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El campo eléctrico
El 25 de agosto de 1989, doce años después de su lanzamiento, la nave espacial Voyager 2 pasó cerca del planeta Neptuno, a una distancia de 4.4 ×109 km. de la Tierra. Entre otros descubriminetos, el Voyager reportó la observación de seis lunas previamente desconocidas de Neptuno y un sistema de anillos.
La clave para entender este tipo de comunicación está en el campo electromagné-tico. Los electrones que se mueven en los circuitos eléctricos del Voyager establecen un campo eléctrico y las variaciones de su movimiento causan perturbaciones en el campo para viajar a la velocidad de la luz. Más de 4 horas más tarde, los electro-nes en los cricuitos de la Tierra detectan estos cambios en el campo y se mueven en concordancia con estas.
28.1.
Los campos
En la matemática se estudia a los campos escalares y a los campos vectoriales. Las distribuciones de temperatura o presión en un recinto son ejemplos de campos esca-lares que asocian un valor numérico a cada punto en el espacio, en tanto que una
distribución de velocidades en un fluído y la aceleración gravitacional son ejemplos campos vectoriales que asocian un vector a cada punto en el espacio.
Cuando se estudió al campo gravitacional g, se definió como la fuerza gravitacio-nal F por unidad de masa de prueba m0, o
g = F
m0
. (28.1)
Este es un campo vectorial y es, generalmente, estático cuando la distribución de masas del cuerpo gravitacional permanece constante. Cerca de la superficie de la Tierra, y en puntos cercanos entre sí, el campo es uniforme, lo que significa que g tiene la misma magnitud y dirección en los puntos vecinos.
En el caso gravitacional se tiene que una masa interactúa directamente con otra masamasa
pero más propiamente la interacción se puede expresar como masacampomasa
28.2.
El campo eléctrico E
Haciendo una analogía con la fuerza gravitacional, la fuerza de Coulomb entre las cargas invita a representar la interacción entre cargas como
cargacarga. Y si de nuevo se tiene a un intermediario, entonces
cargacampocarga.
Esto es, la primera carga establece un campo eléctrico y la segunda interactúa con dicho campo. Así, el problema de determinar la interacción entre las cargas se reduce a: (1)determinar, mediante mediciones o cálculos, el campo eléctrico establecido por
la primera carga en cada punto del espacioy (2)calcular la fuerza que el cmapo
ejerce sobre la segnuda carga puesta en un punto particular del espacio.
Así, por analogía con el caso gravitacional, y usando una carga de prueba positiva q0 en un punto partivcular, se tiene
E = F
q0
La dirección de E es la misma que la de F ya que q0> 0. En el SI la unidad de
medida es (N/C).
Figura 28.1
La figura 28.1 ilustra el campo eléctrico que actúa como intermediario en la interacción entre dos cargas. En la figura 1a, la carga q1establece un campo eléctrico
en el espacio que la rodea. El campo actúa sobre la carga q2, que resulta en la fuerza
Estrictamente lo correcto es considerar E = l´ım q0→0 F q0 . (28.3)
Ejercicio 1. Se coloca a un protón dentro de un campo eléctrico uniforme E. ¿Cuál
debe ser la magnitud y dirección de la fuerza electrostática que actúe sobre el protón para balancear justo su peso?
Solución. De la ecuación (28.2), reemplazando q0por e y F por m g, se tiene
E = F q0= m g e = (1.67 × 10−27kg)(9.8 m/s2) 1.60 × 10−19C = 1.0 × 10 −7N/C
que apunta verticalmente hacia arriba.
28.3.
El campo eléctrico debido a cargas puntuales
Sea q0una carga de prueba positiva colocada a una distancia r de una carga puntual
Figura 28.2
F = 1 4π²0
qq0
r2 .
La magnitud del campo eléctricoen el sitio en el que se encuentra q0 es E = F q0 = 1 4π²0 q r2. (28.4)
La figura 28.2 muestra la magnitud y dirección de E en varios puntos alrededor de una carga puntual.
