RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL
RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL
ESPACIO
ESPACIO
Mtro. Óscar Ruiz Chávez
Mtro. Óscar Ruiz Chávez
Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
INDICE
INDICE
RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL
RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL
ESPACIO
ESPACIO
_____
_____
_____
___________
______
______
____________
______
______
_________
___
3
3
PLANOS
PLANOS EN EN EL EL ESPACIO ESPACIO ... ... 55
Ecuación
Ecuación de de un un plano plano ... 55
Ángulo
Ángulo entre entre dos dos planos planos ... 66
Trazado de
Trazado de planos en planos en el el espacio espacio ... 88
Distancia de
Distancia de un un punto a punto a un un plano plano ... 99
Distancia de
Distancia de un un punto a punto a una una recta recta ... 1010
SUPERFICIES
SUPERFICIES EN EN EL EL ESPACIO ESPACIO ... ... 1111
Esferas
Esferas ... 1111
Cilindros
Cilindros ... 1212
Superfici
Superficies es cuádricas cuádricas ... 1313
Superfici
Superficies es de de revoluciórevolución n ... 1818
M.C. Óscar Ruiz Chávez
M.C. Óscar Ruiz Chávez
RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO
RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO
RECTAS EN EL ESPACIORECTAS EN EL ESPACIO ..
En el espacio, al igual que en el plano, para expresar la ecuación de una recta En el espacio, al igual que en el plano, para expresar la ecuación de una recta es suficiente, ya sea, conocer dos puntos diferentes por los que pase la recta o es suficiente, ya sea, conocer dos puntos diferentes por los que pase la recta o conocer un punto y su dirección.
conocer un punto y su dirección. En el plano la
En el plano la direcciódirección la n la dá el ángulo de inclinación de la dá el ángulo de inclinación de la recta con respecto alrecta con respecto al eje ‘x’ o su pendiente, que es la razón de cambio de las coordenadas de sus eje ‘x’ o su pendiente, que es la razón de cambio de las coordenadas de sus puntos. En el espacio, la dirección la determina un vector.
puntos. En el espacio, la dirección la determina un vector.
Ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de la recta
Ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de la recta
..Supongamos que conocemos un punto
Supongamos que conocemos un punto P P x
( , , )
( , , )
x y 11 y z 11 z que pertenece 11 que pertenece a la a la recta y recta y ununvector
vector v v
a a b,, ,,
b cc paralelo a la recta.paralelo a la recta.Si tomamos un punto cualquiera de la Si tomamos un punto cualquiera de la recta
recta Q x y z Q x y z y formamos el vector
( , , )
( , , )
y formamos el vector11
,,
11,,
11P
PQ Q
x x x
x y y y
y z z z z qquue e eess ppaararalleelo lo yy, , ppoor r llo o tatanntoto, , mmúúlltitiplploo escalar del vector de dirección
escalar del vector de dirección vv .. P PQ Q ttvv
rr 1 1 11 11 1 1 11 11 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, x x x y x y y z y z z z t t a a b b cc x x x y x y y y z z z z at at bbt t cct t
de la igualdad de vectores tenemos que: de la igualdad de vectores tenemos que:
11 11 11 11 11 11 x x x x aat t x x ax x at t y y y y bbt t y y y y bbt t z z z z cct t z z cz z ct t
Que se denominan como las
Que se denominan como las
ecuaciones paramétricas de la recta
ecuaciones paramétricas de la recta
que pasaque pasa porpor P P x
( , , )
( , , )
x y 11 y z 11 z y es paralela al vector 11 y es paralela al vector v v
a a b,, ,,
b cc . . La vLa variable ariable t es t es elelparámetro
parámetro
,,y conforme t varía el punto Q se mueve sobre la línea. Los coeficientes
y conforme t varía el punto Q se mueve sobre la línea. Los coeficientes a, b y c a, b y c son los
son los
números directores
números directores
( o de dirección) de la recta.( o de dirección) de la recta. SiSi dedespspejaejamomos s t t en en cacada da ununa a de de lalas s ececuauaciociones nes papararamémétritricacas s e e iguigualaalamomoss obtendremos las
obtendremos las
ecuaciones simétricas de la recta
ecuaciones simétricas de la recta
::x x z z y y P P Q Q v v v ves el vector dees el vector de dirección de la recta dirección de la recta
11 11 11 x x x x y y y y z z z z a a b b cc
EjemEjemplo: plo: HalHallar un clar un conjonjunto dunto de ecue ecuacioaciones panes paramramétriétricas y lacas y las ecuas ecuacioncioneses simétricas para la recta que pasa por el punto
simétricas para la recta que pasa por el punto P P
1,3,5
1,3,5
y es paralela al vector y es paralela al vector2,4,1
2,4,1
vv
.. Solución: Solución: TTomomamamos os lalas s cocoorordendenadadas as dedel l pupunto nto PP
11
11,,
1133,,
1155
x
x
y y
z z
y lloy os s nnúúmmeerroos s ddee dirección del vectordirección del vector v v a
::
a
22,,
b b
44,,
cc11
11 11 11
11 22
33 44
55
eeccuuaacciioonnees s x x x x aat t x x t tp paarraammééttrriiccaas s y y y y bbt t y y t t z z z z cct t z z t t
11
33
55
::
22
44
11
x x y y z z ecuaciecuaciones ones simétsimétricasricas
Ejem
Ejemplo: plo: HalHallar un conjunlar un conjunto de to de ecuecuacioaciones paranes paramétmétricaricas y s y las ecualas ecuacioncioneses simétricas para la recta que pasa por los puntos
simétricas para la recta que pasa por los puntos P P
1,5,3
1,5,3
yy QQ
2,3,6
2,3,6
.. Solución:Solución:
Como nos dan dos puntos de la recta, con Como nos dan dos puntos de la recta, con el
ellolos s foformrmamamos os un un vevectctor or de de didirereccccióiónn
22 11,,33 55,,66 33
33,, 22,,33
v
v rr
PQPQ
y tomandoy tomando uno de los puntos (P por ejemplo) tenemos uno de los puntos (P por ejemplo) tenemos un conjunto deun conjunto de ecuacio
ecuaciones nes paraméparamétricas:tricas:
11 33
55 22
33 33
x x t t y y t t z z t t
y y llaass ecuaciones simétricas ecuaciones simétricas11
55
33
33
22
33
x x
y y
z z
..Si en lugar de tomar el punto P usamos las coordenadas del punto Q tendríamos Si en lugar de tomar el punto P usamos las coordenadas del punto Q tendríamos ecuaciones diferentes: ecuaciones diferentes: paramétricas: paramétricas:
22 33
33 22
66 33
x x t t y y t t z z t t
simétricas simétricas22
33
66
33
22
33
x x
y y
z z
..O, incluso si el vector de dirección fuera el vector
O, incluso si el vector de dirección fuera el vector QP QP obtendrobtendríamos íamos otrosotros conjuntos de ecuaciones representando a la misma recta.
