Libro-Prefacultativo..

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(3) 11 UMSAFACULTAD DE MEDICINA El capítulo 7 presenta un resumen de las leyes de los exponentes, que facilitaránal estudiante la comprensión del uso de las propiedades de los exponentes queson muy utilizadas en problemas algebraicos y que más adelante serán útiles en lateoría de los Logaritmos.Los siguientes capítulos están específicamente relacionados con la resolución deecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita, y a los sistemas deecuaciones, para lo cual se repasarán los métodos que ayuden a resolver dichossistemas. Por último se encuentra el capítulo de Logaritmos donde se aplicaespecíficamente la teoría relacionada a las leyes de los exponentes.Este texto de consulta en ninguno de los casos pretende reemplazar a textosespecializados en los temas propuestos anteriormente, sino que su objetivoprincipal es ayudar al postulante del curso PREFACULTATIVO a recordar conceptos que obtuvo en su formación escolar secundaria. Recomendamostambién el uso de cualquier material bibliográfico para poder complementar lostemas propuestos y que ayuden al estudiante a tener una mejor comprensión de laasignatura y en especial a poder lograr el objetivo de ingresar a la facultad. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 12 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 UMSAFACULTAD DE MEDICINA CONJUNTOS En la teoría de conjuntos definimos a un conjunto como la colección de objetosque tienen una característica especial que permite que los mismos esténagrupados. Estos objetos pueden ser: Personas, animales, plantas, números, etc.De esta definición podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto: Elementos Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto. Ejm.: José pertenece al Cuarto curso de Secundaria.Los elementos de un conjunto se representan por letras minúsculas del alfabeto,números o símbolos que nos ayuden a identificarlos.a, b, …, 2, 3, …, ▲ , □ , … Notación Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras mayúsculas delalfabeto, tales como:A, B, C, …, X, Y, Z Representación de un Conjunto Gráficamente se puede representar a un conjunto a través de Diagramas de Venn,los cuales consisten en curvas cerradas. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 13 UMSAFACULTAD DE MEDICINA CONJUNTOS.

(4) En la teoría de conjuntos definimos a un conjunto como la colección de objetosque tienen una característica especial que permite que los mismos esténagrupados. Estos objetos pueden ser: Personas, animales, plantas, números, etc.De esta definición podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto: Elementos Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto. Ejm.: José pertenece al Cuarto curso de Secundaria.Los elementos de un conjunto se representan por letras minúsculas del alfabeto,números o símbolos que nos ayuden a identificarlos.a, b, …, 2, 3, …, ▲ , □ , … Notación Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras mayúsculas delalfabeto, tales como:A, B, C, …, X, Y, Z Representación de un Conjunto Gráficamente se puede representar a un conjunto a través de Diagramas de Venn,los cuales consisten en curvas cerradas. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 13 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejm.: El conjunto A cuyo elementos son los cinco primeros números pares. A={0, 2, 4, 6, 8} . 2 . 4 . 0 . 6 . 8 A Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece aun conjunto determinado se hace uso de los símbolos ∈ y ∉ , respectivamente.En el ejemplo anterior podemos decir que A ∈ 2 y que A ∉ 1 .Para poder definir un conjunto podemos valernos de dos formas de expresión: • Por Extensión y.

(5) • Por Comprensión. Por Extensión Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus elementos quelo componen. Ejm.: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B={-2, -1, 0, 1, 2} CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 14 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejm.: El conjunto A cuyo elementos son los cinco primeros números pares. A={0, 2, 4, 6, 8} . 2 . 4 . 0 . 6 . 8 A Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece aun conjunto determinado se hace uso de los símbolos ∈ y ∉ , respectivamente.En el ejemplo anterior podemos decir que A ∈ 2 y que A ∉ 1 .Para poder definir un conjunto podemos valernos de dos formas de expresión: • Por Extensión y • Por Comprensión. Por Extensión Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus elementos quelo componen. Ejm.: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B={-2, -1, 0, 1, 2} CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 14 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 UMSAFACULTAD DE MEDICINA.

(6) Por Comprensión Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad particular de todossus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los mismos. ,2 / k x x = k=0, 1, … }={0, 2, 4, 6, 8, …}A={ CONJUNTOS ESPECIALESConjunto Finito Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último desus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos. Ejm.: A= {3, 5, 7, 8} El conjunto “A” tiene 4 elementosB= { ,2 / k x x = k=0, 1, …, 4 } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto “B” tiene 5 elementos Conjunto Infinito Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no sepueden terminar de contar. Ejm.: A= { ,2 / k x x = k=0, 1, …, n } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …} CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 15 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Por Comprensión Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad particular de todossus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los mismos. ,2 / k x x = k=0, 1, … }={0, 2, 4, 6, 8, …}A={ CONJUNTOS ESPECIALESConjunto Finito Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último desus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos. Ejm.: A= {3, 5, 7, 8} El conjunto “A” tiene 4 elementosB= { ,2 / k x x = k=0, 1, …, 4.

(7) } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto “B” tiene 5 elementos Conjunto Infinito Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no sepueden terminar de contar. Ejm.: A= { ,2 / k x x = k=0, 1, …, n } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …} CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 15 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Conjunto Universo Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por . Ejm.: A={ x x / ∈ }Como el conjunto “A” hace referencia al Conjunto de Números Enteros, entonces,concluimos que =. Conjunto Vacío También conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningúnelemento y es denotado por la letra griega Ø ó { } . Ejm.: A={El conjunto de números pares cuya última cifra sea impar}= { } = Ø Ejercicios Propuestos 1. Expresar por Extensión los siguientes conjuntos:a) A= { 12 / += k x x donde k=0, 1, …, n }b) B= { ∈ x / 0158 2 =+− x x }c) C= { ∈ x.

(8) / 1337 ≤+≤− x }d) D= { ∈ x / k x 2 = , donde k= 0,1,2,3, …, 11 } CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 16 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Conjunto Universo Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por . Ejm.: A={ x x / ∈ }Como el conjunto “A” hace referencia al Conjunto de Números Enteros, entonces,concluimos que =. Conjunto Vacío También conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningúnelemento y es denotado por la letra griega Ø ó { } . Ejm.: A={El conjunto de números pares cuya última cifra sea impar}= { } = Ø Ejercicios Propuestos 1. Expresar por Extensión los siguientes conjuntos:a) A= { 12 / += k x x donde k=0, 1, …, n }b) B= { ∈ x / 0158 2 =+− x x }c) C= {.

(9) ∈ x / 1337 ≤+≤− x }d) D= { ∈ x / k x 2 = , donde k= 0,1,2,3, …, 11 } CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 16 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 UMSAFACULTAD DE MEDICINA 2. Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:a) A= { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}b) B= { Ene, Feb, Mar, May, Jun, Jul, Ago, Sep, Oct, Nov, Dic}c) C= { Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}d) D={4, 3}3. Indique si los siguientes conjuntos son Finitos, Infinitos o Vacíos:a) A= { ∈ x / 0482 2 =+− x x }b) B= { ∈ x / 1 = )4(log 32 x }c) C = { ∈ x / 12 += k x , donde k= 0,1,2,3, …, n } Relaciones entre ConjuntosInclusión Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, sitodos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relación se la denota dela siguiente forma: } / {.

(10) B x A x x B A ∈⇉∈∀⇔⊂ OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSUnión de dos Conjuntos La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o deB o de ambos conjuntos y se denota por: } / { B x A x x B A ∈∨∈= U CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 17 UMSAFACULTAD DE MEDICINA 2. Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:a) A= { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}b) B= { Ene, Feb, Mar, May, Jun, Jul, Ago, Sep, Oct, Nov, Dic}c) C= { Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}d) D={4, 3}3. Indique si los siguientes conjuntos son Finitos, Infinitos o Vacíos:a) A= { ∈ x / 0482 2 =+− x x }b) B= { ∈ x / 1 = )4(log 32 x }c) C = { ∈ x / 12 += k x , donde k= 0,1,2,3, …, n } Relaciones entre ConjuntosInclusión Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, sitodos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relación se la denota dela siguiente forma: } / { B x A x x B A ∈⇉∈∀⇔⊂ OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSUnión de dos Conjuntos La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o deB o de ambos conjuntos y se denota por: } / { B x A x x B A ∈∨∈= U.