Cuando se tienen N cargas puntuales se aplica el principio de superposición para calcular el campo eléctrico en un punto dado (diferente de la localización de las cargas puntuales), de modo que E en el punto de interés es
E = E1+ E2+ E3+ . . . =
N
X
i=1
Ejercicio 2. En un átomo de helio ionizado (un átomo de helio en el que se ha
eliminado a uno de sus dos electrones), el electrón y el núcleo están separados por una distancia de 26.5 pm. ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la localización del electrón?
Solución. De la ecuación (28.4), con q0 (la carga total del núcleo) igual a +2e :
E = 1 4π²0 q r2 = ³ 8.99) × 109N · m 2 C2 ´ 2(1.60 × 10−9C) (26.5 × 10−12m)2 = 4.086 × 10 12N/C.
Ejercicio 3. La figura 28.3 muestra una carga q1=+1.5µC y una carga q2= +2.3
µC. La primera carga está en el origne del eje x y la segunda está en una posición x = L, donde L = 13 cm. ¿En cuál punto P, a lo largo del eje x el campo eléctrico es cero?
De la ecuación (28.4) se tiene que 1 4π²0 q1 x2 = 1 4π²0 q2 (L − x)2,
E2 P E1 x x L q1 q2 Figura 28.3
Solución. El punto debe estar entre las posiciones de las
cargas debido a que sólo en esta región las fuerzas ejercidas por q1 y q2 sobre una carga de prueba se oponen
mutua-mente. Si E1es el campo eléctrico debido a q1y E2el debido
a q2, las magnitudes de estos vectores deben ser iguales, o
E1= E2.
donde x es la coordenada del punto P. Resolviendo para x
x = L
1 +p q2/q1
= 13cm
El dipolo eléctrico z q q d r r x x P E E E q q q q Figura 28.4
La figura 28.4 muestra una carga positiva y una ne-gativa de la misma magnitud, q, y separadas una disdtancia d; a esta configuracion se le llama dipolo eléctrico. Se pretende calcular E en el punto P, a una distancia x a lo largo del bisector perpendicular de la línea que pasa a través a las cargas.
E = E++ E−. E+= E−= 1 4π²0 q r2 = 1 4π²0 q x2+ (d/2)2, (28.6)
es la magnitud del campo.
para q+, (0, −d/2) para q− y (x, 0) para el punto P. Así que E = q 4π²0 µ xˆi − (d/2)ˆj [x2+ (d/2)2]3/2− xˆi + (d/2)ˆj [x2+ (d/2)2]3/2 ¶ = 1 4π²0 −qd ˆj [x2+ (d/2)2]3/2.
Como puede verse, coincide con el resultado que se muestra en la figura 28.4. Así, se define a p como el momento dipolar eléctrico:
p = qd. (28.7)
El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas, que con frecuencia tienen una carga positiva y una carga negativa de la misma magnitud, separadas por una distancia definida.
En muchas ocasiones se observa al campo eléctrico de un dipolo desde puntos P desde una distancia x À d. Usando la expansión binomial
(1 + y)n= 1 + n y +n(n − 1) 2! y 2 + . . . , se puede aproximar E = 1 4π²0 p x3 1 [x2+ (d/2)2]3/2= 1 4π²0 p x3 · 1 + µd 2x ¶2¸−3/2 = 1 4π²0 p x3 · 1 + µ −3 2 ¶µ d 2x ¶2¸
E = 1 4π²0 p x3 · 1 + µ −3 2 ¶µ d 2x ¶2 + . . . ¸ por lo que E = 1 4π²0 p x3. (28.8)
La figura 28.5 muestra la magnitud del campo eléctrico como función de la dis-tancia. 1 0 10 E (x ) x10 -10 x x10 2 3 4 5 6 2 4 6 8 Figura 28.5
Tal como se esperaba, a medida que crece la distancia entre P y el dipolo ambas expresiones dan resultados cada vez más parecidos.
