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C u r s o :

Matemática

Material N° 38 - E

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 38

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Y VOLÚMENES

1. Dada la recta de ecuación vectorial r() = (2 + 3, 4 – 2), ¿cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la recta?

I) (4, 8) II) (11, -2) III) (5, 2)

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

2. El vector posición de la recta cuya ecuación vectorial es (-9 + t, 5 + 3t) es

A) (-9, 5) B) (9, 5) C) (9, -5) D) (1, 3) E) (5, -9)

3. Una ecuación para la recta que tiene vector posición (2, 3) y dirección (-2, 5) es

A) r() = (2 + 2, 3 + 5) B) r() = (2 – 2, 3 + 5) C) r() = (2 – 2, 3 – 5) D) r() = (2 – 2, 3 – 5) E) r() = (2 – 2, 5 – 3)

4. Una ecuación para la recta que contiene a los puntos A(3, -5) y B(4, 6) puede ser

(2)

5. La recta cuya ecuación vectorial es r() = (4 + 3, 6 + 2) tiene por ecuaciones paramétricas

A) x = 6 + 2 y = 4 + 3

B) x = 4 + 6 y = 3 + 2

C) x = 4 + 3 y = 6 + 2

D) x = 4 – 3 y = 6 – 2

E) x = 3 + 4 y = 2 + 6

6. La ecuación vectorial de la recta en lR3 _{cuyo vector posición es (3, 4, 5) y el vector} dirección es (-2, 7, -3) es

A) r() = (3 – 2, 4 + 7, 5 + 3) B) r() = (3 + 2, 4 – 7, 5 + 3) C) r() = (3 – 2, 4 + 7, 5 – 3) D) r() = (3 + 2, 4 + 7, 5 + 3) E) r() = (5 + 3, 4 + 5, 3 + 2)

7. ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela con r(t) = (5 + 6t, -t)?

A) m(t) = (25 – 17t, 8 + 7t) B) p() = (15 – 3, 8 + 2) C) v() = 5, 11 + 1

6

_{ } _

 

 

D) g(w) = (5 – w, 1 – 7w) E) h(s) = 5 + s, - s1

6

 

 

 

8. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a r(t) = (3 + 6t, 1 – t)?

A) f() = (3 + , 1 + 6) B) p() = (3 + , 1 – 6) C) v() = (13 +, 1 + 7) D) g() = (4 + , 5 – 1) E) Ninguna de las anteriores

9. Si v(t) = ( 1 + t, 5 – 3t) y m(t) = (6 + 2t, 3 – kt), ¿cuál debe ser el valor de k para que v(t) sea perpendicular a m(t)?

A) 3 B) - 2

(3)

10. Si r(t) = (3 + 5t, -2 – 4t), entonces ¿cuál(es) de las siguientes rectas es (son) paralelas a r(t)?

I) v() = (6 + 10, 1 – 2) II) p() = (-2 – 15, 1 + 12) III) m() = 1 + , 5 4

5

 _ _ _

 

 

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

11. Una ecuación continua para la recta y = 6x + 2, podría ser

A) x 0 = y 2

1 6

 

B) x 2 = y 0

6 -1

 

C) x 0 = y 6

2 3

 

D) x 1 = y 1

2 3

 

E) x + 6 = y + 2

2 1

12. La ecuación cartesiana de la recta con vector posición (3, 5) y vector dirección (-1, 7) es

A) 5x – 3y + 6 = 0 B) 7x + y – 19 = 0 C) 7x + y – 26 = 0 D) x + 7y + 20 = 0

E) Ninguna de las anteriores

13. La ecuación vectorial de la recta en lR3_{, x 2}₌y + 3₌ z 1

3 4 2

  _{corresponde a}

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14. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al rotar el triángulo achurado de la figura 1, en torno a la recta L?. (= 3)

A) 198 cm3 B) 192 cm3 C) 96 cm3 D) 24 cm3 E) 12 cm3

15. Al trasladar un rombo de área 36 cm2_{, sobre uno de sus lados (fig. 2), se obtiene un} cuerpo de superficie 216 cm2_{. Se puede concluir que}

A) Sus aristas son iguales.

B) Sus caras tienen superficies equivalentes.

C) Su volumen tiene el mismo valor numérico que su área. D) Se trasladó 6 cm.

E) Todas ellas

16. Para que el volumen de una esfera sea igual a 6

 _cm3_{, es necesario que el radio}

de dicha esfera mida

A) 1 B) 1

2 C) 1 3 D) 2 3 E) 3 2

17. Si el contenido de un cilindro circular recto con un volumen de 175 cm3_{, se vacía en un} cono recto de base circular de radio y altura iguales a la del cilindro (fig. 3), entonces ¿cuál es la cantidad de líquido queno se alcanza a traspasar?

