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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
ESCUELA DE POSGRADO
UNIDAD DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE EDUCACIÓN
TESIS
PRESENTADA POR:
ESPINOZA ESPINOZA, ALEX
PARA OPTAR EL GRADO ACADÉMICO DE:
MAGISTER EN EDUCACIÓN
MENCIÓN: EDUCACIÓN MATEMÁTICA
HUANCAYO – PERÚ
2017
APRENDIZAJE DE COORDENADAS POLARES EN
ESTUDIANTES EN FORMACIÓN DE PROFESORES POR
MEDIO DE LOS REGISTROS DE REPRESENTACIÓN
SEMIÓTICA
iii
ASESOR
iv
DEDIC ATORI A:
A Diker y Suzette quienes con su mirada y sus inquietudes me motivan a superarme.
v
AGR ADECIMIENTO
Mi agradecimiento más sincero a la Dra Katia Vigo por su desinteresada colaboración, al Dr. Jorge Yangali Vargas asesor del trabajo de investigación
APRENDIZAJE DE COORDENADAS POLARES EN ESTUDIANTES EN FORMACIÓN DE PROFESORES POR MEDIO DE LOS REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA, comprensión y valiosas sugerencias.
A la Pontificia Universidad Católica del Perú que, a través de la Escuela de Posgrado de Enseñanza de las Matemática han generado en mis conocimientos muy valiosos en relación a la didáctica de la matemática.
A los estudiantes del VI Semestre académico 2016-II de la Carrera Profesional de Ciencias Matemáticas e Informática de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional del Centro del Perú quienes participaron en el proceso experimental.
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ÍNDICE DE CONTENIDOS
Página
Caratula i
Página de jurados ii
Hoja de asesor iii
Dedicatoria iv
Agradecimiento v
Índice de contenidos vi
Lista de gráficos x
Lista de cuadros xiii
Lista de tablas xiv
RESUMEN xv
ABSTRACT xvi
INTRODUCCIÓN xvii
CAPÍTULO I : FUNDAMENTOS TEÓRICOS
1.1 Antecedentes 21
1.1.1. Investigaciones relacionadas al objeto matemático. 21 1.1.2. Investigaciones relacionadas a la teoría. 25
1.2 Problema de investigación 32
vii
1.4 Justificación 35
1.5 Bases teóricas 38
1.5.1. Teoría de los registros de representación semiótica 38
1.5.2. Representación semiótica 40
1.5.3. Registro de representación semiótico 41 1.5.4. La actividad matemática desde el punto de vista de la
representación semiótica y aprendizaje
43
1.5.5. Actividades cognitivas fundamentales de la representación semiótica.
45
1.6 Definición de términos básicos 50
1.7 Variables 53
1.7.1. Variables macro didácticas 53
1.7.2. Variables micro didácticas 54
CAPÍTULO II: METODOLOGÍA
2.1. Tipo y Nivel 55
2.2. Metodología 55
2.2.1. Ingeniería didáctica 56
2.2.2. Fases de la ingeniería didáctica 57
2.3. Población y muestra 62
2.3.1. Población 62
2.3.2. Muestra. 63
2.4. Técnica e instrumento de acopio de datos 66
2.4.1. Análisis preliminar 66
viii
2.4.2.1. Los conocimientos previos 79
2.4.2.2. Las actividades 82
2.5. Técnicas de procesamiento de datos 100
CAPÍTULO III: PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
3.1. Fase experimental 101
3.1.1. Propuesta y objetivos de la experimentación 101 3.1.2. Descripción de los sujetos de investigación 102
3.1.3. Cronograma de actividades 103
3.2. Logros y dificultades encontradas en la aplicación de la secuencia de actividades
104
3.2.1. Resultados y análisis a posteriori de la primera actividad. 104 3.2.2. Resultados y análisis a posteriori de la segunda actividad 109 3.2.3. Resultados y análisis a posteriori de la tercera actividad 114 3.2.4. Resultados y análisis a posteriori de la cuarta actividad 117
CAPÍTULO IV: DISCUCIÓN DE RESULTADOS
4.1. Sobre los libros utilizados como material de estudio frente a las acciones observadas en la secuencia de actividades
125
4.2. Sobre las investigaciones en relación al objeto de estudio frente a las acciones observadas en la secuencia de actividades
126
4.3. Sobre la evaluación diagnóstica frente a las acciones observadas en la secuencia de actividades
127
ix encontrados en la experimentación
4.5. Consideraciones finales del análisis 134
4.6. Análisis de la evaluación final 135
4.7. Las variables en el análisis de los resultados. 140
4.8. Secuencia de actividades rediseñadas 141
CONCLUSIONES 142
RECOMENDACIONES 144
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 145
x
LISTA DE GRÁFICOS
Página
GRÁFICO No 01: Respuesta de una actividad presentada en la secuencia didáctica.
24
GRÁFICO No 02: Punto en el sistema polar. 45
GRÁFICO No 03: Representación de un conjunto infinito de puntos en un sistema polar.
46
GRÁFICO No 04: Sistema de coordenadas polares. 70 GRÁFICO No 05: Forma del papel coordenado polar. 71 GRÁFICO No 06: Representación del punto en el plano cartesiano
y polar.
72
GRÁFICO No 07: Proceso de conversión algebraica. 73
GRÁFICO No 08: Teorema para transformaciones. 73
GRÁFICO No 09: Ejercicios planteados. 74
GRÁFICO No 10: Teorema de simetría. 75
GRÁFICO No 11: Un punto en coordenadas polares. 77
GRÁFICO No 12: Puntos en el sistema polar. 77
GRÁFICO No 13: Presentación de ejercicios de reforzamiento 79
xi
GRÁFICO No 15: Registro gráfico. 107
GRÁFICO No 16: Registro en relación a puntos en coordenadas polares.
108
GRÁFICO No 17: Registro de lengua natura, gráfico y polar de punto.
110
GRÁFICO No 18: Tratamiento en registro polar y algebraico. 111 GRÁFICO No 19: Tratamiento en registro gráfico y tabular de un
punto.
112
GRÁFICO No 20: Observaciones en relación a los registros. 114
GRÁFICO No 21: Tratamiento y conversión. 115
GRÁFICO No 22: Tratamiento en registro algebraico y conversión. 117
GRÁFICO No 23: Conversión de registros. 119
GRÁFICO No 24: Tratamiento y conversión. 119
GRÁFICO No 25: Propiedades en registros de representación. 120
GRÁFICO No 26: Registro de lengua natural. 120
GRÁFICO No 27: Registro tabular y conversión. 122 GRÁFICO No 28: Tratamiento de una primera propiedad. 122 GRÁFICO No 29: Tratamiento de una segunda propiedad. 123 GRÁFICO No 30: Tratamiento en registros y conversión. 123 GRÁFICO No 31: Tratamiento de propiedad de puntos en
coordenadas polares.
124
GRÁFICO No 32: Tratamiento de propiedad de puntos en coordenadas polares.
124
GRÁFICO No 33: Puntos en registros. 137
xii
GRÁFICO No 35: Registros de representación. 138
xiii
LISTA DE CUADROS
Página CUADRO No 01: Tipos y funciones de representación. 44 CUADRO No 02: Tratamiento de la ecuación de una
circunferencia.