(11) CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 17 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Lo cual se lee: “A” unión “B”, es el conjunto formado por elementos x, tal que xpertenece a “A” ó x pertenece a “B”. Ejm.: Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = { 2, 1, 0, 1, 2}Entonces, AB= { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} U 123456 1 20 U U A B B A U Intersección de dos Conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, elementosque pertenecen a “A” y a “B” y } / { B x A x x B A ∈∧∈= I Que se lee, “A” intersección “B” es el elementos x, talque x pertenece a “A” y CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 18. es el conjunto formado por los se denota por:. conjunto formado por los x pertenece a “B”.. UMSAFACULTAD DE MEDICINA Lo cual se lee: “A” unión “B”, es el conjunto formado por elementos x, tal que xpertenece a “A” ó x pertenece a “B”. Ejm.: Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = { 2, 1, 0, 1, 2}Entonces, AB= { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} U 123456 1 20 U U A B B A U Intersección de dos Conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, elementosque pertenecen a “A” y a “B” y } / { B x A x x B A ∈∧∈= I Que se lee, “A” intersección “B” es el elementos x, talque x pertenece a “A” y CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 18 This is a collapser for Adult. es el conjunto formado por los se denota por:. conjunto formado por los x pertenece a “B”..

(12) This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejm.:Si A = {a, b, c, d}, B = {a, b, f, g, h} B A I abcdhf g A B Complemento de un Conjunto Dado el conjunto universo y ⊂ A . El complemento de un conjunto “A” es elconjunto formado por elementos de que no pertenecen al conjunto “A” y sedenota por C A o ' A . }U / { A x x x A c ∉∧∈= ó x A x A C ∉≡∈ Ejm.: Si A = {1, 3, 5, 7} y = { ∈ x / 10 < x } C A = {2, 4, 6, 8, 9} 0617534 U A 928 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 19 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejm.:Si A = {a, b, c, d}, B = {a, b, f, g, h} B A I abcdhf g A B.

(13) Complemento de un Conjunto Dado el conjunto universo y ⊂ A . El complemento de un conjunto “A” es elconjunto formado por elementos de que no pertenecen al conjunto “A” y sedenota por C A o ' A . }U / { A x x x A c ∉∧∈= ó x A x A C ∉≡∈ Ejm.: Si A = {1, 3, 5, 7} y = { ∈ x / 10 < x } C A = {2, 4, 6, 8, 9} 0617534 U A 928 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 19 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Diferencia de Conjuntos La diferencia de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de“A” que no pertenecen a “B” y se denota por:A – B = { B x A x x ∉∧ } ó ∈ / B x A x B A x ∉∧∈≡−∈ )( Ejm.: Si A = {1, 2, 3, 5, 7} y B = {3, 5, 7, 8 }, entonces, A – B = {1, 2}.

(14) Diferencia Simétrica La diferencia Simétrica de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de “A” o de ”B” pero no de ambos, denotado por: B A ∆ = { A x x ∈ / v B x ∈ } = )( B A B A IU )( − ó )()()( B A x B A x B A x IU ∉∧∈≡∆∈ Ejm.: Si A = {a, b, c, d} y B= {c, d, e, f}, entonces, B A ∆ = {a, b, e, f} Ejercicios propuestos 1. ados los siguientes conjuntos: U U = { ∈ x / 10 }, A = 4 ≤≤− x { ∈ x / 7 ≤ x } y B={ ∈ x / ≤≤− 22 } x C = { ∈ x /}.

(15) 10 ≤ x CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 20 UMSAFACULTA E MEICINA. iferencia de Conjuntos La diferencia de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de“A” que no pertenecen a “B” y se denota por:A – B = { B x A x x ∉∧ } ó ∈ / B x A x B A x ∉∧∈≡−∈ )( Ejm.: Si A = {1, 2, 3, 5, 7} y B = {3, 5, 7, 8 }, entonces, A – B = {1, 2} iferencia Simétrica La diferencia Simétrica de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de “A” o de ”B” pero no de ambos, denotado por: B A ∆ = { A x x ∈ / v B x ∈ } = )( B A B A IU )( − ó )()()( B A x B A x B A x IU ∉∧∈≡∆∈ Ejm.: Si A = {a, b, c, d} y B= {c, d, e, f}, entonces, B A ∆ = {a, b, e, f} Ejercicios propuestos 1. ados los siguientes conjuntos: U U = { ∈ x / 10.

(16) }, A = 4 ≤≤− x { ∈ x / 7 ≤ x } y B={ ∈ x / ≤≤− 22 } x C = { ∈ x /} 10 ≤ x CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 20 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 UMSAFACULTA E MEICINA Hallar:a) C B A IU )( b) C C BC A IU )( c) )( C A B ∆− d) C C BC A )()( UIU e)f). Utilizando diagramas de Venn sombrear cada uno de los siguientes conjuntos: )( C B A C I −.

(17) )()( C B B A −− I 2 C B A −∪ )( a) )( C B A C I − b) C C AC B A )()( − IUU c) C B A C UI )( d)e)3. Verificar las propiedades de la Teoría de Conjuntos: )( C C C B A UI },,{},{},,{},,,,{ d cbC ea Bcba Aed cba === a) = U C C C B A B A UI ≡ )( )()()( C A B AC B A UIUIU ≡ b) A B B A −≡− c) ≡ C A A U d) U U e)f) ∅≡.

(18) C A A I A B B A ∆≡∆ CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 21 UMSAFACULTA E MEICINA Hallar:a) C B A IU )( b) C C BC A IU )( c) )( C A B ∆− d) C C BC A )()( UIU e)f). Utilizando diagramas de Venn sombrear cada uno de los siguientes conjuntos: )( C B A C I − )()( C B B A −− I 2 C B A −∪ )( a) )( C B A C I − b) C C AC B A )()( − IUU c) C B A.

(19) C UI )( d)e)3. Verificar las propiedades de la Teoría de Conjuntos: )( C C C B A UI },,{},{},,{},,,,{ d cbC ea Bcba Aed cba === a) = U C C C B A B A UI ≡ )( )()()( C A B AC B A UIUIU ≡ b) A B B A −≡− c) ≡ C A A U d) U U e)f) ∅≡ C A A I A B B A ∆≡∆ CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 21 UMSAFACULTA E MEICINA 4. Resolver los siguientes problemas:a) En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaronMatemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnosque no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudianexactamente una de las materias mencionadas?b) e 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina, 87 erecho y120 ninguna de las dos carreras. ¿Cuántos quieren estudiar ambas al mismotiempo?a) 27 b) 22 c) 66 d) 65 e) N.A. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 22.

(20) UMSAFACULTA E MEICINA 4. Resolver los siguientes problemas:a) En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaronMatemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnosque no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudianexactamente una de las materias mencionadas?b) e 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina, 87 erecho y120 ninguna de las dos carreras. ¿Cuántos quieren estudiar ambas al mismotiempo?a) 27 b) 22 c) 66 d) 65 e) N.A. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 22 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 UMSAFACULTA E MEICINA SISTEMAS NUMÉRICOSNúmeros Naturales () El conjunto de números naturales esta compuesto por todos los números enterospositivos excluyendo al cero y este conjunto esta denotado por .= {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}Antes de continuar se hará algunas definiciones.Se dice que una operación esta bien definida en un conjunto cualquiera A , sitomando dos elementos de dicho conjunto y sometiendo a estos elementos adicha operación, el resultado obtenido, también pertenece al conjunto A .En están bien definidas las operaciones de adición y multiplicación, es decir: ∈ a ∧∈ b ⇉ ∈+ )( ba SiSi a ∈ ∧ ∈ b ⇉ ∈× )( ba Por ejemplo si tomamos a:a + b = 4 + 9 = 13 ∈ a x b = 4 x 9 = 36 ∈ a = 4 y b = 9 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 23 UMSAFACULTAD DE MEDICINA.

