Curso de Muestreo

(1)

Evaluaci´on y Lineamientos T´opicos del curso

Muestreo

Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico

Facultad de Estudios Superiores Acat´an

(2)

1 Evaluaci´on y Lineamientos

Evaluaci´on Lineamientos

2 T´opicos del curso

Introducci´on al muestreo Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio estratificado Muestreo aleatorio por conglomerados Muestreo sistem´atico

(3)

Evaluaci´on y Lineamientos

T´opicos del curso

Contenido

(4)

Evaluaci´on

Lineamientos

(5)

T´opicos del curso

Evaluaci´on

Lineamientos

Evaluaci´

on

Examenes 80%

Primer examen ordinario 80% Primer examen ordinario 100% Exposici´on final 20%

Recompensas

La entrega del 100% de las tareas podr´a hacerlos acredores a un 15% sobre calificaci´on final.

Consideraciones

(6)

Examenes 80%

Recompensas

Consideraciones

(7)

T´opicos del curso

Evaluaci´on

Lineamientos

Evaluaci´

on

Examenes 80%

Recompensas

Consideraciones

(8)

Evaluaci´on

Lineamientos

(9)

T´opicos del curso

Evaluaci´on

Lineamientos

Consideraciones

La clase terminar´a 9:30.

Respetar la clase.

Cumplir en tiempo y forma.

No comer dentro del salon.

(10)

Consideraciones

Respetar la clase.

(11)

T´opicos del curso

Evaluaci´on

Lineamientos

Consideraciones

Respetar la clase.

(12)

Consideraciones

Respetar la clase.

(13)

T´opicos del curso

Contenido

1 Evaluaci´on y Lineamientos Evaluaci´on

Lineamientos

(14)

Lineamientos

Introducci´on al muestreo

Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio estratificado Muestreo aleatorio por conglomerados Muestreo sistem´atico

(15)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Reflexi´on

¿C´omo aprende el conocimiento el ser humano?

¿Tenemos certeza de las implicaciones de cada acci´on que tomamos?

¿Analizamos todas las posibles variantes de los escenarios que

se dan como consecuencia de una acci´on o experimento dado?

¿Nuestros jucios son emitidos considerando el an´alisis todos los

(16)

Reflexi´on

El ser humano aprende con base en experiencias (observaciones) ante el ente en cuesti´on.

En general, el ser humano act´ua y emite jucios u opiniones con

base en su experiencia (observaciones).

El conclusi´on el ser humano act´ua y emite jucios con base en

una peque˜na muestras de experiencias.

(17)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Ejemplos de aplicaciones del muestreo:

Inferencia sobre par´ametros poblacionales.

Control de calidad en la industria. Reducci´on de datos.

Contrastes de hipótesis cient´ıficas. Revisión o auditor´ıa de información.

(18)

(19)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

¿Qu´e ventajas presenta utilizar m´etodos de muestreo?

Reducci´on de costos. (Censos poblacionales)

Reducci´on del tiempo de recolecci´on de datos. Mayor alcance en los estudios.

(20)

Aplicaciones de muestreo.- Algunas de las aplicaciones m´as

(21)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

co-munes del muestreo se da en la aplicaci´on de encuestas:

Encuesta Nacional de Salud y Nutrici´on (ENSANUT).

Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos en los Hogares (ENIGH).

Encuesta Nacional de Ocupaci´on y Empleo (ENOE).

(22)

co-munes del muestreo se da en la aplicaci´on de encuestas:

A manera de ejemplo se pueden consultar otras encuestas relizadas por el Instituto Nacional de Estad´ıstica y Geogrf´ıa (INEGI), en la siguiente direcci´on:

(23)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Etapas de una encuesta

Definir el objetivo de la investigación

Elegir el método de recolección de datos

Elegir el marco muestral

Construir y probar el cuestionario

Diseñar y seleccionar la muestra

Diseñar e implementar la recolección de datos

Codificar y editar los datos

Realizar ajustes de los datos

(24)

Definir el objetivo de la investigaci´on:

Objetivo de la investigaci´on.

Conceptos a medir en la investigaci´on.

Poblaci´on objetivo.- Grupo deelementospara los cuales el

investigador necesita hacer inferencias mediante estadísticas.

Llamaremoselementoal objeto sobre el que se realiza una medici´on

(25)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Conceptos a medir en la investigaci´on.- Es importante delimitar

de forma correcta los conceptos a medir ya que cuando la medici´on

difiere del concepto que se pretende medir ocurre un sesgo de

medici´on.

