SIMULADOR DE UN MERCADO
HIDROTÉRMICO UTILIZANDO
TEORÍA DE JUEGOS
JORGE ANTONIO VILLAR SUÁREZ
Tesis para optar al grado de
Magíster en Ciencias de la Ingeniería
Profesor Supervisor:
Sr. HUGH RUDNICK V.D.W.
SIMULADOR DE UN MERCADO
HIDROTÉRMICO UTILIZANDO
TEORÍA DE JUEGOS
JORGE ANTONIO VILLAR SUÁREZ
Tesis presentada a la Comisión integrada por los profesores:
Sr. HUGH RUDNICK V.D.W.
Sr. DAVID WATTS C.
Sr. PEDRO GATICA K.
Sr. GONZALO CORTAZAR S.
Para completar las exigencias del grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Santiago de Chile, Abril de 2002
A toda mi familia, en especial a mis padres por su apoyo incondicional. A Carolina por su amor y comprensión.
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar quiero agradecer a mi profesor supervisor el Sr. Hugh Rudnick por la oportunidad que me dio de trabajar en un tema de tanto interés y tan actual como el desarrollado en esta investigación. Además quisiera agradecerle por su constante apoyo y gran ayuda para realizar este trabajo, tanto en aspectos académicos, como en términos de motivación y orientación vocacional.
También quiero agradecer los aportes de los profesores Sres. Juan Pablo Montero, David Watts y Juan Zolezzi, quienes con sus comentarios, críticas y observaciones me ayudaron a realizar un mejor análisis del problema. A sí mismo, quiero dar gracias por el apoyo, los comentarios y la ayuda de diversos amigos y compañeros de escuela, en especial a: Mauricio Camposano, Francisco Evans y Rodrigo Rojas.
Quisiera agradecer también el apoyo económico recibido de parte del Fondecyt, a través de sus proyectos Nº 1000517 y 1020801.
Por último, quisiera destacar también los aportes y consejos realizados por los Sres. Pedro Gatica y Oscar Barrientos de ENDESA Chile.
INDICE GENERAL
Pág.
DEDICATORIA ... ii
AGRADECIMIENTOS ... iii
INDICE DE TABLAS ... viii
INDICE DE FIGURAS...ix
RESUMEN...xiv
ABSTRACT...xv
I. INTRODUCCIÓN ...1
1.1 Reestructuración del Sector Eléctrico ...1
1.2 Objetivo de la Tesis...3
II. TEORÍA DE JUEGOS...6
2.1 Concepto ...6
2.2 Equilibrio de Nash ...6
2.3 La Solución de Cournot ...9
2.3.1 Supuestos de Cournot...9
2.3.2 Equilibrio de Nash-Cournot ...10
2.3.3 Aplicación en Mercados Eléctricos...11
2.4 Otros Modelos...12
2.4.1 El Modelo de Bertrand...12
2.4.2 El Modelo de Funciones de Oferta...13
2.5 Poder de Mercado ...14
2.5.1 Definición...14
2.5.2 Medidas de Poder de Mercado...15
III. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MODELO ...17
3.1 Modelo de Cournot ...17
3.2 La Demanda ...17
3.3 Firmas Estratégicas y Firmas Tomadoras de Precio ...19
3.4 Tratamiento de las Firmas Tomadoras de Precio...20
3.5 Demanda Residual para las Firmas Estratégicas...21
3.5.1 Cálculo de la demanda residual...21
3.5.2 Ejemplo gráfico...22
3.6 Tratamiento de las Firmas Estratégicas...23
3.7 Modelo Estático y Modelo Dinámico ...24
IV. EL MODELO ESTÁTICO ...26
4.1 Introducción ...26
4.2 Estrategia Competitiva...28
4.2.1 Formulación matemática...28
4.2.2 Metodología de solución...29
4.2.3 Ejemplo ...31
4.3 Estrategia de Juego por Unidades ...33
4.3.1 Formulación matemática...33
4.3.2 Metodología de solución...34
4.3.3 Ejemplo ...38
4.4 Estrategia de Juego por Firmas ...40 v
4.4.1 Formulación matemática...41
4.4.2 Metodología de solución...42
4.4.3 Ejemplo ...47
V. EL MODELO DINÁMICO ...50
5.1 Introducción ...50
5.2 Modelo de Mínimo Costo ...51
5.2.1 Costos inmediatos y costos futuros...51
5.2.2 Decisión óptima del operador ...52
5.2.3 Formulación del problema ...53
5.3 Solución al problema de Mínimo Costo: Programación Dinámica ...55
5.4 Comportamiento Estratégico de las Unidades Hidroeléctricas...57
5.4.1 Estrategia Competitiva...60
5.4.2 Estrategia de Juego por Unidades ...63
5.4.3 Estrategia de Juego por Firmas ...65
VI. APLICACIÓN AL SIC Y RESULTADOS ...67
6.1 El Sistema Interconectado Central...67
6.2 Desarrollo del Caso Base ...70
6.2.1 La demanda ...71
6.2.2 Otros datos ...72
6.2.3 Resultados ...73
6.3 Resultados ante Distintas Elasticidades de la Demanda ...78
6.4 Importancia del Agua Embalsada ...81
6.4.1 Resultados ante distintos volúmenes de agua disponible...81
6.4.2 Resultados con la posibilidad de verter agua ...84
6.5 Colusión entre las Firmas Participantes ...88
6.6 Estudio de Ofertas Diarias ...90
VII. ANÁLISIS DE MEDIDAS MITIGADORAS DE PODER DE MERCADO ...94
7.1 Introducción ...94
7.2 Contratos Bilaterales de Largo Plazo...95
7.3 Contratos Bilaterales Físicos...97
7.3.1 Incorporación al modelo ...97
7.3.2 Resultados aplicación al SIC...98
7.4 Contratos Bilaterales Financieros ...101
7.4.1 Incorporación al modelo ...101
7.4.2 Resultados aplicación al SIC...103
7.5 Conclusiones sobre el Efecto de los Contratos ...105
VIII. CONCLUSIONES Y DESARROLLO FUTURO...109
BIBLIOGRAFÍA ...112
ANEXOS ...114
Anexo A: Centrales Hidroeléctricas del SIC ...115
Anexo B: Centrales Térmicas del SIC ...116
Anexo C: Convergencia y Unicidad de la Solución...117
INDICE DE TABLAS
Pág.
Tabla 3.1: Datos de la demanda - ejemplo de demanda residual...22
Tabla 3.2: Costos de las centrales - ejemplo de demanda residual ...22
Tabla 4.1: Datos de la demanda - ejemplo modelo estático...32
Tabla 4.2: Costos de las centrales - ejemplo modelo estático...32
Tabla 4.3: Resultados - ejemplo modelo estático estrategia competitiva ...33
Tabla 4.4: Resultados ejemplo modelo estático estrategia de juego por unidades ...39
Tabla 4.5: Resultados - ejemplo modelo estático estrategia de juego por unidades, según algoritmo iterativo ...40
Tabla 4.6: Resultados - ejemplo modelo estático estrategia de juego por firmas...48
Tabla 4.7: Resultados - ejemplo modelo estático estrategia de juego por firmas, según algoritmo iterativo ...49
Tabla 6.1 : Principales Sistemas Eléctricos en Chile...67
INDICE DE FIGURAS
Pág.
Figura 2.1 : Ejemplo de Juego simultáneo con información completa...7
Figura 2.2 : Ejemplo de Juego con dos equilibrios de Nash ...8
Figura 2.3 : Ejemplo de Juego sin equilibrio de Nash ...9
Figura 3.1: Ejemplo de demanda y demanda residual ...23
Figura 4.1 : Proceso para construir la oferta agregada de las unidades ...31
Figura 4.2 : Proceso iterativo para resolver el modelo estático de juego por unidades...35
Figura 4.3 : Proceso iterativo para resolver el modelo estático de juego por firmas...44
Figura 5.1 : Costos inmediato y futuro versus nivel de almacenamiento ...52
Figura 5.2 : Uso óptimo del agua...53
Figura 5.3 : Estados de la Programación dinámica...56
Figura 5.4 : Proceso iterativo para modelar el comportamiento de múltiples centrales hidráulicas ...58
Figura 6.1: Participación de las Empresas en el SIC según potencia instalada ...68
Figura 6.2 : Contribución térmica e hidráulica según: (a) capacidad instalada y (b) generación bruta...69
Figura 6.3: Participación por Holding en el SIC según potencia instalada ...70
Figura 6.4 : Demanda de referencia SIC - Caso base ...71
Figura 6.5 : Precios de despeje horarios para las distintas estrategias - Caso base ...74
Figura 6.6 : Precios de despeje promedio para las distintas estrategias - Caso base ...74
Figura 6.7 : Indices de Lerner por hora para las distintas estrategias - Caso base ...75
Figura 6.8 : Generación hidráulica total para las distintas estrategias - Caso base ...76
Figura 6.9 : Descomposición de la generación horaria - estrategia competitiva ...77
Figura 6.10 : Descomposición de la generación horaria - estrategia de juego por firmas...78
Figura 6.11 : Precios de despeje horarios de la estrategia de juego por firmas para distintos valores de elasticidad de demanda ...79
Figura 6.12 : Precios de despeje promedio de la estrategia de juego por firmas para distintos valores de elasticidad de demanda ...80
Figura 6.13 : Indices de Lerner promedio de la estrategia de juego por firmas para
distintos valores de elasticidad de demanda ...81
Figura 6.14 : Precios de despeje horarios de la estrategia de juego por firmas para
distintos valores de energía hidráulica disponible ...82
Figura 6.15 : Precios de despeje promedio para distintos valores de energía hidráulica disponible para el día de estudio...83
Figura 6.16 : Indices de Lerner por hora de la estrategia de juego por firmas para
distintos valores de energía hidráulica disponible ...84
Figura 6.17 : Precios de despeje promedio para las distintas estrategias, con y sin la restricción de usar toda el agua disponible ...86
Figura 6.18 : Indices de Lerner promedio para las distintas estrategias, con y sin la restricción de usar toda el agua disponible ...86
Figura 6.19 : Precios de despeje hora a hora, para la estrategia de juego por firmas, con y sin la restricción de usar toda el agua disponible...87
Figura 6.20 : Generación hidráulica total, para la estrategia de juego por firmas, con y sin la restricción de usar toda el agua disponible...86
Figura 6.21 : Precios de despeje promedio de la estrategia de juego por firmas para distintas alternativas de colusión ...89
Figura 6.22 : Indices de Lerner promedio de la estrategia de juego por firmas para
distintas alternativas de colusión ...90
Figura 6.23 : Precios de despeje diarios para distintas estrategias con ε = 0,08...91
Figura 6.24 : Indices de Lerner por día para distintas estrategias con ε = 0,08...92
Figura 6.25 : Generación hidráulica total diaria para distintas estrategias con
ε = 0,08...93
Figura 7.1 : Precios de despeje horarios de la estrategia de juego por firmas para
distintos niveles de contratación física ...99
Figura 7.2 : Precios de despeje promedio de la estrategia de juego por firmas para
distintos niveles de contratación física ...100
Figura 7.3 : Indices de Lerner promedio de la estrategia de juego por firmas para
distintos niveles de contratación física ...100
Figura 7.4 : Precios de despeje horarios de la estrategia de juego por firmas para
distintos niveles de contratación financiera ...104
Figura 7.5 : Precios de despeje promedio de la estrategia de juego por firmas para
distintos niveles de contratación financiera ...104
Figura 7.6 : Precios de despeje promedio de la estrategia de juego por firmas para
distintos niveles de contratación financiera ...105
Figura 7.7 : Precios de despeje promedio de la estrategia de juego por firmas para
distintos niveles de contratación física, con colusión entre las firmas 1 y 2 ...106
Figura 7.8 : Indices de Lerner promedio de la estrategia de juego por firmas para
distintos niveles de contratación física, con colusión entre las firmas 1 y 2 ...107
RESUMEN
El objetivo central de este trabajo es simular el funcionamiento de un mercado eléctrico competitivo, en un sistema hidrotérmico, basado en ofertas simples a una Bolsa de energía. El modelo estudia el comportamiento en el corto plazo de los distintos agentes que actúan en este mercado, y entrega información sobre las principales variables de interés, como son: el poder de mercado ejercido por las firmas, los precios spot de la energía, el uso del agua embalsada, la generación de cada central, etc.
El modelo desarrollado utiliza principios de la Teoría de juegos no cooperativos, para representar el comportamiento estratégico de los agentes del mercado. Específicamente, se aplican conceptos del modelo oligopólico de Cournot y el equilibrio de Nash.
En un inicio, se desarrolla un modelo estático, con el cual se simula el comportamiento de las unidades generadoras en un mercado térmico. Este modelo se soluciona mediante un algoritmo iterativo para encontrar el equilibrio de Nash.
La incorporación de las centrales hidráulicas y de las dependencias temporales, se realiza en una siguiente etapa, en el modelo dinámico. Para resolverlo se utiliza el algoritmo de programación dinámica. En cada etapa y en cada estado de dicho algoritmo, se realiza un equilibrio de Nash-Cournot para determinar el comportamiento de las centrales térmicas (usando el modelo estático).
Se analizan distintas estrategias que pueden seguir las firmas térmicas e hidráulicas, y las consecuencias de cada una de ellas. También se estudian medidas mitigadoras de poder de mercado, específicamente contratos bilaterales.
El modelo desarrollado se aplica al Sistema Interconectado Central (SIC) y se estudian los resultados obtenidos bajo distintos escenarios. Adicionalmente, se analizan los efectos mitigadores que origina la incorporación de los contratos bilaterales.
xv ABSTRACT
The aim of this work is to build a model able to simulate a competitive electric power market, in a hydrothermal system, based on simple bids to a Power Exchange. The model studies the behavior in the short term of the different market agents and delivers information about relevant variables, like market power exercise, spot energy prices, use of stored water and generation levels, among others.
The developed model employs non cooperative Game Theory concepts to simulate the strategic behavior of market agents. The main concepts used are Cournot model and Nash equilibrium
Initially, a static model is developed, which is able to simulate the behavior of power stations in a thermoelectric market. The Nash equilibrium is found using an iterative solver algorithm.
The addition of hydroelectric power stations and time dependencies is made later, in the dynamic model. The dynamic programming algorithm is used to solve this model. In each stage and state of the dynamic programming, a Nash-Cournot equilibrium is determined to assess the behavior of the thermoelectric power stations (using the static model).
Different competitive strategies that firms can follow and the consequences of each one of them are analyzed. Market power mitigation measures are also investigated.
The developed model is applied to the Chilean electric market, particularly to the Central Interconnected System (SIC). The outputs under different scenarios are studied. Mitigation effects of bilateral contracts are also analyzed.
I. INTRODUCCIÓN
1.1 Reestructuración del Sector Eléctrico
En todo el mundo, la industria eléctrica está en medio de grandes cambios en la estructura de sus mercados y en su regulación. La tendencia básica de esta reestructuración es promover la competencia (principalmente en el sector generación), liberalizando los mercados y permitiendo la incorporación de agentes privados. De esta forma van desapareciendo las tradicionales grandes empresas estatales y se crean diversos organismos legales que han tratado de normar el funcionamiento de estos mercados.
Chile fue uno de los países pioneros, en América Latina y en el mundo, en llevar a cabo algunos de estos cambios regulatorios en 1982. Cabe destacar que el sector generación fue motor y fuente de inspiración de muchos de los cambios, debido a la posibilidad de crear competencia en él, al no existir economías de escala ni de ámbito significativas. Uno de los principales logros de este proceso es el notorio aumento en la productividad del sector eléctrico chileno.
No obstante los buenos resultados en cuanto a productividad, las autoridades chilenas siguen buscando un esquema más eficiente y que se adapte mejor a la realidad del país, promoviendo aún más la competencia y proveyendo nuevos marcos regulatorios para los sectores no competitivos. En este contexto, surge la posibilidad de generar una serie de cambios para toda la industria eléctrica.
