decir, 2;hhse define 2 + 1iicomo el siguiente a 2, es decir, 3; hhse define 3 + 1iicomo
el siguiente a 3, es decir, 4; . . . hhy as´ı sucesivamenteii. Este es un ejemplo de lo que suelen llamarse
definiciones recursivas).
La insatisfactoria ‘repetici´on infinita’ que deja abierta el hhy as´ı sucesivamenteii anterior (una
sucesi´on de definiciones que no acaba nunca) se zanja aplicando la
Inducci´on matem´atica. Un conjunto de n´umeros naturales que contenga a 1 y que con cada n contenga al siguiente, debe contener a todos los n´umeros naturales.
M´as informal: para probar que un conjunto de n´umeros naturales ‘agota’ todo N, basta que nos aseguremos de que el 1 est´a en ´el, y que demostremos que est´a n + 1 cada vez que est´e n.
0.2.
Principio de inducci´
on
La ‘propiedad de inducci´on’ de N, en la pr´actica, suele formularse en t´erminos de proposiciones (enunciados que tienen sentido en un cierto contexto, y que pueden resultar ciertos o pueden resultar falsos). Si para cada n ∈ N tenemos una proposici´on Pn, entonces Pn puede ser verdadera para algunos valores de n y falsa para otros. Por ejemplo, si Pn es la proposici´on: hhn2 = nii, entonces P1 es verdadera (ciertamente 12 = 1), mientras que Pn es falsa para todo n 6= 1, n ∈ N (¿podr´ıas justificar por qu´e?); si Pnes la proposici´on:
hh1 + 2 + 3 + · · · + n = n (n + 1)
2
ii
entonces Pn es verdadera para todo n ∈ N, porque denotando con s la suma del primer t´ermino de la igualdad, s = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n +) s = n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 2 + 1 2s = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) + (n + 1) = n (n + 1) y as´ı s = n (n + 1)
2 , como quer´ıamos probar.
¿Qu´e hacer si no hay demostraci´on ‘a la vista’ ? Supongamos ahora que la proposici´on Pn es la llamada desigualdad de Bernoulli :
dado n ∈ N, para todo n´umero real x ≥ −1 se verifica (1 + x)n≥ 1 + nx.
No hay una estrategia directa de ´exito claro: podr´ıamos pensar en el desarrollo de (1 + x)nmediante la f´ormula del binomio, que comenzar´ıa por 1+n x+12n (n−1) x2+· · · , pero la aparici´on de sumandos posiblemente negativos (donde haya potencias impares de x cuando consideremos 0 > x ≥ −1) dificulta el control del tama˜no del resultado.
Sin embargo, es muy sencillo probar que si para alg´un n es cierta Pn, es decir, se cumple
(1 + x)n≥ 1 + nx (∗)
entonces tambi´en es cierta Pn+1, es decir, se cumple
(1 + x)n+1≥ 1 + (n + 1) x.
En efecto: multiplicando los dos t´erminos de la desigualdad (∗) por el n´umero real no negativo 1 + x, se mantiene el sentido de la desigualdad y as´ı
(1 + x)n+1= (1 + x)n(1 + x) ≥ (1 + nx) (1 + x) = 1 + (n + 1) x + nx2, y como nx2 ≥ 0, tendremos 1 + (n + 1) x + nx2 ≥ 1 + (n + 1) x y finalmente
(1 + x)n+1≥ 1 + (n + 1) x.
¿No habr´a alguna forma de sacarle partido a este hecho? Pensemos un momento: el conjunto de los n´umeros naturales para los que Pn se cumple tiene la propiedad de que con cada n que est´e en ´el, debe estar tambi´en n + 1. De acuerdo con la inductividad de N, bastar´ıa que 1 estuviese en dicho conjunto, para que todos los n´umeros naturales estuviesen en dicho conjunto —lo que significar´ıa que Pn ser´ıa cierta para todo n´umero natural n. Pero P1 dice que ha de ser (1 + x)1 ≥ 1 + 1 · x, o sea, 1 + x ≥ 1 + x, trivialmente cierto (incluso para cualquier n´umero real x sin restricci´on). As´ı pues, acabamos de demostrar que Pn es cierta para todo n´umero natural n.
Por tanto, ¡hemos encontrado una demostraci´on indirecta, m´as abordable, del resultado que busc´abamos probar!
Esta misma situaci´on se repite suficientes veces como para que el m´etodo empleado merecezca un enunciado destacado, con nombre propio.
1. Principio de inducci´on. Para cada n´umero natural n, sea Pnuna proposici´on que puede ser cierta o falsa, de tal manera que
P1 es cierta, y
para cada n ∈ N, suponiendo que Pn es cierta se puede demostrar que Pn+1 es cierta. Entonces se cumple que
F Pn es cierta para todo n ∈ N.
Veamos la aplicaci´on de este principio en algunos ejemplos. Ejemplos.
1. Demostrar que, cualquiera que sea el n´umero natural n, n X k=1 k2= n (n + 1) (2n + 1) 6 . (La expresi´on n X k=1
No se ve una manera obvia de calcular directamente la suma que nos proponen (lo que no quiere decir que no exista). Pero s´ı podemos probar f´acilmente por inducci´on que se cumple la igualdad para todo n. Para ello, tomemos como Pn la proposici´on del enunciado:
Pn:: n X k=1 k2= n (n + 1) (2n + 1) 6 . P1 es cierta: para n = 1, 1 X k=1 k2= 12 = 1, mientras que n (n + 1) (2n + 1) 6 = 1 (1 + 1) (2 · 1 + 1) 6 = 1 · 2 · 3 6 = 1.
Si es cierta Pn para un n, ¿tambi´en es cierta Pn+1?
Pn+1:: n+1 X k=1 k2= (n + 1) (n + 1 + 1) (2(n + 1) + 1) 6 = (n + 1) (n + 2) (2n + 3) 6 S´ı: porque n+1 X k=1 k2 = 12+ 22+ · · · + k2+ · · · + n2+ (n + 1)2 = n X k=1 k2+ (n + 1)2 ∗= n (n + 1) (2n + 1) 6 + (n + 1) 2 = n (n + 1) (2n + 1) + 6(n + 1) 2 6 = (n + 1) [n (2n + 1) + 6(n + 1)] 6 = (n + 1) [2n 2+ n + 6n + 6] 6 = (n + 1) [2n2+ 7n + 6] 6 .
En la igualdad= hemos empleado la∗ hhhip´otesis de inducci´onii (esto es, que suponemos Pn cierta).
Y por ´ultimo, tambi´en
(n + 1) (n + 2) (2n + 3) 6 = (n + 1) [(n + 2) (2n + 3)] 6 = (n + 1) [2n2+ 7n + 6] 6 .
2. Demostrar que, cualquiera que sea el n´umero natural n, (i) 42n+1+ 3n+2 es divisible por 13;
(ii) 22n+ 5 es divisible por 3; (iii) 22n+ 15n − 1 es divisible por 9. (i) Para cada n´umero natural n, tomamos
Pn:: 42n+1+ 3n+2 es divisible por 13.
Para n = 1, 42+1+ 31+2= 64 + 27 = 91 = 13 · 7 (P1 es cierta).
Dado un n´umero natural n arbitrario, supongamos cierta la propiedad para n. Pasando a n + 1, 42(n+1)+1+ 3(n+1)+2 = 16 · 42n+1+ 3 · 3n+2= (13 + 3) · 42n+1+ 3 · 3n+2= 13 · 42n+1+ 3 42n+1+ 3n+2 , que, aplicando la hip´otesis de inducci´on, es m´ultiplo de 13 por ser suma de m´ultiplos de 13. (ii) Para cada n´umero natural n, tomamos
para n = 1, 22+ 5 = 4 + 5 = 3 · 3,
y si es cierto para un n que 22n+ 5 es m´ultiplo de 3, pasando a n + 1, 22(n+1)+ 5 = 4 · 22n+ 5 = (3 + 1) · 22n+ 5 = 3 · 22n+ 22n+ 5 , suma de m´ultiplos de 3.
(iii) Para cada n´umero natural n, tomamos
Pn:: 22n+ 15n − 1 es divisible por 9.
Para n = 1, 22+ 15 − 1 = 18 = 9 · 2 (P1 es cierta).
Dado un n´umero natural n arbitrario, supongamos cierta la propiedad para n, de modo que exista un k ∈ N tal que 22n+ 15n − 1 = 9k. Pasando a n + 1,
22(n+1)+15(n+1)−1 = 4·22n+15n+14 = 4(9k−15n+1)+15n+14 = 4·9k−3·15n+18 = 9(4k−5n+2).
Alternativamente:
22(n+1)+ 15(n + 1) − 1 = 4 22n+ 15n − 1 − 45n + 18, que ser´a divisible por 9.
O incluso de otra forma:
22(n+1)+15(n+1)−1 = 4·22n+15n+15−1 = 22n+3·2n+15n−1+15 = 22n+15n−1+3 22n+ 5 ,
y como 22n+ 5 es m´ultiplo de 3 seg´un hemos probado, lo anterior sea m´ultiplo de 9 (aplicando la hip´otesis de inducci´on).
3. Obs´ervese que
1 −1 2 = 1 2 , 1 −1 2 1 −1 3 = 1 3 , 1 −1 2 1 −1 3 1 −1 4 = 1 4 .
Se pide: conjeturar una ley general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y demostrarla mediante el principio de inducci´on.
Parece que se cumple
Pn:: 1 −1 2 1 −1 3 1 −1 4 · · · 1 − 1 n = 1 n. Veamos si podemos probarlo por inducci´on.
