Sobre los n´umeros racionales y su construcci´on seguimos fundamentalmente el texto [D’A-W].
Sobre polinomios, ver [Pest]. Si bien [D-H] trata en detalle los polinomios, lo hace a un nivel m´as
elevado del que corresponde a este curso.
En cada momento daremos las referencias complementarias que sean pertinentes.
3.1.
N´umeros racionales.
La idea y el manejo de los n´umeros racionales, y m´as concretamente de las fracciones, nos es so- bradamente familiar. Lo que pretendemos ahora es reflexionar sobre el significado de las fracciones apoyados en la base conjuntista que poseemos actualmente, explicando el sentido de las manipu- laciones que hemos aprendido ‘por decreto’ y sentando las bases para construcciones similares en contextos m´as generales, que se utilizar´an en otras asignaturas.
3.1.1. Insuficiencia de Z. Fracciones.
Consideremos los dos problemas siguientes:
(a) Hay que repartir veinte abrigos equitativamente, en igual n´umero, entre seis familias. ¿Cu´antos hay que dar a cada una?
(b) Se dividen veinte metros de tela a partes iguales entre seis sastres. ¿Cu´anta tela tendr´a cada uno?
Ambos problemas se traducen matem´aticamente en: ‘Hallar x tal que 6x = 20’.
¿Vale para ambos la misma respuesta? Evidentemente, no. En el primer caso, daremos tres abrigos a cada familia (y sobrar´an dos, no hay ‘soluci´on exacta’); en el segundo, no podemos expresar la respuesta satisfactoriamente con valores enteros, Z resulta insuficiente en estas y otras situaciones en las que hay que resolver exactamente ecuaciones de la forma ax = b, a 6= 0. Lo que hacemos es ‘sacar de la nada’ una soluci´on, la ‘fracci´on’ que representamos por hhb/aii. Para otra ecuaci´on
a0y = b0 tendr´ıamos la soluci´on y = b0/a0. ¿Habr´a, pues, tantas soluciones distintas como ecuaciones distintas? Volviendo sobre el ejemplo de la tela, la experiencia nos dice que si se repartieran diez metros entre s´olo tres sastres, cada uno recibir´ıa la misma cantidad que antes, y lo mismo suceder´ıa repartiendo treinta metros entre nueve, etc. Para reflejar fielmente esta situaci´on, habr´a que ‘igualar’ soluciones id´enticas aunque que provengan de ecuaciones distintas. ¿Bajo qu´e criterio? Si los nuevos entes van a comportarse de manera coherente con los viejos n´umeros enteros, como x = b/a significa que ax = b e y = b0/a0 significa a0y = b0, tambi´en ser´ıa a0ax = a0b, aa0y = ab0, y as´ı x = y debe corresponderse justamente con ba0 = b0a. Llamamos fracciones equivalentes a las que verifican esta relaci´on, y decimos que definen el mismo n´umero racional.
¿Qu´e estamos haciendo, desde nuestra perspectiva actual? Descorriendo todos los velos, en esto queda el misterio de las fracciones: tomamos pares ordenados (m, n) ∈ Z × (Z \ {0}) y establecemos
una ‘equivalencia’: (m, n) ∼ (p, q) si mq = np; si es una verdadera relaci´on de equivalencia, la identificaci´on posterior no supone otra cosa que el paso a las clases de equivalencia (un n´umero racional = una clase de equivalencia de fracciones) y al conjunto cociente (este ser´ıa Q).
La manera de operar con los nuevos objetos est´a completamente determinada si no queremos romper nuestras c´omodas leyes. Para sumar fracciones, recurrimos al ‘arreglo’ anterior: x = b/a, y = b0/a0 lleva a a0ax = a0b, aa0y = ab0, y esto fuerza que aa0(x + y) = a0b + b0a, es decir, x + y = (ba0+ b0a)/(aa0). El producto es m´as directo: de ax = b y a0y = b0 se pasa, multiplicando, a aa0xy = bb0, que deja xy = bb0/aa0.
¿“Pasan” estas operaciones a las clases de equivalencia, como suced´ıa en el caso de las congruen- cias? Habr´a que comprobar, igual que entonces, que sumando fracciones equivalentes se obtienen sumas equivalentes, y que multiplicando fracciones equivalentes se obtienen productos equivalentes. Enseguida nos ocuparemos de ello.