47
CUADRO No 03: Conversión de registros. 48
CUADRO No 04: Los sujetos de la investigación. 64 CUADRO No 05: Análisis a priori de la evaluación diagnóstica. 80
CUADRO No 06: Actividades de aprendizaje. 83
CUADRO No 07: Análisis a priori. 92
CUADRO No 08: Cronograma y programación de actividades. 103 CUADRO No 09: Contratación de actividad primera. 127 CUADRO No 10: Contratación de actividad segunda. 129 CUADRO No 11: Contratación de actividad tercera. 131 CUADRO No 12: Contratación de actividad cuarta. 133
xiv
LISTA DE TABLAS
Página TABLA No 01: Primer resultado de la prueba diagnóstica. 81 TABLA No 02: Segundo resultado de la prueba diagnóstica. 82 TABLA No 03: Resultado de la evaluación final. 135
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
UNIDAD DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE EDUCACIÓNAPRENDIZAJE DE COORDENADAS POLARES EN
ESTUDIANTES EN FORMACIÓN DE PROFESORES POR MEDIO
DE LOS REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA
RESUMEN
AUTOR: Alex Espinoza Espinoza
El presente trabajo de investigación tiene como objetivo analizar la coordinación de los registros de representación semiótica que los estudiantes movilizan cuando representan puntos en el sistema de coordenadas polares por medio de una secuencia de actividades. En nuestra propuesta son analizadas mediante las transformaciones que realizan los estudiantes en los registros de lengua natural, gráfica, tabular, par polar y algebraico. Con este trabajo pretendemos mostrar el fundamento cognitivo de las dificultades y bondades que se presentan en el aprendizaje de puntos en coordenadas polares en los estudiantes del VI semestre 2016-II de la Carrera Profesional de Ciencias Matemáticas e Informática de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional del Centro del Perú a través de tratamientos y conversiones. Como presupuesto teórico, se emplea la Teoría de los Registros de Representación Semiótica propuesta por R. Duval, en el que nos indica que, existen por lo menos dos características típicas de la actividad cognitiva propia de los procedimientos matemáticos. La metodología de investigación del trabajo es la Ingeniería didáctica. Mediante la aplicación experimental se pudo contrastar y discutir las conjeturas y los resultados observados, también comprobamos que las mayores dificultades se presentan cuando existe conversión entre el registro de lengua natural y el registro gráfico.
xvi
ABSTRACT
The present research aims at analyzing the coordination of semiotic representation records that students mobilize when they represent points in the polar coordinate system through a sequence of activities; this proposal is analyzed by the transformations that the students make in the registers of natural language, graphic, tabular, polar and algebraic pair. With this work we intend to show the cognitive basis of the difficulties and benefits that are presented in the learning of points in polar coordinates in the students of the sixth semester 2016 - II of the Professional Career of Mathematics and Computer Sciences of the Faculty of Education of the National University of the Center Of Peru through treatments and conversions. As a theoretical presupposition, the Theory of Registers of Semiotic Representation proposed by R. Duval, is used, which indicates that there are at least two typical characteristics of the cognitive activity characteristic of mathematical procedures. The methodology of research of the work is didactic Engineering. Through the experimental application it was possible to contrast and discuss the conjectures and the observed results; we also verified that the greatest difficulties are presented when there is conversion between the natural language register and the graphic register.
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INTRODUCCIÓN
SEÑOR PRESIDENTE Y SEÑORES MIEMBROS DEL JURADO:
Con mucho interés se pone a vuestra consideración la Tesis titulada APRENDIZAJE DE COORDENADAS POLARES EN ESTUDIANTES EN FORMACIÓN DE PROFESORES POR MEDIO DE LOS REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA, con el propósito de optar el grado académico de Magister en Educación con mención en Educación Matemática. Mi preocupación por contribuir con la enseñanza de la Matemática, dirigida a docentes del nivel de educación básica y universitaria; así como, a estudiantes de educación en la especialidad de Matemática; es decir, a quienes en un futuro muy próximo serán profesores de Matemática, y que en su plan de estudio tienen cursos de conocimiento disciplinar y didáctico que cumple un papel formativo fundamental, considerando las exigencias y demandas de la comunidad educativa.
Es así que la investigación surge del interés por estudiar los registros de representación semiótica centrado en la formación y transformación como estrategia de enseñanza y aprendizaje de coordenadas polares, el uso de lápiz y papel como recurso para las representaciones gráficas, por estar al alcance de los estudiantes; asimismo, permitir que los estudiantes comprendan el objeto matemático mediante un enfoque diferente basados en el tratamiento y conversión de registros y para la elección del tema nos hemos basado en la observación de las dificultades que muestran los estudiantes de los primeros semestres de la Facultad de Educación pertenecientes a la Carrera Profesional de Ciencias Matemáticas e Informática de la Universidad Nacional del Centro Del Perú, cuyas edades fluctúan entre 18 a 20 años de edad; al representar e
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interpretar el objeto matemático relacionado a los puntos en el sistema de coordenados polares que se desarrolla en las asignaturas de Análisis Matemática, Geometría y Calculo.
La propuesta del trabajo partió de una reflexión sobre la tarea del docente y, pensamos que el estudio de puntos en coordenadas polares, con un estudio mediante los registros de representación semiótica y con el uso de lápiz y papel, las coordinaciones entre los registros, la conversión y el tratamiento ayudarán para que el estudiante comprenda, represente e interprete objetos en el sistema de coordenadas polares teniendo en cuenta una propuesta didáctica. Para ello, consideramos importante los aportes de Duval(1995) cuando manifiesta que no existe conocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una actividad de representación, además indica que, las representaciones semióticas cumplen la función de comunicación, tratamiento de la información y de objetivación o toma de conciencia, asimismo, indica que las representaciones semióticas son un soporte fundamental para las representaciones mentales.
A través de este trabajo se pretende poner en evidencia la importancia que tiene la dimensión didáctica en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática mediante una propuesta innovadora para nuestro medio como son los registros de representación semiótica, en donde resalta la formación, tratamiento y conversión como procesos, que existen una interrelación entre estos procesos donde detalla la interacción entre el estudiante y el objeto de estudio, resaltando al docente como encargado de crear actividades y condiciones que favorecen el aprendizaje de puntos en coordenadas polares mediante el trabajo individual y duplas.
Nuestro trabajo ha buscado responder la siguiente pregunta: ¿Cómo los estudiantes de la Carrera Profesional de Matemática e Informática de la Facultad de Educación coordinan los diferentes registros de representación semiótica cuando aprenden el concepto de puntos en el sistema de Coordenadas Polares por medio de una secuencia de actividades?
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De acuerdo al problema investigado, se lograron los siguientes objetivos de investigación:
Objetivo general:
Analizar la coordinación de los registros de representación semiótica que los estudiantes de la Carrera Profesional de Matemática e Informática de la Facultad de Educación movilizan cuando representan puntos en el sistema de coordenadas polares por medio de una secuencia de actividades.
Objetivos específicos:
Identificar los registros de representación semiótica que los estudiantes de la Carrera Profesional de Matemática e Informática de la Facultad de Educación utilizan al representar puntos en el plano polar.
Estudiar los tratamientos en los registro de representación que los estudiantes de la Carrera Profesional de Matemática e Informática de la Facultad de Educación realizan al desarrollar la representación de puntos en el plano polar mediante una secuencia de actividades.
