ÁLGEBRA.pdf

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ÁLGEBRA

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© LEXUS EDITORES S.A.

Av. Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perú

www.lexuseditores.com

Primera edición, febrero 2008

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca

Nacional del Perú: 2008-01600

ISBN: 978-9972-209-44-4

(4)

PRESENT

ACIÓN

Si usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materias

de mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y

superior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirán el

dominio progresivo y la maestría avanzada en el tema, ha abierto el libro

apro-piado.

Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodológicos

ten-dientes a mejorar la articulación teórica y práctica entre el nivel secundario y

la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirva

como herramienta de auto-evaluación para los alumnos que se encuentran en

etapa pre-universitaria. De esta manera, ellos mismos serán capaces de juzgar

sus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores.

Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificado

para la redacción de esta obra, conformado por estudiantes universitarios y

docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparación

pre-univer-sitaria en Álgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios,

usando métodos apropiados, fáciles y amigables.

Este manual conduce al lector de una manera didáctica a lo largo de la

asigna-tura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo, con numerosos ejercicios

resueltos y propuestos, brindándole de esta manera una base muy sólida para

que destaque durante su paso por las aulas universitarias, al ostentar

adecua-do conocimiento y adecua-dominio de la materia.

Un DVD, producido con la más alta tecnología digital e infográfica, acompaña

esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre

en términos entendibles y amenos. Es prácticamente como tener un profesor

en casa a tiempo completo.

(5)

Conceptos Fundamentales

… … … …

13

Expresión algebraica / Clasificación de las expresiones algebraicas … … … 13

Término algebraico … … … 14

Teoría de exponentes … … … 14

Potenciación … … … 15

Leyes que rigen a los exponentes … … … 15

Multiplicación de potencias de bases iguales … … … 15

División de potencias de bases iguales / Exponente cero … … … 15

Exponente negativo / Potencia de un producto / Potencia de un cociente … … … 15

Potencia negativa de un cociente / Potencia de potencia / Raíz de una potencia … … … 16

Raíz de un producto … … … 17

Leyes de los signos en las operaciones algebraicas … … … 17

Multiplicación / División … … … 17

Potenciación / Radicación … … … 18

Ejercicios Resueltos … … … 18

Ejercicios Propuestos … … … 25

Ecuaciones exponenciales … … … 26

Solución de una ecuación exponencial … … … 26

Valor numérico de las expresiones algebraicas … … … 31

Grado de las Expresiones Algebraicas

… … … …

39

Grado … … … 39

Grado de un monomio / Grado de un polinomio … … … 39

Notación Polinómica

… … … …

50

Polinomio … … … 50

Valor numérico de un polinomio … … … 50

Cambio de variable en un polinomio … … … 50

SUMARIO

(6)

Polinomios Especiales

… … … …

59

Polinomio ordenado / polinomio completo … … … 59

Polinomio homogéneo … … … 59

Polinomios idéntico / Polinomio idénticamente nulos … … … 60

Polinomio entero en “x” … … … 60

Expresiones Algebraicas

… … … …

70

Suma y resta … … … 70

Supresión de signos de colección / Introducción de signos de colección … … … 70

Multipicación de expresiones algebraicas … … … 74

Propiedades de la multiplicación … … … 74

Casos que se presentan en la multiplicación … … … 76

Productos notables … … … 76

Valor numérico de una expresión algebraica … … … 82

División algebraica / Definición … … … 90

Propiedades de la división / Casos de la división … … … 90

Método normal … … … 90

Método de coeficientes separados / Método de Horner … … … 91

Regla de Ruffini … … … 99

Teorema del resto o de Descartes … … … 105

Regla práctica para hallar el resto … … … 105

Divisibilidad Algebraica

… … … …

115

Principios de la divisibilidad algebraica … … … 115

(7)

Cocientes Notables

… … … …

126

Definición … … … 126

Forma general de los coeficientes notables … … … 126

Estudio del primer caso / Estudio del segundo caso … … … 126

Estudio del tercer caso / Estudio del cuarto caso … … … 127

Desarrollo del cociente notable … … … 127

Reglas prácticas para escribir el desarrollo de cualquier cociente notable … … … 127

Determinación de un término cualquiera de un cociente notable … … … 128

Factorización

… … … …

136

Definición / Método para factorizar … … … 136

Factor común / Factor común monomio / Factor común polinomio … … … 136

Factor común por agrupación … … … 136

Método de identidades … … … 139

Diferencia de cuadrados … … … 139

Trinomio cuadrado perfecto … … … 139

Suma o diferencia de cubos … … … 139

Método del aspa … … … 142

Aspa simple … … … 142

Aspa doble … … … 143

Aspa doble especial … … … 146

Método de divisores binomios … … … 149

Finalidad / Divisor binomio … … … 149

Fundamento teórico … … … 149

Ceros de un polinomio … … … 149

Determinación de los posibles ceros de un polinomio … … … 149

Formas de factorización … … … 149

Método de artificios de cálculo … … … 152

Reducción a diferencia de cuadrados … … … 152

(8)

