En el desarrollo del tema de los n´umeros enteros seguiremos b´asicamente el texto [D-H]. Sobre
n´umeros naturales, si es necesario puede ser ´util como libro de consulta [S-T].
Los restantes libros de la bibliograf´ıa sirven de complemento en algunos puntos concretos que se˜nalaremos en su momento.
2.1.
N´umeros naturales.
Ya tuvimos una primera toma de contacto con el conjunto de los n´umeros naturales y una de sus propiedades esenciales, el principio de inducci´on. Ahora que nos hemos familiarizado con los conceptos b´asicos de la teor´ıa de conjuntos, ser´ıa el momento oportuno de entrar en una funda- mentaci´on axiom´atica rigurosa de los n´umeros naturales basada, como es habitual, en los axiomas de Peano, que (creemos) todo aspirante a matem´atico debe conocer. Sin embargo, la extensi´on del programa nos impide disponer del tiempo necesario para llevar a cabo este prop´osito; como soluci´on intermedia, recogeremos aqu´ı como lectura complementaria de lo visto en clase dichos axiomas, junto con algunas definiciones y propiedades de los n´umeros naturales (enunciadas sin demostraciones), destacando las que nos ser´an necesarias posteriormente para el estudio de los n´umeros enteros.
2.1.1. Lectura preliminar
¿Qu´e ocurrir´ıa si al ir profundizando en nuestros conocimientos matem´aticos observ´asemos incongruencias en algunos de los conceptos que ten´ıamos por ‘intuitivamente claros’ o de los resul- tados que ten´ıamos por ‘evidentemente ciertos’ ? ¿No comenzar´ıamos a dudar de todo y a intentar “reconstruir el edificio de nuestros conocimientos”, ciment´andolo sobre una base lo m´as expl´ıcita y m´as s´olida posible?
Esto les sucedi´o a los matem´aticos del siglo XIX. Imaginemos la situaci´on: desconfianza en “todo lo previamente sabido”, hay que replantearlo empezando de cero. As´ı comenz´o un an´alisis radical de los fundamentos de las matem´aticas y la entronizaci´on del m´etodo axiom´atico.
Adoptemos, pues, la misma postura radical que nuestros predecesores decimon´onicos: olvidemos (o hagamos como que nos olvidamos de) nuestras intuiciones geom´etricas, nuestros conocimientos de los n´umeros enteros, racionales, etc., y concentr´emosnos en los n´umeros naturales. Cuestionemos incluso los mismos n´umeros naturales. ¿C´omo reconstruir ahora toda la aritm´etica, la ‘ciencia de los n´umeros naturales’, con la mayor econom´ıa de medios, partiendo de unos supuestos m´ınimos?
hhDedekind, y Peano sigui´endole, diseccionaron el concepto de la progresi´on de los n´umeros natu-
rales y fomularon una fundamentaci´on axiom´atica de la aritm´etica, conocida ahora, impropiamente, como los axiomas de Peano.ii ([3]; ver tambi´en [2] y las referencias all´ı citadas.)
La idea esencial es esta: para ‘ir fabricando’ los n´umeros naturales, s´olo necesitamos disponer del primero, el 1 en nuestro convenio, y de una manera de pasar al siguiente, de este al siguiente,
de este al siguiente, etc. Ahora que disponemos del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos, us´emoslo para expresar este proceso.
Pongamos sgt (n) en vez de n + 1 para el ‘siguiente’ a n. ‘Pasar de un n´umero natural al siguiente’ es asociar a cada n su siguiente sgt (n), lo que en el lenguaje conjuntista no es m´as que definir una aplicaci´on sgt : n ∈ N → sgt (n) ∈ N. Obviamente, esta aplicaci´on es inyectiva: si m 6= n, sgt (m) 6= sgt (n). Que 1 es ‘el primer n´umero natural’ es decir que no sigue a ninguno, 1 6= sgt (n) cualquiera que sea n ∈ N; o, en otros t´erminos, 1 no est´a en el conjunto imagen de la aplicaci´on sgt , 1 ∈ N \ sgt (N). Tambi´en sabemos que el principio de inducci´on tiene un enunciado ‘conjuntista’ en t´erminos de esta aplicaci´on:
dado S ⊆ N tal que 1 ∈ S y sgt (n) ∈ N siempre que n ∈ N, necesariamente S = N,
y gracias a ´el podemos cerrar el proceso, como descubrieran R. Dedekind [Ddk] y G. Peano
[Peano] entre otros.
