Problemas comentados
A cargo del Club Matemático
Algunos lectores, además de leer el artículo y utilizar los problemas, nos escriben para darnos sus soluciones y hacer algún comentario. Pepe Muñoz, miembro del Grupo Alquerque (llos recuerdan en las últimas Jor-nadas?), nos envía el siguiente correo:
También me ha llegado el último número de la revista NÚMEROS y os mando la solución al problema 1 O:
Ángel resuelve con su bolígrafo las sopas de letra mientras se toma un biter.
Daniel es aficionado a los crucigramas que resuelve con su rotulador mien-tras se atiborra de té.
Isabel bebe refrescantes limonadas mientras resuelve las charadas con su pluma.
Susana es más de autodefinidos y, como seguramente masticará su lá-piz, debe tomar tónica para el estómago.
Espero que sea la respuesta correcta, al menos repasando las pistas se ajusta.
Mañana se lo voy a proponer a alguno de mis alumnos, aunque pienso que si no se ha hecho alguno antes es complicado de afrontar (y sobre todo es fundamental el diagrama, como ya comentáis).
Y sin más preámbulos procedemos a darles nuestras versiones sobre el modo de solucionar los dos problemas propuestos en el número anterior.
Problema nº 1 O:
Durante sus horas matinales de playa, cuatro amigos (Ángel, Daniel, Isabel, Susana) que pasan sus vacaciones juntos se suelen divertir resolviendo sus pasatiempos favoritos (autodefinidos, crucigramas, sopas de letras, charadas). Descubra qué juego soluciona cada uno, los utensilios de escritura (bolígrafo, lápiz, pluma, rotulador) que emplea para ello y la bebida (bíter, limonada, té, tónica) que le gusta tener mientras en la mano.
1. Daniel disfruta resolviendo crucigramas.
3. Isabel soluciona los pasatiempos con una pluma.
4. Quien resuelve charadas, lo hace siempre bebiendo refrescantes limonadas.
5. Ángel es quien toma bíter.
6. Quien bebe té (que no es Susana), emplea para escribir un rotula-dor.
Recuerden que en los problemas de lógica es muy importante distribuir espacialmente la información, para lo cual conviene utilizar un buen diagrama.
Diagrama
Antes que nada debemos conocer todos los datos del problema. Leyen-do detenidamente las frases averiguamos que:
Los nombres son ... Ángel, Daniel, Isabel, Susana.
Los pasatiempos son ... autodefinidos, crucigramas, sopa de letras, cha-radas.
Los utensilios de escritura son ... bolígrafo, lápiz, pluma, rotulador.
Las bebidas son ... bíter, limonada, té, tónica.
Ahora conviene utilizar un diagrama lógico adecuado, que podría ser el siguiente:
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c
s
CH B L p R B L Té TóÁngel
Daniel
Isabel
Susana
sólo habrá un SÍ y el resto serán NO; en cada columna de cada apartado
sólo habrá un SÍ y el resto serán NO.
Razonamiento
Las frases que tienen información clara y precisa son:
1. Daniel disfruta resolviendo crucigramas.
3. Isabel soluciona los pasatiempos con una pluma.
5. Ángel es quien toma bíter.
Por cada frase rellenaremos con un SÍ en la casilla correcta y, en el resto de su fila y columna, un NO en cada casilla restante.
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c
s
CH
B L p R B L Té TóÁngel No No Sí No No No
Daniel No Sí No No No No
Isabel No No No Sí No No
Susana No No No
Ahora tomaremos las frases que tengan información precisa, pero en for-ma negativa.
6. Quien bebe té (que no es Susana), emplea para escribir un rotulador.
Sólo podremos llenar algunas casillas con un NO.
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c s
CH
B L p R B L Té TóÁngel No No Sí No No No
Daniel No Sí No No No No
Isabel No No No Sí No No
Ahora se utilizarán las restantes frases.
4. Quien resuelve charadas, lo hace siempre bebiendo refrescantes
limo-nadas.
