Tema 13

(1)

13

Cálculo de primitivas

ACTIVIDADES INICIALES

13.I. Escribe los siguientes cocientes en la forma ( ) ( )

P x Q x =

( ) ( )

( )

R x C x

Q x

+ con grad(R) < grad(Q).

a) 3 2 2 1 2

x x

x

+ −

+ b)

4 3 2

2 ₂

x x x x

x x

− + +

+ +

a)

2 1 2

1

2 2 2

3

+ − = +

− +

x x x

x x

b)

2 2 4 1 2

2 2

2 3 4

+ +

− + + − = + +

+ + −

x x

x

x x x x

13.II. Halla todas las raíces reales y complejas de los siguientes polinomios y da su factorización en polinomios irreducibles con coeficientes reales.

a) _{P x}_{( )}₌_x5₊_x4₋_x3₊₁₅_x2 _b)_{Q x}_{( )}₌_x4₊₁₀_x2₊₉

a) _P(_x)₌_x5₊_x4₋_x3₊15_x2₌_x2(_x₊3)(_x2₋2_x₊5)_{. Raíces:}_x_{= 0 doble,}_x_{= –3,}_x_{= 1+2}_i_y_x_{= 1 – 2}_i b) _Q(_x)₌_x4₊10_x2₊9₌(_x2₊1)(_x2₊9)_._Raíces:_x₌_i_,_x_{= –}_i_,_x_{= 3}_i_y_x_{= –3}_i

13.III. Halla un polinomio de tercer grado con coeficientes reales sabiendo que dos de sus raíces son x1=1 y 2 2 3

x = + i.

2 3 2

( ) ( 1)( 2 3 )( 2 3 ) ( 1)( 4 13) 5 17 13

P x = x− x− − i x− + i = x− x − x+ =x − x + x− .

EJERCICIOS PROPUESTOS

13.1. Comprueba que F(x) = sen2_x_{es una primitiva de}_f₍_x₎₌_{sen 2}_x_y_G₍_x₎₌ 1

2

− cos2x, otra primitiva de f(x). ¿En qué constante se diferencian?

Como F'(x)=2senxcosx=sen2x y G'(x)=sen2x, ambas son primitas de f(x) y, por tanto, F(x) = G(x) + C para todo x. Para calcular la constante se toma x = 0, F(0) = 0 y G(0) =

2 1 − , 0 =

2 1

− + C, luego C = 2 1_.

13.2. Calcula la derivada de las funciones f(x) = arctgx y (x) =−arctg 1

x. Y, sin calculadora, obtén el valor de

arctg7 + arctg1 7.

2

1 ( )

1

f x x

′ =

+ , 2

1 ( )

1

g x x

′ =

+

Como f(x) y g(x) tienen la misma derivada, son primitivas de la función ₂ 1

1 ) (

x x F

+

= y, por tanto, f(x) = g(x) + C

y como f(1) = –g(1), entonces f(1) = –f(1) + C, por tanto, C = 2f(1) = 2

π_{. Así pues, arctg(}_x_{) + arctg}

x

1₌ 2 π_para

todo x. En particular, arctg7 + arctg1 7 = 2

(2)

13.3. Calcula las siguientes integrales indefinidas:

a)



(

sen_{x e}₋ x ₊ _{x dx}

)

_c)

(

₁₊3 _x2

)

_dx



b) 3 2

1

x dx

x

 ₋ 

 

 



d)



3 _x2 _{x dx}

a)

(

)

1 ₁

3 2

1 2

sen cos cos

1 ₁ 3

2

x x x

x e− + x dx= − x e− + x + + = −C x e− + x +C

+



b) C

x x C x x

dx x

x + = + +

+ − − + =

   



 ₋ + − +



1

4 3 1

2 1 1

3 1 1

1 3 1 2 1 3 4

1 2

3

c) x dx x x +C=x+ x +C

+ + =

    

 ₊ +



3 1 3 5

2 3 2

5 3 1

3 2 1 1

d) x xdx x dx x +C= x +C

+ =

=



+



6 1 6 11

5 6 5

3 2

11 6 1

6 5 1

.

13.4. Calcula, en cada caso, la función f(x) que verifica las condiciones dadas:

a) f’ (x) = cos x+ x x y f(π) = 0

b) f′(x) = 2

3 1

x

e

x −

+ y f(0) = 1

c) f′(x) =x – 2cos x y la gráfica de f corta a la bisectriz del 2.º cuadrante en el punto de abscisa x = π.

a)

(

)

( )

5 2 sen cos

cos 2 5

3

x f C x x dx x x dx

x x

x _ = + + =

  

  

+ =

+



Para calcular C se utiliza f(π) = 0, 5 5

5 2 5

2 sen

0= π+ π +CC=− π .