2.1.2. Los axiomas de Peano
Los conceptos primitivos y las ‘propiedades fundamentales’ (axiomas) que permiten describir axiom´aticamente los n´umeros naturales est´an recogidos en el enunciado que sigue:
Existe un conjunto N, cuyos elementos se denominan n´umeros naturales, que contiene un elemento distinguido 1, y una aplicaci´on sgt : N → N tal que
(S1) sgt es inyectiva, (S2) 1 /∈ sgt (N),
(S3) dado S ⊆ N con 1 ∈ S y sgt (S) ⊆ S, necesariamente S = N.
Es un hecho notable, y un tanto sorprendente, que todas las propiedades usuales de los n´umeros naturales pueden deducirse de estas, como puso de manifiesto el matem´atico italiano G. Peano en su obra [Peano]. Aunque Dedekind hab´ıa planteado con anterioridad un sistema similar (si bien m´as
complicado, ver [Ddk]), hoy se llaman en su honor axiomas de Peano para los n´umeros naturales.
En una formulaci´on m´as ‘cl´asica’, m´as pr´oxima a la original de Peano,1 suelen enunciarse as´ı:
Existe un conjunto N, cuyos elementos se denominan n´umeros naturales, tal que
P1. Para todo n´umero natural n existe otro n´umero natural, sgt (n), que llamaremos siguiente o sucesor de n.
P2. Existe un n´umero natural, que denotamos por 1, tal que sgt (n) 6= 1 cualquiera que sea el n´umero natural n.
P3. Para n´umeros naturales cualesquiera m y n, es sgt (m) = sgt (n) si y s´olo si m = n.
P4. (Axioma de inducci´on matem´atica). Un conjunto de n´umeros naturales que contenga a 1 y que con cada n contenga a sgt (n), debe incluir a todos los n´umeros naturales. Es decir, dado S ⊆ N tal que 1 ∈ S y sgt (n) ∈ S siempre que n ∈ S, es S = N.
Que 1 es el ´unico elemento de N que no est´a en el conjunto imagen de la aplicaci´on sgt puede demostrarse por inducci´on; as´ı, el conjunto imagen de dicha aplicaci´on es exactamente N \ {1} (V. [S-T], p. 147).
Como es presumible, el ‘siguiente’ de un n ∈ N ser´a n + 1 . . . ¡pero s´olo cuando sepamos lo que significa ese signohh+ii, que habremos de definir a partir de los axiomas anteriores!
Pasemos a ver c´omo se construyen por recurrencia las operaciones de suma y producto.
1
En alguna versi´on posterior, como la publicada en 1895 que reproducimos en [2], Peano parte de 0 como primer n´umero natural. As´ı se hace tambi´en en las referencias [S-T], [Ham].
Proposici´on 2.1.1 (Suma en N). Dado un n´umero natural m, definimos:
(i) m + 1 = sgt (m)
(ii) para cada n ∈ N, m + sgt (n) = sgt (m + n).
Entonces, dados dos n´umeros naturales cualesquiera m y n, m + n es un n´umero natural per- fectamente definido.
Demostraci´on. Dado m, consideremos
S = {k ∈ N : ∃|x ∈ N tal que m + k = x}.
Evidentemente, 1 ∈ S. Y si k ∈ S, tambi´en sgt (k) ∈ S. Por el principio de inducci´on, S = N. En particular, n ∈ S, como quer´ıamos demostrar.
An´alogamente se prueba:
Proposici´on 2.1.2 (Producto en N). Dado un n´umero natural m, definimos:
(i) m · 1 = m
(ii) para cada n ∈ N, m · sgt (n) = m · n + m.