(21) SISTEMAS NUMÉRICOSNúmeros Naturales () El conjunto de números naturales esta compuesto por todos los números enterospositivos excluyendo al cero y este conjunto esta denotado por .= {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}Antes de continuar se hará algunas definiciones.Se dice que una operación esta bien definida en un conjunto cualquiera A , sitomando dos elementos de dicho conjunto y sometiendo a estos elementos adicha operación, el resultado obtenido, también pertenece al conjunto A .En están bien definidas las operaciones de adición y multiplicación, es decir: ∈ a ∧∈ b ⇉ ∈+ )( ba SiSi a ∈ ∧ ∈ b ⇉ ∈× )( ba Por ejemplo si tomamos a:a + b = 4 + 9 = 13 ∈ a x b = 4 x 9 = 36 ∈ a = 4 y b = 9 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 23 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Como a + b = c, donde c ∈ podemos definir:b = c aA lo que llamaremos sustracción en . Ejercicios Propuestos Probar si las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de lossiguientes valores pertenecen al conjunto de números naturales ().a) a = 4, b = 3b) a = 5, c = 3c) a = 7, c = 7d) a = 7, b = 3e) a = 1, c = 2f) a = 3, b = 1 Números Enteros () Este conjunto esta formado por valores enteros, tanto positivos como negativos,el cual esta representado por .= {…, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}En este conjunto están bien definidas las operaciones de Adición, Sustracción yMultiplicación.También se debe indicar que el conjunto de números naturales esta incluidodentro del conjunto de números enteros, es decir ⊂ ..

(22) CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 24 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Como a + b = c, donde c ∈ podemos definir:b = c aA lo que llamaremos sustracción en . Ejercicios Propuestos Probar si las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de lossiguientes valores pertenecen al conjunto de números naturales ().a) a = 4, b = 3b) a = 5, c = 3c) a = 7, c = 7d) a = 7, b = 3e) a = 1, c = 2f) a = 3, b = 1 Números Enteros () Este conjunto esta formado por valores enteros, tanto positivos como negativos,el cual esta representado por .= {…, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}En este conjunto están bien definidas las operaciones de Adición, Sustracción yMultiplicación.También se debe indicar que el conjunto de números naturales esta incluidodentro del conjunto de números enteros, es decir ⊂ . CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 24 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejm.: Sean a = 3, b = 2, entonces,a + b = 3 + 2 = 1 ∈ a x b = ( 3) x (2) = 6 ∈ a – b = 3 – 2 = 5 ∈ Ejercicios Propuestos 1. Efectuar mentalmente las siguientes operaciones:a. (120 20) + (2 x 3)b. 2 x (98 2)c. (3 x 5) + (2 x 5)d. (100 / 2) + (3 x 5)e. (1000 + 2) x 3f. (2 x (300 / 2)) – 300g. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11h. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12i. 1 + 2 + 3 + 4 + … + 50 j. 1 + 3 + 5 + 7 + … +512. Descomponer en Factores Primos los siguientes números:a. A = 120b. B = 3600c. C = 1260d. A = 225e. B = 144 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 25 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejm.: Sean a = 3, b = 2, entonces,a + b = 3 + 2 = 1 ∈ a x b = ( 3) x (2) = 6 ∈ a – b = 3 – 2 = 5 ∈ Ejercicios Propuestos 1. Efectuar mentalmente las siguientes operaciones:a. (120 20) + (2 x 3)b. 2 x (98 2)c. (3 x 5) + (2 x 5)d. (100 / 2) + (3 x 5)e. (1000 + 2) x 3f. (2 x (300 / 2)) – 300g. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11h. 2 + 4 + 6 + 8 +.

(23) 10 + 12i. 1 + 2 + 3 + 4 + … + 50 j. 1 + 3 + 5 + 7 + … +512. Descomponer en Factores Primos los siguientes números:a. A = 120b. B = 3600c. C = 1260d. A = 225e. B = 144 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 25 UMSAFACULTAD DE MEDICINA 3. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes valores:a. 40; 250b. 120; 36c. 255; 120d. 12; 44. Cuales de los siguientes números son Primos y cuáles números compuestos:a. 3b. 120c. 37d. 111e. 77f. 24g. 3555. Efectuar mentalmente las siguientes expresiones:a. ( 5 7) x (11 5)b. 3 x ( 3) + 5 x ( 1)c. (1 1000) x ( 2)d. (100 / 4) x (2 10)e. (3 x 5) + (2 x 3 x ( 2 + 8))f. ( 36 / 6) + 8 x ( 2) CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 26 UMSAFACULTAD DE MEDICINA 3. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes valores:a. 40; 250b. 120; 36c. 255; 120d. 12; 44. Cuales de los siguientes números son Primos y cuáles números compuestos:a. 3b. 120c. 37d. 111e. 77f. 24g. 3555. Efectuar mentalmente las siguientes expresiones:a. ( 5 7) x (11 5)b. 3 x ( 3) + 5 x ( 1)c. (1 1000) x ( 2)d. (100 / 4) x (2 10)e. (3 x 5) + (2 x 3 x ( 2 + 8))f. ( 36 / 6) + 8 x ( 2) CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 26 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 This is a collapser for 728x90 UMSAFACULTAD DE MEDICINA NMEROS RACIONALES () El conjunto de números racionales esta formado por números que puedenexpresarse como q p , donde ∈ p y ∈ q , siendo 0 ≠ q .= {… ,49,711,23,2713,21,43,25, −− …}En se dice que están bien definidas las operaciones de adición, sustracción,multiplicación y división: ∈ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈×∈−∈+⇉ QbaQbaQbaQba a.

(24) ∈ y b Ejm.: 3 ∈ ∈=⇉ 263 0 ∈ ∈=⇉ 700 2 ∈ ∈−=−⇉ 482 Con estos ejemplos también podemos concluir que ⊂ . CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 27 UMSAFACULTAD DE MEDICINA NMEROS RACIONALES () El conjunto de números racionales esta formado por números que puedenexpresarse como q p , donde ∈ p y ∈ q , siendo 0 ≠ q .= {… ,49,711,23,2713,21,43,25, −− …}En se dice que están bien definidas las operaciones de adición, sustracción,multiplicación y división: ∈ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈×∈−∈+⇉ QbaQbaQbaQba a ∈ y b Ejm.: 3 ∈.

(25) ∈=⇉ 263 0 ∈ ∈=⇉ 700 2 ∈ ∈−=−⇉ 482 Con estos ejemplos también podemos concluir que ⊂ . CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 27 UMSAFACULTAD DE MEDICINA. MEROS IRRACIONALES (’) El conjunto de números irracionales esta formado por números que no puedenexpresarse como q p , donde ∈ p y ∈ q , siendo 0 ≠ q .‘ = {… ,,,23 En 3,28,3,2,3, 3 e π −−− …}‘ no están bien definidas las oeraciones de sustracción, multilicación yotenciación. También debemos mencionar que y ‘ no tienen ningún númeroen común. NUMEROS REALES () El conjunto de números reales esta formado or la unión de conjuntos deúmeros Racionales e Irracionales (‘). Para denotar a este conjunton U utilizaremos la letra .Si buscamos una relación entre los conjuntos de números anteriormentemencionados tendríamos lo siguiente: ⊂ ⊂ ⊂ ‘ ⊂ NOTACIÓN CIENTÍFICA En este aartado se trata de exlicar lo que es la notación científica y la formacomo se la uede utilizar en las matemáticas..

(26) CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 28 UMSAFACULTAD DE MEDICINA ÚMEROS IRRACIONALES (’) El conjunto de números irracionales esta formado or números que no uedenexresarse como q , donde ∈ y ∈ q , siendo 0 ≠ q .‘ = {… ,,,23 En 3,28,3,2,3, 3 e π −−− …}‘ no están bien definidas las oeraciones de sustracción, multilicación yotenciación. También debemos mencionar que y ‘ no tienen ningún númeroen común. NUMEROS REALES () El conjunto de números reales esta formado or la unión de conjuntos deúmeros Racionales e Irracionales (‘). Para denotar a este conjunton U utilizaremos la letra .Si buscamos una relación entre los conjuntos de números anteriormentemencionados tendríamos lo siguiente: ⊂ ⊂ ⊂ ‘ ⊂ NOTACIÓN CIENTÍFICA En este aartado se trata de exlicar lo que es la notación científica y la formacomo se la uede utilizar en las matemáticas. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 28 This is a collaser for 728x90 This is a collaser for Adult This is a collaser for Adult UMSAFACULTAD DE MEDICINA Emezaremos mencionando que la notación científica es la forma abreviada deescribir cantidades numéricas suficientemente grandes o lo contrariosuficientemente equeñas. Para oder lograr este cometido se hace uso de lasotencias de 10, con lo cual ermitimos que las exresiones en las medicionesientíficas uedan ser más exlicitas, más comactas y más sencillas de utilizar,ara lo cual utilizaremos la siguiente notación:c b.

