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Notas de Clase. Proporcionalidad y semejanza

2012

Proporcionalidad y semejanza

Introducción

En la figura adjunta se presentan las piezas de un rompecabezas. Los números escritos junto a los lados de los polígonos corresponden a las medidas de dichos lados expresadas en centímetros. Construir un rompecabezas de mayor tamaño, de tal manera que el lado de 4 cm tenga una longitud de 7 cm.

La noción de razón

Es importante, estudiar el uso que se hace del término “razón”, ya que no siempre es sinónimo de “fracción” Las fracciones son “cualquier par ordenado de números enteros cuya segunda componente es distinta de cero”; mientras que una razón es “un par ordenado de cantidades de magnitudes”. Cada una de esas cantidades está expresada mediante un número real y una unidad de medida.

El hecho que las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones:

 Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, o sea, objetos que se miden con unidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por 145 euros. Las fracciones, por el contrario, se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”, lo que se indica con 2/3. Según esto la razón 3 jamones/145 euros no es una fracción.

 Algunas razones no se representan con la notación fraccional. Por ejemplo, 10 litros por metro cuadrado. En este caso no se necesita, ni se usa, la notación de fracción para informar de la relación entre dichas cantidades.

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 En las razones, el segundo componente puede ser cero. En una bolsa de caramelos la razón de caramelos verdes a rojos puede ser 10:5, pero también se puede decir que puede ser 10:0, si es que todos son verdes (no se trata de hacer ninguna división por 0).

 Las razones no son siempre números racionales. Por ejemplo, la razón de la longitud de una circunferencia a su diámetro C/D es el número , que sabemos no es racional, o la razón de la longitud de la diagonal de un cuadrado a la longitud de su lado ( ). Esta es una diferencia esencial entre “razón” y “fracción”, ya que como vimos las fracciones son siempre interpretables como cociente de enteros1.

Proporcionalidad

Las operaciones con razones no se realizan, en general, de igual manera que las fracciones. Por ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3 aciertos sobre 7 intentos (3:7) se combinan para producir 5 aciertos en un total de 12 intentos, o sea, con estas fracciones se puede definir una “suma” de razones del siguiente modo: 2:5 + 3:7 = 5:12. Evidentemente esta suma no es la misma que la suma de fracciones.

Definición

:

denomina antecedente y el número consecuente.

Observaciones:

 La razón es la comparación de dos cantidades; es decir, significa que al número le corresponde el número .

 Una razón también se puede simbolizar: a:b ó a Rb, y se lee “a es a b”.

 Antes de hallar la razón de dos cantidades, es necesario expresarlas en una misma unidad de medida.

Ejemplo:

Los perímetros de dos triángulos son 8 cm y 0.16 m., respectivamente. Hallar la razón de sus

medidas

.

1 _{La razón de dos cantidades es el resultado de comparar dichas cantidades. Dos cantidades pueden compararse de}

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Solución:

Se reducen, a una misma unidad de medida, las cantidades que se van a comparar, es decir,

0.16 m = 16 cm.

La razón entre los perímetros de los triángulos es: 8 1 16 = 2

cm

cm .

Esto significa que el perímetro de uno de los triángulos es el doble del otro.

Nota: En la práctica, para representar objetos materiales como casas, puentes, edificios, planos o mapas de una ciudad, etc, se dibuja una figura que tenga la misma forma, pero distinto tamaño que la original; tal figura se dice que es una representación a escala. Hay dos tipos de escala: la numérica y la gráfica2

Definición: Una escala numérica se expresa mediante una fracción que indica la proporción

entre la distancia de dos lugares señalados en un mapa y su correspondiente en el terreno. Es decir:

ESCALA =

real longitud

dibujo del

longitud

.

Generalmente la escala se representa mediante una fracción de numerador 1.

Definición: Una escala gráfica representa lo mismo que la numérica, pero lo hace mediante una línea recta o regla graduada. Colocando la escala sobre el mapa, puede calcularse la distancia real existente entre dos puntos.

Figura 1. Escala numérica y gráfica.

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Ejemplos:

 En un mapa la distancia entre dos ciudades A y B que es de 150 Km., está representada por 3 cm. ¿Cuál es la escala del mapa?

ESCALA = 3 cm = 1 15000000 cm 5000000.