Para el sector generación en particular, estos cambios significarían modificar el actual modelo de funcionamiento, el cual se consiste en un despacho hidrotérmico coordinado centralmente, basado en costos marginales auditados y con contratos financieros bilaterales entre los participantes del mercado.
Una alternativa interesante de considerar es un modelo similar al californiano, basado en contratos bilaterales de carácter físico y donde los excedentes se transan en una Bolsa de Energía con ofertas libres.
Son muchas las interrogantes y los desafíos que involucraría este cambio en el mercado de generación chileno, por lo que se hace necesario intentar predecir su comportamiento. Para ello se requieren modelos de simulación que sean capaces de representar las estrategias que podrían seguir los generadores, así como analizar el potencial efecto de decisiones regulatorias, decisiones de manejo de riesgos y algunas otras materias. Estos modelos deberán adaptarse a la estructura del nuevo esquema propuesto y a las particularidades del sistema eléctrico chileno (centrales térmicas e hidráulicas, radialidad, dependencia hidráulica, alta concentración de propiedad, etc.).
En la literatura pueden encontrarse un gran número modelos que intentan simular el comportamiento de mercados eléctricos con Bolsas de ofertas, adaptados a las condiciones propias de cada sistema. En García y Barquín (2000) se analiza el predespacho óptimo de unidades térmicas que realizan los generadores antes de enviar ofertas a una bolsa. En Otero-Novas, Meseguer, Batlle y Alba (1998) y Otero-Novas, Meseguer y Alba (1999) se desarrollan modelos que simulan el comportamiento de un mercado eléctrico según distintas estrategias competitivas, considerando unidades térmicas, hidráulicas e incluso de bombeo. En Batlle, Otero-Novas, Alba, Meseguer y Barquín (2000) se presenta un modelo matemático que resulta una útil herramienta en el proceso de toma de decisiones y de manejo de riesgos en mercados eléctricos tipo bolsa, simula la operación del mercado y entrega medidas de riesgo apropiadas. En Barquín (2000) se presentan algunos lineamientos generales de cómo se debe construir un modelo para el análisis de mercados de energía eléctrica. En Barroso (2000) se modela un mercado hidrotérmico, pero con gran predominio hidráulico, como lo es el sistema brasileño.
Es inevitable que algunos de los participantes en el mercado eléctrico desregulado traten de beneficiarse empleando tácticas no competitivas. El ejercicio de poder de mercado y la baja elasticidad de la demanda, amenazan con elevar los precios spot de la Bolsa. En este contexto es necesario que los modelos de simulación también provean alguna medida del poder de mercado de los participantes y del nivel de precios que se obtendría según diversas estrategias. En Petrov, Richter y Schebé (2000) se modela un mercado, con una bolsa de potencia, donde algunos agentes tratan de beneficiarse de conductas predatorias. En Kelman, Barroso y Pereira (2000) se emplea un método de simulación de la operación del mercado que permite calcular el poder de mercado en sistemas hidrotérmicos, además se muestra como los contratos bilaterales reducen los efectos del poder de mercado. En Borenstein (1999) se pretende clarificar el concepto de poder de mercado e identifica los factores críticos que lo hacen más atractivo.
1.2 Objetivo de la Tesis
En este contexto, el objetivo central de esta Tesis es el desarrollo de un modelo computacional que simule el comportamiento de los agentes de un mercado hidrotérmico, bajo un nuevo esquema regulatorio, basado en ofertas libres, por parte de los generadores, a una Bolsa de Energía.
Tradicionalmente, este tipo de estudios se han llevado a cabo en sistemas puramente térmicos, donde las decisiones de operación dependen únicamente de los costos de combustible y otros costos operativos. Sin embargo, la existencia de centrales hidráulicas agrega una nueva e importante dimensión que debe incorporar el modelo: el uso de agua y la fuerte dependencia temporal de las decisiones.
A pesar de que esta investigación busca simular un sistema eléctrico como el chileno, su aplicación no se limita exclusivamente a él. Es decir, se procura construir un modelo general, capaz de simular un cualquier sistema hidrotérmico basado en una
Bolsa de Energía, si se cuentan con los datos de entrada necesarios. Una característica importante del modelo, que evita que pierda generalidad, es que se supone que tanto las centrales térmicas como las hidráulicas pueden hacer sus ofertas a la Bolsa y comportarse estratégicamente.
En el Capítulo 2 se desarrollan los principales conceptos de la Teoría de Juegos no cooperativa y su aplicación a los sistemas eléctricos. También se analiza el Poder de Mercado, sus implicancias y algunas medidas mitigadoras.
En el Capítulo 3 se presenta una descripción general del modelo de simulación desarrollado. Principalmente, se describe la utilización de la teoría de juegos, la representación de la demanda, la modelación estratégica de los distintos tipos de centrales y la metodología que se utilizará para resolver el problema.
El Capítulo 4 trata del comportamiento estratégico en sistemas térmicos. De esta forma, se desarrolla un modelo simplificado, basado en los principios de Cournot, capaz de representar un mercado térmico con ofertas a una Bolsa de Energía.
En tanto, el Capítulo 5 describe el comportamiento de los agentes de un sistema hidrotérmico incorporando las decisiones de uso de agua de las centrales hidráulicas a través de la programación dinámica.
En el Capítulo 6 se presenta un caso de estudio, específicamente se analiza la aplicación del modelo desarrollado al Sistema Interconectado Central (SIC), principal sistema eléctrico chileno.
El Capítulo 7 contiene una discusión sobre las principales medidas mitigadoras de poder de mercado. Además, se analiza el efecto de los contratos bilaterales sobre los resultados obtenidos en el Capítulo 6.
Finalmente, en el Capítulo 8 se exponen las principales conclusiones obtenidas de este trabajo. También se sugieren posibles desarrollos futuros a realizar a partir del desarrollo de éste.
II. TEORÍA DE JUEGOS
En este capítulo se desarrolla el concepto de Teoría de Juegos así como los principales modelos oligopólicos que la utilizan. También se discute su aplicación en los Sistemas Eléctricos de Potencia.
2.1 Concepto
En general, el propósito de la Teoría de Juegos es el estudio de cualquier situación en que los individuos hacen elecciones en un contexto de interacción y en un marco definido previamente. Por lo tanto, su ámbito de aplicación es extremadamente amplio, pudiéndose utilizar en todas las actividades de los hombres que viven en sociedad. Es por ello que profesionales de áreas tan distintas como economistas y sociólogos recurren a los conceptos de la Teoría de Juegos, por cierto en contextos muy diferentes. Sin embargo, es su aplicación en el estudio de oligopolios económicos, la que resulta de interés para esta investigación.
Se distinguen distintos casos de juegos dependiendo de las características del contexto en que interactúan los individuos. De esta forma se pueden observar juegos con información completa o incompleta, juegos simultáneos o secuenciales, etc. En este trabajo se estudiarán juegos simultáneos y de información completa, debido a que se asemeja a la estructura del mercado eléctrico que se quiere modelar, con ofertas únicas a una Bolsa de Energía y con suficiente información pública sobre costos reales de generación.
2.2 Equilibrio de Nash
Un juego simultáneo está compuesto por un conjunto de jugadores, cada uno de ellos tiene distintas opciones o cursos de acción alternativos, además cada opción tiene asociada un resultado o beneficio para cada jugador. Como se trata de juegos con
información completa, tanto las alternativas como los resultados asociados, son conocidos por todos los jugadores.
Un ejemplo simple, con dos jugadores, puede representarse por el cuadro de la Figura 2.1. En este caso, el jugador 1 tiene dos alternativas: elegir Arriba o elegir Abajo y, por su parte, el jugador 2 también tiene dos alternativas: elegir Izquierda o Derecha. Los pares de valores que están dentro del cuadro representan los resultados obtenidos por cada jugador para cada opción, el primer valor corresponde al beneficio del jugador 1 y el segundo, al beneficio del jugador 2.
Izquierda Derecha
Arriba 1 ; 2 0 ; 1
Abajo 2 ; 1 1 ; 0
Jugador 1
Jugador 2
Figura 2.1 : Ejemplo de Juego simultáneo con información completa
a) Estrategias dominantes
Una estrategia dominante se presenta cuando cada jugador tiene una alternativa óptima, independientemente de las decisiones de los demás jugadores.
En la figura 2.1 se observa una estrategia dominante que es “Abajo Izquierda”. Al jugador 1 le conviene elegir Abajo, sin importar lo que haga el otro y por otro lado, el jugador 2 siempre obtendrá un mejor resultado si elige Izquierda.
Cuando cada jugador tiene una estrategia dominante en un Juego, se puede determinar directamente que aquél será el resultado de equilibrio. Sin embargo, en un Juego no siempre se presentan estrategias dominantes.
b) El equilibrio de Nash
Un equilibrio de Nash se da cuando la elección de cada jugador es óptima, dada la elección de los demás jugadores.
En la figura 2.1 la elección “Abajo Izquierda” es también un equilibrio de Nash. Al jugador 1 le conviene elegir Abajo dado que el jugador 2 eligió Izquierda, a su vez, la decisión óptima del jugador 2 es elegir Izquierda, dado que el jugador 1 eligió Abajo.
Sin embargo, el equilibrio de Nash puede presentar algunos problemas. Primero, un juego puede presentar múltiples equilibrios de Nash, por ejemplo el presentado en la Figura 2.2 tiene dos equilibrios de Nash (Arriba Izquierda y Abajo Derecha). Segundo, existen juegos donde no hay un equilibrio de Nash, por ejemplo el presentado en la Figura 2.3. Izquierda Derecha Arriba 4 ; 2 0 ; 1 Abajo 1 ; 0 2 ; 4 Jugador 1 Jugador 2
Izquierda Derecha
Arriba 1 ; 2 5 ; -1
Abajo 2 ; 1 1 ; 3
Jugador 1
Jugador 2
Figura 2.3 : Ejemplo de Juego sin equilibrio de Nash
2.3 La Solución de Cournot
El modelo de Cournot es uno de los más utilizados en la Teoría de Juegos, especialmente cuando se trata de Juegos no cooperativos, es decir, cuando los jugadores no colaboran entre sí y cada uno actúa según su propio beneficio.
Este modelo se basa en una serie de supuestos que definen el contexto en que interactúan los agentes.
2.3.1 Supuestos de Cournot
a) La variable estratégica es la cantidad
En un juego de Cournot, los jugadores sólo deben decidir cuánto producir. De esta forma, el precio es determinado por la combinación entre la curva de oferta agregada (suma de las cantidades ofrecidas por todos los jugadores) y la curva de demanda del mercado.
b) Las empresas no reconocen su interdependencia mutua
Cada firma maximiza su utilidad con respecto a la cantidad ofrecida, considerando la cantidad producida por las demás empresas como fija. Es decir, los jugadores no reconocen la posibilidad que los demás modifiquen su decisión como respuesta a sus propias acciones.
c) Producto homogéneo
Quiere decir que todas las firmas participantes del juego producen un bien idéntico. Este supuesto se cumple en un sistema eléctrico uninodal, es decir, donde no se considera la dimensión espacial del sistema real multinodal. Esto representa una simplificación razonable para la modelación de un sistema eléctrico.
d) Todos los jugadores tienen el mismo set de información
Se trata de un juego de información completa. Para el sistema eléctrico, esta información incluye el conocimiento de la curva de demanda del mercado y de las funciones de costos de producción de todos los otros jugadores. Este conocimiento tiene su justificación en que, a lo largo del tiempo, se ha tenido un extenso conocimiento del sistema. Además las predicciones de demanda, las tecnologías empleadas en generación y los costos de las materias primas son de público conocimiento o no presentan gran variabilidad en el mercado eléctrico.
2.3.2 Equilibrio de Nash-Cournot
Dados los supuestos antes mencionados, se tiene que cada firma i que busca maximizar sus utilidades se enfrenta a la siguiente función objetivo:
{
( 1, 2,..., n)· i i( i)qi p q q q q C q
donde qi es la cantidad producida por la empresa i, p(q1, q2, ..., qn) es el precio de
despeje del mercado que depende de la cantidad producida por cada firma y Ci es la
función de costos de la empresa i.
Las condiciones de equilibrio de primer orden, que se deducen para cada empresa i, son de la forma:
0 · ) ,..., , ( 1 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ + i i i i n q C q p q q q q p (2.2)
Así se obtiene una ecuación para cada firma y se puede encontrar el equilibrio al resolver el sistema de n ecuaciones.
Se puede observar fácilmente que el resultado obtenido de esta forma es un equilibrio de Nash, ya que, según 2.1 y 2.2, cada empresa se comporta óptimamente, dada la decisión de las demás.
2.3.3 Aplicación en Mercados Eléctricos
El modelo de Cournot es un modelo clásico en el estudio de todo tipo de mercados oligopólicos y ha sido ampliamente utilizado en los trabajos que se han llevado a cabo en el área. En estas investigaciones se ha demostrado que el modelo de Cournot parece ser un apropiado punto de partida para el estudio de los mercados eléctricos. Algunos ejemplos de la utilización de este modelo se pueden observar en Otero-Novas, Meseguer, Batlle y Alba (1998); en Kelman, Barroso y Pereira (2000); y en Borenstein, Bushnell y Knittel (1999).
2.4 Otros Modelos
2.4.1 El Modelo de Bertrand
Los supuestos de este modelo son similares al de Cournot (homogeneidad del producto, no se reconoce interdependencia de decisiones e información completa). La diferencia principal radica en que en este caso la variable estratégica no es la cantidad sino el precio. De este modo, cada firma determina el precio al que ofrece su producción de forma de maximizar sus utilidades. Además se agrega el supuesto de que cada empresa puede satisfacer la demanda por sí sola.
El comportamiento observado según este modelo se basa en que en una situación de supuesto equilibrio, una firma podría disminuir levemente su precio lo que le permitiría captar una mayor porción o la totalidad del mercado, y por lo tanto, obtener mayores beneficios. Luego, si todos los jugadores actúan de esta forma, según este modelo, se alcanzarían niveles de precios competitivos (precio igual costo marginal), incluso con sólo dos empresas.
Sin embargo, este resultado depende fuertemente de los supuestos iniciales. Por ejemplo, si se trata de productos heterogéneos, donde existe sustitución entre los productos, se obtienen equilibrios de Nash a precios superiores al costo marginal, es más, los resultados se asemejan más a los obtenidos según el modelo de Cournot. Por otro lado, si se trata de empresas que no pueden abastecer la totalidad del mercado, tampoco se obtienen precios competitivos, sino que éste oscila entre un precio monopolista y un cierto precio inferior, pero que de todos modos sobrepasa al costo marginal.
Debido a las importantes restricciones de capacidad presentes en el sistema eléctrico, no es posible suponer que las firmas sean capaces de satisfacer la demanda por
sí solas, por lo tanto, la aplicación de este modelo a los mercados eléctricos es bastante limitada.
2.4.2 El Modelo de Funciones de Oferta
Este modelo también se basa en supuestos similares a los utilizados por Cournot y Bertrand (homogeneidad del producto, no se reconoce interdependencia de decisiones e información completa). Nuevamente la diferencia se encuentra en la variable estratégica utilizada, mientras Cournot utiliza la cantidad y Bertrand el pecio, este modelo se basa en que cada firma elabora funciones de oferta de precio versus cantidad.
Este modelo permite mayor flexibilidad estratégica a las firmas ya que permite ofrecer bloques de energía a distintos precios, en lugar de la rigidez que tiene la oferta de cantidad del modelo de Cournot. Además la competencia por funciones de oferta produce resultados más cercanos a los de competencia perfecta que los producidos por el modelo de Cournot.
La aplicación del modelo de funciones de oferta es muy frecuente en los mercados eléctricos, al igual que el modelo de Cournot. Tiene la ventaja de representar mejor el modo en que las firmas efectivamente realizan sus ofertas.
Sin embargo, este modelo posee la desventaja de no ser tan flexible como el modelo de Cournot para incorporar otros aspectos de los mercados eléctricos, como contratos, derivados financieros y límites técnicos, entre otros. Además, el equilibrio de Nash-Cournot es generalmente más fácil de calcular que el equilibrio del modelo de funciones de oferta y también resulta ser su “cota superior” (Borenstein, Bushnell y Knittel, 1999).
Debe mencionarse que ninguno de estos modelos, ni siquiera el modelo de Cournot, abordan por si solos la posibilidad de colusión entre las distintas firmas, sólo se
considera el ejercicio de poder de mercado en forma unilateral por parte de cada firma. No obstante, la posibilidad de colusión puede analizarse indirectamente agrupando varias empresas en una sola antes de utilizar los modelos.
2.5 Poder de Mercado
Uno de los principales factores a considerar en un mercado eléctrico de ofertas libres es el ejercicio de Poder de Mercado.
2.5.1 Definición
El Poder de Mercado se define como la habilidad de afectar unilateralmente al precio, haciéndolo subir sobre el nivel competitivo y en forma rentable. El ejercicio de Poder de Mercado significa necesariamente una pérdida de beneficio de los consumidores mayor al aumento de los ingresos de los productores. Por lo tanto, se origina una pérdida de bienestar social, lo que significa una ineficiencia económica. Además, este fenómeno conlleva una transferencia injusta de riqueza de los consumidores a los productores.
El único modo en que ningún agente tenga la posibilidad de ejercer Poder de Mercado es que se den condiciones de Competencia Perfecta (información completa, mercado abierto, automatización de la oferta, etc.). El mercado eléctrico está lejos de cumplir dichas condiciones, esto se debe a un sinnúmero de factores, entre los que destacan: la poca cantidad de participantes, la existencia de restricciones técnicas y la dificultad de identificar los traspasos físicos. Sin embargo, así como la competencia perfecta es generalmente impracticable, tampoco es posible eliminar completamente el Poder de Mercado, salvo con una regulación total.
2.5.2 Medidas de Poder de Mercado
a) El índice de Lerner
La medida fundamental del ejercicio de Poder de Mercado es el margen precio - costo marginal, también llamado índice de Lerner y que se define de la siguiente forma: p CMg p L i i − = (2.3)
donde p es el precio de despeje del mercado y CMgi es el costo marginal del productor i.
Para el modelo oligopólico de Cournot, con funciones de costo idénticas para todas las empresas e igual participación de mercado, este índice puede calcularse como: ε s Li = , donde Q q
s= i es la participación de mercado de la empresa i y ε es la
elasticidad precio de la demanda. b) El índice de HHI
Frecuentemente se utilizan medidas de concentración como una aproximación de la medida del Poder de Mercado, con la ventaja de que pueden ser calculadas a priori, con sólo conocer la estructura del mercado. Este es el caso del índice HHI (Hirschmann-Herfindahl Index), principal medida de concentración, ampliamente utilizada como medida de Poder de Mercado.
( )
∑
= i i s HHI 2 (2.4)donde si es la participación de mercado de la empresa i (medida de 0 a 100).
Generalmente, se considera que es un mercado no concentrado si el valor es menor a 1.000, moderadamente concentrado si el valor se sitúa entre 1.000 y 1.800, y altamente concentrado cuando el valor sobrepasa los 1.800 puntos.
Para el modelo de Cournot con funciones de costo homogéneas para todas las empresas, se puede calcular un promedio ponderado del índice de Lerner, sobre la base del índice HHI, de la siguiente forma:
(
)
ε HHI L s i i i =∑
· (2.5)Aunque las medidas de concentración como la HHI están generalmente correlacionadas con el Poder de Mercado, existen otros factores que influyen en éste, por ejemplo: los incentivos de los productores, la elasticidad precio de la demanda, la expansión potencial de los competidores y la entrada potencial de nuevos competidores
Por lo tanto, no es posible sacar conclusiones absolutas sobre el Poder de Mercado que se observará conociendo solamente el nivel de concentración. Un modelo que simule el comportamiento estratégico de los distintos agentes y que pueda predecir el precio resultante bajo distintas condiciones, como el que desarrolla en este trabajo, es una herramienta mucho más útil para determinar el Poder de Mercado en los sistemas eléctricos.
III. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MODELO
En este capítulo se presentan los antecedentes generales sobre el modelo desarrollado. Se analiza la representación de la demanda que se utilizará, se describe la metodología empleada para la implementación del modelo y las distintas estrategias que se analizarán.
3.1 Modelo de Cournot
La metodología utilizada para desarrollar el simulador del mercado eléctrico se basa en el modelo oligopólico de Cournot. Las ventajas y desventajas de éste fueron discutidas en el capítulo anterior, sin embargo cabe destacar que el resultado que se obtiene a través de este modelo representa una suerte de “cota superior” del precio obtenido en una Bolsa de Energía donde se reciben funciones de oferta precio versus cantidad.
3.2 La Demanda
En general, se utilizará un modelo de demanda que cubre un día, dividido en 24 bloques horarios cronológicos, de modo que el bloque 1 va desde las 12 AM a las 1 AM, el bloque 2 va desde las 1 AM a las 2 AM, y así sucesivamente. Para cada uno de estos bloques se determina una curva de demanda por energía eléctrica independiente. Con este modelo de demanda se busca obtener resultados del comportamiento de corto plazo de los agentes en una la Bolsa de Energía tipo “day ahead”, es decir, donde cada día se reciben las ofertas horarias para el día siguiente y se realizan los despejes independientes para cada hora.
Es posible generalizar el modelo tomando bloques de demanda de mayor duración, por ejemplo un día. Sin embargo, siempre debe tenerse en consideración que el horizonte total del estudio debe ser de corto plazo, por ejemplo algunas semanas o un
mes. Esta limitación se debe a que el modelo no incorpora aspectos necesarios para la simulación de mayores periodos de tiempo como la regulación anual e interanual de los embalses y el comportamiento estocástico de la hidrología.
Para simplificar la implementación del modelo se utilizarán curvas de demanda lineales para cada bloque horario, es decir, de la forma:
D (p) = -A · p + B (3.1)
donde p es el precio de la energía, D(p) es la demanda eléctrica a ese precio, A y B son las constantes que definen la recta de demanda.
Para determinar la recta de demanda para cada bloque horario se utiliza un punto de referencia por el cual debe pasar la recta. Como la mayoría de los actuales clientes de electricidad enfrentan un precio constante por ella, las rectas de demanda para cada hora se fijan suponiendo que a ese precio, llamado precio de referencia, la cantidad demandada es igual a la generación actual del sistema, que se llamará cantidad de referencia. De esta forma, para cada bloque horario se tiene un punto por el cual debe pasar la recta. Luego, se considera que en este punto de referencia, la demanda tiene una cierta elasticidad (parámetro del modelo), lo que determina una pendiente para la recta.
En resumen, para construir el modelo de demanda es necesario obtener, para cada bloque horario, un precio de referencia (Pref), una cantidad de referencia (Qref) y
una elasticidad de la demanda (ε), con estos datos se determinarán los parámetros A y B que definen la recta de demanda, de la forma que se muestra a continuación:
A = ε · ref ref P Q (3.2) B = Qref · ( 1 + ε ) (3.3)
donde de ha considerado que ε es el valor absoluto de la elasticidad precio de la demanda, la que es generalmente negativa.
3.3 Firmas Estratégicas y Firmas Tomadoras de Precio
En general, las firmas generadoras que pueden participar en la Bolsa de Energía pueden dividirse en dos categorías:
a) Firmas tomadoras de precios
Se trata de firmas muy pequeñas que aparentemente no tienen la posibilidad real de ejercer poder de mercado bajo condiciones normales de operación. Por esta razón, estas firmas no actuarían estratégicamente, sino como tomadores de precio, es decir, para ellas el precio es una variable que les viene dada y sobre la cual no pueden influir. En general, estas firmas se modelan simplemente produciendo hasta el nivel para la cual su costo marginal sea igual que el precio de mercado, este comportamiento corresponde también al observado bajo competencia perfecta.
b) Firmas estratégicas
El resto de las firmas tendrían la potencialidad de ejercer poder de mercado, es decir, la posibilidad de influenciar el precio. Estas firmas son modeladas como jugadores estratégicos o jugadores de Cournot y se comportan tal como plantea dicho modelo, es decir, cada firma determina la cantidad a producir (a ofrecer) que maximiza sus utilidades, suponiendo fija la producción de todas las demás.
