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Deducción y validez lógica
Contenidos
1. Problemas en la caracterización de la validez
2. Forma lógica
3. Formas lógicas y contraejemplos
4. El concepto de regla lógica
5. Leyes lógicas
6. Forma lógica y consistencia
1. Problemas en la caracterización de la validez
En la Unidad 1 se ofreció una caracterización de la noción de razonamiento válido en términos de la transmisión de verdad de las premisas a la conclusión. Los
razonamientos deductivos conservan la verdad de las premisas en la conclusión. Esto
significa: cualquier circunstancia que haga verdaderas a las premisas también hará verdadera a la conclusión. (Así se expresa el carácter necesario o forzoso de la
inferencia.) En este caso se dice que las premisas ofrecen un fundamento concluyente
para la conclusión y que estamos frente a razonamientos deductivos (válidos).
Tomemos el siguiente caso de un razonamiento válido que contiene premisas y conclusión (supuestamente) verdaderas:
Todos los océanos contienen agua salada. El Río de la Plata no contiene agua salada. ___________________________________ El Río de la Plata no es un océano.
En su forma regimentada, mediante los símbolos lógicos, el razonamiento queda así:
(1a)
∀x (x es océano → x contiene agua salada)
¬ El Río de la Plata contiene agua salada.
___________________________________
¬ El Río de la Plata es un océano.
Todos los metales preciosos son bienes comercializables El petróleo no es un bien comercializable
______________________________________________ El petróleo no es un metal precioso
En forma regimentada el razonamiento queda como
(1b)
∀x (x es un metal precioso→ x es un bien comercializable)
¬El petróleo es un bien comercializable
______________________________________________
¬El petróleo es un metal precioso
La segunda premisa es, de acuerdo con el conocimiento común sobre el tema, falsa y
la conclusión es verdadera. Asimismo, pueden encontrarse casos de razonamientos
válidos con todas sus premisas falsas y conclusión verdadera y, finalmente, casos en los cuales tanto las premisas y como la conclusión sean falsas.
La validez es una propiedad de los razonamientos independiente de la verdad o la falsedad de las premisas y la conclusión. Por ello, la caracterización que demos de esta propiedad también debe prescindir de la apelación a la verdad o la falsedad de las premisas y la conclusión de los razonamientos. Esto es, hay que buscar una
definición más general, que no dependa de que, de hecho, ciertos enunciados sean
verdaderos o falsos.
Ahora bien, si nos encontramos frente a un razonamiento cuyas premisas son todas verdaderas y cuya conclusión es falsa, no tenemos dudas de que estamos frente a un razonamiento inválido. Hemos visto anteriormente, en la Unidad 1 (4.1.5), que la validez de los razonamientos excluye la posibilidad de premisas verdaderas y conclusión falsa. Pero tenemos el siguiente problema: en todos los restantes casos (es decir, si estamos frente a razonamientos que tienen premisas verdaderas y conclusión verdadera, o razonamientos con al menos una premisa falsa y conclusión falsa, o con al menos una premisa falsa y conclusión verdadera), el hecho de haber determinado la verdad o falsedad de los enunciados no alcanza para establecer si los razonamientos son válidos o no.
2. Forma lógica
En suma, se tiene hasta aquí lo siguiente: De un lado, para determinar si un
razonamiento es válido o no, resulta insuficiente determinar el valor de verdad de las premisas y la conclusión. De otro lado, necesitamos prescindir de la referencia a la verdad o falsedad de los enunciados que componen los razonamientos para
caracterizar la noción de validez.
2.1. Forma lógica de un enunciado
Si definimos la noción de validez de los razonamientos en relación con la noción de verdad, sólo podemos afirmar que dado un razonamiento válido, si las premisas
llegaran a ser verdaderas en una situación cualquiera, entonces la conclusión también lo sería. Pero no podemos afirmar nada más. Esta idea conduce a una caracterización
más general en la que no se considera el contenido descriptivo de los enunciados que los hacen verdaderos o falsos en determinada circunstancia. Es decir, se van a dejar
que indican solamente el lugar vacío que antes ocupaban aquellas letras. Estos
símbolos serán puramente esquemáticos, indicando simplemente que en la posición
donde se encuentra ese símbolo, había una letra para predicado o para constante de individuo.
El resultado de efectuar esta sustitución en el enunciado, con la intención de dejar de lado su contenido descriptivo, no es más un enunciado pues no se puede afirmar
de él que sea verdadero o falso. Se dirá, entonces, que es una forma lógica de
enunciado. En ella, toda expresión no lógica es formal, ya que sólo nos indica qué tipo o categoría de símbolo reemplaza (es decir, sólo podemos saber si está en lugar de una constante de individuo o de un predicado).
Tómese el par de enunciados:
(1) ∀x (x es un metal precioso→ x es un bien comercializable)
(2) ¬El petróleo es un bien comercializable
Dado el código
Qx: x es metal precioso Tx: x es bien comercializable b: petróleo
se obtiene la simbolización
(1’) ∀x (Qx → Tx)
(2’) ¬ Tb
Nótese, una vez más, que en el código se simbolizan exclusivamente las expresiones
descriptivas, las demás son constantes lógicas. Así, al predicado “x es metal precioso”
se le hace corresponder “Qx”, al predicado “x es bien comercializable” “Tx” y a “petróleo” la constante de individuo “b”. De este modo, “Qx”, “Tx” y “b” tienen, en esta simbolización, un significado determinado.
La forma lógica de los enunciados (1) y (2), en la cual no se considera su
contenido descriptivo, se expresa de un modo más general de la siguiente manera
gráfica
(F1) ∀x ( [ ]x →〈 〉x )
(F2) ¬〈 〉○
Los símbolos “[ ]“ y ”〈 〉” se usan para indicar meros espacios vacíos que pueden ser
ocupados por letras de predicado: “P”, “Q”, ”R”, etc., o por expresiones tales como “ …
es bien comercializable”. El símbolo “○” se usa para indicar el lugar vacío en el que
puede colocarse cualquier constante de individuo, ya sean letras minúsculas (“a”, “b”, “c”, etc.), o palabras del lenguaje cotidiano como “petróleo”.
Lo esencial en una forma lógica de enunciado son los símbolos lógicos que en ella
aparecen. Su disposición es la que caracteriza la estructura lógica del enunciado. En
ella es irrelevante a que se adopten “P” o “Q” como letras de predicado, o “a” o “b”
como constantes de individuo; lo importante es lo que permanece invariante en cada
En la forma lógica de un enunciado, es fundamental la disposición de los símbolos lógicos, cuantificadores, conectivas y variables de individuo. Considérense, por ejemplo, los enunciados:
(3) No es cierto que El Río de la Plata contenga agua salada y sea un océano.
(4) El Río de la Plata no contiene agua salada y es un océano.