Recordemos que 1 km equivale a 100000cm. Por tanto el mapa es 5000000 de veces más pequeño que la realidad.

 Un salón está representado en un plano por un rectángulo, a escala 1

125, de 6, 4cm de largo y 4.8 cm. de ancho. ¿Cuáles son el largo y el ancho reales del salón?

Según la escala, 125

1

, esto significa que cada una de las longitudes del salón son 125 veces más

grandes que las representadas en el plano, por lo tanto:

cm = cm = m

125× 6, 4 800 8

cm = cm = m

125× 4, 8 600 6

Las dimensiones reales del salón son: 8 m de largo por 6 m de ancho.

 Para representar en un plano  el dibujo de una puerta que mide 75 cm de ancho y 200 cm de alto dibujamos un rectángulo que mide 3 cm de ancho y 8 cm de alto ¿Cuál es la escala utilizada?

3 8 =

75 200, significa que cada dimensión en el dibujo es 25 veces menor que en la realidad. La

escala del dibujo es 1 25.

Ejercicios:

 Dos lados de un triángulo miden 12 cm y 8 cm ¿Cuál es la razón del lado menor al lado mayor?

 En un plano cuya escala es 1:150, la distancia entre las dos paredes del salón es de 4 metros. ¿Cuál es la distancia entre esas dos paredes representadas en ese plano?

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 El mapa de una zona de Colombia tiene una expresión que resalta mucho y es 1:1 650 000, ¿qué significado tiene? Si dos pueblos están en ese mapa a una distancia de 35 cm, ¿Cuál es la distancia en la realidad?

Definición: Una proporción es la igualdad entre dos razones. Las notaciones más usuales son

d c b a o d c b a : :: :

 y se lee a es a b como c es a d. En este caso se dice que a y b son

proporcionales a c y d.

En esta proporción se llaman términos medios a las magnitudes b y c y extremos a las magnitudes a y d.

Teorema S1 (Propiedades de las proporciones):

Propiedad fundamental: En toda proporción el producto de extremos es igual al producto de medios:

Si , entonces ad bc_.

Si , entonces

Si , entonces:

-

-a + b c + d

. =

b d

a b c d

. =

b d

a

b -

-a + b c + d

. =

a c

a b c d

. = a c c d Si d c b a _ , entonces

-a. a + b= a b

c + d c d -

-a + b c + d

b. =

a b c d

5. Si a= b = e = g

c d f h , entonces

a a + b + e + g =

c c + d + f + h.

Razón de segmentos

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como la razón numérica entre sus respectivas medidas usando una unidad determinada.

Simbólicamente, ̅̅̅̅

̅̅̅̅

, donde PQ y RS son las medidas de los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

respectivamente con la unidad u.

En la figura 1 la medida de ̅̅̅̅ usando la unidad u es 8, y la del segmento ̅̅̅̅ es 5. Por tanto la razón entre ambos segmentos es 8/5, que será la medida racional de PQ usando RS como unidad, o sea, se puede escribir: PQ =(8/5).RS

Figura 2. Razón de segmentos.

Segmentos proporcionales

Consideremos la razón entre segmentos como la razón entre sus medidas.

Figura 3. Segmentos proporcionales

Un punto P interior a un segmento AB divide al segmento en la razón r, si el cociente entre las medidas de los segmentos determinados por P es:

AP = r PB

La razón r = A P

PB , entre los segmentos que determina un punto P interior a AB, es un número

real, es decir, r puede ser racional o irracional.

Si r = 1, el punto P es el punto medio de AB y AP PB.

A

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Si r = 1

2, la medida de APes un tercio de la medida de AB. ¿Por qué?

Si r = 2

3, la medida de AP es igual a

2

5de la medida de AB y la de PB es 3

5 de AB ¿Por qué?

Figura 4.Segmentos proporcionales

Definición: Dos segmentos AB y CD son proporcionales a otros dos segmentos EF y GH, cuando la razón de las medidas de los dos primeros es igual a la razón de las medidas de los otros dos. Es decir,

Definición: Una cantidad es media proporcional entre otras dos cantidades cuando se encuentra en los medios o en los dos extremos de una proporción.

n h h m

 o

h n m

h

 , h es la media proporcional entre m y n.

