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ALCULO
Hoja 9. Integrales dobles.
1. Evaluar cada una de las siguientes integrales siendo R = [0, 1]× [0, 1]: a) ZZ R (x3+ y2)dxdy d) ZZ R (x2+ y)dxdy (:= 56) b) ZZ R yexydxdy f) ZZ R xydxdy (:= log 2) c) ZZ R
(xy)2cos x3dxdy g) ZZ
R
y(x3− 12x)dxdy, con R = [−2, 1] × [0, 1] (:= 578) 2. En las siguientes integrales, cambiar el orden de integraci´on, esbozar las regiones
corre-spondientes y obtener el valor de la integral: a) Z 1 0 Z 1 x xydydx (:= 1 8) d) Z 1 −1 Z 1 |y|(x + y) 2dxdy (:= 2 3) b) Z π/2 0 Z cos θ 0 cos θdrdθ (:= 1 4π) f) Z 1 0 Z 1 √ x ey3dydx (:= 1 3e− 1 3) c) Z 1 0 Z 2−y 1 (x + y)2dxdy (:= 17 12) g) Z 2 1 Z log y 0 e−xdxdy (:= 1− log 2)
3. Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y y− x + z = 1. (Soluci´on: 16).
4. Calcular ZZ
D
(x2−y)dxdy siendo D la regi´on comprendida entre las gr´aficas de las curvas
y = x2, y =−x2 y las rectas x =−1 y x = 1. (Soluci´on: 45). 5. Hallar ZZ D xydxdy siendo D a) el cuadrado de v´ertices (−1, 0), (0, −1), (1, 0) y (0, 1); b) el trapecio de v´ertices (−1, 0), (0, 0), (1, 1) y (−1, 1);
c)(x, y)∈ R2 : 0≤x≤3, y≥0, 4x2+ 9y2≤36 ∪(x, y)∈ R2 :−2≤x≤0, y≥0, x + 2 − y≥0 . Soluci´on: 236.
6. Se considera la funci´on f (x, y) = xy definida sobre el conjunto
D ={(x, y) ∈ R : 0 ≤ y ≤ ex, x≤ 1, x≥ 1 − y2} Se pide:
(a) Representar gr´aficamente el conjunto D.
(b) Expresar mediante una integral iterada la integral dobleR RDf (x, y)dxdy y cambiar el orden de integraci´on.
(c) CalcularR RDf (x, y)dxdy. (Sol.: 18e2+241)
7. Hallar ZZ
D
xydxdy siendo D la regi´on del primer cuadrante encerrada entre las par´abolas y = x2 e y = x4. (Soluci´on: 151).
8. Hallar Z 4 0 Z 2 √ x dy (x + y2)12 !
dx. (Indicaci´on: se recomienda cambiar el orden de inte-graci´on. (Sol.: −4 + 4√2).
9. Dada la funci´on f : R2 → R definida por f(x, y) = e(x2−y2)−(x+y)(x + y) y el recinto D ={(x, y) ∈ R2|x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2− y2≤ 4, 2 ≤ x + y ≤ 3}.
(a) Plantear en coordenadas cartesianas, con sus l´ımites de integraci´on correspondientes y en el orden indicado la integralR RDf (x, y)dydx.
(b) HallarR RDe(x2−y2)−(x+y)(x + y)dxdy tomando para ello el cambio de variable: u = x2− y2, v = x + y.
(Sol.: 12 −e − e−1+ e2+ e−2) 10. Calc´ulese
ZZ D
e(y−x)/(y+x)dxdy donde D = (x, y)∈ R2 : 0≤x, 0≤y, x + y≤2 . T´omese
para ello el cambio de variable y− x = u, y + x = v. Soluci´on: e −1e 11. Hallar la integral
ZZ D
(y2− x2)xy(x2+ y2)dxdy donde
D =(x, y)∈ R2 : x > 0, y > 0, a≤xy≤b, y2− x2≤1, x≤y
con 0 < a < b. Se recomienda utilizar el cambio de variable u = y2− x2, v = xy. Soluci´on:
1 2log 1+b 1+a. 12. Hallar ZZ D
xydxdy siendo D la regi´on del primer cuadrante delimitada por las curvas x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9, x2− y2 = 4 y x2 − y2 = 1. Utilizar el cambio de variable u = x2+ y2, v = x2− y2. Soluci´on: 158 .
13. Dada la integral I =R RD(x + y)dxdy, siendo D el recinto limitado en el primer cuadrante por las curvas y = x− 3, y = x + 3, y = 4
x e y = 10
x,
(a) escribir D como uni´on de regiones del tipo {(x, y) ≤ x ≤ , (x) ≤ y ≤ (x)} , y ex-presar I en coordenadas cartesianas;
(b) escribir el nuevo dominio, D∗, que resulta al hacer el cambio de variables u = y− x, v = xy;
(c) calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 36).
14. Se considera la regi´on plana D delimitada por las curvas y2−2 = x, x = y2+ 1 y las rectas
y = 1, y =−1. Se pide:
(a) Hallar el ´area de la regi´on D. (Sol.: 6) (b) Utilizar el cambio de variable
u = x− y2
v = 3y . para calcular la integral doble
Z Z D ex−y2dxdy. Sol.: 2 e− 1 e2
15. Hallar R RDe y
x + y dxdy, siendo D el recinto limitado por x = 0, y = 0, x + y = 1. Sugerencia: utilizar el cambio de variable
x + y = u
y = v . Sea la integral I = RR
Dy2dxdy donde D es la regi´on del primer cuadrante delimitada por las curvas xy = 1, xy = 4. y = x y y = 4x,
(a) Representar gr´aficamente el recinto D.
(b) Representar gr´aficamente el nuevo dominio que resulta al aplicar el cambio de variable u = xy, v = yx.
(c) Calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 454)
16. Calcular ZZ
D
ex/ydxdy siendo D =(x, y)∈ R2 : y3≤x≤y2 . Soluci´on: 3−e 2 .
17. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro de ecuaci´on x2+ y2 = 1 y el cono de ecuaci´on x2+ y2− z2= 0. (Sol.: 4π
3 ).
18. Calcular la integral de f (x, y) = x2y sobre el recinto situado en el primer cuadrante y limitado por las circunferencias de radios 1 y 2 respectivamente y centro el origen. (Sol.: 31/15).
19. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro el´ıptico x2+ 4y2 = 1 y el paraboloide
x2+ y2 = z, y limitado por z = 0.(Sol.:5π32).
20. Calcular el volumen del s´olido interior al semiespacio z ≥ 0 y limitado por el elipsoide x2+ y2+ 2z2 ≤ 8 y el cono x2+ y2 ≤ 2z2.(Sol.: 20π3 ).
21. Calcular el volumen del s´olido cubierto por la superficie z = 1 +x(y + 1)
5 sobre el rect´angulo R = [0, 3]× [−1, 4].
22. Sea σ la curva cerrada positivamente orientada formada por el arco de la circunferencia x2+ y2 = 1, el arco de la elipse x2+ 4y2= 16 y los segmentos representados en la figura
Hallar el volumen del s´olido que tiene por base el recinto delimitado por la curva σ y como cubierta el paraboloide z = x2+ 4y2. (Sol.: 251π
16 )
23. Calcular el volumen comprendido entre el cono de revoluci´on x2+ y2 = z2 (z ≥ 0), el paraboloide de revoluci´on x2+ y2+ 3z = 4 y el plano z = 0,
(a) para el caso x2+ y2 ≥ z2 y x2+ y2+ 3z≤ 4 (Sol.: 13π6 ) (b) para el caso x2+ y2 ≤ z2 y x2+ y2+ 3z≤ 4
24. Sea el s´olido limitado por x2+ y 2 4 ≤ z2 4 , x 2 + y2 4 + z2
4 ≤ 1 con z ≥ 0.Se pide su volumen. (Sol.: 2π(4−2
√
2 3 )).