Sesgo de medici´on.- Este tipo de sesgo debe de ser minimizado en el diseño de la encuesta y se representa a través de la siguiente expresión:

(26)

Este tipo de sesgo debe de ser minimizado en el diseño de la encuesta y se representa a través de la siguiente expresión:

Yi =µi+i

Donde:

Yi es la medici´on del elementoi.

µi es el concepto del elemento i.

i es la diferencia entre la medici´on y el concepto del elemento

(27)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Poblaci´on objetivo

Las caracter´ısticas de laPoblaci´on objetivos son:

Es finita.- Debe ser posible ser contada (a partir delmarco de

muestreo).

Tiene cobertura temporal.- Existe durante un marco de tiempo especificado.

(28)

Marco de muestreo

Listado que pretende identificar a todos los elementos que pertenecen a la población objetivo.

Nota.- En algunas ocasiones, no se cuenta con un marco de muestreo

que identifique de manera perfecta a todos los elementos de la

población objetivo. Esta situaci´on nos puede llevar a presentar

(29)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Sesgo de selecci´on.- El sesgo de selecci´on se presenta cuando el

marco de muestreo no concide de forma perfecta con la poblaci´on

objetivo. El marco de muestreo puede presentar alguna de las sigu-ientes deficiencias:

Subcobertura.- No todos los elementos de la poblaci´on objetivo

se encuentran en el marco de muestreo.

Sobrecobertura.- El marco de muestreo presenta elementos adi-cionales a los incluidos en la poblaci´on objetivo.

(30)

Sesgo de selecci´on

Población objetivo

Población muestreada

Población no incluida en el marco de muestreo

Población no incluida en la población objetivo

(31)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Sesgo de selección.- El sesgo de selección se se calcula y representa con base en la siguiente expresión:

SC =PNC·( ¯YC −Y¯NC)

Donde:

PNC es la proporci´on de la poblaci´on objetivo no cuebierta. ¯

YC es el valor del estad´ıstico de inter´es en la poblaci´on cubierta. ¯

YNC es el valor del estad´ıstico de inter´es en la poblaci´on no cubierta.

(32)

Observaci´on

(33)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Poblaci´on muestrada.- Poblaci´on de la que se extrae lamuestra.

Muestra.- Conjunto de elementos que se consideran

representa-tivos del grupo al que pertenecen y que se toman para estudiar o analizar las características del grupo.

(34)

Muestra

Marco de muestreo Muestra

(35)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Muestra representativa.- Se dice que una muestra es

representa-tiva cuando esta reproduce las caracter´ırsticas de inter´es que existen en la poblaci´on objetivo.

O de forma equivalente, cuando cada elemento muestreado repre-senta las caracter´ısticas de una cantidad conocida de elementos de la poblaci´on.

(36)

Procedimientos de muestreo

Muestro no pobabil´ıstico.- Los elementos de la muestra no se

seleccionan utilizando alg´un mecanismo probabilťistico.

Muestreo probabil´ıstico.- Los elementos de la muestra se

(37)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Caracter´ısticas del muestreo no probabil´ıstico

La selecci´on se realiza generalmente de forma subjetiva (sesgo

humano).

No cuentan con soporte te´orico.

No puede determinarse el error de muestreo.

(38)

Caracter´ısticas del muestreo probabil´ıstico

La selecci´on de los elementos se realiza de forma aleatoria.

Cada elemento de la poblaci´on en el marco de muestreo

pre-senta una probabilidad positiva de ser seleccionado.

Mitiga el riesgo de la influencia humana en la selecci´on de la

muestra.

Asegura la dispersi´on de la muestra a lo largo de la poblaci´on objetivo.

(39)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Objetivo de una muestra aleatoria (probabil´ıstica)

Estimar caracter´ısticas de la poblaci´on objetivo a partir de la obser-vaci´on de variables de la muestra.

