Los lugares geométricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene un mismo valor.

2.1 Introducción

A lo largo del estudio de la Física surgen una serie de propiedades, tanto de magnitudes escalares como vectoriales, que se expresan por medio de nuevos conceptos tales como gradiente,divergencia,laplaciana,rota -cional, y sus relaciones con nuevas definiciones tales como flujo ycirculación de un vector, así como ciertos teoremas y transformaciones de vectores.

2.2 Concepto de campo escalar y campo vectorial. Representación gráfica.

En general, se llama campo a una magnitud física cuyo valor es función del punto del espacio que se con-sidere y del instante en que se mida.

Si la magnitud es función solamente el punto del espacio que se considere, y, por tanto, independiente del tiempo, se dice que es un campo estacionario.

Según la naturaleza de la magnitud física puede ser un campo escalar, o un campo vectorial. Campo escalar

Si se trata de un campo escalar estacionario de una cierta magnitud V, será, en general, función de las coordenadas de cada punto del espacio: V =V(x,y,z).

Las representaciones geométricas ayudan a tener una idea clara de cómo varían ciertas magnitudes físicas. Los campos escalares estacionarios suelen representarse por medio de las llamadas superficies de nivel, o superficies equipotenciales, que se definen como:

Los lugares geométricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene un mismo valor.

En la práctica, se dibujan las superficies de nivel que corresponden a valores de la magnitud escalar, que se diferencian en una cantidad constante. De esta forma se conoce el valor de V en los diferentes puntos del espacio, y además, se visualiza rápidamente en qué regiones experimenta Vla mayor rapidez de variación, que son aquéllas donde las superficies de nivel se encuentran más próximas unas a otras.

Las superficies de nivel en el espacio forman un sistema de capas envolventes sin ningún punto de contacto, ya que dos superficies de nivel correspondientes a valores distintos de la magnitud escalar no pueden cortarse. Si lo hicieran, la magnitud V tendría a la vez dos valores dis-tintos en los puntos de intersección, lo cual es absurdo.

Un ejemplo sencillo de representación gráfica de un campo escalar estacionario es el de las superficies de nivel utilizadas en la confección de mapas en los cuales la cota zde cada punto es función de su posición en el plano de dibujo: z =z (x,y). [Fig. 2-1].

Se dibujan las curvas de nivel z(x, y) = cte. a intervalos constantes. Las regiones del mapa donde se aproximan las curvas de nivel son

aqué-llas donde la pendiente es mayor. FIG. 2-1

Campo vectorial

Se denomina campo vectoriala una magnitud física de carácter vectorial que es, en general, función de cada punto del espacio y del instante que se considere.

Son ejemplos de campos vectoriales: los campos de fuerzas gravitatorias, electrostáticas, magnéticas, los campos de velocidades en el seno de un fluido en movimiento, etc.

Si la magnitud vectorial es solamente función de cada punto del espacio, pero no es función del tiempo, se dice que es un campo estacionario.

Los campos vectoriales se representan por medio de las llamadas líneas de fuerza, que se obtienen trazan-do, a partir de cada punto del espacio, un pequeño segmento en la dirección del vector correspondiente a dicho punto. El extremo de dicho segmento sirve de origen para trazar otro segmento en la nueva dirección que tenga la magnitud vectorial, y así sucesivamente. De esta forma se obtiene una línea poligonal.

Si se dibuja nuevamente esta línea poligonal, tomando los puntos más próximos entre sí, los segmentos que deter-minan serán más pequeños, y en el límite, cuando las lon-gitudes de estos segmentos tiendan a cero, la línea poligo-nal se convertirá en una línea curva, denominada línea de fuerzadel campo vectorial.

Por la forma en que se ha dibujado, se deduce que la línea de fuerza tiene la propiedad de ser tangente en cada punto al vector campo que existe en dicho punto, y su sentido es el de dicho vector campo.

Para que las líneas de fuerza indiquen en cada punto el módulo, además de la dirección y sentido del vec-tor campo, se conviene en dibujarlas de la siguiente forma:

En cada punto se toma una pequeña superficie de área dA, perpendicular a la dirección del vector en dicho punto, y se dibujan, a partir de los puntos de dicha superficie un número de líneas de fuerza, dN, uniforme-mente distribuidas, igual al producto del módulo del vector por el área dA del elemento de superficie.

De esta forma queda determinado el módulo del vector en dicho punto, por la densidad, dN

dA [1.1]

De forma que en aquellas regiones en las que las líneas de fuerza estén más próximas entre sí el módulo del vector campo tendrá un mayor valor. Y por el contrario, el módulo será menor en aquellas regiones donde las líneas de fuerza estén más separadas.

