Laboratorio de Matemáticas II : problemas técnicos y con aplicaciones a distintas ramas

LABORATORIO DE MATEMATICAS H

^

PROBLEMAS TECNICOS Y CON

APLICACIONES A DISTINTAS R A M A S

COLEGIO DE MATEMATICAS

L i c . M a r g a r i t a G o n z á l e z G.

L i c . O r a l i a F l o r e s de la C.

1 0 2 0 1 1 1 5 1 2

ACTIVIDADES Y LABORATORIOS DE MATEMATICAS I I

INTRODUCCION:

Las m a t e m á t i c a s como c i e n c i a s b á s i c a s y en p a r t i c u l a r e l C a l c u l o l e p r o p o r c i o n a r á los r e c u r s o s n e c e s a r i o s p a r a l a comprensión y -e v a l u a c i ó n d-e d i f -e r -e n t -e s probl-emas d-e l a i n v -e s t i g a c i ó n B i o l o g f c a

El a l u i m o a l t e r m i n a r e l c u r s o a p l i c a r á a l g u n a s t é c n i c a s del Cal c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l p a r a e l a n á l i s i s d e l c o m p o r t a m i e n t o de f u n c i o n e s a l g e b r á i c a s y t r a s c e n d e n t a l e s asi* como en l a s o l u -x i ó n de a l g u n o s problemas r e l a c i o n a d o s con l a B i o l o g í a .

El alumno a l t e r m i n a r e l c u r s o :

A p l i c a r á los conceptos de las f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s en l a — s o l u c i ó n de p r o b l e m a s .

E s t a b l e c e r á la r e l a c i ó n e n t r e los s i s t e m a s de c o o r d e n a d a s , c a r t e s i a n a s y p o l a r e s .

I d e n t i f i c a r á los d i f e r e n t e s t i p o s de f u n c i o n e s a p a r t i r de su -e x p r -e s i ó n m a t -e m á t i c a s y su r -e p r -e s -e n t a c i ó n g r á f i c a .

C a l c u l a r á e l 1 f m i t e de d i f e r e n t e s t i p o s de f u n c i o n e s y a n a l i z a r á l a c a n t i d a d de las mismas en un punto dado.

I n t e r p r e t a r á g r á f i c a m e n t e e l c o n c e p t o de d e r i v a d a de una f u n c i ó n y además l a c a l c u l a r á .

A p l i c a r á e l concepto de d e r i v a d a de una f u n c i ó n p a r a l a d e t e r m i -n a c i ó -n de los v a l o r e s máximos y mí-nimos r e l a t i v o s de u-n f i -n c i ó -n .

7 fM\T 0 « r i

OBJETIVO DEL CURSO:

ACTIVIDADES:

(H SA'f !«£3V ¡W; O<WCS

MATEMATICAS I I TEMA : No. I

INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA

<

OBJETIVO:

Al t e r m i n a r e l tema, e l alumno a p l i c a r á los conceptos de las f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s en la s o l u c i ó n de p r o b l e m a s .

ACTIVIDADES:

1 . - Memor i z a r a l a s 6 f u n c i o n e s t r i gonométi cas . A

2 . C a l c u l a r á e l v a l o r de l a s demás f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s , dada -una de e1 l a s ,

3 . - S i n usar t a b l a s t r i g o n o m é t r i c a s ( n i c a l c u l a d o r a ) , c a l c u l a r á e l va_ l o r de f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s p a r a :

30°,

k5° 60°

0? 90°, 270°, 360°

3 0 ° + £ J L 6 0 + J ? f _ . ^ o + 2 | L ; donde

N - 0 , 1, 2 , 3 ,

1*.- Demostrará algunas i d e n t i d a d e s t r i g o n o m é t r i c a s .

E x p l i c a r á los pasos p a r é l a d e m o s t r a c i ó n de l a Ley de l o s Senos y Cosenos.

6 . - R e s o l v e r á t r i á n g u l o s no r e c t á n g u l o s , a p l i c a n d o l a Ley de l o s Senos y Cosenos.

7 . - A p l i c a r á los conceptos t e o r i c o s a l a s o l u c i ó n de problemas re l a c i o nados co l a B i o l o g f a y o t r a s ramas.

^TEMATICAS I I

TEMA INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA

LABORATORIO

I . - Dada una f u n c i ó n t r i g n o m é t r i c a , h a l l a r e l v a l o r de las demás, usando l a s d e f i n i c i o n e s p a r a á n g u l o s en g e n e r a l .

a ) S m H = . j L O H ^ - i L e) A =

7

5 ' ' 3 ' ? í . H

L ) e

. s c A - - J T O r ) d o s

A

- - 3

\ n r

3 V W

I I . - S i n usar t a b l a s , dar los v a l o r e s de las f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s p a r a los s i g u i e n t e s á n g u l o s .

a )

s?o°

g . ) - 3 3 0 ° 9 »

'

I ) * *

^

'

I I I . - Demostrar las s i g u i e n t e s i d e n t i d a d e s t r i g o n o m é t r i c a s

i ) ( ( L o s e ) ( a s c . e ) C ^ 6 ) = . 1

i) Son tc.se CX) + ^ = V

+ t o s

^

_

i

2

( U a * O )

1 V (Los ( * . ) l - (Los w

4) (LoA - W x

=

dos x r

5) S o A - X

í

k _ j

I + d o s -X 4- C.0S 3L% ^

^ ^ a - * . _

í

e o .

N

2ÜD

ye

- i a i i i L

1 - San X

l o s x

dos ?c

1 1 S a a X

= 0

q) = 1 f d o s X

( L s c . x - x

1 - w - x

1 v . - R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s t r i a n g u l o s

zr

il

b ) i . q s A = ^ 3 °

0 a = ?

d = 2 - 3 a - U

d _ 1 . 2 .

a = . 3 5 t = . 3 6

a =

i.

a = 3 1

6 =

(L = i ?

(L

-A

6 , 5 a 0

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

S e n X = 1

( ¡ s e . r

d o s * = _ i

SC-C. "X

• U * SC-Q.

₌

C . 0 5 X

k

* -

-0 dos

"X-(L03X

V

S

J)

o

H* I

- O

- A

X - l - jO

s a n ( * - s a n X d o s y + Q m X s a n Y .

s a n ( 9 c - V ) = s a n x e o s y - a o s x $ < ¿ n y .

(LOS ( x + Y Ì ^ ( ¡ o s * C o s ^ - s a r \ x s e n y .

d o s ( x - y ) - GOS X d o s c ^ s a n x s a n y .