Ejercicio

Calcular geometricamente la raíz cuadrada de 9 y de 26

Observaciones:

De la proporción anterior resulta: h2 mn, luego h = ± m n .

La media proporcional también es conocida como la media geométrica entre números. Cada uno de los otros términos m y n se denominan tercera proporcional.

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Proyección paralela de los segmentos de una recta sobre otra

Sean r,r',l tres rectas secantes no coincidentes. Si A' es el punto de r' donde la paralela a l

por A en r corta a r', decimos que A' es la proyección paralela de A.

Figura 5. Proyección paralela.

'

B es la proyección paralela de B. Análogamente, A'B' es proyección paralela de AB.

Teorema de Thales de Mileto3

El teorema de Thales establece la relación entre los segmentos determinados por rectas paralelas en rectas secantes en forma general, es decir, cuando las secantes son rectas cualesquiera, sin ninguna relación entre sí.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura 5.

3_{Tales de Mileto (c. 625-c. 546 a.C.), filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor). Fundador de la filosofía}

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Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C,

conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A

y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que:

, por lo tanto la altura de

la pirámide es

con lo cual resolvió el problema4.

Teorema S2: Si dos rectas cualesquiera cortan a dos o más rectas paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los segmentos determinados por los puntos correspondientes en la otra recta.

Demostración:

Sean r y r’ las rectar que son intersecadas por un sistema de paralelas. Sean A, B, C y D puntos de r tales que ABCD, entonces:

Caso 1: Si r r’, entonces AB A'B' y CDC'D' por ser segmentos paralelos comprendidos entre paralelas. Luego A'B'C'D'.

4_{http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html}

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' '

' '

D C

B A CD

AB



Figura 7. La recta r es paralela a r´

Caso 2: r no es paralela a r’ .

Figura 7

Figura 8. La recta r y r´se intersecan

Consideremos el trapecio ABB'A' y efectuemos la traslación:





AC

 

T ABB'A' CDB''A''; esto significa:

 

AC

 

T A'B' A''B''

, entonces:

1. A''B ''C'D' por ser segmentos paralelos entre rectas paralelas. 2. A B' 'A B'' '' por propiedad de los

movimientos.

3. A B' 'C D' ' por puntos 1 y 2.

Luego

' '

' '

D C

B A CD

AB _

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Figura 9. Proyección paralela del punto M

Si AM  AB, entonces A'M'A'B'.

Si AM MB AB, entonces

' ' ' ' '

'M M B AB

A   .

Esto prueba la correspondencia en la ordenación y en la suma de las medidas de segmentos.

En conclusión: A B = A 'B'

CD C'D' .

Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo determina sobre los otros dos lados o sobre sus prolongaciones segmentos proporcionales a ellos.

Así, si B’ y C’ son los puntos de intersección de una recta paralela al lado ̅̅̅̅ del ABC con ̅̅̅̅

y ̅̅̅̅ respectivamente, se tendrá AB = AC AB' AC'.

Figura 10. Segmentos proporcionales en un triángulo

Otras proporciones son:

AB AC BC BA BA BB' BA BB'

= , = , = , =

AB' AC' BB'' BB' BC BB'' AC B'B''

Teorema S3: Si una recta corta a dos lados de un triángulo (o a sus prolongaciones) determinando segmentos proporcionales a ellos (y situados ambos al mismo o distinto lado del vértice común), entonces la recta es paralela al tercer lado.

r r'

A A'

B

B'

C

D

B' C'

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Figura 11

Demostración: Sea el ABC y ⃡ una recta que corta los lados AC y BC del triángulo en los puntos D y E respectivamente formando segmentos proporcionales.

AD BE

=

DC EC

Supongamos que ⃡ no es paralela a ⃡ entonces por D pasa una única recta paralela a ⃡ que interseca a BC en un punto .

Por el Teorema de Thales ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ implica que AD= BE'

DC E'C

Por transitividad de las igualdades se tiene: BE = BE' EC E'C .

Entonces los puntos E y E’ dividen al segmento ̅̅̅̅ en la misma razón, por lo tanto deben coincidir, y si coinciden ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Es decir, por pasa una única recta paralela a ̅̅̅̅

Corolario: La recta paralela a un lado de un triángulo por el punto medio de otro lado, corta al tercer lado en su punto medio.

