SILABO DE INGENIERIA DE CONTROL
Duración del curso : 4 semanas (10 horas semanales) Profesor del curso : Ing. Julio Cesar Borjas CastañedaCONTENIDO DEL CURSO
Semana 1: Modelado matemático de sistemas dinámicos
Introducción a los sistemas de control, definiciones preliminares control en lazo cerrado, control en lazo abierto. Función de transferencia, diagramas de bloques, modelado en el espacio de estados, representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos. Sistemas mecánicos, sistemas eléctricos y electrónicos, sistemas de nivel de líquidos y sistemas térmicos. Sistema con movimiento compuesto: el péndulo invertido. Linealización de modelos matemáticos no lineales.
Semana 2: Respuesta en el tiempo. Lugar geométrico de las raíces
Sistemas de primer orden, segundo orden y de orden superior, estabilidad, polos y ceros, criterio de estabilidad de Routh, efectos de las acciones de control, errores en estado estacionario. Graficas del lugar de las raíces, resumen de las reglas generales para construir los lugares de las raíces, sistemas con realimentación positiva, sistemas condicionalmente estables, lugares de las raíces para sistemas con retardo de transporte.
Semana 3: Diseño de sistemas de control por el método LGR. Sintonía de controladores.
Consideraciones preliminares de diseño, compensación de adelanto, compensación de retardo, compensación de retardo-adelanto, compensación paralela, controlador proporcional derivativo, controlador proporcional integral y controlador proporcional integral derivativo. Reglas de sintonía de Ziegler-Nichols: primer método y segundo método
Semana 4: Diseño de sistemas de control mediante el método de la frecuencia. Diseño de sistemas realimentación con variables de estados.
Controlabilidad. Observabilidad. Realimentación por ubicación de polos. Estimación del estado. Realimentación de salida.
SISTEMA DE EVALUACION
𝑃𝐹 = 𝑃𝑃 + 𝐸𝐹 2
PF = Promedio final, PP = Promedio de Practicas calificadas, EF = Examen Final
BIBLIOGRAFIA
Katsuhiko Ogata Ingeniería de Control Moderna Richard Dorf Sistemas de Control Moderno Benjamín Kuo Sistemas de Control Automático Paul Lewis Sistemas de Control en Ingeniería
Modelado matemático de sistemas dinámicos
Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL
El control automático ha desempeñado un papel vital en el avance de la ingeniería y la ciencia. Además de su gran importancia en los sistemas de vehículos espaciales, de guiado de misiles, robóticos y análogos, el control automático se ha convertido en una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de fabricación. Por ejemplo, el control automático es esencial en el control numérico de las maquinas herramientas de las industrias de manufactura, en el diseño de sistemas de piloto automático en la industria aeroespacial, y en el diseño de automóviles y camiones en la industria automotriz. También es esencial en las operaciones industriales como el control de presión, temperatura, humedad, viscosidad y flujo en las industrias de proceso.
Como los avances en la teoría y la práctica del control automático proporcionan los medios para conseguir un comportamiento optimo de los sistemas dinámicos, mejorar la productividad, simplificar el trabajo de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias, así como de otras actividades, la mayoría de los ingenieros y científicos deben tener un buen conocimiento de este campo.
Definiciones preliminares
Variable controlada. La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y
controla.
Variable manipulada. La variable manipulada es la cantidad o condición que el
controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.
Plantas. Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de los
elementos de una maquina que funcionan juntos, cuyo objetivo es efectuar una operación particular. En este libro se llamara planta a cualquier objeto físico que se va a controlar.
Procesos. Es cualquier operación que se a controlar.
Sistemas. Es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo
determinado.
Perturbaciones. Es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de
un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema y es una entrada.
Control realimentado. Se refiere a una operación que en presencia de perturbaciones,
tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo realiza tomando en cuenta esta diferencia.
Sistemas de control en lazo cerrado
En este sistema, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado.
Sistemas de control en lazo abierto
Los sistemas en la cual la salida no tiene efecto sobre la acción de control se denominan sistema de control en lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada.
Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con sistemas en lazo abierto.
Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y las variaciones internas en los parámetros del sistema. Es así posible usar componentes relativamente poco precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta determinada, mientras que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto.
Desde el punto de vista de estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un gran problema en el sistema de control en lazo cerrado, que puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante.
Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cuales no hay perturbaciones del sistema. Obsérvese que la potencia nominal de salida determina en forma parcial el coste, peso y tamaño de un sistema de control. El número de componentes usados en un sistema de control en lazo cerrado es mayor que el que se emplea para un sistema de control equivalente en lazo abierto. Por lo tanto, el sistema de control enlazo cerrado suele tener costos y potencias más grandes. Para disminuir la potencia requerida de un sistema, se emplea un control en lazo abierto siempre que pueda aplicarse. Por lo general, una combinación adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos costosa y ofrecerá un comportamiento satisfactorio del sistema global.
EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL Sistema de control de nivel
En la figura Nº 01 se muestra un proceso en la un liquido esta fluyendo hacia el tanque con una velocidad Qin y sale con una velocidad Qout. El líquido en el tanque se encuentra a una altura o nivel h. si el flujo de salida no es exactamente igual al de la entrada entonces el nivel variara. Este proceso es propiamente llamado autorregulación. El objetivo es regular la altura h a un valor específico, el setpoint H (referencia). La altura o nivel es llamada la variable controlada.
H
h Qin
Qout
Fig Nº 01 el objetivo es regular el nivel del líquido en el tanque al valor H
En la figura Nº 02 se muestra un sistema modificado que consigue el control artificial del nivel por un humano. El tubo S ha sido adicionado como ayuda para que el humano pueda ver cuál es el nivel en el tanque y comparar con el valor del setpoint H el cual ha sido marcado en el tubo. También se ha añadido una válvula para que el flujo de salida pueda ser cambiado por el humano. El flujo de salida es la variable manipulada o variable controlada. La altura puede ser regulada usando la siguiente estrategia: el humano mide la altura en el tubo S y lo compara con el valor del setpoint, luego abre o cierra la válvula para alcanzar el setpoint.
H
h Qin
Qout
Fig. Nº 02 Un humano puede regular el nivel usando un tubo S comparando el nivel h con el objetivo H y ajustar la válvula para cambiar el nivel.
En la figura Nº 03 el sistema es modificado agregándole un control automático con maquinas electrónicas o computadoras para reemplazar la operación humana. Se ha agregado un sensor para medir el valor del nivel y entregar una señal proporcional. Esta señal es proporcionada al controlador y este envía una señal al actuador para que la válvula se abra o cierre y así alcance el setpoint.
H h Qin Qout controlador sensor actuador H setpoint
Fig. Nº 03 Un sistema de control automático reemplaza al humano por medio de un controlador y un sensor para medir el nivel
Sistema de control de temperatura
La figura Nº 04 muestra un diagrama esquemático del control de temperatura de un horno eléctrico. La temperatura del horno eléctrico se mide mediante un termómetro, que es un dispositivo analógico. La temperatura analógica se convierte a una temperatura digital mediante un convertidor A/D. la temperatura digital se introduce en un controlador mediante un interfaz. Esta temperatura digital se compara con la temperatura de entrada programada, y si hay discrepancia (error) el controlador envía una señal al calefactor, a través de un interfaz, amplificador y relé, para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado.
Conversor A/D interfaz
rele amplificador interfaz
PC Entrada programada Horno eléctrico calefactor
TIPOS DE CONTROLADORES
UNIVERSAL DIGITAL CONTROLLERS UDC 6300El Controlador de Procesos UDC 6300 ofrece diagramas de barras verticales y pantalla digital, es ideal para aplicaciones de procesos continuos (formato frontal: 72x144mm). Características:
PROGRAMMABLE LOGIC CONTROLLER
Se ha diseñado para programar y controlar procesos secuenciales en tiempo real. Por lo general es posible encontrar este tipo de equipos en ambientes industriales. Los PLC sirven para realizar automatismos; son dispositivos electrónicos que producen programas informáticos, que permiten controlar procesos.
PLC Micrologix 1000
SLC 500
PROGRAMMABLE AUTOMATION CONTROLLER
Un controlador de automatización programable, o PAC (del inglés Programmable
Automation Controller), es una tecnología industrial orientada al control automatizado, al
diseño de prototipos y a la medición. El PAC se refiere al conjunto formado por un controlador (una CPU típicamente), módulos de entradas y salidas, y uno o múltiples buses de datos que lo interconectan todo.