Métodos de sumas y restas … … … 153

Cambio variable … … … 155

Factorización recíproca … … … 157

Polinomio recíproco … … … 157

Procedimiento para factorizar un polinomio reciproco … … … 157

Ejercicicios Resueltos … … … 157

Factorización simétrica y alternada … … … 159

Polinomio simétrico … … … 159

Representación de expresiones simétricas … … … 159

Propiedad fundamental de un polinomio simétrico … … … 160

Polinomio alterno … … … 160

Propiedades fundamentales de un polinomio alterno … … … 160

Propiedades de los polinomios simétricos y alternos … … … 160

Factorización de un polinomio simétrico y alternos … … … 160

Otros artificios … … … 163

Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo … … … … …

169

Máximo común divisor … … … 169

Mínimo común múltiplo … … … 169

Fracciones Algebraicas

… … … …

173

Principales conceptos / Definición … … … 173

Signos de una fracción … … … 173

Cambios de signo en una fracción … … … 173

Simplificación de fracciones … … … 174

Operaciones con fracciones algebraicas … … … 175

Suma y resta … … … 175

Multiplicación y división … … … 176

Introducción el Binomio de Newton

… … … …

183

Factorial de un número … … … 183

Propiedades de los factoriales … … … 183

(9)

Variaciones / Permutaciones / Combinaciones … … … 185

Propiedades de las combinaciones … … … 186

Desarrollo del binomio de Newton / Método de inducción … … … 190

Fórmula del término general … … … 191

Término central … … … 194

Triángulo de Pascal o de Tartaglia … … … 196

Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario … … … 200

Propiedades del desarrollo del binomio … … … 200

Radicación

… … … …

206

Elementos de una raíz / Signo de las raíces … … … 206

Raíz de un monomio … … … 206

Raíz cuadrada de un polinomio / Regla práctica … … … 207

Raíz cuadrada por el método de coeficientes indeterminados … … … 207

Raíz cúbica de polinomios / Regla práctica general … … … 208

Raíces dobles / Concepto … … … 212

Transformación de radicales dobles en radicales simples o sencillos … … … 212

Descomposición de radicales múltiples en simples … … … 219

Operaciones con Raíces

… … … …

227

Principales conceptos … … … 227

Valor Aritmético de un radical / Valor algebraico de un radical … … … 227

Radicales homogéneos / Homogenización de radicales … … … 227

Radicales semejantes / Teorema fundamental de los radicales … … … 227

Suma de radicales / Multiplicación de radicales … … … 228

Potencia de radicales / Raíz de radicales … … … 228

Racionalización … … … 234

Fracción irracional / Factor racionalizante … … … 234

(10)

Primer caso / Ejercicios Resueltos … … … 235

Segundo caso / Ejercicios Resueltos … … … 235

Tercer caso / Ejercicios Resueltos … … … 237

Cuarto Caso / Ejercicios Resueltos … … … 238

Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas

… … … 243

Formas singulares o determinadas … … … 243

Formas indeterminadas … … … 243

Verdadero valor / Cálculo del verdadero valor … … … 243

Forma 0/0 … … … 243

Forma ∞/∞/ Ejercicios Resueltos … … … 247

Forma ∞- ∞/ Ejercicios Resueltos … … … 249

Forma 0 . ∞/ Ejercicios Resueltos … … … 251

Cantidades Imaginarias y Números Complejos

… … … …

255

Cantidades imaginarias / Definición … … … 255

Unidad imaginaria, Potencias de la unidad imaginaria … … … 255

Transformación de la potencia im_{donde “m” es entero y positivo … … … 255}

Números complejos, Definición … … … 264

Clase de números complejos / Complejo real / Complejo puro … … … 264

Complejo nulo / Complejos iguales … … … 264

Complejos conjugados / Complejos opuestos … … … 264

Representación gráfica de un complejo … … … 264

Representación cartesiana / Representación polar o trigonométrica … … … 264

Operaciones con complejos / Suma de complejos … … … 265

Multiplicación de complejos / Propiedades … … … 265

División de complejos … … … 265

Potencia de un complejo / Propiedades … … … 266

Raíz de un complejo … … … 266

Raíces cúbicas de la unidad … … … 269

Propiedades / Ejercicios Resueltos … … … 269

(11)

Ecuaciones … … … …

277

Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes … … … 277

Clases de Igualdades / Igualdad absoluta / Igualdad relativa o ecuación … … … 277

Clasificación de las ecuaciones … … … 277

Principios fundamentales que permiten transformar las escuaciones … … … 277

Ecuaciones de primer grado con una incógnita / Discución de la solución … … … 278

Problemas Resueltos … … … 282

Sistema de ecuaciones … … … 290

Sistema de ecuaciones lineales / Sistemas equivalentes … … … 290

Solución del sistema … … … 290

Clasificación de los sistemas de ecuaciones … … … 290

Principios fundamentales para la trasformación de sistema de ecuaciones … … … 290

Métodos de eliminación y resolución / Método de sustitución … … … 290

Método de igualación / Método de reducción … … … 291

Problemas Resueltos … … … 298

Determinantes … … … …

307

Definición … … … 307

Signos de un elemento … … … 307

Determinante de un segundo orden … … … 307

Valor determinante de segundo orden … … … 308

Determinante de tercer orden … … … 308

Regla de Sarrus … … … 308

Forma práctica de la regla de Sarrus … … … 309

Menor complementario de un determinante … … … 309

Desarrollo de un determinante por menores complementarios … … … 310

Propiedades de los determinantes … … … 310

Método de los determinantes para hallar la solución de un sistema de ecuaciones … … … … 310