Luego 5 5

5 2 5

2 sen )

(x = x+ x − π

f

b) 3arctg( ) ( )

1 1

3 ₂dx e dx x e C f x

x

x ₌ ₋ ₊ ₌

−

+



2 1 )

0 ( arctg 3 ) 0

( ₌ ₋_e0₊_C₌ __C₌

f

Luego: 2_f(_x)=3arctg(_x)−_ex+

c)

(

)

2sen ( )

2 1 cos

2 _x _dx _x2 _x _C _f _x

x− = − + =



y se sabe que f(π) =−π. π

− π − =



π − = + π − π =

π 2 2

2 1 sen

2 2 1 )

( C C

f

Luego: = 2− − π2−π 2 1 sen 2 2 1 )

(x x x

(3)

13.5. Calcula las siguientes integrales indefinidas:

a)



2

+ 1 + 2 + 3

t

dt

t t d)

( )



cos lnt dt t

b)



2 2

1+

s s

e ds

e e)



1+

s 2s

e ds

e

c)

_

(

_x2_{+ 1}

)

20⋅₅_{x dx} _f)



_1-2 4

x dx x

a) dt t t C

t t

t dt

t t

t

+ + + = + +

+ =

+ +

+

_



2 3

3 2 2

2 2 3

2

1 2

2 2

b) ds

(

e

)

C

e e ds

e

e s

s s

+ + = +

=

+



2

2 2 2

2

1 ln 2 1 1

2 2 1 1

c)



(

x2+

)

20⋅ xdx=



(

x2+

)

20⋅ xdx=

(

x2+₁

)

21+C

42 5 2

1 2

5 5 1

d)

( )

dt t C

t t

+ =



cosln sen(ln )

e)

( )

e ds e C

e ds

e

e s

s s

+ =

+



arctg( )

1

1 2 2

f)

( )

x dx

( )

x C

x dx

x x

+ =

− =

−



2

2 2

4 arcsen

1 2 1

2

13.6. Halla las primitivas de las siguientes funciones:

a) _{f x}_{( ) 2 (sen}₌ _x _x2_)(cos4_x2₎

b)

_

tg 3

(

x+2

)

dx

a) f x =



x x2 4x2 dx=−



x− x2 4x2 dx=− _cos5x2+C

5 1 )

cos 5 )( sen ( 2 5 1 )

)(cos sen ( 2 ) (

b)

(

)

(

)

dx x C

x x dx

x =− + +

+ + −

− =

+



lncos(3 2)

3 1 )

2 3 cos(

2 3 sen 3 3 1 2

3 tg

13.7. Calcula las derivadas de _{f x}_{( )}₌_tg2_x_y

2

1 ( )

cos

g x

x

= , simplifícalas al máximo y explica qué observas.

x x x

x x

f ₂ ₃

cos sen 2 cos

1 tg 2 ) (

' = =

x x x

g ₃

cos sen 2 ) ( ' =

Sus derivadas son iguales, luego son dos primitivas de

x x x

h ₃

cos sen 2 )

( = . Como f(x) = g(x) + C, mirando su valor en

x = 0, se tiene que 0 = f(0) = g(0) + C = 1 + C, 2

2

1

tg 1

cos

x

(4)

13.8. Obtén las siguientes primitivas:

a)

(

_x2₋₅_x₊_{1 cos}

)

_{x dx}



e)



xlnx dx

b) arctg



x dx f) _x_{(ln )}_{x dx}2



c) arcsen



x dx g) (1₋_{x e dx}) −x



d)



(

_x7₋₃_x₊_{1 sen}

)

_{x dx}_h)



_e3x_cos_{x dx}

a)



(

x2−5x+1

)

cosxdx

f g’

x2 – 5x + 1 cos x

2x – 5 sen x

2 –cos x

0 –sen x

(

)

(

)

(

)

(

x x

)

x

(

x

)

x C

C x x

x x x

x dx x x

x

+ −

− =

= + − + − − − +

− = +

−



cos 5 2 sen 1 5

) sen ( 2 ) cos ( 5 2 sen 1 5 cos

1 5

2

2 2

b)



arctgxdx

f g’

arctg x 1

2

1 1

x

+ x

(

x

)

C

x x dx x x x x dx

x = − + +

+ −

=



2

2 ₂ln1

1 arctg 1

arctg arctg

c)



arcsenx dx

f g’

arcsen x 1

2

1 1

x

− x

C x x x

dx x x x x

dx

x = + − +

− −

=



2

2 arcsen 1

1 arcsen

arcsen

d)



(

x7−3x+1

)

senx dx

f g’

x7 – 3x + 1 sen x

7x6 – 3 –cos x

42x5 –sen x

210x4 cos x

840x3 sen x

2520x2 –cos x

5040x –sen x

5040 cos x

0 sen x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

7 7 6

5 4 3 2

7 5 3

6 4 2

3 1 sen 3 1 ( cos ) 7 3 ( sen ) 42 cos 210 sen 840 ( cos ) 2520 ( sen ) 5040 cos 5040sen 42 840 5043 1 cos

7 210 2520 5043 sen

x x x dx x x x x x

x x x x x x x x

x x x C x x x x x

x x x x C

− + = − + − − − − +

+ − + − − − +

+ − + = − + − + − +

+ − + − +



e)



xlnxdx

f g’

ln x x

x

1 3

3 2

x

3

3 3 3

3

2 2 2 4

ln ln · ln

3 3 3 9

2 _ln 2

3 3

x

x x dx x x dx x x x C

x

x x C

= − = ⋅ − + =

 

= _ − _+

 

(5)

f)



x_(lnx₎2dx

f g’

(ln x)2 x

x x

ln

2 2

2 1

x

( )

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

1 1 1 1

ln ln ln ln ln

2 2 2 2

1 _ln 1 _ln 1

2 2 4

x x dx x x x x dx x x x x x dx C

x x x x x C

= − = − + + =

= − + +



g)



₍₁−x₎e−xdx

f g’

1– x e-x

–1 –e-x

0 e-x

C xe C e e

x dx

e

x x ₌₋ ₋ x₋ ₋ x₊ ₌ x₊

− − − − −



(1 ) (1 ) ( 1)

h)



e3x_cosxdx

f g’

e3x cos x

3e3x sen x

9e3x –cos x

3x_cos 3x_sen ₃ 3x_cos ₉ 3x_{( cos )}

e x dx=e x+ e x+ e − x dx



Por tanto, e x xdx₌e x

(

senx+ x

)

₊C



10

cos 3

3 _.

13.9.Calcula las siguientes primitivas previa descomposición en fracciones simples:

a)



2 + 5

dx

x b)



(

- 1

)(

+ 3

)(

+ 5

)

xdx

x x x

c)

(

)(

)



_{- 1}2 - 1x _{- 2} dx

x x d)



5 4 3

- 8 - 4

x + x _dx

x x

a) x C

x dx

+ + =

+



ln2 5

2 1 5

2

b)

(

x

)(

x

)(

x

)

x dx x dx x dx

(

x x x

)

C

xdx

+ + − + + − =

+ − + + + − = + +

−



ln 1 9ln 3 10ln 5

24 1 5 12 5 3

8 3 1

24 1 5 3

1

c)

(

x

)(

x

)

dx x dx x dx x x C

x

+ − + − − = − + − − = − −

−



ln 1 3ln 2

2 3 1

1 2

1 1 2

d)

(

)

=

+ − + − + +

+ + = + −

− + + + + = −

− +



dx

x dx x dx x x x x dx x x x

x x dx x x dx x x

x x

2 3 2

5 2

4 2 3 ) 2 )( 2 (

8 16 4 4

4

8 2 3 2

2 3

4 5

C x x

x x x x

+ + − − + + + +

= 4 2ln 5ln 2 3ln 2

2 3

(6)

13.10. Determina las siguientes primitivas:

a)

(

) (

)



2

- 1 - 2

dx

x x b)



(

)

(

)

2 2

2 - 3 - 3 - 1 - 2 + 5

x x _dx

x x x c)



3_{+ 1}

dx

x d)



3

4 2

- 6 + 6 + 8

x _dx

x x

a)

(

) (

)

(

)

x x x x C

dx x dx x dx x x dx + − + − + − − = − + − − + − − = − −



ln 2

1 1 1 ln 2 1 1 2

12 2

b)

(

)

(

)

₊ =       − + + − − + − − = + − − + − − = + − − − −



dx x dx x x x x dx x x x dx x dx x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 5 2 2 2 2 3 1 ln 5 2 2 3 1 1 5 2 1 3 3 2 2 2 2 2 2 C x x x

x +

     − + + − + − − = 2 1 arctg 2 1 5 2 ln 2 3 1 ln 2

c) =

+ − + − + + = + − + = +



dx x x x x dx x x x dx x dx 1 3 2 3 1 1 3 1 ) 1 )( 1 (

1 2 2

3

2 2

2

1 1 2 1 1 2 ₃

ln 1 · ·

3 6 1 2 3 ₂ 1

2 1

3

x

x dx dx

x x _x

− = + − + = − +   −     _ _   +      



2

1 1 3 2 1

ln 1 ln 1 arctg

3 x 6 x x 3 3x 3 C

 

= + − − + + _ − _+

 

d) =

+ + + + − − = + + − = + + −



dx x x dx x x dx x x x dx x x x 4 3 2 2 3 ) 4 )( 2 ( 6 8 6 6 2 2 2 2 3 2 4 3

(

x

)

x x x C

dx x dx x x dx x dx x x +       + + +       − + − = = +       + + + +       − + − =



2 arctg 2 3 ) 4 ln( 2 arctg 2 3 2 ln 2 1 1 2 2 1 2 3 4 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

13.11. Calcula las siguientes primitivas:

a)



1-1+

x dx

x b)



2

1+ + 1

x x

e _dx

e c)



3 _{+ 1}

1 _dx

x

a) 1 1 x dx x − _ +



dx t dt dx

x dt x

t= + = 2( −1) =

2 1 ; 1

(

)

1 2( 1)( 2) ₂ ₆ ₄

1

x _dx t t _dt _t _dt dt

t t

x

− ₌ − − − _{= −} ₋ ₋

+



=

(

) (

2

)

2 ₆ _4ln ₁ _{6 1} _{4ln 1}

t t t C x x x C

= − + − + = − + + + − + +

b) 1₂ 1 x x e dx e + _ +



dx t dt dx e dt e

t₌ x_; ₌ x _ ₌

(

)

( )

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 2 1

ln

1 1 1 2 1 1

1 1

ln ln 1 arctg ln 1 arctg

2 2

x x

e t t t

dx dt dt dt t dt dt

e t t t t t t

t t t C x e e C

+ ₌ + ₌ ₊ − + ₌ ₋ ₊ ₌ + + + + + = − + + + = − + + +



c) 3 1 1dx

x+ 



_{( )}

dx t dt dx

x dt x

t= =  2 =

2 3 3 ₃ 3 1 ;

(

)

2

3 3 3

2 2

3

1 3 1 3 3

3 1 3 3 3ln 1 3 3ln 1

1 1 2 2

1

t

dx dt t dt dt t t t C x x x C

t t

x+ = + = − + + = − + + + = − + + +

(7)

13.12. Halla las primitivas siguientes:

a) ₃ 1

x dx x +



b) x 5dx

x

+



(llama x 5 _t2

x

+ ₌ ₎

a) ₃ 1

x dx

x+ 



_{( )}

t dt dx

x dx dt x

t= =  5 =

5 6

6 ₆

6 ;

(

)

5 3

6 4 2 7 5 3

2 2

3

6

6 5 6 6

6 1 6 6 6

6 1 6 6 6arctg ( )

1 1 7 5 3

1

6 6

2 6 6 arctg ( )

7 5

x t t

dx dt t t t dt dt t t t t t C

t t

x

x x x x x x C

⋅

= = − + − + = − + − + + =

+ +

+

= − + − + +



b) dx

x x



+5

(llama 5 _t2

x x

=

+ ₎

(

)

2

2 2

2

2 ₂

5 5 5 1 5 10

1 ; 2

5 ₁

x t

t t tdt dx dx dx dt

x x x x _t

+ −   −

 =  = + = = − _{ }  =

  ₋

(

)

( )

(

)

(

)

2

2 2 2

2

5 10 5 1 5 1 5 1 5 1

2 1 2 1 2 1 2 1

1

5 1 1 5 5 1 5 1

ln 1 ln 1 ln 1 ln 1

2 1 1 2 5 5

1 1

5_ln 5 ₍ ₅₎

2 5

x _dx t _dt _dt _dt _dt _dt

x t t t t t

x x

t t C C

t t x x x x

x x

x x _{x x} _C

x x

+ ₌ − _{= −} ₊ − ₊ ₊ − ₌

− − + +

−

 

 ₊ ₊ 

  _ _

= _− − + + + + _+ = − − + + + + + =

 

− + + +

  ₋ ₊

 

 

+ +

= + + +

+ −



13.13. Transforma en primitivas de polinomios o cocientes de polinomios las siguientes primitivas. (No es necesario que las resuelvas):

a) _sen5_x_cos2_{x dx}



b) sen4₃

cos

x _dx x



c) 1

cosx dx



a)



_{sen cos}5_x 2_{x dx}__t₌_cos_x_;_dt₌₋_sen_x_dx

5 2 2 2 2 2 2 2

sen cosx x dx= − (1 cos− x) cos x( sen )− x dx= − (1−t )t dt



b) sen4₃ cos

x _dx

x 



₁ 2

2 ;

2 tg

t dt dx x t

+ =

     

=

( ) ( )



= ₊ ₋

+

     

+ −

     

+

= dt

t t

t dt

t t t t t

dx x x

3 2 2 2

4 2

3 2 2

4 2 3

4

1 1

32 1

2

1 1 1 2

cos sen

c) 1 cosxdx



₁ 2

2 ;

2 tg

t dt dx x t

+ =

     

= ;



−

= ₂

1 2 cos

1

t dt dx x

13.14. Haz lo mismo que en el ejercicio anterior con las primitivas siguientes:

a)



sen3 cos

x _dx

x b)



4 2

sen cosx x dx c)



_tg4_{x dx}

a)

3

sen cos

x dx

x 



t=cos ;x dt=senx dx;

(

)

(

)

2 2

3 _{1 cos} _sen ₁

sen 1

cos cos

x x t

x

dx dx dt t dt

x x t t

− − _ _

= = = _ − _

 



b) _{sen cos}4_x 2_{x dx}_



tg ; ₁ _t2

dt dx x t

+ =

= ;

(

)

4

4 2

sen cos

1

t

x x dx dt

t

= +



c)



_tg4_{x dx}_

2

1 ;

tg

t dt dx x t

+ =

= ;



+

= dt

t t dx

x ₂

4 4

(8)

13.15. Prueba el recíproco del teorema de Liouville, es decir: la derivada de _{f x e}_{( )} g x( )_con_f_y_g_funciones

racionales, es _{R x e}_{( )} g x( )_con_R_{función racional.}

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) g x '( ) '( ) g x ( ) '( ) g x '( ) ( ) '( ) g x

F x =f x e F x =f x e +f x g x e = f x +f x g x e

Si f(x) y g(x) son funciones racionales, entonces, R(x)=f'(x)+f(x)g'(x) es una función racional pues la derivada de una función racional es racional y el producto y la suma de racionales es racional.