Estudiar la conversión de los registros de representación semiótica que los estudiantes de la Carrera Profesional de Matemática e Informática de la Facultad de Educación realizan cuando conjeturan la forma general de puntos en el sistema de coordenadas polares mediante una secuencia de actividades.
Para el proceso de investigación hemos utilizado como metodología aspectos básicos de la investigación cualitativa de tipo experimental centrado en la Ingeniería Didáctica ya que nos ha permitido validar nuestros supuestos a partir de la confrontación y discusión entre los conocimientos esperados y los conocimientos adquiridos. En la parte experimental, trabajamos con estudiantes de pregrado pertenecientes al VI semestre de la carrera profesional de Ciencias Matemática e Informática de la Universidad Nacional del Centro del Perú y para la recolección de datos utilizamos la secuencia de actividades de aprendizaje.
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En líneas generales, los resultados de esta investigación nos permitió analizar la coordinación de los registros de representación semiótica que los estudiantes movilizan cuando representan puntos en el sistema de coordenadas polares por medio de una secuencia de actividades y que, la propuesta de la metodología y la aplicación de los tratamientos y conversiones en registros de representación semiótica es una alternativa para mejorar la enseñanza aprendizaje de la Matemática en general y el objeto matemático en particular.
Los resultados del trabajo seguramente generarán recomendaciones y pautas que podrían ser parte de futuros trabajos de investigación, en los que se reconozca la importancia de los registros de representación semiótica como marco teórico y una metodología de investigación diferente a los trabajos usuales como la Ingeniería Didáctica.
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C APÍTULO I
FUND AMENTOS TEÓRICOS
1.1 Antecedentes
En esta parte presentamos trabajos de investigación que tiene relación con nuestra metodología y en especial con el marco teórico referido a los registros de representación semiótica de Duval, instrumentos de apoyo para el estudio de funciones, relaciones, etc. También presentamos artículos relacionado al estudio de nuestro objeto matemático. La mayoría de las investigaciones revisadas están relacionadas a las dificultades que tienen los estudiantes para el estudio de funciones reales y su respectiva representación gráfica, las coordenadas polares teniendo en cuenta su presentación cartesiana, los registros de representación semiótica de Duval(1995), la conversión de registros, el uso de recursos auxiliares como el uso de lápiz y papel, Software y la intuición para las representaciones gráficas en el estudio de temas matemáticos; así como, el estudio de coordenadas polares cuyas aplicaciones están dadas en formas y escenarios diferentes. A continuación presentamos algunas de estas investigaciones:
1.1.1. Investigaciones relacionadas al objeto matemático.
Pérez (2014), en su trabajo de investigación titulado “Estrategia didáctica para introducir las coordenadas polares y sus aplicaciones en la presentación y análisis de la parábola y la elipse” aplicado a estudiantes del grado (11) cuyas edades oscilan entre 15 y 17 años de una Institución Educativa Municipal Santiago Pérez de Colombia, en cuyo plan de estudio no se plantea el tema de coordenadas polares; sin embargo, consideran importante que estudiantes de
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esta edad desarrollen el pensamiento espacial y sistemas geométrico. El autor plantea como objetivo diseñar una unidad didáctica para estudiantes de grado 11 de la Institución Educativa Municipal Santiago Pérez para introducir conceptos básicos de coordenadas polares y sus aplicaciones en la representación y análisis de la parábola y la elipse. La metodología aplicada para esta propuesta está basada en el planeamiento y la organización de actividades de tal forma que le permita al docente identificar aspectos que pueden ser relevantes a la hora de llevarlas al aula de clase; pretendiendo interrelacionar todo los elementos que intervienen en el proceso de enseñanza – aprendizaje con una coherencia interna metodológica por un periodo de tiempo determinado y, como base de esta interrelación se toma elementos de la investigación acción.
Pérez (2014), hace un estudio referencial en relación a la historia de las figuras que pueden ser abordados mediante las coordenadas polares y, a través de ello, estudia la posición de los puntos teniendo en cuenta un plano luego, las representaciones gráficas en el sistema polar y sus respectivas ecuaciones. Para la aplicación, el autor primeramente elabora y aplica una prueba diagnóstica; luego, elabora guías de aprendizaje teniendo en cuenta los contenidos y conceptos fundamentales para los cuales plantea objetivos de aprendizaje como son: reconocer y usar el sistema de coordenadas polares, identificar en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas obtenidas por distintos procedimientos e, identificar y aplicar características de localización de objetos geométricos en el sistema de coordenadas polares en particular de la Cardioide, la parábola y la elipse. El desarrollo metodológico de la propuesta está compuesta en 12 prácticas en donde indican la finalidad y las actividades que los estudiantes debes desarrollar. Finalmente, la autora concluye que el conocimiento de las coordenadas polares ayuda en la representación y análisis de la parábola y elipse mediante la aplicación de actividades de aprendizaje previamente planificadas.
Como resultado de este trabajo, los autores indican que los aspectos históricos-epistemológico es un importante recurso didáctico para el estudio de
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coordenadas polares y, permite al profesor reflexionar la forma cómo el hombre construye los conceptos matemáticos; además, indica que, mediante actividades diseñadas previamente es posible que se facilite el aprendizaje de las coordenadas polares y el uso en la representación y análisis de la parábola y elipse; el trabajo en equipo genera oportunidades de aprendizaje; asimismo, indican que el uso de recursos como el software brinda la oportunidad al estudiante para acercar al buen uso de la tecnología, y realizar procedimientos de verificación de las curvas obtenidas con lápiz y papel.
El trabajo tiene relevancia para nuestro estudio puesto que, propone temas relacionado a las coordenadas polares en un plan de estudio para educación básica; además, indica que el conocimiento de estos temas facilitará el estudio de parábola y elipse, así como, la forma de abordar es accesible al aprendizaje de los estudiantes, el uso de lápiz y papel como recurso principal y que el software se utiliza para el proceso de verificación de un tema ya aprendido y, conjeturamos que al aplicar el estudio en estudiantes del nivel superior al cual tenemos como sujetos de investigación, tendrán implicancias relativamente favorables ya que los estudiantes tienen conocimientos previos muchos más consistentes.
Antunes y Souza (2013), indican que para la enseñanza de la Trigonometría y números complejos, el estudio de las coordenadas polares es utilizado como elemento auxiliar muy importante. Por ejemplo, indican que la circunferencia trigonométrica tiene por definición una circunferencia de radio unitario y centro en el origen del plano cartesiano y, teniendo en cuenta las coordenadas polares representado por (r; θ), cualquier punto de la circunferencia trigonométrica será de la forma (1; θ) e indican la transformación entre el sistema cartesiano y polar mediante tratamientos y conversiones.
En la aplicación experimental del trabajo, los autores desarrollan mediante secuencias didácticas en la que presentan los sistemas polares y cartesianos en cada caso se evidencia el tratamiento y la conversión como podemos visualizar en la siguiente figura:
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Gráfico No 01 : Respuesta de una activada presentada en la secuencia
didáctica
Fuente: Antunes y Souza (2013, p. 11)
Como resultado de este trabajo, los autores indican que, el desarrollo de la introducción de coordenadas polares en estudiantes del nivel básico se llevó a cabo de manera natural y no mostraron dificultades en su uso. Por otro lado, la representación geométrica del número complejo y coordenadas polares, que por lo general se aborda brevemente en los libros de texto, facilita su comprensión de estos temas, ya que les permitió el trabajo, tanto con los tratamientos como la conversión de la misma. Para el estudio de este trabajo, los autores se apoyan en las propuestas de la teoría de los registros de representación semiótica de Raymond Duval y transposición didáctica de Yves Chevallard.
