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(1)1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12. Requisitos previos .............................................................................. 2 Primitiva de una función .................................................................. 3 El problema del cálculo de primitivas ............................................ 5 Primitivas inmediatas ........................................................................ 6 Funciones hiperbólicas ..................................................................... 21 Cálculo de primitivas "por partes" .................................................. 34 Cambio de variable ............................................................................ 45 Primitiva de un cociente de polinomios ........................................ 50 Funciones racionales del seno y el coseno .................................... 71 Funciones racionales de las funciones "sh" y "ch" ...................... 84 Primitivas de algunas funciones irracionales ................................. 92 Cálculo de primitivas por reducción .............................................. 107. Me temo que esto no me va a gustar mucho. Tema 1: Cálculo de Primitivas. El primer tema es bastante petardete, pero luego la cosa se anima mucho y lo pasarás bomba resolviendo problemas de la vida real. 1.

(2) 1.9 PRIMITIVAS DE FUNCIONES RACIONALES DEL SENO Y EL COSENO Nos planteamos el cálculo de la primitiva de una función racional del seno y el coseno, es decir, una función en la que " sen x" y "cos x" aparecen como aparece la "x" en los cocientes de polinomios; o sea, como funciones como las siguientes:. f (x ) =. 1 + sen 2 x + sen5 x.cos7 x cos 3 x + sen 4 x ; g( x ) = 1 − sen x sen x + 3.cos x. Para denotar genéricamente este tipo de funciones escribiremos R (sen x ;cos x ).. Caso general El problema de calcular la primitiva de una función R (sen x ;cos x ) siempre puede transformarse en el problema de calcular la primitiva de un cociente de polinomios haciendo el cambio de variable tg ( x/2 ) = z .. Cada vez que hagas el cambio tg ( x/2 ) = z deberás sustituir sen x , cos x y dx por sus Rcorrespondientes (sen x ;cos x ). valores en función de "z"; por tanto, debes saber que si tg ( x/2 ) = z , es: 2 sen x = 2. z ; cos x = 1 − z ; dx = 2. dz 1 + z2 1 + z2 1 + z2 FONEMATO 1.9.1. z. 1 . dx = 1 − sen x. z. z. 1 dz = . 2. dz = 2. 2 2 2 . z 1 + − 2 + 1 z z . z 1− 1 + z2 tg ( x/2 ) = z ⇒ sen x = 2. z y dx = 2. dz 1 + z2 1 + z2 dz = 2 = − 2 = 2. +C 1 − tg ( x/2 ) ( z − 1)2 1 − z. z. deshacemos el cambio de variable: z = tg ( x/2 ). FONEMATO 1.9.2. z. z. z. dz = 1 . 2. dz = 2 2 1 + 2. z2 3− 1− z 1+ z 1 + z2 2 tg ( x/2 ) = z ⇒ cos x = 1 − z y dx = 2. dz 1 + z2 1 + z2 = 1 . arc tg 2 . z = 1 . arc tg ( 2 . tg ( x/2 )) + C 2 2 deshacemos el cambio de variable: z = tg ( x/2 ) 1 . dx = 3 − cos x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 71.

