Progresiones aritméticas y geométricas

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(1)TEMA 16 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una progresión aritmética es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior más una cantidad constante que llamamos diferencia de la progresión, la representamos por d y la obtenemos restando del valor de un término cualquiera del anterior: Observa una la sucesión: 2. 4. 6. 8. 10. 12.……….. Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos. Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término más 2. El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término más 2: 4 + 2 = 6 El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término más 2: 6 + 2 = 8 El valor de d obtenemos restando el valor del tercer término menos el valor del 2º término: 6 – 4 = 2, o bien, el del 5º menos el valor del 4º: 10 – 8 = 2, etc. SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA: Si delante de una sucesión de números ves el símbolo refiere a una progresión aritmética. Ejemplo: 3. 8. 13. 18.…………….. Si pones este símbolo te ahorras escribir las palabras: progresión aritmética. TÉRMINOS Y DIFERENCIA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA: A cada número de la sucesión le llamamos término y lo representamos por: a1 = primer término a2 = segundo término. 1.

(2) a3 = tercer término a4 = cuarto término an = último término. En el caso de que la progresión tenga 6 términos como: 2. 4. 6. 8. 10. 12 el valor de n es 6. En la progresión aritmética: 3. 7. 11. 15. 19. 23. 27 el valor de n es 7. El valor de la diferencia es: 4. Te basta restar el valor de un término cualquiera del valor del término anterior: a4 − a3 =15 – 11= 4 Para pasar de un término al siguiente basta sumarle al anterior una cantidad constante que llamamos diferencia de la progresión (también se la denomina razón de la progresión) y la representamos por d. En la progresión aritmética: 3. 7. 11. 15. 19. 23. 27 El a1 = 3 ; a2 = 7 ; a3 = 11 ; a4 = 15 …… an = 27 Para pasar del tercer término al cuarto le sumo a éste la diferencia (d), que en el ejemplo es 4: a4 = a3 + 4 ; 15 = 11 + 4 16.1 ¿Cuál es la diferencia de la progresión aritmética: 1. 11. 21. 31. 41.…? Respuesta: 10 16.2 En una progresión aritmética conocemos: conocemos d = 3. ¿Cuánto vale el cuarto término?. a5 = 15. y. Respuesta: 12 16.3 En una progresión aritmética el 2º término vale 6 y d = 4 ¿Cuánto vale el primer término?. 2.

(3) Respuesta: 2 Solución: a2 = a1 + d 6 = a1 + 4 d = 6−4 d =2. De cuanto estamos estudiando podemos decir que: a2 = a1 + d a3 = a2 + d. en esta última línea, el valor de escribimos según su valor:. a2 ,. a la derecha del signo ‘=’ lo. a2 = a1 + d a3 = a1 + d + d = a1 + 2d. El valor de a4 = a3 + d y si lo escribimos sustituyendo a último valor calculado tendremos:. a3. por el. a4. por el. a4 = a1 + 2d + d = a1 + 3d. El valor de a5 = a4 + d y si lo escribimos sustituyendo a último valor calculado tendremos: a5 = a1 + 3d + d = a1 + 4d. Si te fijas bien, el valor de un término cualquiera es igual al valor del primer término MÁS tantas veces la diferencia (d) por el número de términos menos 1 a2 = a1 + d. Vemos que. a3 = a1 + 2d a4 = a1 + 3d a5 = a1 + 4d. 16.4 En una progresión aritmética la diferencia (d) vale 5 y el tercer término 14 ¿Cuánto vale el primer término? 3.

(4) Respuesta: 6 Solución: a3 = a1 + d + d a3 = a1 + 2d 14 = a1 + 2 × 4 14 = a 1 +8 14 − 8 = a1 a1 = 6. 16.5 En la progresión aritmética: 2. 7. 12. 17. 22. 27 ¿Cuánto vale el término que ocupa el lugar 8º? Respuesta: 37 Solución: Como conocemos el valor del sexto término que es 27 y el valor de d = 5 podemos escribir: a7 = a6 + d ;. a7 = 27 + 5 = 32. a8 = a7 + d ;. a8 = 32 + 5 = 37. 16.6 En la progresión: 1. 4. 7. 10. ………... 19. 22 ¿Cuántos términos tiene la progresión y cuánto valen los términos comprendidos entre el que vale 10 y el que vale 19? Respuesta: Número de términos 8. Los valores del 5º y 6º son: 13 y 16 Solución: Compruebo que el valor de d es 3. a5 = a4 + d ;. a5 = 10 + d. a5 = 10 + 3 = 13. a6 = a5 + 10; a6 = 13 + d. a6 = 13 + 3 = 16. CÁLCULO DEL ÚLTIMO TÉRMINO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA: Al último término lo representamos por an siendo n el número de términos de la progresión.. 4.

(5) Ejemplo: 2. 4 . 6. 8. 10. 12 Esta progresión tiene 6 términos y decir que el enésimo término, es decir, a6 vale 12.. an. será. a6 .. También podemos. En una progresión de 20 términos el último corresponderá a Al término que ocupa el lugar 19 podemos escribir: a20−1 = a19. Al término que ocupa el lugar 18 podemos escribirlo:. a20 .. a19−1 = a18 a20− 2 = a18. cualquiera de las dos formas es válida. Lee con atención las líneas siguientes: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = a1 + 3d + d = a1 + 4d. Si te fijas bien observarás que cualquier término es igual al primero MÁS la diferencia de la progresión (d) POR el número de términos MENOS 1. a2 = a1 + d a3 = a1 + 2d a4 = a1 + 3d a5 = a1 + 4d. siempre multiplico a d por el número de términos menos 1 16.7 ¿Cómo escribirías el término correspondiente al lugar 27? Respuesta:. a27 = a1 + 26d. 16.8 ¿Cómo escribirías el término correspondiente al lugar 71? Respuesta:. a71 = a1 + 70d. 5.

(6) 16.9 ¿Cómo escribirías el término correspondiente al lugar 127? Respuesta:. a127 = a1 + 126d. El término que ocupa el último lugar o el enésimo, es decir, el lugar n puedo escribirlo: 16.10 En la progresión: 2. 5. 8. …………¿Cuánto vale el término que ocupa el lugar 31? Respuesta: 92 Solución: Aplico la fórmula del último término an = a1 + (n −1)d a31 = 2 + (31−1)3 a31 = 2 + 90 = 92. 16.11 Calcula el primer término de una progresión aritmética de 10 términos de la que conocemos el valor de d = 5 y los dos últimos términos: 45 y 50 el último. Respuesta: 5 el valor del primer término. Solución: Aplico también la fórmula del último término an = a1 + (n −1)d a10 = a1 + (10 −1)5 a10 = a1 + 9×5 = 45. Despejando el valor de a1 :. 50 = a1 + 9×5 = a1 + 45 a1 = 50 − 45 = 5. 16.12 ¿Puede suceder que el valor del último término sea menor que el del primero? Razonar. Respuesta: SÍ. 6.

(7) Solución: Es suficiente que el valor de d sea negativo. Supongamos que d = – 4 En la progresión: 14. 10. 6. 2. –2 compruebo que el primer término vale más que el último ya que para pasar de un término al siguiente estoy sumando una cantidad negativa lo que equivale a que estoy restando. Cada vez que sume una cantidad negativa, al término lo hago más pequeño. 16.13 Calcula el valor del término 11, en forma de fracción, de la progresión: 3−2 ,3−3 ,3−4 ,3−5................ Respuesta:. −. 17 27. Solución: Calculamos el valor de d: d = a2 − a1 d = 3−3 − 3−2. Transformamos en potencias de exponente positivo: d = a2 − a1 d = 3−3 − 3−2 =. 1 1 1 − 3 −2 − = = 33 32 27 27. Hemos calculado el valor de d:. −2 27. En la fórmula del cálculo del último término sustituimos por sus valores: an = a1 + (n −1)d 1 17 ⎛ −2 ⎞ 1 20 3 − 20 a11 = +10×⎜ ⎟ = − = =− 9 27 27 ⎝ 27 ⎠ 9 27. 16.14 En una progresión aritmética el primer término vale 4 y el último 16. Sabemos que d vale 2. ¿Cuántos términos tiene la progresión?. 7.

(8) Respuesta: 7 Solución: Es suficiente con utilizar la fórmula del cálculo del último término: an = a1 + (n −1)d Sustituimos las letras por sus valores conocidos o valores numéricos: 16 = 4 + (n −1)2 16 = 4 + 2n − 2 16 = 2 + 2n 14 = 2n 14 =n 2 n=7. Quitamos paréntesis y seguimos efectuando operaciones y comprobamos que el número de términos es 7. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Observa con atención lo que sucede con la suma de los términos de una progresión aritmética: Supongamos la progresión: 2. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. 26. 29. 32. 35. 38 Sumamos todos los términos y veo que S (la suma de todos los términos) vale 260 (1) S= 2 + 5 + 8 +11 + 14+ 17+ 20 + 23 + 26+ 29 + 32 + 35 + 38 = 260 Si sumo el valor de dichos términos comenzando por el último, la suma será la misma: (2) S= 38 + 35 + 32 +29 + 26+ 23+ 20 + 17 + 14+ 11 + 8 + 5 + 2 = 260. 8.

(9) Ahora sumas las igualdades de las notas (1) y (2). La suma la haces verticalmente y te encontrarás con (2+38), (5+35), (8+32),…. Estás sumando el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, y así, sucesivamente como tienes a continuación, verás que todas las sumas son iguales: S= 2 + 5 + 8 + 11 + 14+ 17+ 20 + 23 + 26+ 29 + 32 + 35 + 38 S= 38 + 35 + 32 + 29 + 26+ 23+ 20 + 17 + 14+ 11 + 8 + 5 + 2 2S=40 + 40 + 40 + 40+ 40+ 40+ 40 + 40 + 40+ 40 + 40 + 40 + 40 Hemos sumado los términos a la izquierda y la derecha del signo ‘=’ por ello: S+S =2S ¿Cuántas veces se repite la misma suma? Si cuentas bien verás que 40 se repite 13 veces lo que equivale a: 40 ×13 = 520 2S=40 + 40 + 40 + 40+ 40+ 40+ 40 + 40 + 40+ 40 + 40 + 40 + 40 puedes escribir: 2S = 520 S=. 520 = 260 2. Si a los términos los escribimos como: a1 , a2 , a3 , a4 ,.......................an −3 , an − 2 , an −1 , an. Los puntos suspensivos se refieren a otros términos, dependiendo del número de éstos. Siendo n el número de términos, an−3 , an −2 , an −1 , an serán los cuatro últimos términos. En una progresión de 7 términos tendrías, sustituyendo n por 7: a7 −3 , a7 − 2 , a7 −1 , a7 , es decir , a4 , a5 , a6 , a7. La suma de todos los términos será: S = a1 + a2 + a3 + ............... + an − 2 + an −1 + an. El valor de la suma no varía si los sumamos comenzando del 9.

(10) último al primero: S = an + an −1 + an − 2 + ............... + a3 + a2 + a1. Ahora sumamos ambas igualdades: S = a1 + a2 + a3 + ............................................ + an − 2 + an −1 + an S = an + an −1 + an − 2 + .......................................... + a3 + a2 + a1 2 S = (a1 + an ) + (a2 + an −1 ) + (a3 + an − 2 ) + ......... + (an − 2 + a3 ) + (an −1 + a2 ) + (an + a1 ). Todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor por lo que podríamos escribir: S = a1 + a2 + a3 + a4 + ............................................ + an −3 + an − 2 + an −1 + an S = an + an −1 + an − 2 + an −3 + .......................................... + a4 + a3 + a2 + a1 2S = (a1 + an ) + (a1 + an ) + (a1 + an ) + ............................. + (a1 + an ) + (a1 + an ) + (a1 + an ). Como todos los sumandos entre paréntesis valen lo mismo, tomamos uno de ellos, los que se refieren al primero y último términos y nos resulta lo que tienes más arriba.. En lugar de sumar: 23+23+23+23+23+23, es más fácil, contar cuantas veces se repite este número y multiplicarlo por 23: 23+23+23+23+23+23 es lo mismo que 23 × 6. ¿Cuántas veces se nos repite. (a1 + an ) ?. Tantas veces como términos tenga la progresión, en este caso, n. Por lo que se nos transformaría todo lo anterior en: S = a1 + a2 + a3 + a4 + ............................................ + an −3 + an − 2 + an −1 + an S = an + an −1 + an − 2 + an −3 + .......................................... + a4 + a3 + a2 + a1 2S = (a1 + an ) × n. Despejamos el valor de S y obtenemos: 2 S = (a1 + an ) × n S=. (a1 + an ) × n a1 + an = ×n 2 2. 10.

(11) La fórmula que nos sirve para calcular el valor de la suma de los términos de una progresión aritmética es igual: A la suma del primero y último términos, dividido por 2 y multiplicado por el número de términos. Si una progresión aritmética tiene un número impar de términos, como: 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18 La suma del primero y último, es igual a la suma del segundo y penúltimo,…. y me quedará el término CENTRAL sólo. Si a éste le multiplico por 2, es decir, hallo el doble de su valor, veré que coincide con las sumas anteriores: 2 + 18 = 4 + 16 = 6 + 14 = 8 + 12 = 2 ×10. 16. 15 Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión 2. 4. 6. 8. ………. Respuesta: 420 Solución: Primero calculamos el valor del último término: an = a1 + (n − 1)d. a20 = 2 + (20 − 1)2 a20 = 2 + 19 × 2 a20 = 2 + 38 a20 = 40. Aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética: a1 + an ×n 2 2 + 40 S= × 20 2 42 S = × 20 2 S = 420 S=. 11.

(12) 16.16 En una progresión aritmética el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos 196. ¿Cuántos términos tiene? Respuesta: 14 Solución: Conocemos el valor de. an = 1; d = 2 y S = 196. Aplicando la fórmula de la suma y haciendo operaciones: a1 + an ×n 2 a an lo sustituimos por su valor S=. a1 + a1 + (n − 1)d ×n 2 escribimos los valores conocidos 1 + 1 + (n − 1)2 196 = ×n 2 2 + 2n − 2 196 = ×n 2 2n 196 = ×n 2 196 = n 2 S=. n = 196 n = 14. 16.17 Calcula la suma de los 1000 primeros números naturales. Respuesta: 500.500 Solución: Conocemos el primer término que es 1. Conocemos el último que es 1000 y además sabemos que la d es igual a 1. a1 + an ×n 2 suma: S = 1 + 1000 ×1000 2 S = 500,5 ×1000 = 500.500 S=. Haciendo uso de la fórmula de. 12.

(13) 16.18 Calcula la suma de los 1000 primeros números impares. Respuesta:1.000.000 Solución: Conocemos el primer término, 1. La diferencia o razón, 2. El número de términos, 1000. Calculamos el valor del último término: an = a1 + (n − 1)d an = 1 + (1000 − 1)2 an = 1 + 1998 an = 1999. Aplicando la fórmula. a1 + an ×n 2 1 + 1999 = ×1000 2 2000 = ×1000 2 = 1000 ×1000 = 1.000.000. S= S S S S. de la suma:. 16.19 Calcula la suma de los 1000 primeros números pares. Respuesta: 1.001.000 16.20 Calcula y demuestra que la suma de los 1000 primeros números pares más los 1000 primeros números impares es igual 2.001.000. Respuesta: 2.001.000 Solución: La suma de los 1000 primeros números pares hemos visto que vale: 1.001.000 La suma de los 1000 primeros números impares hemos visto que vale: 1.000.000 Total…………..:. 2.001.000 13.

(14) Calculamos la suma de los 2.000 primeros números YA QUE EN ESTE NÚMERO ESTAN INCLUIDOS 1.000 NÚMEROS PARES Y 1.000 NÚMEROS IMPARES: a1 + an ×n 2 1 + 2000 = × 2000 2 2001 = × 2000; simplifico a 2000 por 2 2 = 2001×1000 = 2.001.000. S= S S S S. Veo que coinciden las dos cantidades lo que me indica que la respuesta es correcta. 16.21 Tenemos la progresión aritmética siguiente: 5,………………….995. 1000. Halla la suma de todos los términos. Respuesta: 100.500 16.22 Calcula la suma de los 100 primeros múltiplos de 5. Respuesta: 25.250 Solución: El primero vale……. ……5 El último ……. ………….500 El número de términos….. 100. La suma. 5 + 500 × 100 2 S = 505 × 50 = 25.250 S=. valdrá:. INTERPOLAR MEDIOS ARITMÉTICOS: La palabra interpolar que equivale a intercalar, insertar,… quiere 14.

(15) decir, tratándose de números, a situarlos, intercalarlos, entre otros dos. Veamos ejemplo práctico: Supongamos que nos dicen que entre 6 y 10 tenemos que interpolar o intercalar 3 términos y que además, tanto el 6 como el diez y los tres números que han de estar entre ellos, se encuentren en progresión aritmética. Así que, decimos que son medios porque están entre otros dos y aritméticos por tratarse de progresiones aritméticas. Debes fijarte, muy bien, que si te dicen que entre el valor 6 y el valor 10 debes interpolar 3 números o medios aritméticos, la nueva progresión tendrá 5 términos: el de valor 6, valor 10 y los tres nuevos: 6, medio1 , medio2 , medio3 ,10. Casi siempre, al hablar de interpolar medios, hemos de calcular la nueva diferencia o razón d. Te queda una progresión aritmética de primer término 6, último 10 y tres interpolados, en total 5 términos: PRIMERO Y ÚLTIMO MÁS LOS INTERPOLADOS, EN TOTAL n+2 TÉRMINOS siendo n el número de los interpolados. SIEMPRE QUE SE INTERPOLAN TÉRMINOS, LA NUEVA PROGRESIÓN TIENE N+2 TÉRMINOS, los interpolados más los dos entre los cuales se intercalan. En la fórmula: an = a1 + (n − 1)d Tenemos que despejar el. an − a1 = (n − 1)d d=. valor de d:. an − a1 n −1. Esta fórmula es correcta cuando no tenemos que interpolar, pero para el caso de interpolación no vale, porque en lugar de n términos, tenemos n+2. En la fórmula para el cálculo del valor de d, tendremos que sustituir n por n+2: an − a1 n + 2 −1 a −a d= n 1 n +1. d=. 15.

(16) Con esta última fórmula puedes halla la diferencia de la nueva progresión y volviendo al ejemplo: an − a1 n + 2 −1 10 − 6 4 = =1 d= 3 +1 4 d=. La diferencia o razón es 1. Esto quiere decir que la nueva progresión sería: 6. 7. 8. 9. 10 Como puedes comprobar, tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10. 16.23 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80. Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80) 16.23 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de todos los términos. Respuestas: d = 10; S = 1265 16.24 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la progresión. Respuesta: d = –5; la progresión es: –5. –10. –15. –20. –25. – 30. –35. 16.25 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven? 16.

(17) Respuesta: 16 años. Solución: Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término: an = a1 + (n − 1)d ; sustituyendo por sus valores numéricos 86=a1 + 10 × d 86=a1 + 10d ; despejamos a1 a1 = 86 − 10d. Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma: a1 + an × n; sustituyendo por los valores conocidos 2 86 − 10d + 86 561 = ×11 2 S=. Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda: 86 − 10d + 86 2 172 − 10d 51 = ; simplificamos por 2 2 51 = 86 − 5d −35 = −5d d =7 51 =. Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término: a1 = 86 − 10d a1 = 86 − 10 × 7 a1 = 16. 16.26 Existe una progresión aritmética con este formato: ……………………14,6.16. ……………..44 Sabemos que tiene 31 términos. ¿Cuánto vale la suma de todos los términos? Respuesta: 713 17.

(18) 16.27 La sucesión:. 1 1 3 1 . . . .............. es 10 5 10 2. una progresión aritmética?. Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos? Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de d = a15 = 1, 5. 1 10. La suma de los 50 primeros términos = 127,50 Solución: Para calcular el valor de d restamos. a2 − a1 =. 1 1 1 − = 5 10 10. 1 1 15 + 14 × = = 1, 5 10 10 10 1 1 1 + + 49 × a +a 10 × 50 = 51 × 25 = 127,5 S = 1 n × n = 10 10 2 2 10. a15 = a1 + (n − 1)d =. 16.28 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros. Entre farola y farola hay una distancia constante de 7 metros. ¿Cuántos metros hay desde el portal de mi casa hasta la farola 30? Respuesta: 208 metros Solución: Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu casa hasta la farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 × 7 = 203 metros. A...............................................................................B Si entre A y B ⇑ .............................................................. ⇑ intercalo 7 postes de ..... ↑ ..... ↑ ..... ↑ ..... ⇑ ↑ ..... ↑ ..... ↑ ..... ↑ .....3 ⇑ luz, habré creado 8 1444444444 424444444444 espacios entre ellos. 7 señales 8 espacios. 18.

(19) Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido 5 trozos:. 19.

(20) PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión, la representamos por r y la obtenemos dividiendo el valor de un término cualquiera por el valor del término anterior: Observa una la sucesión: 2: 4: 8: 16: 32: 64:.……….. Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos. Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término por 2. El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término por 2: 4 × 2 = 8 El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término por 2: 8 × 2 = 16 El valor de d obtenemos dividiendo el valor del tercer término entre el valor del 2º término: 16 = 2 , o bien, el del 5º entre el 8 valor del 4º: 32 = 2 , etc. 16 SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Cuando delante de una sucesión de números veas el símbolo se refiere a una progresión geométrica. Ejemplo: Si pones este símbolo te ahorras escribir las palabras: progresión geométrica. 16.1 ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica: 2: 20: 200: 2000.…? Respuesta: 10. 20.

(21) 16.2 En una progresión geométrica conocemos: conocemos r = 5. ¿Cuánto vale el tercer término?. a1 = 2. y. Respuesta: 50 Solución:. a1 = 2 a2 = 2 × 5 = 10 a3 = 10 × 5 = 50. 16.3 En una progresión geométrica el 2º término vale 6 y r = 2 ¿Cuánto vale el primer término? Respuesta: 3 Solución:. a2 = a1 × r 6 = a1 × 2 a1 = 6 = 3 2. CÁLCULO DEL ÚLTIMO TÉRMINO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:. De cuanto estamos estudiando podemos decir que:. (1). a2 = a1 × r a3 = a2 × r a4 = a3 × r .................... a13 = a12 × r .................... an = an−1 × r. Siempre sucede que un término cualquiera es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión. 21.

(22) Lo que tenemos en (1) podemos escribir todas las igualdades en función del primer término: a2 = a1 × r a3 = a2 × r; sustituimos a2 por : a1 × r a3 = a1 × r × r = a1r 2. Recuerda que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes a4 = a3 × r; sustituyendo el valor de a3 por a1 × r 2 El 4º término: a = a × r 2 × r = a × r3 4. 1. 1. a5 = a4 × r; sustituyendo el valor de a4 por a1 × r 3 El 5º término: a5 = a1 × r 3 × r = a1 × r 4. Vemos que todos los términos contienen al primero y a la razón elevada a un exponente una unidad inferior al subíndice que nos indica el lugar del término: El término 14 será: a14 = a1 × r13 ; El término 39 será: a39 = a1 × r 38 El término que ocupa el lugar n será: an = a1 × r n−1. 16.4 En la progresión geométrica: 2: 4: 8: 16:………¿Cuánto vale el 6º término? Respuesta: 64. Solución: a6 = a1 × r 5 = 2 × 25 = 26 = 64. 16.5 En una progresión geométrica el 5º término vale 81 y el 1º 3 ¿Cuánto vale la razón? Respuesta: 3. 22.

(23) Solución:. a5 = a1 × r 4 81 = 1× r 4 Descomponemos 81 en sus factores primos y vemos que es igual a: 34 34 = 1× r 4 Podemos escribir: 34 = r 4. En una igualdad de potencias, si los exponentes son iguales, las bases también lo serán. También podemos decir que si las bases son iguales, los exponentes también lo serán, ejemplo 14 x = 149 x=9. Podemos decir que la razón es igual a 3. 16.6 Calcula el valor del 6º término de una progresión geométrica sabiendo que el primer término vale 1 y la razón 5. Respuesta: 3.125 16.7 Veamos como respondes a la pregunta siguiente: Imaginemos que te gustan los caballos y te dicen si estarías dispuesto a comprar uno de muy buen aspecto cuyo valor lo tienes explicado a continuación: ”Me tienes que pagar el valor del último clavo de los 32 que sujetan las 4 herraduras, suponiendo que cada una necesita 8 clavos, y que el primer clavo vale un céntimo de euro, 2 céntimos el segundo clavo, 4 céntimos el tercero, 8 céntimos el cuarto, 16 céntimos el quinto, 32 céntimos el sexto, y así sucesivamente hasta el último clavo” ¿Te atreves a comprarlo sabiendo que tienes que pagar el valor del último clavo SOLAMENTE? Respuesta: Ni hablar, sería un mal negocio.. Solución: Como habrás comprobado, se trata de una progresión geométrica de razón 2, primer término igual a 1 y 32 el número de términos:. 23.

(24) El clavo que ocupa el término 32 es: a32 = a1 × r 31 a32 = 1× 231 = 1× 2147483648 a32 = 2141 783.648céntimos=21147.836,48€ Creo que son muchos euros para nuestros bolsillos. 16.8 La progresión geométrica: 3: 9: ……….: 6561 ¿Cuántos términos tiene? Respuesta: 8. Solución:. an = a1 × r n−1 6561 = 3× 3n−1 = 31+ n−1 = 3n 6561 = 3n Descomponiendo 6561 en sus factores primos vemos que 6561= 38 quedándonos: 38 = 3n n =8 16.9 En la progresión geométrica: 5: 5 : 1:……………… ¿Cuánto vale la razón? ¿ Cuánto vale el 7º término? Respuestas: 5 y a7 = 1 ó 0,04 25 5. Solución: Para calcular la razón divido el valor de un término por el valor del término anterior: 2º término entre 1º: r = 5 y también 3º entre el segundo: 5 r = 1 ; racionalizando, r = 1× 5 = 5 5 5× 5 5. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:. 24.

(25) Anteriormente en (1) escribimos: a2 = a1 × r a3 = a2 × r a4 = a3 × r ........................................ an = an−1 × r Sumo todos los términos que están a la izquierda del signo = Sumo también los términos que están a la derecha del signo = A la derecha del signo = veo que todos los términos contienen como factor a la razón, por lo que saco factor común y dentro del paréntesis aparecen la suma de todos los términos de la progresión geométrica menos el último. a2 = a1 × r a3 = a2 × r a4 = a3 × r .................. an = an−1 × r a2 + a3 + a4 + ............ + an = r (a1 + a2 + a3 + ........ + an−1 ) La suma indicada que tienes a la izquierda del signo = representa la suma de todos los términos menos el primero. Podría escribir cuanto tengo a la izquierda del signo = del modo siguiente: S − a1 , es decir, la suma de todos los términos de la progresión menos el primero. Lo que tienes dentro del paréntesis a la derecha del signo = es la suma de todos los términos menos el último. La suma anterior podemos escribirla: a2 + a3 + a4 + .......... + an = r (a1 + a2 + a3 + .......... + an−1 ) S − a1 = r (S − an ). En la última igualdad quito paréntesis: S − a1 = Sr − an r Los términos que contienen S los paso a la derecha del = y a la izquierda de este signo el término −an r :. 25.

(26) an r − a1 = Sr − S. Saco factor común a S:. an r − a1 = S (r −1) Despejo el valor de S y me queda: S = an r − a1 r −1. La suma de los términos de una progresión geométrica es igual al último término por la razón menos el primero dividido por la razón menos 1.. A veces es mejor usar la fórmula de la suma en función del primer término y de la razón. Para ello sustituyo en la fórmula de la suma el valor de an por a1 × r n−1 : S=. a1r n−1 × r − a1 a1r n − a1 = r −1 r −1. Puedo sacar factor común al primer término quedándome: a1r n − a1 a1 (r n −1) S= = r −1 r −1. 16.10 En la progresión geométrica: 7: 7 :1:................... . Total de términos 7 ⎧la razón ⎪ ⎪. calcula ⎨ a ⎪ 7 ⎪ ⎩la suma de los siete términos Respuestas: r =. 7 ; a = 1 ; S = 11,241(redondeando) 7 49 7. Solución:. 26.

(27) Para calcular la razón dividimos el valor de un término por el del anterior: a2 = 7 a1 7 El. ⎛ an = a1 × r n −1 = 7 × ⎜ ⎜ ⎝. 7 −1. 7 ⎞⎟ = 7 × 76 = 7 × 73 = 74 = 7−2 = 1 = 1 7 ⎟⎠ 76 76 76 72 49. La progresión con todos los siete términos será: 7: 7 :1:. 7 1 7 1 : : : 7 7 49 49. La suma de todos estos términos: S = 7 + 7 +1 + 7 + 1 + 7 + 1 7 7 49 49 mínimo común múltiplo de denominadores :49 S = 7 × 49 + 7 × 49 +1× 49 + 7 7 +1+ 7 +1 = 49 400 + 57 7 = 400 + 57 × 2,64575131 = 49 49 = 400 +150,807825 = 11,24096 49 16.11 En la progresión geométrica: 2 : 2 :1:................... ⎧la razón ⎪ ⎪. calcula sin ayudas ⎨ a ⎪ 9 ⎪ ⎩la suma de los nueve términos Respuestas: r = 2 , a9 = 0,125 , S = 6,526650408 2 16.12 En una progresión geométrica el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos 29524 ¿Cuántos términos tiene? Respuesta: 10. Solución:. 27.

(28) Conocemos el valor de la suma, la razón y el primer término, aplicando la fórmula de la suma y sustituyendo por sus valores tenemos: n n n S = a1r − a1 = 1× 3 −1 = 3 −1 3 −1 2 r −1 n 29524 = 3 −1 2. El denominador 2 pasará multiplicando al otro lado del signo = n 28524 = 3 −1 2 n 59048 = 3 −1 59049 = 3n. Descomponiendo 59049 en sus factores primos vemos que equivale a 310 Nos queda como última igualdad: 3n = 310 Si las bases de dos potencias son iguales, los exponentes también lo serán, luego, n=10 FÓRMULA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO LA RAZÓN ES MENOR QUE 1 Y EL NÚMERO DE TÉRMINOS INFINITO: n Si a la fórmula: S = a1r − a1 le cambiamos el orden en el que r −1 hemos colocado los valores del numerador y del denominador no n n cambia el resultado. S = a1r − a1 es lo mismo que S = a1 − a1r . Los 1− r r −1 valores de S son iguales porque si la razón es mayor que 1, tanto el numerador como el denominador serían negativos, pero el cociente de dos números negativos será positivo. Si la razón es menor que 1, tanto el numerador como el denominador serían positivos, y el cociente, también.. 28.

(29) Observa la operación siguiente: 34 − 21 la puedo escribir: 7 34 − 21 . El resulto es el mismo. Para dividir una suma o 7 7 diferencia indicada por un número, divido a cada término por el denominador o divisor. n Esto quiere decir que: S = a1 − a1r la puedo escribir: 1− r n n S = a1 - a1r = a1 - a1r 1-r 1-r 1-r No olvides que estamos tratando el caso en que el número de términos es ∞ (infinito) y la razón es menor que la unidad. Un número menor que 1 es una fracción de la unidad como: 1 , 1 , 1 , 1 , etc. 2 3 4 7 ∞ 1∞ ⎛1⎞ 1 Si r = y elevamos este valor a infinito, tendremos: ⎜ ⎟ = ∞ . 5 5 ⎝5⎠ Verás que el numerador vale 1 (sin tener en cuenta las indeterminaciones) mientras que el denominador vale infinito. Sería como dividir 1 entre 123456789000000000000000000 y todavía no llegamos a ∞ . El cociente sería algo así, como: 0,00000000000000000000000000000000000009………. En realidad, cero.. n n Luego de la igualdad: S = a1 − a1r = a1 − a1r vemos que: 1− r 1− r 1− r n n S = a1 − a1r = a1 − a1r 1− r 1− r 1− r n a1r = 0 1− r n Debido a que r = 0 y este valor por a1 el producto también será cero. Y si a 0 le dividimos por cualquier valor que no sea cero podemos afirmar que el cociente también vale cero con lo que la fórmula para el cálculo de la suma de infinitos términos será:. S = a1 1-r. 29.

(30) 16.13 Calcula la suma de los 100 mil millones de términos de la progresión: 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,...................................... 3 9 27 81 243 729 2187. Respuesta: 1 2. Solución: 1 Hallamos la razón: r = 9 = 3 = 1 1 9 3 3 La suma de los infinitos términos será: 1 1 1 a S= 1 = 3 = 3 = 3=1 1- r 1− 1 3 −1 2 2 1 3 3 3 16.14 La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica indefinida de razón = 1 vale 1. ¿Cuánto vale el 2 primer término?. Respuesta: 1 2 PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Observa la progresión geométrica: 1:3:9:..............:59049:177147:531441 Tenemos los términos: a1, a2 , a3 ,.................., an−2 , an−1, an El producto de todos los términos de la progresión sería: (3) P= a1 × a2 × a3 ,.................., an−2 × an −1 × an Sabemos que el orden de los factores no altera el resultado: 4 × 5 es lo mismo que 5× 4 Podemos decir que el valor de P será igual a: (4) P= an × an −2 × an−3 ,.................., a3 × a2 × a1 Si multiplicas el primer término por el último 30.