Muestra 𝜃

Parámetro 𝜃

Estimador Selección de elementos

Extrapolación de resultados

(40)

Probabilidad de muestreo

Sea U ={Yn}n∈NN la poblaci´on objetivo de tama˜noN, y sea S =

{Si}i∈I una familia de subconjuntos de U, donde Si representa la

i −´esima muestra de la poblaci´on U e I un conjunto de ´ındices

arbitrario, se defina la probabilidad de muestreo de la muestra i

como la probabilidad de que dicha muestra se lleve a a cabo:

πSi =P(S

∗

=Si)

(41)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Probabilidad de muestreo

Notemos que para cadaSi ⊂Sexistirá una estimación del parámetro de interes ˆθi a través del estimador ˆθ:

ˆ

θ:S →_R

donde el estimador ˆθpresenta la siguiente regla de correspondencia:

ˆ

(42)

Distribuci´on de muestreo

Se define la distribución de muestreo como la función de distribución de probabilidades del estimador ˆθi:

𝜃

Parámetro

𝑆1

𝑆2

𝑆𝐼−1

𝑆𝐼

…

𝜃1

𝜃2

𝜃𝐼−1

𝜃𝐼 Muestra Estimador

Distribución de muestreo

(43)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Población objetivo 𝜃 Parámetro 𝑆1 𝑆2 𝑆𝐼−1 𝑆𝐼 … 𝜃1 𝜃2 𝜃𝐼−1 𝜃𝐼 Muestra Estimador Distribución de muestreo

(44)

Elj−momento del estimador ˆθ, est´a dado de la forma:

E[ˆθj] =X i∈I

ˆ

θj_if_θˆ(ˆθi)

Con base en lo anterior, a fin de conocer las caracter´ısticas del esti-mador se suelen utilizar las siguientes propiedades:

Insesgamiento.- Se presenta cuando el valor esperado de ˆθes igual al valor del par´ametro θ:

(45)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Precisión.- Consiste en la dispersión de los valores de ˆθ alrededor del parámetroθ:

ECM[ˆθ] =V(ˆθ)−Sesgo2(ˆθ)

𝜃 𝜃1 𝜃2 𝜃3 𝜃4 𝜃5 𝜃6 Insesgado No preciso 𝜃 𝜃1

𝜃2 𝜃3

𝜃4 𝜃5 𝜃6 Insesgado Preciso 𝜃 𝜃1_𝜃

2𝜃3

𝜃4

𝜃5

𝜃6

Sesgado Preciso

(46)

Sin embargo, en la pr´actica no es posible conocer la precisi´on y el

sesgo del estimador dado que s´olo se cuenta con una de todas las

posibles muestras, por este motivo las propiedades estad´ısticas del estimador ˆθ se controlan a trav´es del m´etodo de muestreo.

(47)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Probabilidad de inclusi´on

Se denotar´a con πk a la probabilidad de incluir al elementok en la

muestra.

Par´ametros de inter´es

SeaU una población de tamañoN, los parámetros poblacionales de interés serán:

Total: tu=Pk∈NNYk

Promedio: ¯yu= P

k∈_N_NYk N

Proporci´on: pu =

P k∈NNYk

(48)

di-Estimador de Horvitz-Thompson (H-T)

El estimadorH−T es un estimador para el total (tu) y se denota

y define por:

ˆtπ =

X

k∈S

wkyk

Donde:

yk es la medici´on correspondiente al k−´esimo elemento.

wk es el peso de muestreo o factor de expansi´ondado que

(49)

T´opicos del curso

Introducci´

on al muestreo

Proposici´on (H-T).- El estimador H −T (ˆtπ) es un estimador

insesgado detu si y solo siwk = _π1_k.

Proposici´on.- La varianza del estimador ˆtπ esta dada por la siguiente

expresi´on:

V(ˆtπ) =

X

i∈U X

j∈U

yiyj

πiπj

(πij −πiπj)

Dondeπij representa la probabilidad de incluir a los elementosi yj en la muestra.

(50)

Lineamientos

Muestreo aleatorio simple

Muestreo aleatorio estratificado Muestreo aleatorio por conglomerados Muestreo sistem´atico

(51)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

Definiciones preliminares

El Muestreo Aleatorio Simple (MAS) considera los siguientes supuestos:

Una poblaci´on finitaU de tama˜noN.

Un tama˜no de muestra definidon.

Equiprobabilidad en la selecci´on de las NCn muestras posibles.

Cada elemento deU es enumerado con la serie 1 :[N.

La selecci´on de los elementos se realiza de forma aleatoria

unidad por unidad sin remplazo sobre un marco de muestreo. Cada elemento tiene la misma probabilidad de ser elegido.