(3) FONEMATO 1.9.3. z. 2. z 2. z 1 + z2 . 2. dz = . dz = 2 1 + z2 2) 2 z 1 z 1 + z 1 + z − . ( ).( 1+ + 1 + z2 1 + z2 2 tg ( x/2 ) = z ⇒ sen x = 2. z , cos x = 1 − z y dx = 2. dz 1 + z2 1 + z2 1 + z2 1 . dz = 1 . dz + z . dz + =− 2 1+ z 1+ z 1 + z2. sen x . dx = 1 + sen x + cos x. z. z. z. z. z. • La descomposición en suma de fracciones simples es: 2. z = A + M. z + N ( I) (1 + z).(1 + z2 ) 1 + z 1 + z2 • Para calcular las constantes, reducimos a común denominador en el segundo miembro de (I) e igualamos los numeradores; resulta: 2. z = A.(1 + z2 ) + ( M. x + N ).(1 + z) (II) • Al hacer z = 0 en (II): −2 = 2.A ⇒ A = −1 • Para calcular "M" y "N" asignamos a "x" dos valores cualesquiera en (II) y resolvemos el sistema de ecuaciones que resulta (teniendo en cuenta que es A = −1) : ∗ si z = 0 ⇒ 0 = −1 + N M =1 ⇒ N=1 ∗ si z = 1 ⇒ 2 = −2.+2. M + 2. N. UV { W. = − Ln 1 + z + 1 . Ln 1 + z2 + arc tg z = 2 = − Ln 1 + tg x + 1 . Ln 1 + tg 2 x + arc tg ( tg x ) + C = 2 2 2 2 deshacemos el cambio de variable realizado: z = tg ( x/2 ) = − Ln 1 + tg x + 1 . Ln 1 + tg 2 x + x + C 2 2 2 2 FONEMATO 1.9.4. z. 1 − z2 cos x 1 − z2 1 + z2 . dx = . 2. dz = . dz = 2 1 + z2 2) 1 + sen x + cos x 1 1 2 1 z z − . z z ( + ).( + 1+ + 1 + z2 1 + z2 2 tg ( x/2 ) = z ⇒ sen x = 2. z , cos x = 1 − z y dx = 2. dz 1 + z2 1 + z2 1 + z2 1 − z . dz = 1 . dz − z . dz = = 1 + z2 1 + z2 1 + z2 = arc tg z − 1 . Ln 1 + z2 = x − 1 . Ln 1 + tg 2 x + C 2 2 2 2 deshacemos el cambio de variable: z = tg ( x/2 ). z. z. Tema 1: Cálculo de Primitivas. z. z. z. 72.

(4) FONEMATO 1.9.5. z. 1 − 2. z z2 − 2. z + 1 . dz = 1 + z2 . 2. dz = 2 z.( z2 + 2. z + 1) (1 + 2. z ). 2. z 1 + z 2 2 1+ z 1+ z 2 tg ( x/2 ) = z ⇒ sen x = 2. z , cos x = 1 − z y dx = 2. dz 1 + z2 1 + z2 1 + z2 2 dz = = z − 2. z + 1 . dz = dz − 4 2 z z.( z + 1) ( z + 1)2. 1 − sen x . dx = (1 + sen x ). sen x. z. z. z. z. z. • La descomposición en suma de fracciones simples es: z2 − 2. z + 1 = A + B + C ( I) z ( z + 1)2 z + 1 z.( z + 1)2 • Para calcular las constantes, reducimos a común denominador en el segundo miembro de (I) e igualamos los numeradores; resulta: z2 − 2. z + 1 = A.( z + 1)2 + B. z + C. z.(z + 1) ( II) • Al hacer z = 0 en (II): 1 = A + 0 + 0 ⇒ A = 1 • Al hacer z = −1 en (II): 4 = 0 − B + 0 ⇒ B = −4 • Al derivar los dos miembros de (II), resulta: 2. z − 2 = 2. A .( z + 1) + B + C.( 2. z + 1) ( III) • Al hacer z = −1 en (III), teniendo en cuenta que A = 1 y B = −4, es: −4 = 0 − 4 + C.( −2 + 1) ⇒ C = 0 4 = Ln z + 4 = Ln tg ( x/2 ) + +C z+1 1 + tg ( x/2 ) deshacemos el cambio de variable: z = tg ( x/2 ). Hemos dicho que con el cambio de variable tg ( x/2 ) = z siempre podemos transformar el problema de calcular la primitiva de una función R (sen x ;cos x ) en el problema de calcular la primitiva de un cociente de polinomios; no obstante, vamos a estudiar otros cambios de variable que, en ciertos casos, son más eficaces (menos petardos) que el cambio tg ( x/2 ) = z. Tema 1: Cálculo de Primitivas. ¡Vaya coñazo!, ¡más casos!. 73.