(31) El segundo por el penúltimo El tercero por el antepenúltimo, etc., todos los productos son iguales: a1 × an = 1× 531441= 531441 a2 × an−1 = 3×177147= 531441 a3 × an−2 = 9 × 59049 = 531441 .................................................. an −2 × a3 = 59049 × 9 = 531441 an −1 × a2 = 177147 × 3 = 531441 an × a1 = 531441×1 = 531441 Multiplicamos los contenidos de los apartados (3) y (4) tanto los términos que se encuentran a la izquierda del signo = como los que se encuentran a la derecha de dicho signo. Cada producto lo realizamos multiplicando el factor de la primera igualdad por su correspondiente factor de la segunda igualdad. P= a1 × a2 × a3 ×..................× an−2 × an−1 × an P= an × an−1 × an−2 ×..................× a3 × a2 × a1 P × P=( a1 × an ) × ( a2 × an −1 ) × ( a3 × an −2 ) × ….. × ( an −2 × a3 ) × ( an −1 × a2 ) × ( an × a1 ) Hemos visto anteriormente que los productos entre paréntesis son iguales por lo que podemos escribir: P2=( a1 × an ) × ( a2 × an −1 ) × ( a3 × an −2 ) × ….. × ( an −2 × a3 ) × ( an −1 × a2 ) × ( an × a1 ). P 2 = (a1 ×an )n. Despejando el valor de P: P = (a1 ×an )n El producto de los términos de una progresión geométrica es igual a la RAÍZ CUADRA DEL PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO POR EL ÚLTIMO ELEVADO AL NÚMERO DE TÉRMINOS.. Imagina que tienes la progresión geométrica: 1: 2: 4: 8: 16: 32 El producto de los términos es = 1× 2 × 4 × 8 ×16 × 32 = 32768 Aplicando la fórmula del producto: 31.

(32) P= (1× 64)6 = 646 = 643 = 32768 Comprobamos el mismo resultado.. 16.15 En una progresión geométrica de primer término 4 y razón 3, la suma de dos términos consecutivos es 1296 y el producto de estos mismos términos 314928¿Cuáles son estos dos términos consecutivos? Respuesta: Los términos 5º y 6º. Solución: Cuando conocemos los valores de la suma y el producto de dos números podemos escribir la ecuación de 2º grado: x2 − S (suma) x + P( producto) = 0 x2 −1296 x + 314928 = 0 2 2 x = −b ± b − 4ac = −1296 ± 1296 − 4 × 314928 = 2a 2 = −1296 ± 1679616-1259712 = −1296 ± 419904 = 2 2 972 1296 648 − ± = = 2 324. Que corresponden al 6º y 5º términos respectivamente. En la progresión geométrica de 9 términos: 1 : 1 :1:............. Calcula la suma el valor del último 25 5 término, la suma de los 9 y el producto de todos los términos (este último lo calculas si tienes ordenador o calculadora).. 16.16. Respuestas: Último término: 78125; Suma: 97656,2: Producto: 7.450.580.596.923.830.000. 32.

(33) 16.17 Cuentan que al inventor del ajedrez le dijeron que pidiese lo que quisiera por haber ingeniado un juego tan interesante. Sabemos que el tablero del ajedrez tiene 64 casillas, entre las blancas y las negras. Pidió un grano de arroz por la primera casilla, dos por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, y así hasta la última casilla. Como ves, la razón es 2. ¿Cuántos granos correspondieron a la última casilla? Respuesta: 18.446.744.073.709.600.000 granos (aproximadamente). Comentario: Parece que pidió poca cosa pero la realidad fue muy distinta. El número de granos viene dado por 20 cifras. El peso aproximado de semejante cantidad de granos sería 10.000.000.000 toneladas. Si el planeta tierra todo él sembrado de arroz no llegaría a dar semejante cantidad de arroz en un año. INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS: Se trata de calcular la razón para que los términos a interpolar entre dos números dados formen una progresión geométrica. Cuanto se dijo en la interpolación de medios aritméticos es válido, únicamente debes tener en cuenta que de la fórmula del último término de una progresión geométrica, despejamos la razón y el número de términos será igual a los dos que nos dan: primero y último más el número de los medios geométricos, total n+2 términos: an = a1r n −1 r n −1 = an a1 r = n−1 an a1. 33.

(34) 16.18 Calcula la razón para interpolar entre 11 y 5632, ocho medios geométricos, y después, escribe la progresión. Respuesta: r = 2;la progresión es = 11: 22: 44: 88: 176: 352: 704: 1408: 2816: 5632. Solución: Aplicas la fórmula y sustituyes las letras por sus valores: r = n−1 an = 10−1 5632 = 9 512 = 9 29 = 2 a1 11 16.19 En la progresión geométrica: 3: 6: 12:…………el producto de dos términos consecutivos es 1152. ¿Cuáles son estos términos? Respuesta: 4º y 5º términos.. Solución: Sea x el primero de los términos que nos piden. El segundo será: 2× x = 2x El producto de los valores de estos dos términos x × 2 x = 2 x2 es: 2 x 2 = 1152: x 2 = 576: x = 576 = 24 Si el tercer término vale 12 y la razón 2, el cuarto será: 12 × 2 = 24 El 5º término valdrá 48. 16.20 La suma de dos términos consecutivos de la progresión 6: 18: 54: …………. es 157464 . ¿Cuáles son estos términos? Respuesta: 9º y 10º términos. 34.

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