Chau y Sánchez (2010), En su artículo referido a las curvas maravillosas de las coordenadas polares, sostienen que, para la enseñanza de coordenadas polares en las instituciones educativas deben hacerse con apoyo de las computadoras para poder graficar y, a partir de ello explicar a los estudiantes las distintas formas que adopta la naturaleza como por ejemplo, la posibilidad de representar matemáticamente la flor y las coordenadas polares ayudan a graficar sus numerosos pétalos. Los investigadores, sostienen que el sistema polar permite a los estudiantes encontrar y descubrir un increíble potencial de las matemáticas para interpretar el mundo real, zafarse del mundo reducido a
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los libros y fórmulas. Los objetivos de la investigación está centrada en la representación de curvas y regiones que se exponen en la naturaleza a través de las plantas, flores, animales, y los objetos que el hombre creó y diseñó en su vida, como ventiladores y otros objetos; asimismo, la incorporación de
software para representar gráficamente curvas polares. Los autores planifican
diversas actividades y en ellas observan las dificultades que tienen los estudiantes para las representaciones de puntos en coordenadas polares, los puntos de intersección y las representaciones gráficas.
Los autores, ejecutan actividades de aprendizaje estructurados en actividades cooperativas llamadas “curvas polares”, en donde los estudiantes trabajan primero en forma individual, luego en pares y por último en forma grupal. Los autores, también aplican actividades para el profesor, en la que desarrollan en forma individual, en pareja y grupal, en ambos casos la representación gráfica es importante.
1.1.2. Investigaciones relacionadas a la teoría.
Trigueros y Martínez (2010), estudian los registros de representación gráfica para desarrollar funciones de dos variables y su importancia del aprendizaje en estudiantes del nivel universitario; tienen como objetivo, analizar las representaciones gráficas de funciones de dos variables y su estudio que presentan los textos que usualmente utilizan los estudiantes como material de consulta y, para ello hacen uso la Teoría Antropológica de la Didáctica como marco teórico. Los autores indican que, cualquier actividad humana puede ser explicada en términos de un sistema de praxeologías, que consiste en un conjunto de prácticas que, en el caso de las actividades matemáticas constituyen la estructura de lo que se llaman las organizaciones matemáticas. La metodología que aplica, es el análisis crítico; en donde se trabaja con investigadores que pertenecen a dos universidades de Puerto Rico y México respectivamente, analizan un mismo texto que los estudiantes hacen uso como material de estudio en temas relacionado a derivadas parciales, representación gráfica de funciones de dos variables e indican que, el texto no proporciona suficientes oportunidades para que los estudiantes trabajen en el bloque práctico de la praxeología, no existe propuestas consistentes en la parte
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teórica, en los ejercicios de aplicación relacionado a gráfico de funciones, el tratamiento y conversión en los diferentes registros la desarrollan en forma básica.
Los investigadores, analizan el proceso de enseñanza de las funciones reales de dos variables y concluyen que, a nivel de los dos países se evidencia las mismas dificultades referido a las representaciones gráficas; indican que, el aprendizaje de estos temas son no consistentes y que estas generalmente son guiados o complementados por los libros que presentan estos temas aplicando procedimientos algebraicos. Los autores sostienen que, para abordar las representaciones gráfico de funciones de dos y tres variables es necesario conocer con amplitud temas relacionado a las de funciones reales con una variable.
Trigueros y Martínez (2010) también, estudian la forma como los estudiantes construyen sus conocimientos sobre funciones de varias variables, indican que su estudio está centrado en algunas representaciones gráficas de funciones, las propiedades geométricas de las funciones, la transición de funciones de una variable a funciones de dos variables y este hecho lo relacionan con los registros para la construcción explícita. Los autores, destacaron la importancia de las reglas y convenciones que intervienen en la interpretación de los diferentes tipos de figuras y diagramas que no es fácil de entender por el estudiante; además indican que, la visualización como herramienta para el aprendizaje provoca señales visuales para superar la falta de traducciones flexible entre representaciones; por otro lado, señalan que los estudiantes pueden ver en una representación algo distinto de lo que un experto lo percibiría, y está relacionada con su estructura conceptual. Los autores, indican la importancia del uso de las representaciones, tanto en la visualización de los objetos matemáticos y en la representación conceptual; asimismo, indican que esta juega un papel importante no solo en la construcción de la gráfica de funciones de una y dos variables sino en su comprensión. Para este estudio, los investigadores hacen uso de la Teoría APOS, sobre todo en la construcción de una propuesta para desarrollar el concepto de funciones de dos variables y las teorías de las representaciones semióticas el que
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proporciona herramientas conceptuales necesarias para analizar el tratamiento en las diferentes representaciones y su papel de comprensión de las ideas matemáticas.
Como resultado de estas investigaciones, nos muestran las dificultades que tiene los estudiantes del nivel universitario en las representaciones gráficas de funciones de dos variables en el sistema cartesiano y que, la utilización de los libros como material de consulta no favorecen en complementar o reforzar su estudio, por el contrario, incrementa las formas de aprendizaje basado en los cálculos algebraicos. Por otro lado, la aplicación de la teoría de las representaciones semióticas ayuda al estudiante a comprender los registros gráficos y algebraicos de funciones mediante reglas y convenciones que intervienen para interpretar los diferentes tipos de figuras y diagramas que no es fácil entender.
La investigación es relevante para nuestro trabajo de investigación ya que, nos muestra la importancia que tiene la aplicación de la Teoría de Registros de Representación Semiótica para el estudio de las representaciones gráficos de funciones; además, consideramos pertinente el haber identificado la existencia de dificultades en el aprendizaje de las representaciones de funciones en el sistema cartesiano de parte de los estudiantes del nivel superior y que los textos no ayudan a mejorar estas dificultades.
Morales(2013), en su tesis titulada “Análisis de las transformaciones de la representaciones semióticas en el estudio de la función logarítmica en Educación Escolar”, plantea como objetivo, analizar las dificultades que se presentan cuando el estudiante realiza actividades de aprendizaje sobre función logarítmica y para ello es necesario las representaciones gráficas; entre sus objetivos específicos, el autor plantea la necesidad de Diseñar actividades para identificar los procesos involucrados en la enseñanza y aprendizaje de la función logarítmica, centrando su atención en las transformaciones y de manera especial, en analizar la complejidad cognitiva de la conversión de las representaciones que emplean en el estudio de la función logarítmica; estas dificultades son analizadas mediante los registros de representación semiótica y las transformaciones que se realizan.
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El autor, aplica su trabajo de investigación en el nivel de educación secundaria que corresponde a estudiantes que oscilan entre 15 a 16 años de edad, haciendo uso la Teoría de Registros de Representaciones Semióticas de Duval(1995). El investigador hace referencia de las dificultades que tienen los estudiantes para el aprendizaje de conceptos matemáticos, plantea que para su estudio se debe tener en cuenta la comprensión del caso, identificar la naturaleza de dichas dificultades y ubicar en donde se localizan dichas dificultades. En la aplicación experimental, el autor explica que para el proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones logarítmicas es necesario representar tres registros: el registro simbólico, el registro gráfico y el registro verbal, para ello utilizan la investigación cualitativa de tipo experimental con apoyo del software.