(5) Casos particulares. 1 z. z. Para calcular la primitiva R (sen x ).cos x . dx haremos sen x = z; así:. z. z. R (sen x ).cos x. dx = R ( z ). dz sen x = z ⇒ cos x. dx = dz. z. sen x z . dz = 1 . Ln 1 + z2 = 1 . Ln 1 + sen 2 x + C .cos x. dx = 2 2 1 + sen 2 x 1 + z2 sen x = z ⇒ cos x . dx = dz deshacemos el cambio: z = sen x. z. z. 1 − sen x 1 − z . dz = .cos x. dx = 2 sen x + sen x z + z2 sen x = z ⇒ cos x. dx = dz. z. ( 1 − 2 ). dz = z z+1. La descomposición en suma de fracciones simples es: 1 − z = A + B ⇒ 1 − z = A.( z + 1) + B. z z + z2 z z + 1 Si z = 0 ⇒ 1 = A + 0 ⇒ A = 1 Si z = −1 ⇒ 2 = 0 − B ⇒ B = −2. = Ln z − 2. Ln z + 1 = Ln sen x − 2. Ln 1 + sen x + C deshacemos el cambio: z = sen x. z. cos3 x . dx = 2 − sen x. z. cos2 x .cos x. dx = 2 − sen x. z. 1 − sen 2 x .cos x. dx = 2 − sen x. sen x = z ⇒ cos x. dx = dz. =. z. 1 − z2 . dz = 2−z. z. (z + 2 −. 3 ). dz = 1 . z2 + 2. z + 3. Ln 2 − z = 2−z 2. -z2 + 1 z2 - 2. z -2. z + 1 2. z - 4 -3. -z + 2 z+2. = 1 . sen 2 x + 2. sen x + 3. Ln 2 − sen x + C 2 deshacemos el cambio realizado: z = sen x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 74.

(6) 2 z. z. Para calcular la primitiva R (cos x ).sen x . dx haremos cos x = z; así:. z. z. R (cos x ). sen x. dx = − R ( z). dz cos x = z ⇒ sen x. dx = − dz. z. cos x − z . dz = − 1 . Ln 1 + z2 = − 1 . Ln 1 + cos2 x + C . sen x. dx = 2 2 2 1 + cos x 1 + z2 cos x = z ⇒ sen x . dx = − dz deshacemos el cambio: z = cos x. z. z. z. 1 − cos x . sen x. dx = − 1 − z . dz = − ( 1 − 2 ). dz = z z+1 cos x + cos2 x z + z2 sen x = z ⇒ cos x . dx = dz La descomposición en suma de fracciones simples es: 1 − z = A + B ⇒ 1 − z = A.( z + 1) + B. z z + z2 z z + 1 Si z = 0 ⇒ 1 = A + 0 ⇒ A = 1 Si z = −1 ⇒ 2 = 0 − B ⇒ B = −2 = − Ln z + 2. Ln z + 1 = − Ln cos x + 2. Ln 1 + cos x + C deshacemos el cambio: z = cos x. z. sen 3 x . dx = 3 − cos x. z. sen 2 x . sen x. dx = 3 − cos x. z. 1 − cos2 x . sen x. dx = 3 − cos x. cos x = z ⇒ sen x. dx = − dz. =. z. z2 − 1 . dz = 3−z. z. ( − z − 3 + 8 ). dz = 3−z. z2 - 1 - z2 + 3. z 3. z - 1 -3. z + 9 8. -z + 3 -z - 3. = − 1 . z 2 − 3. z − 8. Ln 3 − z = 2 = − 1 .cos2 x − 3.cos x − 8. Ln 3 − cos x + C 2 deshacemos el cambio de variable realizado: z = cos x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 75.