Para complementar esta visi´on ‘algebraica’ de los n´umeros racionales, puede verse una inter- pretaci´on geom´etrica como pendientes de rectas, en [D’A-W] pp. 123–124, por ejemplo.
3.1.2. Construcci´on de Q
Formalicemos las consideraciones anteriores.
Lema 3.1.1. Sea F = Z × (Z \ {0}), y ∼ la relaci´on en F dada por (m, n) ∼ (p, q) cuando y s´olo cuando mq = pn. Entonces ∼ es una relaci´on de equivalencia en F .
Demostraci´on. La relaci´on ∼ es:
Reflexiva, pues (m, n) ∼ (m, n) cualquiera que sea (m, n) ∈ F , ya que trivialmente mn = mn Sim´etrica, siempre que (m, n) ∼ (p, q) resulta (p, q) ∼ (m, n) porque lo primero significa que mq = pn y lo segundo que pn = mq.
Transitiva, de (m, n) ∼ (p, q) y (p, q) ∼ (r, s) se sigue (m, n) ∼ (r, s), porque si mq = pn y ps = rq, tambi´en mqps = pnrq. Si p 6= 0, como q 6= 0, cancelando pq ya queda ms = nr; mientras que si p = 0, forzosamente m = 0 y r = 0, y en este caso ms = 0 = nr.
A los elementos de F los denominaremos fracciones.
Definici´on 3.1.2. El conjunto de los n´umeros racionales es el conjunto cociente Q = F/ ∼. Sus elementos, los n´umeros racionales, son por tanto las clases de equivalencia [(m, n)]. Nota. Evitando arrastrar las poco intuitivas notaciones (m, n) para lo que siempre hemos escrito
m
n ´o m/n, y [(m, n)] para lo que estamos acostumbrados a representar igualmente por m
n ´o m/n, de aqu´ı en adelante volvemos a la notaci´on cl´asica. No obstante, no hay que perder de vista entonces que tenemos una misma notaci´on para dos objetos distintos: la fracci´on (m, n) y el n´umero racional [(m, n)] del cual la fracci´on anterior es un representante. En cualquier caso, lo que no ha originado confusi´on hasta ahora no deber´ıa causarla tampoco de ahora en adelante.
Cuando sea necesario, indicaremos expl´ıcitamente si nos estamos refiriendo a una fracci´on o a un n´umero racional. Por ejemplo:
Definici´on 3.1.3. Una fracci´on m/n se dice irreducible si n > 0 y mcd(m, n) = 1.
Ejercicio. Probar que toda fracci´on es equivalente a una y una s´ola fracci´on irreducible; dicho de otro modo, que todo n´umero racional admite un ´unico representante que sea una fracci´on irreducible.
Definici´on 3.1.4. Dadas dos fracciones m n,
p
q llamaremos suma de ambas a la fracci´on m n + p q = mq + pn nq y producto a la fracci´on m n p q = mp nq
Para definir la suma y el producto en Q dependemos del siguiente lema.
Lema 3.1.5. Dadas fracciones m n, m0 n0 , p q, p0 q0 tales que m n ∼ m0 n0, p q ∼ p0 q0, se verifica m n + p q ∼ m0 n0 + p0 q0, m n p q ∼ m0 n0 p0 q0. Demostraci´on. Por hip´otesis, mn0= m0n, pq0 = p0q. Por definici´on
m n + p q = mq + pn nq , m0 n0 + p0 q0 = m0q0+ p0n0 n0q0 , luego (mq + pn)(n0q0) = mqn0q0+ pnn0q0 = (mn0)(qq0) + (pq0)(nn0), (m0q0+ p0n0)(nq) = m0q0nq + p0n0nq = (m0n)(qq0) + (p0q)(nn0) son iguales, que es lo que necesit´abamos probar.
Para el producto la demostraci´on se deja como ejercicio.
Definici´on 3.1.6. Dados dos n´umeros racionales m n,
p
q ∈ Q, llamaremos suma de ambos al n´umero racional m n + p q = mq + pn nq y producto al n´umero racional
m n p q = mp nq
Notemos que seg´un el lema previo, la aplicaci´on suma (respectivamente, producto) de Q × Q en Q que hace corresponder a m
n, p q ∈ Q × Q el n´umero racional mq + np nq (respectivamente, mp nq) est´a bien definida.