Regla de Cramer … … … 310

Discusión de la solución de los sistemas lineales / Ejercicios Resueltos … … … 317

Ecuaciones de Segundo Grado … … … …

326

Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita … … … 326

(12)

Discución de las raíces de la ecuación de segundo grado … … … 327

Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado … … … 327

Forma de una ecuación de segundo grado conociendo raíces … … … . 327

Ecuaciones reductibles a cuadráticas / Ecuaciones bicuadradas … … … 339

Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … 339

Formación de una ecuación bicuadrada … … … 339

Ecuaciones recíprocas … … … 340

Ecuaciones binomias y trinomias … … … 343

Ecuaciones que se resuelven mediante artificios / Ejercicios Resueltos … … … 345

Sistema de ecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos … … … 352

Sistemas diversos / Ejercicios Resueltos … … … 356

Ecuaciones exponenciales … … … 358

Desigualdad e Inecuaciones

… … … …

363

Desigualdades, definiciones importantes … … … 363

Propiedades de las desigualdades … … … 363

Ejercicios sobre desigualdades … … … 364

Clases de desigualdades … … … 365

Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … 365

Solución a una inecuación … … … 366

Intervalo abierto / Intervalo cerrado … … … 366

Valor absoluto / Ejercicios Resueltos … … … 366

Inecuaciones / Sistema de inecuaciones … … … 367

Sistema de inecuaciones con una incógnita … … … 367

Sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas … … … 367

Inecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos … … … 370

Inecuaciones irracionales / Ejercicios Resueltos … … … 372

Progresiones … … … …

375

Progresión aritmética (P.A.) o “progresión por diferencia” / Propiedades … … … 375

(13)

Interpolación de medios aritméticos … … … 376

Progresión geométrica (P.G.) o “progresiones por cociente” … … … 379

Representación de una progresión geométrica / Propiedades … … … 379

Medios geométricos o proporcionales / Definición … … … 380

Interpolar medios geométricos entre dos números dados … … … . . … 380

Logaritmos … … … …

388

Sistema de logaritmos … … … 389

Propiedades generales de los logaritmos … … … 390

Cologaritmo / Antilogaritmo … … … 390

Cambio de un sistema de logaritmos a otro … … … 390

Logaritmos como progresiones / Definición … … … 396

Base del sistema de logaritmos definido por una P.G. una P.A. … … … 396

Sistema de logaritmos neperianos … … … 397

Sistema de logaritmos decimales / Vulgares o de Briggs … … … 398

Propiedades del sistema logaritmos … … … 398

Cálculo de la mantisa … … … 398

Transformar un logaritmo totalmente negativo en otro parcialmente negativo y viceversa … … … 398

Cálculo logaritmico / Suma de logaritmos / Resta de logaritmos … … … 399

Producto de logaritmos / Multiplicación y división de logaritmos entre si … … … 399

Conversión de logaritmos decimales a logaritmos neperianos … … … 400

Conversión de logaritmos neperianos a logaritmos decimales … … … 400

Interés Compuesto

… … … …

404

Principales conceptos / Deducción de la fórmula … … … 404

Caso en que el tiempo es múltiplo del período de capitalización … … … 405

Anualidades, Definición … … … 405

Anualidad de capitalización (Ac) / Deducción de la fórmula … … … 405

Anualidad de amortización (Aa) / Deducción de la fórmula … … … 406

(14)

CONCEPTOS FUNDAMENT

ALES

El álgebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general obteniendo ge-neralizaciones sobre el comportamiento operacional de los números. Estudia de esta manera, funciones numéricas; para lo cual se emplea números, letras y signos de operación.

Como el estudio de una función conduce finalmente al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice también que el álgebra es la ciencia que estudia las ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos son analizados a continuación:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es el conjunto de números y letras unidos entre sí por los signos de operación de la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la radi-cación.(*)

Ejemplos:

Son expresiones algebraicas las siguientes:

i) x

ii) 4x

iii) 4x2_{+ 5y}2_{+ 7z}2 _________

iv) 3x5_{+ 7}

_√

_x2_{- 5xy}4 ________________

3x2_{y - 3xy}7

No son expresiones algebraicas:

i) 5x

ii) log_ax

iii) sen x

Es necesario aclarar que todas las expresiones que tienen números y letras son expresiones algebraicas; a excepción de las últimas tres, que reciben el nom-bre de funciones trascendentes y que son utilizadas muy a menudo en el cálculo superior. Para una mayor ilustración, indicaremos la definición de las siguientes funciones trascendentes:

Función exponencial.-Representada por una base nu-mérica y un exponente literal, como por ejemplo: 7x_{(base = 7, exponente = x).}

Función logarítmica.- Representada por el símbolo “log.” y que se toma en una cierta base a un determi-nado número. Ejemplo: log_bN y se lee logaritmo en base bdel número N.

