Series de potencias (II)

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

1

_{Algebra de series de potencias}

´

Ejemplo (suma de series)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´on senh(x).

senh(x

) =

e

₋

_e

2

=

1

2

exp(x

)

−

exp(−x

)

senh

(

x

) =

1

2

(

1

+

x

1

!

+

x

2

!

+

x

3

!

+

· · ·

)

−

(

1

−

x

1

!

+

x

2

!

−

x

3

!

+

− · · ·

)

=

x

1

!

+

x

3

!

+

x

5

!

+

· · ·

v ´alido para todo

x

∈

_R

Del mismo modo:

cosh

(

x

) =

1

+

x

2

!

+

x

4

!

+

x

6

!

+

· · · ∀x

∈

R

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

Ejemplo (suma de series)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´on senh(x).

senh(x

) =

e

₋

_e

2

=

1

2

exp(x

)

−

exp(−x

)

senh(x

) =

1

2

(1+

x

1!

+

x

2!

+

x

3!

+· · ·

)−(1−

x

1!

+

x

2!

−

x

3!

+− · · ·

)

=

x

1!

+

x

3!

+

x

5!

+

· · ·

v ´alido para todo

x

∈

_R

Del mismo modo:

cosh

(

x

) =

1

+

x

2

!

+

x

4

!

+

x

6

!

+

· · · ∀x

∈

R

Ejemplo (suma de series)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´on senh(x).

senh(x

) =

e

₋

_e

2

=

1

2

exp(x

)

−

exp(−x

)

senh(x

) =

1

2

(1+

x

1!

+

x

2!

+

x

3!

+· · ·

)−(1−

x

1!

+

x

2!

−

x

3!

+− · · ·

)

=

x

1!

+

x

3!

+

x

5!

+

· · ·

v ´alido para todo

x

∈

_R

Del mismo modo:

cosh(x

) =

1

+

x

2!

+

x

4!

+

x

6!

+

· · · ∀x

∈

R

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

Ejemplo (producto de series)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =q₁1₊+_xx2.

f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 (1+x)12 ₌ 1/2 0 + 1/2 1 x+ 1/2 2 x2+ 1/2 3 x3+ 1/2 4 x4+· · ·= 1+x 2 − 1 8x 2 + 1 16x 3 − 1 128x 4 +· · · para todo x∈(−1,+1) (1+x2)−21 ₌ −1/2 0 + −1/2 1 x2+ −1/2 2 (x2)2+· · ·= =1−x 2 2 + 3 8x 4 +· · ·,∀ x∈(−1,+1) Multiplicando: f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 ₌₁₊1 2x+ − 1 8− 1 2 x2+ −1 4+ 1 16 x3+· · · para todox∈(−1,+1).

Ejemplo (producto de series)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =q₁1₊+_xx2.

f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 (1+x)12 ₌ 1/2 0 + 1/2 1 x+ 1/2 2 x2+ 1/2 3 x3+ 1/2 4 x4+· · ·= 1+x 2 − 1 8x 2 + 1 16x 3 − 1 128x 4 +· · · para todo x∈(−1,+1) (1+x2)−21 ₌ −1/2 0 + −1/2 1 x2+ −1/2 2 (x2)2+· · ·= =1−x 2 2 + 3 8x 4 +· · ·,∀ x∈(−1,+1) Multiplicando: f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 ₌₁₊1 2x+ − 1 8− 1 2 x2+ −1 4+ 1 16 x3+· · · para todox∈(−1,+1).

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

Ejemplo (producto de series)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =q₁1₊+_xx2.

f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 (1+x)12 ₌ 1/2 0 + 1/2 1 x+ 1/2 2 x2+ 1/2 3 x3+ 1/2 4 x4+· · ·= 1+x 2 − 1 8x 2 + 1 16x 3 − 1 128x 4 +· · · para todo x∈(−1,+1) (1+x2)−21 ₌ −1/2 0 + −1/2 1 x2+ −1/2 2 (x2)2+· · ·= =1−x 2 2 + 3 8x 4 +· · ·,∀ x∈(−1,+1) Multiplicando: f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 ₌₁₊1 2x+ − 1 8− 1 2 x2+ −1 4+ 1 16 x3+· · · para todox∈(−1,+1).

Ejemplo (producto de series)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =q₁1₊+_xx2.

f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 (1+x)12 ₌ 1/2 0 + 1/2 1 x+ 1/2 2 x2+ 1/2 3 x3+ 1/2 4 x4+· · ·= 1+x 2 − 1 8x 2 + 1 16x 3 − 1 128x 4 +· · · para todo x∈(−1,+1) (1+x2)−21 ₌ −1/2 0 + −1/2 1 x2+ −1/2 2 (x2)2+· · ·= =1−x 2 2 + 3 8x 4 +· · ·,∀ x∈(−1,+1) Multiplicando: f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 ₌₁₊1 2x+ − 1 8− 1 2 x2+ −1 4+ 1 16 x3+· · · para todox∈(−1,+1).