Entonces, dados dos n´umeros naturales cualesquiera m y n, m · n es un n´umero natural perfec- tamente definido (que se denotar´a simplemente por mn en vez de m · n si no ha lugar a confusi´on).
Ya vimos que, en la pr´actica, el principio de inducci´on suele aplicarse en t´erminos de “propieda- des” m´as que en t´erminos de conjuntos. Justificada ya la notaci´on n + 1 para sgt (n), recuperamos los enunciados tradicionales que utilizamos a principio de curso.
Empleando adecuadamente el principio de inducci´on se comprueba que las operaciones de suma y producto de n´umeros naturales, es decir, las aplicaciones del producto cartesiano N × N en N dadas por
+ : (m, n) ∈ N × N → m + n ∈ N, · : (m, n) ∈ N × N → m n ∈ N. tienen las propiedades fundamentales que a continuaci´on transcribimos.
Propiedades de la suma y el producto en N. Dados n´umeros naturales cualesquiera m, n, p, se cumplen
N1. Propiedad asociativa de la suma. (m + n) + p = m + (n + p). N2. Propiedad conmutativa de la suma. m + n = n + m.
N3. Propiedad cancelativa de la suma. m + n = m + p implica n = p. N4. Propiedad asociativa del producto. (m n) p = m (n p).
N5. Propiedad conmutativa del producto. m n = n m.
N6. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto. Hay un n´umero natural, que denotamos por 1, tal que 1 · n = n · 1 = n.
N7. Propiedad cancelativa del producto. mn = mp implica n = p.
2.1.3. El principio de buena ordenaci´on.
Para “comparar el tama˜no” de dos n´umeros naturales cualesquiera se define en N una ordenaci´on partiendo de la suma.
Definici´on 2.1.3. Dados dos n´umeros naturales cualesquiera m, n, escribiremos m ≤ n y diremos que m es menor o igual que n (o lo que es lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que se escribe n ≥ m), cuando m = n o n = m + p para alg´un n´umero natural p.
Pondremos m < n (o n > m) para expresar que m es estrictamente menor que n (o sea, que m es menor y distinto que n).
Como propiedades fundamentales de esta relaci´on tenemos:
Propiedades del orden en N. Dados n´umeros naturales cualesquiera m, n, p, se cumplen N9. Propiedad reflexiva. m ≤ m.
N10. Propiedad antisim´etrica. si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n. N11. Propiedad transitiva. si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p. N12. Propiedad de orden total. siempre es m ≤ n o n ≤ m.
La propiedad 12 significa, seg´un la definici´on, que dados dos n´umeros naturales cualesquiera m, n, o bien es m = n, o n = m + p para alg´un n´umero natural p, o m = n + p para alg´un n´umero natural p.
Recordemos que no todas las relaciones de orden son totales, en el sentido que indica la citada propiedad: no lo era, por ejemplo, la relaci´on de inclusi´on entre conjuntos. Pero la propiedad m´as caracter´ıstica de la relaci´on de orden en N, que la distingue de manera especial, es la de ser una buena ordenaci´on, lo que significa exactamente lo siguiente:
Proposici´on 2.1.4. Principio de buena ordenaci´on. Todo conjunto no vac´ıo de n´umeros naturales posee un elemento m´ınimo, es decir, dado S ⊆ N no vac´ıo, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S.
Tambi´en son interesantes las siguientes propiedades de la ordenaci´on de n´umeros naturales. Pueden probarse por inducci´on, y/o como consecuencia de las que le preceden.
Otras propiedades
(1) Todos los n´umeros naturales son mayores o iguales que 1. Es decir, m´ın N = 1. (Apl´ıquese el principio de inducci´on a la proposici´on Pn: n ≥ 1.)
(2) Dados m, n ∈ N, se tiene m > n si y s´olo si existe p ∈ N tal que m = n + p, lo que abreviaremos poniendohh m − n ∈ N ii.