Corolario: La recta que pasa por los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado.

Teorema S4 (Recíproco al teorema de Thales): Si tres rectas l, m, t determinan en toda recta, secante a ellas, segmentos proporcionales entre sí, las rectas l, m y t son paralelas.

Demostración: (Ejercicio)

Construcción del cuarto proporcional a tres segmentos dados

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Figura 12. Cuarto proporcional

Consideremos el SOT. Sobre ubicamos los puntos A y B tal que OA = a y OB = b. Sobre

_{ubicamos el punto C tal que OC = c.}

Por B trazamos una recta paralela a . Sea X el punto de intersección entre esta paralela y . X

determina el segmento que es el cuarto proporcional buscado.

Observaciones:

Como todos los cuartos proporcionales a tres segmentos dados son congruentes la solución es independiente del ángulo elegido.

Si b = c se obtiene el segmento llamado tercero proporcional entre a y b.

División de un segmento en partes proporcionales a segmentos dados.

Una aplicación del teorema de Tales es la división de un segmento dado AB, en segmentos proporcionales a otros segmentos de magnitudes m, n, p.

Figura 13. División de un segmento en partes proporcionales

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Construimos el segmento PB; los segmentos paralelos a PB por los puntos de división M y N, determinan segmentos de magnitudes , proporcionales a los segmentos de medidas m, n, p donde x + y + z = AB.

Definición: Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia uno a uno entre sus vértices y para la cual los ángulos correspondientes, denominados ángulos homólogos, son congruentes y los lados correspondientes proporcionales. Esta correspondencia se denomina

semejanza.

Definición: En las figuras semejantes se les llama lados homólogos a los lados adyacentes a los ángulos respectivamente congruentes.

Figura 14. Polígonos semejantes

Las figuras ABCDEF y A'B'C'D'E'F' son semejantes.

Definición: Dos triángulos ABC y A B C' ' ' son semejantes si sus ángulos son respectivamente congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales y se denota por:

ABC

 ~ A'B'C'.

Figura 15. Triángulos semejantes

En la figura BAC B'A'C', ABC A'B'C', ACB A'C'B' y AB = AC = BC A'B' A'C' B'C'.

Teorema S5: Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivos congruentes, sus lados homólogos son proporcionales.

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Teorema S6: Toda recta paralela trazada a un lado de un triángulo determina un segundo triángulo semejante al primero.

Figura 16. Triángulos semejantes determinados por una paralela a un lado

Demostración:

1. Sea ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ en ABC.

2. ADE y ABC tienen sus ángulos respectivamente congruentes. 3. Así, el ángulo BAC es común a los triángulos ADEy ABC.

4. ADE ABC y AED ACB, por ser correspondientes entre paralelas. En

consecuencia los lados son proporcionales; es decir, AD AE AB  AC (1). 5. Al trazar ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, se tiene que: AE BF

AC BC (2).

6. Por lo tanto, el cuadrilátero BFED es un paralelogramo. De lo anterior DEBF. 7. De las proporciones (1) y (2), obtenemos:

AD AE DE

BC  AC  BC, lo que demuestra el teorema.

Luego: .

Teorema S7: Si dos triángulos tienen sus lados homólogos proporcionales los triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes.

Demostración:

Figura 17. Congruencia de ángulos en triángulos semejantes

C

A B

M _N

F

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1. Sean ABC y DEF con sus lados respectivamente proporcionales,

AB CA CB

DE FD  FE

2. Puesto que los triángulos no son congruentes, suponemos que CAFD. 3. Por las propiedades de las proporciones se debe cumplir que 4. Sean M y N los puntos en CA y CB respectivamente tales que:

CMFD y CN FE, entonces CA CB CM CN,

5. Por el recíproco del Teorema de Tales se tiene que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

6. En consecuencia entonces, AB CA CB MN CM CN . 7. Reemplazando CMFD y CNFE se obtiene,

AB CA CB AB

MN FD FE DE

8. La igualdad de la primera y última razón implica que MNDE, luego MNC DEF

por el criterio LLL.

9. Puesto que ABCy MNC tienen sus ángulos respectivamente congruentes por ser semejantes, los ángulos de los triángulos ABCy DEF tienen sus ángulos respectivamente congruentes.