(52)

Muestreo Aleatorio Simple (MAS)

(53)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

Proposici´on.- Con base en los supuestos anteriores, se cumple lo

πij = _Nn(₍n_N−−1)1)

Proposici´on.- El estimador H −T bajo las condiciones del MAS,

est´a dado por:

ˆ

tπ =N¯yS

(54)

Proposici´on.- Con base en los supuestos del MAS y la definici´on

del estimadorH−T, se cumplen las expresiones de la columna 4:

Caracter´ıstica Par´ametro Estimador Varianza

Total tu ˆtπ N2(1−_Nn)

S2 U n

Promedio ¯yU y¯S (1−_Nn)

S2 U n

(55)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

Considerando que s´olo se cuenta cuenta con una muestra y no con

las observaciones de todos los elementos de la poblaci´on, se

uti-lizan las estimaciones de la varianza para inferir la varianza de los estimadores:

Caracter´ıstica θˆ V(ˆθ) Vˆ(ˆθ)

Total ˆtπ N2(1−_Nn)

S2 U

n N2(1−

n N)

S2 S n

Promedio y¯S (1−_Nn)

S2 U

n (1−

n N)

S2 S n Proporci´on ˆpS (1−_Nn)pU(1_n−pU) (1−_Nn)pˆS(1_n−−1ˆpS)

(56)

Intervalos de confianza

El Teorema del l´ımite central establece que siX1, ...,Xn son un con-junto dev.a.i.i.d, con media µy varianzaσ2 finita, entonces:

P

n∈NNXn−nµ

σn12

vN(0,1)

Nota.- De teorema anterior, es f´acil ver que para aquellos casos en

los el estimador ˆθ representa a alguno de los estimadores ˆtπ, ¯yS y ˆ

ps, entonces se cumple que:

ˆ

(57)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

Proposici´on.- Con base en en TCL, se cumplen las expresiones de

la columna 3:

Caracter´ıstica Estimador Intervalo de confianza

Total ˆtπ ˆtπ±Z1−α₂

q

N2₍₁₋ n N)

S2 U n

Promedio y¯S y¯S±Z1−α

2 q

(1−_Nn)S 2 U n

Proporci´on ˆpS ˆpS±Z1−α

2 q

(1−_Nn)pU(1−pU) n

(58)

Considerando que no se cuenta con el valor de las varianzas te´oricas, entonces:

Caracter´ıstica Estimador Intervalo de confianza

Total ˆtπ ˆtπ±Z1−α

2 q

N2₍₁₋ n N)

S2 S n

Promedio y¯S ¯yS±Z1−α

2 q

(1−_Nn)SS2 n

Proporci´on ˆpS ˆpS±Z1−α

2 q

(1− n

N)

ˆ

pS(1−ˆpS) n−1

(59)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

Error de muestreo

El error de muestreo o la precisi´on de la estimaci´on se refiere al

error generado en la estimaci´on y se controla a partir del dise˜no de

muestra (m´etodo de muestreo y tama˜no de muestra):

=|θˆ−θ|

Notemos que a partir del TLC tenemos que con una significancia de

α:

P(≤Z1−α 2

ˆ

(60)

Tama˜no de muestra

Previo al c´alculo del tama˜no de muestra, debe de considerarse lo

¿Cuál es el máximo error de muestreo que se está dispuesto a tolerar?

(61)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

En relaci´on a la segunda pregunta, el m´aximo error dispuesto a

tolerar se puede controlar a trav´es de la siguiente expresi´on:

P(≤Z1−α 2

ˆ

V(ˆθ)) = 1−α

De donde, el m´aximo error estar´ıa dado por la ecuaci´on:

=Z1−α 2

ˆ

(62)

Notemos que el error ser´a un valor dado por el experto que deber´a

de expresarse en la misma unidad de medida que el para´ametro de

inter´es.

=|θˆ−θ|=Z1−α 2

ˆ

V(ˆθ)

Sustiyendo la varianza estimada del estimador en cuesti´on en la

expresi´on anterior, se genera una ecuaci´on a partir de la cual es

(63)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

Proposici´on.- Con base en la ecuaci´on anterior, se cumplen las

expresiones de la columna 2 y 3:

Estimador Tama˜no de muestra inicial Taman˜no de muestra

ˆ

tπ n0 =

Z2 1−α

2 N2_S2

S

2 n=

n0

1+n0 N

¯

yS n0 =

Z2 1−α

2 S2

S

2 n= ₁₊n0n₀

N

ˆ

pS n0=

Z₁2₋α 2

ˆ

pS(1−pˆS)

2 n= ₁₊n0n0

(64)

Donde la muestra inicialn0se suele utilizar cuando el tama˜no

pobla-cionalN es muy grande.