Dentro de las conclusiones, el autor señala la utilidad del registro de lengua natural en situaciones contextualizadas, donde la función logarítmica se emplea en la formación de conocimientos de otras disciplinas científicas y que, las dificultades que tienen los estudiantes se es superado mediante realizaciones de las transformaciones semióticas en menor grado en los tratamientos y en mayor grado en las conversiones.
El trabajo de investigación es cualitativo y de tipo experimental por lo que consideramos su importancia para nuestro estudio; además, para el proceso de investigación, hace uso los registros de representación semióticas para las transformaciones teniendo en cuenta el tratamiento y la conversión, aspectos que creemos necesario para abordar nuestro estudio ya que en nuestro caso analizaremos las diferentes coordinaciones de la formación, tratamiento y conversión de registros en coordenadas polares que es nuestro objeto de estudio.
Los trabajos citados, nos muestra las dificultades que tienen los estudiantes en el aprendizaje de las representaciones gráficas de funciones en el sistema cartesiano, sus representaciones algebraicas, conversiones, etc. y que al presentar un sistema diferente como las coordenadas polares, pensamos que estas dificultades continuarán; es evidente que, los registros de representación semióticos propuesta por Duval(1995), se convierta como una estrategia
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fundamental para el estudio de estos temas, porque propone la movilización y coordinación de varias formas compartidas relativo a la significancia de las representaciones semióticas y los registros, haciendo a que el estudiante pone más interés por el aprendizaje.
El estudio de las coordenadas polares como elemento importante para el desarrollo de la Trigonometría, parábolas, elipse y los Números Complejos, la necesidad de incluir temas relacionado a coordenadas polares en los planes curriculares de Educación Básica y el uso de elementos auxiliares para las representaciones gráficas; las propuestas que hicieron los investigadores citados respecto a la intuición, el uso de los registros de representación semiótica, la realización y aplicación de actividades de aprendizaje para el estudio, el uso de software, lápiz y papel como instrumento de apoyo, serán elementos importantes que nos permitirá abordar el estudio que conjeturamos, generará posibilidades de promover la adquisición de conocimientos y la forma de estudio de los puntos en coordenadas polares.
Teniendo en cuenta las investigaciones revisadas y las consideraciones finales relativas al estudio de coordenadas polares, presentamos estudios que abordan nuestro tema de investigación.
Alves (2011), desarrolla un estudio relacionado al cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables centrado en la enseñanza. En una primera parte el autor hizo referencia de la complejidad que presentan los objetos matemáticos en el uso de las simbologías y que, su uso indebido conlleva a que el estudiante muestra confusión y desinterés en el estudio de la matemática. El autor utiliza los registros de representación semiótica de Duval (1995) como presupuesto teórico para el estudio de límites, continuidad, derivadas, integrales y el cálculo de varias variables, aplicado en estudiantes de Licenciatura en Matemática del Instituto Federal de Educación, Ciencia y Tecnología de Fortaleza – Ceará – Brasil en los años 2009 y 2010. La investigación tiene como objetivo describir y adecuar las categorías intuitivas que según el autor, significa el proceso cognitivo que ocurre de una percepción evidente y, las fases de enseñanza aplicando una metodología llamada Secuencia Fedathi que, para el investigador significa la aplicación de categorías de razonamiento intuitivas en
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contextos de resolver problemas de manera que permita evitar obstáculos, este proceso es asumido en la enseñanza-aprendizaje del Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables; asimismo, analiza cuatro libros de cálculo, en donde hace notar el estudio de los valores mínimos de una función de varias variables, máximo local y superficies; observando las limitaciones en la parte didáctica, las representaciones gráfico de las funciones a partir del lenguaje algebraico.
El investigador, hace referencia de una interesante propuesta relacionado a la representación gráfico con aplicación tecnológica y su relación con la formulación teórica o abstracta y, para ello se tiene en cuenta un análisis crítico-reflexivo provocando el rigor matemático evidenciado en las demostraciones algebraica, representa diversos gráficos de funciones, hace uso de conceptos de funciones reales de variables vectoriales y luego representa modelos matemáticos formales mediante la intuición y percepción matemática como parte del proceso, el autor le da importancia a la intuición indicando que este, juega un papel esencial en la investigación y el proceso de aprendizaje del cálculo.
En la aplicación experimental, desarrolla actividades con indicaciones específicas mediante consignas, objetivos y las consideraciones para el análisis, dirigido a estudiantes del nivel superior; en ella se notan la incidencia de la propuesta de Duval. Para las representaciones gráficas recurre a la técnica de lápiz y papel pero también utiliza el software Maple ya que considera el más cercano a los docentes y estudiantes.
En las conclusiones el autor indica que, existen pocas investigaciones relacionadas al estudio de la educación matemática y que ésta enfrenta una serie de barreras para la generación de un conocimiento científico respecto al análisis en IRn ; asimismo, la importancia de la percepción y la intuición por medio de los registros de representaciones semióticas que ayuda a entender el lenguaje algebraico y su relación con las representaciones gráficas mediante el uso del software Maples como recursos didáctico, esto ofrece la evolución de conocimientos de los estudiantes sobre los conceptos fundamentales del cálculo de varias variables.
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El trabajo tiene relevancia para nuestro estudio porque trata de dos aspectos: primero, resalta la importancia de la intuición y percepción en el proceso de enseñanza y aprendizaje del cálculo de varias variables, las representaciones gráficas, simbólicas y resolución de problemas; sobre todo, teniendo en cuenta que el estudiante tiene grandes dificultades en su aprendizaje y segundo, por el uso del registro de representación gráfico y la conversión de los registros algebraico a registros gráficos haciendo uso del lápiz y papel.
Ingar (2014), en su trabajo de investigación titulado “A visualização na Aprendizagem dos Valores Máximos e Mínimos Locais da Função de Duas Variáveis Reais” observa la forma como se estudia el cálculo de funciones de dos variables que se desarrolla en el tercer semestre de los cursos de ingeniería de la Universidad Nacional del Callao; desde el punto de vista de la autora, indica que desarrollando los multiplicadores de Lagrange con el uso de gráficos no movilizan sus conocimientos existentes para entender el tema, rescata la crítica que se hace por la falta de profesores de matemática con formación didáctica y que, la enseñanza está basada en cálculos, procesos algebraicos y uso de fórmulas para resolver los ejercicios. La investigadora, en su trabajo tuvo como objetivo analizar el proceso de visualización y para ello, utiliza como teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval (1995) y la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau(1998). En el proceso de investigación, la autora aborda las dificultades que tienen los estudiantes de ingeniería para entender la conversión entre el lenguaje verbal y las representaciones gráficas; además, a diferencia de Alves (2011), la autora se centra en la visualización de registros gráficos basada en la teoría de registros de representación semiótica y las aprehensiones en el registro gráfico en IR3. La autora sostiene que, la aplicación del Sistema Algébrico Computacional (CAS) Mathematica como un medio de apoyo en el estudio, está centrada en la articulación entre el registro gráfico y el lenguaje algebraico mostrando su importancia de su aplicación en el proceso experimental.