Proposici´on 3.1.7. Con la suma y el producto que hemos definido, Q es un cuerpo conmutativo. Demostraci´on. Enunciamos las propiedades a comprobar, esbozando las demostraciones.
1. Propiedad asociativa de la suma. m n + p q +r s = m n + p q + r s .
(Cierto: ambas operaciones dan como resultado mqs + nps + nqr
nqs .)
2. Propiedad conmutativa de la suma. m n + p q = p q + m n. (Inmediato.)
3. Existencia de elemento neutro (cero) para la suma. Hay un n´umero racional, que denotamos provisionalmente por [0], tal que [0] + m
n = m n + [0] = m n. (Vale tomar [0] = 0/1.)
4. Existencia de elemento opuesto para la suma. Para cada m
n ∈ Q hay un n´umero racional (y uno s´olo), el n´umero racional −m
n , tal que −m n + m n = m n + −m n = [0]. (Evidente.)
5. Propiedad asociativa del producto. m n p q r s = m n p q r s . (Ambos son el n´umero racional mpr
nqs.)
6. Propiedad conmutativa del producto. m n p q = p q m n. (Inmediato.)
7. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto. Hay un n´umero racional, denotado provisionalmente por [1], tal que [1] · m
n = m n · [1] = m n. (Tomar [1] = 1/1.)
4. Existencia de elemento inverso para el producto. Para cada m
n ∈ Q\{0} hay un elemento (y uno s´olo) en Q, el n´umero racional n
m, tal que n m m n = m n n m = [1]. (Tiene sentido porque m 6= 0.)
8. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma. m n p q + r s = m n p q + m n r s. (Ambos son iguales a m(ps + qr)
nqs =
mpns + mrnq
nqns .)
Los enteros como racionales.
¿Es inevitable la distinci´on entre hhel cero de Qii, [0], y hhel cero de Zii, 0? ¿o entre hhel uno de
Qii y hhel uno de Zii? ¿No hemos cre´ıdo siempre que los n´umeros enteros estaban inclu´ıdos en los
racionales? ¿Qui´en no pondr´ıa 6/3=2? Sin embargo, nos estamos refiriendo a objetos de naturaleza distinta: un n´umero racional es nada menos que un conjunto de pares de n´umeros enteros. Pero desde que aprendimos las fracciones hemos ‘identificado’ 0/1 con 0; 1/1 con 1 o, en general, m/1 con m cualquiera que sea m ∈ Z. ¿Es incorrecto matem´aticamente? No: hay una buena raz´on para hacerlo, que se basa en el siguiente resultado.
Proposici´on 3.1.8. La aplicaci´on h : Z → Q dada por
h(m) = m/1 ∈ Q, m ∈ Z,
tiene las siguiente propiedades:
(i) es inyectiva, h(m) 6= h(n) si m 6= n;
(ii) transforma sumas en sumas, h(m + n) = h(m) + h(n); (iii) transforma productos en productos, h(m n) = h(m) h(n). Demostraci´on. Ejercicio.
Es decir, h es un isomorfismo entre Z y h(Z), lo que significa que para todo lo referido a operaciones algebraicas (con sumas, restas, productos, potencias) Z y h(Z) son indistinguibles: toda ‘operaci´on’ en uno de estos sistemas puede ser reproducida fielmente en el otro, lo que hace innecesario a estos efectos diferenciar m de h(m). Por ello, desde este momento, consideramos
La idea de isomorfismo, “sumergir un sistema en otro manteniendo las formas (de operar)”, es muy importante y est´a por todas partes en Matem´aticas. Uno y otro sistema puede verse como un ‘modelo’ distinto de un mismo ‘sistema abstracto’, dos caras de una misma moneda.(*)
Nota. Si se revisan cuidadosamente las demostraciones anteriores, se observar´a que, de entre todas las propiedades de Z, s´olo hemos necesitado las propiedades de la suma y el producto que hacen de Z un dominio de integridad. Por tanto, la idea de sumergir un dominio de integridad en un ‘cuerpo de fracciones’ es reutilizable en toda situaci´on similar (por ejemplo, al tratar con polinomios).
La relaci´on de orden en Z se puede extender a una relaci´on de orden en Q.
Lema 3.1.9. Sean m/n, m0/n0 fracciones equivalentes. Entonces mn > 0 si y s´olo si m0n0 > 0. Demostraci´on. Por hip´otesis mn0 = m0n, luego mnn0 = m0n2; como n2 > 0, si mn > 0 se sigue que m0 y n0 son ambos positivos o ambos negativos (no pueden ser nulos —¿por qu´e?), y en cualquier caso m0n0 > 0.