Función trigonométrica.- Representada por las fun-ciones seno, coseno, tangente y sus complementos aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que se lee: “seno de x”.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Según el tipo de número o variable de sus expo-nentes, radicales o denominadores las expresiones al-gebraicas pueden clasificarse en:

Enteras Racionales

{

Fraccionarias Expresiones

{

Algebraicas

Irracionales

a) Expresión algebraica racional

Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-nentes enteros o no tiene letras en su cantidad su-bradical(es decir, al interior de la raíz).

(15)

α

_α

Ejemplos:

i) 4ax2_{+ 5y}3_{+ 7z}4

ii) 4x-7_{+ 2y}-3_{+ 11z}-7

1 1 1

iii) ––x4₊_––_x8₊_––_x4

3 5 3

x2 _4z2 _2z3

iv) ––––+ ––––+ ––––

3yz 7xy2 _9y4

NOTA:

Se entiende por cantidad subradical a la parte de una raíz que se encuentra en el interior del radical. De este modo:

__

n

√

A , se lee “raíz n de A”

Donde n = índice, A = cantidad subradical

a.1) Expresión algebraica racional entera

Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-nentes enteros positivos o no tiene letras en su denominador.

Ejemplos:

i) 2x2_{+ 5y}7_{+ 12y}15 1 1 1

ii) –––+ –––+ ––– z4 3x 5y 4

iii)4x2 _y3 _z4_{- 8w}4 _t5

a.2) Expresión algebraica racional fraccionaria

Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-nentes negativos o tiene letras en su denominador.

Ejemplos:

i) 4x-3_{+ 7y}-9_{+ 12z}-4 1 2 7

ii) ––– +––– +––––

3x 5y 4z2

4x2_{+ 3y}3_{+ 7z}4

iii)––––––––––––

4x5_{+ 5yz}

iv)4x4_{+ 5y}3 _{+ 8z}5_{+ 9t}-2

b) Expresión algebraica irracional

Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-nentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad subradical.

Ejemplos:

i) 5x1/2_{+ 7y}1/3 _{+ 8z}1/5

ii) 4x-1/3 _{+ 8y}-1/5 _{+ 7z}-1/8 ________ __

iii)

√

4x2_{+ 5y}2_{+ 8}

_√

_z 2 7 8

Racionales Enteras

Exponente Exponente

entero entero positivo

Subradical Denominador

sin letras sin letras

{

Fraccionarias

Expresiones Exponente

Algebraica

{

entero negativo

Denominador

con letras

Irracionales

Exponente

fracción

Subradical

con letras

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es aquella expresión algebraica cuyas partes no es-tán separadas ni por el signo más ni por el signo menos. En otras palabras, un término algebraico es un monomio.

Ejemplos:

i) 4x2

ii) +5y3_z4

(16)

Partes de un Término Algebraico

coeficiente

(-7) x

4

exponente

parte literal

TEORIA DE EXPONENTES

La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar to-das las clases de exponentes que existen y las relacio-nes que se dan entre ellos.

La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cual se define así:

POTENCIACIÓN

Es la operación que consiste en repetir un número llamado basetantas veces como factor, como lo indi-que otro llamado exponente; al resultado de esta ope-ración se le denomina potencia, y se representa así:

Potencia = (base)exponente Ejemplos:

i) 27_{= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128}

144424443

7 factores 2

ii) 55_{= 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125}

14243

5 factores 5

iii)46_{= 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096}

1442443

6 factores 4

En general:

an_{= a . a . a . a . … . a}

1442443

“n” factores a

NOTA:

Recuerdese que para efectos del estudio algebrai-co, la base es literal y el exponente es numérico:

x5_{, y}4_{, z}8_{, etc.}

LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES

Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.

Se escribe la base común y como exponente se escri-be la suma de ellos.

am_{. a}n_{= a}m+n

Ejemplos:

i) x5_{. x}7 _{= x}5+7 _{= x}12

ii) x8_{. x}6_{. x}-3_{. x}-8_{. x}12_{= x}8+6-3-8+12 _{= x}15

iii)2m+3_{. 2}m+4_{. 2}4-2m _{= 2}m+3+m+4+4-2m _{= 2}11_{= 2 048}

División de Potencias de Bases Iguales.

Se escribe la base común y como exponente se escri-be la diferencia de dichos exponentes.

am –––= am-n

an Ejemplos:

x8

i) –––= x8-3 x3

x12

ii) –––= x12-(-3)_{= x}12+3_{= x}15 x-3

2m+3

iii)––––= 2m+3-(m-3)_{= 2}m+3-m+3_{= 2}6_{= 64} 2m-3

5x+2_{. 5}x+3 ₅x+2+x+3 ₅2x+5

iv)––––––––= ––––––= ––––

52x+1 ₅2x+1 ₅2x+1

= 52x+5- (2x+1)_{= 5}4_{= 625}

Exponente Cero.

Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero, es igual a la unidad. Así:

a0_{= 1, donde: a}_≠₀

Ejemplos:

i) 57 0_{= 5}1_{= 5}

ii) 429 0

= 42 1 _{= 4}2 _{= 16}

(17)

α

_α

Exponente Negativo

Toda cantidad diferente de cero, elevada a un expo-nente negativo, es igual a una fracción cuyo numera-dor es 1 y cuyo denominanumera-dor es igual a la misma ex-presión pero con el signo del exponente cambiado a positivo. Así:

1

a-n₌_––_{, donde: a}_≠₀ an

Ejemplos:

1 a2

i) x-3₌_–– _ii)_––_{= a}2_b4 x3 _b4

1 a-3 _b5

iii)2-1₌_––_{= 0,5} _iv)_––₌_–– 2 b-5 _a3

Potencia de un Producto.