[2.1]

La derivada direccionalde un campo escalar V, función de varias variables, se define como

la relación entre la variación de dicha función escalar y el desplazamiento en una determinada dirección. La derivada direccional de una función escalar se representa normalmente por:

2.3 Derivada direccional de un campo escalar

dV

dl [2.2]

donde dlrepresenta el módulo de un desplazamiento vectorial infinitesimal dlen una dirección y sentido deter-minados.

2.4 Gradiente de un campo escalar

Consideremos dos superficies de nivel de un campo escalar V, infinitamente próximas, correspondientes a los valores V y V+dV.

El gradiente de una función escalar V en un punto se define como un vector cuyas características son:

módulo: es el valor máximo de la derivada direccional en dicho punto.

dirección: la de la máxima derivada direccional en dicho punto.

sentido: dirigido hacia los valores crecientes del campo escalar.

Vamos a justificar que la definición del vector gradiente implica que su dirección en cada punto del espacio es la de la normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto, estando su sentido dirigido hacia los valo-res crecientes del campo escalar.

Si a partir de un punto P, perteneciente a la superficie de nivel V, pasamos a un punto P’ de la superficie de nivel V+dV, la variación de V es, evidentemente, dV.

Esta variación es la misma cualesquiera que sean dichos puntos; por tanto, el numerador de las distintas derivadas direccionales que se pueden considerar a partir del punto P es el mismo para todas ellas.

Por consiguiente, será máxima la derivada direccional cuyo denominador sea el de menor longitud; en este caso dl_n.

Esta longitud es el módulo del vector desplazamiento cuya dirección es, evidentemente, la de la normal a la superficie de nivel V en el punto P.

De la definición del vector gradientese deduce que su módulo es, pues,

V V+dV FIG. 2-3 dl  dl _n grad  V gradV =dV dl_n [2.3]

Si a partir del punto P se considera un desplazamiento dl que forma con la normal un ángulo ϕ, se

verifi-ca que,

dl_n= dl cos ϕ

dV dl =∇V⋅ dl dl gradV =dV dl_n = dV dlcosϕ de donde, dV= gradV dlcosϕ dV =grad   V dl que se puede expresar como,

Con objeto de simplificar la notación en las relaciones del álgebra vectorial, se define un operador vecto-rialque se representa por el símbolo, ∇, denominado operador nabla, de forma que:

dV =∇V⋅dl



dV

dl = gradV cosϕ= ∇V cosϕ

[2.4]

[2.5] [2.6]

[2.7]

[2.9] que, a su vez, si se introduce el vector unitario dl



dlse puede expresar en la forma,

Una magnitud escalar se modifica, en general, de un punto a otro y la variación que experimenta al pasar del punto (x, y, z) al (x+dx,y+dy, z+dz) es dV =∂V dx dx+ ∂V dy dy+ ∂V dz dz Esta expresión se puede considerar como el producto de los vectores

∂V dx  i +∂V dy  j+∂V dz  k dl=dxi+dyj+dzk [2.10] [2.11] de modo que podemos conocer la variación de la magnitud escalar en todo el campo si conocemos el vector definido por la relación [2.10].

El vector gradientede una magnitud escalar en coordenadas cartesianas es un vector cuyas componentes son las derivadas de una magnitud escalar respecto a las coordenadas respectivas y se define como

gradV  =∂V dx  i+∂V dy  j+∂V dz  k _[2.12] ∇= ∂ dx  i + ∂ dy  j+ ∂ dz  k _[2.13]

2.6 Gradiente de un magnitud escalar en coordenadas cartesianas 2.5 Operador nabla

La anterior expresión, [2.7], se puede considerar como la definición general de ∇V, ya que es independien-te del sisindependien-tema de coordenadas que se utilice.

Hay que hacer notar que en la mayoría de los manuales y textos de campos electromagnéticos, la expre-sión ∇V representa el vectorgradiente, aunque no aparezca indicado expresamente su carácter vectorial por

medio de la flecha que normalmente se utiliza para indicar esta característica de una magnitud física. A partir de la relación [2.5] se puede obtener la siguiente expresión de la derivada direccional:

De modo que el operador nabla en coordenadas cartesianas se representa por:

[2.14] que indica una operación a realizar con la magnitud a la que se aplique. En este caso, indica la derivada parcial de una magnitud respecto a la coordenada correspondiente

∇V =grad V =∂V dx  i+∂V dy  j+∂V dz  k [2-8]

div E=∂Ex dx + ∂E_y dy + ∂E_z dz =∇E  2.7 Flujo de un vector

Se llama flujo de un vector Ea través de un elemento de superficie ds a la expresión

dΦ =→Ed→a=→E→nda=Edacos θ [1.10]

siendo da un vector cuyo módulo es igual al área del elemento de superficie; su dirección es la de la normal a dicho elemento y n, un vector unitario asimismo normal al elemento de superficie.