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

Ejemplo (producto de series)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =q₁1₊+_xx2.

f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 (1+x)12 ₌ 1/2 0 + 1/2 1 x+ 1/2 2 x2+ 1/2 3 x3+ 1/2 4 x4+· · ·= 1+x 2 − 1 8x 2 + 1 16x 3 − 1 128x 4 +· · · para todo x∈(−1,+1) (1+x2)−21 ₌ −1/2 0 + −1/2 1 x2+ −1/2 2 (x2)2+· · ·= =1−x 2 2 + 3 8x 4 +· · ·,∀ x∈(−1,+1) Multiplicando: f(x) = r 1+x 1+x2 = (1+x) 1 2_(1+x2₎ −1 2 ₌₁₊1 2x+ − 1 8− 1 2 x2+ −1 4+ 1 16 x3+· · · para todox∈(−1,+1).

Ejemplo (sustituci ´

on de una SP en otra)

exp(sen(x)) =1+sen(x)

1! + sen2(x) 2! + sen3(x) 3! +· · · Como sen(x) =x−x 3 3! + x5 5! −+· · · ∀x∈R, sustituyendo: exp(sen(x)) =1+ 1 1! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · + 1 2! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 2 + +1 3! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 3 + 1 4! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 4 +· · ·= exp(sen(x)) =1+x+1 2x 2 −1 8x 4 +· · ·

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

Ejemplo (sustituci ´

on de una SP en otra)

Como exp(x) =1+ x 1!+ x2 2! + x3 3! +· · · ∀x∈R, entonces

exp(sen(x)) =1+sen(x)

1! + sen2(x) 2! + sen3(x) 3! +· · · Como sen(x) =x−x 3 3! + x5 5! −+· · · ∀x∈R, sustituyendo: exp(sen(x)) =1+ 1 1! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · + 1 2! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 2 + +1 3! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 3 + 1 4! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 4 +· · ·= exp(sen(x)) =1+x+1 2x 2 −1 8x 4 +· · ·

Ejemplo (sustituci ´

on de una SP en otra)

exp(sen(x)) =1+sen(x)

1! + sen2(x) 2! + sen3(x) 3! +· · · Como sen(x) =x−x 3 3! + x5 5! −+· · · ∀x∈R, sustituyendo: exp(sen(x)) =1+ 1 1! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · + 1 2! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 2 + +1 3! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 3 + 1 4! x−x 3 3! + x5 5! −+· · · 4 +· · ·= exp(sen(x)) =1+x+1 2x 2 −1 8x 4 +· · ·

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

Ejemplo (divisi ´

on de SP)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =sec(x) = 1

cos(x).

Como sabemos que cos(x) =1−x 2

2! +

x4

4! −+· · · ∀x∈R, llamamos

sec(x) =d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · y tenemos que calcular losdi tales que

sec(x) = 1

cos(x) ⇔ sec(x)cos(x) =1

d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · 1−x 2 2! + x4 4! −+· · · =1 T ´ermino enx0_{: d} 0· 1=1 ⇒ d0=1 T ´ermino enx1: d0· 0+d1· 1=0 ⇒ d1=0 T ´ermino enx2_{: d} 0· (−₂1) +d1· 0+d2· 1=0 ⇒ d2= 1₂ T ´ermino enx3_{: d} 0· 0+d1· (−₂1) +d2· 0+d3· 1=0 ⇒ d3=0 T ´ermino enx4_{: d} 0·(₄1_!) +d1· 0+d2·(−₂1) +d3·0+d4·1=0 ⇒ d4=₂₄5 sec(x) =1+1 2x 2 + 5 24x 4 +· · ·

Ejemplo (divisi ´

on de SP)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =sec(x) = 1

cos(x).

Como sabemos que cos(x) =1−x

2

2! +

x4

4! −+· · · ∀x∈R, llamamos

sec(x) =d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · y tenemos que calcular losdi tales que

sec(x) = 1

cos(x) ⇔ sec(x)cos(x) =1

d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · 1−x 2 2! + x4 4! −+· · · =1 T ´ermino enx0_{: d} 0· 1=1 ⇒ d0=1 T ´ermino enx1: d0· 0+d1· 1=0 ⇒ d1=0 T ´ermino enx2_{: d} 0· (−1₂ ) +d1· 0+d2· 1=0 ⇒ d2= 1₂ T ´ermino enx3_{: d} 0· 0+d1· (−1₂ ) +d2· 0+d3· 1=0 ⇒ d3=0 T ´ermino enx4_{: d} 0·(₄1_!) +d1· 0+d2·(−1₂ ) +d3·0+d4·1=0 ⇒ d4=₂₄5 sec(x) =1+1 2x 2 + 5 24x 4 +· · ·

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

Ejemplo (divisi ´

on de SP)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =sec(x) = 1

cos(x).