3.4 Tratamiento de las Firmas Tomadoras de Precio
Antes de analizar la competencia entre aquellas firmas que actúan estratégicamente, es necesario examinar el comportamiento de las firmas tomadoras de precio.
Estas firmas no tienen o no reconocen la posibilidad de influir sobre el precio, por lo tanto, para ellas el precio es una variable exógena que es determinada por el mercado. Bajo estas condiciones, el resultado obtenido de una maximización de utilidades de una firma es, en general, equivalente al resultado de competencia perfecta. Es decir, cada firma produce una cantidad tal que su costo marginal sea igual que el precio de mercado, como se comprueba en (3.4) y (3.5).
{
i i( i) q p q C q Max i ⋅ −}
(3.4)(
)
i i i i i p CMg q q C q p = ⇒ = ∂ − ⋅ ∂ 0 ) ( (3.5)donde p es el precio del mercado, qi es la cantidad producida por la firma i, Ci(qi) es el
costo incurrido por la firma i para producir la cantidad qi y CMgi es el costo marginal de
la firma i.
Conocida esta relación, es posible determinar la oferta de cada una de estas firmas para todos los posibles precios de mercado. Para ello sólo debe despejarse la variable qi (cantidad a producir) de la ecuación (3.5). Llamaremos Oti(p) a la cantidad
ofrecida por la firma tomadora i a un precio de mercado p.
A continuación, es posible obtener la función de oferta agregada de todas estas firmas, simplemente sumando la cantidad ofrecida por cada una de ellas para cada
nivel de precio. De esta forma, la oferta agregada de las firmas tomadoras de precio Ot(p) puede escribirse como:
∑
= i i t t p O p O ( ) ( ) (3.6)3.5 Demanda Residual para las Firmas Estratégicas
3.5.1 Cálculo de la demanda residual
Una vez analizado el comportamiento de las firmas tomadoras de precio, es posible estudiar su efecto sobre la competencia ente las firmas estratégicas.
Por (3.5) y (3.6) puede deducirse que la cantidad total producida por estas firmas depende exclusivamente del precio del mercado y de sus propias curvas de costos, es decir, no toma en consideración las acciones de las firmas estratégicas. La única información externa que consideran las firmas tomadoras de precio para determinar su producción es, como su nombre lo indica, el precio. Por lo tanto, para considerar el efecto de éstas firmas es suficiente con descontar su producción de la demanda total del sistema, es decir, calcular la demanda residual que enfrentan las firmas estratégicas.
Esta demanda residual se obtiene simplemente restando, para cada nivel de precio p, la demanda total original D(p) menos la oferta agregada de las firmas tomadoras de precio Ot(p). De este modo, la curva de demanda residual que enfrentan el conjunto de los jugadores de Cournot Dr(p), puede escribirse como:
∑
− = − = i i t t r p D p O p D p O p D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.7)Considerando una demanda por energía eléctrica lineal, como la que se muestra en (3.1), esta expresión puede rescribirse como:
∑
− + ⋅ − = − + ⋅ − = i i t t r p A p B O p A p B O p D ( ) ( ) ( ) (3.8) 3.5.2 Ejemplo gráficoA modo de ejemplo, en la Figura 3.1 se puede observar una demanda lineal y la demanda residual que se origina con dos centrales tomadoras de precios con costos cuadráticos. Los datos de la demanda y los costos de las centrales del ejemplo se presentan a continuación en las tablas 3.1 y 3.2.
Tabla 3.1: Datos de la demanda ejemplo de demanda residual Parámetro A [kWh/mills] B [kWh]
Valor 10 1.000
Tabla 3.2: Costos de las centrales ejemplo de demanda residual a [mills/kWh2] b [mills/kWh] c [mills]
Central 1 0,02 15 100
Figura 3.1: Ejemplo de demanda y demanda residual
3.6 Tratamiento de las Firmas Estratégicas
Las firmas estratégicas se comportan, en general, según el modelo de Cournot. Sin embargo, se supuso que estas firmas pueden adoptar distintas actitudes competitivas, a fin de poder observar las diferencias que se producen cuando siguen uno u otro comportamiento.
Se supusieron tres estrategias posibles que pueden seguir este tipo de firmas: a) Unidades actuando competitivamente:
En este caso cada unidad generadora actúa de la misma forma que una firma tomadora de precio, es decir, simplemente ofrece una producción de energía hasta el nivel para la cual su costo marginal sea igual al precio de mercado. Esta estrategia representa el comportamiento “ideal” de las firmas ya que de esta forma se obtienen
resultados equivalentes a los de competencia perfecta, que garantizan el máximo bienestar social. En adelante a esta estrategia se le llamará “competitiva”.
b) Unidades maximizando sus beneficios individuales:
En este caso cada unidad generadora actúa estratégicamente según el modelo de Cournot, pero en forma independiente. Es decir, cada unidad busca maximizar su propio beneficio individual, suponiendo fija la producción de las demás unidades, pero sin considerar a que firma o holding pertenece. A pesar de que esta estrategia no representa el comportamiento real que se espera que adopten las unidades, puede resultar de utilidad ya que permite apreciar los resultados que se obtendrían en un sistema mucho menos concentrado, donde cada unidad generadora pertenece a un dueño distinto. En adelante esta estrategia se llamará “juego por unidades”.
c) Firmas maximizando sus beneficios:
En este caso las unidades generadoras pertenecientes a una misma firma o holding actúan en conjunto, según el modelo de Cournot. Es decir, buscan maximizar las utilidades totales de la firma, considerando fija la cantidad producida por las demás firmas o holdings. Esta es la estrategia más compleja, pero también la más cercana al comportamiento real que se espera que adopten las unidades generadoras en un ambiente tipo Bolsa. Por lo tanto, sus resultados serán los de mayor interés y los que intentarán predecir el comportamiento real de la Bolsa. En adelante a esta estrategia se le llamará “juego por firmas”.
3.7 Modelo Estático y Modelo Dinámico
La complejidad que presenta la elaboración de un modelo que simule el comportamiento de centrales tanto térmicas como hidráulicas, motivó a abordar su solución en forma secuencial.
Inicialmente, se presenta un modelo desacoplado en el tiempo, es decir, un modelo estático. Este modelo simula el comportamiento de las centrales térmicas en un mercado basado en ofertas libres a una Bolsa de Energía, a través del modelo de Cournot.
Luego, se desarrolla un modelo dinámico, que incorpora la dimensión temporal del problema. En él se reconoce la interconexión temporal que tienen decisiones que toman principalmente las centrales hidráulicas. Además, para cada etapa del proceso, se determina el comportamiento de las centrales térmicas a través del modelo estático.
IV. EL MODELO ESTÁTICO
En este capítulo se describe en detalle la formulación del modelo estático, el cual simula el comportamiento de las centrales térmicas en la Bolsa de Energía. Se analizan tres representaciones distintas de este modelo, que corresponden a las tres estrategias posibles que enfrentan las unidades de Cournot: competitiva, juego por unidades y juego por firmas.
4.1 Introducción
En general, un modelo estático es aquel que no incorpora la dimensión temporal de un problema, es decir, que no considera las dependencias temporales que tienen las decisiones que se toman.
Este es un supuesto muy restrictivo para los mercados de generación eléctrica, ya que las decisiones que toman las centrales en el presente afectan sus posibilidades futuras. Esta dependencia se manifiesta en forma distinta dependiendo del tipo de centrales que se trata:
a) Unidades térmicas:
En las unidades térmicas la dependencia temporal se manifiesta principalmente en sus los costos de encendido y apagado, su velocidad de toma y desprendimiento de carga y sus tiempos mínimos de detención y funcionamiento.
b) Unidades hidráulicas:
En general, para las unidades hidráulicas de pasada no existe interconexión entre sus decisiones de un momento u otro, ya que las alternativas que este tipo de
centrales enfrenta son ocupar el agua para producir electricidad o simplemente dejarla correr río abajo y perderla.