El sentido de los vectores dayn es, en principio, arbitrario.

Si el elemento pertenece a una superficie que encierra un volumen, dichos vectores se toman en el sentido de la normal hacia el exterior del volumen encerrado por la superficie.

Si la superficie es finita, el flujo tiene por expresión:

[2.15] Φ= E  ⋅da= S

∫

∫

∫

Si la superficie es cerrada, es decir, si encierra un determinado volumen:

Φ= E  ⋅da  = S



∫



∫



∫

siendo ahora el sentido de los vectores da ynhacia afuera del volumen encerrado por la superficie S. [2.16]

[2.17]

2.8 Divergencia de un vector

Si la superficie S es cerrada y se calcula el flujo por unidad de volumen, en el caso límite de que dicho volumen tienda a cero, se define la divergencia de un vector Ecomo:

divE=lim v→0 1 v E  ⋅nda S



∫

Conviene resaltar que la divergencia de un vector es una magnitud escalar.

La definición anterior [13], es independiente del sistema de coordenadas que se utilice y sirve, por tanto, para calcular la expresión del operador divergencia en cualquier sistema de coordenadas sin más que desarro-llar en cada caso el segundo miembro.

Se puede demostrar que la divergencia de un vector se puede expresar en coordenadas cartesianas, tenien-do en cuenta el significatenien-do del operatenien-dor nabla, en la forma:

[2.19] es decir, su expresión es el producto escalar del operador nabla por el vector.

div E=div gradV=∇(−∇V)=−∇ ⋅ ∇V =− ∂ dx  i+ ∂ dy  j+ ∂ dz  k      ⋅ ∂ dx  i+ ∂ dy  j+ ∂ dz  k      =∂ 2_V dx2 + ∂2V dy2 + ∂2V dz2 [2.20] La expresión [2.20] ∂2V dx2 + ∂2V dy2 + ∂2V dz2

se representa simbólicamente introduciendo el operador denominado laplaciana, que indica que hay que cal-cular las derivadas parciales segundas de la magnitud a la que se aplique respecto a la coordenada correspon-diente:

2.9 Operador laplaciana

Si el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede expresar a partir de una función esca-lar V, por medio de la relación

E 

=−grad V =−∇V [2.21]

entonces la divergencia del vector en coordenadas cartesianas es,

2.10 Circulación de un vector ∂2V dx2 + ∂2V dy2 + ∂2V dz2 =ΔV [2.23] [2.24] El operador laplaciana se puede aplicar igualmente a un vector y en ese caso representa un vectorcuyas componentes son las laplacianas de las componentes del vector

ΔE=iΔE_x+jΔE_y+kΔE_z div E=div gradV =∇(−∇V)=−∇ ⋅ ∇V =− ∂

dx  i+ ∂ dy  j+ ∂ dz  k      ⋅ ∂ dx  i + ∂ dy  j+ ∂ dz  k      =∂ 2_V dx2 + ∂2V dy2 + ∂2V dz2 [2.22] La expresión escalar[2.13] ∂2V dx2 + ∂2V dy2 + ∂2V dz2

se representa simbólicamente introduciendo el operador denominado laplaciana, que indica que hay que cal-cular las derivadas parciales segundas de la magnitud a la que se aplique respecto a la coordenada correspon-diente:

Se denomina circulación elemental de un vector a lo largo de un elemento de longitud dl a la expresión, dC=E  ⋅dl  =E dlcosθ Si la longitud es finita: C= E  ⋅dl= i f

∫

_∫

Si la circulación se calcula a lo largo de la longitud correspondiente a una curva cerrada que encierra una superficie S: C= E  ⋅dl  L



∫



∫

Se define el rotacional de un vector E,como límite del flujo por unidad de volumen, a través de una super-ficie cerrada, del producto vectorial n x E, siendo n un vector unitario dirigido hacia afuera del volumen encerrado por la superficies S, cuando dicho volumen tiende a cero.

2.11 Rotacional de un vector

La componente de ∇ ×E en la dirección del vector unitario n es el límite de la circulación del vector E a lo largo de un curva cerrada L, por unidad de superficie encerrada S, cuando dicha superficie tiende a cero, siendo el vector unitario, normal a la superficie S.

rotE=∇ ×E  =lim Δv→0 1 Δv n  ×E  ds S



∫

Se puede demostrar que la definición [2.28] es equivalente a: n⋅ ∇ ×E  =lim S→0 1 S E  ⋅dl L



∫

Las definiciones anteriores del rotacionalde un vector son independientes del sistema de coordenadas que se utilice y sirven, por tanto, para calcular la expresión del rotacional en cualquier sistema de coordenadas.