(En este caso, todo es evidente salvo que m = n + p para alg´un p ∈ N implica m 6= n; para probarlo, v´ease primero por inducci´on sobre m que m 6= m + 1 cualquiera que sea m ∈ N, y despu´es que para todo m ∈ N, m 6= m + p por inducci´on sobre p.)
(3) Dados m, n ∈ N, no puede verificarse n < m < n + 1. En palabras, entre dos n´umeros naturales consecutivos no hay ning´un n´umero natural.
(Puesto que si m ∈ N ser´ıa m − n ∈ N por (2) y m − n < 1, contradiciendo (1).)
2.2.
N´umeros enteros.
2.2.1. Necesidad de los enteros. Propiedades de Z. Idea de anillo.
La “resta” m − n de n´umeros naturales no siempre es posible, seg´un se desprende de las pro- piedades que hemos visto anteriormente. Dicho de otra forma, la ecuaci´on
a, b ∈ N, no siempre tiene soluci´on x ∈ N. Lo que hacemos entonces es “inventarnos” las soluciones y a˜nadirlas como n´umeros: as´ı definimoshhel cero 0iicomo un nuevo n´umero, soluci´on de x + a = a,
y los hhenteros negativos −nii (n´umeros falsos, los llamaba Descartes) como soluci´on de x + a = b
cuando a = b + n. Nos encontramos as´ı con los conocidos
. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . ,
cuya representaci´on gr´afica como puntos de una recta nos es tambi´en familiar.
Aunque puede darse una construcci´on ‘algebraico-conjuntista’ de los n´umeros enteros, nosotros nos contentaremos de momento con esta idea ‘ingenua’ adoptando (al menos por ahora) la siguiente descripci´on.
Definici´on 2.2.1. Diremos que un xes un n´umero entero si x ∈ N o si x = 0 o si x = −n con n ∈ N.
El conjunto formado por todos los n´umeros enteros se denota por Z.
Si ponemos N0 = N ∪ {0}, −N = {x = −n : n ∈ N}, se tiene Z = N ∪ {0} ∪ (−N) = N0∪ (−N). Nos referiremos a N0 como al conjunto de los enteros no negativos y a −N como al conjunto de los enteros negativos, siendo el conjunto N de los n´umeros naturales el de los enteros positivos.
El lector recordar´a que la suma y el producto de n´umeros naturales se ampl´ıa a una suma y producto de n´umeros enteros,
+ : (m, n) ∈ Z × Z → m + n ∈ Z, · : (m, n) ∈ Z × Z → m n ∈ Z,
con las propiedades fundamentales que a continuaci´on enunciamos.
Propiedades de la suma y el producto en Z. Dados n´umeros enteros cualesquiera m, n, p, se cumplen
Z1. Propiedad asociativa de la suma. (m + n) + p = m + (n + p). Z2. Propiedad conmutativa de la suma. m + n = n + m.
Z3. Existencia de elemento neutro (cero) para la suma. Hay un n´umero entero, que denotamos por 0, tal que 0 + n = n + 0 = n.
Z4. Existencia de elemento opuesto para la suma. Hay un n´umero entero (y uno s´olo), que denotamos por −n, tal que (−n) + n = n + (−n) = 0.
Las propiedades Z1 a Z4 pueden resumirse diciendo que Z es un grupo conmutativo para la suma. La propiedad cancelativa de la suma en Z va incluida en Z4 (¿por qu´e?)
Z5. Propiedad asociativa del producto. (m n) p = m (n p). Z6. Propiedad conmutativa del producto. m n = n m.
Z7. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto. Hay un n´umero entero, que denotamos por 1, tal que 1 · n = n · 1 = n.
Z8. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma. m (n + p) = m n + m p. Las propiedades Z1 a Z8 pueden resumirse diciendo que Z, para la suma y el producto, es un anillo conmutativo con unidad. Otros ejemplos de anillos: matrices n × n, funciones reales sobre un mismo dominio, polinomios, . . .
Z9. Propiedad cancelativa del producto. mn = mp implica n = p.