Dado el código
Px: x es océano
Sx: x contiene agua salada a: Rio de la plata
cada uno de estos enunciados se pueden simbolizar así:
(3’) ¬( Sa ∧ Pa )
(4’) ( ( ¬Sa ) ∧ Pa )
Ambos enunciados tienen los mismos símbolos lógicos (negación y conjunción) y en la misma cantidad. No obstante, la manera en que están dispuestos o combinados estos símbolos es distinta. Y esto es muy importante. En efecto, mientras, en las circunstancias actuales, que (3’) es verdadero, (4’) es falso. Las formas lógicas de
enunciado respectivas son, por lo tanto, distintas:
(F3) ¬( 〈 〉○ ∧ [ ]○ )
(F4) ( ( ¬〈 〉○ ) ∧ [ ]○ )
(Nótese que una simbolización más exhaustiva – y que es la correcta respecto del contenido descriptivo - sería considerar en lugar de en lugar del predicado de grado 1 “x contiene agua salada”, un predicado de grado dos y una constante de individuo, es decir,
Qxy: x contiene y b: agua salada
De este modo, se obtienen los enunciados
(3’’) ¬( Qab ∧ Pa )
(4’’) ( ( ¬Qab ) ∧ Pa )
No obstante, la estructura estrictamente lógica es la misma en cada caso: aparecen
los mismos símbolos lógicos la misma cantidad de veces y en el mismo orden. En suma:
(F3) es la forma lógica de (3’) y también de (3’’) y
(F4) es la forma lógica de (4’) y también de (4’’)
2.1.1. Definición.
FORMA LOGICA DE ENUNCIADO: La forma lógica de enunciado es la
expresión que se obtiene al reemplazar en la simbolización del enunciado todos
los símbolos descriptivos (no lógicos) por símbolos para indicar el lugar vacío de la categoría correspondiente (predicado, constante de individuo o enunciado).
2.2. Ejercicios
Indique, para cada enunciado simbolizado de la columna izquierda, cuál de las expresiones de la columna derecha representa su forma lógica.
Enunciado simbolizado Forma lógica
1. ¬∀zPaz → ∀z (Tcz → Rz) a. ¬∀x ( x →¬〈 〉x )
2. ∀x Sx → ∃y Qby b. ∃y ( [ ] y ∧ ∃x { }xy )
3. ∀x ( Tx → ∃y Qxy ) c. ¬∀z ( z →∀x ( 〈 〉zx→[ ]x ) )
4. ¬ ( ∀x Scx ∧ ∃y Ry ) d. ¬∃x ( [ ] x ∧ ∃z { }zx )
5. ∀x Txb → ∃z Pz e. ¬∀y y →∀y ( 〈 〉y →[ ]y )
6. ¬ ( ∀yPy →¬∃x Rx ) f. ¬( ∃x [ ] x ∧ ∃z { }z )
7. ¬∀z (Sz →∀x (Tzx→Px) ) g. ¬( ¬∃x { } x ∧ ¬∃y { }y )
8 ¬∀x (Sx →¬ Txa) h. ∀x ( [ ]x → ∃y { }xy )
9 ¬( ∃x Rx ∧ ∃z Pzc ) i. ¬ ( ∀y y →¬∃x 〈 〉 x )
10 ¬∃x (Rx ∧ ∃z Pzx ) j. ∀x [ ]x → ∃z { }z
11. ¬( ¬∃x Rx ∧ ¬∃z Pzc ) k. ∃x ( [ ] x ∧ { }x )
12. ∃x (Rx ∧ ∃y Pyx ) m. ¬( ∀x [ ]x ∧ ∃y { }y )
Ejemplo 1
Enunciado 1: ¬∀zPaz → ∀z (Tcz → Rz)
La forma lógica de (1) es ( e ): ¬∀y y →∀y ( 〈 〉y →[ ]y )
desde esta perspectiva- son todas iguales, pues no designan un individuo en particular sino que sólo indican si el predicado se atribuye a un solo individuo, o si vincula dos de ellos, o tres, etc.
Observación 2: es importante notar que (c) no expresa la forma lógica de (1), aunque figuren negaciones, cuantificadores universales y condicionales en ambos, y en el mismo orden. Tenga en cuenta que el símbolo lógico principal de (1) (es decir, el símbolo de mayor alcance en ese enunciado) es el condicional. En cambio, el símbolo lógico principal de (c) es la negación que afecta al primer cuantificador universal.
Ejemplo 2
Enunciado 2: ∀x Sx → ∃y Qby
La forma lógica de (2) es ( j ): ∀x [ ]x → ∃z { }z
Observación 2: es importante advertir que (h) no expresa la forma lógica de (2), aunque figuren cuantificadores universales, existenciales y condicionales en ambas y en el mismo orden. En efecto, el símbolo lógico principal de (2) es el condicional, mientras que el símbolo lógico principal de (h) es el cuantificador universal.
Observación 3: aunque ( j ) representa la forma lógica de (2), también expresa la forma lógica de otro enunciado de los que figuran en la columna izquierda. ¿Puede ud. identificar cuál es ese enunciado que comparte con (2) una estructura o forma lógica común?
Observación 4: no todas las expresiones de la columna derecha representan la forma lógica de alguno de los enunciados de la columna izquierda.
Ahora, continúe ud.
2.3. Forma lógica común a varios enunciados
Considérese el enunciado
(5) Todos los aztecas adoraban a Tezcatlipoca
Si se adopta el siguiente código
Sx: x es azteca Rxy: x adora a y d: Tezcatlipoca
se tendrá
(5’) ∀x ( Sx → Rxd )
y puede decirse sin más que
∀x (x es un metal precioso→ x es un bien comercializable)
y (5).
Se puede ir más lejos y observar lo siguiente. Dado el enunciado
(6) Cualquier azteca adoraba algún dios
y adoptando el código
Px: x es un dios resulta la simbolización
(6’) ∀x ( Sx →∃y ( Py ∧ Rxy ) )
La forma lógica correspondiente es:
(F6) ∀x ( [ ]x → ∃y( { }y ∧ xy) ).
No hay duda de que la forma lógica (F6) es diferente de (F1). Sin embargo
también puede verse que (F1) es más general que (F6): esta forma está contenida en
(F1), en la medida en que la expresión “∃y( { }y ∧ xy )“ tiene una estructura lógica
más compleja que “〈 〉x”. De este modo, (F1) es la forma lógica de enunciado común a
(1) y (6). Asimismo, si se compara la forma lógica de los enunciados simbolizados
(7) ∀x ∀y( ( ¬Sxy ) → ( ¬Rxy) )
(8) ∀x ∀y( ( Px ∧ Sxy ) → ( Txy ∧ Qy ) )
se verá que la formas lógicas correspondientes son diferentes. Sin embargo, ambos tienen una forma lógica común, a saber,
(F7-8) ∀x ∀y ( [ ]xy → { }xy )
Nótese que al construir la forma lógica común la variable x aparece menos veces que
en (8). En realidad, en el gráfico [ ]xy las variables x e y indican que pueden tener una cantidad finita de apariciones, es decir, aparece n veces dentro de [ ].
Otros ejemplos son:
Enunciado expresado simbólicamente Forma lógica común
∀x Raxc →∀y ¬Scy
∀x Px →∀y Tybd
∀x 〈 〉x →∀y [ ]y
¬(∃zQx ∧ Rab) ∨ ¬(Qc → Pc)
¬(∀xPx →∀xSx) ∨ ¬Sc
¬[ ] ∨ ¬〈 〉
∃x ( (Txa ∨ Txb) ∧ ¬Qx)
∃x (¬∀yPxy ∧ (Sax → Sdx))
Adviértase que, en los tres ejemplos, la forma lógica no incluye los símbolos lógicos (cuantificadores o conectivas) que no son comunes a cada uno de los enunciados.