Teorema S8 (Criterios de semejanza de triángulos):

Criterio (AAA) Dos triángulos son semejantes, si y sólo si, tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes.

Criterio (AA) Dos triángulos son semejantes, si y sólo si, tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

Criterio (LLL). Dos triángulos son semejantes si y sólo si, tienen sus tres lados homólogos proporcionales.

Criterio (LAL) Dos triángulos son semejantes, si y sólo si, tienen dos lados homólogos proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos congruentes.

Corolario Dos triángulos semejantes ABC y A’B’C’ tienen los ángulos homólogos congruentes.

' ' ', ' ' ', ' ' '

BAC B A C ABC A B C ACB A C B

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Demostración Criterio (LLL) Si dos triángulos tienen sus lados, respectivamente, proporcionales son semejantes.

Demostración:

Figura 18. Criterio LLL de semejanza de triángulos

Sean ABC y A'B'C' dos triángulos que satisfagan las hipótesis del teorema, con A'B' AB, por ejemplo. Sea B''intAB con AB'' A'B', y tracemos por B’’ una paralela a , que corte a

_{en C ''. Con ayuda de las proporciones entre los lados y por el teorema de Tales, se deduce} que A'B'C'AB''C'' y en consecuencia ABC y A'B'C' son semejantes.

Ejemplo: ABC es semejante a CDE.

Figura 19. Triángulos semejantes

En este caso los lados homólogos son AB y DE, AC y CD, BC y CE. En consecuencia, se tiene:

CE BC CD

AC ED

AB _{ }

o

CD AC ED

AB _

y

CE BC CD

AC _

Teorema S9 (Criterios de Semejanza de triángulos isósceles).

Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo congruente.

Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen dos lados proporcionales.

Los triángulos equiláteros son semejantes entre sí. A

B

C B''

C''

A'

B'

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Teorema S10: En un triángulo, la bisectriz de un ángulo interior, divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes a éste.

Figura 20. Segmentos proporcionales generados por la bisectriz del ángulo

Demostración:

Sean ABC un triángulo cualquiera, la bisectriz del ACB que corta AB en D. Debemos probar que

BC BD AC AD _

. Tracemos por D, una paralela DE a BC, con E en AC y una paralela

DF aAC, con F en BC. Entonces, los triángulos ADE y ABC, BDF y ABC, son semejantes.

Luego: DE = A D BC A D + BD y

DF BD

=

A C A D + BD .

Además, DCEDCF por el criterio A-L-A. Por lo tanto DE = DF.

De las dos proporciones anteriores, obtenemos

BC BD AC AD _

, como se quería probar.

Teorema S11: Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a su hipotenusa, se verifica lo siguiente:

 La altura es media proporcional entre los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa.  Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección ortogonal sobre ella.

Dado el ABC, con un ángulo recto en vértice C; a,b los catetos, c la hipotenusa, h la altura que cae sobre la hipotenusa y m,n los segmentos que determina la altura sobre la hipotenusa, entonces:

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siendo además, m y n las proyecciones ortogonales de b y a sobre c, respectivamente.

La demostración de este lema es consecuencia directa de la proporcionalidad que existe entre los segmentos homólogos.

Figura 21. Segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo

Teorema S12: Sean las medidas de los lados del con , entonces

es rectángulo, si y sólo si,

.

Figura 22. Teorema de Pitágoras

Por tener una doble implicación ante el teorema, lo demostraremos así:

Si _{es rectángulo, entonces} .

Si , entonces es rectángulo.

Demostración:

1. Sea ABC rectángulo Por el lema anterior, obtenemos c b b  AE y

c a

a EB. Así





2 2 2

a b c AEEB c .

2. Supongamos que a2b2 c2 y sean las rectas y , perpendiculares, que se cortan en

un punto P.

3. Sea A’ un punto de tal que PA’ = a y B’ un punto de tal que PB’ sea igual a b. Basta probar que A’B’ = c.

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5. En virtud de la hipótesis,





' '

A B c . Es decir que A’B’ es igual a c.

6. Como ABC A'B'P por criterio L-L-L, se concluye que ABC es rectángulo.

Teorema S13 (Criterios de semejanza de triángulos rectángulos).

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente.