Tema 4. Distribuciones de probabilidad de tipo continuo

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Tema 4. Distribuciones de probabilidad de tipo

continuo

Estad´ıstica Empresarial - Grado en ADE

Jos´e Jaime Noguera Noguera

[email protected]

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CONTENIDOS

1 _Distribuci´_{on Uniforme} 2 Distribuci´on Normal 3 Areas bajo N(0, 1)´ 4 Tipificar 5 _Revisar

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Distribuci´

on Uniforme en [a, b]

Diremos que una variable aleatoria X sigue una distribuci´on uniforme

en el intervalo [a, b] si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cualquier subintervalo es proporcional a la longitud del subintervalo. Se cumple que:

Funci´on de densidad: f (x ) =

® ₁

b−a, a ≤ x ≤ b

0, en el resto

Diremos que X → U(a, b) Funci´on de distribuci´on: F (x ) =

     0, x < a x −a b−a, a ≤ x ≤ b 1, x > b Media: E [X ] = b+a₂ . Varianza: Var (X ) = (b−a)₁₂ 2

Funci´on generatriz de momentos: gX(t) = e

tb_−eta

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Distribuci´

on Uniforme en [a, b] . EJEMPLO

A una conferencia se espera que lleguen entre 100 y 150 personas.

a) Define una variable aleatoria cont´ınua que modelice el

problema.

b) Halla la funci´on de densidad.

c) Halla la esperanza.

d) Halla la varianza.

e) Probabilidad de que lleguen menos de 132 personas.

SOLUCI ´ON: a) X → U(100, 150) b) f (x ) = ® ₁ 150−100, a ≤ 100 ≤ 150 0, en el resto c) E [X ] = 100+150₂ = 125 d) V [X ] = (150−100)₁₂ 2 = 208,33 e) P(X < 132) = P(X ≤ 132) = F (132) = 132−100_150−100 = 0,64

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Definici´

on

La Distribuci´on Normal se define como aquella distribuci´on cuya

funci´on de densidad es fX(x ) = 1 σ√2πe − 1 2σ2(x −µ) 2 , − ∞ < x < ∞, σ > 0

Si una variable aleatoria, X , tiene dicha funci´on de densidad lo

ex-presamos como:

X ; N(µ, σ).

Se puede demostrar que si X ; N(µ, σ), entonces:

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Normal est´

andar

Si µ = 0 y σ = 1, denominamos a la distribuci´on como normal

est´andar. La gr´afica en este caso es:

−3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

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´

Areas bajo N(0, 1)

Si Z ; N(0, 1), para hallar P(a ≤ Z ≤ b) debemos calcular el ´area

bajo la curva normal entre x = a y x = b, es decir, P(a ≤ Z ≤ b) = Z b a 1 √ 2πe −1 2x 2 dx .

Dicha integral no admite una expresi´on expl´ıcita por lo que debe

calcularse mediante un m´etodo num´erico. As´ı pues, podemos utilizar:

Software R, mediante pnorm(x,0,1) que nos da la P(Z ≤ x ). Otro software o calculadora.

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Tabla N(0, 1)

La Tabla A.5. nos proporciona F (x ) = P(Z ≤ zp)

Por ejemplo P(Z ≤ 1, 2) = 0,8849. −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 NOTA

Notar que en distribuciones continuas P(Z ≤ a) = P(Z < a) ya que el ´area es la misma, as´ı que en lo que sigue, se utiliza

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Tabla N(0, 1)

P(Z ≥ 1, 2) = 1 − P(Z ≤ 1, 2) = 1 − 0,8849 = 0, 1151. −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

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Tabla N(0, 1)

P(Z ≤ −1,5) = P(Z ≥ 1, 5) = 0, 0668. −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

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Tabla N(0, 1)

P(Z ≥ −1,5) = P(Z ≤ 1, 5) = 0, 9332. O tambi´en: P(Z ≥ −1,5) = 1 − P(Z ≤ −1, 5) = 1 − 0,0668 = 0, 9332. −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

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Tabla N(0, 1)

P(2 < Z < 2,5) = P(Z < 2, 5) − P(Z < 2) = 0,9938 − 1 + 0,9772 = 0, 0166. −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

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Tabla N(0, 1)

P(|Z | < 1) = P(−1 < Z < 1) = P(Z < 1) − P(Z < −1) = 0, 6826. −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

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Tipificaci´

on

Si partimos de una X ; N(µ, σ) debemos transformarla a una

N(0, 1) ya que solo dispondremos de dicha tabla. Si estuvi´esemos

trabajando con el software R, esto no ser´ıa necesario, ya que pnorm(x , a, b)

nos da la funci´on de distribuci´on de una N(a, b).

Tipificaci´on

La relaci´on existente entre Z ; N(0, 1) y una X ; N(µ, σ) es la

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Ejemplo

Sabemos que la altura de los jóvenes de entre 14 y 18 años de una localidad sigue una normal con media 174 cm y desviación t´ıpica 7 cm. Calcula la probabilidad de que un joven de 15 años mida entre 170 y 176 cm.

Sea X la variable aleatoria objeto de estudio, X ; N(174, 7).

Tipificando Z = X −174₇ ; N(0, 1). Por tanto:

P(170 < X < 176) = P Å_{170 − 174} 7 < X − 174 7 < 176 − 174 7 ã = P(−0, 57 < Z < 0, 29) = P(Z < 0, 29) − P(Z < −0,57) = 0,6141 − 0,2843 = 0,3298.

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Calcular la abcisa de una N(0, 1)

Supongamos que queremos conocer el zp tal que

P(Z ≤ k) = 0, 5987. Para ello, simplemente debemos buscar en la tabla y obtenemos que k = 0,25.

P(Z ≥ k) = 0, 3632. Ahora lo que debemos hacer es buscar el k que cumpla P(Z ≤ k) = 1 − 0, 3632 = 0,6368. Ahora ya podemos buscar en la tabla y obtenemos que k = 0,35.

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Distribuci´

on normal

Para finalizar el estudio de la normal, conviene que se revise lo si-guiente:

Las 4 propiedades de la normal, pag 172-173 Teorema de Moivre, pag 174

Relaci´on entre las normal, la binomial, la poisson y la

hipergeom´etrica, pag 177.

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Distribuci´

ones asociadas a la normal

Finalmente tambi´en deber´ıas aprender a realizar ejercicios como los

que siguen:

EJERCICIOS con ji -cuadrado de Pearson

a) P(X ≤ χ2_26,0,25) = 0,25

b) P(X ≤ χ2_10,0,05) = 0,05

c) P(X ≥ x ) = 0, 025, con X ; χ2₆

d) P(χ2

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Distribuci´

ones asociadas a la normal

EJERCICIOS con t de Student

Si T sigue una distribuci´on t de Student con 8 grados de libertad,

halla

a) P(T ≤ tp) = 0,85

b) P(T ≤ tp) = 0,3

EJERCICIOS con F de Snedecor

a) P(X ≤ F8,10,0,95) = 0,95

b) P(X ≤ F10,8,0,95) = 0,95

c) P(X ≤ F8,10,0,05) = 0,05