Los sistemas algebraicos que tienen las propiedades Z1 a Z9 se llaman dominios de integridad. NO son dominios de integridad los anillos de matrices n × n para n ≥ 2, de funciones reales sobre un dominio con m´as de un punto (¿por qu´e?).
Definici´on 2.2.2. Dados dos n´umeros enteros cualesquiera m, n, escribiremos m ≤ n y diremos que m es menor o igual que n (o lo que es lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que se escribe n ≥ m), cuando m = n o n = m + p para alg´un n´umero natural p; equivalentemente, cuando exista p ∈ N0 tal que n = m + p.
Pondremos m < n (o n > m) para expresar que m es estrictamente menor que n (o sea, que m es menor y distinto que n).
Con esta notaci´on,
N = {n ∈ Z : n > 0}, N0 = {n ∈ Z : n ≥ 0}, −N = {n ∈ Z : n < 0}. Como propiedades fundamentales de la relaci´on de orden en Z tenemos:
Propiedades del orden en Z. Dados n´umeros naturales cualesquiera m, n, p, se cumplen Z10. Propiedad reflexiva. m ≤ m.
Z11. Propiedad antisim´etrica. Si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n. Z12. Propiedad transitiva. Si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p. Z13. Propiedad de orden total. Siempre es m ≤ n o n ≤ m.
N´otese que no va a ser v´alido un principio de buena ordenaci´on igual que para los n´umeros naturales: por ejemplo, el propio conjunto Z no tiene elemento m´ınimo, pues para cada n ∈ Z es n − 1 < n. Sin embargo, vamos a tener una propiedad an´aloga para cierta clase de subconjuntos: Z14. Principio de buena ordenaci´on de los conjuntos minorados (principio del m´ınimo).
Todo conjunto no vac´ıo de n´umeros enteros acotado inferiormente posee un elemento m´ınimo, es decir, dado S ⊆ Z no vac´ıo tal que para alg´un k ∈ Z es k ≤ n para todo n ∈ S, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S.
Sim´etricamente:
Z15. Principio del m´aximo. Todo conjunto no vac´ıo de n´umeros enteros acotado superiormente posee un elemento m´aximo, es decir, dado S ⊆ Z no vac´ıo tal que para alg´un k ∈ Z es k ≥ n para todo n ∈ S, existe un elemento M en S tal que M ≥ n para todo n ∈ S.
Por ejemplo, m´ax(−N) = −1.
En Z puede hablarse del “siguiente” a un n´umero entero, en el sentido de que entre n y n + 1 no hay ning´un otro n´umero entero (¿por qu´e?). No se cumple, sin embargo, el principio de inducci´on, sino una propiedad similar aunque m´as d´ebil:
Z16. Un conjunto de n´umeros enteros que contenga un n´umero k y que con cada n contenga a n + 1, debe contener a todos los n´umeros enteros mayores o iguales que k. Es decir, dado S ⊆ Z tal que k ∈ S y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S, se tiene S ⊇ {n ∈ Z : n ≥ k}.
(Puede precisarse un poco m´as: dados S ⊆ Z y k ∈ Z, se tiene S = {n ∈ Z : n ≥ k} si y s´olo si k − 1 /∈ S, k ∈ S y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S.)
Otras propiedades y conceptos en torno a la ordenaci´on de Z son similares a las que el lector estar´a manejando en R. Por ejemplo,
Z17. Relaci´on con la suma. a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c.
Z18. Relaci´on con el producto. Si c ≥ 0, a ≤ b =⇒ a c ≤ b c. Si c < 0, a ≤ b =⇒ a c ≥ b c. El valor absoluto de un n´umero entero a es el n´umero entero no negativo
|a| = (
a, si a ≥ 0; −a, si a ≤ 0.
Con esta definici´on, si a, b, denotan n´umeros enteros cualesquiera, se verifican, entre otras, las siguientes relaciones:
|1| = 1; | − 1| = 1. | − a| = |a|. −|a| ≤ a ≤ |a|. |a b| = |a| |b|.