P1 es cierta, trivialmente 1 − 1 2 =
1 2. Supongamos cierta Pn. Entonces 1 −1 2 1 −1 3 1 −1 4 · · · 1 − 1 n 1 − 1 n + 1 ∗ = 1 n 1 − 1 n + 1 = 1 n (n + 1) − 1 n + 1 = 1 n n n + 1 = 1 n + 1,
es decir, resulta cierta Pn+1 (hemos aplicado la hip´otesis de inducci´on para escribir ∗ =).
0.3.
Principio de inducci´
on ‘completa’
A veces, la ayuda que proporciona suponer cierta Pn para demostrar Pn+1 es insuficiente, y se hace necesario un “apoyo m´as amplio”. No es dif´ıcil ver que, cuando interese, se puede modificar el principio de inducci´on para usar como “hip´otesis de inducci´on” que son ciertas todas las pro-posiciones P1, . . . , Pn, y deducir de ellas Pn+1. El resultado es lo que algunos textos denominan el principio de inducci´on ‘fuerte’ (ver [D’A-W]) o principio de inducci´on ‘completa’.1
2. Principio de inducci´on ‘completa’. Para cada n´umero natural n, sea Pn una proposici´on, cierta o falsa, de tal manera que
P1 es cierta, y
para cada n ∈ N, suponiendo que P1, P2, . . . , Pn son ciertas se puede demostrar que Pn+1 es cierta.
Entonces se cumple que
F Pn es cierta para todo n ∈ N.
Veamos la ventaja conseguida en un ejemplo. Recordemos que un n´umero natural p distinto de 1 es primo si no tiene m´as divisores en N que 1 y el propio p; abordemos ahora el siguiente ejercicio:
4. Probar que para todo n´umero natural n ≥ 2 existe un n´umero primo p que divide a n. Con el principio de inducci´on utilizado como hasta ahora, un intento razonable ser´ıa tomar Pn:: n = 1 o n ≥ 2 y existe un n´umero primo p que divide a n.
Trivialmente, P1 es cierta. Pero si para un n es cierta Pn, ¿deber´a ser cierta Pn+1? ¿de qu´e sirve que n sea divisible por un n´umero primo p, si eso no implica que p divida a n + 1, ni que ning´un n´umero primo ligado con p (el siguiente, por ejemplo) divida a n + 1?
Sin embargo, pasemos al principio de inducci´on completa: ahora, partimos de un n tal que no s´olo es cierta Pn, sino tambi´en P1, P2, y Pk para cualquier k ≤ n. Entonces:
— si n + 1 es primo, basta tomar p = n + 1 para ver que Pn+1 es cierta;
— y si n + 1 no es primo, tendr´a un divisor positivo k distinto de 1 y de n + 1; pero los divisores de un n´umero son menores o iguales que dicho n´umero (¿por qu´e?); as´ı pues, ser´a k < n + 1, por lo que k valdr´a a lo m´as n. En consecuencia, Pk es cierta, por nuestra ‘nueva’ hip´otesis de inducci´on. Y como k 6= 1, esto significa que k admite un divisor primo p, que a su vez ser´a divisor de n + 1; por tanto Pn+1 es igualmente cierta en este caso. En consecuencia, Pnes cierta para todo n, como quer´ıamos demostrar.
Comentarios
La estrategia de demostraci´on que el principio de inducci´on proporciona recuerda lo que los franceses llaman reculer pour mieux sauter, retroceder para saltar m´as. Comparando las dos versio-nes que hemos enunciado, podr´ıamos decir que en la primera tomamos una “peque˜na carrerilla”, de un s´olo paso, mientras que en la inducci´on completa la “carrerilla”se toma desde el principio.
Siguiendo con las comparaciones, tambi´en se llama al ‘primer’ principio de inducci´on el principio de las fichas de domin´o: si pensamos en una colecci´on infinita de fichas de domin´o puestas una tras otra, para tirarlas todas basta con asegurarse de que cae la primera y de que est´en colocadas de forma que cada ficha tire a la siguiente.
1
Su justificaci´on es sencilla: basta observar que el conjunto S = {n ∈N : P1, P2, . . . , Pnson todas ciertas} cumple que 1 ∈ S y que n ∈ S implica n + 1 ∈ S; o aplicar el principio de inducci´on “normal” a la proposici´on Qn= P1“y” P2 “y” . . . “y” Pn, denotada en l´ogica proposicional por Qn= P1∧ P2∧ · · · ∧ Pn, que es cierta cu´ando y s´olo cuando cada una de las P1, . . . , Pn son ciertas.
0.4.
Principio de inducci´
on ‘desplazada’
Sigamos considerando una colecci´on de proposiciones P1, P2, P3, . . . (una para cada n´umero natural). A veces se cumple que Pn+1 es cierta siempre que lo sea Pn, aunque P1 sea falsa. Por ejemplo, consideremos Pn:hhn = n + 1ii; obviamente, de n = n + 1 se sigue que n + 1 = (n + 1) + 1, que es Pn+1, mientras que 1 6= 2.
¿Qu´e conclusiones cabe extraer de este ejemplo trivial? La primera, algo que no hay que olvidar nunca en Matem´aticas: los enunciados matem´aticos dicen exactamente lo que dicen, y hasta que no hayamos comprobado todas las hip´otesis, no podemos afirmar ninguna tesis. Y concretamente en el principio de inducci´on, no hay que lanzarse sin m´as a probar que Pn implica Pn+1 olvidando probar que P1 es cierta (lo que sucede con cierta frecuencia).
La segunda conclusi´on (ahora que ya nos hemos vuelto extremadamente cuidadosos) es que si Pnimplica Pn+1 para todo n ∈ N y P1 es falsa, quiz´a Pnno sea cierta para ning´un n.
¿Por qu´e quiz´a solamente? Porque podr´ıa suceder que para alg´un valor n1 la correspondiente proposici´on Pn1 fuese cierta. Por ejemplo, examinemos Pn:hhn
2 > n + 2ii. Que P
n implica Pn+1 es sencillo de probar: de n2 > n + 2 (n ∈ N) se sigue que (n + 1)2 = n2+ 2n + 1 > n + 2 + 2n + 1 > (n + 1) + 2; y 12 no es estrictamente mayor que 1 + 2, con lo que P1 es falsa. Pero 42 > 4 + 2, luego P4 es cierta. ¿Qu´e provecho se saca de esta informaci´on? Que Pn es cierta al menos para n ≥ 4, seg´un se deduce aplicando el principio de inducci´on a la proposici´on Qn= Pn+3. ¿S´olo para estos n es cierta Pn? En este caso no: tambi´en es cierta P3.
Por tanto, resumiendo: cuando se cumple que Pn+1 es cierta siempre que lo sea Pn, o bien Pn es falsa para todo n o, en caso contrario, hay al menos un valor n1 tal que Pn1 es cierta, y en este
supuesto, procediendo como antes, se prueba lo que suele llamarse el principio de inducci´on ‘desplazada’ (no es una denominaci´on est´andar).
3.Principio de inducci´on “desplazada”. Sea n1un n´umero natural dado, y para cada n´umero natural n ≥ n1 sea Pn una proposici´on, cierta o falsa, de tal manera que
Pn1 es cierta, y
para cada n´umero natural n ≥ n1, admitiendo que Pn es cierta se puede demostrar que Pn+1 es es cierta,
Entonces se cumple que
F Pn es cierta para todo n ≥ n1.
Con esta nueva herramienta y las anteriores, el lector puede abordar por su cuenta los ejercicios del apartado siguiente.
0.5.
Ejercicios
0.1. Demostrar que para cada n´umero natural n tal que n2+ 5n + 1 es un n´umero par, tambi´en (n + 1)2+ 5(n + 1) + 1 es un n´umero par. ¿Se sigue de aqu´ı por inducci´on que n2+ 5n + 1 es siempre un n´umero par? ¿Cu´al es la conclusi´on correcta? Demostrarlo.
0.2. ¿Para qu´e n´umeros naturales n es cierta la desigualdad 2n> n2? Demostrarlo por inducci´on. 0.3. Sea S = {n ∈ N : 2n < 2n}. Probar que n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S. ¿Se deduce de aqu´ı que S = N? ¿Por qu´e? Si no, ¿qui´en es S? ¿Por qu´e?
0.4. Demostrar que para todo n ∈ N, n X k=1 k3= n(n + 1) 2 2 .
0.5. Demostrar que para todo n ∈ N, 2n X k=n+1 1 k = 2n X k=1 (−1)k+1 k . 0.6. Observar que 1 = 1; 1 − 4 = −(1 + 2); 1 − 4 + 9 = 1 + 2 + 3; 1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4).
Conjeturar una f´ormula general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y de-mostrarla mediante el principio de inducci´on.
0.7. Definamos los n´umeros a1, a2, a3, . . . por a1 = 9, a2 = 36, an+1 = 6an− 9an−1 si n ≥ 2. Probar que an est´a bien definido para todo n y que an= 3n(n + 2).
0.8. Sea u1= 2, u2 = 3, un+1 = 3un− 2un−1 si n ≥ 2. Probar que unest´a bien definido para todo n y que un= 2n−1+ 1.
0.9. (a) Conjetura una f´ormula para 1 + 3 + · · · + (2n − 1) evaluando la suma para n = 1, 2, 3 y 4. (b) Prueba tu f´ormula usando el principio de inducci´on.
0.10. (a) Conjetura una f´ormula que simplifique el producto 1 −1 4 1 −1 9 1 − 1 16 · · · 1 − 1 n2 .
(b) Prueba tu f´ormula usando el principio de inducci´on. Para finalizar el cap´ıtulo, un ‘cl´asico’.
0.11. Evaluar el siguiente resultado:
Teorema. En cualquier examen, todos los alumnos presentados obtienen la misma calificaci´on. Demostraci´on : La haremos por inducci´on. Para cada n ∈ N, sea Pn la proposici´on
hhtodo conjunto de n alumnos distintos, al realizar un examen, obtiene una ´unica calificaci´on.ii
Evidentemente, P1 es cierta. Veamos c´omo de Pn se sigue Pn+1.
