TEMA 7 Distribuciones de probabilidad importantes

TEMA 7

Distribuciones de probabilidad importantes

Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962)

1. Introducci ´on. Modelos matem´aticos

2. M´etodos num´ericos. Resoluci ´on de sistemas lineales y ecuaciones no lineales 3. Aproximaci ´on de funciones: interpolaci ´on y ajuste

4. Modelos discretos elementales. Ecuaciones en diferencias 5. Estad´ıstica descriptiva. An´alisis de datos

6. Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad 7. Distribuciones de probabilidad importantes

8. Estimaci ´on de par´ametros por intervalos de confianza

9. Contraste de hip ´otesis. Introducci ´on al an´alisis de la varianza 10. Correlaci ´on y regresi ´on. El modelo de regresi ´on simple

• Introducci ´on

• Modelos de probabilidad discretos:

distribuciones Binomial y Poisson

• Modelos de probabilidad continuos:

distribuci ´on Normal

• Distribuciones asociadas a la Normal

Clases estimadas para este tema: 2 clases

1.I^NTRODUCCION´

Objetivo: Manejar las distribuciones m ´as importantes en ciencias biol ´ogicas

Consideraciones:

- distribuciones te ´oricas → modelos de distribuciones emp´ıricas m ´as frecuentes

- son distribuciones te ´oricas → hip ´otesis en fen ´omenos aleato- rios

- papel fundamental en la inferencia estad´ıstica

2.MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS: BINOMIAL Y POISSON

distribuci ´on Binomial B(n, p)

- propiedad dicot ´omica: infectado-no infectado - hip ´otesis: n ensayos independientes

probabilidad de ´exito p constante

X = “n ´umero de ´exitos en n ensayos”

p (X = x) = n x



p^x(1 − p)^n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

es una medida de probabilidad sobre las hip ´otesis

propiedades

Ejercicio: La probabilidad de que un perro muera a causa de cierta vacuna contra la rabia es de 0.02. Si se administra la vacuna a 10 perros ¿cu ´al es la probabilidad de que no mueran m ´as de dos perros a causa de la vacuna?

distribuci ´on de Poisson P(λ)

- eventos independientes y velocidad constante

- promedio de eventos por unidad de tiempo o espacio λ

X = “n ´umero de eventos independientes que ocurren con tasa de ocurrencia por unidad tiempo o espacio constante”

p (X = x) = e^−λλ^x

x!, x ≥ 0

es una medida de probabilidad propiedades

Ejercicio: El n ´umero promedio de animales peque ˜nos que se atien- den en las consultas del Hospital Cl´ınico Veterinario de Zaragoza es de 20 por d´ıa, ¿cu ´al es la probabilidad de que en 1 hora lleguen a atenderse por lo menos a 4 perros?

Aproximaci ´on: B(n, p) P(np)

Ejercicio: Se ha determinado que la probabilidad de que un ga- to muera a causa de hipertiroidismo felino es de 0.02. Dada una muestra independiente de 200 gatos con hipertiroidismo, ¿cu ´al es la probabilidad de que no mueran m ´as de cinco de ellos a causa de la enfermedad?, ¿cu ´al es el promedio de muertes?

3.MODELOS DE PROBABILIDAD CONTINUOS: DISTRIBUCION´ NORMAL

distribuci ´on Normal N (µ, σ)

- Variables f´ısicas y biom ´edicas

- Inferencia estad´ıstica en el an ´alisis de datos f (x) = 1

σ√

2πe^{−(x−µ)2/2σ2}, p(a ≤ X ≤ b) = Z b

a

f (x)dx

es una medida de probabilidad propiedades

Transformaci ´on: X ∼ N (µ, σ) Z = X − µ

σ ∼ N (0, 1) Aproximaci ´on: B(n, p) N (np,pnp(1 − p))

tipos de problemas

4.DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA N^ORMAL

problema general:

y = g(z₁, . . . , z_n) z_i ∼ N (0, 1)

distribuci ´on Chi-cuadrado χ²_n

χ²_n = z₁² + · · · + z_n² =

n

X

i=1

 x_i − µ_i σ_i

2 (

x_i ∼ N (µ_i, σ_i) z_i ∼ N (0, 1)

es una medida de probabilidad propiedades

inferencias sobre la varianza

distribuci ´on F de Fisher

F_n,m =

z₁² + · · · + z_n² n

w₁² + · · · + w²_m m

= χ²_n

n χ²_m

m

z_i, w_j ∼ N (0, 1)

es una medida de probabilidad propiedades

adecuado en comparaci ´on de varianzas

distribuci ´on t de Student

t_n = z

rw₁² + · · · + w²_n n

= z

rχ²_n n

z, w_i ∼ N (0, 1)

es una medida de probabilidad propiedades

adecuado en comparaci ´on de medias

Aproximaci ´on: t_n N (0, 1)

sugerencia: n ≥ 30 ⇒ t_n ∼ N (0, 1)