La metodología de investigación utilizada por la investigadora es, la Ingeniería Didáctica de Artigue (1988) el cual le permite confrontar el análisis a priori y el análisis a posteriori teniendo en cuenta la concepción, la experimentación y
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validación como fases de investigación. La parte experimental de la investigación, la autora presentó cuatro situaciones didácticas relacionado al estudio de los valores máximos y mínimos locales de funciones de dos variables reales relacionado a diversos casos en la que se señala consignas en forma clara teniendo en cuenta la teoría de situaciones didácticas de Brousseau ( 1998)
Como resultado del trabajo, la autora demostró que el estudio de la visualización mediante la teoría de los Registros de Representación Semiótica de Duval, la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau y el soporte del
Software CAS Mathematica para las representaciones gráficos, es un medio
didáctico recomendable para el aprendizaje de los valores máximos y mínimos locales de funciones de dos variables reales en estudiantes de ingeniería del nivel superior universitario.
En relación a nuestro trabajo, la propuesta es relevante ya que nos da dirección clara en relación al tratamiento y conversión del objeto matemático en registros gráficos y algebraicos; asimismo, la propuesta en relación a elaboración de las actividades de aprendizaje mediante la teoría de situaciones didácticas, la ingeniería didáctica como metodología de investigación, la que nos permitirá abordar nuestro estudio teniendo en cuenta los registros de representación semiótica y la elaboración de las actividades de aprendizaje de coordenadas polares.
1.2 Problema de investigación
Como señalamos en párrafos anteriores, las diversas investigaciones citadas muestran la necesidad de incluir temas relacionada a coordenadas polares en los contenidos silábicos y programas curriculares del nivel de educación básica regular, la existencia de problemas de aprendizaje de funciones centradas en las representaciones gráficas en sistemas cartesianos, los materiales de consulta no ayudan a superar este problema y los medios auxiliares nos son los más adecuados para movilizar las coordinaciones de aprendizaje y comprender el tema; esto nos hace suponer que, para el estudio de las coordenadas polares esos problemas existirán, dado que la representación
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gráfica se presentan en un sistema semiótico diferente y desconocido por los estudiantes.
Es así que surge el interés de estudiar los registros de representación semiótica como estrategia de enseñanza y aprendizaje de las representaciones de puntos en coordenadas polares, el uso de lápiz y papel como recurso para las representaciones gráficas, por estar al alcance de los estudiantes de modo que, comprendan el objeto matemático, movilicen diversos argumentos para el aprendizaje mediante un enfoque diferente basados en la formación, tratamiento y conversión como actividades cognitivas fundamentales de la representación ligadas a la semiosis en estudiantes de
Matemática e Informática de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional del Centro del Perú.
Pregunta de investigación
De acuerdo a la forma de abordar los antecedentes y justificaciones en relación a nuestro objeto matemático, la pregunta de investigación en el presente trabajo fue:
Problema General:
¿Cómo los estudiantes de la Carrera Profesional de Ciencias Matemática e Informática de la Facultad de Educación coordinan los diferentes registros de representación semiótica cuando aprenden el concepto de puntos en el sistema de Coordenadas Polares por medio de una secuencia de actividades?
Problemas específicos:
¿Cómo los estudiantes de la Carrera Profesional de Ciencias Matemática e Informática de la Facultad de Educación identifican los registros de representación semiótica para el estudio de puntos en el plano polar?
¿Cómo los estudiantes de la Carrera Profesional de Ciencias Matemática e Informática de la Facultad de Educación desarrollan el tratamiento de puntos en el plano polar teniendo en cuenta los registros de representación semiótica mediante una secuencia de actividades?
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¿Cómo los estudiantes de la Carrera Profesional de Ciencias Matemática e Informática de la Facultad de Educación estudian la conversión de los registros de representación semiótica cuando conjeturan la forma general de puntos en el sistema de coordenadas polares mediante una secuencia de actividades?
1.3 Objetivos de la investigación
Para responder la pregunta planteada, señalamos y cumplimos el siguiente objetivo de investigación:
Objetivo general:
Analizar la coordinación de los registros de representación semiótica que los estudiantes de la Carrera Profesional de Ciencias Matemática e Informática de la Facultad de Educación movilizan cuando representan puntos en el sistema de coordenadas polares por medio de una secuencia de actividades.
Objetivos específicos:
Para alcanzar el objetivo general, se ha cumplido los siguientes objetivos específicos:
Identificar los registros de representación semiótica que los estudiantes de la Carrera Profesional de Ciencias Matemática e Informática utilizan al representar puntos en el plano polar.
Estudiar los tratamientos en los registro de representación que los estudiantes de la Carrera Profesional de Ciencias Matemática e Informática realizan al desarrollar la representación de puntos en el plano polar mediante una secuencia de actividades.
Estudiar la conversión de los registros de representación semiótica que los estudiantes de la Carrera Profesional de Ciencias Matemática e Informática realizan cuando conjeturan la forma general de puntos en el sistema de coordenadas polares mediante una secuencia de actividades.
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1.4 Justificación
En el plan de estudio 2008 de la Escuela Académica Profesional de Matemática e Informática de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional del Centro del Perú, nos permite confirmar que se tiene previsto desarrollar asignaturas de Análisis Matemático I, II y III; asimismo las asignatura de Calculo I y II(ver anexo), en ellas se tiene programado desarrollar la recta, circunferencia, parábola, elipse, hipérbola, límites, derivadas, integrales, etc. Y uno de los temas a estudiar está referido a coordenadas polares, contenido matemático que se considera importante para el estudio de los diversos contenidos que se estudia en el análisis matemático y cálculo. En las asignaturas citadas, existe un interés evidente por el estudio de funciones reales de una y dos variables, integrales y sus diversas aplicaciones mediante una metodología deductiva en donde prevalece el cálculo algebraico y; las representaciones gráficas como proceso de enseñanza y aprendizaje; el desarrollo de habilidades y capacidades para la formación, tratamiento y conversión de los registros de representación se han ido descuidando, de tal forma que el estudiante va perdiendo el interés por su estudio. Pensamos que, presentando un estudio mediante una propuesta alternativa basado en los registros de representación semiótica de Duval plasmada en una secuencia de actividades en donde prevalece la formación, tratamiento y conversión, pueda mejorar el estudio de las coordenadas polares en estudiantes de educación. La formación científica de estudiantes de Educación Matemática es muy importante ya que, su campo laboral cuando egresan es, la enseñanza de las matemáticas en el nivel secundaria de Educación Básica Regular, educación superior no universitaria y universitaria. En relación a los estudiantes de Educación de la Carrera Profesional de Ciencias Matemáticas e Informática de la Universidad Nacional del Centro del Perú, se observa una serie de dificultades por las representaciones gráficas de funciones, estudio de temas relacionado a la Geometría Analítica, etc.; los diversos trabajos individuales, grupales, prácticas calificadas y exámenes aplicados al estudiante, los resuelven teniendo en cuenta el enfoque del cálculo algebraico; les es muy dificultoso realizar traducciones, ilustraciones, interpretaciones, codificaciones,
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etc. utilizando diversas representaciones semióticas las que Duval los reconoce como conversiones y, conjeturamos que en relación a las coordenadas polares se observará las mismas dificultades; teniendo en cuenta que, para su estudio es necesario la formación, tratamiento y conversiones en un sistema polar que, para el estudiantes es nuevo y que no han desarrollado estos temas en años o semestres académicos anteriores como se puede evidenciar en los documentos curriculares de Educación Básica, el plan curricular, sumilla y sílabos que cuenta la Facultad.