Tarea:Complete la Tabla 1 considerando el cálculo del campo eléctrico alrededor de una carga puntual q = 5µC, localizada en (5, 5)m. Los valores de Ex, Eyy E
proceden de un factor multiplicativo de 1/8000 para efectos del trazo de los vectores. Las direcciones están dadas en grados (°).
x y Ex Ey E Direccion [m] [m] [N/C] [N/C] [N/C] ° 5.5 5.9 2.1 3.6 4.1 60 5.3 6.3 0.7 2.5 2.6 75 5.0 6.6 0.0 1.8 1.8 90 4.5 6.8 ‐0.3 1.3 1.3 105 4.0 6.8 ‐0.5 0.9 1.0 120 3.3 6.7 ‐0.6 0.6 0.8 135 2.7 6.3 ‐0.6 0.3 0.7 150 2.2 5.7 ‐0.5 0.1 0.5 165 1.9 5.0 ‐0.5 0.0 0.5 180 1.7 4.1 ‐0.4 ‐0.1 0.4 195 1.8 3.2 ‐0.3 ‐0.2 0.3 210 2.2 2.2 ‐0.2 ‐0.2 0.3 225 2.9 1.4 ‐0.1 ‐0.2 0.3 240
Tabla 1. El vector campo eléctrico en las proximidades de una carga
28.4.
Las líneas de fuerza
Michael Faraday no apreció el concepto del vector campo eléctrico pues lo considera-ba en términos de líneas de fuerza.
1 Las líneas de fuerza indican la dirección del campo eléctrico en cualquier punto.
2 Las líneas de fuerza se originan en las cargas positivas y teminan en las negativas.
3 Las líneas de fuerza se trazan de manera que el número de líneas por uni-dad de sección transversal (perpendicular a las líneas) sea proporcional a la magnitud del campo eléctrico.
28.5.
El campo eléctrico debido a distribuciones
conti-nuas de carga
Aunque la carga eléctrica está cuantizada, una colección de un gran número de cargas elementales se puede ver como una distribución continua de carga.
El campo establecido por una distribución continua de cargas se puede calcular dividiendo a la distribución en elementos infinitesimales d q. Cada elemento de carga establece un campo dE en un punto P, y el campo resultante se en P se encuentra usando el principio de superposicion, de modo que
E = Z dE. (28.9) En coordenadas rectangulares Ex= Z dEx, Ey= Z dEy y Ez= Z dEz. Por lo que dE = 1 4π²0 d q r2, (28.10)
donde r es la distancia entre el elemento de carga d q y el punto P.
Una distribución continua de carga está descrita por su denisdad de carga. En una distribución lineal, con densidad lineal de cargaλse tiene
Si la distribución de cargas es uniforme entonces λ es constante y si L es la longitud del objeto
d q = q
Lds. (28.12)
Si la carga está distribuida sobre una superficie, con densidad superficial de cargaσse tiene
d q =σd A, (28.13)
Si la distribución de cargas es uniforme entoncesσes constante y si A es el área superficial del objeto
d q = q
Ad A. (28.14)
Cuando la carga está distribuida en tres dimensiones, con densidad volumétrica de cargaρse tiene
d q =ρdV , (28.15)
Si la distribución de cargas es uniforme entonces ρ es constante y si V es el volumen del objeto
d q = q
VdV . (28.16)
Un anillo de carga
La figura 28.6 muestra un anillo delgado de radio R que porta una densidad lineal de carga uniformeλalrededor de su circunferencia.
x y z z R ds P r q q dE q dE dE cos q Figura 28.6
a lo largo de su eje central?
Considere un elemento ds del anillo en alguna posición arbitraria del mismo. El elemento de carga es d q =λds, y establece un elemento diferencial de campo dE en el punto P. dE = 1 4π²0 λds x2+ y2+ z2 −xˆi − yˆj + z ˆk p x2+ y2+ z2 (28.17) es la contribución al campo.
