Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y
es-tructuras algebraicas. Números complejos
En este tema vamos a analizar diversos conceptos que no están propiamente incluidos en el temario, así como algunas cuestiones sobre terminología y notación. Comenzamos con algunos sím-bolos:
El símbolo∀se lee ”para todo”. El símbolo∃se lee ”existe” (y@se lee ”no existe”). El símbolo |se lee ”tal que”. La expresiónp⇒qse lee ”pimplicaq” o también ”sipentonces q” (y significa que si la condición de la izquierda se cumple entonces se cumple la de la derecha). En esta situación se dice quepes condición suficiente paraq, o queqes condición necesaria parap. La expresiónp⇔q
se lee ”p si y sólo si q” (y significa que las dos condiciones son equivalentes, es decir, que ambas se cumplen o no simultáneamente). En esta situación se dice que cualquiera de las condiciones es condición necesaria y suficiente para la otra. El símbolo∨significa ”o” (llamado también disyunción) y el símbolo∧se traduce como ”y” (llamado también conjunción). Parafinalizar, algunas notaciones que vamos a utilizar son:
Dados elementosa1, a2, ..., an, para designar la suma de ellos a1+a2+...+an en matemáticas es frecuente utilizar la notación
n P i=1 ai. De forma análoga, n Q i=1
ai designa el producto de dichos elementos.
1.
Conjuntos
Un conjunto es la reunión en un todo de determinados objetos diferenciables unos de otros. A los objetos que forman un conjunto se les llamaelementos del conjunto.
Ejemplo: Algunos conjuntos son
{1,2,3},{a, b, c},{5,2,8,125},
el conjunto de los números pares, el conjunto de las personas de esta ciudad, etc. Así, en el primer conjunto de los anteriores, diremos que1es un elemento del conjunto y escribiremos 1∈{1,2,3} (se lee ”1 pertenece al conjunto{1,2,3}”). Análogamente 2,3∈{1,2,3}. (Si queremos decir que algo no pertenece al conjunto basta usar el símbolo∈/; por ejemplo 4∈/ {1,2,3}.)
Un conjunto puede describirse enumerando sus elementos (éstos suelen ponerse entre llaves separa-dos por comas, como ocurre con los tres primeros casos anteriores) o definiéndolo por las propiedades que verifican sus elementos (como ocurre con los últimos 2 casos anteriores).
Si un conjunto consta de un número finito de elementos se dice que es un conjunto finito y si no se dice que es infinito. Se llamaconjunto vacíoal que no tiene ningún elemento, y se designará por
∅.
Sean A y B conjuntos. Diremos que B es unsubconjunto de A cuando todos los elementos de
B están en A. Esto lo denotaremos del siguiente modoB ⊆A(se lee ”B está contenido enA”). Si queremos decir que el conjuntoB no es un subconjunto deA escribiremosB *A. (A veces se utiliza ⊂ en vez de ⊆para designar la inclusión.)
Dados conjuntosA yB, para comprobar que son iguales (A=B) hay que ver que ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para demostrar esto, en la práctica, lo que se hará en la mayoría de las ocasiones será observar que se verifican las dos inclusiones B ⊆A yA⊆B.
Ejemplo: {1,2} es un subconjunto de {1,2,3}; {3} es un subconjunto de todos los números impares, etc.
Sean AyB conjuntos. Se denominaunióndeA yB al conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar o bien enA o bien en B. Este nuevo conjunto se denotaráA∪B
(se lee ”A unión B”). De modo matemático podríamos expresarlo así
A∪B ={x|x∈A o bien x∈B}.
Se denomina intersección de A y B al conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar tanto en A como en B. Este nuevo conjunto se denotará A ∩ B (se lee ”A
intersecciónB”). De modo matemático podríamos expresarlo así
A∩B ={x|x∈A yx∈B}.
Se llamadiferenciadeAporB al conjunto formado por los elementos que están enApero no enB. Se denota porA−B (también se denotaA\B; incluso algunos docentes lo llamancomplementario deB en A y lo denotan porBc). De modo matemático podríamos expresarlo así
A−B ={x|x∈A yx /∈B}.
Ejemplo: a)
A={1,2,3} B ={6,2,4} A∪B ={1,2,3,4,6} A∩B ={2} A−B ={1,3} B−A ={6,4}
Observemos que los elementos repetidos se consideran una sola vez en la unión. b)
A={1,9,3} B ={6,2,4} A∪B ={1,2,3,4,6,9}
A∩B =∅ A−B ={1,9,3} B−A={6,2,4}
El producto cartesiano de dos conjuntos A yB se denota por A×B y es el conjunto de los ”pares” de elementos de A y deB, es decir
A×B ={(a, b)|a∈A yb∈B}
La definición se extiende de forma natural para cualquier número de conjuntos. En el caso de que hagamos el producto cartesiano de un conjuntoAconsigo mismonveces utilizaremos la notaciónAn para denotar
nveces
z }| {
A×A×...×A (como ocurrirá por ejemplo con R2,
R3 y en general con
Rn. En estos casos sus elementos los denominamos vectores).
Los conjuntos numéricos más destacablesson los siguientes: i) El conjunto de los números naturales
N={0,1,2,3, ...}.
A veces nos interesa tomar el conjunto
N∗ ={1,2,3, ...},
ii) El conjunto de los números enteros
Z={0,1,−1,2,−2, ...}.
Es claro que todo número natural es un número entero. iii) El conjunto de los números racionaleso fraccionarios
Q={n
m tales quem, n∈Z ym es no nulo}.
Este conjunto puede también verse comolos números decimales que son periódicos (in-cluyendo el caso de números sin decimal [los enteros] y números con una expresión decimal
finita). Así por ejemplo serían números racionales 23 = 0.b6 = 0,666..., −72 =−3,5 y 42 = 2. De este modo se ve claramente que todo número entero nes un número racional, pues n= n1. iv) El conjunto de los números reales R, algo más difícil de dar explícitamente, podríamos verlo
como el conjunto de los números decimales, tanto los periódicos como los no periódicos. Serían ejemplos de números reales, aparte de todos los números racionales, algunos que no lo son, como √2 = 1,41421..., log25 = 2,32192..., y otros tantos números que tienen infinitos
decimales, pero no pueden darse con una expresión que se repita periódicamente. También tenemos los conjuntos
R+ ={x∈R|x >0} yR−={x∈R|x <0}
A los números reales que no son racionales se les llama números irracionales. El conjunto de los númerosirracionaleses R−Q.
v) El conjunto de los númeroscomplejos
C={a+bi|a, b∈R}
donde se consideraicomo la raíz cuadrada de−1,i=√−1. Algunos números complejos serían los siguientes: 2−3i,√3 +i,−4−0,4i, etc. Es claro que todo número real x es un número complejo puesx=x+ 0i.
De la definición de los conjuntos numéricos anteriores se deduce que N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
2.
Aplicaciones
Unaaplicación(ofunción) deAhaciaB(o deAenB) es una forma de asignar a cada elemento de A un elemento de B. Escribiremos f : A → B ó A →f B. Al conjunto A se le llamará dominio (o conjunto inicial) y al conjunto B codominio (o conjunto final) de la aplicación. Si a ∈ A
entonces el elemento deB que le asignamos al elementoase llamaráimagendeaporf y se denotará
f(a). Esto también se expresa con las siguientes notaciones
A→f B aÃf(a)
A→f B a→f(a)
Se llama imagen de la aplicación al conjunto
Imf ={f(a)|a ∈A}, o de otro modo
Imf ={b∈B|∃a∈A cumpliendof(a) =b}
Ejemplo:
a) Sea f : {1,2,6,4}→ {2,4,6,8,9} definida del modo siguiente: al 1 le asignamos el 4, al 2 el
9, al6el 8, y al4 el9. Entonces f está dada por
f(1) = 4
f(2) = 9
f(6) = 8
f(4) = 9
(es decir, la imagen del1es el 4, la imagen del 2es el 9, la imagen del 6 es el8, y la imagen del 4es el9).
b) SeaA un conjunto. Se llamaaplicación identidad enA a la aplicaciónI :A→A definida por I(a) =a ∀a ∈ A (otras formas de denotar la aplicación identidad es i, id, 1, iA, idA, 1A ó IA). Por ejemplo la aplicación identidad en el conjunto A={2,5,0} cumple que
I(2) = 2
I(5) = 5
I(0) = 0
Notación: Dada una aplicación f :A×B →C entonces f((a, b))podrá denotarse también por
f(a, b).
2.1.
Algunos tipos de aplicaciones
Supongamos que tenemos una aplicación f :A→B. Diremos quef es: i) Inyectivasi se cumple la siguiente propiedad:
Si tenemos a, b ∈ A tales que f(a) = f(b), entonces a = b; o, dicho de otro modo, cada par de elementos distintos del conjunto inicial tienen distintas imagénes.
ii) Suprayectiva o sobreyectiva si Imf = B. (Como siempre se tiene Imf ⊆ B, que f sea suprayectiva equivale a que∀b∈B ∃a∈A tal quef(a) =b, es decir, quetodo elemento del conjunto final B sea imagen de algún elemento del conjunto inicial A).
iii) Biyectivasi es tanto inyectivacomo suprayectiva. Ejemplo: a) Sea f :{1,2,3}→{a, b, c,0} dada por f(1) = a f(2) = c f(3) = 0
Entoncesf es inyectiva (porque no hay elementos que tengan imágenes iguales), pero no es suprayec-tiva (Imf ={a, c,0}, yb /∈Imf). Por ello f no es biyectiva.
b) Sea
g :{1,2,3}→{a, b}
definida del siguiente modo:
g(1) = a g(2) = b g(3) = a
Entoncesg no es inyectiva (porque hay elementos distintos que tienen imágenes iguales; en concreto se tiene queg(1) =g(3)), pero sí es suprayectiva (porque Img ={a, b}). Luegog no es biyectiva.
c) Sea
h:{1,2,3}→{a, b,∗}
la aplicación definida por
h(1) = a h(2) = ∗
h(3) = b
Entonces h es inyectiva y suprayectiva, con lo que es biyectiva. d) Consideremos
α:{1,2,3}→{a, b,∗}
la aplicación dada por
α(1) = b α(2) = ∗
α(3) = b
e) Sea
f :R→R
definida, para cada x∈R, por
f(x) = 2x+ 1
Veamos que f es biyectiva. Empecemos por la inyectividad. Supongamos que para a, b ∈ R se tiene que f(a) = f(b), es decir, 2a+ 1 = 2b+ 1. Entonces restando 1 y dividiendo después entre
2 se tiene que a = b. Para probar que f es suprayectiva tomemos un elemento arbitrario y ∈ R. Debemos encontrar alguna antiimagen, es decir, un elemento x ∈ R tal que f(x) = y, es decir, tal que 2x+ 1 = y. Procediendo como antes, es decir, restando 1 y dividendo entre 2, se tiene que el elemento buscado esx= y−21, es decir, f(y−21) =y.
f ) La aplicación
f :R→R
definida, para cada x∈R, por
f(x) =x2
no es inyectiva, pues f(2) = f(−2) = 4 (de hecho para cada x se tiene que f(x) = f(−x)). Tampoco es suprayectiva pues @x ∈ R tal que f(x) = −2 (de hecho, lo mismo que sucede para el número −2, sucede para cualquier número negativo). Concretamente Imf =R+
∪{0}. g) La aplicación
f :R→R+∪{0}
definida, para cada x∈R, por
f(x) =x2
es suprayectiva, pues es la misma aplicación del ejemplo anterior, en donde ahora tomamos como espacio final precisamente la imagen de la aplicación, para asegurarnos que todo elemento de este espacio es imagen de alguno del espacio inicial.
h) La aplicación exponencial f(x) =ex es inyectiva pero no suprayectiva.
i) La aplicación logaritmo neperiano f(x) = logx es suprayectiva pero no inyectiva.
2.2.
Composición de aplicaciones
Sean
A−→f B
g −→C
aplicaciones. Entonces es posible definir la aplicación compuesta de f y g, la cual está dada del siguiente modo:
A cada elemento a ∈A, primero le aplicamosf y nos resulta un elemento b=f(a)∈B. A este elemento obtenido le aplicamosg y resultag(b) =g(f(a)). A la aplicación así definida se la denotará porg◦f y se le llama lacomposición de f yg (se lee ”g compuesto conf”). Con esta notación tendremos
Ejemplo: 1) Sean f :{1,2,3,4}→{2,3,7,9} g :{2,3,7,9}→{2,3} definidas por: f(1) = 7 f(2) = 7 f(3) = 9 f(4) = 2 g(2) = 3 g(3) = 3 g(7) = 3 g(9) = 2 Entonces g◦f :{1,2,3}→{2,3}
está definida por
g◦f(1) = g(f(1)) =g(7) = 3 g◦f(2) = g(f(2)) =g(7) = 3 g◦f(3) = g(f(3)) =g(9) = 2 g◦f(4) = g(f(4)) =g(2) = 3 2) Sean f :R→R g :R→R dadas por f(x) = 3x2 g(x) = 2x −1
para cada x∈R. Entonces es posible calcular las aplicaciones
g◦f :R→R f◦g :R→R
y están dadas, para cadax, por
g◦f(x) =g(f(x)) =g(3x2) = 2(3x2)−1 = 6x2 −1
3) Sea
f :A→A
una aplicación de un conjunto A en sí mismo. Entonces a la composición
f◦f :A→A
la denotaremos por f2. En general, a la composición de f consigo misma n veces, la denotaremos
porfn.
Como puede deducirse del penúltimo ejemplo, en los casos en los que puede hacerse la composición en ambos sentidos (cosa que no ocurre siempre) no tienen por qué coincidirg◦f yf ◦g.
2.3.
Inversa
Sea
f :A →B
una aplicación biyectiva. Entonces dadob∈B existe un único elementoa∈A tal que
f(a) =b
Éste es precisamente el que cumple que
f−1(b) =a
Así puede definirse otra aplicación
g :B →A
definida por
g(b) =f−1(b)
De hecho se dice que esta aplicación es la inversa def y se denota simplemente por
f−1 :Y →X
(no confundamos esta notación con la que se da en la situación general en la que tenemos una aplicación cualquiera f, no necesariamente biyectiva, y f−1 se utiliza para hallar antiimágenes de
subconjuntos del espaciofinal. En este caso la peculiaridad que se da al serf biyectiva es que todo elemento tiene antiimagen y además ésta es única). En esta situación se tiene que
f−1
◦f =IA f ◦f−1 =IB Ejemplo: Consideremos la aplicación
f :R→R
definida anteriormente, para cada x∈R, por
Ya vimos que f era es biyectiva. Para determinar la inversa f−1 :
R→ R hacemos igual que en la demostración de la suprayectividad. El cálculo de ésta se hace igual que la demostración de la suprayectividad: para caday∈R tenemos que hallarf−1(y) =x, conf(x) =y. Con anterioridad ya
habíamos deducido que x= y−21 (basta con comprobar quef(y−21) =y), es decir,
f−1(y) = y−1 2
3.
Estructuras algebraicas
Este apartado está dedicado a ver las estructuras algebraicas que usaremos más adelante y que, por tanto, deben ser conocidas. Comenzamos con la estructura de grupo abeliano.
Definición: Un grupo abeliano es un par (G,∗) donde G es un conjunto y ”∗” es una ley de composición interna (LCI) en G (una LCI es una aplicación ∗ : G×G → G; lo cual se traduce en que cada par de elementosx, y ∈ G se pueden ”operar” mediante ”∗” para dar otro elemento de G
al que denotaremos porx∗y) que verifica:
1. ”∗” es asociativa: ∀a, b, c∈Gse tiene que
(a∗b)∗c=a∗(b∗c)
(en lo sucesivo pondremosa∗b∗csin paréntesis). 2. ”∗” es conmutativa:∀a, b∈G se tiene que
a∗b=b∗a
3. Existencia de elementoneutro para ”∗”: es decir, ∃e∈Gtal que
a∗e=a=e∗a
∀a∈G. El neutro lo llamaremose en este caso.
4. Todo elemento a∈G posee elementosimétricobpara ”∗” que cumple que
a∗b=b∗a=e
Nota: Si no se cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo no abeliano.
Observación: Todos los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, excepto N, con la operación interna ”suma habitual de números” constituyen grupos abelianos. En esta situación el elemento neutro es el número0, y el simétrico de un elementoaes el opuestob=−a. El problema de Nes que no todo elemento tiene opuesto; por ejemplo el 1 no tiene opuesto en N, es decir, no existe ningún elementon∈N que cumpla que 1 +n= 0. Sin embargo con la operación interna ”producto habitual de números” ningún conjunto numérico constituye un grupo abeliano; por ejemplo el0 no tiene simétrico. Precisamente esto lo que da lugar a la estructura de cuerpo, que es la que vemos a continuación.
Definición: Un cuerpoes una terna (K,+,·) dondeK es un conjunto y ”+” y ”·” son LCI en
I) (K,+) es un grupo abeliano (denotaremos por 0al neutro de (K,+)). II) ”·” es asociativa.
III) ”·” es conmutativa.
IV) (Propiedadesdistributivas) ∀a, b, c∈K se tiene que
a·(b+c) =a·b+a·c y (a+b)·c=a·c+b·c
V) Existe un elementoneutro para ”·” (al que denotaremos por 1). Esto se traduce en que
a·1 = 1·a =a
para cualquiera.
VI) Todo elemento a∈K −{0} posee elemento simétrico para ”·”, al que denotaremos por a−1 y
que será denominado elinverso de a enK. Se verifica entonces que
1 =a·a−1 =a−1·a.
Observación:
1. A las LCI ”+” y ”·” se les llamará respectivamentesuma yproducto.
2. Puede omitirse el signo del producto. Así en expresiones comoa·bpondremos simplemente ab. 3. Pueden eliminarse los paréntesis en expresiones de la forma(a+b)+c=a+(b+c)ó(ab)c=a(bc)
poniendo simplemente a+b+c ó abc, respectivamente, gracias a la asociatividad de la suma y el producto.
4. Las propiedades asociativas, conmutativas o distributivas pueden extenderse a cualquier número
finito de elementos. Por ejemplo esta última sería así:
a(b1+b2 +...+bn) =ab1 +ab2+...+abn
Ejemplo: De los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, con la suma y el producto habituales, son cuerpos Q, R yC. En éstos todo elemento no nulo tiene inverso, cosa que no ocurre en Z (ni en N, que ni siquiera era un grupo abeliano para la suma), pues por ejemplo 2 no tiene inverso, ya que @n∈Z tal que 2·n= 1.
Propiedad: Dado un cuerpo K se cumple que:
Para a, b∈K se tiene a·b= 0 si y sólo sia = 0 ób= 0.
4.
Números complejos
El conjunto de los números complejos es C = {a +bi|a, b ∈ R}, donde i = √−1 (es decir,
i2 =
−1). Este conjunto tiene estructura de cuerpo (como ya hemos dicho anteriormente) con la suma y el producto definidos de forma usual:
Dados z1 =a1+b1i yz2 =a2+b2i, lasuma se realiza coordenada a coordenada, es decir,
z1+z2 = (a1+a2) + (b1+b2)i.
Elproducto se realiza utilizando la propiedad distributiva del siguiente modo:
z1·z2 =a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2 =a1a2+a1b2i+b1a2i−b1b2 = (a1a2−b1b2) + (a1b2+b1a2)i
Si z = a+bi es un número complejo (ésta se llama forma binómica de z), a se llama parte realdez ybse llamaparte imaginariadez. Si la parte imaginaria es0entoncesz es realmente un número real; si la parte real es0 se dice que z es un número imaginario puro. Se llamaconjugado dez al número complejo z =a−bi.
Todo número complejo no nulo z =a+bi tiene inverso(para el producto), y éste es z−1 = z
|z|2.
De este modo se define la división de un número complejo uentre otro número complejoz 6= 0 como u
z =u·z−
1.
Se llamamódulo dez al número real r=|z|=√a2+b2, el cual es siempre positivo, salvo para
z = 0(en cuyo caso el módulo da0). Se llamaargumentodez 6= 0a cualquier ánguloα que cumple la relación |zz| = cosα+isenα, o equivalentemente
z=|z|(cosα+isenα) =|z|cosα+i|z|senα
De hecho de estos ángulos hay solamente uno, α, que verifica además que −π < α≤π. A éste se le llamaargumento principal de z.
Ésta se llama laforma trigonométrica del número complejo z. También se dice que la forma polar de z es rα. Estas formas permiten hacer cálculos de multiplicación, división y potencia más fácilmente porque:
Producto
|zu|=|z| |u|
arg(zu) = argz+ argu rα·rα00 =rrα0+α0 Cociente ¯ ¯z u ¯ ¯= ||uz|| argzu = argz−argu
rα r0 α0 = ( r r0)α−α0 Potencia |zn |=|z|n arg(zn) =n·argz (rα)n= (rn)n·α
Se puede definir la función exponencial también para números complejos. Ésta función satisface muchas de las propiedades algebraicas de la exponencial real:
ex+y =exey
ex−y = eexy
e0 = 1
eit= cost+isent para cada número real t (i=√−1).
Precisamente esta última propiedad es nueva y es la que nos va a dar laforma exponencial de los números complejos:
Para cada número complejoz se tiene quez =|z|eiargz.
Multiplicar y dividir en forma exponencial es sencillo por las propiedades enunciadas anterior-mente: z·u=|z|eiargz ·|u|eiargu = |z| |u|ei(argz+argu) z u = |z|eiargz |u|eiargu = | z| |u|e i(argz−argu)
Raíces n-ésimas: Si z 6= 0, dado un número natural n ≥ 2, se tiene que z posee n raíces
n-ésimas distintas (es decir, números complejosz1, z2, ..., zn tales que(zk)n=z para k= 1,2, ..., n). Estos números tienen todos módulo √nr y sus argumentos son (reducidos al intervalo ]-π, π])
α1 = α n α2 = α1+ 2π n α3 = α2+ 2π n α4 = α3+ 2π n ... αn = αn−1+ 2π n
Veamos algunos ejemplos de operaciones con complejos:
1. (2 +i) + (5−4i) = 7−3i (2−6i)−(−3 + 2i) = 5−8i
2. (3 + 2i)·(2−i) = 6−3i+ 4i−2i2 = 6 +i+ 2 = 8 +i
4.
u= 3−3i |u|=p32
+ (−3)2
=√18 = 3√2 Si α= argu
entonces se tiene que
3√2(cosα+isinα) = 3−3i
de donde se deduce que
3√2 cosα = 3
3√2 sinα=−3 o lo que es lo mismo
cosα= √1
2
sinα=−√1
2
y por tanto este ángulo vale
315o = 7π
4 rad, lo que nos da α=−
π
4rad
para que el ángulo esté comprendido en]-π, π].
5.
v=−4 + 4i |v|= 4√2 argv= 135o = 34πrad
Tomandow=v8
|w|=|v|8 = (4√2)8 = 220
argw= 834π = 6π = 1080o, que resulta ser0 rad= 0o
6. Hallemos las 3raíces cúbicas del número complejo
z =−27i
Como |z|=p(−27)2 = 27 argz = 270o = 3π
2 rad
se tiene que las3 raíces cúbicas buscadas z1, z2 yz3 verifican que
|z1|=|z2|=|z3|=
3
√
27 = 3
En cuanto al argumento se cumple
argz1 = 270o 3 = 90 o =π 2rad argz2 = argz1+ 360o 3 = 90 o+ 120o = 210o =7π 6 rad=− 5π 6 rad argz3 = argz2+ 360o 3 = 210 o+ 120o = 330o =11π 6 rad=− π 6rad En definitiva
z1 = |z1|(cos argz1+ sin argz1i) = 3(0 + 1·i) = 3i
z2 = |z2|(cos argz2+ sin argz2i) = 3(−
√ 3 2 − 1 2i) =− 3√3 2 − 3 2i
z3 = |z3|(cos argz3+ sin argz3i) = 3(
√ 3 2 − 1 2i) = 3√3 2 − 3 2i
