CÁLCULO INTEGRAL-1

DEPARTAMENTO DE

PUBLICACIONES

GUIA DE TRABAJO DE

CALCULO INTEGRAL

PRIMERA SESION

Elaborada por JOHAN SOTELO

DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

: ________________________

_________________________

CARRERA

: ________________________

JORNADA

: MARTES Y MIERCOLES ( )

JUEVES Y VIERNES

( )

SABADOS

( )

DOMINGOS

( )

NOMBRE DEL PROFESOR

: ________________________

FECHA

: DEL __________ AL _______

CALIFICACION

: ________________________

En el siglo XVIII aumentó   considerablemente   el   número   de   aplicaciones   del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la   intuición   geométrica,   causaban   todavía   confusión   y   controversia   sobre   sus fundamentos.  Uno de sus críticos más notables  fue  el filósofo  irlandés  George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por   fundamentos   sólidos   basados   en   cantidades   finitas:   Bernhard   Bolzano   y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass   con   los   números   reales.  Por   ejemplo,   se   supo   que   las   funciones diferenciables   son   continuas   y   que   las   funciones   continuas   son   integrables, aunque   los  recíprocos   son   falsos.   En   el   siglo   XX,   el   análisis   no   convencional, legitimó   el   uso   de   los   infinitesimales.   Al   mismo   tiempo,   la   aparición   de   los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

El cálculo integral se   basa   en   el   proceso   inverso   de   la   derivación,   llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente   F =  ∫f dx (esta  notación  se  explica  más  adelante).   Las  tablas  de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 _es 2x, la

integral de 2x es x2_{. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f}

es   F   +   c,   en   donde   c   es   una   constante   cualquiera   llamada   constante   de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f.  Por ejemplo, ∫2xdx = x2 _+ c.

Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la   diferenciación.   La   integral   de   la   suma   (o   diferencia)   es   igual   a   la   suma   (o diferencia)   de   sus   integrales,   y   lo   mismo   ocurre   con   la   multiplicación   por   una constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x2_{, y de forma similar ∫x}m _dx = xm+1_/(m +

1) para cualquier m ≠ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 _{= 1/x para cualquier x ≠ 0). La}

Cuando h → 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h → f(x) y por tanto L′ (x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x ≥ a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe

Éste es el teorema fundamental   del   cálculo,   que   se   cumple   siempre   que   f   sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) → f(x0) si x→ x0,

de manera que f es una curva sin ninguna interrupción).

El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral indefinida ∫f(x) dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + C). El símbolo ∫ (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho,   el   límite   de   la   suma   de   un   número   finito   de   rectángulos   cuando   sus anchuras tienden hacia 0.

La integral definida

Uno de los resultados más importantes que discutiremos será el teorema fundamental del cálculo. Este teorema demuestra que el cálculo diferencial y el cálculo integral están relacionados estrechamente.

notación de suma. Para ilustrar esto, sea { a1,  a2,. . . , an} una colección de números.

El símbolo ∑n

i = 1 denotará su suma, es decir

 = a1 + a2 + a3 + … + an

La letra mayúscula griega ∑ (sigma) indica una suma y el símbolo ai representa el

término i-ésimo. La letra i se llama el índice o la variable de la suma y los números 1 y n indican sus valores extremos.

Ejemplo

Encuentre:      i2 _(i — 3).

Solución

En este caso  a¡  =  i2_{(i  -} 

3). Para encontrar la suma indicada sustituimos la i suce-sivamente por los enteros 1, 2, 3 y 4 y sumamos los términos así obtenidos. Entonces

∑ i2 _{(i - 3) = 1}2_{(1 - 3) + 2}2_{(2 - 3) + 3}2_{(3 - 3) + 4}2_(4 - 3)

 = (-2) + (-4) + 0+ 16 

 = 10.     .

La letra que se usa como índice de la suma es arbitraria.