Considerando un elemento ds del lado diametralmente opuesto (haciendo una rotación de180° alrededor del eje z), se localizará en (−x,−y, z), así el elemento dife-rencial del campo eléctrico es
dE = 1 4π²0 λds x2+ y2+ z2 xˆi + yˆj + z ˆk p x2+ y2+ z2
Por lo que sumando estas dos contribuciones se tiene
dE = 1 4π²0 λds x2+ y2+ z2 z ˆk p x2+ y2+ z2 (28.18)
Este resultado es el mismo para cada pareja de elementos ds que sean diame-tralmente opuestos, asqí que
E = µZ 1 4π²0 zλds (R2+ z2)3/2 ¶ ˆk (28.19) Entonces, E = zλ 4π²0 µZ ds (R2+ z2)3/2 ¶ ˆk =µ zλ(2πR) 4π²0(R2+ z2)3/2 ¶ ˆk. (28.20)
Pero q =λ(2πR), así que
E = qz
4π²0(R2+ z2)3/2
ˆk. (28.21)
La magnitud de E en la ecuación (28.21), ¿da la dirección correcta para el campo cuando z < 0?, y ¿cuando q < 0?
Para puntos z À R se tiene
E ≈ µ 1 4π²0 q z2 ¶ ˆk (z À R). (28.22)
¡A grandes distancias la distribución de cargas se parece a una carga puntual!
Un disco de carga
La figura 28.8 muestra un disco circular de plástico de radio R, que porta una densidad de carga superficial uniformeσen su superficie superior.
¿Cuál es del campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del disco a lo largo de su eje? z P dE x y z R w dw Figura 28.7
que su carga es
d q =σd A =σ(2πw)dw. (28.23)
Usando el resultado del ejercicio anterior se tiene
dE = µ zσ2πw dw 4π²0(z2+ w2)3/2 ¶ ˆk =µσz 4²0 (z2+ w2)−3/2(2w)dw ¶ ˆk. Así E = Z dE = σz 4²0 µZ R 0 (z2+ w2)−3/2(2w)dw ¶ ˆk. (28.24) Integrando se obtiene E = σ 2²0 µ 1 −p z z2+ R2 ¶ ˆk (disco cargado). (28.25)
Para R À z se tiene que la magnitud del campo es E = σ
2²0
La línea infinita de carga
La figura 28.8 muestra una sección de una línea infinita de carga conλconstante. ¿Cuál es el campo E a una distancia “ y” de la línea de carga?
y r r dq -z z dz P x y z q q q dE dEy dEz Figura 28.8
De acuerdo con la figura 28.8, la posición del punto P es (0, y, 0) y la posición de d q es (0, 0, z) así, la contribución de d q al campo total es
dE = 1 4π²0 λds y2+ z2 yˆj + z ˆk p y2+ z2 (28.27)
y considerando un elemento d q en el lado diametralmente opuesto se tiene dE = 1 4π²0 λds y2+ z2 yˆj − z ˆk p y2+ z2 (28.28)
por lo que la suma da
dE = 1 4π²0 λds y2+ z2 2 yˆj p y2+ z2. (28.29) Por lo que E = λ 2π²0 Ã Z z=∞ z=0 y p y2+ z2 d z y2+ z2 ! ˆj, (28.30) o bien E = λ 2π²0 µZ z=∞ z=0 cosθ d z y2+ z2 ¶ ˆj. (28.31)
De la figura 28.8 se observa que z = ytanθ. Derivando se tiene d z = ysec2θdθ. Así, E = λ 2π²0 µZ θ=π/2 θ=0 cosθdθ ¶ ˆj, por lo que E = µ λ 2π²0r ¶ ˆj. (28.32)
Como puede verse, este resultado corresponde a un sistema de referencia en coordenadas rectangulares, así que considerando la simetría cilíndrica del problema se tiene, en coordenadas cilíndricas:
E =
µ λ
2π²0r
¶
28.6.