( I O S I X

-= . i s a n X ( i o s X

d o s 1 a - s a n ^ ^

=

2 ( ¡ o s

X - 1

=

1

-

2 s a n

- X

d e . l o s ( L ó s a n o s

d o s K

ax + c .x- 2 - a a d o s 6

e - < x a+ t > l i a f c > d o s 0

-L a ^ ( i t - l o s s a n O S

s a r i A &

a (L

s t r v s a r v

b

¿

_

2 x ¿oD + y

zob i

p d s

= *)

n

32 x _ y

m x noz = (V -x)n

t \ ns>¿

- y

203 X-

209

=r

l'v+x)

2 X m>¿ i n 205 X 203 (Y - x )

-V 4 . — » •

X — >c ^<35 X . V z :

e o a s

a

3

J

>1 jJb

O A

MZ

MATEMATICAS I I

TEMA : INTRODUCCION A LAS COORDENADAS POLARES

TEMA I I

OBJETIVO:

A l t e r m i n a r e l tema e l a l u m n o s e r á c a p a z de e s t a b l e c e r l a r e l a c . o n

e n t r e e l s i s t e m a de c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r y p o l a r .

A C T I V I DADES:

1 . - D i s t i n g u i r e n q u e s i s t e m a e s t á r e p r e s e n t a n d o u n p u n t o

2 . D e d u c i r á l a s e c u a c i o n e s que r e l a c i o n a n e l s i s t e m a r e c t a n g u l a r

-( c a r t e s i a n o ) y p o l a r

3 . - T r a n s f o r m a r a un p u n t o d e l s i s t e m a r e c t a n g u l a r p o l a r

1».- T rans f o r m a r a un p u n t o d e l s i s t e m a p o l a r a l r e c t a n g u l a r

5. - A p l i c a r á l o s a c e p t o s t e o r i eos a l a s o l u c i ó n de p r o b l e m a s r e í a

:0V I T318 Ö

'6Í9T B:f T 9 3 9 Í d 6 3 í 9 9b seqsS i 98 o - h i v j l f ' s tV 9 3 [ 9 ' 6 H » n n © j !A

.Tß'ioq y i B i U p n e i o ö T g&bßnsbi joo 90 6RT93a¡s Í 9 9*1 i n s

: Z 3GAQ i V I TOA

oJnuq Piu o b n e í n s a ^ q s i e i s s e m g i a i s aup ng v l u $ n i j * I O - . 1 iif>n6iD9T 6Tl9J2;!e .1 9 rtBTIO i 36 Í 91 9up e 9 n 0 Í 9 « ü 0 9 2 6 Í 61 'HKibsO - . £

TG Í Oq Y ( OOS ¡ ) "íeíoq ß m g i a i a f 9b oJnuq nu &T6rmo^ s n e t T

i £ l u g r i 6 í 0 9 i le í s f o q B m g í e i e I 9b o'imuo nu s t s m i o } i n e - T esmaí doi q ~¡t- n o i x i í o e sí e, eoo h o 9 í . .ítjgonoo ;r &iß._ í qA - 5

- b

MATEMATICAS I I

TEMA I I

INTRODUCCION A LAS COORDENADAS POLARES

LABORATORIO

I . - G r a f i c a r á l o s s i g u i e n t e s p u n t o s y t r a n s f o r m a r l o s a s u f o r m a p o l a r c o r r e s p o n d i e n t e

( d a r p o r l o menos 2 r e p r e s e n t a c i o n e s p o l a r e s de cada uno de e l l o s )

1)

5 ) p ( o

,5)

4 ) p r j

I I . - G r a f i c a r á e l p u n t o dado y t r a n s f o

5) PC^-V)

é) p ( f j r 1 )

y ) P ( 3 1 ^ , 0 )

P [vílfVfo)

a r l o a su f o r m a r e c t a n g u l a r c o r r e s p o n d i e n t e

i) P (H fx 1

l ) P (1,1?°°)

3 ) H t , 1 5 0 ° )

4) P í ^ r ' ^

5)

P

! l AMBÌ DO 3 2AJ A MQIODUGOflTWI

0lfl0TAfl06A.i

jf»9 ibnoc>: 1ÒD i s l o q fiffiioì Jè s 2 o ( - ! S T n o ^ a n 6 T i y e o i n u q ? 9 J 0 9 t u D i 2 ao> SD 1^6*10 - . 1

( ? o f f 9 sb onu s b 6 3 9b ? 9 i b : o a 9 n o Í D 6 í r t » 8 9 n q 9 i S sonsm o f i o q i s b j

U -

t v ) ^ ( è

K i u ì s

l ^ x q te

( 8 - , I V 8 ) 9

q

s : ne-. ì b n o q e s n o o i B ( u p n s í D 9 ^ S f i l o1 U2 6 o f n . e r m o ' t a n s i 3 y obsb o í n u q l

{z

^ « - n T ì ^ <\ (a

^ (8

TRlGOM'OHE-tRl/Y COROENADAS POLARES 7

-1 . - Uo hombre de 6 p i e s , p r o y w c t a una sombra de 4 p i e s . E n c u e n t r e l a t a n g e n t e

d e l á n g u l o que f o r m a n los r a y o s d e l s o l con l a h o r i z o n t a l .

2 Se usa un a l a m b r e de 30 p i e s de l o n g i t u d p a r a a m a r r a r una a s t a de b a n d e r a .

Si e l a l a m b r e e s t á a t a d o a l a s t a a 25 p i e s s o b r e e l n i v e l d e l s u e l o .

¿ Cuál es e l c o n s e n s o d e l á n g u l o f o r m a d o p o r e l amabre con e l s u e l o ?

3 . - Un hombre s o b r e un a c a n t i l a d o de 225 m. m i r a h a c i a a b a j o un b o t e de menos

que se sabe e s t á a 75 m. de la base d e l a c a n t i l a d o . ¿ c u á l es e l seno d e l

á n g u l o de d e p r e s i ó n ? ( El á n g u l o de d e p r e s i ó n se d e f i n e como e l á n g u l o en

t r e l a h o r i z o n t a l y l a 1 f n e a de o b s e r v a c i ó n , c u a n d o ve un o b j e t o h a c i a —

a b a j o ) .

k . - Va a i n c l i n a r s e un p a n e l s o l a r ( como se m u e s t r a en l a f i g u r a ) de modo que

e l á n g u l o 0 = 100 ° c u a n d o e l á n g u l o de e l e v a c i ó n d e l s o l sea de 2 7 °

E n c u e n t r e h , s i l a l o n g i t u d d e l p a n e l es 6 . 4 m.