Proposici´on.- El tama˜no de muestra incialn0 es una cota superior

del tama˜no de muestran.

𝑛

Parámetros de n

(65)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

Observaciones:.- Note que para realizar el c´alculo del tama˜no de muestra es necesario contar con lo siguiente:

Varianza muestral

Error m´aximo tolerable

(66)

Observaciones:.- Note que para realizar el c´alculo del tama˜no de muestra es necesario contar con lo siguiente:

Varianza muestral.- Desconocida.

Error m´aximo tolerable .- Proporcionado por el investigador.

(67)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio simple

Varianza muestral

Para estimar la varianza muestral previo al levantamiento de la mues-tra, se puede proceder con alguna de las siguientes acciones:

Relizar una muestra piloto. Consulta de estudios anteriores.

Asumir que la variable de interes sigue una distribuci´on normal y utilizar como aproximaci´on deS_S2 el siguiente valor:

_Rango

4 2

(68)

MAS con remplazo

Las caracter´ısticas del MAS con remplazo, son las siguientes:

Se extraen de forma aleatoria unidad por unidad los elementos

de la poblaci´on con con remplazo.

Se realiza la medici´on del elemento seleccionado.

La probabilidad de inclusi´on cambia.

Para un tamaño de muestra dado, es un m´etodo menos

(69)

T´opicos del curso

Introducci´on al muestreo Muestreo aleatorio simple

Muestreo aleatorio estratificado

Muestreo aleatorio por conglomerados Muestreo sistem´atico

Contenido

Lineamientos

(70)

El Muestreo Aleatorio Estratificado (MAE) considera los siguientes supuestos:

La poblaci´on es dividida en H subpoblaciones, llamadas

es-tratos. (Estratos ={Ei}i∈NH)

Los estratos no se traslapan y forman la poblaci´on completa.

(Ei ∩Ej 6=φ, ∀i =6 j y∪i∈NHEi =U)

Se extrae una muestra aleatoria simple independiente de cada estrato.

(71)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

En el Muestreo Aleatorio Estratificado (MAE) se debe de procurar cumplir con lo siguiente:

Los estratos deben de ser subpoblaciones homog´eneas internamente y heterog´eneas externamente.

(72)

Muestreo Aleatorio Estratificado (MAE)

(73)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

Muestreo Aleatorio Estratificado

(74)

Muestreo Aleatorio Estratificado

¿Por qu´e utilizar una muestra estratificada?

Mitigar el riesgo de obtener muestras no representativas. Mejora la administraci´on de recursos.

Estimaciones precisas.

(75)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

Observaci´on.- Notese que el par´ametro correspondiente al total

puede ser expresado de la siguiente manera:

tU = X

i∈NH

tEi

(76)

Definici´on.- Considerando que se extrae una MAS independiente

de cada estrato, se donotar´a como πk a la probabilidad de que el

k−´esimo elemento de la poblaci´on sea incluido en la muestra de

alg´un estrato.

Definición.- Se denotará como ˆtπi al estimador del total deli−ésimo estrato y a ˆtπ como el estimador del total de toda la población.

(77)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

Proposici´on.- Con base en las definiciones anteriores el estimador

H−T insesgado est´a dado por:

ˆ

tπ =

X

i∈NH ˆ

tπi

Donde:

ˆ

tπi = X

k∈Si

yk

πk

(78)

Proposici´on.- Considerando la proposici´on anterior, se cumple que:

V(ˆtπ) =

X

k∈NH 

 X

i∈Sk X

j∈Sk

yiyj

πiπj

(πij −πiπj) 

(79)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

Proposici´on (Probabilidad de inclusi´on).- Considerando que se

extrae una MAS independiente de cada estrato, la probabilidad de inclusi´on delk−´esimo elemento esta dada por:

πk =

nh

Nh

DondenhyNhrespresentan el tama˜no de muestra y el tama˜no total de estratoh.