Es igual a elevar cada factor a dicha potencia.

(a.b)n_{= a}n_{. b}n

Ejemplos:

i) (a . b)5_{= a}5_._b5 ___ ₂

ii)

(

√

3x

)

= 3x2

iii) x4_y4_{= (xy)}4

3x . 2x (3 . 2)x 6x

iv)––––––= –––––––= ––

6x ₆x ₆x

= –– = ––– iv)–––=

(

––

)

= 4n 5 53 ₁₂₅ ₂n ₂

Potencia Negativa de un Cociente.

Se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva. Luego, puede procederse como en el caso anterior.

= ––= –––

5 2 22 ₄

1 -3 ₅ 3

ii)

(

––

)

=

(

––

)

= 53_{= 125} 5 1

2 3 5 1 1 1

= 4 + 27 + 625 = 656

Potencia de Potencia.

Se escribe la misma base y el nuevo exponente es igual al producto de los exponentes.

(am₎n_{= a}m . n

Ejemplos:

i) (x2₎3_{= x}(2)(3)_{= x}6

ii) [(x3₎4_]5_{= x}(3)(4)(5)_{= x}60

iii)(x-3₎-4_{= x}12

iv)(x-2₎5_{= x}-10

Nota:

Para el caso de tener muchos exponentes, se puede generalizar la regla como sigue:

{ [(am₎n_]r _}s_{= a}m . n . r . s

RAÍZ DE UNA POTENCIA

Se escribe la base y como nuevo exponente, la divi-sión del exponente de la potencia entre el índice del radical.

p __ _{_}

n

(18)

Ejemplos:

10 __ __

i)

√

5 x10_{= x}5_{= x}2 ___ ______

48 12 ___ __ ____ __

ii)

x64 ₌

√

_√

_x32₌

√

_√

_x16 _{= x}8 = x4

Nota:

Cuando se tiene muchos radicales, se puede gene-ralizar la regla como sigue:

__________{______}

______{__ __} _{___}₁

√

a = mnsr

√

a = a mnsr

Exponente Fraccionario

Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a la raíz de dicha cantidad, cuyo índice es el denominador de la fracción y el numerador per-manece como exponente. Por lo tanto:

p

_ __

an=n

√

ap

Ejemplos:

3

_ __

i)a 5₌

_√

5_a3 1

_ __

ii)83₌

_√

3_{8 = 2} 2

_ __

2

iii)64 3₌

(

_√

3₆₄

)

_{= (4)}2_{= 16}

RAÍZ DE UN PRODUCTO

Es igual a extraer la raíz de cada factor, y luego efec-tuar el producto.

__ __ __ n

√

_____ ___ x20

_√

5_x20 _x4

i) 5 ––– = –––––___= ––

√

y35

_√

5_x20 _y7 _____ ___

3_x(5)(3)_y2₌

_√

3_x15_y2

LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS

OPERACIONES ALGEBRAICAS

MULTIPLICACIÓN

El producto de dos términos de signos iguales es po-sitivo, y de signos diferentes es negativo.

a) [+] . [+] = [+]

b) [-] . [-] = [+]

c) [+] . [-] = [-]

d) [-] . [+] = [-]

DIVISIÓN

(19)

α

_α

[+] [+]

a)–––= [+] b)–––= [-]

[+] [-]

[-] [-]

c) –––= [+] d)–––= [-]

[-] [+]

POTENCIACIÓN

La potencia de una base con exponente par, siempre es positiva; pero la potencia de una base con expo-nente impar, depende del signo de la base:

a) [+]par _{= [+]}

b) [+]impar _{= [+]}

c) [-]par _{= [+]}

d) [-]impar _{= [-]}

RADICACIÓN

Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo signo que la cantidad subradical. Si el índice es pary la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad subradical es negativael resultado será una cantidad imaginaria, que no existirá en el campo real.

___ a)impar

_√

[+] = [+]

___ b)impar

_√

[-] = [-]

___

c)par

_√

[+] = [±] ___

d)par

_√

[+] = cantidad imaginaria

Nota:

Para efectos de estudio, se empleará, en el caso (c), raíces de índice par y cantidad subradical po-sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el valor positivo.

EJERCICIO RESUELTOS

Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los signos en las operaciones algebráicas.