¿«A

5 . - En un p u e n t e de a c e r o , una p a r t e d e l armazón es de la f o r m a de un t r i á n g u l o

í s c o c e l e s como l a m u e s t r a l a f i g u r a . ¿ Con que á n g u l o se j u n t a n los l a d o s

-d e l a r m a z ó n .

iIHutn jrrniixtTirn

t^mN***® rnt

9i.n! s l ^ M o o n ? . a e i q A 3b STdnoa ¿ w a í ^ o i q . . a s i q ¿ 9b 9-,dmori nU - . í

. t s f f T G S . H o r i 6 ' ff» f 9 b 2 0 1 nenno^ sup o p u g n e í eb

u * „ r,^ í a o - i r - fí> ^ 9 1 d m s 1 6 (TU 6 2 U 9 8 ^

-6Í26- snu: 1 »-*» I « * ® DU-3 V • • • i- 2-' •

l » * í a b í * , ¡ n í 9 andoa a s i q 5S. s s í a s U ob6-..s r s . d m s l s fe. ¡3

£ f » n e3 s i d s m s I 9 n o q o b s r r r K * M t :ns- I f * as l l u O i

r * f l * nu o r a d * s i r r s r i « * * » * * eb o b s í U n e o s nu s.cioa eidmori nü t

e Í 9 3 9 t G U O ¿ , o b " 6 1 i j n tífOfc 1 - 3 9 2 6 . - . & e b ¿ 5 5 9 1' '

a s ( 9 OITIOO « t i l * 9 a , 5 i a e ~ q s b . e b o * í J - ^ : 9 b 9 b o l u g n s

ri o í s i d o na ev ooneuD , no j b e v T e a d o 9b. .en i f ;»> • ' ° •

. ( O ; 6 0 6

¡•3b ( B i u g i l Si o©= w se orneo i s ' o a e n « : ~u e? ' s " " 'f

^S 9b 69a l o a í a t n o ¡ o s v 9 Í 9 sb o: u > ¡ 3 ot nsuo - •> - * ¿

.m a9 l e n c a Í9b b u í i p n o l e l ¡2 ,rt e t J n e u o n B

u g nfa 1 1 j

2 0 bs f ¿ o í n e i n u l s¿ o í u

-s( s t a .) nos ^ m B I sb - m s q s n u

6 . - En un l o t e t r i a n g u l a r ABC, l a e s t a c a que marcaba l a e s q u i n a C, se ha p e r d i d o

c o n s u l t a n d o sus e s c r i t u r a s l a dueña e n c u e n t r a que AB = 80 p i e s , BC - 50 p i e s

y CA = 40 p i e s , ¿ con que á n g u l o d e b e r á t i r a r una l i n e a de modo que r e c o r r i e n

do 40 p i e s a l a l a r g o de e s t a 1 m e a pueda e l l a l o c a l i z a r l a e s q u i n a C .?

7 . - Un b a r c o es r a s t r e a d o p o r dos e s t a c i o n e s de r a d i o A y B que e s t á n en l f n e a

n o r t e - s u r y d i s t a n t e s una de o t r a 6500 m. La e s t a c i ó n A l o l o c a l i z a en —

l a d i r e c c i ó n N-E 3 4 ° y l a B l o l o c a l i z a e n l a d i r e c c i ó n N-E 4 8 ° i A que d i s t a n

c í a e s t á e l b a r c o de l a e s t a c i ó n B ?

8 . - Una pesa es a t a d a a dos p o s t e s v e r t i c a l e s como se m u e s t r a en l a f i g u r a .

¿ Que t a n l e j o s d e l p o s t e de l a i z q u i e r d a e s t á l a p e s a . Si 9 = 41 °y 0 = 75°

s í £ tecnfcrfi sup 60Bi

¡A 9UP 6T ÍHSUDflí) 6 ñ '

íf & n i b i í J 6 i 9 d -b

S D O f 6 « Í 9 S b 3 u q 6 9 f

6 1 J o A T & t t í & l

of A n

Bli 3 - H 6S I

T

OD *) S i

9 - j o l f . i 3

o b n f i í f u anoo

q »s AO v

291 q

IO

ID I 7 6 I ni

y0, i - e

I 9V

ups • .0 i

II

_is

/

Una a b e j a e x p l o r a d o r a d e s c u b r e m i a l a l m e d i o d í a

l a m i e l e s t a s i t u a d a a 850 m. a l e s t e y 1200 m. a l s u r de l a c o l m e n a

¿ Qué c o o r d e n a d a s p o l a r e s s e ñ a l a r á l a a b e j a ? .

C o n s i d e r a m o s un e x p e r i m e n t o s o b r e o r i e n t a c i ó n y n a v e g a c i ó n , en q u e

-f u e r o n s o l t a d a s a l g u n a s p a l o m a s a 11 km. de s u p a l o m a r . Si c o n s i d e r a mos e l p a l o m a r como c e n t r o de un s i s t e m a de c o o r d e n a d a s p o l a r e s , e l

p u n t o de s u l e t a t i e n e un a z i m u t de 2 4 ° ( a z i m u t : á n g u l o m e d i o en l a

d i r e c c i ó n de l a s a g u j a s de un r e l o j desde l a d i r e c c i ó n n o r t e a l p u n

-t o de s u e 1 -t a ) .

¿ A c u a n t o s k i l ó m e t r o s a l s u r y a l o e s t e d e l p a l o m a r e s t á e l p u n t o

-de s u e l t a ?

D u r a n t e l a é p o c a húmeda se e n c u e n t r a una f i n a capa de agua s o b r e l a s

h o j a s c a í d a s y o t r a de l e c h e s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l s u e l o . En e s t a s

p e l i c u l a s f l o t a n M e t e r í a s , p r o t o z o o s , h o n g o s y e s p o r a s sob.re l o s n i

v e l e s s u p e r i o r e s ( B a n d o n i y K o s t e r , 197*+ ) Sí e l á n g u l o de i n c l i n a

-c i ó n e s de 3 0 ° y l a d i s t a n -c i a q u e s e mueve h a -c i a a r r i b a , d en 5 -cm.

6 i bo ibsrn I 6

fon a-

loo

f

-'

11 1 :

• '

- -Mp 'tí , r { i o« 9V Bl .-6

¿ i '• ~no: i 3 . - er j - ..

ua sí •

- i > , r -: : OC - " . 2 T . O".' oír •

- s í na oib9m o l u p n 6 : l u m ¡ s s

- no q í 6 f i o • do a i e l v o

- • m - j q ' '-> fots9 foffioleq ! ->b 5.-2

S Í 3 \ ÍOr F'L- £ 'vb '>q; ' i

• S 3 2 3 J 1 •• • a '. - ; i • f

ín ?.o 9Tjdo2 ¿BToqes y a c o r a r , - t n i í o i si ' ' ' ' .

-tío 3 b e6 d n i s e ' 3 6 ¡ i >v j m a

X' . ifoO s o l TOO O!" ...->; .

MATEMATICAS I I

TEMA No. M I

GRAFICAS DE FUNCIONES

0 B J E T , V 0 : A 1 t e r m l n a r e l t e m a e l alumno s e r á c a p a z de d i s t i n g u i r l o s d i f e r e n t e s

t i p o s de f u n c i o n e s a p a r t i r de su e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a y de sus r e p r e

s e n t a c i o n g r á f i c a .

ACT IVI DA DES:

1 . - D e f i n i r á e l c o n c e p t o de f u n c i ó n

2 . - I d e n t i f i c a r á f u n c i o n e s de l o . , 2 o . , y 3 e r . g r a d o

3 . - G r a f i c a r á f u n c i o n e s de p r i m e r o , s e g u n d o y t e r c e r g r a d o .

i , . . I d e n t i f i c a r á f u n c h e s t r i t r i c a s ( s e n o y coseno ) , l o g a r i t m i

cas y e x p o n e n c i a l e s .

5 . . G r a f i c a r á f u n c i o n e s t r i g o n o n é t r i cas ( s e n o y c o s e n o ) , l o g r a r i t

-m i c a s y e x p o n e n c i a l e s .

6 . A p l i c a r á l o s c o n c e p t o s t e o r i eos a l a s o l u c i ó n de p r o b l e m a s r e l a

n i

'MATEMATICAS I I

TEMA I I I

GRAFICAS DE FUNCIONES

LABORATORIO

I . - G r a f i c a r l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s

i ? ) b z é x 2

3-) Y ^ - S J T . H h x - S L

3) V - X ^ - ó *

i ) Y = i - dos (í-xl

5) Y =. 3LX-3

^ ^ = X 3 +

<?) - 4 5 c r \ ( ^ S r )

8) - + 1

q) i X Cs-x)

ta) ^ - 6 dos ( i y )

I I ) b = £

' 3 j ü = J ^ x

M ^ ^

GRAFICA DE FUNCIONES

1 . - Un p o l u c i n a n t e i m p o r t a n t e p r o d u c i d o a l q u e m a r c o m b u s t i b l e f ó s i l e s es e l

D i x i d o s u l f u r o s o ( SO2). Una i n v e s t i g a c i ó n en O s l o , N o r u e g a , m o s t r ó que

e l número N de m u e s t r a s p o r semana, es una f u n c i ó n l i n e a l de l a conse_n

t r a c i ó n m e d i a C de SO2 media un Mg/m^

La f u n c i ó n e m p f n i c a es : N = Sk + ( 0 . 0 3 3 1 ) C

El d o m i n i o e s : j C/ kOO C 700 }

2 . Los b i o l ó g o s han b a i l a d o que l a v e l o c i d a d de la s a n g r e en una a r t e r i a

-es una f u n c i ó n de l a d i s t a n c i a de l a s a n g r e a l e j e c e n t r a l de l a a r t e r i a .

De a c u e r d o con l a Ley de P o i s e v i l l e , l a v e l o c i d a d ( en cm, p o r segundos )

de l a s a n g r e e s t á a r c e n t í m e t r o s d e l e j e c e n t r a l de una a r t e r i a v i e n e

-dada p o r l a f u n c i ó n v ( r ) = C ( R2 - r2 ) donde C es una c o n s t a n t e y R

e s e l r a d i o de la a r t e r i a . Supongamos que p a r a una c i e r t a a r t e r i a C=1.7é x

105 cm. y R = 1.2 x 1 0 "2 cm.

a) C a l c u l e l a v e l o c i d a d de l a s a n g r e en e l e j e c e n t r a l de e s t a a r t e r i a

b) Dar l a r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a de l a f u n c i ó n .

3 . - El número de b a c t e r i a s p r e s e n t e s en un c u l t i v o es un t i e m p o t e s t á dada

p o r Y = 2 £ 3 t

a) ¿ Cuál es e l número de b a c t e r i a s en 3 h o r a s ?

b) R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e l a r e l a c i ó n e n t r e e l t i e m p o t y e l número de

-b a c t e r i a s en e l i n t e r v a l o de 0 a 7 h o r a s .

k El e s p e r m a t o z o i d e c o n s i s t e en una cabeza y un t a l l e c i l i n d r i c o . Si asuminos

que s u m o v i m i e n t o e s un un p l a n o , e n t o n c e s en c u a l q u i e r t i e m p o t e l t a l l e

-toma l a f o r m a de una onda s i n u s o i d a l l l a m a d a onda de d e s p l a z a m i e n t o i n a t e r a l

En un t i e m p o dado t e l p u n t o ( x , y ) en e l t a l l e e s t á n d e s c r i t o s p o r l a

-e c u a c i ón .

Y = a sen K ( x + c t ) donde a , k , y c

son c o n s t a n t e s . U n a f u n c i ó n de l a p o s i c i ó n x h o r i z o n t a l y d e l t i e m p o t .

Supongamos que cuando han t r a n s c u r r i d o 30 m i n u t o s l a f u n c i ó n de p o s i c i ó n toma

l a f o r m a d e : Y = 3 « e n ( X + Tí/3 )

G r a f i q u e d i c h a f u n c i ó n tomando X «orno á n g u l o .

5 . La febsorción t o t a l ( X u n i d a d e s c ú b i c a s ) de c i e r t o gas p o r o t r o c o n p u e s t o

-q u í m i c o v a r i ó con e l t i e m p o ( t u n i d a d e s ) según l a s i g u i e n t e t a b l a

X 0 1

2

Y 0 3 12 26

a) C o l o c a r l o s d a t o s de l a g r á f i c a en una t a b l a

¡Afl a

s t d i J a u c k n o :

9 t H O ^ . ) í V

93 neo

no» ">er . '

n a - : : ^ t t e. ? TOO

trn\ >• -J f, 'b '

r Jo*4 6T í onu^ fi. O 1G 9316 ,'íL 3D

163 so

.93

6 3a

UC

2 a l 9b bi

iflUT 6 í 63 i -te- no

•••

V

2G I I 9 J Ji

3 0 9 n o t o e I 91 6 í

r _ . , , ,

V .no

_ r o q

20f!

f 6 1 9 3 6 1 1

i b n o q m

:29b 11D 2

6 3 fU

i

>0 9

ti9 13 nu

- . r

. • x r •-•••" -v Y 1 ^

..: n c i i o i a o q 9 b n o i o n u ^ e

6 f 9b no i dnu") s riU . 2 9

o.' T'O.. O l i o l o q 26(5 0 - 1 9 i

s i de 3 9? 09 l u p i a e í riu-e i nu

& -.163 enu •

29Í detf l e i aob as! Jos o o í d l i i- s

6 . - Suponga t h o r a s después de l a m e d i n o c h e l a t e m p e r a t u r a en Mi ami e r a de

2

C ( t ) - - 1 / 6 + 4 t + 1 0 g r a d o s c e l s i u s .

a) ¿ Cuál es l a t e m p e r a t u r a a l a s 2 . 0 0 P . M .

b) C u a n t o c r e c i ó " o d e c r e c i ó l a t e m p e r a t u r a e n t r e l a s 6 : 0 0 y l a s 9 : 0 0 P . M .