Si miramos el cuadro, que tenemos a medio llenar, veremos que sola -mente disponemos de dos posibilidades que cumplan ambas cosas a la vez: Isabel o Susana, ya que sabemos que Ángel bebe bíter y que Daniel resuelve crucigramas.
En el cuadro, esta solución:
(A)
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c
s
CH
B L p R B L Té TóÁngel No No No Sí No No No
Daniel No Sí No No No No No
Isabel No No No Sí No No Sí No No Sí No No
Susana No No No No No No No
(En este caso ya sabemos, por eliminación, que el té lo bebe Daniel y lo podemos rellenar en la tabla.)
O esta otra:
(B)
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c s
CH
B L p R B L Té TóÁngel No No No Sí No No No
Daniel No Sí No No No No No
Isabel No No No No Sí No No No No No
Susana No No No Sí No No No Sí No No
Los diagramas quedan así:
(A)
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c
s
CH
B L p R B L Té TóÁngel No No No No Sí No No No
Daniel No Sí No No No No No Sí No No Sí No
Isabel No No No Sí No No Sí No No Sí No No
Susana No No No No No No No
(B)
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c
s
CH
B L p R B L Té TóÁngel No No No No Sí No No No
Daniel No Sí No No No No No Sí No No Sí No
Isabel No No No No Sí No No No No No
Susana No No No Sí No No No Sí No
Pero ahora descubrimos quién bebe tónica, ya que sólo queda una posi-bilidad: es Susana en el diagrama A, mientras que en el diagrama B se produce una incoherencia; resulta que Susana bebe simultáneamente limonada y tónica. Por tanto descartamos en este momento la solución B y nos quedamos solamente con la A.
Y por la frase número 2 ya sabemos a quién se asigna el lápiz.
2. Quien emplea un lápiz, le gusta beber tónica; quien utiliza bolígrafo, se
divierte con las sopas de letras.
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c
s
CH B L p R B L Té TóÁngel No No Sí No Sí No No No Sí No No No
Daniel No Sí No No No No No Sí No No Sí No
Isabel No No No Sí No No Sí No No Sí No No
Susana No No No No Sí No No No No No Sí
Inmediatamente deducimos, porque no hay otra posibilidad, que las so-pas de letra con bolígrafo solamente las puede realizar Ángel.
Y que es Susana quien realiza los autodefinidos. Quedando así completa la tabla.
Nombres Pasatiempos Utensilios Bebidas
A
c s
CH B L p R B L Té TóÁngel No No Sí No Sí No No No Sí No No No
Daniel No Sí No No No No No Sí No No Sí No
Isabel No No No Sí No No Sí No No Sí No No
Susana Sí No No No No Sí No No No No No Sí
Ya está completo el diagrama y no se han producido incoherencias o duplicidades. Podemos resumir la solución, utilizando un diagrama de doble entrada más sencillo.
Respuesta
Nombre Pasatiempo Utensilio Bebida
Ángel Sopa de letras Bolígrafo Bíter
Daniel Crucigramas Rotulador Té
Isabel Charadas Pluma Limonada
Susana Autodefinidos Lápiz Tónica
El último paso consiste en aplicar todas las frases a cada respuesta y com-probar que se ajustan en su totalidad y no se producen contradicciones.
-Problema 11
¿cuál es la tierra americana más cercana a las Islas Canarias? ¿cuán-to mide esa distancia?
¿Qué diferencia horaria real existe entre los dos extremos este-oeste del Archipiélago Canario? Consideramos que los extremos son Pun-ta del Barbudo, junto al Faro de Orchilla, en la isla de El Hierro y Punta Prieta, cerca de Órzola, en Lanzarote.
Si el Almirante Cristóbal Colón desconocía la declinación magnética y hubiera dispuesto de una brújula y otros instrumentos para deter-minar el rumbo, de suficiente precisión, suponiendo que la declina-ción a la altura de las Islas Canarias a finales del siglo XV era de unos 14°, viajando hacia el oeste desde la Gomera, ¿dónde habría arriba-do? Compruébalo en una esfera terrestre.