Supongamos que tenemos un conjunto {A1, A2, . . . , An, An+1} de n + 1 alumnos distintos, con calificaciones a1, a2, . . . , an, an+1.
Considerando {A1, A2, . . . , An}, tenemos un conjunto de n alumnos distintos, luego por la hip´otesis de inducci´on (estamos admitiendo que Pn es cierta) se tendr´a a1 = a2 = · · · = an.
Considerando ahora {A2, . . . , An, An+1}, tenemos igualmente un conjunto de n alumnos distin-tos, de donde a2= · · · = an= an+1.
Por tanto, hemos encontrado que
a1 = a2 = · · · = an
a2 = · · · = an= an+1 )
luego a1= a2 = · · · = an= an+1 ,
Bibliograf´ıa
[B-S] Bartle, R. G.- Sherbert, D. R.: Introducci´on al An´alisis Matem´atico de una Variable.
Limusa, M´exico, 1990.
Trata el principio de inducci´on en la Secci´on 1.3 (p´ags. 31 a 35). Muy detallado en sus comentarios. Tiene una buena selecci´on de ejemplos y ejercicios.
[D’A-W] D’Angelo, J. P.; West, D. B.: Mathematical Thinking. Problem-Solving and Proofs.
Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1997. Citado en la(s) p´agina(s) 6
Dedica al principio de inducci´on su cap´ıtulo 4 (p´ags. 56 a 73). Es un libro muy original en su plantea-miento, y contiene una gran cantidad de ejercicios y problemas (algunos con cierto grado de dificultad).
[Ebb] Ebbinghaus, H.-D. & al.: Numbers. Springer, New York, 1991.
Es un exclente libro de consulta, a medio camino entre la historia de las matem´aticas que tienen que ver con la idea de n´umero y la exposici´on ‘de teoremas’. Alcanza niveles que superan ampliamente el contenido de este curso, pero merece la pena conocerlo. En la p´ag. 15 se encuentra el principio de inducci´on. No tiene ejercicios.
[Lieb] Liebeck, M.: A Concise Introduction to Pure Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca
Raton, 2000.
De planteamiento muy similar al de esta asignatura, difiere en algunos contenidos y en el orden de expo-sici´on. El principio de inducci´on aparece su cap´ıtulo 8 (p´ags. 55 a 68). Tiene ejercicios muy interesantes, y el cap´ıtulo 9 est´a dedicado a demostrar por inducci´on la f´ormula de Eulerhhcaras + v´ertices = aristas
+2ii, que aplica luego al estudio de los cinco s´olidos plat´onicos (cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro y
dodecaedro).
[Pest] Pestana, D. & al.: Curso pr´actico de C´alculo y Prec´alculo. Ariel, Barcelona, 2000. Orientado fundamentalmente a servir de base para el An´alisis matem´atico, parte de su contenido coincide con el de nuestra asignatura. Muy claro y muy pr´actico, explica el principio de inducci´on en la p´agina 30, dentro de un cap´ıtulo titulado M´etodos de demostraci´on que merece ser le´ıdo en su totalidad.
Documentos en Internet
[1] Interactive Real Analysis, Seton Hall University:
http://www.shu.edu/projects/reals/infinity/index.html [2] ¿Es el 0 un n´umero natural?: Math.Sci FAQ,
http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node12.html#SECTION00321000000000000000 [3] Historia del cero, The MacTutor History of Mathematics archive, St Andrews University,
Escocia: Citado en la(s) p´agina(s) 1
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html
Introducci´
on a la teor´ıa de conjuntos.
En Matem´aticas, los conjuntos aparecen inevitablemente, bien de forma expl´ıcita o bien de forma impl´ıcita, y podemos encontrar ejemplos en abundancia. Acabamos de examinar una propiedad ‘de los n´umeros naturales’, el principio de inducci´on, que no es una propiedad de cada n´umero natural (del 1, o del 2, o del 46) sino del conjunto de los n´umeros naturales. Igualmente, cuando se dice que hay “infinitos n´umeros primos”, no expresamos una propiedad de cada n´umero primo, sino del conjunto que forman: “el conjunto de los n´umeros primos es infinito”. Muchos conceptos geo-m´etricos son conjuntos: rectas, planos, circunferencias, cualquier figura geom´etrica es un conjunto de puntos; hablamos del “conjunto de soluciones” de una ecuaci´on o de un sistema de ecuaciones; un espacio vectorial es un conjunto en el que se ha definido una suma y un producto por escalares que cumplen unas ciertas reglas, etc.
Sin embargo, el estudio de los conjuntos como objetos matem´aticos en s´ı mismos, es decir, la Teor´ıa de conjuntos como disciplina matem´atica, no aparece hasta la segunda mitad del siglo XIX, creada por G. Cantor.
La formalizaci´on de la Teor´ıa de conjuntos como una teor´ıa axiom´atica result´o extremadamente dif´ıcil, pese a lo simple y poco problem´atica que parec´ıa la noci´on de conjunto. Sus primeros desarrollos hicieron aparecer las famosas paradojas de Burali-Forti, de Cantor, de Russell; las discusiones sobre el axioma de elecci´on y la hip´otesis del continuo . . .
Pero lo que a nosotros nos interesa de la Teor´ıa de conjuntos es que proporciona un lenguaje b´asico para formular enunciados y argumentos que el lenguaje ordinario har´ıa farragosos o incom-prensibles. No nos vamos a enfrentar a ella como “estudiosos”, sino como “usuarios”: nos vamos a limitar a una Teor´ıa intuitiva de conjuntos, planteando este cap´ıtulo esencialmente como el tex-to [D-H]. Para completar las explicaciones y ver m´as ejemplos, son interesantes [D’A-W], [Ham],
[Lieb],[Lip], [O.U.], [S-T], etc.
1.1.
Conjuntos.
1.1.1. Idea intuitiva de conjunto: pertenencia. Igualdad e inclusi´on entre
con-juntos. Conjunto potencia.
En un enfoque intuitivo de la teor´ıa de conjuntos, como el que aqu´ı vamos a emplear, la noci´on de conjunto no difiere esencialmente de lo que por tal se entiende en el lenguaje ordinario: una colecci´on de objetos, reales o abstractos (los elementos del conjunto) agrupados como un todo, percibidos simult´aneamente como un nuevo objeto. Desde el punto de vista matem´atico, esta descripci´on de lo que entendemos como conjunto no sirve como definici´on: es demasiado vaga e imprecisa, y utiliza otras palabras (‘colecci´on’, ‘agrupamiento’) que no son m´as que sin´onimos de la palabra ‘conjunto’.
Tampoco nos ayuda recurrir a los diccionarios; en el de la Real Academia Espa˜nola, por ejemplo, encontramos lo siguiente:
conjunto : . . . k 4. m. Agregado de varias personas o cosas. k . . . k 6. La totalidad de los elementos o cosas poseedores de una propiedad com´un, que los distingue de otros. Por ejemplo, los n´umeros pares. k . . . k 9. (Mat.) La totalidad de los entes matem´aticos que tienen determinada propiedad. El CONJUNTO de los n´umeros primos. k . . .
Es muy dif´ıcil plantear una definici´on de ‘conjunto’ que no recurra a sin´onimos hasta caer en un c´ırculo vicioso: es un concepto tan b´asico que s´olo podemos dar descripciones aproximativas del mismo. De hecho, cuando fue preciso establecer una teor´ıa de conjuntos rigurosa desde el punto de vista matem´atico, una Teor´ıa axiom´atica de conjuntos, la noci´on de ‘conjunto’ qued´o entre los t´erminos no definidos.1
Proseguiremos, entonces, con nuestras ideas intuitivas de conjunto y de elementos de un con-junto. Si A es un conjunto y a es uno de sus elementos, diremos que a pertenece a A, y escribiremos
a ∈ A, mientras que la notaci´on
a /∈ A indicar´a que a no pertenece (no es un elemento) de A.
Cuando A es un conjunto con pocos elementos, por ejemplo el de los cinco primeros enteros positivos pares, suele indicarse listando sus elementos entre llaves,
A = {2, 4, 6, 8, 10}.
Pero lo m´as habitual es que los conjuntos vengan descritos por una propiedad que caracteriza a sus elementos: por ejemplo, como citaba el diccionario, el conjunto de todos los enteros positivos pares. Este conjunto se escribe
{x : x es un entero positivo par }, y se lee el conjunto de los x tales que x es un entero positivo par. En general, si tenemos una propiedad P (x) relativa a ciertos x,
{x : P (x) es cierta }, es el conjunto de los x tales que x es cierta.
1
Cuando una determinada rama de las matem´aticas se desarrolla axiom´aticamente, se toman como punto de partida
(1) unos t´erminos no definidos (2) unas relaciones no definidas
(3) unos axiomas que relacionan los t´erminos no definidos y las relaciones no definidas.
A partir de ellos, se van definiendo nuevos t´erminos y se desarrollan teoremas basados en los axiomas o en teoremas anteriores. Por ejemplo, en la geometr´ıa plana eucl´ıdea, ‘punto’ y ‘recta’ son t´erminos no definidos, ‘punto que est´a en una recta’ o, lo que es equivalente, ‘recta que pasa por un punto’, es una relaci´on no definida, y son axiomas, entre otros:
‘Dos puntos distintos est´an en una y una sola recta’ (equivalentemente, ‘por dos puntos distintos pasa una recta y una sola’)
‘Dos rectas distintas no pueden tener m´as de un punto com´un’.
