CLASE 2. Sergio Stive Solano Sabié. Agosto de Catálogo de funciones básicas Transformaciones de funciones Combinaciones de funciones

CLASE 2

CLASE 2

Funci ´on lineal

Definici ´on 1.1

Decimos queyes unafunci ´on linealdex, si la gr ´afica dey es una recta.

Podemos usar la forma pendiente-intersecci ´on de la ecuaci ´on de una recta para escribir una f ´ormula para la funci ´on como

y=f(x) =mx+b

donde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al

Ejemplo 1.1

La funci ´onf(x) = 3x−2es una funci ´on lineal cuya gr ´afica se representa en la siguiente figura.

Polinomios

Definici ´on 1.2

A una funci ´onP se le llamapolinomiosi

P(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a2x2+a1x+a0 dondenes un entero no negativo y los n ´umeros

a0, a1, a2, . . . , anson constantes que se conocen como

coeficientesdel polinomio. El dominio de cualquier polinomio esR= (−∞,∞). Si el primer coeficientean6= 0, luego el gradodel polinomio esn.

Ejemplo 1.2

La funci ´onP(x) = 2x6−x4+2₅x3+√2es un polinomio de grado 6.

Un polinomio de grado 1 tiene la forma P(x) = mx+b y por tanto es una funci ´on lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la

formaP(x) =ax2+bx+cse le llamafunci ´on cuadr ´atica. Su

gr ´afica es siempre una par ´abola. Sia > 0la par ´abola se abre

Polinomios

Un polinomio de grado 3 tiene la forma

P(x) =ax3+bx2+cx+d

y se le da el nombre de funci ´on c ´ubica. La siguiente figura

muestra la gr ´afica de una funci ´on c ´ubica en la parte (a) y gr ´afi-cas de polinomios de grado 4 y 5 en las partes (b) y (c).

Definici ´on 1.3

Una funci ´on de la formaf(x) =xa, donde a es constante se llamafunci ´on potencia.

Consideremos los siguientes casos:

X a=n, dondenes un n ´umero entero

La funci ´on tomar´ıa la formaf(x) =xn_{y corresponde a}

polinomios con un solo t ´ermino. La siguiente figura ilustra las gr ´aficas def(x) =xnparan= 1,2,3,4y5.

La forma general de la gr ´afica def(x) =xndepende de sines

par o impar. Sines par, entoncesf(x) =xnes una funci ´on par

y su gr ´afica es semejante a la de la par ´abola y = x2. Si nes

impar, entoncesf(x) =xnes una funci ´on impar y su gr ´afica es

Funciones de potencia

X a= 1_n, dondenes un entero positivo

La funci ´onf(x) =x1/n= √n_{xes unafunci ´on ra´ız. Para}

n= 2esla funci ´on ra´ız cuadradaf(x) =√x, cuyo dominio

es[0,∞)y cuya gr ´afica es la mitad superior de la pr ´abola

x=y2. Para otros valores pares den, la gr ´afica dey= √n_x

es similar a la dey=√x. Paran= 3tenemos la funci ´on

ra´ız c ´ubicaf(x) =√3_{xcuyo dominio es}

R. La gr ´afica de y= √n_{xparanimpar es similar a la dey=}√3_{x. V ´ease la}

X a=−1

La funci ´onf(x) =xaes lafunci ´on rec´ıproca

f(x) =x−1 = 1_x. Su gr ´afica es una hip ´erbola con sus ejes de coordenadas como sus as´ıntontas. V ´ease la siguiente figura:

Funciones racionales

Definici ´on 1.4

Unafunci ´on racionalf es una raz ´on de dos polinomios: f(x) = P(x)

Q(x)

dondeP yQson polinomios. El dominio consiste de todos los valores dextales queQ(x)6= 0.

Un ejemplo sencillo de unafunci ´on racionales la funci ´onf(x) =

1

Otro ejemplo defunci ´on racionales

f(x) = 2x

4_−x2_{+ 1} x2₋₄

cuyo dominio es {x | x 6= ±2}. Su gr ´afica se muestra en la

Funciones algebraicas

Definici ´on 1.5

Si una funci ´on puede construirse usando operaciones

algebraicas (como suma, resta, multiplicaci ´on y sacar ra´ıces) se le llamafunci ´on algebraica.

Cualquier funci ´on racional autom ´aticamente es una funci ´on al-gebraica. Otros ejemplos de funciones algebraicas son los si-guientes: f(x) =px2_{+ 1 g(x) =} x 4_−16x2 x+√x + (x−2) 3 √ x+ 1.

En la siguiente figura se muestran algunas gr ´aficas de funciones algebraicas:

Funciones trigonom ´etricas

La funci ´on f(x) = senx es un ejemplo de una funci ´on

trigo-nom ´etrica; significa el seno del ´angulo cuya medida es radianes

esx, (excepto cuando se indique lo contrario). Las graficas de

las funciones seno y coseno se muestran en la siguiente figura:

Observe

que tanto la funci ´on seno como coseno el dominio es(−∞,∞)

y el rango es el intervalo cerrado[−1,1]. Por tanto para todos

o, en t ´erminos de valor absoluto,

|senx| ≤1 |cosx| ≤1.

tambi ´en, los ceros de las funciones seno surgen en m ´ultiplos

entero deπ; es decir,

senx= 0 donde x=nπ nes un n ´umero entero.

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es

que son funciones peri ´odicas y tienen periodos2π. Esto

Funciones trigonom ´etricas

La funci ´on tangente se relaciona con las funcuiones seno y co-seno por medio de la ecuaci ´on

tanx= senx cosx.

Es indefinida siempre que cosx = 0, es decir, cuando x =

±π/2,±3π/2, . . ..

Su rango es (−∞,∞). Observe que la funci ´on tangente tiene

periodosπ:

En la siguiente figura se muestra la gr ´afica de la funci ´on y = tanx:

Funciones trigonom ´etricas

Las tres funciones trigonom ´etricas restantes (cosecante, secan-te y cotangensecan-te) son rec´ıprocas de las funciones seno, coseno y tangente respectivamente. Sus gr ´aficas se ilustran en la si-guiente figura:

Suponga quec >0. Para obtener la gr ´afica de:

1 _{y=f(x) +c}, se desplaza la gr ´afica de_y=f(x)una

distancia decunidadeshacia arriba.

2 _y=f(x)−_{c, se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

distancia decunidadeshacia abajo.

3 _y=f(x−_{c), se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

distancia decunidadeshacia la derecha.

4 _{y=f(x+c), se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

Desplazamientos verticales y horizontales

Suponga quec >0. Para obtener la gr ´afica de:

1 _{y=f(x) +c}, se desplaza la gr ´afica de_y=f(x)una

distancia decunidadeshacia arriba.

2 _y=f(x)−_{c, se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

distancia decunidadeshacia abajo.

3 _y=f(x−_{c), se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

distancia decunidadeshacia la derecha.

4 _{y=f(x+c), se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

Suponga quec >0. Para obtener la gr ´afica de:

1 _{y=f(x) +c}, se desplaza la gr ´afica de_y=f(x)una

distancia decunidadeshacia arriba.

2 _y=f(x)−_{c, se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

distancia decunidadeshacia abajo.

3 _y=f(x−_{c), se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

distancia decunidadeshacia la derecha.

4 _{y=f(x+c), se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

Desplazamientos verticales y horizontales

Suponga quec >0. Para obtener la gr ´afica de:

1 _{y=f(x) +c}, se desplaza la gr ´afica de_y=f(x)una

distancia decunidadeshacia arriba.

2 _y=f(x)−_{c, se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

distancia decunidadeshacia abajo.

3 _y=f(x−_{c), se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

distancia decunidadeshacia la derecha.

4 _{y=f(x+c), se desplaza la gr ´afica dey=f(x)una}

Suponga quec >1. Para obtener la gr ´afica de:

1 _{y=cf(x),al ´arguesela gr ´afica dey=f(x)verticalmente}

en un factor dec. 2 _{y= (1/c)f(x)},compr´ımasela gr ´afica de_y=f(x) verticalmenteen un factor dec. 3 _y=f(cx),compr´ımase_{la gr ´afica dey=f(x)} horizontalmenteen un factor dec. 4 _{y=f(x/c),al ´arguesela gr ´afica dey=f(x)} horizontalmenteen un factor dec.

Alargamientos y reflexiones verticales y horizontales

Suponga quec >1. Para obtener la gr ´afica de:

1 _{y=cf(x),al ´arguesela gr ´afica dey=f(x)verticalmente}

en un factor dec. 2 _{y= (1/c)f(x)},compr´ımasela gr ´afica de_y=f(x) verticalmenteen un factor dec. 3 _y=f(cx),compr´ımase_{la gr ´afica dey=f(x)} horizontalmenteen un factor dec. 4 _{y=f(x/c),al ´arguesela gr ´afica dey=f(x)} horizontalmenteen un factor dec.

5 _y=f(−_{x),refl ´ejesela gr ´afica dey=f(x)respecto aleje}

Suponga quec >1. Para obtener la gr ´afica de:

1 _{y=cf(x),al ´arguesela gr ´afica dey=f(x)verticalmente}

en un factor dec. 2 _{y= (1/c)f(x)},compr´ımasela gr ´afica de_y=f(x) verticalmenteen un factor dec. 3 _y=f(cx),compr´ımase_{la gr ´afica dey=f(x)} horizontalmenteen un factor dec. 4 _{y=f(x/c),al ´arguesela gr ´afica dey=f(x)} horizontalmenteen un factor dec.

Alargamientos y reflexiones verticales y horizontales

Suponga quec >1. Para obtener la gr ´afica de:

1 _{y=cf(x),al ´arguesela gr ´afica dey=f(x)verticalmente}

en un factor dec. 2 _{y= (1/c)f(x)},compr´ımasela gr ´afica de_y=f(x) verticalmenteen un factor dec. 3 _y=f(cx),compr´ımase_{la gr ´afica dey=f(x)} horizontalmenteen un factor dec. 4 _{y=f(x/c),al ´arguesela gr ´afica dey=f(x)} horizontalmenteen un factor dec.

5 _y=f(−x)_{,refl ´ejesela gr ´afica dey=f(x)respecto aleje}

Seanf yg funciones con dominios AyB. entonces la funci ´on

f+g,f−g,f g,f /gse definen como sigue:

1 _{(f+g)(x) =f(x) +g(x) Dom(f+g) =A}∩_B 2 _(f−_{g)(x) =f(x)}−_{g(x) Dom(f}−_{g) =A}∩_B 3 _{(f g)(x) =f(x)g(x) Dom(f g) =A}∩_B 4 ₍f g)(x) = f(x) g(x) Dom(f /g) ={x∈A∩B |g(x)6= 0}

´

Algebra de funciones

Seanf yg funciones con dominios AyB. entonces la funci ´on

f+g,f−g,f g,f /gse definen como sigue:

1 _{(f+g)(x) =f(x) +g(x) Dom(f+g) =A}∩_B 2 _(f−_{g)(x) =f(x)}−_{g(x) Dom(f}−_{g) =A}∩_B 3 _{(f g)(x) =f(x)g(x) Dom(f g) =A}∩_B 4 ₍f g)(x) = f(x) g(x) Dom(f /g) ={x∈A∩B |g(x)6= 0}

Seanf yg funciones con dominios AyB. entonces la funci ´on

f+g,f−g,f g,f /gse definen como sigue:

1 _{(f+g)(x) =f(x) +g(x) Dom(f+g) =A}∩_B 2 _(f−_{g)(x) =f(x)}−_{g(x) Dom(f}−_{g) =A}∩_B 3 _{(f g)(x) =f(x)g(x) Dom(f g) =A}∩_B 4 ₍f g)(x) = f(x) g(x) Dom(f /g) ={x∈A∩B |g(x)6= 0}

´

Algebra de funciones

Seanf yg funciones con dominios AyB. entonces la funci ´on

f+g,f−g,f g,f /gse definen como sigue:

1 _{(f+g)(x) =f(x) +g(x) Dom(f+g) =A}∩_B 2 _(f−_{g)(x) =f(x)}−_{g(x) Dom(f}−_{g) =A}∩_B 3 _{(f g)(x) =f(x)g(x) Dom(f g) =A}∩_B 4 ₍f g)(x) = f(x) g(x) Dom(f /g) ={x∈A∩B |g(x)6= 0}

Definici ´on 3.1

Dadas dos funcionesf yg, lafunci ´on composici ´onf◦g (tambi ´en llamada lacomposici ´ondef yg) est ´a definida por

(f◦g)(x) =f(g(x)).

El dominio def ◦ges el conjunto de todas las xen el dominio