13.16. Utilizando la no elementalidad de _x2n_⋅_eax2_dx



, prueba que no son elementales las primitivas:

a)



lnx dx b)



ln

1 dx

x c)



ax

e dx x

Indicación: pon ln x = t2_{en a) y b) y}_x₌_t2_{en c).}

a)



lnxdx Llamando x₌et2_;dx₌₂tet2dt_;



_ln_x_dx₌



_ln

( )

_et2 ₂_tet2_dt₌₂



_t2_et2_dt_{que no es elemental.}

b) dx

x



ln

1

Llamando x₌et2_;dx₌₂tet2dt_;

( )

dt e dt e

te dx

x

t t

t



= ₂ = 2

2

2 ln

1

que no es elemental.

c) dx x eax



Llamando x₌t2;dx₌2tdt_; _t_dt _e _dt t

eat



at



= 2

2

2 que no es elemental.

EJERCICIOS

El concepto de primitiva de una función

13.17. Asocia a cada función f(x) una primitiva F(x).

( )

f x F x( ) f x( ) F x( )

2

6sen (2x+1) cos(2x+1) _sen(2_x₊₁₎3 ₆_sen2₍₂_x₊₁₎_cos(₂_x₊₁₎ _sen3₍₂_x₊₁₎

cos(2x+1) 1sen(2 1)

2 x+ cos(2x+1) 2sen(2 1)

1

+

x

2 3

6(2x+1) cos(2x+1) sen(3(2x 1))+ ₆₍₂_x₊₁₎2_cos(₂_x₊₁₎3 _sen₍₂_x₊₁₎3

6 cos(6x+3) _{sen (2}3 _x₊₁₎ ₆_cos(₆_x₊₃₎₁₎₎_sen(3(2x₊

13.18. Comprueba que ( ) arcsenF x = x y ( )G x = −arccosx son ambas primitivas de la misma función. ¿De qué función se trata? ¿En qué constante difieren?

2

1 1 ) ( '

x x

F

−

= y

2

1 1 ) ( '

x x

G

−

= , luego son ambas primitivas de

2

1 1 ) (

x x

f

−

= .

Se calcula la constante en la que difieren: F(x) = G(x) + C ; F(0) = G(0) + C 0

2 C C 2

π π

 = − +  = .

13.19. Una primitiva de cierta función f(x) es _{F x}_{( )}₌_x2₋₃_x₊₁_{. Encuentra otra primitiva de}_f₍_x_{) cuya gráfica}

pase por el punto A(1, 5).

Las primitivas de f(x) son de la forma G(x)=x2−3x+1+C_{. Haciendo}_x_{= 1 se tiene 5 1 3 1}_{= − + +}_C__C₌₆_.

(9)

La integral indefinida. Primitivas inmediatas

13.20. Comprueba que:

a) _6sen

(

_x₊_{1 cos}

)

(

_x₊₁

)

_dx₌_3sen2

(

_x_{+ +}₁

)

_C



b) 4

4 3 4

dx

x C

x = +



c) 2

(

)

3

ax b ax b

ax b dx C

a

+ +

+ = +



a) Se comprueba que, efectivamente,

(

3sen2

(

_x₊1

)

₊_C

)

′₌6sen

(

_x₊1

) (

cos_x₊1

)

_. b) Se comprueba que, efectivamente,

(

)

4 3 4 1

4

x C

x+ ′= .

c) Se comprueba que, efectivamente,

(

)

(

)

3 2

2 2

3 3

ax b ax b ax b

C C ax b

a a

′

′ _ _

 ₊ ₊  _ ₊ _

 +  =_ + _ = +

  _ _

  _ _ .

13.21. Calcula las siguientes primitivas inmediatas indicando de qué tipo son:

a)



5x dx3 _e)



x _dx

x

2 2

2 1- - 3

1-b)



4 - 3 2x _x⋅ x dx

2 f)

-

_ex _dx

c)



x x x dx

x

3 2

2

+ 3 - 5 + 7 _g)



t dt

t

2 2

2 + 1+

d)



sen + cosx x dx

2

a)



5x3dx_{. Tipo} _x _C r

dx

xr _⋅ r ₊

+ =

⋅ +



1

1 _ _x _dx _x _C

+ =



5 3 5 8

8 5

b)



x−_x⋅ x dx

2 2 3

4 _{. Tipo}



= +C

a a dx

ax x

ln  dx dx dx x C

x x

x x x

+ − = − =

⋅ −



3

2 ln

2 3

2 2

2 3 4

c) dx

x x x x



+ 2− +

2

3 ₃ ₅ ₇

. Tipo x C

r dx

xr _⋅ r ₊

+ =

⋅ +



1

1 _y _dx _x _C

x = +



1 ln

C x x x x dx x dx x dx dx x dx x

x x x

+ − − + = +

− + =

+ − +



₃ ₅_ln 7

2 1 1 7 1 5 3 7

5

3 2

2 2

2 3

d)



x+ x dx

2 cos

sen _{. Tipo}



cosxdx=senx+C y



senxdx=−cosx+C



x+ xdx= xdx+ xdx=− x+ senx+C

2 1 cos 2 1 cos

2 1 sen

2 1 2

cos sen

e) dx

x x



−₋ 2−

2

1 3 1

2 _{. Tipo} _dx _x _C

x = +

−



arcsen

1 1

2

C x x

dx x dx

dx x x

+ −

= − − = −

−

_



2 3arcsen

1 1 3 2 1

3 1 2

2 2

2

f)



e−xdx_{. Tipo}



_ef x( )_{f x dx}_′_{( )} ₌_ef x( )₊_C_



_e−x_dx₌₋_e−x₊_C

g) dt t t



+

2 2

1 2

. Tipo dx x C

x = +

+



arctg

1 1

2  _t dt dt _t dt t t C

t

+ +

= + + = + +



arctg()

1 1 1

2

2 2

(10)

13.22. (PAU) Calcula una primitiva de

2 ₃

x y

x

+

= .