conjuntos de ecuaciones representando a la misma recta.
M.C. Óscar Ruiz Chávez
M.C. Óscar Ruiz Chávez
x x z z y y v v P(1,3,5) P(1,3,5) x x z z y y P(-1,5,3) P(-1,5,3) PQ PQ Q(2,3,6) Q(2,3,6)
paramétricas: paramétricas:
22 33
33 22
66 33
x x t t y y t t z z t t
simétricas simétricas22
33
66
33
22
33
x x
y y
z z
.. PLANOS EN EL ESPACIO PLANOS EN EL ESPACIO CCuuaandndo o eemmppeezzamamoos s a a ttrarabbaajajar r een n trtreses dim
dimenensiosionesnes, , el el esespapacio cio se se divdivididió ió en en ochochoo o
occttaannttees s ppoor r mmeeddiio o dde e ttrrees s ppllaannooss coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano y
yzz. . CCaadda a uunno o dde e eessttoos s ppllaannoos s eess perpendicular a uno de los ejes, por ejemplo, perpendicular a uno de los ejes, por ejemplo, el plano xy es perpendicular al eje z. Por lo el plano xy es perpendicular al eje z. Por lo tanto cualquier vector
tanto cualquier vector
normal
normal
(perpendicular)(perpendicular) al plano xy es paralelo al eje z y al vector unitario al plano xy es paralelo al eje z y al vector unitario k k ..ˆˆ
Suponiendo que el vector normal fuera una palanca pegada al plano que tiene Suponiendo que el vector normal fuera una palanca pegada al plano que tiene que permanecer perpendicular a éste. Si cambiamos la orientación (dirección) que permanecer perpendicular a éste. Si cambiamos la orientación (dirección) del vector cambiaría tambien la orientación del plano.
del vector cambiaría tambien la orientación del plano.
Ecuación de un plano
Ecuación de un plano
Su
Supoponinienendo do qque ue cocononocecemomos s un un vevectctor or n
noorrmmaal l aal l ppllaannoo n n
a a b,, ,,
b cc y y llaass c coooorrddeennaaddaas s dde e uunno o dde e ssuus s ppuunnttooss 11 11 11( , , )
( , , )
P P x x y y z z , , ssi i SSi i ttoommaammoos s uun n ppuunnttoo cualquiera del planocualquiera del plano Q x y z Q x y z y formamos el
( , , )
( , , )
y formamos el vectorvector PPQ Q
x x x
x y 11,,
y y
y z 11,,
z z z 11ortogonal
ortogonal
alal vector normalvector normal nn..
Como sabemos el producto escalar de dos Como sabemos el producto escalar de dos vectores ortogonales es cero:
vectores ortogonales es cero:
11 11 11 11 11 11,, ,,
,,
,,
00
n n Prr
PQ Q a
a b b c c x x
x x y
y y
y z z z z
a a x x x x
b y b y y
y
c c z z z z ecuación del plano en su forma canónica :ecuación del plano en su forma canónica :
1 1 1 1 11 00 a a x x x x b y y b y y c z z c z z
11
11
11
11 11 11
00
a a x x x x
b y y b y y
c z z c z z
aax x b
by cy cz
z
aax x bby y ccz z de donde se desprende la forma general de la ecuación del plano: de donde se desprende la forma general de la ecuación del plano:0 0 a ax x bby y ccz z d d con con d d
--
aax bx by 11--
y ccz 11--
z 11.. x x z z y y P P n n PQ PQ Q Q x x z z j j k k i i Plano yz Plano yz plano xz plano xz plano xy plano xy vectorEjemplo: Encuen
Ejemplo: Encuentre la tre la ecuacióecuación general del n general del plano que contiene a plano que contiene a P(1,3,-2P(1,3,-2) y ) y concon un vector normal
un vector normal nn
2,5,1
2,5,1
Solución:Solución: Sustituimos las coordenadas deSustituimos las coordenadas de P P x
( , , )
( , , )
x y 11 y z 11 z y los números de dirección11 y los números de direccióndel vector normal
del vector normal n n
a a b,, ,,
b cc en la ecuaciónen la ecuación a x x a
x x b
11
b y y
y y
11
c z z c
z z
11
00
..
22
11
55
33 11
22
00
22
22 55
1155
22 00
22
55
1155 00
x x yy zz x x y y z z x x y y z z
Ejemplo: Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos Ejemplo: Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos P(1,2,0), Q(0,3,4) y R(2,0,2).
P(1,2,0), Q(0,3,4) y R(2,0,2). Solución:
Solución: Si los puntos dados no son colineales entonces el producto vectorialSi los puntos dados no son colineales entonces el producto vectorial de dos de los vectores que unen a dichos puntos da como resultado un vector de dos de los vectores que unen a dichos puntos da como resultado un vector ortogonal a los vectores en el plano y, por lo tanto, normal al plano.
ortogonal a los vectores en el plano y, por lo tanto, normal al plano.
1,1,4
1,1,4
PQ PQ
,, PR PR
11,, 22, 2
, 2
10,6,1
10,6,1
n n P
PQ Q P
PRR
LaLa ececuauacióción n dedel l plaplanono, , tomtomanando do elel punto P(1,2,0) punto P(1,2,0)
1100
11
66
22
11
0
0
0
0
1100
110 6
0 6
1122
00
1100
66
222 0
2 0
x x yy zz x x yy zz x x y y z z
Ángulo entre dos planos
Ángulo entre dos planos
Dos planos no paralelos se intersectarán en una recta formando un ángulo entre Dos planos no paralelos se intersectarán en una recta formando un ángulo entre ellos. Si tomamos sus vectores normales podemos ver que forman el mismo ellos. Si tomamos sus vectores normales podemos ver que forman el mismo ángulo
ángulo que que los los planos, planos, por por lo lo tanto, tanto, si si es es dicho dicho ángulo, ángulo, entoncesentonces
11 22 11 22
cos
cos
n n nn n n nn
uur r
uuuurr óó 11 11 22 11 22cos
cos
n n nn n n nn
u ur r uuuurr u ur r uuuurrM.C. Óscar Ruiz Chávez
M.C. Óscar Ruiz Chávez
4 4 2 2 2 2 33 1 1 2 2 R R P P Q Q PR PR PQ PQ n n==PQPQxxPRPR
El vector normal como el El vector normal como el producto cruz de producto cruz dePQPQyyPRPR n n22 nn11 ngulo entre ngulo entre 2 planos 2 planos n n11xxnn22
y el producto cruz de las normales es un vector paralelo a la recta intersección y el producto cruz de las normales es un vector paralelo a la recta intersección de los planos.
de los planos.
Ejemplo: Calcule el ángulo entre planos y encuentre un conjunto de ecuaciones Ejemplo: Calcule el ángulo entre planos y encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta intersección.
paramétricas de la recta intersección. Plano 1:
Plano 1:
22
x x y
33
y z
z
66 00
Plano 2:Plano 2:
55
x x y
22
y z
44
z110 0
0 0
Solución: de las ecuaciones de los planos obtenemos los vectores normales Solución: de las ecuaciones de los planos obtenemos los vectores normales
11
22,,33,, 11
n n
yy nn22
55,, 22,, 44
, con, con nn11
14
14
r r yy nnrr22
45
45
, , sussustittituyuyendendo o en en lala fórmula: fórmula:
11 11 22 11 11 11 221100 66 44
ccooss
ccooss
ccooss
0
0
9
900
1144 4455
n n nn n n nn
u ur r uuuurr u ur r uuuurrlos planos son perpendiculares
los planos son perpendiculares
n n n11
n2200
..P
Paarra a llaas s eeccuuaacciioonnees s dde e lla a rreeccttaa in
intetersrsececcición ón sosolalamementnte e necenecesisitatamomoss encontrar un punto común a los planos, encontrar un punto común a los planos, ya que sabemos que el producto cruz de ya que sabemos que el producto cruz de las normales es paralelo a la recta.
las normales es paralelo a la recta.
11 22
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
22
33
11 1100
1133
1199
55
22
44
i i j j k k v v
n n
n n
ii jj kk
r r r r rrEl punto común lo hallamos resolviendo el sistema de ecuaciones El punto común lo hallamos resolviendo el sistema de ecuaciones
22
x x y
33
y z
z
66 00
55
x x y
22
y z
44
z110 0
0 0
de donde tenemos quede donde tenemos que
3344 1133
10
10
x x y y
yy4422 1199
10
10
x x z z
,, si hacemos quesi hacemos que x x
22, entonces, entonces y y
66
yy z z
88..C
Coon n eel l ppuunnttoo P P
(( 22, 6
, 6, 8
, 8))
y y eel l vveeccttoor r v i v i rr
1100
ˆˆ
1133
ˆˆ
j j k
1199
kˆˆ
, , lalas s ececuauaciciononeses paramétricas de la recta serían:paramétricas de la recta serían:
22 10
10
66 13
13
88 19
19
x x t t y y t t z z t t
Trazado de planos en el espacio
Trazado de planos en el espacio
Si
Si quequeremremos os dibdibujar un ujar un plaplano no es es útil hallaútil hallar r las interslas intersecciecciones con ones con los ejeslos ejes coordena
coordenados y dos y trazar rectas por esos puntos. Las trazar rectas por esos puntos. Las rectas de intersección con losrectas de intersección con los planos coordenados se denominan
planos coordenados se denominan
trazas
trazas
..Ejemplo: Dibuje los planos y la recta intersección Ejemplo: Dibuje los planos y la recta intersección
Plano 1:
Plano 1: x x y
22
y z
66
z
66 00
Plano 2:Plano 2:
55
x x y
33
y z
55
z115 0
5 0
SoluciónSolución: Para encontrar las intersecciones del plano con cada eje, hacemos: Para encontrar las intersecciones del plano con cada eje, hacemos que los valores de las otras dos variables sean cero en la ecuación y resolvemos que los valores de las otras dos variables sean cero en la ecuación y resolvemos
IInntteerrsseecccciióón
n ccoonn: : ccoonnddiicciióón
n
eeccuuaacciióón
n
ppuunnttoo
Eje ‘x’Eje ‘x’ y y z
z00
x x
6 6
00
6,0,0
6,0,0
Eje ‘y’
Eje ‘y’ x x z
z
0022
y y
66 00
0,3,0
0,3,0
Eje ‘z’
Eje ‘z’ x x
yy00
6 6 z z
6 6
00
0,0,1
0,0,1
IInntteerrsseecccciióón
n ccoonn: : ccoonnddiicciióón
n
eeccuuaacciióón
n
ppuunnttoo
Eje ‘x’Eje ‘x’ y y z
z00
5 5 x x
115 05 0
3,0,0
3,0,0
Eje ‘y’
Eje ‘y’ x x z
z
0033
y y
1155 00
0,5,0
0,5,0
Eje ‘z’
Eje ‘z’ x x
yy00
5 5 z z
115 05 0
0,0,3
0,0,3
Cuando no aparece alguna de las variables en la
Cuando no aparece alguna de las variables en la ecuacióecuación entonces el plano esn entonces el plano es paralelo al eje de
paralelo al eje de esa variable. Cuando faltan dos esa variable. Cuando faltan dos variables, es paralelo al variables, es paralelo al planoplano coordenado de las variables ausentes.
coordenado de las variables ausentes.
x x y y z z 3 3 4 4 2 2 1 1 1 1 22 33 44 55 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 3y+5z-15=0 3y+5z-15=0 Plano Plano Paralelo al eje 'x' Paralelo al eje 'x' x x y y Pl Pl no no Pl Pl no no z z 3 3 4 4 2 2 1 1 1 1 22 33 44 55 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 5x+5z-15=0 5x+5z-15=0 Plano Plano
Paralelo al eje 'y' Paralelo al eje 'y'
x x y y z z 3 3 4 4 2 2 1 1 1 1 22 33 44 55 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 3y-15=0 3y-15=0PlanoPlano
Paralelo al plano 'xz' Paralelo al plano 'xz' Plano xz
Plano xz
Cuando no aparece el término independiente ( d = 0 ), el plano corta a los tres Cuando no aparece el término independiente ( d = 0 ), el plano corta a los tres ejes en el origen O(0,0,0).
ejes en el origen O(0,0,0).
M.C. Óscar Ruiz Chávez
M.C. Óscar Ruiz Chávez
x x y y z z 3 3 4 4 2 2 1 1 1 1 22 33 44 55 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 Recta Recta intersección intersección de los planos de los planos x+2y+6z-6=0 x+2y+6z-6=0 5x+3y+5z-15=0 5x+3y+5z-15=0 Plano 1 Plano 1 Plano 2 Plano 2
x x y y z z 3 3 4 4 2 2 1 1 1 1 22 33 44 55 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 x+y-z=0 x+y-z=0 Plano Plano
pasa por el origen pasa por el origen
6 6 y=z y=z x=z x=z
Distancia de un punto a un
Distancia de un punto a un plano
plano
Ya analizamos el caso de querer calcular la distancia entre dos puntos en el Ya analizamos el caso de querer calcular la distancia entre dos puntos en el espacio, pero, ¿qué pasa cuando queremos encontrar la distancia de un punto a espacio, pero, ¿qué pasa cuando queremos encontrar la distancia de un punto a un plano o a una recta?
un plano o a una recta?
Primero, consideremos un plano y un punto Q que no pertenezca a éste. Primero, consideremos un plano y un punto Q que no pertenezca a éste.
L
La a ddisistatancncia ia D D ees s lla a lloonngigitutud d ddeell segmento
segmento QRQR perperpendpendiculicular ar al al planplanoo (paralelo al vector normal
(paralelo al vector normal nn).).
Tomamos un punto cualquiera P del Tomamos un punto cualquiera P del plano y formamos el vector
plano y formamos el vector PQ PQ concon como el ángulo entre
como el ángulo entre PQ PQ yy nn.. Donde
Donde
cos
cos
PQ PQ nn P PQ Q nn
r r uuur uuur rrLa distancia D entre el punto Q y el plano:
La distancia D entre el punto Q y el plano: D D PPQQcoscos PQ n PQ n
n n r r uu uuuurr r r Para el plano
Para el plano aax x b
by y ccz
z d d00
concon n n
a a b,, ,,
b cc yy PPQ Q x
x x 00
x y 11,,
y y 00
y z 11,,
z z 00 z 11 lala distancia entre el puntodistancia entre el punto Q Q x
x y 00,, ,,
y z 00 z y el plano está dada por 00
y el plano está dada por00 00 00 00 00 00 22 22 22 a ax x bby y ccz z d d aax x bby y ccz z d d D D n n a a b b cc
r rEjemplo: ¿Qué tan cerca pasa el plano
Ejemplo: ¿Qué tan cerca pasa el plano x x y
22
y z
66
z
66 00
del origen? ¿A quédel origen? ¿A qué distancia del punto Q(1,2,3)?distancia del punto Q(1,2,3)? Solución Solución:: P P n n Q Q PQ PQ R R D D Proy ProynnPP QQ
De la ecuación del plano obtenemos los valores de a=1, b=2, c=6 y d = - 6. Los De la ecuación del plano obtenemos los valores de a=1, b=2, c=6 y d = - 6. Los sustituimos junto con las coordenadas del punto dado en la fórmula:
sustituimos junto con las coordenadas del punto dado en la fórmula:
00 00 00 22 22 22 22 22 22
11((00)) 22((00)) 66((00)) 66
66
0.937
0.937
41
41
11
22
66
a ax x bby y ccz z d d D D a a b b cc
del origen.del origen. 00 00 00 22 22 22 22 22 2211((11)) 22((22)) 66((33)) 66
17
17
2.655
2.655
41
41
11
22
66
a ax x bby y ccz z d d D D a a b b cc
del punto Q.del punto Q.Distancia de un punto a una recta
Distancia de un punto a una recta
Si tenemos una recta que pasa por el punto P y es paralela al vector
Si tenemos una recta que pasa por el punto P y es paralela al vector v v
a a b,, ,,
b cc ,, la distancia de un punto Q a la recta está dada porla distancia de un punto Q a la recta está dada por D D
PPQQsen
sen
..Con
Con como como el el ángulo ángulo entre entre loslos vectores
vectores PQ PQ yy vv, tal , tal queque
sen
sen
P PQ v Q v
r r PPQ Q vvrr , de donde, de dondesen
sen
PPQ Q vv P PQ Q vv
r r uuuruuur rr yy, , por por lo tanto,lo tanto,
P PQ Q vv D D vv r r r r Ejemplo: Ejemplo:
Calcule la distancia entre la recta con ecuaciones Calcule la distancia entre la recta con ecuaciones
11 22
33
44
x x t t y y t t z z t t
y el punto Q(2,-1,3) y el punto Q(2,-1,3) Solución:Solución: un punto de la recta es P(1,3,0)un punto de la recta es P(1,3,0)
(cuando t=0)
(cuando t=0)
. El vector . El vector PQ PQ
11,, 44,,33
yy el vectorel vector vv
2,1,4
2,1,4
. El producto cruz de. El producto cruz de PQ PQ yy vv ::ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
11
4 3
4 3
1199
1100
99
22
11
44
i i j j k k P PQQ
v v
ii jj kk
u uuuuurr rr ,, 22 22 221199
1100
99
554422
P PQ Q vv
rr
,, vvrr
21
21
M.C. Óscar Ruiz Chávez
M.C. Óscar Ruiz Chávez
Q Q v v P P PQ PQ D D
La distancia del punto a la recta: La distancia del punto a la recta:
542
542
5.08
5.08
21
21
P PQ Q vv D D vv
r r r r SUPERFICIES EN EL ESPACIO SUPERFICIES EN EL ESPACIOLos planos son un
Los planos son un tipo de superficie en el tipo de superficie en el espacio. espacio. Existen muchos otros tiposExisten muchos otros tipos de superficies, de las cuales, vamos a estudiar algunas en esta sección.
de superficies, de las cuales, vamos a estudiar algunas en esta sección.
Esferas
Esferas
Una esfera es el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que se Una esfera es el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo. Ese punto fijo es el centro de encuentran a una misma distancia de un punto fijo. Ese punto fijo es el centro de la esfera
la esfera C C x
x y z 00,, ,,
y z y la distancia el radio r.00 00
y la distancia el radio r.Si tomamos un punto cualquiera de la esfera
Si tomamos un punto cualquiera de la esfera P P x y z
x y z y consideramos que la,, ,,
y consideramos que la distancia a C es igual a r, entoncesdistancia a C es igual a r, entonces d d P
PC C
x x x
x 00
22
y y y
y 00
22
z z z
z 00
22 r r ..Ecuación canónica de la esfera:
Ecuación canónica de la esfera: 2 2 2 2 22 22 0
0 0 0 00
x
x xx yy yy zz zz rr
Desarrollando obtenemos la ecuación general de una esfera Desarrollando obtenemos la ecuación general de una esfera
2 2 2 2 22 0 0 x x y y z z GGx x HHy y Iz Iz J J
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la esfera con centro en Ejemplo: Encuentre la ecuación de la esfera con centro en el origen y radio r = 3.
el origen y radio r = 3. Solución:
Solución: Sustituimos las coordenadas del centro y elSustituimos las coordenadas del centro y el radio:
radio:
xx
00
22
yy
00
22
zz
00
2233
22 de donde obtenemosde donde obtenemos la ecuación:la ecuación:
22 22 22
99 00
x
x y
y z
z
Esfera creada en Derive Esfera creada en Derive
y y z z x x 3 3 44 -1 -1 1 1 2 2 Q Q P P
Ejem
Ejemplo: plo: EncuEncuentrentre las cooe las coordenrdenadas dadas del cenel centro y la lotro y la longitngitud del raud del radio de ladio de la esfera con ecuación
esfera con ecuación x y z x y z 22
22
2288
x x y z66
y z
44
44 00
SoluciónSolución: : De la De la ececuacuación ión gegeneneral ral obtobtenenemoemos s lala forma canónica reordenando términos y
forma canónica reordenando términos y completacompletandondo trinomios cuadrados perfectos.
trinomios cuadrados perfectos.
22 22 22 22 22 22 22 22 2288
66
44
44 00
88
1166
66
99
44
44
44 1166 99 44
44
33
22
2255
x y z x y z x x y y z z x x x x y y y y z z z z x x yy zz
DeDe dodondnde e obtobtenenemoemos s lalas s cocoordordenenadadas as dedel l cecentrntroo
(( 44, 3
, 3, 2
, 2))
C
C
y el radioy el radio r r
55
Esfera creada en Mathematica Esfera creada en Mathematica
Cilindros
Cilindros
Regularm
Regularmente, cuando pensamoente, cuando pensamos en s en un cilindro nos viene aun cilindro nos viene a la mente la figura del cilindro circular recto, como el que se la mente la figura del cilindro circular recto, como el que se muestra en la figura.
muestra en la figura.
Para obtener esta superficie imaginemos que dibujamos un Para obtener esta superficie imaginemos que dibujamos un círculo en un plano y hacemos pasar rectas perpendiculares círculo en un plano y hacemos pasar rectas perpendiculares al plano por cada uno de los puntos de la circunferencia. al plano por cada uno de los puntos de la circunferencia.
Ahora, si tomamos una curva cualquiera C en el Ahora, si tomamos una curva cualquiera C en el plano y una recta L no paralela al mismo plano y plano y una recta L no paralela al mismo plano y hacemos pasar rectas paralelas a L por cada hacemos pasar rectas paralelas a L por cada punto de la curva C, entonces la superficie que punto de la curva C, entonces la superficie que obte
obtendrendremos mos es es unun
cilindro
cilindro
. . LLa a ccuurrvva a C C ssee denominadenomina
curva
curva direc
directriz
triz
dedel l cicililindndro ro y y lalass líneas paralelas a la recta L se conocen como líneas paralelas a la recta L se conocen comorectas generatrices
rectas generatrices
..Si el plano que
Si el plano que contiene a la curva C es contiene a la curva C es alguno de los planos coordenadoalguno de los planos coordenados y lass y las rectas generatrices son perpendiculares a éste, entonces la ecuación del cilindro rectas generatrices son perpendiculares a éste, entonces la ecuación del cilindro es una expresión que contiene solamente las variables de dicho plano.
es una expresión que contiene solamente las variables de dicho plano. Por
Por ejeejempmplo, lo, la la grgráfáfica ica de de la la ececuauacióciónn 22
z
z
xx es unaes una parábola en el plano xz. En el espacio parábola en el plano xz. En el espacio2 2
z
z
xx representa a la superficie que serepresenta a la superficie que se muestra en la figura. muestra en la figura. En el plano yz. En el plano yz. En el espacio es un cilindro En el espacio es un cilindroM.C. Óscar Ruiz Chávez
M.C. Óscar Ruiz Chávez
Apuntes de Cálculo III
Apuntes de Cálculo III
12 12 -7.5 -7.5 -5 -5 -2.5 -2.5 0 0 0 0 2. 2.55 5 5 7. 7.55 -2.5 -2.5 0 0 2. 2.55 5 5 -7.5 -7.5 -5 -5 -2.5 -2.5 0 0 0 0 2. 2.55 5 5 -5 -5 -2.5 -2.5 0 0 2. 2.55 5 5 0 0 2 2 5 5 -2.5 -2.5 0 0 2. 2.55 curva curva directriz directriz C C Recta RectaLL Rectas Rectas generatrices generatrices
Otro ejemplo de un cilindro es la ecuación
Otro ejemplo de un cilindro es la ecuación z z
3 sen3 sen yy en el plano yz es una curvaen el plano yz es una curva sesennoioiddaal l y y een n eel l eessppaacicio o ees s la la susuppeerfrficicieie mostrada.
mostrada.
¿Cómo será la superficie con ¿Cómo será la superficie con ecuación
ecuación y y 22
xx2211
??Su traza (intersección de la superficie Su traza (intersección de la superficie con el plano) en el plano xy es una con el plano) en el plano xy es una hipérbola.
hipérbola.
Superficies cuádricas
Superficies cuádricas
La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es la ecuación de segundo La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es la ecuación de segundo grado de tres variables
grado de tres variables
22 22 22
00
A
Ax x
By By
Cy Cy
DDxxy y E
Exxz z F
Fyyz z G
Gx x H
Hy y IIz z J
J PaPara ra didibubujajar r ununa a susupeperfrficicie ie es es útútil il dedetetermrmininar ar susus s trtrazazas as cocon n lolos s plplananosos coordenados y con algunos otros planos paralelos.
coordenados y con algunos otros planos paralelos.
Elipsoide
Elipsoide
La forma canónica de la ecuación de un elipsoide es La forma canónica de la ecuación de un elipsoide es
22 22 22 22 22 22
11
x
x y y z z a
a
b b
cc con centrocon centro en elen el origen O(0,0,0) y a,b,c como las origen O(0,0,0) y a,b,c como las longitudlongitudes de los es de los semiejesemiejes en s en la direcciónla dirección de x,y,z respectivamente.
de x,y,z respectivamente.
Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación
22 22 22
11
99
44
11
x x y y z z
Trazas con los planos coordenados. Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0).
Plano xy ( z = 0). Plano Plano xz xz ( ( y y = = 0). 0). Plano Plano yz yz ( ( x x = = 0) 0) .. Elipse Elipse 22 22
11
99
44
x x yy
ElipseElipse 22 2211
99
11
x x z z
ElipseElipse 22 2211
44
11
y y z z
trazatraza con con el el plano plano xy xy traza traza con con el el planoplano
1 1 2 2 --11 -0.5 -0.5 0 0 0. 0.55 1 1
Elipsoide Elipsoide
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de una hoja
La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es
22 22 22 22 22 22
11
x x y y z z a a
b b
cc (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es negativo, el eje es el de (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es negativo, el eje es el de la variable del término negativo).la variable del término negativo).
Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación
22 22 22
11
99
44
44
x x y y z z
Trazas con los planos coordenados. Trazas con los planos coordenados. Pl
Planano o xy xy ( ( z z = = 0)0). . PlPlanano o xz xz ( ( y y = = 0)0). . PlPlanano o yz yz ( ( x x = = 0)0).. Elipse Elipse 22 22
11
99
44
x x yy
HipérbolaHipérbola 22 2211
99
44
x x z z
HipérbolaHipérbola 22 2211
44
44
y y z z
ttrraazza a ccoon n eel l ppllaanno o xxy y ttrraazza a ccoon n eel l ppllaanno o xxzz ttrraazza a ccoon n eel l ppllaanno o yyzz
Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Hiperboloide de dos hojas
La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es
22 22 22 22 22 22
11
z z x x yy c c
a a
bb
(uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es positivo, el eje es el de la (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es positivo, el eje es el de la variable del término positivo y no hay traza en el plano perpendicular al eje). variable del término positivo y no hay traza en el plano perpendicular al eje).Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación
22 22 22
11
44
99
44
z z x x yy
Trazas con los planos coordenados. Trazas con los planos coordenados. Pl
Planano o xy xy ( ( z z = = 0)0). . PlPlanano o xz xz ( ( y y = = 0)0). . PlPlanano o yz yz ( ( x x = = 0)0)..
M.C. Óscar Ruiz Chávez
22 22
11
99
44
x x yy
HipérbolaHipérbola 22 2211
44
99
z z xx
HipérbolaHipérbola 22 2211
44
44
z z yy
No hay traza No hay traza traza con traza con e el l ppllaanno o xxz z ttrraazzaa con el plano yz con el plano yzHiperboloide de dos hojas Hiperboloide de dos hojas
Cono elíptico
Cono elíptico
La ecuación canónica del cono elíptico es parecida a la del hiperboloide solo que La ecuación canónica del cono elíptico es parecida a la del hiperboloide solo que se iguala a cero en vez de igualar a uno.
se iguala a cero en vez de igualar a uno. Ecuación de un cono elíptico
Ecuación de un cono elíptico
22 22 22 22 22 22
00
x
x y y z z a
a
b b
cc (uno de los coeficientes de los(uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es de signo diferente a los otros dos, el eje es el de la términos cuadráticos es de signo diferente a los otros dos, el eje es el de la variable de signo diferente).variable de signo diferente).
Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación
22 22 22
00
99
44
44
x x y y z z
Trazas con los planos coordenados. Trazas con los planos coordenados. Pl
Planano o xy xy ( ( z z = = 0)0). . PlPlanano o xz xz ( ( y y = = 0)0). . PlPlanano o yz yz ( ( x x = = 0)0)..
22 22
00
99
44
x x yy
22 2200
99
44
x x z z
22 2200
44
44
y y z z
eses el el punto punto (0,0) (0,0) son son las las rectasrectas
22
33
zz
xx son las rectasson las rectas z z
yyCono elíptico Cono elíptico
Paraboloide elíptico
Paraboloide elíptico
La ecuación canónica del
La ecuación canónica del parabolparaboloide elíptico solo oide elíptico solo tiene términos cuadráticotiene términos cuadráticos s enen dos de sus variables y de la tercera solo término lineal.
dos de sus variables y de la tercera solo término lineal. Ecuación de un paraboloide elíptico
Ecuación de un paraboloide elíptico
22 22 22 22 x x yy z z a a bb
(los coeficientes de los (los coeficientes de los términotérminoss cuadráticos son del mismo signo, el eje del paraboloide es el de la variable sin cuadráticos son del mismo signo, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático).término cuadrático).
Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación
22 22
99
44
x x yy z z
Trazas con los planos coordenados.Trazas con los planos coordenados. Pl
Planano o xy xy ( ( z z = = 0)0). . PlPlanano o xz xz ( ( y y = = 0)0). . PlPlanano o yz yz ( ( x x = = 0)0)..
22 22
00
99
44
x x yy
ParábolaParábola 2299
x x z z
ParábolaParábola 2244
y y z z
es el punto (0,0) es el punto (0,0)traza con el plano xy traza con el plano xy
ttrraazza a ccoon n eel l ppllaanno o xxz z ttrraazza a ccoon n eel l ppllaanno o yyzz
Paraboloide elíptico Paraboloide elíptico
Paraboloide hiperbólico
Paraboloide hiperbólico
La
La ecuecuacióación n cancanónicónica a del del paraparaboloboloide ide hipehiperbólrbólico, al ico, al iguaigual l que la que la supsuperfierficiecie anterior,
anterior, solo tiene solo tiene términos cuadráticos en términos cuadráticos en dos de dos de sus variables y sus variables y de la de la terceratercera solo término lineal.
solo término lineal.
M.C. Óscar Ruiz Chávez
M.C. Óscar Ruiz Chávez
Ecua
Ecuación ción de de un un parparabolaboloide oide hiphiperbóerbólicolico
22 22 22 22 x x yy z z a a bb
(lo(los s coecoeficificienteentes s de de loslos términos cuadráticos son de signo contrario, el eje del paraboloide es el de la términos cuadráticos son de signo contrario, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático).variable sin término cuadrático).
Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación
22 22
99
44
x x yy z z
Trazas con los planos coordenados.Trazas con los planos coordenados. Pl
Planano o xy xy ( ( z z = = 0)0). . PlPlanano o xz xz ( ( y y = = 0)0). . PlPlanano o yz yz ( ( x x = = 0)0)..
22 22
00
99
44
x x yy
ParábolaParábola 2299
x x z z
ParábolaParábola 2244
y y z z
rectas rectas22
33
y y
xx tr tr a a zaza con el plano xy con el plano xy traza con el plano xz traza con el plano xz traza con el plano yztraza con el plano yz
curvas de nivel
curvas de nivel
En ocaciones no basta con
En ocaciones no basta con conocer las trazas con los conocer las trazas con los planos coordenplanos coordenados paraados para imag
imaginarinarse se a a la la supsuperfierficie cie y y será necesaserá necesario rio utilutilizar otros izar otros planplanos os parparalelalelos os aa alguno de los planos coordenados para realizar cortes a la superficie y dibujar alguno de los planos coordenados para realizar cortes a la superficie y dibujar esas trazas. Por
esas trazas. Por ejemplo, con planos paralelos al ejemplo, con planos paralelos al xyxy, , dando diferentedando diferentes s valores avalores a la variable z, obtendremos las curvas de intersección con los planos a diferentes la variable z, obtendremos las curvas de intersección con los planos a diferentes alturas. Estas gráficas se denominan
alturas. Estas gráficas se denominan
curvas de nivel
curvas de nivel
( son todos los puntos que( son todos los puntos que se encuentran a la misma altura con respecto al plano xy ).se encuentran a la misma altura con respecto al plano xy ).
En topografía esas curvas de nivel se conocen como mapas de contorno, en En topografía esas curvas de nivel se conocen como mapas de contorno, en metereología se usan para determinar zonas de temperaturas ( cada curva es metereología se usan para determinar zonas de temperaturas ( cada curva es una isoterma-“misma temperatura” ) ó
una isoterma-“misma temperatura” ) ó zonas de pzonas de presión resión ( isobaras ).( isobaras ).
Pa
Para ra la la susuperperficficieie
22 22
99
44
x x yy zz
ya ya obobtutuvivimomos s lalas s trtrazazas as cocon n lolos s plplananosos coordenados las cuales no nos dan mucha información. Ahora probemos con coordenados las cuales no nos dan mucha información. Ahora probemos con algunas curvas de nivel.algunas curvas de nivel.
P
44
z z
22 22 22 22 4 4 11 9 9 4 4 116 6 3366 x y x y y xy x hipérbolahipérbola22
z z
22 22 22 22 2 2 11 9 9 4 4 8 8 1188 x y x y y xy x hipérbolahipérbola11
z z
22 22 22 22 1 1 11 9 9 44 44 99 x y x y y xy x hipérbolahipérbola00
z z
2 2 22 2 2 0 0 9 9 4 4 33 x x yy y y xx rectasrectas11
z z
22 22 1 1 9 9 44 x x yy hipérbolahipérbola22
z z
22 22 22 22 2 2 11 9 9 4 4 118 8 88 x y x y x yx y hipérbolahipérbola44
z z
22 22 22 22 4 4 11 9 9 4 4 336 6 1166 x y x y x yx y hipérbolahipérbola --33 --22 --11 00 11 22 33 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 CoCorrtetes s cocon n plplaanonos s z=z=1, 1, z=z=--2 2 CCururvvas as de de ninivevel l PPararaabobololoiide de hihipeperrbóbóllicicoo
Superficies de revolución
Superficies de revolución
Ya vimos que un cilindro circular recto se forma cuando hacemos girar, por un Ya vimos que un cilindro circular recto se forma cuando hacemos girar, por un círculo,
círculo, a una recta perpa una recta perpendicular al plaendicular al plano que contienno que contiene a ese círculo. Existe a ese círculo. Existe une un eje central paralelo a la recta generatriz y, por lo tanto, a la superficie.
eje central paralelo a la recta generatriz y, por lo tanto, a la superficie.
¿Que pasaría si , en lugar de una recta, lo que se moviera alrededor del eje ¿Que pasaría si , en lugar de una recta, lo que se moviera alrededor del eje fue
fuera ra cucualqalquieuier r cucurvarva? ? Lo Lo quque e obobtetenemnemos os se se dedenonominmina a ununaa
super
superficie
ficie de
de
revolución
revolución
..Por ejemplo, si tenemos una curva C, definida por una función que determine la Por ejemplo, si tenemos una curva C, definida por una función que determine la di
diststanancicia a de de susus s pupuntntos os a a aalglgununo o dde e lolos s ejejes es cocoorordedenanadodos. s. DiDigagamomos,s,
(( ))
y r
y r x
x
xx, para una curva en el plano xy. Cuando hacemos girar la curva, para una curva en el plano xy. Cuando hacemos girar la curva alrededor del eje x nos genera la superficie de revolución.alrededor del eje x nos genera la superficie de revolución.
M.C. Óscar Ruiz Chávez
M.C. Óscar Ruiz Chávez
C
C es es la la curva curva generatriz generatriz de de la la superficie superficie de de revolución revolución Paraboloide Paraboloide circular circular x y x y z 22 z 22
(( ))
yy r
r xx es la función radio de los es la función radio de los círculos paralcírculos paralelos al plano yz elos al plano yz que se forman alque se forman al gigirarar r totododos s lolos s pupuntntos os de de C C alalreredededodor r dedel l ejeje e x. x. PaPara ra cacada da vavalolor r xxoo de de xx
obte
obtendrendremos mos un un círccírculo ulo de de radradioio r xxr
(( ))
00 con con ecuecuacióaciónn
22 22 2200
y
y z
z
r r xx
. . SiSi hacemos que x pueda tomar cualquier valor del dominio dehacemos que x pueda tomar cualquier valor del dominio de r r xx
(( ))
entonces laentonces la ecuación de la superficie de revolución esecuación de la superficie de revolución es y y z 22
z 22
r r xx
22.. En el ejemplo, la función radio esEn el ejemplo, la función radio es y r y r x
(( ))
x
xx, la ecuación de la superficie es, la ecuación de la superficie es
22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 y y z z r r xx y y z z xx y y z z xx ecuación de un paraboloide ecuación de un paraboloide..Ecuación de la superficie de revolución
Ecuación de la superficie de revolución
Si el eje de giro es alguno de los ejes coordenados, la ecuación toma la forma: Si el eje de giro es alguno de los ejes coordenados, la ecuación toma la forma:
Alrededor del eje x:
Alrededor del eje x: y y z 22
z 22
r r xx
22 Alrededor del eje y:Alrededor del eje y: x x z 22
z 22
r r yy
22 Alrededor del eje z:Alrededor del eje z: x x y 22
y 22
r r z
z
22 Ejemplo: HaEjemplo: Hallar la ecuacióllar la ecuación de la superficie qun de la superficie que se genera al e se genera al girar la gráficgirar la gráfica dea de
22 22
44
x x
99
z z
3366 00
alrededor del ejealrededor del eje z z . . Bosqueje Bosqueje su su gráficagráfica SoluciónSolución: : La La curva curva C C está está en en el el planoplano xz xz y gira alrededor del ejey gira alrededor del eje z z , debemos, debemos obtener una función radio
obtener una función radio x x r
r z(( ))
z despejando la variabledespejando la variable x x , tenemos, tenemos22 22 22 22 22 22 22 22
44
99
3366 00
44
3366 99
3366 99
3366 99
3366 99
fu
func
nció
ión
n ra
radi
dio
o (( ))
44
44
44
x x zz xx zz z z zz zz x x xx rr zz
papara ra la la ececuauacición ón de de la la susupeperfrficicie ie totomamamomos s la la tetercrcerera a opopciciónón (alrededor de z) (alrededor de z)
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2236
36 99
44
36
36 99
44
44
44
99
336
6
1
1
99
99
44
x x y y r r z z z z x x yy z z x x yy x x y y z z x x y y z z
Elipsoide ElipsoideEjemplo: Ha
Ejemplo: Hallar la ecuacióllar la ecuación de la superficie qun de la superficie que se genera al e se genera al girar la gráficgirar la gráfica dea de
11
yz
yz
alrededor del eje y alrededor del eje y . . Bosqueje Bosqueje su su gráficagráfica SoluciónSolución: : La La curva curva C C está está en en el el planoplano yz yz y gira alrededor dely gira alrededor del eje
eje y y , debemos obtener una función radio, debemos obtener una función radio z z r
r yy(( ))
despejandodespejando la variable z, tenemos la variable z, tenemos11
11
1
1
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Alrededor del eje y: x z x 22 z 22 r r y