Primera cuestión:
Sorprendentemente, no es la costa sudamericana o una isla antillana, sino Terranova a unos 3757 km.
El cabo Orange, en Brasil, es el punto más cercano de América del Sur, a 4995 km y Barbados en las Pequeñas Antillas, a unos 4775 km es la isla más cercana de ese archipiélago.
Para el cálculo de la distancia entre dos puntos geográficos podemos emplear el siguiente procedimiento:
Valores en grados Valores en radianes
Lugares geográficos Latitudes Longitudes Latitudes Longitudes
Punto inicial Latl Lonl Latlr
Punto final Lat2 Lon2 Lat2r
Restamos latitudes y longitudes:
Designamos como H
=
Lat2r - Lat 1 r e 1 = Lon2r - Lon 1 rLlamamos
Lonlr
Lon2r
L
= 1 -
cos(H)+
cos (latlr)*cos(Lat2r)*(I-cos(I)), K=
arccos(I - L)y D = K*(I 80/i)
Estos pasos son fácilmente trasladables a una hoja de cálculo.
Segunda cuestión:
Las coordenadas de los puntos mencionados son:
Punta Prieta:
Latitud: 29° 11 min 50 seg
Longitud: 13° 25min IOseg
=
13.4193°Punta del Barbudo:
Latitud: 27° 42min 55seg
Longitud: 18° 9min 48seg
=
18.1633°Haciendo el cálculo por el método anteriormente expuesto, nos da una distancia de 491.3 km. Si estuviesen a la misma latitud de 29° 11 min, la
distancia sería de 459. 7 km, mientras que si fuese a 27° 42min, la distan-cia aumenta a 466. 1 km.
Como la diferencia horaria es por huso, los 360° suponen las 24 horas, es decir, que 360*60 = 21600 min de circunferencia representan 24*60 =
1440' de tiempo. Con lo cual
60*(18.1633-13.4193)
=
60*4.744=
284.64min,y entonces:
284.64*1440=18.976'
21600
Es decir, que hay unos 19 minutos de diferencia entre los dos extremos del archipiélago.
Tercera cuestión:
Si el Almirante hubiese seguido una ruta hacia el oeste, hubiera
desem-barcado en el continente americano, en lo que luego ha sido Florida, pero si se hubiera llevado por la aguja magnética, y la declinación de 14° fuese la misma durante la travesía del Atlántico, habría terminado en las Pequeñas Antillas, en un punto cercano a Barbados.
Las anteriores cuestiones y sus respuestas, adaptadas a cada lugar, a cada entorno de los alumnos, comprobadas sobre planos o en una esfera te-rrestre, pueden ser motivos de actividades en la clase de matemáticas.
para la conmemoración del próximo Día Escolar de las Matemáticas, del que es autor Juan Antonio García Cruz, muestra otras actividades sobre navegación marítima, cálculos de distancias y orientaciones. Recomen-damos su lectura y posterior uso.
Para finalizar, esta vez proponemos dos ejercicios, relacionados entre sí, que tienen que ver con propiedades de los números.
Problema 12
Sea la serie de números: 969, 486, 192, 18, 8. Observa que en ella cada término es el resultado del producto de los dígitos del término anterior. El 969 origina en cuatro pasos el número 8. ¿ Qué número es el menor que en cuatro pasos da como término final 6?
Problema 13
De entre los nombres de los primeros números hay dos que contienen, en conjunto, diez letras diferentes. Éstos se utilizan escritos ordenados uno a continuación del otro, para generar una clave donde cada letra se asocia a una cifra de un número cuadrado perfecto. Su raíz cuadrada es un capicúa, que cifrado es OTATO, ambos números son múltiplos de tres, diecisiete y diecinueve, y son divisibles por ZIZ. Hallar el código.
Y aquí queda todo de momento. Hágannos caso. Escriban mensajes a esta sección y cuenten sus soluciones y experiencias o, si lo prefieren, propongan sus propios problemas. Como siempre, esperamos sus noti-cias a la espera del próximo NÚMEROS.
Club Matemático
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del !ES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife).