(7) 3. z. Para calcular la primitiva R (tg x ). dx haremos tg x = z; así:. z. z. R ( tg x ). dx = R ( z). dz 1 + z2 tg x = z ⇒ x = arc tg z ⇒ dx = dz/(1 + z2 ). z = 1. 2. z. z. 1 . dx = 1 + tg x. 1 . dz = 1 + z 1 + z2. tg x = z ⇒ x = arc tg z ⇒ dx = dz/(1 + z2 ) ( 1 + 1 − z ). dz = 1 . ( 1 + 1 − z ). dz = 2 z + 1 1 + z2 z + 1 1 + z2 1 + z2. z. La descomposición en suma de fracciones simples es: 1 = A + M. x + N ⇒ 1 = A.(1 + z2 ) + ( M. x + N ).(z + 1) ( I) 2 (1 + z).(1 + z ) z + 1 1 + z2 Si z = −1 ⇒ 1 = 2. A + 0 ⇒ A = 1/2 , y para calcular "M" y "N" damos a "x" dos valores cualesquiera en (I) y resolvemos el sistema de dos ecuaciones que se obtiene (teniendo en cuenta que A = 1/2 ) : M = −1/2 ∗ si z = 0 ⇒ 1 = 1 + N ⇒ 2 N = 1/2 ∗ si z = 1 ⇒ 1 = 1 + 2. M + 2. N. U| R V| ST W. = 1 . Ln z + 1 + 1 . arc tg z − 1 . Ln 1 + z 2 = 2 2 4 = 1 . Ln 1 + tg x + 1 . arc tg ( tg x ) − 1 . Ln 1 + tg 2 x + C = 2 2 4 1 x 1 = . Ln 1 + tg x + − . Ln 1 + tg 2 x + C 2 2 4. z. =. z. 2. tg x . dx = 1 + tg x. z. 2. z . dz = 1 + z 1 + z2. tg x = z ⇒ x = arc tg z ⇒ dx = dz/(1 + z2 ) ( − 1 + 1 + z ). dz = ( − 1 + 1 + z ). dz = z + 1 1 + z2 z + 1 1 + z2 1 + z2. z. La descomposición en suma de fracciones simples es: 2. z = A + M. x + N ⇒ 2. z = A.(1 + z2 ) + ( M. x + N).( z + 1) (I) 2 (1 + z).(1 + z ) z + 1 1 + z2 Si z = −1 ⇒ − 2 = 2. A + 0 ⇒ A = −1 , y para calcular "M" y "N" damos a "x" dos valores cualesquiera en (I) y resolvemos el sistema de dos ecuaciones que se obtiene (teniendo en cuenta que A = −1) : ∗ si z = 0 ⇒ 0 = −1 + N M =1 ⇒ N=1 ∗ si z = 1 ⇒ 2 = −2 + 2. M + 2. N. UV { W. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 76.

(8) = − Ln z + 1 + arc tg z + 1 . Ln 1 + z2 = 2 deshacemos el cambio de variable realizado: z = tg x = − Ln 1 + tg x + arc tg ( tg x ) + 1 . Ln 1 + tg 2 x + C = 2 = − Ln 1 + tg x + x + 1 . Ln 1 + tg 2 x + C 2 teniendo en cuenta que es: arc tg ( tg x ) = x. z. Para calcular una primitiva de la forma R (sen 2. m x ; cos2. n x ). dx , donde "m" y "n" son números enteros (⇒ sen x y cos x aparecen elevados a exponentes pares), haremos tg x = z; en este trance, para poder sustituir sen 2 x , cos2 x y "dx" por sus correspondientes valores en función de "z", deberás saber que si tg x = z, es: 2 sen 2 x = z ; cos2 x = 1 ; dx = dz 1 + z2 1 + z2 1 + z2. 4. z. =. z. z. dx = 4. sen 2 x + 9.cos2 x. z. dz 1 + z2. 2 4. z + 9. 1 1 + z2 1 + z2. =. R|sen2 x = z2 2 1+ z | tg x = z ⇒ Scos2 x = 1 || dx = 1dz+ z2 T 1 + z2. dz = 1 . 1 . arc tg ( 2. z ) = 1 . arc tg ( 2. tg x ) + C 3 6 3 4. z 2 + 9 2 3 deshacemos el cambio de variable: z = tg x. dx = 1 + sen 2 x. z. dz 1 + z2 = 2 1+ z 1 + z2. z. dz = 1 . 1 + 2. z2 2. z. 2 . dz = 1 + ( 2 . z )2. 2 tg x = z ⇒ sen 2 x = z y dx = dz 2 1+ z 1 + z2. = 1 . arc tg ( 2 . z) = 1 . arc tg ( 2 . tg x ) + C 2 2 deshacemos el cambio de variable: z = tg x Tema 1: Cálculo de Primitivas. 77.