En la Teor´ıa axiom´atica de conjuntos, son t´erminos no definidos ‘elemento’ y ‘conjunto’, la relaci´on no definida es ‘pertenencia de un elemento a un conjunto’, y son axiomas, entre otros,
Axioma de extensi´on. Dos conjuntos A y B son iguales si y s´olo si cada elemento que pertenece a A tambi´en pertenece a B y cada elemento que pertenece a B tambi´en pertenece a A.
Axioma de especificaci´on. Sea P (x) una afirmaci´on y sea A un conjunto. Existe entonces un conjunto al que pertenecen exactamente los elementos a que pertenecen a A para los que el enunciado P (a) es cierto.
Frecuentemente, los x son elementos de un conjunto U fijado de antemano (los enteros, en nuestro primer ejemplo). En vez de escribir entonces {x : x ∈ U y P (x) es cierta }, se emplea la notaci´on.
{x ∈ U : P (x) es cierta }.
Por otra parte, pensar que todos los elementos que se van a manejar quedan dentro de un conjunto “universal” (el universo del discurso) permite eliminar paradojas de car´acter l´ogico, como la no existencia del ‘conjunto de todos los conjuntos’ o la paradoja de Russell, que no hace al caso comentar aqu´ı. (Ver [Ham], p. 111 y ss., donde se explica c´omo la axiom´atica de Zermelo-Fraenkel
resuelve estas paradojas; otra soluci´on, la axiom´atica de von Neumann-Bernays-G¨odel, se apunta en [S-T], cap. 13, p. 252 y ss.)
Los elementos de un conjunto determinan el conjunto. Precisemos esta idea.
Criterio de igualdad de conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si y s´olo si constan de los mismos elementos, es decir:
(1) para cada x ∈ A tambi´en x ∈ B; (2) para cada x ∈ B tambi´en x ∈ A.
Un conjunto muy particular es el conjunto vac´ıo, que no posee ning´un elemento. Se representa por el s´ımbolo ∅.
Los conjuntos con un solo elemento suelen denominarse conjuntos unipuntuales (o tambi´en ‘singuletes’, por la denominaci´on inglesa ‘singletons’).
Definici´on 1.1.1. Dados dos conjuntos A y B, diremos que A es un subconjunto de B si cada elemento de A es tambi´en elemento de B, es decir, si x ∈ A implica x ∈ B.
Para indicar que A es un subconjunto de B escribiremos A ⊆ B. Tambi´en se leehhA est´a
con-tenido en Bii.
¡Atenci´on! Algunos libros usan la notaci´on A ⊂ B para indicar que A est´a contenido en B, mientras que en otros A ⊂ B significa quehhA est´a contenido en B y es distinto de Bii. Para evitar
confusiones, en este ´ultimo caso nosotros pondremos A ⊂6=B, le´ıdo hhA contenido estrictamente en
Bii.
El criterio de igualdad de conjuntos puede reformularse en t´erminos de subconjuntos de manera obvia.
Corolario 1.1.2. Dos conjuntos A y B son iguales si y s´olo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Ejemplos. Para cualquier conjunto A, trivialmente A ⊆ A y ∅ ⊆ A. Que x ∈ A es equivalente a que {x} ⊆ A (¡pero, en general, no a x ⊆ A ni a {x} ∈ A!). Veremos ejemplos m´as interesantes en ejercicios posteriores.
Definici´on 1.1.3. Dado un conjunto A, el conjunto ℘(A) = {S : S ⊆ A}
cuyos elementos son justamente los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A o conjunto de partes de A.
Ejercicios
1.1. Sea A = {2n + 1 : n ∈ N}. Decir si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando la respuesta:
(i) si x = (2n + 1)2 para alg´un n ∈ N, entonces x ∈ A. (ii) si x ∈ A, entonces x = (2n + 1)2 para alg´un n ∈ N.
(iii) si existen y ∈ A, z ∈ A tales que x = yz, entonces x ∈ A. (iv) si x ∈ A, entonces existen y ∈ A, z ∈ A tales que x = yz.
1.2. Probar que {a} = {b, c} si y s´olo si a = b = c.
1.3. Probar que {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} si y s´olo si a = c y b = d.
1.4. ¿Cu´ales de los conjuntos A = {x ∈ R : x2 = 1}, B = {x ∈ R : x4 = 1}, C = {x ∈ C : x2 = 1}, D = {x ∈ C : x4 = 1} son iguales y cu´ales son distintos? ¿Por qu´e? ¿Cu´ales son subconjuntos de otros?
1.5. Demostrar las siguientes igualdades entre conjuntos:
(i) {x ∈ R : x3− x > 0} = {x ∈ R : −1 < x < 0 o x > 1}. (ii) {(x, y, z) ∈ R3 : x = y, x + y + z = 1}
= {(x, y, z) ∈ R3 : x = t/2, y = t/2, z = 1 − t para alg´un t ∈ R}.
1.6. ¿Es cierto que A ⊆ B si y s´olo si ℘(A) ⊆ ℘(B)? ¿Por qu´e?
1.7. Sea A0 = ∅, An = ℘(An−1), n ∈ N. Describir expl´ıcitamente A1, A2, A3, A4. ¿Cu´antos elementos tiene cada uno de estos conjuntos? ¿Cu´antos elementos crees que tendr´a An para un n arbitrario?
1.1.2. Operaciones con conjuntos: uni´on, intersecci´on, complemento.
Definici´on 1.1.4. Dados dos conjuntos A y B, su uni´on es el conjunto
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B},
formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos (pueden pertenecer a los dos).
La intersecci´on de A y B es el conjunto
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B},
formado por los elementos que pertenecen simult´aneamente a ambos conjuntos.
Si A ∩ B = ∅, diremos que A es disjunto con B (y entonces tambi´en B es disjunto con A). El complementario de B respecto de A es el conjunto
A \ B = {x : x ∈ A y x /∈ B},
formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se le denomina tambi´en la diferencia entre A y B.
Cuando todos los conjuntos que se manejan son subconjuntos de un conjunto X dado expl´ıci-tamente o inequ´ıvocamente sobreentendido, se pone Ac en vez de X \ A, abreviando hhel
comple-mentario de A respecto de Xii porel complementario de A, sin m´as.
Diagramas de Venn. Las operaciones con conjuntos permiten realizar “c´alculos” que se intuyen mejor utilizandodiagramas de Venn , que consisten en dibujar en el plano regiones, limitadas por circunferencias o curvas adecuadas, que representan a los conjuntos. Por ejemplo, en los diagramas
hemos representado dos conjuntos A y B como las regiones limitadas por una elipse grande y una circunferencia peque˜na. Las zonas rayadas representan, sucesivamente, A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B. Los “c´alculos” con conjuntos comparten algunas reglas (¡no todas!) con las operaciones entre n´umeros.
Proposici´on 1.1.5. Dados tres conjuntos cualesquiera A, B y C, se tienen las siguientes igualda-des:
(i) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). (ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). (iii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). (iv) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Demostraci´on. Ver [D-H], pp. 10-11.
Proposici´on 1.1.6. Leyes de De Morgan. Sean A, B, subconjuntos de un conjunto X. Entonces
(i) (A ∪ B)c = Ac∩ Bc. (ii) (A ∩ B)c = Ac∪ Bc. Demostraci´on. Ejercicio.
Las definiciones de uni´on e intersecci´on de dos conjuntos pueden ampliarse a una colecci´on arbitraria de conjuntos.
Definici´on 1.1.7. Sea C una colecci´on no vac´ıa de conjuntos (un conjunto no vac´ıo cuyos elementos son a su vez conjuntos). La uni´on de C es el conjunto
[
C = [
A∈C
A = {x : x ∈ A para alg´un A ∈ C},
formado por los elementos x que pertenecen a uno al menos de los conjuntos de C. La intersecci´on de C es el conjunto
\
C = \
A∈C
A = {x : x ∈ A para todos A ∈ C},
formado por los elementos x que pertenecen a todos los conjuntos de C.
En particular, cuando C = {A, B} reencontramos las definiciones de A ∪ B y A ∩ B. En el caso de que sea C = {A1, A2, . . . , Ak}, se emplea la notaci´on
k [ n=1 An, k \ n=1 An,
en vez de S C, T C, respectivamente. As´ı mismo, cuando C = {An: n ∈ N}, suele emplearse [ n∈N An, \ n∈N An,
o alguna otra notaci´on similar.
En ocasiones se manejan ‘conjuntos de ´ındices’ cualesquiera, no solamente N: por ejemplo, C = {Ax: x ∈ R}, donde Ax = (−∞, x) = {y ∈ R : y < x}.
En general, si I es un conjunto no vac´ıo arbitrario, y para cada i ∈ I tenemos dado un cierto conjunto Ai, podemos considerar C = {Ai : i ∈ I} y definir
[ i∈I Ai= [ C =[{Ai: i ∈ I}, \ i∈I Ai= \ C =\{Ai: i ∈ I},
de manera que resultar´a [ i∈I
Ai = {x : x ∈ Ai para alg´un ´ındice i ∈ I},
\ i∈I
Ai = {x : x ∈ Ai para todos ´ındices i ∈ I}.
Cuando C viene dado de este modo, diremos que se trata de una familia de conjuntos con conjunto de ´ındices I. Daremos una definici´on m´as ‘formal’ posteriormente.
Proposici´on 1.1.8. Leyes de De Morgan. Dado un conjunto X, sea C = {Ai : i ∈ I} una familia de subconjuntos de X [es decir, C ⊆ ℘(X)] con conjunto de ´ındices I. Entonces
(1) S i∈IAi c =T i∈IAci. (2) T i∈IAi c =S i∈IAci. Demostraci´on. Ejercicio.