1.-Calcular el valor de:

2x+4_{+ 36(2}x-2₎

E = ––––––––––––––––––––––––––––––

2x+5_{- 2(2}x+3_{) - 4(2}x+1_{) - 6(2}x-1₎

Solución:

Por la ley de la teoría de exponentes se conoce que:

am am+n_{= a}m_{. a}n _; _am-n₌_–– an Aplicando al ejercicio:

2x 2x_{. 2}4_{+ 36}

(

–––

)

22

E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2x 2x_{. 2}5_{- 2(2}x_{. 2}3_{) - 4(2}x_{. 2}1_{) - 6}

(

–––

)

2

Operando apropiadamente:

16 . 2x_{+ 9 . 2}x

E = ––––––––––––––––––––––––––––

32 . 2x_{- 16 . 2}x_{- 8 . 2}x_{- 3 . 2}x

Se hace el cambio de 2x_{= a, para hacer más} sim-ple las operaciones:

16a + 9a 25a E = ––––––––––––––––––= ––––= 5

32a - 16a - 8a - 3a 5a

Rpta.:= 5

4 -n –

43

(

₈3

)

E = ––––––––––

[4(4-1₎n_]2 Solución:

Transformemos el numerador, para escribir con base 4:

-n -n -n 4 4

_ _

(

8 3

)

₌

[

₍₂3₎3

]

_{= (2}4₎n₌

[

₍₂2₎2

]

_{= 4} Reemplazando en la expresión original:

43_{. 4}-2n ₄3_{. 4}-2n ₄3-2n E = ––––––––= –––––––= ––––––

(41_{. 4}-n₎2 ₍₄1-n₎2 ₄2-2n

E = 43-2n(2-2n)_{= 4}3-2n-2+2n_{= 4}1_{= 4}

(20)

3.-Hallar el valor de la expresión: ___________ n ₂₀n+1 E =

√

––––––––––

4n+2_{+ 2}2n+2

Solución:

Transformando el denominador:

4n+2_{+ 2}2n+2 _{= 4}n+2_{+ 2}2(n+1)

= 4n+2_{+ (2}2₎n+1

= 4n+2_{+ 4}n+1

= 4n+1 ₍₄1₊₁₎

= 4n+1 _{. 5}

reemplazando en la expresión, y transformando el numerador:

Se sabe que: (a . b)n _{= a}n _{. b}n

descomponemos en factores primos, para aplicar esta ley:

(3 . 7)6_{(7 . 5)}3₍₂4_{. 5)}3 E = –––––––––––––––––––––

(3 . 5)4_{(2 . 7)}9_{(2 . 3 . 5)}2

aplicando la ley anterior:

36_{. 7}6_{. 73 . 5}3_{. 2}12_{. 5}3 E = ––––––––––––––––––––––

34_{. 5}4_{. 2}9_{. 7}9_{. 2}2_{. 3}3_{. 5}2

multiplicando potencias de bases iguales:

36 _{. 7}9_{. 5}6 _{. 2}12 E = ––––––––––––––

36_{. 7}9_{. 5}6 _{. 2}11

simplificando:

212

E = –––= 212-11_{= 2}1_{= 2} 211

Rpta.: 2

5.-Calcular el valor de: __ -6

√

3 _____ 3

√

3 _{__} E =

[

√

3√3

]

Solución:

Escribimos la raíz principal en la forma expo-nencial:

––

-6

√3 __

√3 E =

[

–––₃_

]

√3 3

luego, transformamos los exponentes:

31/2 -1/6 1 1 -1/6 ––– 3

(

–– - ––

)

₃

2 3 31/3 ₃ E =

[

(3)

]

=

[

(3)

]

1 - –

1 6 1 1 1 1 –₆ 3 –₆ - –₆ –₆- –₆ ₀

=

[

3 = (3)3 . 3 _{= (3)}3 _{= 3}3 _{= 3}1_{= 3} 3

]

Rpta.:3

6.-Simplificar la expresión:

1 1 -2 – –

E =

{

m-1

[

_m(m3₎2

]

5

}

Solución:

Efectuando operaciones:

1 -2 1 1 -2

– – –

E = (m-1₎-2

[

_(m1₎5

]

{

[

_(m3₎2

]

5

}

2 3 2 3 - – - – 2- –- –

(21)

2 + 3 5 2- ––– 2- –

E = m 5 _{= m} 5_{= m}2-1_{= m}1_{= m}

Rpta.:m

7.-Calcular:

_________ 2n+1 E = n ––––––––––_______{__}

√

n+2

√

4

√

4n Solución:

n ₁₀n_{+ 15}n_{+ 6}n ––––––––––––––

E = ₆n_{+ 15}n_{+ 10}n

(

––––––––––––

)

√

5n_{. 2}n_{. 3}n

Luego:

_________________

n ₁₀n_{+ 15}n_{+ 6}n

–––––––––––––– ––––––––––

1 n _{(5 . 2 . 3)}n ––––––––––––––=

√

–––––––––

E = ₁₀n_{+ 15}n_{+ 6}n ₁

[

––––––––––––

]

√

(5 . 2 . 3)n Simplificando:

n ––– –

E =

√

n(30)n_{= 30}n_{= 30}1_{= 30}

Rpta.: 30

9.-Calcular:

1 _

2n+1_{. 5}n+1_{- 2}n_{. 5}n n E =

[

––––––––––––––––

]

23_{. 5}2_{+ 5}n

Solución:

Separemos los exponentes que aparecen suma-dos:

1 _

2n _{. 2}1_{. 5}n_{. 5}1 _{- 2}n_{. 5}n n E =

[

–––––––––––––––––––

]

23_{. 5}2_{+ 5}n

Hagamos que: 2n_{= a; 5}n_{= b:}

1 1

1

_ _ _{_}

10ab - ab n _9ab n E =

[

––––––––

]