Obsérvese, también, que en los casos primero y tercero tanto “[ ]” como “〈 〉” sirven
para expresar predicados. Sin embargo, en el segundo caso, corresponden a enunciados, y además en la forma lógica común sólo aparecen conectivas como
símbolos lógicos. Se conservará esta indeterminación en los símbolos “[ ]”, “〈 〉”, “{ }”,
etc. ya que no genera problemas de interpretación. Por otra parte, en los casos aquí considerados no fue necesario destacar las constantes de individuos, pues estas no integran lo que es común a los dos enunciados correspondientes a cada par.
2.3. Ejercicios
Luego de leer los siguientes pares de enunciados:
a. simbolice cada enunciado empleando letras para predicados y constantes de individuo, así como símbolos para conectivas, cuantificadores y variables de individuo cuando corresponda. ¡No olvide explicitar código empleado!
b. abstraiga la forma lógica común que comparten los enunciados de un mismo par.
Ejemplo 1
I. Es condición necesaria que haya números pares que sean divisibles por tres, para
que algunos números naturales sean divisibles por seis y algunos números naturales sean divisibles por doce.
a. Código:
Px: x es número par Qxy: x es divisible por y Rx x es número natural a: (el número) tres b: (el número) seis c: (el número) doce
( ∃y ( Ry ∧ Qyb) ∧∃z (Rz ∧ Qzc) )
→
∃x ( Px ∧ Qxa )II. La Cúpula de la Roca es un santuario musulmán pero está cerca de la Basílica del
Santo Sepulcro o del Muro de los Lamentos, sólo si hay santuarios musulmanes que no están ubicados en La Meca ni en Medina.
a. Código:
Px: x es santuario musulmán Qxy: x está cerca de y Rxy: x está ubicado en y a: La Cúpula de la Roca
b: La Basílica del Santo Sepulcro c: El Muro de los lamentos d: La Meca
e: Medina
b. estructura lógica compartida porI y II:
( ∧ 〈 〉 )
→
∃x ( […] x ∧ { }x )Ejemplo 2
I. No es condición suficiente que Januká y Eid al Adhah se celebren en diciembre para
que Navidad coincida con alguna festividad judía o con alguna festividad musulmana
a. Código:
Pxy: x se celebra en (el mes) y Qxy: x coincide con y
Rx: x es festividad judía Sx: x es festividad musulmana a: Januka
b: Eid al Adhah c: diciembre d: Navidad
¬ ( ( Pac ∧ Pbc ) → ( ∃x ( Rx ∧ Qdx) ∨∃y ( Sy ∧ Qdy) )
II. No es cierto que si Kublai Kahn encomendó algunas misiones diplomáticas a Marco
Polo, entonces todo emperador mongol confiaba en algún veneciano.
a. Código:
Pxy: x encomienda z a y Qx: x es misión diplomática Rx: emperador mongol Sxy: x confía en y Tx: x es veneciano a: Kublai Kahn b: Marco Polo
¬ (∃x ( Qx ∧ Paxb ) → ∀y (Ry →∃z ( Tz ∧ Syz) ) )
b. estructura lógica compartida por I y II:
¬ ([ ] → { } )
Ejemplo 3.
I. Todos los años divisibles por cuatro son bisiestos si no se da que son seculares pero
no divisibles por cuatrocientos.
Sxy: x es divisible por y Rx: x es bisiesto
Qx: x es secular c: (el número ) cuatro
b: (el número ) cuatrocientos
∀x ( ( Tx ∧ Sxc ) → (¬ ( Qx ∧¬Sxb ) → Rx) )
II. Los zigurats que se erigieron en la Mesopotamia eran templos sólo si estaban
consagrados a alguna deidad babilónica.
a. Código: Px: x es zigurat Qxy: x se erigió en y Rx: x es templo
Sxy: x esta consagrado a y Tx: x es deidad babilónica a: Mesopotamia
∀x ( (Px ∧ Qxa) → ( Rx →∃y (Ty ∧ Sxy) ) )
b. estructura lógica compartida por I y II:
∀x ( ( [ ]x ∧ 〈 〉xο) → ( x → { }x) )
Ahora continúe ud.
3.
I. No todos los ríos que atraviesan alguna llanura son navegables o caudalosos.
II. No es cierto que cualquier alimento derivado de la leche contenga alguna sustancia
cancerígena.
4.
I. Es condición suficiente que la Cúpula de Roca y el Muro de los Lamentos se
encuentren en Jerusalén para que no todos los que peregrinan a Jerusalén sean cristianos.
II. No es verdad que cualquier país que tenga algunas reservas de petróleo sea un
país desarrollado, si Angola tiene algunas reservas de petróleo.
5.
I. No era condición necesaria que Argentina apoyara al Partido Blanco o al Partido
Colorado para que se involucrara en algún conflicto bélico contra Paraguay.
2.4. Forma lógica de razonamientos
Cabe observar que, dado el código empleado en la sección anterior para simbolizar los enunciados (3) y (4)
Px: x es océano
Sx: x contiene agua salada a: Rio de la plata
el razonamiento (1a) formulado en lenguaje regimentado como
∀x (x es océano → x contiene agua salada)
¬ El Río de la Plata contiene agua salada.
___________________________________
¬ El Río de la Plata es un océano.
queda simbolizado del siguiente modo
(1a’)
∀x (Px → Sx)
¬ Sa
_____________
¬ Pa
En cuanto al razonamiento (1b)
∀x (x es un metal precioso→ x es un bien comercializable)
¬El petróleo es un bien comercializable
______________________________________________
¬El petróleo es un metal precioso
dado el código
Qx: x es metal precioso Tx: x es bien comercializable b: petróleo
se obtiene la siguiente versión simbólica
(1b’)
∀x (Qx → Tx)
¬ Tb
_____________
¬ Qb
Una rápida inspección de las simbolizaciones de los razonamientos (1a’) y (1b’) permite ver que cada uno de los enunciados de (1a’) tiene la misma forma lógica que los enunciados correspondientes de (1b’). De aquí se sigue que ambos razonamientos
(1)
∀x ( [ ]x →〈 〉x )
¬〈 〉○
_____________
¬ [ ]○
Gráficamente, esta situación puede representarse como
( 1 ) / \ / \ /
( 1a’ )
\ ( 1b’ )
En una forma de razonamiento todo símbolo que no sea lógico es una mera forma vacía, que debe ser ocupada por expresiones de la categoría correspondiente. Tal como ocurría con los enunciados, en la forma lógica de un razonamiento lo único que
tiene contenido son los símbolos que tienen significado lógico: los cuantificadores, las
conectivas y las variables de individuo. Pueden concebirse incontables razonamientos
que tengan la forma indicada en (1). Cada uno de ellos será un caso concreto de esa
forma de razonamiento, que es el resultado de darle contenido a los símbolos
formales, reemplazándolos por expresiones no lógicas. Así, se llega fácilmente a la siguiente definición:
2.4.1. Definición.
FORMA LOGICA DE RAZONAMIENTO: Una forma lógica de
razonamiento es la expresión que se obtiene al reemplazar en la simbolización del razonamiento todos los enunciados por formas de enunciados. Es decir, al sustituir los símbolos descriptivos (no lógicos) que aparecen en los enunciados constitutivos del razonamiento por símbolos puramente formales para indicar el lugar vacío de la categoría correspondiente (predicado, constante de individuo o enunciado)
.