(27) a 10 × Don de: ∈ a y uede ser este un decimal y esta comrendido en el rango . 101 ≤≤ a ∈ b ya sea este ositivo (+) o negativo ( ).En los siguientes ejemlos se muestra como exresar algunas cantidades a sucorresondiente notación científica:b) jercicios Prouestos 1. Escribir en notación científica las siguientes cantidades:c) 2 1012546,3546,312 ×= a) 3 1045225,125,1452 ×= c) = 2 109752,8089752,0 − × E 265,125 a) 879,2562 b) 56,875223 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 29 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Emezaremos mencionando que la notación científica es la forma abreviada deescribir cantidades numéricas suficientemente grandes o lo contrariosuficientemente equeñas. Para oder lograr este cometido se hace uso de lasotencias de 10, con lo cual ermitimos que las exresiones en las medicionesientíficas uedan ser más exlicitas, más comactas y más sencillas de utilizar,ara lo cual utilizaremos la siguiente notación:c b a 10 × Don de: ∈ a y uede ser este un decimal y esta comrendido en el rango . 101 ≤≤.

(28) a ∈ b ya sea este ositivo (+) o negativo ( ).En los siguientes ejemlos se muestra como exresar algunas cantidades a sucorresondiente notación científica:b) jercicios Prouestos 1. Escribir en notación científica las siguientes cantidades:c) 2 1012546,3546,312 ×= a) 3 1045225,125,1452 ×= c) = 2 109752,8089752,0 − × E 265,125 a) 879,2562 b) 56,875223 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 29 UMSAFACULTAD DE MEDICINA d)f)2. Escribir en notación decimal las siguientes cantidades: 41563 × c)d)e) 000154789,0 e) 21,745,8 123654,0 a) 1, 4 10 2 10912,2 − × b) 4 102564,3 × 4 1089,1 − ×.

(29) 4 1014159,4 × CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 30 UMSAFACULTAD DE MEDICINA d)f)2. Escribir en notación decimal las siguientes cantidades: 41563 × c)d)e) 000154789,0 e) 21,745,8 123654,0 a) 1, 4 10 2 10912,2 − × b) 4 102564,3 × 4 1089,1 − × 4 1014159,4 × CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 30 This is a collaser for 728x90 This is a collaser for 728x90 This is a collaser for 728x90 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Oeraciones con Notación CientíficaAdición y Sustracción Para oder efectuar estas oeraciones con notación científica, rimeramentedebemos asegurarnos que todas las otencias de 10 sean semejantes, casocontrario hay que rocurar a que lo sean. Ejm.: a. , 666 10534,510254,110284 ×=×+×.

(30) 1( −−− × b. 33323 108498,2102912,010141,310912,210141,3 ×=×−×=×−× Multilicación y División con Notación Científica Para realizar la multilicación simlemente se multilican los valores decimales yse suman las otencias de 10, con lo cual se obtiene el resultado que en algunoscasos se debe volver a exresar en notación científica, de igual manera serocede en la división la única diferencia radica en que se deben restar lasotencia de 10 del numerador menos la otencia de 10 del denominador. Ejm.: a. , 13232 10905794,610)346,4589,1()10346,4()10589 =××=××× b. 22424 1043,310 46,244,81046,2 1044,8 ×=×⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =×× − Ejercicios Prouestos 1. Sumar y Restar los siguientes números decimales: CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 31 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Oeraciones con Notación CientíficaAdición y Sustracción Para oder efectuar estas oeraciones con notación científica, rimeramentedebemos asegurarnos que todas las otencias de 10 sean semejantes, casocontrario hay que rocurar a que lo sean. Ejm.: a. , 666 10534,510254,110284 ×=×+× 1( −−− × b. 33323 108498,2102912,010141,310912,210141,3 ×=×−×=×−× Multilicación y División con Notación Científica Para realizar la multilicación simlemente se multilican los valores decimales yse suman las otencias de 10, con lo cual se obtiene el resultado que en algunoscasos se debe volver a exresar en notación científica, de igual manera serocede en la división la única diferencia radica en que se deben restar lasotencia de 10 del numerador menos la otencia de 10 del denominador..

(31) Ejm.: a. , 13232 10905794,610)346,4589,1()10346,4()10589 =××=××× b. 22424 1043,310 46,244,81046,2 1044,8 ×=×⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =×× − Ejercicios Prouestos 1. Sumar y Restar los siguientes números decimales: CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 31 UMSAFACULTAD DE MEDICINA a) 2, 624 104689,210464,31081 ×+×+× b) 363 10356,11024,010568,2 ×−×+× − c) 912, 246 109145,210145,6102 ×−×+× d) 47 1018,51023,1 ×+× 23 10945,210124,9 ×−× e) 12 105,121025,1 ×−× f)2. Multilicar y dividir los siguientes números decimales 1( 3510 )1056,3)(10256,2( 34 − ×× a)b) ,)10658,1)(10256.0)(10025 ××× − c) )1028,1)(1045,5(.

(32) 43 ×× − )1056,2)(1089,7( 46 ×× d) 210 1013,2 1065,3 ×× e) 45 10234,0 1036,1 ×× − f) 48 1045,8 1021,4 − ×× g) ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ×× 23 1056,4 )1034,2( h) × 7 1089,0 3. Si la gravedad de la tierra tiene una constante de 2 100981,0 × 2 sm a cuantoequivale esta cantidad en 2 min.lg u CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 32 UMSAFACULTAD DE MEDICINA a) 2, 624 104689,210464,31081 ×+×+× b) 363 10356,11024,010568,2 ×−×+× − c) 912, 246 109145,210145,6102 ×−×+×.

(33) d) 47 1018,51023,1 ×+× 23 10945,210124,9 ×−× e) 12 105,121025,1 ×−× f)2. Multilicar y dividir los siguientes números decimales 1( 3510 )1056,3)(10256,2( 34 − ×× a)b) ,)10658,1)(10256.0)(10025 ××× − c) )1028,1)(1045,5( 43 ×× − )1056,2)(1089,7( 46 ×× d) 210 1013,2 1065,3 ×× e) 45 10234,0 1036,1 ×× − f) 48 1045,8 1021,4 − ×× g) ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ×× 23 1056,4 )1034,2( h) × 7 1089,0 3. Si la gravedad de la tierra tiene una constante de 2 100981,0 × 2 sm a cuantoequivale esta cantidad en.

(34) 2 min.lg u CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 32 UMSAFACULTAD DE MEDICINA ALGEBRAExresión Algebraica Una exresión algebraica es aquella exresión que esta comuesta or números ytras del alfabeto los cuales están ligados or una o varias oeraciones de suma,resta, multilicación y división. Ejm.: le 332 3 −+ xy x a.b. 16168 2 +− x x 2 − x c. 236 2 x x − d. z x xy 2 34 − Término Algebraico Es una exresión en la que intervienen números y letras or medio de oeracionesalgebraicas tales como el roducto y cociente de números y letras, en un términoo intervienen las oeraciones de adición y sustracción.n Ejm.: cxbb z y xy 22 217;;45;3 − CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 33 UMSAFACULTAD DE MEDICINA ALGEBRAExresión Algebraica Una exresión algebraica es aquella exresión que esta comuesta or números ytras del alfabeto los cuales están ligados or una o varias oeraciones de suma,resta, multilicación y división. Ejm.:.

(35) le 332 3 −+ xy x a.b. 16168 2 +− x x 2 − x c. 236 2 x x − d. z x xy 2 34 − Término Algebraico Es una exresión en la que intervienen números y letras or medio de oeracionesalgebraicas tales como el roducto y cociente de números y letras, en un términoo intervienen las oeraciones de adición y sustracción.n Ejm.: cxbb z y xy 22 217;;45;3 − CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 33 UMSAFACULTAD DE MEDICINA E 2 xy CoeficienteNuméricoCoeficienteLiteralSignoExonente 21 lementos de un Términoérminos Semejantes e dice que dos términos son semejantes cuando la única diferencia que existeentre ambos es la de su coeficiino. Por ejemlo: 24 es 4+2+1=7 rado de un Polinomio Es el corresondiente al término de mayor grado. Por ejemlo:Los grados de los términos del olinomio T Sente numérico. Grado de un Monomio Es la suma de todos los exonentes de la arte literal de un térm El.

(36) grado de x 8 z y G xy yz x z y x −+ 2234 38 son 8, 5 y 2 or consiguiente el grado del olinomio es 8. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 34 UMSAFACULTAD DE MEDICINA E 2 xy CoeficienteNuméricoCoeficienteLiteralSignoExonente 21 lementos de un Términoérminos Semejantes e dice que dos términos son semejantes cuando la única diferencia que existeentre ambos es la de su coeficiino. Por ejemlo: 24 es 4+2+1=7 rado de un Polinomio Es el corresondiente al término de mayor grado. Por ejemlo:Los grados de los términos del olinomio T Sente numérico. Grado de un Monomio Es la suma de todos los exonentes de la arte literal de un térm El grado de x 8 z y G xy yz x z y x −+ 2234 38 son 8, 5 y 2 or consiguiente el grado del olinomio es 8. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 34 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Oeraciones AlgebraicasSuma Algebraica Si dos o más exresiones algebraicas están vinculadas or los signos (+) ó ( ), laexresión resultante se denomina Suma Algebraica. Por ejemlo: • ( bc − cab.

(37) 32 ) +( 68 abb + ) 32 ) ( 68 • ( bc − cab abb + )Multilicación Algebraica El roducto de la multilicación algebraica se la obtiene multilicando cada términodel multilicando or cada término del multilicador (Proiedad distributiva conresecto de la multilicación). Se debe recordar también que es imortante alicar la ley de los signos, la ley de los exonentes y roiedades asociadas con lamultilicación. Ejm.: • 463124324 27))()(93()9)(3( babababa =×= ++ • 2311212 26))((2))()(32()3(2 xy y x y x y x y x xy −=−×=− ++ Ejercicios Prouestos 1. Sumar las siguientes exresiones Algebraicasa) 2ab + 4bc + 2abc; 21bc 2ab 3abc; 12abc 3bc 2abb) 3x 2 y 3 + 4x 2 y + x 3 y 2 ; 2x 3 y 2 + 2x.

(38) 2 y 2 y 3. 3x. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 35 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Oeraciones AlgebraicasSuma Algebraica Si dos o más exresiones algebraicas están vinculadas or los signos (+) ó ( ), laexresión resultante se denomina Suma Algebraica. Por ejemlo: • ( bc − cab 32 ) +( 68 abb + ) 32 ) ( 68 • ( bc − cab abb + )Multilicación Algebraica El roducto de la multilicación algebraica se la obtiene multilicando cada términodel multilicando or cada término del multilicador (Proiedad distributiva conresecto de la multilicación). Se debe recordar también que es imortante alicar la ley de los signos, la ley de los exonentes y roiedades asociadas con lamultilicación. Ejm.: • 463124324 27))()(93()9)(3( babababa =×= ++ • 2311212 26))((2))()(32()3(2 xy y x y x y x y x xy.

(39) −=−×=− ++ Ejercicios Prouestos 1. Sumar las siguientes exresiones Algebraicasa) 2ab + 4bc + 2abc; 21bc 2ab 3abc; 12abc 3bc 2abb) 3x 2 y 3 + 4x 2 y + x 3 y 2 ; 2x 3 y 2 + 2x 2 y 3x 2 y 3 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 35 UMSAFACULTAD DE MEDICINA c) 12zy 3x 2 y + 3; 2x 2 y + 3zy + 4xd) 2x 3 + 2x 2 3x + 5; x 3 x 2 + 3x + 8e) 7ab + 8a 2 b 3 + 3; 8ab 7a 2 b 3 + b; 9ab + 7a 2 b 3 4f) m 3 n 3.

(40) + 6m 2 n; 4m 2 n + 5mn 2 + n 3 ; m 3 n 3 + 6mn 3 ; 2m 3 2m 2 n + n 3 g) a 5 + a 6 + a 2 ; a 4 + a 3 + 6; 3a 2 + 5a 8; a 5 4a 2 – 5a + 6h) – 5a 2b 3c; 7a 3b + 5c; 8a + 5b las siguientes exresiones Algebraicasa) 2a 3 b(4a 2 b – 2ab 2 )b) (a – b)(a + b)c) (2a – 3) 2 d) (3a 2 + 3a – 3)(a + 1)e) (3xy + 4xz – 2)(2x 2 – 3x + 1) f) (3m + n)(4m – 2n) g) 21xy(2x 2 + 3xy – 2y 2 )(xy 2 + 3xy). 3c2. Multilicar.

(41) h) (2x + y)(2x – 3)(3x + y 2 ) 2 i) (2x 3 ) 3 j) (a b)(a 2 + ab + b 2 )k) (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) l) (3x + l)(3x. l). m) (a + 2ba) 2 n) (2a + a 2 ) 3 o) (2a b) 3 PRODUCTOS NOTABLES Los roductos notables son conocidos así debido a que son casos demultilicación que se resentan con mucha frecuencia en la resolución deroblemas de multilicación y factorización algebraicas. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 36 UMSAFACULTAD DE MEDICINA c) 12zy 3x 2 y + 3; 2x 2 y + 3zy + 4xd) 2x 3 + 2x 2 3x + 5; x 3 x 2 + 3x + 8e) 7ab + 8a 2 b 3 + 3; 8ab 7a 2 b 3.

(42) + b; 9ab + 7a 2 b 3 4f) m 3 n 3 + 6m 2 n; 4m 2 n + 5mn 2 + n 3 ; m 3 n 3 + 6mn 3 ; 2m 3 2m 2 n + n 3 g) a 5 + a 6 + a 2 ; a 4 + a 3 + 6; 3a 2 + 5a 8; a 5 4a 2 – 5a + 6h) – 5a 2b 3c; 7a 3b + 5c; 8a + 5b las siguientes exresiones Algebraicasa) 2a 3 b(4a 2 b – 2ab 2 )b) (a – b)(a + b)c) (2a – 3) 2 d) (3a 2 + 3a – 3)(a + 1)e) (3xy + 4xz – 2)(2x 2 – 3x + 1) f) (3m + n)(4m – 2n). 3c2. Multilicar.

(43) g) 21xy(2x 2 + 3xy – 2y 2 )(xy 2 + 3xy) h) (2x + y)(2x – 3)(3x + y 2 ) 2 i) (2x 3 ) 3 j) (a b)(a 2 + ab + b 2 )k) (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) l) (3x + l)(3x. l). m) (a + 2ba) 2 n) (2a + a 2 ) 3 o) (2a b) 3 PRODUCTOS NOTABLES Los roductos notables son conocidos así debido a que son casos demultilicación que se resentan con mucha frecuencia en la resolución deroblemas de multilicación y factorización algebraicas. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 36 UMSAFACULTAD DE MEDICINA • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 • (a – b) 2 = a 2.

(44) – 2ab + b 2 • (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 • (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3 • (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3 • (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab • (ax + b)(cx + d) = acx 2 + (ad + bc)x + bd • (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 • (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3.

(45) Ejercicios Prouestos a) (a b)(a 2 + ab + b 2 )b) (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) c) (3x + l)(3x. l). d) (a + 2ba) 2 e) 9 – a 2 f) 27x 3 + y 3 g) (3x + 4) 3 h) (2a – 2b) 2 i) (6 + b)(36 – 6b + b 2 ) j) (5a – 3b)(5a + 3b)k) (4xy + 7y) 2 l) x 2 + 4x + 4m) a 2 – 8a +16 FACTORIZACION La factorización de exresiones algebraicas es el roceso or el cual se exresadicha exresión en el roducto de sus factores rimos. Para la resolución de CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 37 UMSAFACULTAD DE MEDICINA • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 • (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2.

(46) • (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 • (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3 • (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3 • (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab • (ax + b)(cx + d) = acx 2 + (ad + bc)x + bd • (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 • (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 Ejercicios Prouestos a) (a b)(a.