=

[

––––

]

= an

8b + b 9b

1 n

___ ___

23(x-1) _{= (2}3₎3x-7

3x-1 x-3

___ ___

23x-3 _{= 2}3x-7

Si igualamos los exponentes (dado que son fun-ciones exponenciales):

3x - 1 3x - 9

–––––= ––––––

3x - 3 3x - 7

(3x - 1)(3x - 7) = (3x - 3) (3x - 9)

9x2_{- 21x - 3x + 7 = 9x}2_{- 27x - 9x + 27}

simplificando:

-21x - 3x + 27x + 9x = 27 - 7

12x = 20

5 Rpta.:x = ––

3

12.-Resolver:

___ 3 x-1 ₄ ₉

(

––

)

–– =–––

4

√

3 16

Solución:

Transformemos buscando una base común:

igualando los exponentes:

x - 1 1 2

–––––- ––= ––

1 2 1

eliminado los denominadores:

2x - 2 - 1 = 4 2x = 7

Rpta.: x = 7/2

13.-Hallar el valor de:

–––––––––––––– ____

4-1 _{= 4}n _{= 4}n _{= 4}-n

Reemplazando las expresiones transformadas, en la expresión inicial:

________________

n

64n+1_{. 4}n+1_{. 4}n-1 E =

√

––––––––––––––

64n+1_{. 4}-n

simplificando y efectuando: _______

n

4n+1+n-1 E =

√

––––––

4-n _____ _____ ___ E =

√

n42n-(-n)₌

_√

n₄2n+n₌

_√

n₄3n

3n

–––

E = 4n_{= 4}3_{= 64}

(23)

2a 2b

–– ––

4a-b_{+ 12 . 4}a-b R = ––––––––––––_a-b____

√

4a+b

Solución:

La expresión se puede escribir así:

2a 2b 2a 2b

–– –– –– ––

4a-b_{+ 12 . 4}a-b ₄a-b _{12 . 4}a-b R = ––––––––––––= –––––+ ––––––––

a+b a+b a+b

–– –– ––

4a-b ₄a-b ₄a-b

Operando convenientemente:

2a a+b

––––- –––– 12 R = 4 a-b a-b ₊_{–––––––––}

a+b 2b ––––- ––––

4 a-b a-b

y, efectuando los exponentes:

2a-a-b –––– ₁₂

R = 4 a-b₊_{––––––} a+b-2b –––––

4 a-b

Simplificando:

a-b ––– ₁₂

R = 4 a-b₊_{––––––}_{= 4 + 3 = 7} a-b

–––

4a-b

Rpta.: 7

––––––––––––––– n

3

81 n

E = _______ 3 3 n+1 3

3

√

[

√

2163

]

Solución:

Por convenir, se realiza las siguientes equiva-lencias:

•33n _{= x}

n n n •813 _{= (3}4₎3 _{+ ( 3}3 ₎4_{= x}4

•33n+1 _{= 3(}3n. 31) = 3(3n. 3) = (33n₎3 _{= x}3

•216 = 63

Reemplazando los equivalentes en la expresión propuesta:

__________ x4

E = _{_____} x

√

[

3

√

(63₎x3

]

Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera: ___________ _______ _______

x4 x4 x4

E = x ₌

3x3 x

= x1 _____ __

√

[

3

√

(63₎x3

]

√

[

₆3

]

√

[

₆x3

]

x4

–––– ––

E = x4

√

6x4 _{= 6}x4_{= 6}

Rpta.: 6

16.-Calcular el valor de:_{_______} _{________}

n-1 n-1

4n-1_{+ 1} ₅n-1_{+ 1} E =

√

–––––– + –––––––

41-n_{+ 1}

√

₅1-n_{+ 1}

_______ ________ n-1 n-1

1 _{1 + a}n-1

––––+ 1 _{––––––––}

√

a n-1

√

an-1 _______

n-1 _an-1_{+ 1}

–––––– _n-1

1 ___

= –––––– = a n-1 _{= a} an-1 _{+ 1}

––––––––

√

a n-1 Por lo tanto, por analogía:

________ n-1

4n-1_{+ 1} –––––––= 4

√

xn3

√

_xn4_…

_√

n _xnn

n4_____________________ E = x . x . x .

√

xn4_…

_√

n _xnn por lo que, al final se obtendrá:

E = x . x . x . x … x = xn

1442443

“n” veces

Rpta.: xn

__ –––––––––– 7 7

√

7 ₇-1

7 __

[

7

) (

7

)

]

Solución:

__

Si definimos

√

77 = x, luego:

1

7 x

)

₍₇-x₎x x7 _x7 = –––––= ––= 7

7 .7-1 ₇0

Reponiendo el valor de x: __

E =

(

√

77

)

7 _{= 7}

Rpta.: 7

20.- Señalar el exponente de “x” después de simpli-ficar (hay “n” radicales):

4

4n_{- 1} luego, el exponente es: –––––

4n

21.-Simplificar la expresión:

1 –

2n_{. 12}n+2 ₃₀n+1 n 6n + –––––––––.–––––

4n+2 ₅n-1

E =

[

––––––––––––––––––––––––––––

]