Este controlador combina eficientemente la fiabilidad de control de un autómata (controlador lógico programable o PLC) junto a la flexibilidad de monitorización y cálculo de un PC. A veces incluso se le une la velocidad y personalización de la microelectrónica. Los PACs pueden utilizarse en el ámbito investigador (prototipaje rápido de controladores o RCP), pero es sobre todo en la industria, para control de máquinas y procesos, donde más se utiliza. A destacar los siguientes: múltiples lazos cerrados de control independientes, adquisición de datos de precisión, análisis matemático y memoria profunda, monitorización remota, visión artificial, control de movimiento y robótica, seguridad controlada, etc.
Los PAC se comunican usando los protocolos de red abiertos como TCP/IP, OPC (OLE for process control), SMTP, puerto serie (con Modbus por ejemplo), etc, y es compatible con los privados (CAN, Profibus, etc).
Un ejemplo claro de utilización es en un sistema de control de un proceso determinado. El elemento controlador es el sitio donde se toman todas las decisiones sobre las acciones a tomar. Se le puede considerar el "cerebro" del sistema. Debe tomar decisiones basadas en ciertas pautas o valores requeridos. Los valores establecidos son introducidos en el sistema por el hombre.
MODELO MATEMATICO DE SISTEMAS DINAMICOS
Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al menos bastante bien. Téngase presente que un modelo matemático no es único para un sistema determinado.
La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describen en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos.
Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la cusa y el efecto, lo cual implica que se aplique el principio de superposición, el sistema se considera lineal.
Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo. Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones solo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo (de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes en el tiempo.
Suponiendo que tenemos un circuito RLC serie cuyos parámetros son constantes. Entonces analizando el circuito tenemos:
L
R
C)
(t
v
iv
o(t
)
)
( t
i
𝒗𝑹+ 𝒗𝑳+ 𝒗𝑪 = 𝒗𝒊 𝒗𝑹 = 𝑹𝒊 𝒊 = 𝑪𝒅𝒗𝑪 𝒅𝒕 𝒗𝑪 = 𝒗𝒐𝒗𝑹= 𝑹𝑪 𝒅𝒗𝑪 𝒅𝒕 = 𝑹𝑪 𝒅𝒗𝒐 𝒅𝒕 𝑣𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡= 𝐿 𝑑 𝑑𝑡(𝐶 𝑑𝑣𝐶 𝑑𝑡 ) = 𝐿𝐶 𝑑2𝑣 𝐶 𝑑𝑡2 = 𝐿𝐶 𝑑2𝑣 𝑜 𝑑𝑡2 𝑳𝑪𝒅𝟐𝒗𝒐 𝒅𝒕𝟐 + 𝑹𝑪 𝒅𝒗𝒐 𝒅𝒕 + 𝒗𝒐 = 𝒗𝒊
Se observa que el modelo matemático es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes e invariantes con el tiempo.
Al estudiar el lanzamiento vertical de un cohete tomando en cuenta la fuerza de gravedad
x
v
mg
r
v
El cohete en su vuelo vertical hacia arriba, arroja un chorro continuo de gas. Se pide determinar la dinámica del cohete, donde 𝑣 es la velocidad del cohete, 𝑣𝑟 la velocidad de
salida de los gases de modulo constante y dirigida en sentido opuesto al movimiento del cohete. Despreciando la resistencia del aire, suponiendo que la parte activa de la trayectoria no es muy grande en comparación con el radio de la tierra. Considerando que la aceleración de la fuerza de gravedad es constante e igual a su valor en la superficie terrestre (segundo problema de Tsiolkovski).
𝒎𝒅𝒗
𝒅𝒕 = −𝒎𝒈 − 𝒗𝒓 𝒅𝒎
𝒅𝒕
En este modelo matemático la masa es variable, entonces la ecuación diferencial no es lineal.
FUNCION DE TRANSFERENCIA Y DE RESPUESTA IMPULSO
La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformadas de Laplace de la entrada (función excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. Considérese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación diferencial:
𝒂𝟎𝒚(𝒏)+ 𝒂
𝟏𝒚(𝒏−𝟏)+ ⋯ + 𝒂𝟏𝒚̇ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝒃𝟎𝒙(𝒎)+ 𝒃𝟏𝒙(𝒎−𝟏)+ ⋯ + 𝒃𝒎−𝟏𝒙̇ + 𝒃𝒎𝒙
𝑦 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
La función de transferencia de este sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones iniciales son cero:
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐺(𝑠) = ℒ[𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎] ℒ[𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎]= 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠)= 𝑏0𝑠𝑚+ 𝑏0𝑠𝑚+ ⋯ + 𝑏𝑚−1𝑠 + 𝑏𝑚 𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛
A partir del concepto de función de transferencia es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema
de orden n-esimo.