Si n es cualquier entero positivo y si {a1, a2, … , an} y { b1, b2, … , bn} son conjuntos de números, entonces

(1)  =   +    

(2)  = c ( , para cualquier número c 

(3)  =   - 

Antes de enunciar la definición de integral definida, será instructivo estudiar el área de   una   región   en   el   plano.   Se   podrían   usar   ejemplos   de   física,   pero   preferimos posponerlos en siguientes cartillas. Es importante recordar que la discusión de área en   esta   sección  no  se   debe   considerar   como   la   definición   de   la   integral   definida. Solamente se incluye para ayudar a motivar la cartilla 2, de la misma manera que las pendientes de las rectas tangentes y la velocidad se usaron para motivar la definición de la derivada.

Figura 1

de un rectángulo es el producto de su largo por su ancho. El área de un triángulo es la mitad del producto de su base por su altura. El área de cualquier polígono se puede hallar dividiéndolo en triángulos. Para encontrar áreas de regiones más complicadas, cuyas fronteras son gráficas de funciones, es necesario introducir  un proceso que consiste en hallar límites y usar métodos de cálculo. En particular, consideremos una región S en un plano coordenado, acotada por las rectas verticales que intersecan al eje x en a y en b, por el eje x y por la gráfica de una función f que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b}. Una región de este tipo se ilustra en la figura 1. Como f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b], ninguna porción de su gráfica está debajo del eje x. Por conveniencia nos referiremos a S como la región bajo la gráfica de f entre a y b. Nuestro objetivo es definir el área de S.

Si n es un entero positivo cualquiera, comencemos dividiendo el intervalo [a, b] en n  subintervalos todos de longitud (b — a) / n. Esto se puede lograr escogiendo números x0, 

x1, x2, … , xn con a = x0, b = xn y

xi – xi – 1 = (b - a)/n

para i = 1, 2, . . ., n. Si se denota por ∆x la longitud (b — a)/n de cada subintervalo,  tenemos

∆x = xi – xi – 1 y xi = xi – 1  ∆x

figura 2 

Observando la figura vemos que

x0 = a,. x1 = a + ∆x,  x2  =  a + 2∆x,    ... 

x1 = a + i∆x,    ...,        xn = a + n∆x = b. (5.3)

Como f es continua en cada subintervalo [xi – 1 , xi ], se sigue que f tiene un valor

mínimo en algún número u¡ en [xi – 1 , xi ]. Como se muestra en la figura 2, para cada f

podemos construir un rectángulo tal que uno de sus lados tenga longitud xi – xi - 1 y el

otro lado tenga longitud igual a la mínima distancia f(u¡) del eje x a la gráfica de f. El área de este rectángulo es f(u¡)  ∆x. La frontera de la  región formada por todos estos rectángulos, se llama el polígono rectangular inscrito asociado a la subdivisión de [a, b] en n subintervalos. El área del polígono inscrito es la suma de las áreas de los n rectángulos, o sea

f(u1) ∆x + f(u2) ∆x + … + f(un) ∆x. 

(5.4)

Observando la figura 2, vemos que si n es muy grande, o equivalentemente si ∆x es muy pequeño, entonces la suma de las áreas rectangulares parece muy cerca a lo que queremos considerar como el área de S. Razonando intuitivamente, si existe un número A al que la suma (5.4) se acerca cada vez más a medida que ∆x se acerca cada  vez  más   a  cero  (pero  ∆x ≠ 0),  entonces  llamaremos   a  A  el  área  de  S y escribiremos

(5.5)

A = 

Significa que para todo Φ > O existe δ > O tal que si O < ∆x < δ, entonces

A -   < Φ

Si A es el límite indicado y tomamos Φ = 10-12_{, entonces (5.7) nos dice que usando}

rectángulos suficientemente delgados, la diferencia entre A y el área del  polígono inscrito es menor que un billonésimo de una unidad cuadrada. Similarmente, si Φ = 10-18  _{podemos   hacer   esta   diferencia   menor   que   un   trillonésimo   de  una   unidad}

cuadrada. En general, podemos hacer la diferencia menor que  cualquier  número Φ fijado previamente.

Se muestra en textos más avanzados que si f es continua en [a, b], entonces efectivamente existe un número A que satisface (5.7). Llamaremos a A el área bajo la gráfica de f entre a y b.

figura 3

intervalo [xi–xi – 1], de manera que f(vi ) sea el valor máximo de f en [xi – xi – 1]. Entonces

el área de este polígono circunscrito está dada por

en la definición, ya que queremos que esta diferencia sea no negativa. Se puede probar que se obtiene el mismo número  A  usando ya sea polígonos inscritos o polígonos circunscritos.

Las siguientes fórmulas serán útiles en algunas aplicaciones de la definición (5.7)

 = 1 + 2 + … +n = n(n+1) / 2  (5.9)

 = 12 _+ 22 _+ … + n2 _{= n(n+1)(2n+1) / 6  (5.10)}

 = 13 _+ 23 _+ … + n3 _{= [ n(n+1) / 2]}2 _(5.11)

Estas fórmulas se pueden probar usando inducción matemática.  Los dos ejemplos siguientes ilustran concretamente cómo se pueden combinar las propiedades de suma y la definición (5.7) para encontrar el área de ciertas regiones en el plano coordenado.

Solución

La región se ilustra en la figura 4. Para hacer más clara la figura usamos diferentes escalas en el eje  x y  el eje  y.  Si el intervalo [O, 3] se divide en  n  subintervalos iguales, entonces la longitud ∆x de cada subintervalo es 3/n. 

x0 = O, x1= ∆x, x2 =  2(∆x),..., xi = i(∆x),…,xn = n(∆x) = 3

Ya que ∆x = 3/n podemos escribir

xi = i(3/n) = 3i/n

Como f es decreciente en [O, 3], el número u¡ en [ xi - 1,  xi ] en el cual f alcanza su

valor mínimo es siempre el extremo derecho xi, es decir ui = xi = 3i/n. Como

f(ui ) = f(3i/n) = 16 – (3i/n)2 = 16 – 9i2/n2 

la suma (5.4) se puede escribir

 =  16 – 9i2_/n2_)(3/n)

27i2_/n3₎

Usando el teorema (5.2) y la fórmula (5.1), esta última suma se puede simplificar como sigue:

 = 48 – 9/2n3 _(2n3 _+ 3n2 _+ n)

Para obtener el área tenemos que hacer tender ∆x a 0. Como ∆x = (b - a)/n, esto se puede lograr haciendo crecer n indefinidamente. Aunque nuestra discusión en un   curso   anterior   sobre   límites   en   los   que   interviene   el   infinito   se   limitó  a   una variable  real  x,  puede  darse   una   discusión   similar   para   una  variable   entera  n.

Suponiendo que esto es cierto, y que podemos sustituir n →   en lugar de ∆x → O,

tenemos

=    

= 

= 48 – 9/2  ]

= 48 – 9/2[2 + 0 +0]

=48 – 9/2

rectangulares circunscritos. En este caso elegimos en cada subintervalo [xi – xi –1],

el número   = (i - 1)(3/n) en el cual f alcanza su valor máximo.

El siguiente ejemplo ilustra el uso de polígonos circunscritos para encontrar  un área.

Ejemplo 4

Sea f(x) = x3_{. Encuentre el área bajo la gráfica de f entre O y b, donde b > 0.}

Solución        

Si dividimos el intervalo [O, b] en n partes iguales, entonces la figura 5 nos muestra un polígono rectangular circunscrito típico en el cual, igual que en el ejemplo 2,

∆x = b/n    y     = i(∆x)

Para mayor claridad se usaron diferentes escalas en el eje x y el eje y.

Como f es una función creciente, el valor máximo de f en el intervalo [xi – xi – 1] se

alcanza en el extremo derecho, es decir

vi = xi  = i(∆x) = i(b/n) = bi/n

= 

= b4_/n4 

= b4_/n4_[n(n+1)/2]2

1.    R/ -5

2.     R/ 12

3.    R/ 34

4.   R/ 10

5.    R/ 510

En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre el área bajo la grafica de f entre a y b usando (a) rectángulos inscritos; (b) rectángulos circunscritos. En cada caso dibuje la grafica de f y rectángulos típicos, usando en el dibujo una notación semejante a la de las figuras 4 y 5.

6. f(x) = 2x + 3; a =0, b = 4  R/28

7. f(x) = x2_{; a =0, b = 5  R/ 125/3}

8. f(x) = 8 – 3x; a =0, b = 2   R/ 10

9. f(x) = x2 _{+ 2; a =1, b = 3   R/  38/3}