Ejercicios
1.1. En las propiedades b´asicas de Z hemos se˜nalado que todo n ∈ Z tiene un opuesto −n tal que n + (−n) = (−n) + n = 0. ¿Puede haber alg´un otro m ∈ Z tal que n + m = m + n = 0? ¿Por qu´e?
Sugerencia: ¿qui´en ser´ıa m + n + (−n)?
1.2. Por definici´on, −1 es el opuesto de 1. Probar que la igualdad (−1)(−1) = 1 es una consecuencia de la propiedad distributiva.
1.3. Dado un entero cualquiera n, probar que (−1) · n es el opuesto de n.
2.2.2. Divisi´on entera.
Una herramienta importante en el estudio de Z es la ‘divisi´on con resto’.
Proposici´on 2.2.3 (Existencia de la divisi´on entera). Dados a, b ∈ Z, con b 6= 0, existen dos n´umeros enteros c y r tales que
a = cb + r, 0 ≤ r < |b|.
Los enteros c y r, denominados respectivamente cociente y resto de la divisi´on entera de a por b, son ´unicos. Adem´as, si a y b son n´umeros naturales, c tiene que ser un n´umero positivo o nulo. Demostraci´on. Veamos primero el caso b > 0. Entonces b ∈ N, y b ≥ 1.
Sea
F = {z ∈ Z : zb ≤ a}.
Este es un conjunto no vac´ıo, pues si a ≥ 0 contiene a 0 y si a < 0 contiene a a, porque de b ≥ 1, multiplicando por a (que es negativo) se sigue ab ≤ a. Adem´as, est´a acotado superiormente por |a|, puesto que si z ∈ F y z ≥ 0, de 1 ≤ b se pasa a z ≤ zb = a, y si z < 0 trivialmente z < 0 ≤ |a|.
Aplicando el principio del m´aximo, existe c = m´ax F . As´ı c ∈ F y c + 1 /∈ F (ver la construcci´on gr´afica en la nota posterior); por tanto
cb ≤ a, (c + 1)b > a, o sea cb + b > a.
Tomando r = a − cb, se deduce de estas desigualdades que 0 ≤ r < b = |b| y a = cb + r.
Para demostrar la unicidad del cociente y del resto, supongamos que hemos encontrado enteros c1, c2, r1, r2 tales que
c1b + r1 = a = c2b + r2, 0 ≤ r1 < |b| = b, 0 ≤ r1 < |b| = b. De las dos igualdades se sigue que
r2− r1 = (c1− c2)b.
Pero tambi´en resulta −b < −r1 ≤ r2− r1 ≤ r2 < b, y as´ı −b < r2 − r1 = (c1− c2)b < b, lo cual s´olo es posible si c1− c2 = 0 (¿por qu´e?) En definitiva, c1 = c2 y en consecuencia r1 = r2, como quer´ıamos probar.
Nota. Las figuras que siguen ilustran gr´aficamente la situaci´on. Para a ≥ 0, se ve que, simplemente, ‘estamos midiendo a con b como unidad de medida’, trasladando un segmento de longitud b hacia la derecha el n´umero m´aximo de veces que podamos, sin llegar a sobrepasar a (por la derecha); para a < 0, trasladar´ıamos la unidad de medida hacia la izquierda, justo hasta igualar o sobrepasar a (por la izquierda).
Ejemplo. La divisi´on entera de 1 por 2 da cociente 0 y resto 1; la de −1 por 2 da cociente −1 y resto 1; la de 1 por −2, cociente 0 y resto 1, y la de −1 por −2, cociente 1 y resto 1.
La divisi´on entera en maple y Mathematica
Los programas de c´alculo simb´olico, comomaple y Mathematica , permiten obtener sin difi- cultad el cociente y el resto de una divisi´on entera cuando el dividendo y el divisor no son negativos. En caso contrario, las cosas se complican.