Comentarios acerca de la función de transferencia.
1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.
2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.
3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo no proporciona información acerca de la estructura física del sistema.
4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.
5. Si se desconoce la función de transferencia de un subsistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.
DIAGRAMAS DE BLOQUES
El diagrama de bloques de un sistema es una representación grafica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tales diagramas muestran las relaciones existentes entre los diversos componentes.
MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS
Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto de variables más pequeño (llamadas variables de estado), de forma que el conocimiento de estas variables en 𝑡 = 𝑡0
junto con el conocimiento de la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0, determinan completamente el
comportamiento del sistema en cualquier 𝑡 ≥ 𝑡0.
Variables de estado. Las variables de un sistema dinámico son las variables que constituyen el menor conjunto de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si al menos se necesitan n variables 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡) para describir
completamente el comportamiento de un sistema dinámico (de forma que una vez que la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0 esta dada y el estado inicial en 𝑡 = 𝑡0 esta especificado, el estado
futuro del sistema está determinado completamente), entonces tales n variables son un conjunto de variables de estado.
Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces estas n variables de estado se pueden considerar como las n componentes de un vector x. Este vector se denomina vector de estado. Un vector de estado es por lo tanto, un vector que determina unívocamente el estado del sistema x(t) en cualquier instante del tiempo 𝑡 ≥ 𝑡0 especificado.
Espacio de estados. El espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje 𝑥1, eje 𝑥2, …., eje 𝑥𝑛, donde 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡) son las variables de estado,
se denomina espacio de estados.
Ecuaciones en el espacio de estados. Sea un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas con n integradores. Supóngase también que hay r entradas 𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡), … , 𝑢𝑟(𝑡) y
m salidas 𝑦1(𝑡), 𝑦2(𝑡), … , 𝑦𝑚(𝑡). Se define las n salidas de los integradores como variables
de estado: 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡). Entonces el sistema se puede describir mediante
𝒙̇(𝑡) = 𝒇(𝒙, 𝒖, 𝑡) 𝒚(𝑡) = 𝒈(𝒙, 𝒖, 𝑡)
Si se linealizan estas ecuaciones alrededor del estado de operación, se tienen las siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas:
𝒙̇(𝑡) = 𝑨(𝑡)𝒙(𝑡) + 𝑩(𝑡)𝒖(𝑡) 𝒚(𝑡) = 𝑪(𝑡)𝒙(𝑡) + 𝑫(𝑡)𝒖(𝑡) Donde 𝑨(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑩(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑪(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑫(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explícitamente, el sistema lineal se denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso las ecuaciones se simplifican a
𝒙̇(𝑡) = 𝑨𝒙(𝑡) + 𝑩𝒖(𝑡) 𝒚(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡) + 𝑫𝒖(𝑡)
u
y D B A C
dt *x
x
+ + + +Correlación entre funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados
Tomando transformadas de Laplace a las ecuaciones de estado y de salida 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
Se obtiene 𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑢(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) Que implica 𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝑥(0) + (𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝑥(0) + 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝑥(0)𝐵𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) Si la condición inicial 𝑥(0) = 0 𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝑥(0)𝐵𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠)
La función de transferencia será 𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)= 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏𝑩 + 𝑫 la ecuación característica es: |𝒔𝑰 − 𝑨|
ELEMENTOS ELECTRICOS LINEALES
R L C ) (t i ) (t i ) (t i ) (t v ) (t v ) (t v + + + -Resistencia (ohmios) Inductancia (henrios) Capacitancia (faradios) ) ( ) (t Rit v dt t di L t v( ) () dt t dv C t i() ()
ELEMENTOS MECANICOS LINEALES TRASLACIONALES
) ( t f ) ( t f ) ( t f ) ( t v ) ( t v ) ( t v B M K ) ( ) (t Bvt f dt t dv M t f() () ) ( ) (t Kxt f Amortiguamiento Viscoso (N.s/m) Masa (Kg) Resorte lineal (N/m)
ELEMENTOS MECANICOS LINEALES ROTACIONALES ) (t T ) (t w B ) ( ) (t Bwt T dt t dw J t T() () ) ( ) (t K t T ) (t T ) (t T ) (t w ) (t w B Amortiguamiento Viscoso (N.m.s/rad) J Momento de inercia (Kg.m2) K Resorte torsional (n.m/rad)
SISTEMAS TERMICOS
Considérese el sistema que aparece en la figura. Se supone que el tanque está aislado para eliminar las pérdidas de calor hacia el aire circundante.
Liquido frio mezclador
calefactor
Liquido caliente
También se supone que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el líquido del tanque está perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura estable. De este modo, se usa una sola temperatura para describir la del líquido en el tanque y la del líquido que sale.
Sean: 𝛩𝑖 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎, °𝐶 𝛩𝑜 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒, °𝐶 𝐺 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝐾𝑔/𝑠𝑒𝑔 𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝐾𝑔 𝑐 = 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜, 𝐾𝑐𝑎𝑙/𝐾𝑔 °𝐶 𝑅 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎, °𝐶 𝑠𝑒𝑔/𝑘𝑐𝑎𝑙 𝐶 = 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎, 𝐾𝑐𝑎𝑙/°𝐶 𝐻 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝐾𝑐𝑎𝑙/𝑠𝑒𝑔
Supóngase que la temperatura del líquido que entra se mantiene constante y que el flujo de calor de entrada al sistema (calor que proporciona el calefactor) cambia repentinamente de 𝐻 𝑎 𝐻 + ℎ𝑖 donde ℎ𝑖 representa un cambio pequeño en el flujo de
calor de entrada. El flujo de calor de salida cambiara, entonces de forma gradual, de 𝐻 𝑎 𝐻 + ℎ𝑜. La temperatura del liquido que sale también cambiara de 𝛩𝑜 𝑎 𝛩𝑜+ 𝜃. Para
este caso ℎ𝑜, 𝐶 , 𝑅 se obtienen, respectivamente como
ℎ𝑜= 𝐺𝑐𝜃 𝐶 = 𝑀𝑐 𝑅 = 𝜃 ℎ𝑜= 1 𝐺𝑐 La ecuación diferencial para este sistema es
𝐶𝑑𝜃 = (ℎ𝑖 − ℎ𝑜)𝑑𝑡 𝐶𝑑𝜃
𝑑𝑡 = ℎ𝑖 − ℎ𝑜 Que puede reescribirse como
𝑅𝐶𝑑𝜃
𝑑𝑡 + 𝜃 = 𝑅ℎ𝑖
Obsérvese que la constante de tiempo del sistema es igual a RC o M/G segundos. La función de transferencia se obtiene mediante
𝛩𝑜(𝑠) 𝐻𝑖(𝑠) =
𝑅 𝑅𝐶𝑠 + 1
En la práctica, la temperatura del líquido que entra puede fluctuar y actuar como perturbación de carga. ( si se pretende mantener una temperatura de salida constant6e, puede instalarse un controlador automático que ajuste el flujo de calor de entrada, con el
propósito de compensar las fluctuaciones de temperatura del liquido que entra.) si la temperatura del liquido que entra cambia repentinamente de 𝛩𝑖 𝑎 𝛩𝑖+ 𝜃𝑖, mientras que
el flujo de calor de entrada H y el flujo del liquido G se conservan constantes, el flujo de calor de salida cambiara 𝐻 𝑎 𝐻 + ℎ𝑜 y la temperatura del liquido que sale cambiara de
𝛩𝑜 𝑎 𝛩𝑜+ 𝜃.
La ecuación diferencial para este caso es
𝐶𝑑𝜃 = (𝐺𝑐𝜃𝑖− ℎ𝑜)𝑑𝑡
𝐶𝑑𝜃
𝑑𝑡 = 𝐺𝑐𝜃𝑖 − ℎ𝑜 Que puede escribirse como
𝑅𝐶𝑑𝜃
𝑑𝑡+ 𝜃 = 𝜃𝑖
La función de transferencia que relaciona 𝜃 𝑦 𝜃𝑖 se obtiene mediante
𝛩(𝑠) 𝛩𝑖(𝑠)=
1 𝑅𝐶𝑠 + 1
Si este sistema térmico está sujeto a cambios en la temperatura del líquido que entra y en el flujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del líquido se conserva constante, el cambio 𝜃 en la temperatura del líquido que sale se obtiene mediante la siguiente ecuación:
𝑅𝐶𝑑𝜃
𝑑𝑡 + 𝜃 = 𝜃𝑖+ 𝑅ℎ𝑖
La figura muestra un diagrama de bloques que corresponde a este caso. Obsérvese que el sistema tiene dos entradas.