Ejercicios
2.1. Sea A un subconjunto de un conjunto dado X. Comprobar que (Ac)c = A.
2.2. Probar que dados dos subconjuntos A, B de un conjunto X, entonces X \ A = B si y s´olo si A ∪ B = X, A ∩ B = ∅.
2.3. Dados dos conjuntos A, B, demostrar que: (1) A ⊆ B si y s´olo si A ∪ B = B.
(2) A ⊆ B si y s´olo si A ∩ B = A. (3) A ⊆ B si y s´olo si A \ B = ∅.
2.4. Dado un conjunto X, sean A, B, C ⊆ X. (1) Probar que A \ B = A ∩ Bc.
(2) Aplicando lo anterior y las leyes de De Morgan, dar otra expresi´on de A \ (B \ C). (3) ¿Es lo mismo A \ (B \ C) que (A \ B) \ C? ¿Por qu´e?
2.5. Dados dos conjuntos A, B, probar que (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) (este conjunto se denomina diferencia sim´etrica o discrepancia de A y B.)
2.6. Sea A0 = ∅, An = An−1∪ {An−1}, n ∈ N. Describir expl´ıcitamente A1, A2, A3, A4. ¿Cu´antos elementos tiene cada uno de estos conjuntos? ¿Cu´antos elementos crees que tendr´a An para un n arbitrario? ¿C´omo probar´ıas tu conjetura?
2.7. Sea A1 un conjunto arbitrario, y definamos An+1= ℘(An), n ∈ N, A =SnAn. ¿Es cierto que B ⊆ A si y s´olo si ℘(B) ∈ A?
2.8. Para cada k ∈ N, sea Ak= {n ∈ Z : n ≥ k}. Comprobar que
A1⊇ A2⊇ . . . ⊇ Ak⊇ Ak+1⊇ . . .
y, por tanto, Tk
n=1An= Ak 6= ∅ cualquiera que sea k ∈ N. Sin embargo, T
n∈N An= ∅. 2.9. Para cada n ∈ N, sea An=
0, 1 − 1 2n , Bn = 0, 1 − 1 3n
. Comprobar que An est´a estricta-mente contenido en Bn para todo n. ¿Est´a la uni´on de los An estrictamente contenida en la uni´on de los Bn?
(No: probar queS
n∈N An=Sn∈N Bn= [0, 1).)
1.2.
Relaciones.
1.2.1. Pares ordenados. Producto cartesiano de conjuntos. Relaciones.
El lector ha manejado ya pares ordenados en situaciones concretas: al introducir un sistema de coordenadas en el plano, por ejemplo, cada punto viene representado por un par ordenado (x, y) de n´umeros reales. La diferencia esencial entre el par ‘ordenado’ (x, y) y el conjunto {x, y} (el ‘par sin ordenar’) es que distinguimos (x, y) de (y, x), considerando iguales dos pares (x, y) y (u, v) si y s´olo si x = u, y = v. Ampliando esta idea, podemos considerar pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenezca a un conjunto cualquiera A y su segundo elemento b pertenezca a un conjunto cualquiera B, manteniendo su ‘propiedad caracter´ıstica’:
Criterio de igualdad de pares ordenados. Dados dos conjuntos arbitrarios A, B, y dos pares ordenados (a, b), (a0, b0), con a, a0 ∈ A, b, b0∈ B,
(a, b) = (a0, b0) si y s´olo si a = a0 y b = b0.
(Como curiosidad, se˜nalemos que es posible dar una definici´on de par ordenado en t´erminos de conjuntos.2)
Definici´on 1.2.1. Elproducto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
formado por todos los pares ordenados cuyo primer elemento est´a en A y el segundo en B.
Ejemplos. El conjunto de las coordenadas de los puntos del plano es R × R. Pero quiz´a el primer producto cartesiano de su vida (de un conjunto de letras por un conjunto de n´umeros) lo haya manejado el lector en el ‘juego de los barcos’.
Definici´on 1.2.2. Una relaci´on binaria en un conjunto A es un subconjunto R del producto cartesiano A × A de A por s´ı mismo.
En vez de escribir (a, b) ∈ R , suele ponerse a R b, le´ıdohha est´a relacionado con b en la relaci´on
Rii. 2
Concretamente, Kuratowski dio la siguiente definici´on formal:
(a, b) = {{a}, {a, b}}.
Ejemplos.
(1) Sea R el conjunto de las rectas del plano. Se define en R la relaci´on de incidencia poniendo: para dos rectas r, s ∈ R, es r R s cuando y s´olo cuando r y s tienen alg´un punto com´un. (Esta relaci´on se expresa brevemente diciendohhr corta a sii)
(2) En el mismo conjunto, se define la relaci´on de paralelismo k poniendo:
para dos rectas r, s ∈ R, es rks cuando y s´olo cuando r y s son paralelas, es decir, o no tienen ning´un punto com´un o coinciden.
(3) Sea C el conjunto de las circunferencias del plano. Se define en C la relaci´on de tangencia poniendo:
para dos circunferencias C1, C2∈ C, es C1R C2 cuando y s´olo cuando C1 y C2 son tangentes. (4) En N, se define la relaci´on de divisibilidad | poniendo:
para m, n ∈ N, es m | n cuando y s´olo cuando m divide a n (i.e., n es un m´ultiplo de m). (5) An´alogamente se define la relaci´on de divisibilidad en Z.
(6) Dado un conjunto X, se define en ℘(X) la relaci´on de inclusi´on ⊆ poniendo:
para A, B ∈ ℘(X), es A ⊆ B cuando y s´olo cuando A es un subconjunto de B. Las propiedades m´as interesantes de las relaciones se recogen en la siguiente definici´on. Definici´on 1.2.3. Sea R una relaci´on (binaria) en un conjunto A. Diremos que R es
• reflexiva si para todo a ∈ A es a R a;
• sim´etrica si siempre que para a, b ∈ A es a R b, tambi´en es b R a;
• antisim´etrica si para a, b ∈ A, que sea simult´aneamente a R b y b R a obliga a que a = b; • transitiva si siempre que para a, b, c ∈ A es a R b y b R c, tambi´en es a R c.
Ejercicio. ¿Cu´ales de estas propiedades, y cu´ales no, tienen las relaciones que hemos definido anteriormente?
1.2.2. Relaciones de equivalencia y particiones. Conjunto cociente.
Definici´on 1.2.4. Una relaci´on de equivalencia en un conjunto A es una relaci´on (binaria) en A que tiene las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva.
Ejemplos.
1.- El prototipo es la relaci´on deigualdad en cualquier conjunto: a R b cuando a = b.
2.- La relaci´on de paralelismo entre rectas es la ´unica relaci´on de equivalencia de las seis que hab´ıamos definido en el apartado anterior.
3.- Dado un espacio vectorial E y un subespacio vectorial M de E, la relaci´on R definida por x R y si x, y ∈ E y y − x ∈ M es una relaci´on de equivalencia porque 0 = x − x ∈ M para todo x ∈ E, x − y = −(y − x) ∈ M siempre que y − x ∈ M , y z − x = (z − y) + (y − x) ∈ M cuando y − x, z − y ∈ M .
4.- Otro ejemplo importante de relaci´on de equivalencia, que estudiaremos con m´as detalle poste-riormente, es la congruencia en Z m´odulo m: fijado m ∈ N con m ≥ 2, diremos que dos enteros a, b ∈ Z son congruentes m´odulo m, en s´ımbolos a ≡ b (m´od m), cuando m | (b−a) es decir, cuando exista un k ∈ Z tal que b − a = km. Puesto que a − a = 0 · m, b − a = km implica a − b = (−k)m, y de b − a = km, c − b = `m se sigue c − a = (c − b) + (b − a) = (` + k)m, vemos que esta relaci´on tiene efectivamente las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva.
Las congruencias son hhlas matem´aticas del tiempoii: la esfera del reloj marca las horas m´odulo
12, los d´ıas de la semana van seg´un congruencias m´odulo 7, los meses m´odulo 12 (el decimotercer mes vuelve a ser enero); pero tambi´en conocemos ejemplos de otro tipo: los cuentakil´ometros de los coches funcionan seg´un congruencias m´odulo 100 000.
Como se indica en [D-H], “el inter´es de las relaciones de equivalencia est´a en el hecho de que
cons-tituyen una abstracci´on de los procesos ordinarios de clasificaci´on”: permiten repartir el conjunto en ‘bloques’ disjuntos, las llamadas clases de equivalencia. Pasemos a explicar este aspecto. Definici´on 1.2.5. Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto A. Dado a ∈ A, laclase de equivalencia de a en la relaci´on R es el conjunto
[a] = {b ∈ A : a R b}.
El conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de R es el conjunto cociente de A por R , denotado por A/ R , con lo cual
A/ R = {[a] : a ∈ A},
y as´ı A/ R ⊆ ℘(A).
Notemos que siempre a ∈ [a], por la propiedad reflexiva de R .
Ejemplos. Examinemos cu´ales son las clases de equivalencia en las relaciones que hemos visto anteriormente.
1.- Si a R b cu´ando y s´olo cuando a = b, [a] consta del ´unico elemento a, es decir, [a] = {a} en este caso. El conjunto cociente es el conjunto de los subconjuntos unipuntuales de A (que no es lo mismo que A, aunque casi lo parezca).
2.- En la relaci´on de paralelismo, cada clase de equivalencia consta de una recta y todas sus paralelas (es lo que se llama un haz de rectas paralelas), todas las que tienen ‘la misma direcci´on’. Hay, pues, tantas clases de equivalencia como ‘direcciones’.
3.- Para cada x ∈ E, [x] = x + M = {y ∈ E : y = x + z para alg´un z ∈ M } (comprobarlo). El conjunto cociente se denota por E/M , y se denomina espacio vectorial cociente (se ver´a en ´Algebra lineal que realmente puede ser dotado de una estructura de espacio vectorial).
Gr´aficamente, si E es un espacio vectorial real de dimensi´on dos (un plano) y M es un subespacio de dimensi´on uno (una recta que pasa por el origen) las clases de equivalencia son las rectas paralelas a M ; si E es un espacio vectorial real de dimensi´on tres (el espacio ordinario) y M es un subespacio de dimensi´on uno (una recta que pasa por el origen), las clases de equivalencia siguen siendo las rectas paralelas a M , mientras que si M es de dimensi´on dos (un plano que pasa por el origen), las clases de equivalencia son los planos paralelos a ´este.
4.- En la relaci´on de congruencia m´odulo m, para cada a ∈ Z es
[a] = a + mZ = {b ∈ Z : b = a + km para alg´un k ∈ Z}.
Estas clases de equivalencia suelen denominarse clases de restos m´odulo m, porque dos enteros a y b est´an en la misma clase si y s´olo si dan el mismo resto al ser divididos por m, es decir, si y s´olo si a = pm + r, b = qm + r para enteros adecuados p, q y r, con 0 ≤ r < m (comprobarlo). Para m = 2, encontramos dos clases de equivalencia: el conjunto de los enteros pares y el conjunto de los enteros impares.
En general, el conjunto cociente, que se denota por Zm, ¿cu´antos elementos tiene? Tantos como restos encontramos al dividir por m: 0, 1, . . . m − 1; es decir, m elementos.
Una relaci´on de equivalencia permite ‘separar en trozos’ el conjunto, tomando cada clase de equivalencia como uno de los trozos. Concretamente, se tiene:
Proposici´on 1.2.6. Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto no vac´ıo A. Entonces cada elemento de A est´a en una y s´olo una de las clases de equivalencia definidas por R .
Lema 1.2.7. Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto no vac´ıo A. Dados b, c ∈ A es [b] = [c] si y s´olo si b R c.
Demostraci´on. Suponiendo [b] = [c], como c ∈ [c] = [b], se sigue que b R c.
Rec´ıprocamente, sea b R c. Si x ∈ [b], ser´ıa b R x, que con c R b (propiedad sim´etrica de R ) dar´ıa c R x por transitividad, o sea, x ∈ [c]; y an´alogamente, de x ∈ [c] obtenemos c R x, que con b R c da b R x y finalmente x ∈ [b].
Ahora podemos demostrar la proposici´on anterior. Demostraci´on de la proposici´on 1.2.6.
Obviamente, cada elemento de A est´a al menos en una clase de equivalencia: a ∈ [a] para cada a ∈ A por ser R reflexiva. Y no puede estar en m´as de una: si a ∈ [b] y a ∈ [c], esto significar´ıa que b R a y c R a (por definici´on), luego a R c (propiedad sim´etrica de R ) y finalmente b R c (propiedad transitiva), con lo que aplicando el lema [b] = [c].
La ‘descomposici´on en bloques’ de un conjunto se denomina partici´on del conjunto.
Definici´on 1.2.8. Una partici´on de un conjunto no vac´ıo A es una colecci´on C de subconjuntos no vac´ıos de A (i.e., C ⊆ ℘(A) \ {∅}) tal que cada x ∈ A pertenece a uno y uno s´olo de los S ∈ C. En otras palabras, C verifica que:
1. S
S∈CS = A,
2. si S, T ∈ C y S 6= T , S ∩ T = ∅.
Puesto que cada clase de equivalencia [a] contiene al menos al elemento a, la proposici´on 1.2.6 nos dice que el conjunto cociente A/ R (el conjunto de clases de equivalencia) es una partici´on de A. Que definir una relaci´on de equivalencia o definir una partici´on es ‘pr´acticamente lo mismo’ se prueba en el siguiente teorema.
Teorema 1.2.9. Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto no vac´ıo A. Entonces, el conjunto de las clases de equivalencia es una partici´on de A.
Rec´ıprocamente, si C es una partici´on de A, existe una relaci´on de equivalencia R (y una sola) tal que las clases de eqivalencia de R son exactamente los conjuntos de la partici´on C.
Demostraci´on. S´olo falta probar el rec´ıproco.
Supongamos, pues, que tenemos una partici´on C de A. ‘Arrancando’ de C, hemos de llegar a construir una relaci´on de equivalencia R sobre A cuyas clases de equivalencia sean precisamente los conjuntos S ⊆ A que forman la partici´on C. Reflexionando sobre el lema 1.2.7, no es dif´ıcil pensar en la relaci´on siguiente:
• pondremos a R b para dos elementos a, b ∈ A, si y s´olo si existe un S ∈ C tal que a ∈ S y b ∈ S.
¿Tenemos as´ı ciertamente una relaci´on de equivalencia? Dado a ∈ A, como C es una partici´on, existe S ∈ C tal que a ∈ S, luego a R a cualquiera que sea a y as´ı R es reflexiva. De la propia definici´on se sigue que es sim´etrica. Para ver que es transitiva, observemos que si a R b existe un S ∈ C tal que a ∈ S y b ∈ S, y si b R c existe un T ∈ C tal que b ∈ T y c ∈ T ; pero entonces b ∈ S ∩ T , lo que por ser C una partici´on obliga a que S = T , deduci´endose que a, c ∈ S = T y a R c.
¿Son las clases de equivalencia de R exactamente los S ∈ C? Es decir: ¿cada clase de equiva-lencia de R est´a en C? ¿y cada S ∈ C es una clase de equivalencia de R ?
Notemos que dados a ∈ A, S ∈ C, se tiene
En efecto, trivialmente a ∈ [a] siempre, luego si [a] = S, a ∈ [a] = S Rec´ıprocamente, si a ∈ S, todo b ∈ S cumple a R b y por tanto b ∈ [a]; y al rev´es, si b ∈ [a], seg´un la definici´on de R existe un T ∈ C tal que a, b ∈ T ; pero entonces a ∈ S ∩ T , luego S = T y b ∈ S.
En consecuencia:
Dado a ∈ A, es [a] ∈ C, pues como C es una partici´on de A, debe existir S ∈ C tal que a ∈ S, y as´ı [a] = S.
Dado S ∈ C, S = [a] para alg´un a ∈ A, pues S es no vac´ıo y habr´a al menos un a ∈ S, con lo cual S = [a] para este a.
Finalmente, si queremos comprobar que la relaci´on R que hemos construido es la ´unica que tiene estas clases de equivalencia, basta aplicar el lema 1.2.7.
Ejemplos.
1. Sea A el conjunto de los n´umeros enteros pares y B el conjunto de los n´umeros enteros impares. Entonces {A, B} es una partici´on de Z, y la relaci´on de equivalencia que define es la congruencia m´odulo 2.
2. Poniendo A = {x ∈ R : x > 0}, B = {0}, C = {x ∈ R : x < 0}, {A, B, C} es una partici´on de R. Si R es la relaci´on de equivalencia que define, es x R y si y s´olo si x = y = 0 o x 6= 0 6= y y x e y tienen el mismo signo.
Ejercicio. Compr´uebese, para cada una de las relaciones de equivalencia que hemos encontrado, que las clases forman una partici´on del correspondiente conjunto.
1.2.3. Relaciones de orden.
Definici´on 1.2.10. Una relaci´on de orden en un conjunto A es una relaci´on (binaria) en A que tiene las propiedades reflexiva, antisim´etrica y transitiva.
Ejemplos.
1.- El prototipo es la relaci´on deorden en cualquier subconjunto de R: a R b cuando a ≤ b. 2.- En todo conjunto se puede definir una relaci´on de orden trivial: la igualdad, a R b si y s´olo si a = b.
3.- Dado un conjunto X, la inclusi´on entre subconjuntos de X es una relaci´on de orden en ℘(X). 4.- La relaci´on de divisibilidad en N es una relaci´on de orden, pero no lo es la divisibilidad en Z (falla ‘por poco’ la propiedad antisim´etrica).
5.- En C puede definirse el orden lexicogr´afico de la siguiente manera:
para z1, z2 ∈ C, es z1≤ z2 cuando y s´olo cuando <e z1 < <e z2, o <e z1 = <e z2 y =m z1≤ =m z2. Es f´acil comprobar que tiene las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva. ¿Cu´al es la repre-sentaci´on gr´afica del conjunto {z ∈ C : 0 ≤ z}?
6.- As´ı mismo, en C puede definirse el orden producto de la siguiente manera:
para z1, z2 ∈ C, es z1≤ z2 cuando y s´olo cuando <e z1 ≤ <e z2 y =m z1≤ =m z2.
Tambi´en tiene las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva. ¿Cu´al es ahora la representaci´on gr´afica del conjunto {z ∈ C : 0 ≤ z}?
Definici´on 1.2.11. Un conjunto ordenado es un conjunto A dotado de una relaci´on de orden. De una manera m´as formal, un conjunto ordenado ser´ıa un par (A, R ), donde A es un conjunto y R una relaci´on de orden en A. Por ejemplo, (N, ≤) y (N, | ) son dos conjuntos ordenados (distintos, aunque tengan el mismo conjunto base).
Algunos conceptos que el lector conoce para el orden de R pueden definirse en un conjunto ordenado arbitrario.
Definiciones 1.2.12. Sea A un conjunto ordenado, y denotemos por ≤ su relaci´on de orden. Sea S un subconjunto de A.
Si para alg´un a ∈ A es a ≤ s para todo s ∈ S, diremos que a es unacota inferior de S y que S est´a acotado inferiormente (por a).
Si para alg´un b ∈ A fuese b ≥ s para todo s ∈ S, diremos que b es una cota superior de S y que S est´a acotado superiormente (por b).
Cuando S est´a acotado a la vez superior e inferiormente, se dice que S est´a acotado.
Un m ∈ A es m´ınimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota inferior del mismo. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Pondremos entonces m = m´ın S.
Un M ∈ A es m´aximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota superior del mismo. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. Pondremos entonces M = m´ax S.
Un elemento a ∈ A es´ınfimo de un conjunto S si es el m´aximo del conjunto de cotas inferiores de S. Pondremos entonces a = inf S.
N´otese que si a = inf S, ser´a a = m´ın S si y s´olo si a ∈ S.
Un elemento b ∈ A es supremo de un conjunto S si es el m´ınimo del conjunto de cotas superiores de S. Pondremos entonces b = sup S
N´otese que si b = sup S, ser´a b = m´ax S si y s´olo si a ∈ S.
Otros conceptos importantes en las relaciones de orden son los siguientes.
Definici´on 1.2.13. Dado un conjunto ordenado (A, ≤) y un subconjunto S de A, un elemento x ∈ S se dice maximal si para cada a ∈ S tal que x ≤ a, debe ser x = a; un elemento y ∈ S se diceminimal si para cada b ∈ S tal que b ≤ y, debe ser b = y.
En un conjunto ordenado puede no haber elementos maximales o minimales, igual que no siempre hay m´aximos o m´ınimos (Ver [D-H], p. 13).
Ejercicios
3.1. Dados dos conjuntos A y B, probar que A × B = ∅ si y s´olo si A = ∅ o B = ∅.
3.2. Sean A y B dos conjuntos. Si A × B 6= ∅, probar que A × B ⊆ C × D cuando y s´olo cuando A ⊆ C y B ⊆ D. ¿Por qu´e hemos necesitado suponer A × B 6= ∅?
3.3. Sea R una relaci´on en un conjunto A. ¿Es cierto que para todo a ∈ A hay al menos un b ∈ B tal que a R b? ¿Por qu´e?
3.4. Para cada punto P del plano, el haz de rectas de v´ertice P es el conjunto de las rectas que pasan por P . ¿Pueden ser los haces de rectas las clases de equivalencia de alguna relaci´on de equivalencia? ¿Por qu´e?
3.5. Sea R la relaci´on definida en N × N de la siguiente manera:
dados dos pares (m, n), (p, q) ∈ N × N, es (m, n) R (p, q) cuando y s´olo cuando m + q = p + n. Estudiar si R es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica, transitiva. ¿Es R una relaci´on de equivalen-cia? En caso afirmativo, ¿cu´ales son las correspondientes clases de equivalencia? Representarlas gr´aficamente en el plano.
3.6. Sea Z∗ = Z \ {0}. Definimos una relaci´on R en Z × Z∗ de la siguiente manera:
dados dos pares (m, n), (p, q) ∈ Z × Z∗, es (m, n) R (p, q) cuando y s´olo cuando m · q = p · n. Estudiar si R es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica, transitiva. ¿Es R una relaci´on de equivalen-cia? En caso afirmativo, ¿cu´ales son las correspondientes clases de equivalencia? Representarlas gr´aficamente en el plano.
3.7. Sea R una relaci´on en un conjunto A y S un subconjunto de A. Consideremos en S la relaci´on R0 definida por: a R0b para a, b ∈ S si y s´olo si a R b (la restricci´on de R a S). Probar que si R es un relaci´on de equivalencia en A, R0 es una relaci´on de equivalencia en S; y que si R es una relaci´on de orden en A, R0 es una relaci´on de orden en S.
3.8. Sea A un conjunto ordenado y S un subconjunto de A. Probar que si existe el m´aximo o el m´ınimo de S, es ´unico.
3.9. Una relaci´on de orden R en un conjunto A es un orden total si para todo par a, b de elementos de A se tiene que o bien a R b o bien b R a; en caso contrario, R es unorden parcial . Dar ejempos de ´ordenes totales y de ´ordenes parciales. ¿Qu´e puede decirse sobre la unicidad de los elementos maximales o minimales en estos tipos de relaciones de orden?
3.10. Sea S = {z = x+iy ∈ C : x, y ∈ R, x2+y2≤ 1} el c´ırculo de centro 0 y radio 1. Considerando en C el orden producto definido anteriormente, ¿tiene S elemento m´aximo? ¿y elemento m´ınimo? ¿y elementos maximales? ¿y elementos minimales? ¿cu´ales son? ¿por qu´e?
Responder las preguntas anteriores considerando en C el orden lexicogr´afico.
1.3.
Aplicaciones y funciones
1.3.1. Funciones: idea intuitiva.
¿Qui´en no ha llevado alguna vez un mont´on de funciones en el bolsillo? Desde que las cal-culadoras cient´ıficas se han convertido en uno de los instrumentos habituales en el bagaje del estudiante junto al bol´ıgrafo, el rotulador fluorescente y el tipex, se ha abierto la posibilidad de res-ponder casi instant´aneamente a preguntas tan extra˜nas como: hh¿cu´anto es el logaritmo neperiano
de 127, 66547?ii o hh¿cu´anto vale el arco seno de 0, 3571893?ii
Estas maravillosas m´aquinas dotadas de teclas misteriosas, son capaces de transformar el n´ ume-ro que hemos escrito en la pantalla (el input, seg´un la jerga inform´atica) en otro, el output, ligado invariablemente al primero: una vez que elegimos una tecla de funci´on o una combinaci´on de ellas, sea “ln” o “shift + sin”, o cualquier otra, estamos seguros de que al pulsar la(s) tecla(s) el output mostrado ser´a el mismo mientras no cambiemos el input introducido.
No siempre obtenemos respuesta, o la respuesta es un mensaje de error: por ejemplo, no obten-dremos un valor num´erico para el logaritmo de −1, ni para el arco seno de 2; hay ‘inputs admisibles’, y otros que no lo son. El conjunto de todos los ‘inputs admisibles’ es lo que denominamos el dominio de la funci´on.
Vemos as´ı que una funci´on puede interpretarse mediante un esquema ‘de caja negra’, entrada −→ caja negra salida −→
al que responden tambi´en otras muchas situaciones: la ‘caja negra’ puede ser un amplificador, por el que entra una onda y da como respuesta otra onda, o puede ser la cuerda de un instrumento musical, que producir´a al pulsarla, golpearla o frotarla un sonido diferente seg´un sea su longitud, o . . . (el lector puede inventar sus propios ejemplos). Haciendo abstracci´on de los detalles, vemos que lo que es com´un en los sucesivos ejemplos es la existencia de un conjunto predeterminado de inputs admisibles, y de un emparejamiento de cada uno de ellos con un output bien definido, perteneciente al mismo o a otro conjunto.
Este emparejamiento nos sugiere la posibilidad de extender el concepto de funci´on y de los dem´as tipos de correspondencias al ´ambito de la teor´ıa de conjuntos, destacando las parejas en correspondencia como pares ordenados pertenecientes a un subconjunto determinado del producto cartesiano del conjunto de inputs admisibles por el conjunto de outputs posibles. Sobre esta idea introduciremos el concepto general deaplicaci´on entre dos conjuntos cualesquiera, empleando el nombre defunci´on para las aplicaciones entre conjuntos de n´umeros.
1.3.2. Aplicaciones: dominio, codominio, gr´afica.
En t´erminos conjuntistas,
Definici´on 1.3.1. Una correspondencia entre dos conjuntos A y B es una terna (A, B, G) formada por el conjunto A, el conjunto B y un subconjunto G del producto cartesiano A × B. Definici´on 1.3.2. Unaaplicaci´on f : A → B es una terna (A, B, Gf), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio o conjunto inicial y el codominio o conjunto final de f , y Gf, denominadogr´afico o gr´afica de f , es un subconjunto del producto cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento ´unico y ∈ B de modo que (x, y) ∈ Gf.
El elemento y un´ıvocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicaci´on f en el punto x o imagen de x por f .
En lo sucesivo, pondremos como es costumbre y = f (x) en vez de (x, y) ∈ Gf. Informalmente, dar una aplicaci´on f supone dar:
su dominio de definici´on A = dom f ; su codominio B;
una regla de correspondencia o regla de definici´on que permita asignar inequ´ıvocamente a cada elemento x de A, sin excepci´on, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x y f .
Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la “regla de de-finici´on”) hace que la aplicaci´on cambie. Por ejemplo, si tenemos una aplicaci´on f : A → B y consideramos un subconjunto S de A, la restricci´on de f a S es la aplicaci´on f |S : S → B tal que f |S(x) = f (x) para cada x ∈ S, queno es la misma aplicaci´on f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por “la misma regla de correspondencia” (a cada x de S, la restricci´on f |S hace corresponder el mismo valor que f ).
Como acabamos de ver, en la pr´actica raras veces se muestra una aplicaci´on como una terna, tal como requerir´ıa su definici´on formal: lo habitual es especificar su dominio, su codominio y la regla que permite determinar el valor de la aplicaci´on en cada elemento del dominio.
Suele chocar al principiante que a veces la regla de definici´on de una aplicaci´on aparece dividida en varias subreglas parciales (expresadas frecuentemente, cuando intervienen conjuntos num´ericos, mediante f´ormulas), tendiendo a interpretar incorrectamente que se han definido tantas aplicaciones cuantas subreglas se enuncien. Por ejemplo, la aplicaci´on f : R → R tal que
f (x) = (
x, si x ≥ 0; −x, si x < 0,
es una sola aplicaci´on, la funci´on valor absoluto, y no dos funciones, aunque sus valores coincidan en parte de su dominio (¡no en todo!) con los que toman las dos aplicaciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ R y h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R.
En resumen:
Criterio de igualdad de aplicaciones. Dos aplicaciones f : A → B, g : C → D son iguales si y s´olo si
1. A = C (f y g tienen el mismo dominio);
2. B = D (f y g tienen el mismo conjunto de llegada);
3. para todo x ∈ A(= C), f (x) = g(x) (f y g toman el mismo valor en cada elemento de su dominio com´un)
Ejercicio. Estudiar si son o no iguales las aplicaciones f : R → R, g : R → R dadas por
f (x) = 2x; g(x) = |x − 1| + |x + 1|.
¿Cambia la respuesta si comparamos las restricciones de f y g al intervalo [1, +∞)? ¿Y comparando las restricciones a otros subconjuntos de R?
Ejercicio. ¿Queda definida una aplicaci´on f : N → R si para cada n ∈ N ponemos
f (n) = m´ax{x ∈ R : x2+ 2nx − 1 < 0}? ¿Y si ponemos
f (n) = m´ax{x ∈ R : x2+ 2nx − 1 ≤ 0}? En caso afirmativo, ¿puede darse una expresi´on m´as directa para f (n)?
1.3.3. Imagen y antiimagen de un conjunto.
Definici´on 1.3.3. Sea f : A → B una aplicaci´on y sean S ⊆ A, T ⊆ B. Llamamos conjunto imagen de S por f al conjunto
f (S) = {f (x) : x ∈ S} , o, m´as expl´ıcitamente, f (S) = {y ∈ B : existe x ∈ S tal que y = f (x)},
y conjunto antiimagen de T por f al conjunto
f−1(T ) = {x : f (x) ∈ T }, que ser´a un subconjunto (eventualmente vac´ıo) de A.
El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene
im f = f (A) = f (dom f ) = {f (x) : x ∈ dom f } .
Proposici´on 1.3.4. Dada f : A → B, sean A1, A2 ⊆ A, B1, B2 ⊆ B. Entonces:
(i) f (A1∪ A2) = f (A1) ∪ f (A2).
(ii) f (A1∩ A2) ⊆ f (A1) ∩ f (A2), pudiendo ser f (A1∩ A2) 6= f (A1) ∩ f (A2). (iii) f−1(B1∪ B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2).
(iv) f−1(B1∩ B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2).
Demostraci´on. Probaremos solamente (ii), dejando la demostraci´on de (i), (iii), (iv) como ejercicio. De acuerdo con las definiciones anteriores, ser´a:
y ∈ f (A1∩ A2) ⇐⇒ existe x ∈ A1∩ A2 tal que f (x) = y; (1.1)
y ∈ f (A1) ∩ f (A2) ⇐⇒ y ∈ f (A1) e y ∈ f (A2) ⇐⇒ (
existe a ∈ A1 tal que f (a) = y, existe b ∈ A2 tal que f (b) = y.
(1.2)
A su vez, (1) significa que existe un mismo x, que est´a tanto en A1 como en A2, tal que f (x) = y. Por tanto, comparando vemos que (1) =⇒ (2) sin m´as que tomar a = b = x. As´ı pues, y ∈ f (A1∩ A2) =⇒ y ∈ f (A1) ∩ f (A2), o lo que es lo mismo,
Por contra, no est´a claro que funcione la implicaci´on inversa, ya que (en principio al menos) podr´ıamos encontrar f (a) = y = f (b) sin que a = b.
' & $ % ' & $ % ' & $ % ' & $ % A f A1 A2 a c b y y0 B XX XX XX X z P P PP P P P q * • • • • •
¿Tenemos alg´un contraejemplo sencillo a (2) =⇒ (1)? S´ı: cualquier aplicaci´on que tenga al menos dos elementos a 6= b para los que f (a) = f (b); tomando A1 = {a}, A2 = {b}, es A1∩ A2 = ∅, f (A1∩ A2) = ∅, f (A1) = {f (a)} = {f (b)} = f (A2), por lo que
f (A1) ∩ f (A2) = {f (a)} 6⊆ ∅ = f (A1∩ A2).
Si queremos dar ejemplos concretos, f puede ser una aplicaci´on constante en un conjunto con m´as de un elemento, o puede ser f : x ∈ R → f (x) = x2 ∈ R, y entonces podr´ıamos tomar incluso A
1 y A2 con infinitos elementos e intersecci´on no vac´ıa: por ejemplo, A1 = (−∞, 1), A2 = (−1, +∞), f (A1∩ A2) = f ((−1, 1)) = [0, 1), f (A1) ∩ f (A2) = [0, +∞).
Ejercicio. Con las notaciones de la proposici´on anterior, ¿qu´e relaciones hay entre f (A1\ A2) y f (A1) \ f (A2)? ¿y entre f−1(B1\ B2) y f−1(B1) \ f−1(B2)?
1.3.4. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas, biyectivas.
Definici´on 1.3.5. Una aplicaci´on f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen im´agenes distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x 6= y se sigue f (x) 6= f (y); o, equivalente-mente, si dados x, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y.
Una aplicaci´on f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjunto imagen de f coinciden ; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de alg´un (o algunos) elemento(s) de A.
Una aplicaci´on se dicebiyectiva si es simult´aneamente inyectiva y suprayectiva.
Ejemplos. Para cualquier conjunto A, la aplicaci´on identidad idA : x ∈ A → idA(x) = x ∈ A es trivialmente biyectiva.
La aplicaci´on f : N → N tal que f (x) = x2 para cada x ∈ N es inyectiva, pero no suprayectiva (¿por qu´e?); sin embargo, la aplicaci´on g : Z → Z dada por la misma f´ormula no es inyectiva. La aplicaci´on E : R → R tal que F (x) = ex para cada x ∈ R es inyectiva pero no suprayectiva: su conjunto imagen F (R) es el intervalo (0, +∞). S´ı es suprayectiva (e inyectiva) la aplicaci´on G : R → (0, +∞) dada por G(x) = ex para x ∈ R.
Este ´ultimo ejemplo ilustra la necesidad de prestar atenci´on al codominio de la funci´on: el cambio realizado lleva de una aplicaci´on que no es suprayectiva a otra que s´ı lo es. Adem´as, nos da la pista para transformar cualquier aplicaci´on no suprayectiva en otra ‘casi igual’ que sea suprayectiva: basta pasar de f : A → B a ˜f : A → f (A) dada por ˜f (a) = f (a) para cada a ∈ A, ajustando solamente el conjunto de llegada ( ˜f es la suprayecci´on asociada a f ; cuando f es inyectiva, ˜f es biyectiva, labiyecci´on asociada a f ).
Proposici´on 1.3.6. Dada f : A → B, sean A1, A2 ⊆ A. Si f es inyectiva, entonces: f (A1∩ A2) = f (A1) ∩ f (A2).
Demostraci´on. Como ya hemos visto, se verifica ciertamente que f (A1∩ A2) ⊆ f (A1) ∩ f (A2). Pero la inyectividad de f da que tambi´en f (A1) ∩ f (A2) ⊆ f (A1∩ A2), puesto que y ∈ f (A1∩ A2) implica que existe a ∈ A1 tal que f (a) = y y que existe b ∈ A2 tal que f (b) = y, lo que por ser f inyectiva obliga a que a = b, y por tanto a = b ∈ A1∩ A2 =⇒ y = f (a) ∈ f (A1∩ A2).
En consecuencia, f (A1∩ A2) = f (A1) ∩ f (A2) en este caso.
Releyendo atentamente las proposiciones y contraejemplos anteriores vemos que hemos conseguido real-mente un resultado m´as preciso: la inyectividad de f es necesaria (contraejemplos previos) y suficiente (´ultima proposici´on) para que la igualdad de los conjuntos del enunciado se verifique sin excepciones.
Ejercicio. Con las notaciones de la proposici´on anterior, ¿afecta a las relaciones entre f (A1\ A2) y f (A1) \ f (A2) que f sea inyectiva o suprayectiva? La misma pregunta para f−1(B1\ B2) y f−1(B1) \ f−1(B2).
1.3.5. Composici´on de aplicaciones.
Definici´on 1.3.7. Sean A, B, C conjuntos arbitrarios. Dadas dos aplicaciones f : A → B y g : B → C, la composici´on de f y g, denotada g ◦ f , es la aplicaci´on g ◦ f : A → C dada por
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) para cada x ∈ A.
En otros contextos, especialmente en An´alisis matem´atico, se usa una definici´on m´as general de la composici´on: dadas dos aplicaciones f : A → B y g : C → D, se define g ◦ f como la aplicaci´on con dominio
dom(g ◦ f ) = f−1(C) = f−1(dom g) y codominio D dada por
(g ◦ f )(x) = g (f (x))
para cada x ∈ dom(g ◦ f ). Obs´ervese que tales x son justamente aquellos elementos de A para los que g (f (x)) “tiene sentido”.
Ejemplo. Si f : R → R est´a dada por f (x) = x2 y g : R → R por g(x) = √ x
x2+ 1, g ◦ f y f ◦ g son las aplicaciones de R en R dadas respectivamente por
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x 2 √ x4+ 1, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x2 x2+ 1, distintas. Hay que ser cuidadoso, por tanto, con el orden de escritura en la composici´on.
1.3.6. Inversa de una aplicaci´on biyectiva. Inyectividad e inversa parcial.
Definici´on 1.3.8 (aplicaci´on inversa). Dada una aplicaci´on biyectiva f : A → B, llamaremos aplicaci´on inversa de f a la aplicaci´on f−1: B → A tal que f−1(b) = a si y s´olo si f (a) = b.
En t´erminos m´as formales, f−1 ser´ıa la aplicaci´on dada por la terna (B, A, Gf−1), donde
Gf−1 = {(b, a) : (a, b) ∈ Gf}, y Gf es, por supuesto, la gr´afica de f . El resultado es realmente una
aplicaci´on: ello es consecuencia inmediata de la biyectividad de f , puesto que as´ı, para cualquier b ∈ B, existe al menos un elemento a ∈ A tal que b = f (a) por ser f suprayectiva, y ese a es ´unico por ser f inyectiva, con lo que cada elemento de B sin excepci´on se corresponde con un elemento inequ´ıvocamente determinado de A.