+ + =

+ = +



−

C x x x dx x dx x dx x

x ₆

5 2 3

3 2 2

1 2

3 2

x x x x

f 6

5 2 )

( ₌ 2 ₊

13.23. (PAU) Determina f(x) sabiendo que:

( ) 24

f′′′ x = x (0) 2f′′ = (0) 1f′ = (0) 0f =

x x

f′′′( )=24 entonces f″(x) = 12x2 + C , como f″(0) = 2, se deduce que C = 2.

f″(x) = 12x2 _{+ 2 entonces}_f_′₍_x_{) = 4}_x3 _{+ 2}_x₊_C_{, como}_f_′_{(0) = 1, se deduce que}_C_{= 1.}

f′(x) = 4x3 _{+ 2}_x_{+ 1 entonces}_f₍_x_{) =}_x4 ₊_x2 ₊_x₊_C_{, como}_f_{(0) = 0,}_C_{= 0 y, por tanto,}_f₍_x_{) =}_x4 ₊_x2 ₊_x_.

13.24. (PAU) De una función y = f(x), x > –1, se sabe que tiene por derivada 1

a y

x

′ =

+ donde a es una

constante. Determina la función si, además, se sabe que f(0) = 1 y f(1) = –1.

) ( ) 1 ln(

1 xdx a x C f x a

= + + = +



. Como f(0 ) = a · 0 + C = 1  C = 1 y como f(1) = aln 2 + 1 = –1 

2 ln

2 − =

a

La función es 1 2log(1 ) 1 2

ln ) 1 ln( 2 )

(x =− +x + =− ₂ +x +

f .

13.25. (PAU) Halla una función ( )F x que verifique que _{x F x}5 _′_{( )}₊_x3₊₂_x₌₃_para_x_≠₀_.

5 3 3

5 ₍ ₎ ₂ ₃ _'₍ ₎ 3 2

x x x x

F x x x F

x ′ + + =  = − −  ( ) 3 2₅ 3 3₄ 2₃ 1

4 3

x x

F x dx C

x x x x

− −

=

_

= − + + +

13.26. (PAU) Halla la ecuación de una curva y = f(x), sabiendo que pasa por el punto (1, 1) y que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x es 3x + 1.

Se sabe que f′(x) = 3x+1, luego f x = x2+x+C

2 3 )

( y como f(1) = 1, C = 2

3 − _.

La curva tiene ecuación

2 3 2

3 )

(_x ₌ _x2₊_x₋

f .

Otras primitivas inmediatas más generales

13.27. (PAU) De la función f:

(

− + ∞ →1,

)

R se sabe que

(

)

2

3 ( )

1

f x x

′ =

+ y que f(2) = 0.

a) Determina f.

b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 1).

a)

(

x

)

dx x C

x

f +

+ − = + =



1 3 1

3 )

( ₂ , como f(2) = 0, C = 1, 1 1 3 )

( +

+ − =

x x f

b) dx x x C

x x

F  =− + + +

  



 ₊

+ −

=



1 3ln 1

1 3 )

( , 1 = –3ln (1) + C, C = 1 1

1 ln 3 )

(x =− x+ +x+

(11)

13.28. Observa estas dos integrales:

i)



x dx = x + C

x

2 2

2

ln - 5

- 5 ii)



(

)

x

dx = x + C

x

2 2

2

ln + 5 + 5

¿Por qué en la primera integral es preciso tomar el valor absoluto y en la segunda no?

Porque x2 + 5 es siempre positivo y x2 – 5 no lo es.

13.29. (TIC) Calcula estas integrales:

a)



x dx

x

2

5 - 3tg

cos c)



x dx x

2

ln _e)



x dx

x2 x

+ 2 + 4

b)



x+ 3dx d)



x + x dx

x2 f)



sen cosx xdx

a) dx

(

x

)

C

x x

+ −

− = −



3

2 ₉ 5 3tg

2 cos

tg 3 5

d) x ₂ x dx lnx 2 C

x x

+ ₌ ₋ ₊



b)



x+ dx= ₍x+₃₎3 +C

3 2

3 e) dx x x C

x x

x

+ + =

+ +



ln 4

2 1 4

2 2

2

c) dx

( )

x C x

x

+ =



4

ln ln 2 22

f)



x⋅ xdx= x+C

2 sen cos

sen 2

13.30. (PAU) De todas las primitivas de la función _{f x}_{( ) 2tg sec}₌ _x 2_x_{, halla la que pasa por el punto} _{, 1}

4

P_π _

 .

C x dx

x x x

F =



2 = ₂ +

cos 1 sec

tg 2 )

( 1 1

4 cos

1

4 2 =−



= +

     π =

    

π _C _C

F

( )

1

cos 1

2 −

=

x x

F

13.31. (PAU) Calcula

(

x

)

dx x

2

1 .

−



(

)

x

₍

_x _x

₎

_C

dx x x

+ + − =

−



3 10 15

15 2

12 2

13.32. Calcula la primitiva de la función _{f x}_{( )}₌_{x x}2₋₁_{que se anula en el punto de abscisa}_x ₌₂_.

3 3

) 1 ( ) ( 3 3

0 , 3

) 1 ( 1 )

(

3 2 3

2

2₋ ₌ − ₊ ₌ ₊ _ ₌₋ _ ₌ − ₋

=



x x dx x C C C F x x

x F

13.33. (PAU) Halla la función ( )F x tal que F(0) = 2, y que sea primitiva de la función ( )

1

x x

e f x

e

=

+ .

2 ln 2 ) 1 ln( ) ( 2 ln 2 2

2 ln ) 1 ln( 1 )

( = + + + =  = −  = + + −

+

=



x x

e x F C

C C

e dx e

e x F

13.34. (PAU) Calcula la integral:

(

x2₊₂₀x ₊

(

x2₊₂₀x

)

(

x₊₁₀

)

dx_.



(

x x

)

(

x

)

dx x x x x x C

x

x _ + = + + + + +

 

 ₊ ₊ ₊



2 2 2 3 4 ₁₀ 3 ₁₀₀ 2

4 3

) 20 ( 10

(12)

13.35. (PAU) Calcula _e₂x2 x ₃

(

_{x dx}

)

1 4 .

− + ₋



(

x

)

dx e C

e x −x+ ₋ ₌₋ x −x+ ₊



2 2 3₁ ₄ 2 2 3

Integración por partes

13.36. (TIC) Calcula:

a)



_x2x_dx_e) _ln 1

1

x

dx x

+

 

 ₋ 

 



i)

_

_{x e}3 −x2 _dx

b) 2x

x dx



f)

_

(

_x2₊_{x e}

)

−2x+1_dx _j)

_

_x_ln_{x dx}

c)

_

xarctg

(

x+1

)

dx g)

_

ln

(

x+1

)

dx k)



_x3

(

_ln_{x dx}

)

2

d)



xlnx dx h) ln₂xdx x



l)



_excos (3 )_{x dx}

a) x xdx x x x dx x x ₊C

    

  

     

− =

−

=



ln2 2

1 2 ln 2 2 ln

2 2 ln

2 2

b)

2

2 2 1

2 2

2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

x x

x

x dx x

x dx x dx C

− −

− −    

= = − + = − _ +_ _ _+

 



c)

(

)

2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 2 2

arctg 1 arctg ( 1) arctg ( 1)

2 2 1 (1 ) 2 2 2 2 2

x x

x x dx x x dx x x dx dx

x x x

− −

 

+ = + − = + −_ + _=

+ +  + + 



C x x x x x

+ + + + − + =

2 ) 2 2 ln( 2 2

) 1 (

arctg 2

2

d) dx x x x C

x x x x dx x

x = −



= − +



9

4 3

ln 2 3

2 3

ln 2 ln

3 3

e)



=

− + +

     

− + =

− + +

     

− + =

     

− + =

     

−

+ _dx

x dx x

x x dx x x

x x

x x dx x x x dx x

x x

1 1 1

1 ln 2 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 ln 2 1 1 1 ln 1

1

ln 2 2 2 ₂

C x x x x x x

x x x x x

dx x dx x x x x x dx x x x x x

+ +

     

− + − + = + − − + +

     

− + =

= + − − + +

     

− + =

− + +

     

− +

=



1 1 ln ) 1 )( 1 ( 2 1 1 ln 2 1 1 ln 2 1 1 1 ln 2 1

1 2 1 1

2 1 1

1 ln 2 1 1 1 1

1 ln 2 1

2

2 2

2

f)

f g’

x

x2+ _e−2x+1

1

2x+ ₂ 2 1

1 − +

− _e x

2 ₄ 2 1

1_e₋ x₊

0 ₈ 2 1

1 ₋ ₊

− _e x

(

2

)

2 1 2 1 2

2 1 2

2 1 1

2 4 4

1

( 2 1) 2

x x

x

x x x

x x e dx e C

e x x C

− + − +

− +

 ₊ ₊ 

+ = − − − + =

 

= − + + +



g)

f g’

ln(x+1) 1

1 1 +

x x + 1

(

)

dx x x x C

x x x

x dx

x = + + − +

+ + − + + =

+



( 1)ln( 1)

1 1 )

(13)

h) C x x dx x x

x dx x

x

+ + − = +

−

=



ln ln 1 ln 1

2 2

i) x e x dx e x

(

x

)

₊C

− + =

⋅ − −



2

1

2 3

2 2

j) dx x x x C

x x x x dx x

x = −



= − +



2 ln 4

1 · 2 ln 2

ln 2 2 2 2

k)