MATEMATICAS I I

TEMA IV

LIMITES Y CONTINUIDAD

OBJETIVO:

A l t e r m i n a r e l tema e l alumno c a l c u l a r á e l l i m i t e de d i f e r e n t e s

t i p o s de f u n c i o n e s y d e m o s t r a r á s i son c o n t i n u a s o no en un pur^

t o d a d o . ACTIVIDADES:

1 . - I n t e r p r e t a r á g e o m é t r i c a m e n t e e l l í m i t e de una f u n c i ó n

2 . - C a l c u l a r á , usando l o s t e o r e m a s r e s p e c t i v o s , e l l í m i t e de fun_

c i o n e s a l g e b r a i c a s y t r i gonome't r i cas

3 . C a l c u l a r á usando l o s t e o r e m a s l o s l í m i t e s i n f i n i t o s y l o s

-1ími t e s a 1 i n f i n i t o .

k . - D e f i n i r á e l c o n c e p t o de c o n t i n u i d a d

5 . - I n t e r p r e t a r á eñ c o n c e p t o de c o n t i n u i d a d

I 2A3ITAM3T

V ! Art

: 0 V I T 3 L

ns-vs^'b sb 9 í i n i f ?9 © i s I u d í b o o n m u l e t é &msí l a ne.nimt9J

••w n 9 o.'j o í--sun no.-) no 2 i e s i e " ! i e o w Y 3 9 no i O flL t sb 20 G I 3

• • - • . . ' • : 230Aü I"

n o i D n u V & n u sb s í i m l l I s 9ínamso n i s m o g g 6T6:J9n qt s í n 1 - . 1

jfc ir Ti í 9 • 2C-• j j S' 2S 25 SI 0 9 Í ¿ "•> I Obfl6 -: J ,&1e.ÍUC

260 l u V i f i o n o e ' n i Y 263 i s i d s g í s ? o •

•o i y a o í i n i ^ n i ifn"í í a o í a s m s i o s J a o l o b n 6 2 ü i n e l u o l s D " . C , o 3 i n i > n i I 6 1: r'

-Dsb u n t j n o o sb oíq9D-¡oo s i ^ s C - . ¿

• • i :•• i • r -. • e" ' <-• -o ico "u- • >'• ¡ ¡

•o i> !ra;q tv.. -.9 , o i c s u n i j r ) es «o¡:> "i,7- ?- v • o í . ' ¿

\

MATEMATICAS I I

TEMA . IV

L I M I T E S Y CONTINUL DAD

LABORATORI 0

I - E n c o n t r a r l o s l í m i t e s de l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s

a ) 1 i r r \

3 )

7- -yo

4] U'rr\

5)

g ) V i « *

"X—>0

9) ^

q") \ 1

" X - ? 0

10) -Krpk

3 ?C3 + X x 2

77.

-• X1

^

+

h > v M

V - + 3 X + 1

S o V J >

x

-

A

1 /

+ 3 X - 5

l l ) \ t ' m

•

1 2 . ) \ i r r ,

X — ? 2 - — 1

-l 3

) l i m

' 2

-1 5 ) ^

2AD i

: ••-•i • 1 2

en

)

i

X

O IFLOTAFLO

3noon3

-i r—

í f ^

i ~ ' .

THoV - i ±<

U ( í

x 6 a $ >' o *

i l íi f

n i r !

^ £ m i l / - j

- \ X

r A

A l ) I 0 < C - ;

mil

7

i

-^ I

.

0*

/ T i /

- u t i l i z a r la d i f i n i c i ó n de c o n t i n u i d a d p a r a d e c i r s i l a f u n c i ó n dada es c o n t i n u a o

no en e l p u n t o i n d i c a d o

- , e A "X = - 1

' 2.

C x ) - x = 2 _

3 ) r Cx) = X Z ~ 3 X - H ¡ ) c = - 2.

f ' S i

JJ • s i x - i

y - a .

5» X JL

2

-;

? = 4 :

. - E x p r e s a r l o s v a l o r e s de " X " p a r a l o s cua'les l a f u n c i o n e s dada sea d i s c o n t i n u a

r t ^

-E X

i) T Cx) c 3¿±J^ -i

X + 3 L

í F M

=-¿ f ) F

(•*)

5) F M =•

V

-3 - i o

-Í

i í n o o «9 Bb'fib n ö i o n u ^ s i i a n b e b 6 t & 3 b e b í a n i Jnc:> 9b n o í o i n

( " f Tí;

-X A9 ; \

-c - = K ;

1 = K ; ^ J

j L ^

*

4 t . = >v" f 2 '

MATEMATICAS I I

TEMA V

DERIVADAS

OBJETIVO:

A l t e r m i n a r e l t e m a , e l a l u m n o sera' c a p a z de i n t e r p r e t a r g e o m e t r i c ?

mente e l c o n c e p t o de d e r i v a d a de una f u n c i ó n y c a l c u l a r l a d e r i v a d a

de d i f e r e n t e s t i p o de f u n c i o n e s .

ACTIVIDADES:

1 . - E x p r e s a r á v e r b a l m e n t e e l c o n c e p t o de d e r i v a d a

2 . - R e p r e s e n t a r á g r á f i c a m e n t e e l c o n c e p t o de d e r i v a d a

3 . C a l c u l a r á l a d e r i v a d a de a l g u n a s f u n c i o n e s a l g e b r a i c a s p o r d e f i

-n i c i ó -n .

i » . - C a l c u l a r á p o r l o s t e o r e m a s l a d e r i v a d a de f u n c i o n e s a l g e b r a i c a s ,

t r i g o n o m é t r i c a s , e x p o n e n c i a l e s y l o g a r í t m i c a s .

5 . - D e f i n a e l c o n c e p t o de d e r i v a d a i m p l í c i t a

6 . - D e r i v a r á f u n c i o n e s en l a s aue "Y " i mp 1 i s i tamen t e .

7 D e f i n a e l c o n c e p t o de d i f e r e n c i a l e s

8 . - U l t i l i z a r á l a s f o r m u l a s de d i f e r e n c i a l e s

9 . - D e f i n i r á ' l a a n t i - . d e r i vadas de una f u n c i ó n .