(9) 5. Podemos distinguir 3 casos a la hora de calcular la primitiva de una función R (sen x ;cos x ) cuya expresión matemática es de la forma R (sen x ;cos x ) = sen m x.cos n x , siendo "m" y "n" números enteros: A) Si alguno de los exponentes (por ejemplo, el "m") es impar, lo expresaremos como suma de un número par y del número 1 (o sea, m = 2. k + 1, siendo "k" entero); así:. z. =. z. sen 2. k +1 x.cos n x. dx =. z. sen 2. k x.cos n x. sen x. dx =. (1 − cos2 x ) k .cos n x. sen x. dx =. z. R (cos x ). sen x . dx. B) Si los dos exponentes son pares pero alguno es negativo, haremos el cambio tg x = z; como sabemos, en tal caso, es: 2 sen 2 x = z ; cos2 x = 1 ; dx = dz 2 1+ z 1 + z2 1 + z2 C) Si los dos exponentes son pares no negativos ( ≥ 0 ) , por ejemplo m = 2. p y n = 2. q siendo "p" y "q" números naturales, es:. z. sen 2. p x.cos2.q x. dx = sen 2 x =. p q 1 − cos 2. x I F 1 + cos 2. x I F z GH 2 JK .GH 2 JK .dx. 1 − cos 2. x 1 + cos 2. x ; cos2 x = 2 2. Al efectuar el producto (1 − cos 2. x ) p .(1 + cos 2. x )q obtendremos una suma de potencias pares e impares de cos 2. x ; las primitivas de las potencias impares de cos 2. x se calculan como se indica en A), y para las primitivas de las potencias pares de cos 2. x basta tener en cuenta que cos2 2. x = (1 + cos 4. x )/2 , así:. z. cos2.r 2. x. dx =. r 1 + cos 4. x I F z GH 2 JK .dx. Al efectuar el desarrollo de (1 + cos 4. x )r obtendremos una suma de potencias pares e impares de cos 4. x ; las primitivas de las potencias impares de cos 4. x se calculan como se indica en A), y las primitivas de las potencias pares de cos 4. x se calculan teniendo en cuenta que cos2 4. x = (1 + cos 8. x )/2 , así:. z. cos2.s 4. x. dx =. s 1 + cos 8. x I F z GH 2 JK .dx. Al efectuar el desarrollo de (1 + cos 8. x )s obtendremos una suma de potencias pares e impares de cos 8. x ; las primitivas de las ... Tema 1: Cálculo de Primitivas. 78.

(10) z. sen5 x.cos2 x. dx =. z. sen 4 x.cos2 x. sen x. dx =. z. Caso 5A, pues estamos ante una primitiva de la forma sen m x.cos n x. dx en la que algún exponente es impar. Expresamos dicho exponente impar como suma de un numero par y del número 1 (5 = 4 +1) =. z. (1 − cos2 x )2 .cos2 x. sen x. dx = sen 2 x = 1 − cos2 x. z. primitiva de la forma R (cos x ). sen x. dx ⇒ cos x = z ⇒ sen x. dx = − dz. z. z. = − (1 − z2 )2 . z2 . dz = − ( z 2 − 2. z4 + z6 ). dz = = − 1 . z3 + 2 . z5 − 1 . z7 = − 1 .cos3 x + 2 .cos5 x − 1 .cos7 x + C 3 5 7 3 5 7 deshacemos el cambio de variable: z = cos x. z. sen 2 x.cos5 x. dx =. z. sen 2 x.cos4 x .cos x . dx =. z. Caso 5A, pues estamos ante una primitiva de la forma sen m x.cos n x. dx en la que algún exponente es impar. Expresamos dicho exponente impar como suma de un numero par y del número 1 (5 = 4 +1) =. z. sen 2 x.(1 − sen 2 x )2 .cos x. dx = cos2 x = 1 − sen 2 x. z. primitiva de la forma R (sen x ).cos x. dx ⇒ sen x = z ⇒ cos x. dx = dz =. z. z. z2 .(1 − z 2 )2 . dz = ( z2 − 2. z4 + z 6 ). dz = = 1 . z3 − 2 . z5 + 1 . z7 = 1 . sen 3 x − 2 . sen5 x + 1 . sen 7 x + C 3 5 7 3 5 7 deshacemos el cambio de variable: z = sen x. z. cos7 x. dx =. z. cos6 x.cos x . dx =. z. Caso 5A, pues estamos ante una primitiva de la forma sen m x.cos n x. dx en la que algún exponente es impar. Expresamos dicho exponente impar como suma de un numero par y del número 1 (7 = 6 +1) =. z. z. (1 − sen 2 x )3 .cos x. dx = cos2 x = 1 − sen 2 x. primitiva de la forma R (sen x ).cos x. dx ⇒ sen x = z ⇒ cos x. dx = dz. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 79.