Por otro lado, se observa que los estudiantes de la carrera profesional mencionada hacen uso de diversos libros que existen en la biblioteca especializada entre ellos: Geometría Analítica de Charles H. Lehman (2013), El
Cálculo de Louis Leithold(1998), Cálculo de Larson, Hostetler y Edwards
(2006), Cálculo de Stewart (2007) y Cálculo de Purcell, Verberg y Rigdon (2001) por ser material bibliográfico de estudio y, en cada uno de ellos presentan el tema de Coordenadas Polares por medio de una estrategia basada en cálculos algebraicos cuyas representaciones gráficos es complementaria, no presentan preguntas que generen reflexión de aprendizajes, promueven necesidad de graficar funciones en diferentes sistemas para que, por medio de ello puedan comprender, movilizar y coordinar registros de las representaciones y generar conflictos de aprendizaje en relación a coordenadas polares y, finalizan el estudio planteando una serie de ejercicios y problemas como extensión de aprendizaje cuya resolución debería darse teniendo en cuenta el mismo modelo que presentan estos libros. Respecto al estudio de las coordenadas polares, coincidimos con Antúnez y Souza(2013), cuando indica que, existe un interés de incluir estos temas en los planes curriculares de Educación Básica; así como la forma de abordarlos teniendo en cuenta el tratamiento y la conversión en un sistema distinto al que el estudiante está acostumbrado; Trigueros y Martínez (2010), cuando indican las dificultades que tienen los estudiantes en el aprendizaje de las representaciones gráficas de funciones de dos variables y que, este problema también se observa en los libros que hacen uso en las aulas universitarias como material de consulta; además, indican que la aplicación de los registros
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de representación semiótica es un medio para superar estas dificultades y recomiendan la necesidad de apoyarlos de modo que puedan interiorizar estos procesos. Debemos tener en cuenta que la intuición y la percepción son aspectos relevantes en los procesos de representación gráfica de funciones y que, existen pocas investigaciones relacionadas al estudio de la educación matemática y que ésta enfrenta una serie de barreras para la generación de un conocimiento científico en relación al estudio de la matemática.
Por tanto, las dificultades que tienen los estudiantes en el estudio de funciones reales y vectoriales en el sistema cartesiano, nos hace suponer que, al presentar otros sistemas no conocidos como el sistema polar también se presentarán estas dificultades sobre todo en las representaciones gráficas. Además, el estudio de coordenadas polares está centrado en las conversiones del sistema cartesiano al sistema polar y viceversa mediante procesos algebraicos, con algunas presentaciones gráficas y el apoyo del Software como elemento auxiliar. En consecuencia, consideramos que es necesario conectar las diversas asignaturas relacionado al Análisis Matemático que se desarrolla en la carrera de acuerdo al plan de estudio; así como, con los diversos contenidos temáticos que se presenta en los sílabos y, en el presente trabajo, estamos interesados en la enseñanza y el aprendizaje del concepto de puntos en coordenadas polares cuando trabajan problemas empleando los registros de representación, buscando establecer relaciones con otras asignaturas.
Consideramos importante la aplicación de recursos tecnológicos como instrumentos didácticos de apoyo; sin embargo, planteamos el uso de lápiz y papel como un medio para las representaciones gráficas ya que como menciona Duval , las representaciones semióticas es el medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones mentales que significa un conjunto de imágenes y concepciones que se puede tener sobre un objeto, una situación o aquellos que le está asociado, de tal manera que apoye a la construcción de aprendizajes en relación a las coordenadas polares y, confiamos que los registros de representación semiótica de Duval será un
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recurso fundamental en su estudio por su dinamismo de las formas de presentación, tratamiento y conversión.
Las diferentes consideraciones señaladas, muestran la importancia del estudio de las representaciones gráficos de funciones y coordenadas polares. Además, indican que el aprendizaje de estos temas es muy importante para abordar el estudio de números complejos, trigonometría, parábolas, elipse, funciones de variable compleja, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, integrales y otras aplicaciones. Entonces el estudio de las coordenadas polares será relevante si se desarrolla desde una perspectiva distinta a la que tradicionalmente se ha venido enfocando y con la aplicación de los registros de representación, el tratamiento y la conversión como proceso de aprendizaje.
1.5. Bases teóricas
En esta parte precisaremos el marco teórico en la cual se ha sustentado nuestra investigación; asimismo, describiremos la metodología y los procedimientos a aplicar:
Para nuestra investigación, presentamos la Teoría de los Registros de Representación Semiótica de Duval(1995) como presupuesto teórico para el estudio de las distintas representaciones asociadas a los puntos en el sistema de coordenadas polares, ya que nos proporciona elementos necesarios que sustenta nuestro estudio, teniendo en cuenta que la teoría tiene un enfoque cognitivo que pone de manifiesto el estudio de los sistemas semióticos mediante tres actividades cognitivas de representación relacionados a la semiosis como es la formación, tratamiento y conversión de representaciones involucrado en el proceso de enseñanza y aprendizaje, aspectos que nos permitirá explicar los fenómenos relacionados a la actividad matemática.
1.5.1. Teoría de los registros de representación semiótica
Duval (1995), introduce el concepto de Registro de Representación Semiótica y, afirma que el aprendizaje de las matemáticas constituye un campo de estudio privilegiado para el análisis de actividades cognitivas fundamentales
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para lograr la comprensión, el razonamiento, resolución de problemas y la comprensión de textos, para ello se requiere el uso de sistemas de expresión y la representación más allá del lenguaje natural o imágenes. Para el autor, los sistemas semióticos son aquellas formas que se utilizan para representar la realidad, los fenómenos relacionados con el objeto de estudio que permiten tres actividades cognitivas inherentes a toda actividad de representación como son: la constitución de un conjunto de marcas perceptibles identificadas como una representación de alguna cosa en un sistema determinado como la representación de puntos en el sistema de coordenadas polares para nuestro trabajo; luego, determinar la transformación de las representaciones de acuerdo a ciertas reglas únicas y propias del sistema, de manera que se puedan obtener otras representaciones que generan ganancia de conocimiento comparadas con las presentaciones iniciales; finalmente, convertir las representaciones producidas de un sistema a otro, de manera que éstas últimas permitan mostrar otras significaciones relacionado a aquella que es representado y, para ello se hacen uso un conjunto de sistemas; además, sostiene que un sistema semiótico considera reglas, más o menos explícito que nos permite combinar los signos entre sí, de modo que la relación tenga un significado.