Una carga puntual dentro de un campo eléctrico
¿Qué sucede cuando se coloca una carga puntual dentro de un campo eléctrico?
Se sabe que F = qE, así que el movimiento de la partícula se puede describir con la segunda ley de Newton. Se considerará que F es constante, ver la figura 28.9, donde E es uniforme y por ello constante en la región central entre las placas. Se omiten los efectos de borde.
E
y
mg qE
Figura 28.9
Ejercicio 5. Se mantiene en equilibrio a una gota de aceite cargada, de radio
R =2.76µm y densidadρ=920kg/m3, bajo la influencia combinada de su peso y un campo eléctrico que apunta hacia abajo, E =1.65×106N/C, ver la figura 28.9. (a) Cal-cule la magnitud y signo de la carga en la gota. Exprese el resultado en términos de la carga elemental e. (b) La gota se expone a una fuente radiactiva que emite electrones. Dos electrones se impactan con la gota y esta los captura, cambiando su
carga en dos unidades. Si el campo eléctrico mantiene su valor constante, calcule la aceleración resultante de la gota.
Solución. (a) Para mantener a la gota en equilibrio, m g=qE. La condición de
equilibrio es ΣF = mg+ qE = 0, o bien − mg + q(−E) = 0 así que q = −m g E = − 4 3πR 3ρg E = −4.8 × 10 −19C. Por lo tanto n = q −e = 3. (b) Si se añaden dos electrones, entonces
q0= (n + 2)(−e) = 5(−1.6 × 10−19C = −8.0 × 10−19C. De la segunda ley de Newton
Ejercicio 6. La figura 28.10 muestra el sistema de electrodos para la desviación de
una impresora de inyección de tinta. Una gota de tinta cuya masa m es 1.3×10−10kg porta una craga q de −1.5×10−13C y entra en el sistema de placas para la desviación con una rapidez v = 18 m/s. La longitud L de las placas es 1.6 cm y la magnitud del campo eléctrico E entre las placas es 1.4×106N/C. ¿Cuál es la desviación vertical de la gota al alcanzar el borde de las placas? Ignore las variaciones del campo eléctrico en los bordes de las placas.
E Input signals Drop generator Charging unit Deflecting plates Gutter (a) m, q y LL E x (b) Figura 28.10
Solución. Sea t el tiempo de paso de la gota a través del sistema de desviación.
Los desplazamientos vertical y horizontal están dados por y =1 2at 2 y L = vt, por lo que y =−qEL2 2mv2 = 0.64 mm.
28.7.
Un dipolo en un campo eléctrico
La dirección de la fuerza sobre la carga positiva del dipolo tiene dirección opuesta a la ejercida sobre la carga negativa.
Aquí se define al vector p (= qd) con dirección que parte de −q y termina en q. La figura 28.11 muestra a un dipolo dentro de un campo eléctrico uniforme, E.
La torca neta alrededor del centro del dipolo tiene magnitud
τ= Fd
2sinθ+ F d
d p q q q -F F E (a) p q E t (b) Figura 28.11 con lo que
τ= (qE)d sinθ= (qd)E sinθ= pE sinθ, (28.35) o bien
τ= p × E. (28.36)
Así, cuando las fuerzas son conservativas
W = Z dW = Z θ θ0 τ· dθ= Z θ θ0 (−τdθ) , (28.37)
por lo que
W = Z θ
θ0
−pE sinθdθ= pE(cosθ− cosθ0). (28.38)
Considerando el teorema del trabajo y la energía
∆U ≡ U(θ) −U(θ0) = −W = −pE(cosθ− cosθ0), (28.39)
y siθ0= 90°, entonces
U = −pE cosθ, (28.40)
o bien
U = −p · E. (28.41)