(11) =. z. z. (1 − z2 )3 . dz = (1 − 3. z2 + 3. z4 − z6 ). dz = = z − z3 + 3 . z5 − 1 . z 7 = sen x − sen 3 x + 3 . sen5 x − 1 . sen 7 x + C 5 7 5 7 deshacemos el cambio de variable: z = sen x. z. cos2 x . dx = sen x. z. sen −1 x.cos2 x. dx =. z. cos2 x. . sen x. dx = sen 2 x. z. Caso 5A, pues estamos ante una primitiva de la forma sen m x.cos n x. dx en la que algún exponente es impar. Expresamos dicho exponente impar como suma de un numero par y del número 1 ( -1 = -2 + 1) sen 2 x = 1 − cos2 x =. z. cos2 x. . sen x. dx = − 1 − cos2 x. z. z. z2 . dz = ......... 1 − z2. primitiva de la forma R (cos x ). sen x. dx ⇒ cos x = z ⇒ sen x. dx = − dz. z. sen 2 x . dx = cos2 x. z. sen 2 x.cos −2 x. dx =. z. C aso 5B, pues estamos ante una primitiva de la forma sen m x.cos n x. dx en la que ambos exponentes son pares, pero alguno es negativo ⇒ hacemos el cambio tg x = z, y entonces: 2 sen 2 x = z ; cos2 x = 1 ; dx = dz 2 1+ z 1 + z2 1 + z2 z2 .( 1 )−1 . dz = z 2 . dz = = 1 + z2 1 + z2 1 + z2 1 + z2 dividimos los polinomios = (1 − 1 ). dz = z − arc tg z = tg x − arc tg ( tg x ) + C = ( tg x ) − x + C = 1 + z2 deshacemos el cambio de variable: z = tg x. z. z. z. z. z. 1 − cos 2. x 1 + cos 2. x . . dx = 2 2 Caso 5C, pues estamos ante una primitiva de la forma sen m x.cos n x . dx en la que ambos exponentes son pares no negativos ⇒ damos "entrada" al ángulo "2. x": es sen 2 x = (1 − cos 2. x )/2 y cos2 x = (1 + cos 2. x )/2 sen 2 x.cos2 x. dx =. z. z. z. = 1 . (1 − cos2 2. x ). dx = 1 . x − 1 . cos2 2. x . dx = 4 4 4 1 + cos 4. x = 1 .x − 1 . dx = 1 . x − 1 .( x + 1 . sen 4. x ) + C 4 4 2 4 4 2 8. z. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 80.

(12) damos "entrada" al ángulo "4.x": cos2 2. x = (1 + cos 4. x )/2. z. z. 1 .(1 − cos 2. x )3 . dx = 8 Caso 5C, pues estamos ante una primitiva de la forma sen m x.cos n x. dx en la que ambos exponentes son pares no negativos ⇒ damos "entrada" al ángulo "2.x": es sen 2 x = (1 − cos 2. x )/2 = 1. 8. z. sen 6 x. dx =. (1 − 3.cos 2. x + 3.cos2 2. x − cos3 2. x ). dx = ..... • Es: • Es:. z. z. z. z. 1.dx = x. cos 2. x. dx = 1 . sen 2. x 2. z. 1 + cos 4. x . dx = 1 .( x + 1 . sen 4. x ) 2 2 4 1 + cos 4. x Caso 5C, damos "entrada" al ángulo "4.x": cos2 2. x = 2 • Es:. cos2 2. x. dx =. • Es:. z. cos3 2. x. dx =. z. cos2 2. x.cos 2. x . dx =. Caso 5A, expresamos el exponente impar como suma de un número par y del número 1 (3 = 2 + 1). como todo el mundo sabe, es: cos2 2. x = 1 − sen 2 2. x =. z. z. (1 − sen 2 2. x ).cos 2. x. dx =. Primitiva de la forma R(sen 2.x).cos 2.x.dx ⇒ hacemos el cambio; sen 2. x = z ⇒ cos 2. x. dx = dz/2 = 1. 2. z. (1 − z 2 ). dz = 1 . z − 1 . z3 = 1 . sen 2. x − 1 .sen 3 2. x 6 2 6 2 deshacemos el cambio de variable: z = sen 2. x. z. cos8 x. dx =. z. 1 .(1 + cos 2. x )4 . dx = 16. z. Caso 5C, pues estamos ante una primitiva de la forma sen m x.cos n x . dx en la que ambos exponentes son pares no negativos ⇒ damos "entrada" al ángulo "2. x": es cos2 x = (1 + cos 2. x )/2. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 81.