(80)

Proposición (Probabilidad de inclusión).- Considerando que se extrae una MAS independiente de cada estrato, la probabilidad de inclusión de los elementosk−ésimo yl−ésimo esta dada por:

πkl =        nh Nh n h0 N h0

si k ∈Eh y l ∈E_h0,h6=h 0

nh Nh

n h0−1 N

h0−1

(81)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

Proposici´on.- Con base en la probabilidad de inclusi´on, se cumple que:

ˆ

tπ =

X

i∈_NH

Ni¯ySi

Donde:

¯

ySi = P

k∈Si yk

(82)

Proposici´on.- Con base en la probabilidad de inclusi´on, se cumplen las expresiones de la columna 3:

Caracter´ıstica Par´ametro Estimador

Total tU ˆtπ =Pi∈NHNiy¯Si

Promedio ¯yU y¯π =Pi∈_NHWhy¯Si

(83)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

Proposici´on.- Con base en la proposici´on anterior, se cumplen las expresiones de las columnas 2 y 3:

ˆ

θ V(ˆθ) Vˆ(ˆθ)

ˆtπ Pi∈NHN

2

i(1−Nnii) S2

Ei ni

P i∈NHN

2

i(1− Nnii) S2

Si ni

¯

yS Pi∈NHW

2

i (1−Nnii) S2

Ei ni

P i∈NHW

2

i (1−Nnii) S2

Si ni ˆ

pS Pi∈NHW

2

i (1−Nnii)

p_Ei(1−p_Ei)

ni

P i∈NHW

2

i (1−Nnii)

ˆ

p_Si(1−pˆ_Si)

(84)

Proposici´on.- Con base en la proposici´on anterior, las varianzas es-timadas y ˆθvN(θ,V(ˆθ)), se cumplen las expresiones de la columna 2:

ˆ

θ Intervalo de confianza

ˆ

tπ ˆtπ±Z1−α 2

r

P i∈NHN

2

i(1−Nnii) S2

Si ni

¯

yS ¯yS ±Z1−α 2

r

P i∈NHW

2

i (1− ni Ni)

S2 Si ni

ˆ

pS pˆS± r

Z1−α 2

P i∈NHW

2

i (1−Nnii)

ˆ

p_Si(1−pˆ_Si)

(85)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

El tamaño de muestra se obtendrá a través de la siguiente ecuación:

=Z1−α 2

ˆ

V(ˆθ)

Considerando que:

n= X i∈_NH

ni

Sin embargo, notemos que el tama˜no de muestra total n no se

(86)

Tipos de asignaci´on

La asignación consiste en la determinación del tamaño de muestra

de cada estrato (ni) a partir del tama˜no de muestra totaln. Algunos de estos tipos de asignaci´on son:

Asignaci´on igual.- ni = _Hn

Asignaci´on proporcional.-ni = W_ni = N_Nin

Asignaci´on ´optima (Neyman).- ni =n

WiS_Ei P

(87)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

Tipos de asignaci´on

Caracter´ısticas del por tipo de asignaci´on:

Asignaci´on igual.- Sencillo de aplicar pero produce mayor vari-anza que el resto.

Asignaci´on proporcional.- Sencillo de aplicar y asigna mayor

cantidad de la muestra a estratos m´as grandes.

Asignación óptima (Neyman).- Más preciso pero requiero del

(88)

Tama˜no de muestra con asignaci´on proporcional

Proposición.- El tamaño de muestra con asignación proporcional está dado por las expresiones de las columnas 2 y 3:

ˆ

θ Tama˜no de muestra inicial Tama˜no de muestra

ˆtπ n0 =

Z2 1−α

2 NP_i_∈

NHNiS 2 Si

2 n=

n0

1+n0 N

¯

yS n0=

Z2 1−α

2 P

i∈_N_HWiS_Si2

2 n=

n0

1+n0 N

ˆ

pS n0 =

Z2 1−α

2 P

i∈NHWi Ni

Ni−1ˆpSi(1−pˆSi)

2 n=

n0

1+n0 N

(89)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio estratificado

Tarea

Identificar el tama˜no de muestra considerando los tipos de asignacion ´

optima e igual:

ˆ

θ Tama˜no de muestra inicial Tama˜no de muestra

ˆtπ n0 =¿? n= ₁₊n0n₀

N ¯

yS n0 =¿? n= ₁₊n0n₀

N ˆ

pS n0 =¿? n= ₁₊n0n₀

(90)

Lineamientos

Introducci´on al muestreo Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio estratificado

Muestreo aleatorio por conglomerados

(91)

T´opicos del curso

Muestreo sistem´atico

Muestreo aleatorio por conglomerados

Definici´on (Unidad de muestreo).- Se define porunidad de muestreo

a los conjuntos no solapados de la poblaci’on que cubren la poblaci´on completamente.