Esta noción de forma lógica de razonamiento permite formular una nueva y
más adecuada definición de validez, que se considerará la definitiva:
2.4.2. Definición.
RAZONAMIENTO VALIDO: Un razonamiento es válido si y sólo si su forma lógica es válida.
2.4.3. Si una forma de razonamiento es válida, entonces todos los razonamientos que son casos de esta forma son válidos.
Un ejemplo más servirá para dejar en claro esta idea. Obsérvese que los razonamientos
(2a)
¬Rab ∨ ¬Sc
Sc
___________ ¬Rab
(2b)
¬Tdbc ∨ ¬(Pa ∧ Qb)
Pa ∧ Qb
____________________ ¬Tdbc
tienen la misma forma lógica que, además, es una forma válida:
(2)
¬[ ] ∨ ¬〈 〉
〈 〉
___________ ¬[ ]
Nótese que aquí tanto [ ] como 〈 〉 sirven para expresar enunciados. En este caso
no es necesario destacar las constantes de individuos, pues no aparecen
cuantificadores en la forma (2). Asimismo, obsérvese que en el caso de (2b) 〈 〉 se
abstrae de un enunciado que contiene a su vez una conectiva, una conjunción, pero
esto no es relevante para obtener la forma lógica común a ambos razonamientos (2a)
y (2b). Más precisamente, puesto que (2) es una forma válida, (2b) también lo será y la
conjunción en Pa ∧ Qb no es relevante para su validez.
Así, el resultado de la introducción de la noción de forma lógica es un
desplazamiento del problema de la validez de un razonamiento al problema de la validez de su forma lógica: se pasa del plano de los razonamientos concretos al plano de su forma lógica. Si uno sabe que una forma de razonamiento es válida, entonces tendrá la certeza de que todos sus casos son válidos. En el ejemplo anterior la forma lógica (1) es válida, de modo que los razonamientos (1a) y (1b) son ambos válidos. La situación puede presentarse gráficamente como sigue
Forma de razonamiento válida
Razonamiento 1 Razonamiento 2 Razonamiento 3 ... Razonamiento n (válido) (válido) (válido) .... (válido)
Determinar si una forma de razonamiento es válida es uno de los objetivos
centrales de la lógica. Así, la lógica se ocupa de formas lógicas de razonamiento más
se hará referencia a contenidos específicos de los razonamientos, sino a su forma.
Este es uno de los sentidos en los que se dice que la lógica deductiva es lógica formal.
Pero, ¿cómo se determina que una forma de razonamiento es válida? No es cuestión meramente de tener una lista de las formas válidas, pues ¿de dónde se
extrae que los miembros de esa hipotética lista son realmente formas válidas de
razonamiento? De hecho, la determinación de la validez de las formas de razonamiento se hará por medio de métodos, que por sus características, se
denominan “métodos formales”. Es tarea de la lógica elaborar estos métodos. Más
adelante, veremos el caso específico del método de deducción natural.
2.5. Ejercicios
Luego de leer los siguientes pares de razonamientos:
a. subraye la conclusión de cada uno de los razonamientos
b. simbolice cada razonamiento empleando letras para predicados y constantes de individuo, así como símbolos para conectivas, cuantificadores y variables de individuo cuando corresponda. ¡No olvide explicitar el código empleado!
c. abstraiga la forma lógica que comparten los razonamientos de un mismo par.
Ejemplo 1
I. Si el Mahabharata fue escrito en sánscrito védico, entonces es un texto hindú. Y el
Mahabharata fue escrito en sánscrito clásico sólo si es un texto hindú. Pero el Mahabharata fue escrito en sánscrito védico o en sánscrito clásico. Por lo tanto, el Mahabharata es un texto hindú
a. Si el Mahabharata fue escrito en sánscrito védico, entonces es un texto hindú. Y el Mahabharata fue escrito en sánscrito clásico sólo si es un texto hindú. Pero el Mahabharata fue escrito en sánscrito védico o en sánscrito clásico. Por lo tanto, el Mahabharata es un texto hindú
b. Código Simbolización:
Pxy: x fue escrito en (el lenguaje) y Qx: x es texto hindú
a: El Mahabharata
b: el (lenguaje) sánscrito védico c: el (lenguaje) sánscrito clásico
Pab → Qa
Pac → Qa
Pab ∨ Pac
Qa
II. Todos los toltecas veneraban a Tlaloc o todos ellos veneraban a Chaac. En
a. Todos los toltecas veneraban a Tlaloc o todos ellos veneraban a Chaac. En consecuencia, algunos toltecas hacían sacrificios humanos. Pues los toltecas veneraban a Tlaloc, sólo si algunos de ellos hacían sacrificios humanos. Además, para que los toltecas venerasen a Chaac, es condición necesaria que algunos de ellos hicieran sacrificios humanos.
b. Código Simbolización:
Px: x es tolteca Qxy: x venera a y
Rx: x hace sacrificios humanos a: Tlaloc
b: Chaac
∀x(Px → Qxa) ∨∀x(Px → Qxb)
∀x(Px → Qxa) →∃x (Px ∧ Rx)
∀x(Px → Qxb) →∃x (Px ∧ Rx)
∃x (Px ∧ Rx)
c: estructura lógica compartida por I y II.
∨[ ]
→〈 〉
[ ]→〈 〉
〈 〉
Ejemplo 2
I. La tribu de los guaycurúes habitaba en Paraguay o en Nicaragua. De modo que,
esta tribu era sudamericana o centroamericana; pues es necesario que haya sido sudamericana para que habitara en Paraguay. Pero si habitaba en Nicaragua, entonces era centroamericana.
a. La tribu de los guaycurúes habitaba en Paraguay o en Nicaragua. De modo que, esta tribu era sudamericana o centroamericana; pues es necesario que haya sido sudamericana para que habitara en Paraguay. Pero si habitaba en Nicaragua, entonces era centroamericana.
b. Código Simbolización:
Pxy: x habitaba en y Qx: x es sudamericana Rx: x es centroamericana a: La tribu de los guaycurúes b: Paraguay
c: Nicaragua
Pab ∨ Pac
Pab → Qa
Pac → Ra
Qa ∨ Ra
II. Kukulkan era una serpiente emplumada, sólo si algún animal mitológico era una
a. Kukulkan era una serpiente emplumada, sólo si algún animal mitológico era una deidad maya. Es condición suficiente que Quetzalcóatl fuera una serpiente emplumada para que algún animal mitológico fuera una deidad azteca. Así que algún animal mitológico era una deidad maya o algún animal mitológico era una deidad azteca. Pues Kukulkan era una serpiente emplumada, o lo era Quetzalcóatl.
b. Código: Simbolización:
Px: x es serpiente emplumada Qx: x es un animal mitológico Rx: x es deidad maya
Sx: x es deidad azteca a: Kukulkan
b: Quetzalcóatl
Pa →∃x (Qx ∧ Rx)
Pb →∃y (Qy ∧ Sy)
Pa ∨ Pb
∃x (Qx ∧ Rx) ∨∃y (Qy ∧ Sy)
c: estructura lógica compartida por I y II
{ } ∨[ ]
{ } →〈 〉
[ ]→
〈 〉∨
Ahora, continúe ud.
3.
I. Shakti es una deidad hindú, sólo si no toda deidad hindú es masculina. De modo
que no toda deidad hindú es masculina; ya que, efectivamente, Shakti es una deidad hindú.
II. Si Catalina II destronó a Pedro III y él era su esposo, entonces Catalina II traicionó
a algún zar. Efectivamente, Catalina II destronó a Pedro III, aunque él era su esposo; así que algún zar fue traicionado por Catalina II.
4.
I. Es condición suficiente que el Templo del Jaguar Gigante se encuentra en Uxmal
para que no haya sido erigido en Tikal. Sin embargo, este templo fue erigido en Tikal. En consecuencia, el Templo del Jaguar Gigante no se encuentra en Uxmal.
II. Si algunos kurdos son shiíes, entonces no todos ellos son suníes. Por lo tanto, no
5.
I El zigurat de Nanna fue reformado por Nabonides; ya que Nabucodonosor II no lo
reformó. Pero el zigurat de Nanna fue reformado por Nabucodonosor II o por Nabonides.
II.
Los hunos eran tártaros o bien algunos de ellos eran mongoles. Sin embargo, no era el caso que algún huno fuera mongol. De modo que todos los hunos eran tártaros.
2.6. Interpretación de formas de razonamiento
En la sección anterior, nos ocupamos de abstraer la forma lógica común a varios razonamientos. Ahora, estudiaremos el proceso inverso: partiremos una forma de razonamiento y proporcionaremos un ejemplo de ella. El resultado obtenido será una interpretación de esa forma de razonamiento en lenguaje simbólico o en el lenguaje cotidiano). Ya ha quedado claro que, si la forma de razonamiento es válida, el razonamiento concreto resultante de la interpretación será también válido.
Considérese la siguiente de forma de razonamiento (que es una forma válida)
∃x 〈 〉x
∀x ( [ ]x →¬〈 〉x )
_____________
¬∀x [ ]x
Sustituyendo “〈 〉x” por “Px” y “[ ]x” por “Qx”, obtenemos el siguiente caso de esta
forma, expresado en el lenguaje lógico
∃x Px
∀x ( Qx →¬Px )
_____________
¬∀x Qx
que, si se emplea el código
Px: x vuela Qx: x es elefante
representa el razonamiento en castellano
Algo vuela.
Ningún elefante vuela. _____________________ No todo es elefante.
Pero si cambiamos la interpretación de las letras de predicado como sigue:
se puede formular en castellano otro razonamiento, referido a un tipo muy diferente de entidades que en el caso anterior:
Hay números.
Nada material es un número. ________________________ No todo es material.
De este modo, una forma de razonamiento puede recibir muy variadas
interpretaciones, que son razonamientos concretos, cada uno de los cuales son casos de esa forma.
2.7. Ejercicios.
2.7.1. Luego de observar las siguientes formas de enunciado, construya dos casos de cada una de ellas
a. en lenguaje regimentado,
b. en lenguaje simbólico, indicando el código empleado, c. en lenguaje cotidiano.
Ejemplo 1
¬∃x ( [ ]x ∧ ¬ 〈 〉x )
caso I.
a.
¬∃x (x es calendario mesoamericano ∧ ¬(x es más preciso que el Calendario Gregoriano))
b.
¬∃x ( (Px ∧ Qx) ∧¬ Rxa )
Código:
Px: x es calendario Qx: x es mesoamericano Rxy: x es mas preciso que y a: Calendario Gregoriano
c. No es verdad que algunos calendarios mesoamericanos no fueran más precisos
que el Calendario Gregoriano.
caso II.
a.
¬∃x (x nativo de la Isla de Pascua ∧ ¬ ∀y ( y es moai → x conoce y ) ).
b.
¬∃x (Pxa ∧ ¬ ∀y ( Ry → Qxy ) ).
Código:
Ejemplo 2
¬∀x ( [ ]x → ¬ 〈 〉 x)
caso I.
a.
¬∀x (x es obra de Prokófiev → ¬ ( x es censurada por Stalin) )
b.
¬∀x ( Px → ¬ Qxb)
Código:
Px: x es obra de Prokófiev Qxy: x es censurada por y b: Stalin
c. No es cierto que ninguna obra de Prokófiev haya sido censurada por Stalin
caso II.
a.
¬∀x( (x es río ∧ x está conectado con el Orinoco) → ¬∃y (x desemboca en y ∧ y es afluente
del Amazonas) )
b.
¬∀x ( (Px ∧ Qxa) → ¬∃y (Rxy ∧ Syb) )
Código:
Px: x es río
Qxy: x está conectado con y Rxy: x desemboca en y Sxy: x es afluente de y a: (el río) Orinoco b: (el río) Amazonas
c. Es falso que ningún río conectado con el Orinoco desemboque en algún afluente
del Amazonas.
Ahora, continúe ud.
3. → ¬〈 〉
4. ¬ ( ∧ 〈 〉 )
6. ∀x ( [ ]x → ∃y { }xy )
2.7.2. Luego de observar las siguientes formas de razonamiento, construya dos casos de cada una de ellas
a. en lenguaje regimentado,
b. en lenguaje simbólico, indicando el código empleado, c. en lenguaje cotidiano.
Ejemplo
∀x( [ ]x →〈 〉 x)
________________
[ ]○→ 〈 〉○
caso I.
a.
∀x ( x era cultura prehispánica → x era politeísta )
______________________________________________________
la cultura chichimeca era una cultura prehispánica → la cultura chichimeca era politeísta
b.
Px: x es cultura prehispánica Qx: x es politeísta
a: la cultura chichimeca
∀x(Px → Qx)
________________
Pa → Qa
c. (una formulación entre las muchas posibles)
Todas las culturas prehispánicas eran politeístas. Así que la cultura chichimeca era politeísta, si ésta era una cultura prehispánica.
caso II.
a.
∀x (x es crómlech → x es monumento megalítico prehistórico)
_________________________________________________________________
Stonehenge es crómlech → Stonehenge es monumento megalítico prehistórico
b.
Rx: x es crómlech:
Sx: x es monumento megalítico prehistórico b: Stonehenge
∀x(Rx → Sx)
___________
Rb → Sb
c. (una formulación de las muchas posibles)
Los crómlech son monumentos megalíticos prehistóricos. De modo que Stonehenge es un crómlech, sólo si es un monumento megalítico prehistórico.
2. [ ] →〈 〉
[ ] ∧
____________
〈 〉
3. ¬( 〈 〉∨ ) ____________
¬〈 〉
4. ∃x ( [ ]x ∧〈 〉x)
_____________
∃x 〈 〉x
3. Formas lógicas y contraejemplos
Para aproximarnos al problema de determinar la validez de formas de razonamiento, explicaremos a continuación una manera de entender cómo establecer la validez de una forma de razonamiento.