( )

=

  



 ₋

− =

−

=



x3 x2dx x4 x2 x3 xdx x4 x2 x4 x x3dx

4 1 ln 4 1 2 1 ln 4 1 ln

2 1 ln 4 1

ln

( )

x x x x C

x − + +

= 4 2 4 4

32 1 ln 8 1 ln 4 1

l)

f g’

cos(3x) ex

–3sen(3x) ex

–9cos(3x) ex



ex_cos₍₃x₎dx=ex_cos₍₃x₎−ex₍−₃_sen₍₃x₎₎+ ex₍−₉_cos₍₃x₎₎dx

Despejando se obtiene:

(

x x

)

C

e C x e

x e

dx x

ex ₌ x − x − ₊ ₌ x ₊ ₊



cos(3 ) 3sen(3 )

10 10

)) 3 ( sen 3 ( ) 3 ( cos )

3 ( cos

13.37. (TIC) Calcula realizando una tabla auxiliar con las integrales sucesivas:

a)



_x6_cos_{x dx} _b)



_{x e dx}7 7x _c)



_eax_cos_{bx dx} _d)



(

_x3₊_x2₊₁

)

_{e dx}x a)

f g’

x6_cos_x

6x5 _sen_x

30x4 _–cos_x

120x3 _–sen_x

360x2 _cos_x

720x sen x

720 –cos x

0 –sen x

C x

x x x x x x x dx

x

x = − + + − + − +



6cos 6cos ( 5 20 3 120 ) sen ( 6 30 4 360 2 720)

b)

f g’

x7 e7x

7x6 e7x

7 1

42x5 ₇2e7x

1

210x4 ₇3e7x

1

840x3 ₇4e7x

1

2520x2 ₇5e7x

1

5040x ₇6e7x

1

5040 ₇7e7x

1

0 ₇8e7x

1

C x

x x

x x x x e dx e

x x x ₊

   

 

− + −

+ − + − =



5 6 7

2 4

3 3

4 2

5 6 7 7 7 7

7 720 7

720 7

360 7

120 7

(14)

c)

f g’

cos bx eax

–bsen bx _aeax

1

–b2_cos_bx eax

a2

1

(

)

2

2 2

2

2 2

1 1 1

cos cos ( sen ) ( cos )

cos sen

(Despejando)

ax ax ax ax

ax

e bx dx e bx e b bx e b bx

a a a

e a bx b bx b

a a

= − − + − =

+

= − 



(

)

_C

b a

bx b bx a e dx bx e

bx b e a bx e a dx bx e a b

ax ax

ax

+ +

+ =



− −

=

     

+



2 2

2

sen cos

cos

) sen ( 1 cos 1 cos

1

d)

f g’

x3 ₊_x2 _{+ 1} _ex

3x2 _{+ 2}_x _ex

6x + 2 ex

6 ex

0 ex

(

x x

)

exdx



3+ 2+1 ₌_ex

(

_x3₋₂_x2₊₄_x₋₃

)

₊_C

13.38. Determina las funciones : Rf →R que satisfacen la condición de que la pendiente de la recta tangente en un punto genérico ( , )x y de su gráfica viene dada por la expresión _{x e}x_.

C x e dx e xe dx xe x

f₍ ₎₌



x ₌ x₋



x ₌ x₍ ₋₁₎₊

13.39. (PAU) Sea f:

(

−1, 1

)

→R definida por _{f x}_{( ) ln 1}₌

(

₋_x2

)

_{, calcula la primitiva de}_f_{cuya gráfica pasa por}

el punto (0, 1).

(

)

C x x x

x x dx x dx x x x x

dx x x dx

x x dx x x x

x dx x x

F

+ + − − − − = + + − + − − =

= + − + − − = − − − − = − =



1 1 ln 2 ) 1 ln( 1

1 1

1 2 ) 1 ln(

) 1 )( 1 (

1 2 2 ) 1 ln( 1

2 ) 1 ln( 1

ln ) (

2 2

2

Como pasa por (0, 1) sigue que −ln(1)+C=1C=1 y la función es 1 1 1 ln 2 ) 1 ln( )

( 2 ₊

+ − − − − =

x x x

F .

13.40. (PAU) Calcula la siguiente integral indefinida: _eax

(

_x2₊_{bx c dx}₊

)



en función de los parámetros

a, b y c.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

C a a

b x a

c bx x e

dx e a b x e a c bx x e a dx b x e a c bx x e a dx c bx x e

ax

ax ax

+

   

 

+ + − + + =

= +

+ −

+ + =

+ −

+ + =

+



3 2 2

2 2

2

2 2

2 1 2

1 1

2 1 1

13.41. Basándote en el ejercicio precedente, calcula: _ex

(

_x2₋₂_x₋₁

)

_dx



Tomando en el ejercicio 40 a = 1, b = –2 y c = –1, se obtiene:

(

x x

)

dx e

(

x x x

)

C e

(

x x

)

C ex ₋ ₋ ₌ x ₋ ₋ ₋ ₋ ₊ ₊ ₌ x ₋ ₊ ₊