(13) = 1. 16. z. (1 + 4.cos 2. x + 6.cos2 2. x + 4.cos3 2. x + cos4 2. x ). dx = ( a + b)4 = a 4 + 4. a 3 . b + 6. a 2 . b2 + 4. a. b3 + b4 = 1 .( I1 + 4. I2 + 6. I3 + 4. I4 + I5 ) + C = ....... 16 • Es: I1 =. z. 1. dx = x • Es: I2 = cos 2. x. dx = 1 . sen 2. x 2 • Es: I3 = cos2 2. x. dx = 1 .( x + 1 . sen 4. x ) 2 4 ver ejercicico anterior. z. • Es: I4 = • Es: I5 =. z z z. z. cos3 2. x. dx = 1 . sen 2. x − 1 . sen 3 2. x 2 6 cos4 2. x. dx =. z. (. 1 + cos 4. x 2 ) . dx = 2. = 1 . (1 + 2.cos 4. x + cos2 4. x ). dx = 4 = 1 . x + 1 . sen 4. x + 1 . cos2 4. x. dx = 4 4 8. z. Caso 5C, damos "entrada" al ángulo "8.x": cos2 4. x =. z. 1 + cos 8. x . dx = = 1 . x + 1 . sen 4. x + 1 . 4 2 4 8 = x + 1 . sen 4. x + 1 .( x + 1 . sen 8. x ) 4 2 16 4 8. 6. 1 + cos 8. x 2. Para calcular primitivas de la forma: A) B) C). z z z. sen ax.cos bx. dx , a ≠ b sen ax. sen bx. dx , a ≠ b cos ax.cos bx. dx , a ≠ b. basta recordar las fórmulas sen ( a − b). x + sen ( a + b). x , a≠b 2 cos ( a − b). x − cos (a + b). x B) sen ax. sen bx = , a≠b 2 cos ( a − b). x + cos ( a + b). x C ) cos ax.cos bx = , a≠b 2 Con ellas transformaremos el problema de calcular la primitiva de un producto en el problema de calcular la primitiva de una suma. A ) sen ax.cos bx =. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 82.

(14) z. z. z. z. z. z. z. z. z. z. z. z. sen 4 x.cos 2 x. dx = 1 . (sen 2 x + sen 6x ). dx = 2 sen ( 4 − 2 ). x + sen ( 4 + 2 ). x sen 2 x + sen 6x sen 4 x.cos 2 x = = 2 2 = − 1 .cos 2 x − 1 .cos 6x + C 4 12 sen 2 x.cos 6x. dx = 1 . (sen 8 x − sen 4 x ). dx = 2 sen ( 2 − 6). x + sen ( 2 + 6). x sen ( −4 x ) + sen 8 x sen 2 x.cos 6x = = = 2 2 sen 8 x − sen 4 x = , pues sen ( −4 x ) = −sen 4. x 2 = − 1 .cos 8 x + 1 .cos 4 x + C 16 8 sen 4 x. sen 2 x. dx = 1 . (cos 2 x − cos 6x ). dx = 2 cos (4 − 2 ). x − cos ( 4 + 2 ). x cos 2 x − cos 6x sen 4 x. sen 2 x = = 2 2 = 1 . sen 2 x − 1 . sen 6x + C 4 12 sen 2 x. sen 6x. dx = 1 . (cos 4 x − cos 8 x ). dx = 2 cos ( 2 − 6). x − cos ( 2 + 6). x cos ( −4 x ) − cos 8 x sen 2 x. sen 6x = = = 2 2 cos 4 x − cos 8 x = , pues cos ( −4 x ) = cos 4. x 2 = 1 . sen 4 x − 1 . sen 8 x + C 8 16 cos 4 x.cos 2 x . dx = 1 . (cos 2 x + cos 6x ). dx = 2 cos ( 4 − 2 ). x + cos ( 4 + 2 ). x cos 2 x + cos 6x cos 4 x.cos 2 x = = 2 2 = 1 . sen 2 x + 1 . sen 6x + C 4 12 cos 2 x.cos 6x. dx = 1 . (cos 4 x + cos 8 x ). dx = 2 cos ( 2 − 6). x + cos ( 2 + 6). x cos ( −4 x ) + cos 8 x cos 2 x .cos 6x = = = 2 2 cos 4 x + cos 8 x = , pues cos ( −4 x ) = cos 4. x 2 = 1 . sen 4 x + 1 . sen 8 x + C 8 16 Tema 1: Cálculo de Primitivas. 83.

(15)