Nota.- Cuendo la unidad de muestreo s´olo hace referencia a un

ele-mento de la pobalci´on, entonces, la unidad de muestreo es llamada

(92)

Definici´on (Conglomerado).- Un estrato es un subconjunto

(sub-poblaci´on) de la poablaci´on U, tal que cumple con los siguientes

puntos:

Para cualquier par de conglomeradosCi yCj,Ci∩Cj =φpara todo i 6=j.

La unión de los conglomeradosCi es igual al total de población (∪_i∈_NHCi =U, con H el número total de conglomerados).

(93)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en una etapa

Muestreo por conglomerados en una etapa

Definiciones preliminares

La poblaci´on es dividida enH conglomerados.

Se definen las unidades de muestreo como los conglomerados.

Se realiza un MAS de tama˜nonsobre las unidades de muestreo.

Se realiza la medici´on de la variable de interes a losMi

elemen-tos del conglomerado i.

Considerando que existen H conglomerados, se cumple que:

N =P

(94)

En el Muestreo Aleatorio por Conglomerados (MAC) se debe de procurar cumplir con lo siguiente:

Los conglomerados deben de ser subpoblaciones heterog´eneas internamente y homog´eneas externamente.

(95)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en una etapa

Muestreo Aleatorio por Conglomerados (MAC)

(96)

Contraste entre MAE y MAC

Concepto MAE MAC

¿Por qué se utiliza?

Para incrementar la precisión de las estimaciones.

Para reducir tiempos y costos, es

decir, tener muestras menos dispersas geográficamente.

Extracción de la muestra

Se incluyen en la muestra todos y cada uno de los estratos.

Solamente se incluyen en las muestra algunos conglomerados.

¿Cómo lograr mayor precisión?

Los elementos individuales de cada estrato deben ser similares en las variables que van a medirse.

Los elementos individuales de cada conglomerado deben ser heterogéneos en las variables que van a medirse.

(97)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en una etapa

Muestreo Aleatorio por Conglomerados

(98)

Muestreo Aleatorio por Conglomerados

¿Por qu´e utilizar una muestra por conglomerados?

Facilitar la creaci´on del marco de muestreo.

Disminiuir la dispersi´on entre los elementos por medir. Practicidad.

(99)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en una etapa

tU= X

i∈_NH

ti

(100)

Proposici´on.- Considerando que se realiza un MAS sobre las unidades primarias y con base en las definiciones anteriores el estimadorH−T

insesgado est´a dado por:

ˆtπ =

X

i∈Si

Witi = X

i∈Si X

j∈Ci

H nyij

Donde:

H n =

1 H n

= 1

πi

(101)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en una etapa

Proposici´on.- Con base en las definiciones y proposici´on anterior se

cumplen las expresi´on de la columna 3:

Caracter´ıstica θˆ Vˆ(ˆθ)

Total ˆtπ =Pi∈Si

P j∈Ci

H

nyij H

2₍₁₋ n H)

S2 ts n

Promedio ¯yS =ˆt_Nπ H

2

N2(1− _Hn) S2

ts n

Proporci´on pˆS = ˆt_Nπ H

2

N2(1− _Hn) S2

ts n

DondeS_t2 = _n₋1₁P

(102)

Proposici´on.- con base en la proposici´on anterior y considerando que=Z1−α

2 ˆ

V(ˆθ), se cumple que el tama˜no de muestra esta dado por las siguientes expresiones:

Estimador Tama˜no de muestra inicial Taman˜no de muestra

ˆ

tπ n0 =

Z2 1−α

2 H2_S2

tS

2 n= ₁₊n0n₀

N

¯

yS n0 =

Z2 1−α

2 S_tS

2 n=

n0

1+n0 N

ˆ

pS n0 =

Z2 1−α

2 S_tS

2 n=

n0

1+n0 N

(103)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en una etapa

Nota.- el cálculo de n es similar al cálculo bajo el MAS, la única diferencia consiste en que en este caso debe tenerse una

aproxi-maci´on de la varianza entre los totales de los conglomerados en la

población:

(104)

Muestreo por conglomerados en dos etapas (MAS-MAS)

La poblaci´on es dividida enH conglomerados.