• maple :
— El cociente entero de un entero no negativo m por un entero no nulo n se obtiene escribiendo iquo(m,n)
(‘integer quotient’ de m y n);
— El resto de la divisi´on entera de un entero no negativo m por un entero no nulo n se obtiene escribiendo
irem(m,n) (‘integer remainder’ de m y n);
— si m es un entero negativo, iquo(m,n) e irem(m,n) dan los enteros q y r tales que m = n · q + r, |r| < |n| y r ≤ 0. ¿C´omo podremos entonces conseguir el cociente y el resto que hemos definido nosotros? Pi´enselo el lector.
• Mathematica :
— El cociente entero de un entero cualquiera m por un entero positivo n se obtiene escribiendo Quotient[m,n]
— El resto de la divisi´on entera de un entero cualquiera m por un entero positivo n se obtiene escribiendo
Mod[m,n]
— si n es un entero negativo, Quotient[m,n] y Mod[m,n] dan los enteros q y r tales que m = n·q+r, |r| < |n| y r ≤ 0.
maple Mathematica
m n cociente resto iquo(m,n) irem(m,n) Quotient[m,n] Mod[m,n]
1 2 0 1 0 1 0 1
−1 2 −1 1 0 −1 −1 1
1 −2 0 1 0 1 −1 −1
−1 −2 1 1 0 −1 0 −1
Ejercicios
2.1. Sea a un entero cualquiera y sean b y m enteros positivos. Si q es el cociente y r es el resto de la divisi´on entera de a por b, probar que q es el cociente y mr es el resto de la divisi´on entera de ma por mb.
2.2. Sean a, b, c enteros con b > 0, c > 0. Si q es el cociente de la divisi´on entera de a por b y q0 es el cociente de la divisi´on entera de q por c, probar que q0 es el cociente de la divisi´on entera de a por bc.
2.3. Demostrar, utilizando el algoritmo de la divisi´on, que si un n´umero entero es a la vez un cuadrado y un cubo, entonces se puede escribir en la forma 7k o 7k + 1.
2.2.3. Representaci´on decimal y binaria. Bases de numeraci´on
Cuando escribimoshh el n´umero 1984ii, estamos usando una notaci´on abreviada para el n´umero
4 + 8 · 10 + 9 · 102+ 1 · 103. Con el convenio subyacente, nos bastan las diez cifras o d´ıgitos decimales
hh 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9iipara representar cualquier n´umero entero no negativo (para representar
un n´umero entero negativo arbitrario, a˜nadimos un signo hh −ii a la izquierda de la representaci´on
de su valor absoluto). Pero, ¿por qu´e utilizar esta representaci´on precisamente? El propio nombre d´ıgito sugiere la respuesta cl´asica: porque contamos con los dedos, y eso hace aparecer el 10 como un n´umero base razonable. Sin embargo, nada impide intentar una representaci´on binaria en lugar de la decimal, es decir, que usemos los d´ıgitos binarios hh 0, 1 iipara reescribir
1984 = c0+ c1· 2 + c2· 22+ · · · + cn· 2n, con ck= 0 ´o 1. Observando que
N = c0+ c1· 2 + c2· 22+ · · · + cn· 2n= c0+ (c1+ c2· 2 + · · · + cn· 2n−1) · 2
= c0+ (c1+ (c2+ · · · + cn· 2n−2) · 2) · 2 = · · · = c0+ (c1+ (c2+ (· · · + (cn· 2) · · · 2) · 2) · 2,
se vislumbra un procedimiento para ir obteniendo los ck: c0 es el resto de la divisi´on de N por 2; si N1 es el cociente, c1 es el resto de la divisi´on de N1 por 2; si N2 es el cociente resultante, c2 es el resto de la divisi´on de N2 por 2; si . . . etc., hasta cn−1, mientras que cn es el ´ultimo cociente. Por tanto, dividiendo por 2 sucesivamente,
1984 992 496 248 124 62 31 15 7 3 1
restos 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
lo que deja
1984 = 0 + 0 · 2 + 0 · 22+ 0 · 23+ 0 · 24+ 0 · 25+ 1 · 26+ 1 · 27+ 1 · 28+ 1 · 29, que por analog´ıa escribir´ıamos
11111000000(2
¿Qu´e inter´es puede tener una representaci´on as´ı, disponiendo como disponemos de nuestra