Sin embargo, para las centrales hidráulicas de embalse la dependencia temporal es fundamental, ya que las decisiones sobre el uso del agua que tienen almacenada afectarán fuertemente la posibilidad de generar en el futuro. Además se agrega el problema de la incertidumbre hidrológica, que agrega otra dimensionalidad al modelo.
En consecuencia, utilizar un modelo estático para simular el comportamiento de centrales térmicas es, sin duda, una simplificación, ya que no se incluirán los aspectos antes mencionados (costos de encendido, tiempos mínimos de operación y apagado, etc.). No obstante, se hace necesario realizarla ya que este modelo es sólo un paso intermedio para el desarrollo de un modelo de mayor complejidad como es el modelo hidrotérmico.
Además, un buen modelo estático, que incorpore límites técnicos de generación entre otros aspectos, puede representar aceptablemente el comportamiento de las unidades térmicas en la Bolsa de Energía, obteniendo precios spot similares a los que se obtendrían sin realizar esta simplificación.
Sin embargo, utilizar un modelo que no incorpore la dimensión temporal para representar el comportamiento de las unidades hidráulicas, sería una simplificación desmedida.
En resumen, este modelo estático intentará predecir el comportamiento de las centrales térmicas en un mercado eléctrico basado en una Bolsa de energía, pero sin incorporar las dependencias temporales de sus decisiones.
A continuación se analizarán las distintas formulaciones del modelo estático a las que dan origen las tres estrategias que se consideran en este estudio: competitiva, juego por unidades y juego por firmas.
4.2 Estrategia Competitiva
Según esta estrategia, cada unidad generadora actúa del mismo modo que una firma tomadora de precio. Es decir, todas las unidades toman el precio como un dato, sobre el cual no tiene posibilidad de ejercer influencia alguna.
4.2.1 Formulación matemática
De esta forma, todas las unidades generadoras (tanto las estratégicas como las tomadoras de precio) se enfrentan al siguiente problema de optimización:
{
i i i}
iqi p q C q s
Max Beneficio= ⋅ − ( ) ⋅ 1 (4.1)
s.a. : Qmini⋅si ≤qi ≤Qmaxi⋅si (4.2)
donde p es el precio de mercado de la energía (fijo), qi es la cantidad producida
(ofrecida) por la unidad i, Ci(qi) es el costo incurrido por la unidad i para producir la
cantidad qi, si es una variable de decisión binaria que toma valor 1 si la unidad i decide
producir energía y valor 0 en caso contrario y Qmini y Qmaxi representan los límites
técnicos de generación de la central i en caso que haya decidido producir energía.
Además, como se discutió en el capítulo anterior, la demanda por energía eléctrica está dada por la ecuación:
D ( p) = Q = -A · p + B (4.3)
donde A y B son los parámetros de la recta.
1 La variable q
i que aparece escrita como subíndice de la expresión Max quiere decir que la maximización se realiza con respecto a dicha variable.
4.2.2 Metodología de solución
El problema de maximización representado por (4.1) y (4.2) es uno de optimización mixta ya que tiene variables de decisión reales (qi) y enteras (si). Sin
embargo, esto puede simplificarse fácilmente, analizando por separado el caso cuando la variable binaria vale 1 y cuando vale 0.
Luego, considerando el precio p como un dato de entrada, pueden considerarse los siguientes casos para cada unidad:
a) si = 1
De esta forma, para la unidad i y suponiendo que si = 1, se puede resolver el
problema sin variables enteras. Aplicando la condición de optimalidad de primer orden a la expresión dentro de las llaves en (4.1), se obtiene:
0 ) ( = ∂ ∂ − i i i q q C p (4.4) ) ( CMg qi p = (4.5)
donde CMg(qi) es el costo marginal de la central i de producir una unidad adicional a qi.
De la expresión (4.5) es posible determinar el valor óptimo de qi para
cualquier valor de p. Nótese que dicha cantidad es tal que el costo marginal de producirla es igual al precio.
A continuación, debe verificarse si el nivel de generación óptimo determinado (qi*) respeta los límites técnicos de generación fijados por (4.2), de no ser
así, esta cantidad debe corregirse y llevarse al límite respectivo. Por último, se calcula el beneficio para la unidad, evaluando las variables respectivas en la función objetivo (4.1)
b) si = 0
Este caso es muy simple, ya que si = 0 quiere decir que la unidad i decide no
producir energía (qi = 0), por lo que su beneficio es cero.
Finalmente, se compara el beneficio obtenido en a) y en b) y se elige el mayor. Como el beneficio de la opción b) es siempre cero, entonces si el beneficio calculado en a) es positivo, la unidad debe producir la cantidad qi* ahí determinada, pero
si es negativo, dicha unidad no producirá energía.
El proceso completo puede resumirse como se muestra en la Figura 4.1. En ella se aprecia que para cualquier valor que tome el precio se puede calcular la cantidad óptima a producir por cada unidad, luego estas cantidades pueden sumarse dando origen a la oferta agregada óptima.
En la figura se muestra también, en forma resumida, el mecanismo antes descrito para calcular la cantidad a producir por cada central: primero se determina un valor inicial para qi* que es aquel que satisface la condición (4.5), luego se corrige si
este excede los límites técnicos de operación de la unidad y, por último, se revisa si el beneficio es positivo, ya que en caso contrario la producción de la central será nula.
De esta forma, considerando todo el rango posible de precios, puede construirse la curva de oferta agregada de todas las firmas térmicas. Luego es posible encontrar el equilibrio, simplemente intersectando esta curva de oferta agregada con la demanda mostrada en (4.3). Una vez calculado el precio de equilibrio (p*), se puede determinar la producción óptima definitiva de cada una de las centrales (qi*) repitiendo
Figura 4.1 : Proceso para construir la oferta agregada de las unidades
4.2.3 Ejemplo
A continuación se presenta un ejemplo muy simple que ilustra el comportamiento de las centrales térmicas bajo esta estrategia.
El ejemplo consta de tres centrales térmicas, sin límites técnicos de generación y con funciones de costo cuadrático, que se enfrentan a una demanda lineal por energía. Los datos de la demanda y los costos se presentan en las tablas 4.1 y 4.2
Tabla 4.1: Datos de la demanda - ejemplo modelo estático Parámetro A [kWh/mills] B [kWh]
Valor 10 800
Tabla 4.2: Costos de las centrales - ejemplo modelo estático C(q) = a·q2 + b·q + c a [mills/kWh2] b [mills/kWh] c [mills]
Central 1 0,05 12 100
Central 2 0,1 10 80
Central 3 0,2 9 40
Siguiendo la metodología antes descrita es necesario encontrar, para cada central, el valor de qi que cumpla con la condición (4.5). Debido a que se trata de
unidades con costos cuadráticos esta expresión puede transformarse en:
a b p q b q a p i i 2 * 2 ⋅ + ⇒ = − = (4.6)
Luego, como se observa en (4.6), para cualquier unidad es posible encontrar una expresión que determina la cantidad óptima a producir para cada nivel de precio. Sumando estas expresiones para todas las unidades se obtiene la oferta agregada óptima, e igualando esta última a la demanda se obtiene el precio de despeje que se muestra en la Tabla 4.3. Adicionalmente en esta tabla se presentan las cantidades óptimas que debe generar cada unidad determinadas según la misma ecuación (4.6).
Tabla 4.3: Resultados ejemplo modelo estático estrategia competitiva Variable p [mills] q1 [kWh] q2 [kWh] q3 [kWh]
Valor 36,09 240,9 130,5 67,7
4.3 Estrategia de Juego por Unidades
En este caso, cada unidad generadora actúa estratégicamente, pero en forma independiente, es decir, sin considerar a la firma o holding al cual pertenecen. Cada central busca maximizar su propio beneficio individual, utilizando el modelo de Cournot.
4.3.1 Formulación matemática
En este caso, cada unidad generadora estratégica se enfrenta al siguiente problema de optimización:
{
i i i i}
iqi p q q C q s
Max Beneficio= ( )⋅ − ( ) ⋅ (4.7)
s.a. : Qmini⋅si ≤qi ≤Qmaxi⋅si (4.8)
Estas expresiones son casi idénticas a las observadas en (4.1) y (4.2) para la estrategia competitiva. La diferencia radica en que, en este caso, el precio no es fijo, sino que depende de la cantidad producida por la central (qi). Es decir, las unidades
generadoras reconocen que tienen la posibilidad de influenciar unilateralmente el precio de la energía.