23 . 5n_{. 14}n 2n+1_{. 5}n_{+ 25 . 10}n_-_{––––––––––}

7n

Solución:

Trabajando por partes:

2n_{. 12}n+2 ₂n_{(4 . 3)}n+2 ₂n_{. 4}n+2_{. 3}n+2 •–––––––= –––––––––= ––––––––––––

4n+2 ₄n+2 ₄n+2

= 2n_{. 3}n_{. 3}2_{= 9 . 6}n

30n+1 _{(6 . 5)}n+1 ₆n+1_{. 5}n+1

•––––= ––––––––= –––––––––= 6n_{. 6 = 6 . 6}n 5n+1 ₅n+1 ₅n+1

• 2n+1 _{. 5}n _{= 2 . 2}n _{. 5}n _{= 2(2 . 5)}n _{= 2 . 10}n

23 . 5n _{. (14)}n _{23 . 5}n _{. (7 . 2)}n

•––––––––––––= ––––––––––––––––=23 . 10

7n ₇n

Reemplazando:

1_

n 6n_{+ 9 . 6}n_{- 6 . 6n} E =

[

–––––––––––––––––––––––

]

2 . 10n_{+ 25 . 10}n_{- 23 . 10}n

1

_

n 4 (6)n E =

[

––––––

]

4 (10)n

1

_

n 6 n ₆ E =

[

(

–––

)

]

= ––

10 10

Rpta.: 0,6

bb

√

b

)

√

b = b = b

1 –

-1

-b -1

-b

(

b b

)

(

b b

)

1 1

x3._–

– x

x ___ E =

[

xx_.

_√

x_x3

]

Efectuando las operaciones necesarias:

x2

x2 1

_

3 x 3 1

_ __._

E =

[

xx_.

(

_xx

)

]

_{= (x}x₎x2

[

_xx x

]

= xx3_{. x}3_{= x}3 _{. 3 = 3 . 3 = 9}

Rpta.: 9

1. Calcular:

2 √2 √2

E =

[

]

2

__

1 a) 2 b)√2 c) ––––__

√

2 1

d) –– e) 4 2

2.Hallar E = a.b en la relación:

ab_{. b}a_{= 2}21/2

1 __

√

55

__ a) 3 125 b) 625 c) 25 d) 5 e)

√

55

4.Calcular “n” en la igualdad: _____________________{_______________}

______________{__} 32 -1

(

––

)

√

x3

√

_x3

√

_x3_……

√

_x3 _{= x}93

1444442444443

“n” radicales

a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8

5.Efectuar:

_____________________________ _____________________ ______________ ______

1 3 -2

3

(

––

)

36 ₅ ₅ ₃ ₃

__

__ __ __ __ 5

6.Efectuar:

156_{. 12}4 _{. 5}9_{. 6}3

––––––––––––––––––––––

1011_{. 3}13 _{. 5}4

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6

(27)

ECUACIONES EXPONENCIALES

Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes. Se entiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a sus incógnitas.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales:

i) 5x _{= 125}

ii) 238x _{= 512}

iii)

[

A4 x

]

2

-x

= A1645

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXPONENCIAL

Es el valor o valores que verifican la igualdad relativa.

Ejemplos:

i) 5x_{= 125}_⇒ _{x = 3, dado que: 5}3 _{= 125}

ii) 7x+1_{= 343}_⇒_{x = 2, dado que: 7}2+1_{= 7}3_{= 343} Para obtener la solución se debe tener en cuenta:

1) Las bases de las potencias deben ser iguales.

2) Para que haya igualdad, los exponentes de las po-tencias, como consecuencia, deben ser iguales.

En resumen:

Si Am_{= A}n _∴ _{m = n}

EJERCICIOS RESUELTOS

1.-Resolver:

9 x ₈ x-1 ₂

(

––

) (

––

)

= ––

4 27 3

Solución:

Transformando las potencias:

x x-1 3 2 ₂ 3 ₂

[

(

––

)

]

.

[

(

––

)

]

= ––

2 3 3

Efectuando operaciones e invirtiendo la potencia:

x-1 3

3 2x ₃ -1 ₃ -1

(

––

)

{

[

(

––

)

]

}

=

(

––

)

2 2 2

(

––

)

=

(

––

)

2 2

Igualando los exponentes:

-x + 3 = -1

x = 4 Rpta.: 4

2.-Resolver:

3x_{+ 3}x-1_{+ 3}x-2_{+ 3}x-3_{+ 3}x-4 _{= 363} 7. Efectuar:

1

–

₂

-1

1 1

-

(

––

)

_-1 - –

1 1 2 1 -3 1 -16 2 E =

[

)

]

2 4 125 81

a) 1/2 b) 1/4 c) 2 d) 4 e) 3

8. Calcular:

2 x –––––––– xxx -

[

xxx

]

xx _2xx

xx E =

{

√

x

}

__

a) 1 b) x c) x2 _d)

_√

_x _{e) x}x

9. Calcular: _{__}_{________________} _______________{________} 4

√

x3

______ ______ ______ ___ ___ ___

xa _yb

zc E =

a b

––

b _c

–– c a ––

√

yb

√

_zc

√

_xa

a) a b) b c) c d) 1 e) 0