Como sabemos que cos(x) =1−x

2

2! +

x4

4! −+· · · ∀x∈R, llamamos

sec(x) =d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · y tenemos que calcular losdi tales que

sec(x) = 1

cos(x) ⇔ sec(x)cos(x) =1

d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · 1−x 2 2! + x4 4! −+· · · =1 T ´ermino enx0_{: d} 0· 1=1 ⇒ d0=1 T ´ermino enx1: d0· 0+d1· 1=0 ⇒ d1=0 T ´ermino enx2_{: d} 0· (−1₂ ) +d1· 0+d2· 1=0 ⇒ d2= 1₂ T ´ermino enx3_{: d} 0· 0+d1· (−1₂ ) +d2· 0+d3· 1=0 ⇒ d3=0 T ´ermino enx4_{: d} 0·(₄1_!) +d1· 0+d2·(−1₂ ) +d3·0+d4·1=0 ⇒ d4=₂₄5 sec(x) =1+1 2x 2 + 5 24x 4 +· · ·

Ejemplo (divisi ´

on de SP)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =sec(x) = 1

cos(x).

Como sabemos que cos(x) =1−x

2

2! +

x4

4! −+· · · ∀x∈R, llamamos

sec(x) =d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · y tenemos que calcular losdi tales que

sec(x) = 1

cos(x) ⇔ sec(x)cos(x) =1

d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · 1−x 2 2! + x4 4! −+· · · =1 T ´ermino enx0_{: d} 0· 1=1 ⇒ d0=1 T ´ermino enx1: d0· 0+d1· 1=0 ⇒ d1=0 T ´ermino enx2_{: d} 0· (−₂1) +d1· 0+d2· 1=0 ⇒ d2= 1₂ T ´ermino enx3_{: d} 0· 0+d1· (−₂1) +d2· 0+d3· 1=0 ⇒ d3=0 T ´ermino enx4_{: d} 0·(₄1_!) +d1· 0+d2·(−₂1) +d3·0+d4·1=0 ⇒ d4=₂₄5 sec(x) =1+1 2x 2 + 5 24x 4 +· · ·

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

Ejemplo (divisi ´

on de SP)

Calcular la serie de McLaurin de la funci ´onf(x) =sec(x) = 1

cos(x).

Como sabemos que cos(x) =1−x

2

2! +

x4

4! −+· · · ∀x∈R, llamamos

sec(x) =d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · y tenemos que calcular losdi tales que

sec(x) = 1

cos(x) ⇔ sec(x)cos(x) =1

d0+d1x+d2x2+d3x3+d4x4+· · · 1−x 2 2! + x4 4! −+· · · =1 T ´ermino enx0_{: d} 0· 1=1 ⇒ d0=1 T ´ermino enx1: d0· 0+d1· 1=0 ⇒ d1=0 T ´ermino enx2_{: d} 0· (−₂1) +d1· 0+d2· 1=0 ⇒ d2= 1₂ T ´ermino enx3_{: d} 0· 0+d1· (−₂1) +d2· 0+d3· 1=0 ⇒ d3=0 T ´ermino enx4_{: d} 0·(₄1_!) +d1· 0+d2·(−₂1) +d3·0+d4·1=0 ⇒ d4=₂₄5 sec(x) =1+1 2x 2 + 5 24x 4 +· · ·

1

_{Algebra de series de potencias}

´

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

El Teorema de Abel

Teorema de Abel

Sea

f

: [0

,

R]

−→

_R

una funci ´on continua tal que

f(x) =

P

n≥0

a

x

para todo

x

∈

[0

,

R). Si la serie

P

a

R

es

convergente entonces

P

a

R

=

f

(R). Lo mismo ocurre con el

intervalo

[−R

,

0].

Ejemplo:

log(1

+

x

)

y c ´alculo de la suma de la serie arm ´onica

alternada

Ejemplo:

arctg

(

x

)

y c ´alculo de una serie que sume

π/

4 (serie

de Gregory)

El Teorema de Abel

Teorema de Abel

Sea

f

: [0

,

R]

−→

_R

una funci ´on continua tal que

f(x) =

P

n≥0

a

x

para todo

x

∈

[0

,

R). Si la serie

P

a

R

es

convergente entonces

P

a

R

=

f

(R). Lo mismo ocurre con el

intervalo

[−R

,

0].

Ejemplo:

log(1

+

x

)

y c ´alculo de la suma de la serie arm ´onica

alternada

Ejemplo:

arctg(x

)

y c ´alculo de una serie que sume

π/

4 (serie

de Gregory)

´

Algebra de series de potencias Teorema de Abel

El Teorema de Abel

Teorema de Abel

Sea

f

: [0

,

R]

−→

_R

una funci ´on continua tal que

f(x) =

P

n≥0

a

x

para todo

x

∈

[0

,

R). Si la serie

P

a

R

es

convergente entonces

P

a

R

=

f

(R). Lo mismo ocurre con el

intervalo

[−R

,

0].

Ejemplo:

log(1

+

x

)

y c ´alculo de la suma de la serie arm ´onica

alternada

Ejemplo:

arctg(x

)

y c ´alculo de una serie que sume

π/

4 (serie

de Gregory)