A I O. t C a l c u l a r á l a a n t i d e r i v a d a de una f u n c i ó n usando l a s f o r m u l a s

1 1 . - A p l i c a r á l o s c o n c e p t o s t e o r i c e s a l a s s o l u c i ó n de p r o b l e m a s

d i

-h • 3' • -to • .- C ' 9.-! 1. tà Ci - O Pi S : £.

bsv • *i9b s i * 6 f U3 -rsc y nò i 3nu4 gh l 9b ßbßv n e b so 03 qsoi

. 2 sno ¡o nuì st cq i 3 2

s b 6 v n s b s o o J c t o n o i ( s s."'n s r ' s d i 9 v 6 i 6 2 s - q x 3 - . 1

s o 6 v Ì T 9 r > 9 b c • c ' t o o ! 9 o ' . o s - ' s =¡.H - . S.

D T o q 2 6 3 i 6 1 d S Q I 6 2 9 f l O 13 nu"! 8 6 0 0 :.>. 6 sfc 6 0 BV ! 1 S D 6 - E l s f u ' O f ß O ~ £ . oò i 3 i o

i E « • 2 9 0 0: 3 0 U:t s b s f c s v • 6 2 H 9 0 9 > o f 1 >C - ! U C 1

. 2 6 0 i -, J "ì 1 S [ 3 ' y s f ß i O 9 0 0 q x 9 , 2 6 3 i 1 3 ' O OCO • 3

6 t i a i l . q m i 6 b 6 V Í T 9 b 9 0 o 3 q s o o o o Í 9 6 0 i ^ 9 0 - y <¡

. 9 3 o s n s 3 i 2 i I qrn ¡ " f'1 sijd eef 09 asnoiarurf ¿ i ß v i i a O - . d

2 9 ! S Í 3 0 9 1 9 Ì i b 9 b O Í q 9 3 OOD l 9 6 O i "t 9 0 ~ . V

2 9 Í S i 3 ( 1 9 1 9 ^ i b 9 b 2 6 f U m i O^ 2 6 ( S I 6 S i í ¡ 3 ( U ~ . t

. 0 Ò Ì 3 0 U ^ d O U s b 2 S 0 6 V h 9 b i J Á 6 6 ( 6 1 i O ¡ ^ 9 0 ~ . 8

•?6ÍiJ:--10Í 2 6 ' Obn62L n O Ì C - ' j " : 6 5 H 6 £ í U 3 I 6?. " . O í

a s m ä i d o i q 9b o ó ¡ o u l o 2 esf 6 2 0 3 i i 0 9 3 2o3q93ooo 20* 6 i 6 3 Ì f q A - . f í

26(7161 2 6 H. 3 O y s l p o f o i S 6 Í OOC 2 C D £ OO 06 9 '

MATEMATICAS

TEMA V

DERIVADAS

LABORATORIO

vi

i

F (xi

A

F U) - ^ L ^ + S *

f M

= '

y

x

1

-F W

F tíí

X - x

6

)

p

M x f i r ^ r

F ( * ) - 7

- X

8) F

Cx) ^

D e r i v a r l a s s i g u i e o t e s f u n c i o n e s a p l i c a n d o

I I . - D e r i v a r l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s a p l i c a n d o l o s t e o r e m a s de d e r i v a d a s

!•] F 6c\ ~ _

+

J U

-x

i) F (•*) - - i - + - L . - J L

yVx

l

) F 6 ) = L

->] F 6 c ) = fr-iXfilVxV)

i) F 6c) V

) F Cx)

=

I

¿ V *

1

- t a . )

1

^ F M

a

j ) F M =

li) F M = J Z t L

26b

\J

=

(yd *

X

3

s

\

1

+

Í Ó

£ jT \

V J

\ f

- U r .

- X \

V r .

KZ) s:

f

. s r i . - t

3 r

/5

r

_ ( 6 X - + É X - I

D e r i v a r l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s , e x p o n e n c i a l e s y l o g a r i tmos

, ) F C x ) = S e n ^

t 2-x. z

2.) F ( x ) - e . +

F (.x) •=

4 ) P C x )

-5) F Cx) •=

' ( i ) P C x ) =

? ) F C x ) =

B Ì F C x ) :

^ R x )

\o) F U )

F ( x )

f U )

Un ( S x ^ x - t l )

U i - e < * 7

S e n ( t C a s * > c + 3 ( ^ - x , ) + SU ( ^ x - x ;

^ ( ^ T T ^ )

t a CP"

Jrv { o X

^ H

^ x t l )

13?

e

-13) P C x ) = j U TSer> ( x 1 - ^ ]

F C x ) „ S c c * C x W ) . M * 9 - ^ }

\

JZC

i

+

X i _T

D e r i v a r i mp í c i tarnen t e l a s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s

a.)

-x

4 ) ^ * *

U U S O -

-DERIVADAS 2 2

-Cuando se s i n t e t i z ó una p r o t e í n a en una c é l u l a , l a masa "M" de p r o t e i n a

como f u n c i ó n de t i e m p o a u m e n t ó de a c u e r d o a l a f ó r m u l a .

2

M = p + q t + r t ( donde p , q y r son c o n t a n t e s )

H a l l a r l a r a z ó n ¡ n s t a n t a n e a de r e a c c i ó n como f u n c i ó n de " t " , donde l a

-r e a c c i ó n es l a -r a z ó n con que c a m b i a l a masa.

( u t i l i z a r l a d e f i n i c i ó n de d e r i v a d a como r a z ó n de c a m b i o i n s t a n t a n e a )

Una masa de a i r e f r f o se a p r o x i m o a una u n i v e r s i d a d . La t e m p e r a t u r a es de " t "

g r a d o s /1 t " h o r a s después de l a m e d i a n o c h e , y d i c h a v a r i a b l e s e s t á n r e l a c i o

-nadas m e d i a n t e la s i g u i e n t e f u n c i ó n .

T = 0 . 1 ( 4 0 0 - 40 t + t2 ) t á 12

C a l c u l a r l a r a z ó n ¡ n s t a n t a n e a de c a m b i o de 11 T " con r e s p e c t o a t a " 1 as h o r a s :

a) 0 h o r a s

b ) 5 h o r a s A . r A .

c) 12 h o r a s P . M

Supongamos que una p r o t e i n a ( masa " M " en g r. ) se d i s g r e g a en a m i n o á c i d o s

-s e a ú h l a f o r m u l a : 0

M - i i L + 2

Donde e l t i e m p o e s t á m e d i d o en h o r a s . H a l l a r l a r a z ó n de c a m b i o i n s t a n t á n e a

p a r a un t i e m p o . t = 2 h .

El g a s t o de e n e r g f a de a l g u n o s p á j a r o s a l v o l a r se puede m e d i r . Para e l p e r i -q u i t o a u s t r a l i a n o ( M e l o p i t t a c u s u d u l a t u s ) a l g a s t o de e n e r g í a en C a l . g "

_ i

K m ( c a l o r í a p o r gramo a l a i n v e r s a y p o r k i l o g r a m o s a l a menos uno ) , se

-puede d e s c r i b i r m e d i a n t e la f ó r m u l a :

E =

V | 0 . 0 7 4 ( V - 35 )2 + 22 )

_ i

donde l a " V " es la v e l o c i d a d d e l p á j a r o en Km. h r . ( l a v e l o c i d a d d e l v i e n t o

no se cons i d e r a ) .

Se p r o y e c t a qye d e n t r o de " X " m e s e s , la p o b l a c i ó n de una c i e r t a c i u d a d s e r á :

P ( X ) = 2 x + 4 X3 / 2 + 500

¿ A que r í t m o e s t a r á c a m b i a n d o l a p o b l a c i ó n d e n t r o de 9 meses? (

ZAl&Mtt

t o i c 9b ' W 626m 61 » 6 i ü 1 9 0 snu os sol-sn o í q &ou ó s i í 9 í o i a 9a obnstjO

. s í u r n i M eí e o b i 9 U 3 6 9b o í n w i u * oqrng i í 9b o o b n u1 omoo

( a s í o s í o o o noc 1 y p , q sboob ) Sí i + í p + q - «

', , - 2N I 0 0 S 6 1 6 I 1 £ Í Í & H

I 9bfíob " 9b n o i o n u i omoo 00 0 0 6 9 1 9D 6S06Jna> en i •«

.&asm 6 í. 6 i d m 6 0 sup r o o i d s f c i s í as n o i o o e

nos e l omoo 6 b 6 v i i 9 b sb n o i o i n H s b 6 i t 6 S Í í i i '

-" 1 -" 9b 29 S1U Í619<T19Í oJ . bsb i 3 -"»9V i HU 60U 6 O m Í X O i q f c 92 9T ¡ 6 9b 636m 6nU < - 0 - . 0 6 Í 9 1 n s í 29 2 9 ¡ d 6 h B V 6riO i b Y , 9 d O O O 6 ib9m S Í 9 b 29üq29b a S l O O "t2 0 t 3 6' . 0

. n o i o n u ^ s í n s i u p i a 6 l s í n 6 Í b s r n 2 6 b 6 n

£[ 2t , =t o ( 21 - í 04 - 0 0 4 ) I . O - T

26T o d ? 6 Í " 6 í & o í O 9q 2 noo " T " :3b o i d n e o sb 6 S n © í n 6 Í 3 n i nOSBl 6 1 6 Í U O Í 6 J

a e i o d 0 (e

. M . A 2 o r í 2 ( d

M .9 2S10d Sí (o

, , «iis aa n " m " ) 6 n i s í o i q enu 9üp aom6Dnoque - - 2 o b i o 6 o n i m 6 o s 6 p 9 i p a i b 92 o / ^

: 6 Í u m i O ^ 6 1 f 1 U P S 2

c

JLL.

b s n & J M J t n i o l dmso 9b nos s i s i I S I I B H . a s i orí ns ob ibsm * ; « » oqm9Í 3 í s sbnoG

^ — $ , o q m s i í nu 6 i e c

- i - j q f s 6 1 6 ^ . l i b a n s b s u q 9a i 6 Í o v \ e a o i b [ _ s q a o r u o e sb 6 - 5 1 9 0 9 9b o í a s e (3

% . [ 6 3 09 6 ^ 1 9 0 9 9b O j a s p 16 ( s u í s l u b u a u o s í í i q o O M ) o o B i l s U a u s o í i u p

- sa , ( oou aoosm s f 6 a a m s i e o t i * i o q y 62 n i s í B orr:Sir. l o q s i i o l ' : s i u m e r st s i

or-ss + s( ££ - V ) I K O . O ) ~ ' 3

i i d i 1 oe-.o sbsu'

.10 .mX o s o i e l s q í 9b b e b i o o l s v ef as " V " s f s b o o b ií 09 i V {9b b s b Í O O l 9 V 6 ! )

. ( 6 i 9 b i anoo

b s b u i o B 3 1 9 Í 0 B O U 9 b o ó i o s i d o q 61 < 3 9 3 9 m « X » s b o i í o 9 b 9Yp B í o s y o i q

0 0 $ + S N £X 4 + X S - ( X ) 1

) Í 8 939JI £ 9b o l í 0 9 b o ó i o s f d o i d m B O 6 1 6 í 3 9 o m í l l 9 U p

6 0 9 b o m í i l 6 b 6 V i 1 9 b

23

-6 . - E l tamaño de un c u l t i v o de b a c t e r i a s que c r u c e l e n t a m e n t e e s t á d a d o

a p r o x i m a d a m e n t e p o r :

2

N = No + 5 2 1 + 2 t ( t i e m p o de h o r a s )

H a l l a r l a r a z ó n i n s t a n t a n e a de c r e c i m i e n t o e n :

t = 5 h o r a s .

2h

-MATEMATICAS I I

TEMA : VI

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

OBJETIVO:

A l t e r m i n a r e l t e m a , e l alumno s e r á c a p a z de a p l i c a r l a d e r i v a d a

de una f u n c i ó n , p a r a o b t e n e r l o s máximos y m í n i m o s y p u n t o s de

-i n f l e x -i ó n de una f u n c -i ó n .

A C T I V I DADES:

1 . D e f i n i r e l c o n c e p t o de máximos y mínimos r e l a t i v o a una f u n

-c i ó n .

2 . D e f i n i r e l c o n c e p t o de máximo y m í n i m o a b s o l u t o a una f u n

-c i ó n .

3 . - D e f i n i r e l c o n c e p t o de p u n t o c r i t i c o

k . - E n u n c i a r á e l c r i t e r i o de la p r i m e r a d e r i v a d a

3 . - C a l c u l a r á máximos y m í n i m o s de una f u n c i ó n usando e l c r i t e r i o de

l a p r i m e r a d e r i v a d a .

6 . - E n u n c i a r á e l c r i t e r i o de l a segunda d e r i v a d a

7 . C a l c u l a r á máximos y mínmos de una f u n c i ó n u s a n d o e l c r i t e r i o

-de l a s e g u n d a d e r i v a d a

8 . - A p l i c a r á l o s c o n c e p t o s t e o r i c o s a l a s o l u c i ó n de p r o b l e m a s a p l i c a

Zfi

AQAVIfl 23MO i DAD

Lßm

(Il i f !

1 9 j i TD t 9 obnß

1 n o o j n u q 9b oJqsonoD ! 9 i i n i i

n a m i i q e l 9b o H 9 } i i o f a s i g i o n i

enu 9b eorninlm y aomixsm b t s í u o

13

ebev h a b &bnuQ92 e \ 9b o i i s l i i o Í

au nòionu^ snu 9b eornnìm v eomixß.

"109Í »Ol 6T63

MATEMATICAS I I

TEMA VI APLICACIONES DE LA DERIVADA

LABORATORI 0

I . - E n c o n t r a r l o s p u n t o s donde l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s t e n g a n máximos y m í n i m o s

' ) F U ) í x - x + 3

P ( x ) Z 2.X - 3X2* -f Z

P C x ) r ± ^ _ Z x

3

4 ) P CX) r 5 . X - Z x2" - I b * - l

5 ) P C X ) R I - X4 - ^ * + I

6>) P-Cx) = - t Z x + I

F e x ) = ^ c x - O 2 ,

8 ) P C x ) - + 1 * - ~ I r

^ p c x ) ^

h **

I l 2A3ITAM3TAM

AV IF30 AJ 30 23*K)ï3A3ïJ<B\ IV AM3T

0 l f l 0 T A f l 0 8 A J

2 ó I 9bnob e o i n u q zol ~6$-3no9ffl3 - .1

£ +• x~ "x- = (3Ü q

x J k - or — [ x j -y i

£ . b.

•x - x -L r (ao* (e

-f- JC A f ~t _ - (-O5» (*>

- f j c j q

— Je h j : + ^

f

X sV - JC * % iX r U =f

APLICACION DE LA DERIVADA

1 La Ley de Poi sevi l i e a f i r m a que l a v e l o c i d a d de la sangre que e s t a a r c e n t í m e t r o s del e j e c e n t r a l de una a r t e r i a de r a d i o R e s

s (r) = c ( R 2 . r 2 ) donde C es una c o n s t a n t e p o s i t i v a

Donde es mayor l a v e l o c i d a d de la sangre?

2 . - Un pez nada c o n t r a c o r r i e n t e a una v e l o c i d a d c o n s t a n t e V r e l a t i v a a l a g u a . El agua t i e n e una v e l o c i d a d V , con r e s p e c t o a l l s u e l o . El pez i n t e n t a a l c a n z a r un p u n t o a una d i s t a n c i a S a g u a , a r r i b a . La e n e r g T a r e -q u e r i d a esta' e s e n c i a l m e n t e d e t e r m i n a d a por l a f r i c c i ó n en e l agua y por e l tiempo t n e c e s a r i o p a r a a l c a n z a r e l o b j e t i v o .

Los e x p e r i m e n t o s han demostrado que e s t á e n e r g T a es E = CV t donde C > 0 y K > 2 , son c i e r t a s c o n s t a n t e s ( k depende de l a forma pez ) .

Dados los s i g u i e n t e s d a t o s , que v e l o c i d a d m i n i m i z a la e n e r g í a ?

t = . K = 3 ; v i = 3 . 6 m / s e g .

v - v , 1 '

3 . - Una p u l g a que s a l t a en d i r e c c i ó n v e r t i c a l a l c a n z a l a s i g u i e n t e a l t u r a h (en metros ) como f u n c i ó n del tiempo t ( en s e g . )

h - ( V» ) t - ( 4 . 9 ) t2

H a l l a r l a v e l o c i d a d en e l tiempo t - o y l a máxima a l t u r a a l c a n z a d a . 4 . - En una r e a c c i ó n a u t o c a t a l i t i c a , una s u s t a n c i a se c o n v i e r t e en o t r a nueva

s u s t a n c i a llamada p r o d u c t o , de modo que e l p r o d u c t o c a t a l i z a su p r o p i a -f o r m a c i ó n . Supongamos que la r e a c c i ó n d es p r o p o r c i o n a l a l a c a n t i d a d X del p r o d u c t o en e l tiempo t , y también p r o p o r c i o n a l a l a c a n t i d a d t o d a v f a u t i l i z a b l e de l a s u s t a n c i a o r i g i n a l .

Si a d e n o t a la c a n t i d a d o r i g i n a l de la s u s t a n c i a decrece a - x en e l t i e m po t . por t a n t o .

d x _ k x ( a = x ) ( K es una c o n s t a n t e p o s i t i v a )

ÍTAM

•M3T

ifl0TA#08AJ

aomix6m n6pi 39J

t + X - X

3 («*>

27

-MATEMATICAS I I

TEMA No. V I I

INTEGRALES

OBJETIVO:

A l t e r m i n a r e l tema e l a l u m n o , i n t e r p r e t a r á g e o m é t r i c a m e n t e e l

c o n c e p t o de i n t e g r a l de una f u n c i ó n y l o a p l i c a r á p a r a c a l c u l a r

e l á r e a b a j o c u r v a s .

ACTIVIDADES:

1 . - E n u n c i a r á e l c o n c e p t o de i n t e g r a l i n d e f i n i d a

2 . - E n u n c i a r á e l c o n c e p t o de i n t e g r a l d e f i n i d a

3 . - I n t e r p r e t a r á g e o m é t r i c a m e n t e e l c o n c e p t o de i n t e g r a l d e f i n i d a

k . - C a l c u l a r á i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s a p a r t i r de f o r m u l a s

5 . - E n u n c i a r á e l t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c á l c u l o

6 . C a l c u l a r á i n t e g r a l e s d e f i n i d a s a p a r t i r d e l t e o . f u n d a m e n t a l

-d e l c a l c u l o .

7 . - C a l c u l a r á e l á r e a l i m i t a d a p o r v a r i a s f u n c i o n e s

8 . A p l i c a r á l o s c o n c e p t o s t e o r i c o s a l a s o l u c i ó n de p r o b l e m a s

srnsb

o í a

261 í o

^ ATEMATívJIS

TEMA VI I

INTEGRALES

LABORATORIO

. - C a l c u l a r l a s s i g u i e n t e i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s

) ^ ( e x - s U ^ - S x + a í

L O " ) £ C O S * 2. X - ^ l x

C - 8 x

A--

%

» > - A l

A)

l

Cos 4 x

^ S e n 2 x (Cos2" X + 0 i

-V 3

1%)

s

2. -s

c - j *

(o)

A :

+ ^ x ) e

l (e)

l ? )

S e r »5 * *

( x + 0 C o s U S U M ? )

I IV AM3T

i s j t n s i u p i e esí i b - I l ó í . 63

{o

xt

1

* *

L

i "K

j c b

i

<•

f r M <

- - — Je A

Jr

* T X ( / ( a i JC ^ «f cc J _{( a ^ J C - o} (o)

« o J

'«"»32

(til

.xfr

n

₍

_t

- D e t e r m i n a r e l á r e a de l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r l a g r á f i c a de l a s e c u a c i o n e s dadas

En cada caso d i b u j e la f i g u r a e i n d i q u e c l a r a m e n t e l a r e g i ó n cuya á r e a se p i d e .

0 M = r x. «j n O ; x - O "„ x - 2

2.) A j r 2 . x - * ; M -r - x

3 ) M - X

4 ) ^ r + fex-^ ; 9 = °

4 x - x ;

O ^ 3 x ^ * + 2 ; 2 - *

x + x

- 12 x '

/ ^ - ^ te.