Definici´on 3.1.10. Sea m/n ∈ Q. Diremos que m/n es positivo si mn > 0.
Dados m/n, p/q ∈ Q, diremos que m/n es menor o igual que p/q, escrito m/n ≤ p/q, si p/q − m/n es positivo o 0.
Obs´ervese que el concepto de n´umero racional positivo est´a bien definido, en virtud del lema anterior. Tambi´en, que un n´umero racional m/n es positivo si y s´olo si m/n > 0 (o sea, 0 ≤ m/n y 0 6= m/n).
Proposici´on 3.1.11. La relaci´on ≤ es una relaci´on de orden en Q, y es un orden total.
Demostraci´on. La manera m´as c´omoda de comprobarlo pasa por examinar previamente algunas propiedades del conjunto de los n´umeros racionales positivos, que denotaremos aqu´ı por P (la notaci´on habitual es Q+∗, demasiado complicada).
Primero, veamos que para todo n´umero racional m/n se verifica una y s´olo una de estas tres alternativas: m/n = 0, m/n ∈ P , −m/n ∈ P (ley de tricotom´ıa). En efecto, si no es m/n = 0, tendremos que o bien mn > 0 (en cuyo caso m/n ∈ P ), o bien mn < 0, en cuyo caso (−m)n > 0 y −m/n ∈ P ; y las alternativas son claramente excluyentes.
Despu´es, P es estable o cerrado para la suma, es decir, si m/n, p/q ∈ P , tambi´en m/n+p/q ∈ P . Supongamos m > 0, n > 0, p > 0, q > 0 (si no es as´ı, basta sustituir la fracci´on m/n por la fracci´on equivalente mn/n2, o p/q por pq/q2). Entonces m/n + p/q = (mq + pn)/pq ∈ P claramente, pues (mq + pn)pq es un producto de enteros positivos.
Con esto, la relaci´on ≤ es:
Reflexiva, pues m/n ≤ m/n cualquiera que sea m/n ∈ Q, ya que trivialmente m/n−m/n = 0.
Antisim´etrica, siempre que m/n ≤ p/q y p/q ≤ m/n simult´aneamente, ha de ser m/n = p/q, porque en caso contrario, p/q − m/n y su opuesto m/n − p/q deber´ıan ser simult´aneamente positivos, imposible.
(*)
Generalmente se identifican ambos modelos, como hemos hecho aqu´ı. Pero en algunas ocasiones, disponer de varios ‘modelos’ sirve para ‘transferir intuici´on’ de uno a otro. La ventaja es obvia: si dos juegos distintos obedecen a las mismas reglas, ganaremos con mayor facilidad jugando el que tenga la estrategia m´as evidente. Hay un ejemplo precioso de ello en M. Gardner: Inspiraci´on ¡aj´a!. Labor, Barcelona, 1981 (reed. 1992)., pp. 116 y ss. Un feriante tiene un mostrador con casillas numeradas del 1 al 9, y el juego consiste en ir poniendo monedas por turno (de 50 pesetas el feriante, de 5 pesetas el otro jugador); se lleva todo el dinero de la mesa el que primero ocupe tres casillas distintas cuyos n´umeros sumen 15. El feriante gana siempre que quiere, porque sabe que, disponiendo los n´umeros en un cuadrado m´agico, el juego resulta isomorfo al ‘tres en raya’, sencill´ısimo de jugar (merece la pena leer la exposici´on original y los comentarios del maestro Martin Gardner).
Transitiva, de m/n ≤ p/q y p/q ≤ r/s se sigue m/n ≤ r/s; esto es evidente si m/n = p/q o p/q = r/s. Si no es este el caso, tendremos r/s − m/n = (r/s − p/q) + (p/q − m/n), suma de dos racionales positivos, luego positivo.
Un orden total, pues dados m/n, p/q ∈ Q, o p/q − m/n es 0 (con lo cual m/n = p/q), o es positivo (y as´ı m/n ≤ p/q) o −(p/q − m/n) = m/n − p/q es positivo (lo que da p/q ≤ m/n)
Nota. ¿Se respeta el orden antiguo en Z? Puesto que hemos identificado m ∈ Z con m/1 ∈ Q, dados m y n ∈ Z disponemos de dos ‘criterios’ para escribir m ≤ n. Pero en la nueva definici´on, m ≤ n significa literalmente m/1 ≤ n/1, o sea, que n/1 − m/1 = (n − m)/1 es 0 (en cuyo caso n − m = 0, i.e. n = m) o es un n´umero racional positivo, es decir, que (n − m) · 1 > 0, i.e., n > m; en cualquier caso, m ≤ n en la relaci´on de orden de Z.
En consecuencia, la aplicaci´on h : Z → Q que permit´ıa identificar Z con h(Z) conserva tambi´en las desigualdades, por lo que Z y h(Z) son as´ı mismo ‘indistinguibles’ (isomorfos) por lo que respecta a las propiedades de orden.
Es importante saber c´omo “se suman y multiplican desigualdades”. Las reglas fundamentales son las siguientes.
Proposici´on 3.1.12. Dados m/n, p/q, r/s ∈ Q, se tiene:
(Compatibilidad del orden con la suma) si m/n ≤ p/q, entonces m/n + r/s ≤ p/q + r/s; (Compatibilidad del orden con el producto por elementos no negativos) si m/n ≤ p/q, y adem´as r/s ≥ 0, entonces m/n · r/s ≤ p/q · r/s.
En particular, de m/n ≥ 0 y p/q ≥ 0 se sigue m/n p/q ≥ 0.
Demostraci´on. Para la suma basta tener en cuenta que (p/q + r/s) − (m/n + r/s) = p/q − m/n y aplicar la definici´on.
Para el producto, notemos primero que si a/b y c/d son n´umeros racionales positivos, tambi´en a/b · c/d = ac/bd es positivo, ya que (ac)(bd) = (ab)(cd) > 0. Por tanto, si m/n ≤ p/q, y r/s ≥ 0, como
p/q · r/s − m/n · r/s = (p/q − m/n) · r/s,
el segundo t´ermino es un producto de factores positivos o nulos, y por lo anterior es positivo o nulo.
Un cuerpo en el que se ha definido un orden total que tenga las dos propiedades anteriores se llama cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Podemos resumir entonces las propiedades vistas diciendo
Q es un cuerpo conmutativo totalmente ordenado.
El proceso diagonal de Cantor hizo plausible la existencia de una aplicaci´on biyectiva entre N y Q (i. e., que Q es numerable). Sin embargo, aunque en este sentido N y Q tienen ‘la misma cantidad de elementos’, los tienen ‘repartidos’ de manera totalmente distinta, como muestran los siguientes resultados.
Proposici´on 3.1.13. Entre dos n´umeros racionales hay otro n´umero racional.
Demostraci´on. Dados a, b ∈ Q, si a < b es a < a + b
2 < b, porque a + b 2 − a = a + b − 2a 2 = b − a 2 = (b − a) 1 2 > 0,
ya que b − a > 0 por hip´otesis y 1/2 > 0 (¿por qu´e?). An´alogamente b − a + b 2 = 2b − (a + b) 2 = b − a 2 > 0.
Proposici´on 3.1.14. En Q no se cumplen los principios del m´aximo ni del m´ınimo.
Demostraci´on. Por ejemplo, A = {x ∈ Q : 0 < x < 1} es un conjunto no vac´ıo (¿por qu´e?) acotado superiormente por 1 e inferiormente por 0. Pero no tiene elemento m´aximo ni elemento m´ınimo: si fuese M = m´ax A, ser´ıa M ∈ A y por tanto 0 < M < 1; pero seg´un acabamos de probar, existir´ıa x ∈ Q entre M y 1, con lo cual 0 < M < x < 1, es decir, x ∈ M y x > M , por lo que M no puede ser el m´aximo de A. An´alogamente se prueba con el m´ınimo.
Ejercicios
1.1. Hallar las fracciones irreducibles equivalentes a 36/50, 444/33, 231 107/999 999 989.
1.2. Sean a/m y b/n fracciones irreducibles. Probar que (an + bm)/(mn) es irreducible si y s´olo si m y n son relativamente primos.
1.3. Probar que en todo cuerpo K totalmente ordenado (en particular, en Q) se verifica: (i) x2 ≥ 0 para cada x ∈ K, y x2 = 0 si y s´olo si x = 0.
(ii) 1 > 0 (unidad y cero de K).
(iii) Para 2 = 1 + 1 (en K) y 1/2 = inverso de 2 en K, 0 < 1/2 < 1.
1.4. Sean m, n, p, q enteros positivos tales que m ≤ p ≤ q y p/q ≤ m/n. Probar que n − m ≤ q − p. Comprobar que esta conclusi´on no siempre es cierta si m ≤ q < p y p/q ≤ m/n.
1.5. Sean m, n, p, q enteros positivos tales que m/n < p/q. Probar que
m/n < (m + p)/(n + q) < p/q.
1.6. Paradoja de Simpson. En un curso hay dos grupos, el grupo de la ma˜nana y el grupo de la tarde. En el grupo de la ma˜nana hay A chicas y B chicos, y en el de la tarde hay C chicas y D chicos. En el primer examen aprueban a chicas y b chicos del grupo de la ma˜nana, y en el de la tarde aprueban c chicas y d chicos. Tanto en el grupo de la ma˜nana como en el de la tarde el porcentaje de chicas aprobadas es menor que el de chicos aprobados. ¿Podemos afirmar que el porcentaje global de aprobados ser´a menor para las chicas que para los chicos?
Examinar el caso A = 14, B = 6, C = 6, D = 19, a = 11, b = 5, c = 2, d = 7. ¿C´omo se explica esto?
3.2.
Polinomios
Ya es de sobras conocido que las expresiones tales como
x2+ 1, −x3− (5/2)x + 1, (47/8)x6− 3x2+ (6/5)x + 2, . . . y, en general,
anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0,
donde n ∈ N, a0,. . . , an ∈ Q, reciben el nombre de polinomios sobre Q o polinomios con coefi- cientes racionales. Pero el nombre ‘polinomio’ encubre, en realidad, dos conceptos diferentes: el de polinomio formal o polinomio en sentido estricto y el de funci´on polin´omica. En el primer sentido, manejamos los polinomios como ‘f´ormulas’ o ‘expresiones simb´olicas’, sin darle a x ning´un conte- nido determinado —dejando la x ‘indeterminada’— y operando con ella, por as´ı decir, como un objeto ‘que no se mezcla’ con los coeficientes.(**) En el segundo sentido, se piensa en la funci´on que a cada x de un cierto conjunto de n´umeros (u otros objetos: clases de restos, matrices, . . . ) hace corresponder el n´umero (o . . . ) que resulta al calcular anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0.
Distinguiremos, pues, entre estos conceptos, reservando el nombre de polinomio para el primero y llamando funci´on polin´omica al segundo.
A lo largo del curso, en esta y otras asignaturas, se manejar´an no solamente polinomios con coeficientes en Q, sino tambi´en polinomios con coeficientes reales y complejos. Muchas de las pro- piedades de los polinomios son comunes en todos estos casos, dependen ´unicamente de que los coeficientes pertenezcan a un cuerpo. Para dejarlo m´as claramente de manifiesto, trataremos por ello inicialmente con polinomios sobre un cuerpo conmutativo arbitrario K, que podr´a ser en su mo- mento Q, R o C (sin olvidar los cuerpos Zp, tan importantes en aplicaciones). Cuando sea oportuno, iremos estudiando algunas propiedades espec´ıficas de los polinomios con coeficientes racionales.
Mientras no se indique lo contrario, de aqu´ı en adelante K representa un cuerpo conmutativo cualquiera y X una indeterminada.
3.2.1. Definiciones. Suma y producto de polinomios.
Definici´on 3.2.1. Un polinomio sobre K en la indeterminada X es una expresi´on de la forma
p(X) = a0+ a1X + · · · + an−1Xn−1+ anXn, donde n ∈ N, a0,. . . , an∈ K.
Para 1 ≤ k ≤ n, el elemento ak se llama coeficiente de Xk en p = p(X); a0 es el t´ermino independiente o constante de p (puede verse como el coeficiente de X0); si k > n, se entiende (cuando sea conveniente) que el coeficiente de Xk en p es 0.
Cuando ak = 1 s´olo se pone Xk, y −Xk si ak = −1; cuando ak = 0 el t´ermino +0 · Xk suele omitirse (as´ı, para cada a ∈ K, a puede entenderse tambi´en como el polinomio ‘constante’ a + 0 · X + 0 · X2+ 0 · X3+ · · · ).