(47) 2 + ab + b 2 )b) (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) c) (3x + l)(3x. l). d) (a + 2ba) 2 e) 9 – a 2 f) 27x 3 + y 3 g) (3x + 4) 3 h) (2a – 2b) 2 i) (6 + b)(36 – 6b + b 2 ) j) (5a – 3b)(5a + 3b)k) (4xy + 7y) 2 l) x 2 + 4x + 4m) a 2 – 8a +16 FACTORIZACION La factorización de exresiones algebraicas es el roceso or el cual se exresadicha exresión en el roducto de sus factores rimos. Para la resolución de CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 37 UMSAFACULTAD DE MEDICINA. roblemas de factorización existen muchos casos, or lo cual ara una mejor comrensión y alicación resumiremos algunos de estos casos. Factor Común Monomio: ax + ay = a(x + y) Factor Común Polinomio: 3(x – 2y) + a(x – 2y) – 2b(x – 2y) = (x – 2y)(3 + a – 2b) Factor Común or Agruación: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y) Diferencia de Cuadrados: a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) Suma de Cubos: a 3 + b.

(48) 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) Diferencia de Cubos: a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab +b 2 ) Trinomio Cuadrado Perfecto: a 2. 2ab + b 2 Trinomio de la forma: x 2 + x + q Trinomio de la forma: ax 2 + bx + c CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 38 UMSAFACULTAD DE MEDICINA. roblemas de factorización existen muchos casos, or lo cual ara una mejor comrensión y alicación resumiremos algunos de estos casos. Factor Común Monomio: ax + ay = a(x + y) Factor Común Polinomio: 3(x – 2y) + a(x – 2y) – 2b(x – 2y) = (x – 2y)(3 + a – 2b) Factor Común or Agruación: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y) Diferencia de Cuadrados: a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) Suma de Cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2.

(49) ) Diferencia de Cubos: a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab +b 2 ) Trinomio Cuadrado Perfecto: a 2. 2ab + b 2 Trinomio de la forma: x 2 + x + q Trinomio de la forma: ax 2 + bx + c CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 38 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejercicios Prouestos Factorizar las siguientes exresiones algebraicas:a) 125a 3 + b 3 b) x 3 – 27y 3 c) 100x 2 – 4d) 1 – x 3 e) 8x 2 – 14x – 15f) X 3 y 6 + 216y 9 g) 12a 2 b – 4ab 2 + 8abh) 2a 2 + 3a – 2i) 4m 6.

(50) n 6 + 32m 4 n 4 + 64m 2 n 2 j) – 4x 2 + 12xy – 9y 2 k) (m 2 – n 2 ) 2 + 8(m 2 – n 2 ) +16l) 3x 2 + 2x – 5m) 10x 2 + 11x – 6n) 3a 2 + 2a – 5o) 9k 2 – 8k – 20) 64(m + n) 3 – 125q) 8x 3 + 27y 3 r) 4x 4 – 9x 2 + 2s) 64x 12 y 3 – 68x 8 y 7 + 4x 4 y 11 Mínimo Común Múltilo (mcm) El mcm de dos o más olinomios es el olinomio de menor grado y menor coeficiente que es el múltilo común de cada uno de ellos.Para hallar el mcm de dos o más olinomios se sigue el siguiente rocedimiento: CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005.

(51) 39 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejercicios Prouestos Factorizar las siguientes exresiones algebraicas:a) 125a 3 + b 3 b) x 3 – 27y 3 c) 100x 2 – 4d) 1 – x 3 e) 8x 2 – 14x – 15f) X 3 y 6 + 216y 9 g) 12a 2 b – 4ab 2 + 8abh) 2a 2 + 3a – 2i) 4m 6 n 6 + 32m 4 n 4 + 64m 2 n 2 j) – 4x 2 + 12xy – 9y 2 k) (m 2 – n 2 ) 2 + 8(m 2 – n 2 ) +16l) 3x 2 + 2x – 5m) 10x.

(52) 2 + 2 + 2 – 3 – 3 + 3. 11x – 6n) 3a 2a – 5o) 9k 8k – 20) 64(m + n) 125q) 8x 27y. r) 4x 4 – 9x 2 + 2s) 64x 12 y 3 – 68x 8 y 7 + 4x 4 y 11 Mínimo Común Múltilo (mcm) El mcm de dos o más olinomios es el olinomio de menor grado y menor coeficiente que es el múltilo común de cada uno de ellos.Para hallar el mcm de dos o más olinomios se sigue el siguiente rocedimiento: CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 39 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Paso 1: Se determina si se uede factorizar las exresiones. Paso 2: Se descomone cada olinomio en el roducto de sus factores rimos. Paso 3: El mcm es igual al roducto de todos los factores comunes y no comunes,ara lo cual se toma a los factores con mayor exonente. Ejm.: Hallar el mcm de los siguientes olinomios: ,33 + x 66 − x Factorizamos cada olinomio: ),1(3 + x ()16.

(53) − x Una vez factorizados los olinomios rocedemos a sacar los factores rimos delos coeficientes numéricos 3 y 6. 3 316 23 31 Tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exonente con loscuales obtenemos su roducto. De los coeficientes numéricos seria 2 x 3 = 6 y dela arte literal sería (x + 1)(x – 1), con lo cual concluimos que el mcm es igual a:mcm = 6(x + 1)(x – 1) Máximo Común Divisor El MCD de dos o más olinomios es el olinomio de mayor grado y mayor coeficiente que sea divisor de los olinomios dados. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 40 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Paso 1: Se determina si se uede factorizar las exresiones. Paso 2: Se descomone cada olinomio en el roducto de sus factores rimos. Paso 3: El mcm es igual al roducto de todos los factores comunes y no comunes,ara lo cual se toma a los factores con mayor exonente. Ejm.: Hallar el mcm de los siguientes olinomios: ,33 + x 66 − x Factorizamos cada olinomio: ),1(3 + x ()16 − x Una vez factorizados los olinomios rocedemos a sacar los factores rimos delos coeficientes numéricos 3 y 6. 3 316 23 31 Tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exonente con loscuales obtenemos su roducto. De los coeficientes numéricos seria 2 x 3 = 6 y dela arte literal sería (x + 1)(x – 1), con lo cual concluimos que el mcm es igual a:mcm = 6(x + 1)(x – 1) Máximo Común Divisor El MCD de dos o más olinomios es el olinomio de mayor grado y mayor coeficiente que sea divisor de los olinomios dados. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 40 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Para hallar el MCD se debe roceder a: Paso 1: Se factoriza si se uede las exresiones que se estudia..

(54) Paso 2: Se descomone cada olinomio en el roducto de sus factores rimos. Paso 3: El MCD es igual al roducto de todos los factores comunes, tomandocada factor con el menor exonente.Ejm.: Hallar el MCD de los siguientes olinomios: ,48 43 t r ,54 62 t r 24 60 t r Primero determinamos si se uede factorizar o no los olinomios. Posteriormentese obtiene el roducto de los factores rimos. 48 224 212 26 23 3154 227 39 33 3160 230 215 35 51 Para hallar el MCD solo tomamos el roducto de los factores comunes con sumenor exonente, así:MCD = 2 x 3 r 2 t 2 = 6r 2 t 2 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 41 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Para hallar el MCD se debe roceder a: Paso 1: Se factoriza si se uede las exresiones que se estudia. Paso 2: Se descomone cada olinomio en el roducto de sus factores rimos. Paso 3: El MCD es igual al roducto de todos los factores comunes, tomandocada factor con el menor exonente.Ejm.: Hallar el MCD de los siguientes olinomios: ,48 43 t r ,54 62 t r 24 60 t r Primero determinamos si se uede factorizar o no los olinomios. Posteriormentese obtiene el roducto de los factores rimos. 48 224 212 26 23 3154 227 39 33 3160 230 215 35 51 Para hallar el MCD solo tomamos el roducto de los factores comunes con sumenor exonente, así:MCD = 2 x 3 r 2 t.

(55) 2 = 6r 2 t 2 CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 41 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejercicios ProuestosHallar el mcm y MCD de los siguientes olinomios y factorizar su resultado.a) x 3 + 4x 2 y, x 3 y – 4c 2 xy, x 2 y 2 + 4cxy 2 + 4c 2 y 2 b) (x – 1) 2 , x 2 – 1c) x 3 – y 3 , (x – y) 3 d) 75(x + 3y) 2 (2x – y ) 4 , 54(x + 3y) 3 (2x – y) 5 e) a 3 + 2a 2 b, a 2 – 4b 2 f) 16y 2 z.

(56) 4 , 24y 3 z 2 g) 9a 2 bx, 12ab 2 x 2 , 18a 3 b 3 xh) y 4 – 16, y 2 – 4, y 2 – 3y + 2 EXPONENTES Y RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAICASLey de los Exonentes En esta sección se hace un resumen de las roiedades de la ley de losexonentes que son válidos ara cualquier número ∈ n , con a y b dosexresiones algebraicas.1. nmnm aaa + = 2. mnnm aa = )( 3. nnn baab = )( ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ nnn ba 4. ba , 0 ≠ b 0,, ≠>= − anma aa nmnm 5. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 42.

(57) UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejercicios ProuestosHallar el mcm y MCD de los siguientes olinomios y factorizar su resultado.a) x 3 + 4x 2 y, x 3 y – 4c 2 xy, x 2 y 2 + 4cxy 2 + 4c 2 y 2 b) (x – 1) 2 , x 2 – 1c) x 3 – y 3 , (x – y) 3 d) 75(x + 3y) 2 (2x – y ) 4 , 54(x + 3y) 3 (2x – y) 5 e) a 3 + 2a 2 b, a 2 – 4b 2 f) 16y 2 z 4 , 24y 3 z 2 g) 9a 2 bx, 12ab.

(58) 2 x 2 , 18a 3 b 3 xh) y 4 – 16, y 2 – 4, y 2 – 3y + 2 EXPONENTES Y RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAICASLey de los Exonentes En esta sección se hace un resumen de las roiedades de la ley de losexonentes que son válidos ara cualquier número ∈ n , con a y b dosexresiones algebraicas.1. nmnm aaa + = 2. mnnm aa = )( 3. nnn baab = )( ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ nnn ba 4. ba , 0 ≠ b 0,, ≠>= − anma aa nmnm 5. CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 42 UMSAFACULTAD DE MEDICINA 6. n baba =⇔=.

(59) nnmn aa = 7. m 8.9. 1 0 = a 0,1 − n ≠= aaa n de los RadicalesLey La ley de los radicales se basan en las leyes de los exonentes, ues: nmnm aa = En base a esta definición tenemos las siguientes leyes: nnn abba 1. = 2. 0, ≠= bbb n aa nn 3. mnmn aa = ( ) nmmn aa = 4. nnn baba = 5.También mencionar que el siguiente enunciado no es válido: nnn baba +≠+ CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 43 UMSAFACULTAD DE MEDICINA 6. n.

(60) baba =⇔= nnmn aa = 7. m 8.9. 1 0 = a 0,1 − n ≠= aaa n de los RadicalesLey La ley de los radicales se basan en las leyes de los exonentes, ues: nmnm aa = En base a esta definición tenemos las siguientes leyes: nnn abba 1. = 2. 0, ≠= bbb n aa nn 3. mnmn aa = ( ) nmmn aa = 4. nnn baba = 5.También mencionar que el siguiente enunciado no es válido: nnn baba +≠+ CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 43.

(61) UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejercicios Prouestos Simlificar las siguientes fracciones: 1122 −−−− −− y x y x a) 11111 −−−−− ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ y b) x y x 414122 y x − c) 11 y x + Calcular la suma de las siguientes raíces: 333 321250432 +− a) ababba 432 +− b)Racionalizar y x z + a) 543 b) 4 91 x c) CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 44 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejercicios Prouestos Simlificar las siguientes fracciones: 1122 −−−− −− y x y x a) 11111 −−−−− ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ y b) x y x.

(62) 414122 y x − c) 11 y x + Calcular la suma de las siguientes raíces: 333 321250432 +− a) ababba 432 +− b)Racionalizar y x z + a) 543 b) 4 91 x c) CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 44 UMSAFACULTAD DE MEDICINA d) 43 255 x y e) 111 22 −−−+ x x x x Fracciones Algebraicas Para resolver una fracción algebraica se debe realizar el mismo rocedimiento quese utilizaba en Aritmética es decir simlificar todo lo que sea ermitido delumerador como también el denominador a través hallar un común denominador,de suma, resta,ación y división necesarias,fracción equivalente exresada en términossencillos. Para simlificar una fracción algebraica se deben eliminar los factorescomunes numéricos y literales tanto del numerador, como del denominador, lo quenos ermitirá obtener una fracción irreducible. Ejm.: Simlificar la siguiente fracción algebraica:nfactorizando los miembros y or último alicando las oeracionesmultilicSimlificar una fracción es hallar otra aaabaaabaaabaaaba 2882)1(8 )1(4 2)1(4 126 233233 332 +−=−−=−−=−− CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005.

(63) 45 UMSAFACULTAD DE MEDICINA d) 43 255 x y e) 111 22 −−−+ x x x x Fracciones Algebraicas Para resolver una fracción algebraica se debe realizar el mismo rocedimiento quese utilizaba en Aritmética es decir simlificar todo lo que sea ermitido delumerador como también el denominador a través hallar un común denominador,de suma, resta,ación y división necesarias,fracción equivalente exresada en términossencillos. Para simlificar una fracción algebraica se deben eliminar los factorescomunes numéricos y literales tanto del numerador, como del denominador, lo quenos ermitirá obtener una fracción irreducible. Ejm.: Simlificar la siguiente fracción algebraica:nfactorizando los miembros y or último alicando las oeracionesmultilicSimlificar una fracción es hallar otra aaabaaabaaabaaaba 2882)1(8 )1(4 2)1(4 126 233233 332 +−=−−=−−=−− CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 45 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejercicios Prouestos Simlificar las siguientes fracciones algebraicas:a) y y x x 24214255 −−+ 443887222 2 −−−−−+− aaaaaa b) x x x 111111 +−+− c) x x x x 21212422 −−+−+ d) )1)(1( 91)1(213 322 −−−+−++++.

(64) x x x x x x x e) 812612222 32 −+−++++ x x x x x f)g) xaaxa x 11 2 ++− CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 46 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Ejercicios Prouestos Simlificar las siguientes fracciones algebraicas:a) y y x x 24214255 −−+ 443887222 2 −−−−−+− aaaaaa b) x x x 111111 +−+− c) x x x x 21212422 −−+−+ d) )1)(1( 91)1(213 322 −−−+−++++ x x x x x x x e) 812612222 32 −+−++++ x x x x x f)g) xaaxa x 11 2 ++− CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 46 UMSAFACULTAD DE MEDICINA ECUACIONES E INECUACIONESEcuación Se llama ecuación a la igualdad que existe entre dos exresiones algebraicas.Para resolver una ecuación el rincial objetivo es.

(65) encontrar el valor de laincógnita que en las exresiones algebraicas vienen reresentadas or las últimasletras del alfabeto. Toda ecuación algebraica consta de dos miembros. Exresión Algebraica Exresión Algebraica = Primer Miembro Se undo Miembro Donde el rimer y segundo miembro son llamados miembro de la izquierda ymiembro de la derecha resectivamente.Toda ecuación es clasificada or el número de incógnitas y or su grado, siendoeste el exonente mayor que se encuentra en la incógnita. Ejm.: Los siguientes son ejemlos de ecuaciones: • Ecuación de rimer grado con una incógnita 3432 −=+ x x =++ • Ecuación de Primer grado con dos incógnitas ⎩⎨⎧=+=− 334043 y x y x • Ecuación de segundo grado con una incógnita 044 2 x x CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 47 UMSAFACULTAD DE MEDICINA ECUACIONES E INECUACIONESEcuación Se llama ecuación a la igualdad que existe entre dos expresiones algebraicas.Para resolver una ecuación el principal objetivo es encontrar el valor de laincógnita que en las expresiones algebraicas vienen representadas por las últimasletras del alfabeto. Toda ecuación algebraica consta de dos miembros. Expresión Algebraica Expresión Algebraica = Primer Miembro Se undo Miembro Donde el primer y segundo miembro son llamados miembro de la izquierda ymiembro de la derecha respectivamente.Toda ecuación es clasificada por el número de incógnitas y por su grado, siendoeste el exponente mayor que se encuentra en la incógnita. Ejm.: Los siguientes son ejemplos de ecuaciones: • Ecuación de primer grado con una incógnita 3432 −=+ x x =++ • Ecuación de Primer grado con dos incógnitas.