Se definen las unidades de muestreo como los conglomerados.

Se realiza un MAS de tama˜nonsobre las unidades de muestreo.

Se realiza un MAS de tama˜nomi elementos de la poblaci´on de

Mi elementos del conglomeradoi.

Se realiza la medici´on de la variable de interes a losP i∈NHmi elementos.

(105)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en dos etapas

En el Muestreo Aleatorio por Conglomerados (MAC) se debe de procurar cumplir con lo siguiente:

Los conglomerados deben de ser subpoblaciones heterog´eneas internamente y homog´eneas externamente.

Sin embargo; es posible que los conglomerados sean homog´eneos,

motivo por el cual ser´ıa impr´actico medir a la toda la poblaci´on de cada comglomerado seleccionado.

(106)

Muestreo Aleatorio por Conglomerados (MAC)

(107)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en dos etapas

Muestreo aleatorio por conglomerados en dos etapas

(108)

Muestreo aleatorio por conglomerados en dos etapas

¿Por qu´e utilizar una muestra por conglomerados en dos etapas?

Mitigar el riesgo de homogeneidad en los conglomerados. Practicidad.

(109)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en dos etapas

tU= X

i∈_NH X

j∈_N_Mi

yij

(110)

Proposici´on.- Considerando que se reliza un MAS-MAS y con base en las definiciones anteriores el estimadorH−T insesgado est´a dado por:

ˆtπ =

X

i∈S ˆ

tπi = X

i∈S X

j∈S_Ci

wijyij

Donde:

wij =

H n

Mi

mi

(111)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en dos etapas

Proposici´on.- Con base en las definiciones y proposici´on anterior se

cumplen las expresi´on de la columna 2:

ˆ

θ Vˆ(ˆθ)

ˆ

tπ =Pi∈Si P

j∈S_Ci wijyij H2(1− _Hn) S2 ts n + H n P i∈S

1− mi

Mi M2 i S2 iS mi ¯

yS = ˆt_Nπ varˆ_N(ˆt2π) ˆ

pS =ˆt_Nπ varˆ_N(ˆt2π)

DondeS_t2_s = _n₋1₁P

i∈S(ˆti −ˆt_Hπ)2 yS_C2_i = _m_i1₋₁Pj∈S_Ci(yij−¯yCi)

(112)

Nota.- Es importante se˜nalar que la varianza estimada para el total est´a compuesta por:

Varianza entre los conglomerados.

(113)

T´opicos del curso

Muestreo aleatorio por conglomerados en dos etapas

El tama˜no de muestra para el MAC en dos etapas se reliza como su

nombre lo especifica en 2Etapas, es decir:

Primero se obtiene el tama˜no de muestra para las unidades

primarias con las f´ormulas obtenidas para el MAC en una etapa.

Después se obtendrá el tamaño de muestra del MAS para cada

conglomerado seleccionado con las f´ormulas obtenidas para el

(114)

Lineamientos

Introducci´on al muestreo Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio estratificado Muestreo aleatorio por conglomerados

(115)

T´opicos del curso

Muestreo sistem´

atico

Muestreo sistem´atico

Se conoce de exactamente o de forma aproximada el tama˜no

poblacional (N).

No es posible construir un marco de muestreo.

El ´orden en el que aparecen los elementos de la poblaci´on de-termina la calidad de la muestra.

El muestro sistem´atico se utiliza en sustituci´on del MAS; sin embargo, al ser comparables sus resultados se hace uso de las

(116)

¿C´omo seleccionar una muestra sistem´atica?

1 _{Definir la longitud del intervalo de muestreo:} _q₌ N

n.

2 Seleccionar un entero con probabilidad 1

q entre 1 yq. Sea este

enteroq0.

3 _{La muestra estar´}_{a compuesta por los elementos que ocupen}

las siguientes posiciones:

q0,q0+q,q0+ 2q, ...,q0+ (n−1)q

Donde n es el tama˜no de muestra obtenido a trav´es de las

(117)

T´opicos del curso

Muestreo sistem´

atico

Muestreo Sistem´atico

…

Elementos poblacionales

Posición 1 2 3 4 5 N-2 N-1 N

𝒒_𝟎= 𝟐

𝒒 = 𝟐

+𝒒 +𝒒