25. Calcular el volumen del s´olido
s ={(x, y, z) ∈ R3|x2+ y2+ z2 ≤ 4, x2+ y2 ≥ 3z, z≥ 0}. 26. Evaluar
ZZ D
y3(x2+ y2)−32dxdy, donde D es la regi´on determinada por las condiciones
1
2≤y≤1 y x2+ y2≤1. (Soluci´on:
√ 3/4 ).
27. Hallar el ´area limitada por las circunferencias x2+ y2 = 2x y x2+ y2 = 4x y las rectas y = x e y = 0. Soluci´on: 3π4 +32.
28. Hallar el volumen de los siguientes conjuntos deR3 :
(a) A =(x, y, z) : x2+ y2+ z2≤ 42, x2+ y2 ≤ z2 (Sol.: 4−2√2 3 π43)
(b) B =(x, y, z) : x2+ y2+ z2≤ 1, x2+ y2 ≤ x, 0≤ z (Sol.: π3 −49)
29. Expresar mediante las integrales iteradas, la siguiente integralRRDf (x, y)dxdy siendo D el conjunto definido por las inecuaciones 0≤y≤1, √y≤x≤1+p1− y2. Calcular
ZZ D
ydxdy. Soluci´on: 1330.
30. Calcular el volumen cubierto por la superficie z =√x sobre el recinto limitado, en el plano OXY, por la curva x2+ y2− x = 0. (Sol.:.8
15).
31. CalcularRRD(x2+y2)−3/2dxdy siendo D =(x, y)∈ R2 : x≤ y, x + y ≥ 1, x2+ y2 ≤ 1 . (Sol.: 1−π4).
32. CalcularRRDydxdy siendo D =(x, y)∈ R2 : x≥ 0, y ≥ 0, x2+ y2 ≤ 1, x2+ y2 ≥ 2x . (Sol.: 1/8).
33. Calcular ZZ
D
(x2+y2)dxdy siendo D =(x, y)∈ R2 : x2+ y2≤ 1, x2+ y2 ≤ 2y, x≥ 0 .
(Resolverlo con Maple).
34. Hallar el volumen limitado por la cubierta intersecci´on de dos cilindros parab´olicos de ecuaciones C1≡ z = 36−y2 y C2 ≡ z = 36−x2 y la planta z = 0. (Resolverlo con Maple).
35. Dada la funci´on f (x, y) = (x2 + y2)−3/2 en la regi´on D caracterizada por x− y ≥ 0, x + y≥ 2 y x2+ y2 ≤ 4. Se pide:
(a) Escribir D como uni´on de regiones y plantear la integral en coordenadas cartesianas. (b) Efectuar un cambio de variable a coordenadas polares y calcular la integral en las
nuevas coordenadas. (Sol.: −π/8 + 1/2)
36. Calcular el volumen de la esfera x2+ y2+ z2= 1 interior al cilindro (x−21)2+ y2= 14 en el semiespacio{(x, y, z) ∈ R3, z≥ 0}. (Sol.: 13π−49)
37. Calcular la siguiente integral RRD 1
(x2+y2)3/2dxdy, siendo el recinto de integraci´on D =
{(x, y) : x2+ y2≤ 1, y ≥ x + 1}. (Sol.: 2 − π 2) 38. Dado el conjunto D =(x, y)∈ R2: x≥ 0, x2+ y2 ≥ 2y, x2+ y2 ≤ 6y , se pide calcularRRD x x2+ y2dxdy. (Sol.: 2)
39. Calcular el volumen del s´olido limitado por el hiperboloide x2 + 4y2 − z2 + 4 = 0 y el cilindro
x2+ 4y2− 9 = 0.
40. Hallar el volumen del s´olido acotado superiormente por el paraboloide z = 5− x2− y2, e inferiormente por el paraboloide z = 4x2+ 4y2.
41. Se considera el s´olido
S ={(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2+ y2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 2}. Hallar su volumen.
42. El recinto A ={(x, y) ∈ R2|x2+ y2−2y ≤ 5 est´a cubierto por la superficie z = x(y −2)+6. Calcular el volumen que queda bajo la cubierta en A.
![Actividad: Trazar en su cuaderno un sistema de coordenadas cartesianas y dimensionarlo, definir un intervalo cerrado en x[ a, b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)