A) 1 3 cm3 B) 175

3 cm3 C) 175

3

 _cm3

D) 350 3 cm3 E) 350

3



cm3

fig. 3 fig. 1

L 4 cm

6 cm

(5)

18. La esfera que se muestra en la figura 4, tiene diámetro 10 cm y se le realiza un corte transversal formando un círculo de diámetro AB , el cual dista 3 cm del centro de la esfera, el volumen del cono recto de diámetro AB es

A) 16

B) 24

C) 32

D) 36

E) 48

19. ¿Cuál es el área y el volumen de un cilindro (fig. 5), en función de la altura (h), si la medida del radio corresponde a un cuarto de la medida de la altura?

Área Volumen

A) h2 1 + 1

2 4        3 h 8 

B) h2 1 + 1

2 4        3 h 16 

C) h2 1 + 1

2 2        3 h 16 

D) h2 1 + 1

4 2        2 h 8 

E) h2 1 + 1

4 4        2 h 16 

20. En la figura 6, el volumen de la pirámide es 20a2

3 cm3y el perímetro de su base cuadrada es 8a cm. ¿Cuál es la longitud de la altura de dicha pirámide?

A) 5 4 cm B) 2 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 10 cm

21. En la figura 7, al cilindro de radio 10 cm y de largo 30 cm, se le ha hecho un orificio en el centro del cilindro con un diámetro de 18 cm, en toda su extensión. ¿Cuál es el volumen del cuerpo cilíndrico resultante?

A) 98cm3 B) 570 cm3 C) 702 cm3 D) 800 cm3 E) 1.502cm3

(6)

22. En la figura 8, la pirámide está inscrita en el hexaedro regular de arista 4 cm, el valor de la diagonal AB es

A) 6 2 cm B) 2 6 cm C) 4 cm D) 2 5 cm E) 24 cm

23. Si se rota un triángulo rectángulo en torno al cateto de 4 cm de longitud, ¿cuál es la generatriz (g) y el área del cuerpo generado, si el otro cateto del triángulo mide 3 cm?

Generatriz Área A) 5 cm 27cm2 B) 5 cm 24cm2 C) 4 cm 24cm2 D) 4 cm 12cm2 E) 3 cm 12cm2

24. ¿Cuál es el área y perímetro del triángulo achurado que se forma en el paralelepípedo que muestra la figura 9?

Área Perímetro A) 5 cm2 _{5 + 26 cm} B) 5 cm2 _{6 + 26 cm} C) 2,5 cm2 _{5 + 26 cm} D) 2,5 cm2 _{6 + 26 cm} E) 5 + 26 cm2 _{12 cm}

25. Los puntos A, B, C y D de la figura 10, son los vértices de un cuadrado. Si ABCD se traslada según el vector (0, 0, 5), entonces el volumen del cuerpo que se generó por dicha traslación es

A) 13 cm3 B) 40 cm3 C) 56 cm3 D) 80 cm3 E) 112 cm3

fig. 8 Z

X

Y

A B

fig. 9

4 cm 3 cm

1 cm

fig. 10

1

1 ₂

2

3 3

4

4 5

5 6 1

2 3 4 5 6 7

7 x

y z

D A

C B

cm

(7)

26. A un cilindro se le inscribe un cono y una esfera como se muestra en la figura 11, ¿en qué razón están los volúmenes de estos cuerpos?

A) 1 : 2: 4 B) 4 : 3 : 1 C) 3 : 4 : 2 D) 5 : 3 : 2 E) 3 : 2 : 1

27. Sea p(t) = (4 + 3t, 2 – t) y v(f) = (2 – kf, 3 – 2f), se puede determinar el valor dek, si:

(1) El punto (10, 0) pertenece a la recta p(t). (2) La recta p(t) es paralela a la recta v(f).

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

28. Se puede conocer el vector dirección de una recta si se conoce:

(1) Dos puntos por donde pasa la recta. (2) La ecuación cartesiana de la recta.

29. En la figura 12, se muestra una pirámide inscrita en un cubo. Se puede determinar el volumen del cubo, si:

(1) El volumen de la pirámide es 5 3 .

(2) El volumen del cubo es equivalente a tres pirámides inscritas.

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E)Se requiere información adicional

(8)

30. Del prisma de la figura 13, formado por un cuadrado CDEF y un triángulo rectángulo ADC como base, se puede conocer el ángulo , si:

(1) 2 AD = AC (2) ABC equilátero.

A) (1) por si sola B) (2) por si sola

RESPUESTAS

DMCAMA38-E

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fig. 13



A D B E

C F