El autor indica que, no todo los sistemas semióticos permiten estas tres actividades y pone como ejemplo el lenguaje que indica la codificación de tránsito ya que en esta no se puede realizar tratamientos ni conversiones. La lengua natural, las lenguas simbólicas, los gráficos, las figuras geométricas, etc. si permiten tales actividades. Por lo tanto, habla de registros de representación semiótica que, aparecen como herramientas para producir nuevos conocimientos y no solo para la comunicación de cualquier representación mental en forma específica, sino también para transformarla; asimismo, indica que en matemática encontramos distintos sistemas para expresar las relaciones y operaciones. Entonces, podemos predecir que la pluralidad de sistemas semióticos nos permite diversificar las representaciones de un mismo objeto y mediante esta actividad ampliar las capacidades cognitivas del estudiante y sus representaciones mentales.
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1.5.2. Representación semiótica
Duval(2005), Afirma que, la representación semiótica es el medio por el cual dispone el individuo para exteriorizar el conjunto de imágenes y concepciones que una persona puede tener sobre un objeto, situación o aquellos que le está asociado, conocido como representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o accesibles a los otros el objeto de estudio. Por otro lado, nos dice que la representación ha sido siempre el centro de toda reflexión y a través de ello la constitución de un conocimiento y que, no hay conocimiento que un sujeto pueda movilizar y coordinar sin una actividad de representación; entonces, la noción de representación semiótica son relativas a un sistema particular de signos como el lenguaje, la escritura algebraica, los gráficos en el sistema de coordenadas polares que, pueden ser convertidas en otros sistemas semióticos.
El autor indica que, “En Psicología, para estudiar la adquisición de conocimiento y los funcionamientos que permiten su tratamiento o su aprendizaje, la noción de representación es tan esencial como la de comportamiento”(2005; 32); asimismo, sostiene que las representaciones semióticas en matemática no solo son indispensables para fines de comunicación, sino que son necesarias para el desarrollo de las actividades matemáticas mismas y que, el papel fundamental, y verdaderamente importante, lo constituyen las transformaciones de unas representaciones mediante los tratamientos y las conversiones, ya que permiten obtener nuevas informaciones y extraer nuevos conocimientos de los objetos, ideas y conceptos representados. El autor señal que, la importancia de las representaciones semióticas radica en la forma, diversidad de formas y cambio de formas de representación con relación al contenido presentado; asimismo, indica que las representaciones semióticas cumplen la función de comunicación y es un soporte para las representaciones mentales que según el autor, son aquellas que permiten mirar el objeto en ausencia total de significante perceptible, es decir, de la que es el representado.
Además; el autor indica que, los conceptos matemáticos no son objetos reales y por consiguiente se debe recurrir a distintas representaciones para su estudio
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y, para llevarlo a cabo resulta importante tener en cuenta que los conceptos no son el objeto matemático en sí, sino que ayudan a su comprensión. Además indica que, si no se distingue el objeto matemático de sus representaciones no puede haber comprensión en matemática; por otra parte, las representaciones semióticas no deben confundirse con las representaciones mentales entendidas como el conjunto de imágenes y concepciones que un individuo puede tener acerca de un objeto o una situación.
1.5.3. Registro de representación semiótico
Duval (1995) manifiesta que, las representaciones semióticas son producciones constituidas por el empleo de signos que pertenecen a un sistema de representación, el cual tiene sus propias exigencias de las partes más pequeñas en que se puede descomponer una representación y de su funcionamiento. Por lo tanto, indica que, un sistema de signos puede ser un registro de representación, si permite tres actividades cognitivas relacionadas con la semiosis: la formación de una representación identificable como una representación de un registro dado, el tratamiento de una representación que es la transformación de la representación dentro de un mismo registro donde ha sido formada y la conversión de una representación que es la transformación de la representación en otra de otro registro en la que conserva la totalidad o parte del significado de la representación inicial
Por otra parte; el autor, indica que en matemáticas, los registros pueden ser discursivos, para ello pueden usar una lengua natural que constituye el sistema semiótico, o una lengua formal, por ejemplo, para dar una definición, para enunciar una proposición, teorema, para realizar cálculos algebraicos, etc. Para nuestro caso las representaciones de un sistema diferente al registro de representación cartesiano como son los registros de representación en el sistema de coordenada polar.
Los registros de representación ha sido desarrollad por Raymond Duval entre los años 1970 a 1995; sostiene que las representaciones semióticas incluidas cualquier lenguaje, aparecen como herramienta para producir nuevos conocimientos y no solo para la comunicación de cualquier representación
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mental en particular, sino también para trabajar con ellos; además, indica que lo importante no es la representación de un objeto matemático sino la transformaciones que se pueden realizar sobre ellos. Entre los principales registros se tiene:
El registro de lengua natural que, como ejemplo tenemos: “la circunferencia en el sistema polar con centro en el origen”.
El registro algebraico cuya presentación tiene la forma: (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = a2
El registro de par ordenado en el sistema polar cuya presentación tiene la forma: (r, θ)
El registro gráfico y su representación está dada por la forma :
El registro tabular que tiene la siguiente representación:
Puntos θ r
A B
En el presente trabajo haremos uso el registro de lengua natural, registro tabular, registro de par ordenado, registro gráfico y registro algebraico en el sistema polar ya que, la naturaleza del estudio de las representaciones asociadas a los puntos en el sistema polar requiere la utilización de elementos cuyo tratamiento y conversión están centrados en estos registros.
Mediante nuestra investigación, se analizará las dificultades que tienen los estudiantes en el aprendizaje de las representaciones de puntos en el sistema polar en el marco de la teoría de Duval, buscando encontrar la naturaleza que las origina, dónde se localizan y entenderlas para el logro de la comprensión matemática de la noción de puntos en coordenadas polares. Las ideas de Duval (2006) sobre las dificultades en la comprensión de los conceptos matemáticos, parten por entender las dificultades que tiene los estudiantes en
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la comprensión del objeto matemático, cuál es la naturaleza de dichas dificultades y donde se localizan.
1.5.4. La actividad matemática desde el punto de vista de la representación semiótica y aprendizaje
Duval (1995) sostiene que, para estudiar la adquisición de conocimientos y los procesos que permiten su aprendizaje la actividad de representación es esencial, indica tres tipos de representaciones en las que juegan un papel importante en la cognición como son las representaciones mentales, representaciones computacionales y las representaciones semióticas y para caracterizar estas representaciones recurren a dos oposiciones muy conocidas: la oposición externo – interno y la oposición consiente – no consiente que, según el autor estas oposiciones se explica como:
La oposición externo – interno, es la oposición entre lo que el estudiante observa directamente, son producidas como tales, cumplen una función de comunicación y lo que al contrario no lo es; es decir, la representación interna son las que pertenecen al sujeto y que no son comunicadas a otro a través de la producción de una representación externa. Las representaciones externas son esenciales no solo para la comunicación, sino también cumplen la función de objetivación y la función de tratamiento por lo que, la función de tratamiento está ligada directamente a la utilización de un sistema semiótico.
La oposición consiente – no consiente, es la oposición entre lo que aparece ante el sujeto y el observa, es la mirada de algún objeto y, la que al sujeto se le escapa y que no lo es ni siquiera sospechado. El pasaje de lo no consiente a lo consiente corresponde a un proceso de objetivación para el sujeto que toma consciencia; la objetivación corresponde al descubrimiento por el sujeto de aquello que hasta entonces no observaba ni sospechaba de su existencia. La representación consiente tiene carácter intencional y es esencial desde el punto de vista cognitivo.
Duval (1995), indica que los tres grandes tipos de representaciones están relacionadas y se diferencia cuando se observa el cruce entre las dos