Consideremos la forma de razonamiento
(2)
¬∃x ( [ ]x ∧〈 〉x )
¬〈 〉○
______________
[ ]○
Recordemos que, de acuerdo con lo que se indicó anteriormente, en el caso en que esta forma fuera válida todos sus casos serían razonamientos válidos.
Tómese el siguiente caso o ejemplo de esta forma
(2a)
¬∃x (x es monarquía ∧ x es república)
¬ Holanda es una república
__________________________________ Holanda es una monarquía
La representación simbólica de este razonamiento es
(2a’)
¬∃x (Qx ∧ Rx )
¬ Rc
y, adoptando el código
Qx: x es una monarquía Rx: x es una república c: Holanda
se puede expresar adecuadamente en el lenguaje cotidiano como
No hay una monarquía que sea república Holanda no es una república
__________________________________ Holanda es una monarquía
(o cualesquiera variantes sinónimas de los enunciados que lo integran).
El razonamiento (2a) tiene ambas premisas verdaderas y conclusión verdadera.
Pero considérese, ahora, el caso siguiente de la misma forma (2)
(2b)
¬∃x (x recibió el premio Nobel de la paz ∧ x es belicista)
¬ Bertrand Russell era belicista
______________________________________________ Bertrand Russell recibió el premio Nobel de la paz
que podría simbolizarse así
(2b’)
¬∃x (Px ∧ Sx)
¬ Sd
_______________ Pd
sobre la base del código
Px: x recibió el premio Nobel de la paz Sx: x es belicista
d: Bertrand Russell
y que, en el lenguaje cotidiano, es expresable como
Nadie que haya recibido el premio Nobel de la paz es belicista. Bertrand Russell no era belicista
____________________________________________________ Bertrand Russell recibió el premio Nobel de la Paz
(Nótese que las diferencias en los tiempos verbales son irrelevantes desde el punto de vista lógico).
El caso (2b) de la forma de razonamiento (2) tiene premisas verdaderas y
conclusión falsa y por ello constituye un ejemplo en contrario o contraejemplo para esta forma de razonamiento. No puede considerarse esta forma de razonamiento como válida y, por lo tanto, ningún caso de esta forma puede ser considerado válido,
independientemente de que tenga premisas y conclusión verdadera (tal como sucede en el caso (2a)).
transmitir verdad de las premisas a la conclusión. De este modo, no puede suceder que la forma de razonamiento (2) sea considerada válida. En otras palabras, la situación se puede describir así: Si una forma de razonamiento es válida todo caso con premisas verdaderas deberá tener conclusión verdadera. Pero si esto no se cumple en al menos un caso, entonces la forma de razonamiento no puede considerarse válida. El razonamiento (2b) es, entonces, un contraejemplo de la validez de la forma de razonamiento (2).
Así, se puede afirmar:
3.1. Una forma de razonamiento es válida si no tiene contraejemplo.
3.2. Si una forma de razonamiento es inválida, entonces tiene al menos un
contraejemplo.
3.3. Ejercicios
3.3.1.Las siguientes formas de razonamientos son inválidas. Construya un caso de cada una de estas formas que tengan conclusión verdadera a. en lenguaje simbólico, con indicación del código que se ha empleado, b. en lenguaje cotidiano.
Forma de razonamiento 1
∀x( [ ]x → { }x )
∀x( { }x →〈 〉x )
∃x ( [ ]x ∧〈 〉x )
Ejemplo: a.
Pxy: x es enemigo de y Qxy: x es partidario de y Rxy: x conspiró contra y a: Mariano Moreno b: Cornelio Saavedra
∀x(Pxa → Qxb)
∀x(Qxb → Rxa)
∃x (Pxa ∧ Rxa)
b.
Los enemigos de Mariano Moreno eran partidarios de Cornelio Saavedra. Así que, algunos enemigos de Mariano Moreno conspiraron contra él. Pues, los partidarios de Cornelio Saavedra conspiraron contra Mariano Moreno.
Forma de razonamiento.2
[ ] → { }
{ } →〈 〉
〈 〉
[ ]
Ejemplo: a.
Pxy: x es zar de y Qxy: x es miembro de y Rx: x es tártaro
a: Borís Godunov b: Rusia
c: la dinastía Romanov
Pab →¬∀x(Pxb → Qxc)
¬∀x(Pxb → Qxc) →∃x (Pxb ∧ Rx)
∃x (Pxb ∧ Rx)
Pab
b.
Borís Godunov fue zar de Rusia, sólo si no todos los zares de Rusia fueron miembros de la dinastía Romanov. En consecuencia, Borís Godunov fue zar de Rusia. Ya que no todos los zares de Rusia fueron miembros de la dinastía Romanov, sólo si algún zar de Rusia fue tártaro. Y hubo algún zar de Rusia que fue tártaro.
Ahora, formule otro ejemplo de esta forma inválida, que tenga conclusión verdadera.
3.3.2. La siguiente forma de razonamiento es inválida. Construya un caso de esta forma que tenga conclusión falsa
a. en lenguaje simbólico, con indicación del código que se ha empleado, b. en lenguaje cotidiano.
[ ] →{ }
{ } →〈 〉
¬[ ]
¬〈 〉
Ejemplo: a.
Pxy: x conoció a y Qxy: x atravesó y Rxy: x pasó por y a: Marco Polo b: Kublai Kahn c: el desierto de Gobi d: el estrecho de Ormuz
Pab → Qac
Qac → Rad
¬Pab
¬Rad
b.
Si Marco Polo conoció a Kublai Kahn, entonces atravesó el desierto de Gobi. Pero atravesó el desierto de Gobi sólo si pasó por el estrecho de Ormuz. Por lo tanto, Marco Polo no pasó por el estrecho de Ormuz, ya que no conoció a Kublai Kahn.
3.3.3. La siguiente forma de razonamiento es válida. Construya un caso de esta forma que tenga conclusión falsa
a. en lenguaje simbólico, con indicación del código que se ha empleado, b. en lenguaje cotidiano.
[ ] →{ }
{ } →〈 〉
[ ]
〈 〉
Ejemplo: a.
Px: x es emperador Qx: x es romano Rxy: x capturó a y Sxy: x fue anexada a y a: Vercingetórix
b: Julio César c: Galia
d: el Imperio Romano
¬Rba →∀x( (Px ∧ Qx )→¬Rxa)
∀x( (Px ∧ Qx )→¬Rxa) ) →¬Scd
¬Rba
¬Scd
b.
Ningún emperador romano capturó a Vercingetórix, si Julio César no lo capturó. Pero era condición suficiente que ningún emperador romano capturara a Vercingetórix para que Galia no fuera anexada al Imperio Romano. En consecuencia, Galia no fue anexada al Imperio Romano, pues Julio César no capturó a Vercingetórix.
Ahora, formule otro ejemplo de esta forma válida, que tenga conclusión falsa.