(66) ⎩⎨⎧=+=− 334043 y x y x • Ecuación de segundo grado con una incógnita 044 2 x x CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 47 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad que comparte las propiedades de unaecuación común y es representada de la siguiente manera: 515 <+<− x 64 < x Ejm.: A continuación se muestra algunos ejemplos de resolución de ecuacionescomo también de inecuaciones.Ecuación: 4224)1 //(24 3184 1834 ==−−=− −=−+=+ x x x x x x x Inecuación: 12222)1 //(22 −≤−≤−≤−≥− x x x x 1343412 −≥−+≥+ x x x otaran la variación del sentido en el signo de desigualdadna vez multiplicada la inecuación por ( 1 ), esto ocurre por que se debe preservar x 2 En el segundo ejemplo nu CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 48 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad que comparte las propiedades de unaecuación común y es representada de la siguiente manera: 515 <+<− x.

(67) 64 < x Ejm.: A continuación se muestra algunos ejemplos de resolución de ecuacionescomo también de inecuaciones.Ecuación: 4224)1 //(24 3184 1834 ==−−=− −=−+=+ x x x x x x x Inecuación: 12222)1 //(22 −≤−≤−≤−≥− x x x x 1343412 −≥−+≥+ x x x otaran la variación del sentido en el signo de desigualdadna vez multiplicada la inecuación por ( 1 ), esto ocurre por que se debe preservar x 2 En el segundo ejemplo nu CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 48 UMSAFACULTAD DE MEDICINA la correspondencia entre los valores negativos y positivos, esta es una de lasdifeclgebraica común y corriente. Ejercicios Propuestos renias que existe con respecto a una ecuación aa) 9832 −=+ x x Resp. x = 2 23542112 2 +−−=−+− x x x x x Resp. X = 0b) 21 =+ x 3 Resp. x =c)d) x x x − 2.

(68) R +−=+ 141025 2 esp. x = 3e) 1114411 22 +−+−=+−+ x x x x x x Resp. x = 1f) 3 =−−+−−+−− bac xacb xcba x Resp. x=a+b+c )52(2)26(23 −=−−− x x x g) Resp. x = 5h) 154132 −−=−− x x x x i) 242 <+<− x j) 634 <≤− 2 + x k) 432 + x 5 ≥− l) 8432 −≥+ x x 3)4(3133 22 m) +−<++ x x x x Resolv er los siguientes problemas CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 49.

(69) UMSAFACULTAD DE MEDICINA la correspondencia entre los valores negativos y positivos, esta es una de lasdifeclgebraica común y corriente. Ejercicios Propuestos renias que existe con respecto a una ecuación aa) 9832 −=+ x x Resp. x = 2 23542112 2 +−−=−+− x x x x x Resp. X = 0b) 21 =+ x 3 Resp. x =c)d) x x x − 2 R +−=+ 141025 2 esp. x = 3e) 1114411 22 +−+−=+−+ x x x x x x Resp. x = 1f) 3 =−−+−−+−− bac xacb xcba x Resp. x=a+b+c )52(2)26(23 −=−−− x x x g) Resp. x = 5h) 154132 −−=−− x x x x.

(70) i) 242 <+<− x j) 634 <≤− 2 + x k) 432 + x 5 ≥− l) 8432 −≥+ x x 3)4(3133 22 m) +−<++ x x x x Resolv er los siguientes problemas CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 49 UMSAFACULTAD DE MEDICINA a) Un hombre recibió por concepto de intereses del 5% por sueldos atrasados,actualmente gana 2.500 Bs. ¿Cuánto era su salario originalmente?b) El área de una circunferencia es de 25 cm2, si el diámetro de lac)cm. menos que su ancho. Hallar sus dimensiones.al doble del de B yla suma de los de los ángulos A, B y C es 180. ¿Cuánto miden cada unoe) Un estudiante del curso Preuniversitario de Medicina obtuvo las siguientescalificaciones en la asignatura de matemáticas: 72, 86 y 59 en tresexámenes. ¿Cuánto debe obtener en el último examen para que supromedio sea de 80? Sistemas de dos Ecuaciones Lineales con dos incógnitas incógnitas es aquella que estaefinida de la siguiente manera: =+ 111 c yb xa Doecircunferencia es el doble de su radio. ¿Cuánto mide su radio?El perímetro de una superficie rectangular es de 420 cm., la longitud de dosde sus lados es de 30d) Un triangulo rectángulo tiene su ángulo A que equivalede sus ángulos?Un sistema de dos ecuaciones lineales con dosd ⎧=+ c yb xa ⎩⎨ 222 nd: ∈ 212121.

(71) ,,,,, ccbbaa y 0,0,0,0 2121 ≠≠≠≠ bbaa Para poder satisfacer este tipo de sistemas de ecuaciones se debe obtener un par e valores x y que llamaremos soluciones. y d CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 50 UMSAFACULTAD DE MEDICINA a) Un hombre recibió por concepto de intereses del 5% por sueldos atrasados,actualmente gana 2.500 Bs. ¿Cuánto era su salario originalmente?b) El área de una circunferencia es de 25 cm2, si el diámetro de lac)cm. menos que su ancho. Hallar sus dimensiones.al doble del de B yla suma de los de los ángulos A, B y C es 180. ¿Cuánto miden cada unoe) Un estudiante del curso Preuniversitario de Medicina obtuvo las siguientescalificaciones en la asignatura de matemáticas: 72, 86 y 59 en tresexámenes. ¿Cuánto debe obtener en el último examen para que supromedio sea de 80? Sistemas de dos Ecuaciones Lineales con dos incógnitas incógnitas es aquella que estaefinida de la siguiente manera: =+ 111 c yb xa Doecircunferencia es el doble de su radio. ¿Cuánto mide su radio?El perímetro de una superficie rectangular es de 420 cm., la longitud de dosde sus lados es de 30d) Un triangulo rectángulo tiene su ángulo A que equivalede sus ángulos?Un sistema de dos ecuaciones lineales con dosd ⎧=+ c yb xa ⎩⎨ 222 nd: ∈ 212121 ,,,,, ccbbaa y 0,0,0,0 2121 ≠≠≠≠ bbaa Para poder satisfacer este tipo de sistemas de ecuaciones se debe obtener un par e valores x y que llamaremos soluciones. y d CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 50.

(72) UMSAFACULTAD DE MEDICINA Para poder resolver este tipo de ecuaciones, existen métodos de resolución, los • Método de Sustitución • Método de Igualación • Método de Reducción • Método de Determinantes Ejercicios Propuestos Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:cuales los mencionamos a continuación:1. ⎩⎨⎧−=−=+ 284032 y x y x ⎩⎨⎧=+−=− 112143 y x y x ⎩⎨⎧=+−=− 23235 y x y x ⎩⎨⎧−=+=+−+ 22)2(3)(4 y x x y x CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 51 UMSAFACULTAD DE MEDICINA Para poder resolver este tipo de ecuaciones, existen métodos de resolución, los • Método de Sustitución • Método de Igualación • Método de Reducción • Método de Determinantes Ejercicios Propuestos Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:cuales los mencionamos a continuación:1. ⎩⎨⎧−=−=+ 284032 y x y x ⎩⎨⎧=+−=− 112143 y x y x ⎩⎨⎧=+−=− 23235.

(73) y x y x ⎩⎨⎧−=+=+−+ 22)2(3)(4 y x x y x CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 51 UMSAFACULTAD DE MEDICINA 2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método dedeterminantes: ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+ 5282532 y x y x x y y x 2 3.l mismo tiempo con la totalidadde su capacidad albergarían a un total de 230 alumnos, pero si una de ellas ⎩⎨⎧=+=−+ 1023048 ⎩⎨⎧=−=+ 54262 y x y x ⎩⎨⎧=−=− 10452 y x y x Una institución educativa cuenta con dos ambientes para impartir sus clasescorrespondientes. Si las dos aulas funcionaran atrabaja en 43 de su capacidad y la otra en su totalidad albergarían a un total de210 alumnos. Hallar la capacidad de cada aula.4.5. ionando en toda su capacidad al mismotiempo llenan un total de 20 Lts. en una hora. Si en el mismo tiempo uno deellos funciona en unHay dos números cuya suma es de 8 y restando el primero por el doble delsegundo nos da un valor de – 4. ¿De que números estamos hablando?Los dos grifos de un departamento func 31 menos que el otro llena un total de 9 Lts. ¿Cuál es la?capacidad de cada grifo en una hora CURSO PREFACULTATIVOGESTIÓN 2005 52 UMSAFACULTAD DE MEDICINA 2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método dedeterminantes: ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+ 5282532 y x y x x y y x 2 3.l mismo tiempo con la totalidadde su capacidad albergarían a un total.