El polinomio nulo o cero es aqu´el cuyos coeficientes son todos cero; se denotar´a por 0. Dados dos polinomios
p(X) = a0+ a1X + · · · + an−1Xn−1+ anXn, q(X) = b0+ b1X + · · · + bm−1Xm−1+ amXm, que p(X) y q(X) sean iguales significa que a0= b0, a1 = b1 y, en general, ak= bk para todo k ∈ N, teniendo en cuenta el convenio anterior de que ak= 0 si k > n y bk= 0 si k > m.
(**)Es posible dar un sentido preciso a estas nociones un tanto vagas de expresiones simb´olicas o formales y de indeterminada; nosotros nos conformaremos con la idea intuitiva, remitiendo para una definici´on m´as rigurosa p. ej. al libro de Godement, R.: Cours d’alg´ebre. Hermann, Paris, 1963., p. 353.
Al conjunto de los polinomios sobre K en la indeterminada X (tambi´en llamados polinomios con coeficientes en K) lo denotaremos por K[X].
Definici´on 3.2.2. Si un polinomio p(X) no tiene todos los coeficientes nulos, su grado es el m´aximo n tal que an6= 0, y este coeficiente an recibe entonces el nombre decoeficiente director . Si el coeficiente director es igual a 1, se dice que p(X) es un polinomio m´onico.
El grado de un polinomio p suele denotarse por deg p.
Observemos que al polinomio nulo no le asignamos ning´un grado (en algunos textos se considera deg 0 = −∞). Los polinomios de grado cero o constantes se corresponden con los elementos no nulos de K.
La suma de polinomios se define sumando ordenadamente los coeficientes correspondientes a la misma potencia de X. Concretamente,
Definici´on 3.2.3. Dados dos polinomios en K[X],
p = a0+ a1X + a2X2+ · · · + anXn, q = b0+ b1X + b2X2+ · · · + bmXm,
su suma es el polinomio
p + q = (a0+ b0) + (a1+ b1)X + (a2+ b2)X2+ · · ·
(se entiende ak= 0 o bk= 0 donde sea necesario).
Nota. Es c´omodo disponer de una cierta flexibilidad a la hora de escribir polinomios, sin tener que estar sujetos a la rigidez de la forma
p(X) = a0+ a1X + · · · + an−1Xn−1+ anXn que exige en principio nuestra definici´on.
Tras la introducci´on de la suma, es claro que el polinomio p(X) podr´a escribirse igualmente como
p(X) = anXn+ an−1Xn−1+ · · · + a1X + a0
por ejemplo, sin m´as que interpretar el segundo t´ermino como el polinomio suma de los polinomios anXn, an−1Xn−1, . . . , a1X, a0. Lo mismo puede decirse si los sumandos aparecen en cualquier otro orden.
Aprovechando esta situaci´on, en lo sucesivo emplearemos el siguiente convenio: cuando escribamos un polinomio no nulo p 6= 0 en la forma
anXn+ an−1Xn−1+ · · · + a1X + a0,
sobreentenderemos que an es su coeficiente director, es decir, que n es su grado y que an6= 0. Ejercicio. Si p, q, p + q ∈ K[X] \ {0}, y
p(X) = anXn+ an−1Xn−1+ · · · + a1X + a0, q(x) = bmXm+ bm−1Xm−1+ · · · + b1X + b0,
probar que el grado de p + q es menor o igual que m´ax{n, m}, siendo el menor estricto solamente cuando p y q tienen el mismo grado (n = m) y sus coeficientes directores son opuestos, i.e., an+ bn= 0.
El producto de polinomios se define por la ley aiXi· bjXj = aibjXi+j, y buscando que sea distributivo. Concretamente,
Definici´on 3.2.4. Dados dos polinomios en K[X], p = a0+ a1X + a2X2+ · · · + anXn, q = b0+ b1X + b2X2+ · · · + bmXm, su producto es el polinomio p · q = c0+ c1X + c2X2+ · · · + cn+mXn+m, donde ck= P
i+j=kaibj, es decir, que si 0 ≤ k ≤ n + m, ck= a0bk+ a1bk−1+ · · · + ak−1b1+ akb0, conviniendo como antes que si alguno de los coeficientes ai, bj no aparecen en p o en q, los tomamos iguales a cero.
Obs´ervese que p · 0 = 0 = 0 · p y que si p y q no son nulos, el coeficiente director de pq es el producto del coeficiente director de p por el coeficiente director de q (as´ı que tambi´en pq 6= 0) y el