La expresión que relaciona las cantidades producidas por cada central (qi)
con el precio (p) es la demanda residual para el conjunto de unidades estratégicas calculada en (3.8). Luego se tiene que:
) ( ) ( ) ( ) (p q D p O p A p B O p D t i t i r =
∑
= − =− ⋅ + − (4.9) 4.3.2 Metodología de soluciónEn este caso se presenta una dificultad adicional para encontrar la solución: los problemas de maximización no pueden resolverse en forma desacoplada para cada unidad como en la estrategia competitiva, debido a que el precio en la expresión (4.7) es función de todas las cantidades qi que producen las centrales. Además, en general, la
relación (4.9) no es invertible, debido a Ot(p), por lo que no puede encontrarse una expresión analítica para el precio en función de las cantidades producidas.
Para poder solucionar el problema se utilizó un algoritmo iterativo propuesto en Borenstein, Bushnell, y Knittel (1999) y que se ilustra en la Figura 4.2. Este algoritmo propuesto puede describirse en los siguiente pasos:
a) Inicio
Al comienzo del algoritmo se fijan todas las cantidades qi en cero, es decir,
inicialmente nadie produce energía. b) Primera iteración
En ella cada unidad estratégica determina su nivel óptimo de generación qi*
en forma desacoplada, suponiendo que la generación de las demás unidades es constante. Primero lo hace la unidad estratégica número 1 (suponiendo que ninguna otra produce energía), luego lo hace la segunda (conociendo sólo la generación de la primera
unidad), luego la número 3 (conociendo la generación de las dos anteriores) y así sucesivamente, hasta la última unidad. Esta iteración tiene la particularidad de que inicialmente las cantidades qi son cero, lo que no ocurre el resto de las iteraciones.
c) Otras iteraciones
Cada unidad estratégica determina su nivel óptimo de generación qi* en
forma desacoplada, al igual que en la primera iteración. Pero en esta ocasión, la primera unidad ya conoce la generación de todas las otras centrales, por lo que su oferta puede ser muy distinta a la observada en la primera iteración, de igual modo, el resto de las unidades también conocen la generación de todas las demás y no sólo de aquellas que están antes en esa iteración.
d) Convergencia
Las iteraciones deben continuar hasta que ninguna central tenga incentivos para cambiar su nivel de generación dada la oferta de las demás unidades, lo que representa, por definición, un equilibrio de Nash. En la práctica, el proceso termina cuando la diferencia entre las ofertas observadas entre una iteración y la anterior es menor a un cierto ε, ya que de otro modo se podría seguir el proceso infinitamente con cambios infinitesimales en las cantidades. Cuando se produce la convergencia se tiene un valor de equilibrio para el precio de mercado p* y para cada una de las cantidades producidas qi*.
La Figura 4.2 muestra que, en todas las iteraciones, cada unidad debe resolver su propio problema de maximización del beneficio. Dicho problema es similar al definido previamente por las expresiones (4.7), (4.8) y (4.9), con la diferencia de que la generación de las demás unidades térmicas se supone conocida a priori por la central. De este modo, el problema de optimización, para cada unidad se transforma en:
{
i i i i}
iqi p q q C q s
Max Beneficio= ( )⋅ − ( ) ⋅ (4.10)
∑
∑
≠ ≠ − − + ⋅ − = − = = i k k t i k k r i i p) q D (p) q A p B O (p) q D ( (4.12)donde Di(p) representa la demanda residual que observa la unidad térmica estratégica i y
consiste en la demanda residual para el total de centrales estratégicas Dr(p) menos la
generación conocida y constante de todas las demás unidades estratégicas.
El problema representado por (4.10), (4.11) y (4.12) es desacoplado y puede resolverse por separado para cada unidad generadora como se plantea en el proceso iterativo. Al igual que en el caso de la estrategia competitiva, el problema puede simplificarse suponiendo inicialmente que si = 1, luego se resuelve sin variables enteras
y finalmente se estudia el caso cuando si = 0. De esta forma, el problema se soluciona
mediante los siguientes pasos: a) si = 1
En este caso, para determinar la producción óptima para la unidad i debe aplicarse la condición de optimalidad de primer orden a la expresión dentro de las llaves en (4.10), así se obtiene: 0 ) ( ) ( = ∂ ∂ − ∂ ∂ ⋅ + i i i i i i q q C q p q q p (4.13)
La ecuación (4.13) presenta una nueva dificultad: calcular la derivada del precio. La expresión (4.12) relaciona el precio con la cantidad, pero ésta no es invertible, debido a Ot(p), menos aún puede calcularse la derivada del precio. Para evitar esta dificultad pueden estudiarse por separado los rangos de precios en los cuales dicha relación (4.12) es efectivamente invertible y diferenciable. Estos rangos pueden ser encontrados fácilmente por inspección y dependerán de la forma de Ot(p). De este modo, puede determinarse una cantidad óptima qi* en cada rango de precios y luego
Antes de seleccionar el nivel de generación qi* que implica mayores
utilidades, debe verificarse que éste respete los límites técnicos de generación fijados por (4.11), de no ser así, esta cantidad debe corregirse y llevarse al límite respectivo. Por último, se calcula el beneficio para la unidad, con el valor de qi* seleccionado.
b) si = 0
Nuevamente si = 0 quiere decir que la unidad i decide no producir energía,
por lo que su beneficio es nulo.
Por lo tanto, al igual que para la estrategia competitiva, si el beneficio calculado en a) es positivo, la decisión óptima de la unidad es producir la cantidad qi*,
pero si es negativo, dicha unidad no producirá energía. 4.3.3 Ejemplo
A continuación se presenta un ejemplo que muestra el comportamiento de las centrales térmicas bajo esta estrategia y la efectividad del algoritmo propuesto para su solución.
El ejemplo consta de las mismas tres centrales térmicas presentadas en la estrategia competitiva, enfrentando una demanda lineal por energía también idéntica al caso anterior. Es decir, los datos de la demanda y de los costos son los mismos presentados anteriormente en las tablas 4.1 y 4.2, la única diferencia radica en el comportamiento estratégico de las centrales térmicas.
Por tratarse de un ejemplo muy sencillo, sin unidades tomadoras de precio ni límites técnicos de generación, en este caso la expresión (4.9) puede ser invertida. Por lo tanto, el problema de optimización puede ser resuelto como un sistema de tres ecuaciones, donde cada una representa la condición de optimalidad de primer orden de la respectiva central. De esta forma, se pueden determinar las cantidades óptimas a
ofrecer por cada unidad y el precio de mercado resultante, estos valores se muestran en la Tabla 4.4.
Tabla 4.4: Resultados ejemplo modelo estático estrategia de juego por unidades Variable p [mills] q1 [kWh] q2 [kWh] q3 [kWh]
Valor 44,82 164,1 116,1 71,6
A pesar de tratarse de un ejemplo con los mismos datos que el presentado en la estrategia competitiva, el precio de la energía resultó ser un 24,2% superior en este caso. Esto se explica debido a que las centrales ejercen poder de mercado para maximizar sus beneficios.
Aunque este ejemplo pudo ser resuelto directamente, resulta de interés utilizar el algoritmo iterativo desarrollado, para comprobar que se obtienen los mismos resultados y para poder apreciar su convergencia.
De este modo, puede resolverse el mismo problema de optimización en forma iterativa, tal como muestra la Figura 4.2. Los resultados obtenidos en cada iteración se muestran en la Tabla 4.5.
Como se aprecia en la Tabla 4.5, los resultados logrados mediante al algoritmo iterativo son idénticos a los que se obtuvieron directamente con el sistema de ecuaciones. Además se observa que la convergencia fue lograda rápidamente, ya que sólo se necesitaron seis iteraciones.
A pesar que, según lo observado en este ejemplo, este algoritmo iterativo pareciera garantizar la convergencia y la localización del óptimo global, esta aseveración no puede ser formulada a priori en ejemplos más complejos. Sin embargo, el algoritmo