4. El concepto de regla lógica (regla de inferencia deductiva)
Tal como se ha afirmado, la validez de una forma de razonamiento, como (1), asegura la validez de todos sus ejemplos. Las formas válidas de razonamiento son, en
este sentido, generales: hacen válido todo caso al que se apliquen. De este modo,
toda forma válida de razonamiento puede emplearse como una regla de inferencia, o
regla lógica. Se la llama “regla” porque prescribe la afirmación de la conclusión a partir
de las premisas. Así, se puede decir “A partir de las premisas P1, P2 ..., Pn es correcto
inferir la conclusión C”. Siendo una forma de razonamiento, una regla puede expresarse gráficamente del siguiente modo:
[ ]1
[ ]2
:
[ ]n
────
〈 〉,
donde la línea horizontal indica, como siempre, la relación de inferencia deductiva, y
[ ]1, [ ]2 ,..., [ ]n y 〈 〉 son aquí formas de enunciado, que es posible sustituir por
indicar que puede haber un número finito cualquiera de premisas). De este modo, puede formularse la definición:
4.1. Definición.
REGLA DE INFERENCIA. Una regla de inferencia deductiva es una forma
válida de razonamiento que se aplica a casos concretos para deducir un enunciado a partir de otro (u otros).
Los casos concretos son interpretaciones (o aplicaciones) de la regla.
Hay potencialmente tantas reglas de inferencia como formas válidas de razonamiento. Entre las innumerables reglas de inferencia se cuentan (1) y muchísimas otras. La cantidad de reglas de inferencia posibles es infinita (del mismo modo que lo es el número de formas de razonamiento válidas).
Las reglas de inferencia o reglas lógicas parecen constituir el núcleo de la lógica, sus entidades básicas por así decirlo. Recuérdese que al ser formas de razonamiento,
todos los símbolos de una regla, excepto los símbolos lógicos, son esquemáticos.
4.2. Nota. En realidad, lo que distingue una regla de inferencia de una forma válida
de razonamiento es su uso. Las reglas de inferencia son formas válidas de
razonamiento que se destacan porque siempre se han considerado ejemplos típicos
de inferencia, por su carácter evidente (su validez salta a la vista), o porque tienen un
valor especial dentro de un sistema de reglas. A lo largo de la historia, los lógicos han propuesto diferentes conjuntos finitos de reglas, seleccionadas por su evidencia, simplicidad, utilidad o conveniencia sistemática. Estos conjuntos constituyen sistemas de reglas elementales, que pueden ser vistos como máquinas lógicas cuya función es permitirnos realizar inferencias a partir de información dada, determinando la validez (o, a veces, la invalidez) de un razonamiento, la consistencia (o inconsistencia) de un conjunto de enunciados. Un sistema de reglas se verá en detalle en el cuarto capítulo.
4.3. Ejemplos de reglas de inferencia
Para ilustrar el concepto de regla de inferencia presentaremos algunos ejemplos, entre los muchos posibles. Suelen llevar nombres que se les han dado a lo largo de la historia de la lógica. Más reglas se verán cuando se estudie un método basado en reglas para demostrar la validez de razonamientos. Obviamente, como son formas válidas de razonamiento, no es posible formular contraejemplos para ellas. En cada caso se da un ejemplo, pero se sugiere construir, además, otros. Más ejemplos se encuentran en el “Apéndice: Leyes y reglas lógicas”.
4.3.1. Reglas de inferencia exclusivamente con conectivas
Presentamos las siguientes reglas de inferencia
(a) Modus Tollens
[ ] →〈 〉
¬〈 〉
___________ ¬[ ]
Laura es Licenciada en Administración → Laura es graduada universitaria ¬ Laura es graduada universitaria
______________________________________________________ ¬ Laura es Licenciada en Administración
Determinando el código
A: Laura es Licenciada en Administración B: Laura es graduada universitaria
podemos representar el razonamiento así
A → B
¬B
___________ ¬A.
(b) Silogismo Hipotético
[ ] →〈 〉
〈 〉→
____________
[ ] →
Siguiendo con el mismo contexto que en el caso anterior, un ejemplo de esta regla es:
Laura es Licenciada en Administración → Laura es graduada universitaria
Laura es graduada universitaria → Laura cursó estudios universitarios
_____________________________________________________
Laura es Licenciada en Administración → Laura cursó estudios universitarios
Agregando al código anterior la siguiente correspondencia
C: Laura cursó estudios universitarios
se puede representar este razonamiento simbólicamente como
A → B
B → C
_______
A → C
(c) Silogismo disyuntivo
[ ] ∨〈 〉
¬[ ] _________
Un ejemplo, en lenguaje regimentado, de esta regla es el razonamiento:
Damián estudia Educación ∨ Damián estudia Comunicación
¬ Damián estudia Educación
___________________________________________________ Damián estudia comunicación
que, empleando el código:
A: Damián estudia Educación B: Damián estudia Comunicación
da lugar a la siguiente versión en símbolos
A ∨ B
¬A
_________ B
4.3.2. Reglas que incluyen cuantificadores
(a) Eliminación del cuantificador universal
∀x [ ]x
_______
[ ]○
Un caso o ejemplo de esta forma es:
∀x (x es material)
______________ el Sol es material
que, de acuerdo con el código: Px: x es material a: el Sol
se simboliza
∀x Px
_______ Pa
(b) Silogismo Barbara
∀x ( 〈 〉x → x )
∀x ( [ ]x →〈 〉x )
__________________
Esta regla ha cumplido un importante papel en la historia de la lógica, pues es
fundamental en la teoría del silogismo categórico, que es una parte de la lógica
deductiva. Un caso concreto de razonamiento que sigue esta regla es el siguiente, que suele aparecer como un ejemplo típico de razonamiento en los manuales de lógica
∀x (x es ser humano → x es mortal )
∀x (x es griego → x es ser humano)
_______________________________
∀x (x es griego → x es mortal )
que, en el lenguaje cotidiano, corresponde a:
Todos los seres humanos son mortales Todos los griegos son seres humanos ________________________________ Todos los griegos son mortales.
Estableciendo como código
Qx: x es ser humano Px: x es mortal Sx: x es griego
el razonamiento se simboliza:
∀x (Qx → Px)
∀x (Sx → Qx)
______________
∀x (Sx → Px)
4.3.2.1. Nota. En estas reglas que incluyen cuantificadores y expresiones para
individuos, los símbolos “[ ]”, “〈 〉”, “ ”, etc. indican un lugar vacío que puede ser
ocupado por predicados. No se puede confundir este empleo de estos símbolos con el
caso en que se los usa para indicar una posición que puede ser ocupada por
enunciados; pues cuando sustituyen predicados, los símbolos “[ ]”, “〈 〉”, “ ”, etc.
van seguidos siempre a la derecha de un símbolo individual, ya sea una variable de
individuo o un símbolo formal para una constante de individuo, como “○”. Así, en el
contexto de expresiones del tipo “[ ]○” no cabe duda de que el símbolo “[ ]” debe ser
reemplazado por predicados.
5. Leyes lógicas
Además de las reglas lógicas, son de particular interés ciertas formas de enunciado cuyos casos son siempre enunciados verdaderos. Es decir, los enunciados concretos que son ejemplos de estas leyes nunca pueden ser falsos, son verdaderos
en toda circunstancia. A enunciados de este tipo se los llama “verdades lógicas”.
Pueden ser entendidos como casos extremos de reglas de inferencia, en los que no hay premisas. Tal como sucede con las reglas lógicas, las leyes lógicas pueden contener exclusivamente conectivas, exclusivamente cuantificadores, o ambos tipos de constantes lógicas.
Tomemos la siguiente forma de enunciado
¬( [ ] ∧ ¬ [ ] ).
La ley se formula en palabras como “no se da el caso de que un enunciado y su negación sean conjuntamente verdaderos”, y es unos de los principios lógicos clásicos. Un ejemplo de esta ley es el siguiente enunciado, en su forma regimentada:
(Damián estudia Educación ∧ ¬ Damián estudia Educación),
donde la correspondencia
A: Damián estudia Educación
da lugar a la simbolización
¬(A ∧ ¬A).
Este enunciado es siempre verdadero (independientemente de que Damián estudie Educación o no estudie, e incluso independientemente de que exista Damián). Por ello
es una verdad formal, ya que su valor de verdad no depende del contenido. Es lo que
usualmente se llama “verdad lógica”.
Otro caso de ley lógica es
(2) Descenso cuantificacional
∀x [ ]x →∃x [ ]x
que expresa en el lenguaje cotidiano : “Lo que se dice de todos se dice de alguno”; y tiene como uno de sus innumerables ejemplos
∀x (x es sólido) →∃x (x es sólido).
Este enunciado se lee así: “Si todo es sólido, entonces algo es sólido”, y según el código
Sx: x es sólido
se simboliza del siguiente modo:
∀x Px →∃x Px
obteniéndose, entonces, un enunciado que también es una verdad lógica.
Para resumir, puede decirse:
5.1. Definición.
5.2. Ley lógica como caso especial de regla lógica.
Una manera de entender la peculiar naturaleza de una ley lógica, y el carácter de verdad lógica de sus interpretaciones, consiste en vincular las leyes lógicas con la idea de validez. Una ley lógica nunca puede tener casos que sean falsos, o sea nunca tiene
contraejemplos. Sus casos son verdaderos bajo cualquier condición. De este modo,
una ley lógica podría verse como la conclusión de una regla lógica en la cual cualquier enunciado puede ser adoptado como premisa. Esto es lo mismo que decir que sus casos son enunciados verdaderos no importa cuáles sean sus premisas. De aquí:
5.2.1. Una ley lógica puede considerarse como una regla de inferencia que carece de premisas.
Más ejemplos de leyes lógicas se encontrarán en el “Apéndice: Reglas y leyes lógicas”.
5.3. Ejercicios
Luego de leer los siguientes pares de enunciados:
a. simbolice cada enunciado empleando letras para predicados y constantes de individuo, así como símbolos para conectivas, cuantificadores y variables de individuo cuando corresponda. ¡No olvide explicitar código empleado!
b. abstraiga la forma lógica que comparten los enunciados del mismo par.
Ejemplo 1
I. Si Rodrigo fue derrotado por Tarik en Guadalete o en Barbate, entonces no es cierto
que no haya sido derrotado por éste ni en Guadalete ni en Barbate.
a. Código:
Pxy: x es derrotado por y en z a: Rodrigo
b: Tarik c: Guadalete d: Barbate
(Pabc ∨ Pabd) →¬(¬Pabc ∧¬Pabd)
II. Algunos visigodos traicionaron a Rodrigo o todos ellos se rindieron, sólo si no es
verdad que no hubo visigodos que lo traicionaran pero no todos ellos se rindieron.
a. Código:
Px: x es visigodo Qxy: x traiciona a y Rx: x se rinde a: Rodrigo
b. estructura lógica compartida por I y II:
( ∨〈 〉 )
→
¬( ¬ ∧¬〈 〉 )Ejemplo 2
I. Todos los aztecas adoraban a Tezcatlipoca, si y sólo si no es cierto que algunos de
ellos no lo adoraban.
a. Código:
Px: x es azteca Qxy: x adora a y a: Tezcatlipoca
∀y (Py →Qya) ↔¬∃y (Py ∧¬Qya)
II. Cualquier pueblo prehistórico adoraba algún dios, si y sólo si no hubo pueblos
prehistóricos que no adorasen dios alguno.
a. Código:
Px: x es pueblo prehistórico Qxy: x adora a y
Rx: x es dios
∀x (Px →∃y(Ry ∧ Qxy)) ↔¬∃x (Px ∧¬∃y(Ry ∧ Qxy))
b. estructura lógica compartida por I y II
∀x ([ ]x →〈 〉x ) ↔¬∃x ( [ ]x ∧¬〈 〉x )
Ejemplo 3.
I. Hay códices mayas que contienen algunos glifos, si y sólo si no es cierto que ningún
códice maya contenga algunos glifos.
a. Código:
Px: x es códice Qx: x es maya Rxy: x es contiene y Sx: x es glifo
∃x( (Px∧Qx)∧∃y(Sy∧Rxy) ) ↔¬∀x( (Px∧Qx)→¬∃y(Sy∧Rxy) )
II. Algunos egiptólogos descifran todos los jeroglíficos, si y sólo si es falso que ningún
egiptólogo los descifre todos.
a. Código:
Rx: x es jeroglífico
∃x (Px ∧∀y(Ry → Qxy)) ↔¬∀x (Px →¬∀y(Ry → Qxy))
b. estructura lógica compartida por I y II:
∃x ( x ∧〈 〉x ) ↔¬∀x ( x →¬〈 〉x )
Ahora continúe ud.
3.
I. Gilgamesh era un mítico héroe sumerio, o no lo era.
II. Alguna cultura mesoamericana influyó sobre la cultura totonaca, o no hubo cultura
mesoamericana que influyera sobre la cultura totonaca.
4.
I. No es cierto que Astarté castigó a Gilgamesh pero no lo castigó.
II. Es falso que algún meteorito cayó en Tunguska y no hubo alguno que cayera allí.
5.
I. Es condición necesaria y suficiente que el Ramayana y el Mahabharata sean
poemas épicos hindúes para que no sea cierto que el Ramayana no sea un poema épico hindú o que no lo sea el Mahabharata.
II. El Popol Vuh y el Chilam Balam están escritos en alguna lengua maya si y sólo si
es falso que el Popol Vuh no esté escrito en alguna lengua maya o que el Chilam Balam no lo esté.
6. Forma lógica y consistencia
La cuestión de la forma lógica también es importante en el caso de la consistencia. Tómese el siguiente conjunto de enunciados
∀x (x es sólido ∨ x es líquido)
¬∃y (y es sólido)
¬∃z (z es líquido)
Px: x es sólido Qx: x es líquido
se representa simbólicamente como
∀x (Px ∨ Qx)
¬∃y Py
¬∃z Qz
En esta simbolización queda en evidencia claramente la forma que tienen estos
enunciados, forma que puede expresare gráficamente así:
∀x ( [ ]x ∨〈 〉x )
¬∃y [ ]y
¬∃z 〈 〉z
Se advierte rápidamente que estos enunciados no pueden ser todos conjuntamente verdaderos. Concebir conjuntamente que todo sea sólido o líquido, que nada es sólido y también que nada es líquido lleva a una contradicción. Es decir, si se asume que es verdadero que todo es sólido o líquido, entonces no puede considerarse verdadero que no haya algo sólido ni haya algo líquido. De este modo, el conjunto es