R + RCS 1
)
(s
i
) (s Hi
( s
)
+SISTEMA CON MOVIMIENTO COMPUESTO: EL PENDULO INVERTIDO
Un péndulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la figura Nº1. Este es un modelo del control de posición de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posición es conservar el propulsor primario espacial en una posición vertical.) El péndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier dirección, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aquí se considera solo un problema en dos dimensiones, en el cual el péndulo solo se mueve en el plano de la página. Se aplica al carro la fuerza de control u. supóngase que el centro de gravedad de la barra del péndulo está en su centro geométrico. Obténgase un modelo matemático para este sistema.
mg
u
x
y
x
M
o
L
V VH
H
)
,
(
x
Gy
G 𝜃 = 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑢 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 (𝑥𝐺, 𝑦𝐺) = 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜. 𝐿 = 2𝑙 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝛼 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟Las coordenadas del centro de gravedad son
𝒙𝑪𝑮= 𝒙 + 𝒍𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒚𝑪𝑮= 𝒍𝒄𝒐𝒔𝜽
El movimiento rotacional de la barra alrededor de su centro de gravedad. En este caso la suma de momentos alrededor del centro de gravedad de la barra (de sentido positivo en la dirección de las agujas del reloj.
∑ 𝑴𝑪𝑮= 𝑰𝑪𝑮𝜶
𝜶 = 𝜽̈
𝑰𝜽̈ = 𝑽(𝒍𝒔𝒆𝒏𝜽) − 𝑯(𝒍𝒄𝒐𝒔𝜽)
El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene mediante.
∑ 𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒙 = 𝒙̈𝑪𝑮 𝑯 = 𝒎𝒙̈𝑪𝑮
El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene mediante.
∑ 𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒚= 𝒚̈𝑪𝑮 𝑽 − 𝒎𝒈 = 𝒚̈𝑪𝑮
El movimiento horizontal del carro se describe mediante: ∑ 𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙
𝒖 − 𝑯 = 𝑴𝒙̈
Como se debe mantener el péndulo invertido en posición vertical, entonces el ángulo de rotación es muy pequeño (linealización).
𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝜽, 𝒄𝒐𝒔𝜽 ≈ 𝟏 Luego las ecuaciones linealizadas, son:
𝒙𝑪𝑮= 𝒙 + 𝒍𝜽 𝒚𝑪𝑮= 𝒍 𝑰𝜽̈ = 𝑽𝒍𝜽 − 𝑯𝒍 𝒙̈𝑪𝑮= 𝒙̈ + 𝒍𝜽̈ 𝒚̈𝑪𝑮= 𝟎 𝑯 = 𝒎(𝒙̈ + 𝒍𝜽̈) 𝑽 − 𝒎𝒈 = 𝟎 𝒖 − 𝑯 = 𝑴𝒙̈ 𝒖 = 𝑴𝒙̈ + 𝑯 = 𝑴𝒙̈ + 𝒎(𝒙̈ + 𝒍𝜽̈)
Se obtienen las ecuaciones que describen el movimiento compuesto del sistema péndulo invertido. Estas ecuaciones constituyen el modelo matemático lineal
(𝑴 + 𝒎)𝒙̈ + 𝒎𝒍𝜽̈ = 𝒖 (𝑰 + 𝒎𝒍𝟐)𝜽̈ + 𝒎𝒍𝒙̈ = 𝒎𝒈𝒍𝜽 𝒙𝟏= 𝜽 𝒙𝟐= 𝜽̇ 𝒙𝟑 = 𝒙 𝒙𝟒 = 𝒙̇ 𝒚 = [𝒚𝒚𝟏 𝟐] = [𝜽𝒙] = [ 𝒙𝟏 𝒙𝟑] 𝒙̇𝟏= 𝜽̇ = 𝒙𝟐 𝒙̇𝟐= 𝜽̈ 𝒙̇𝟑= 𝒙̇ = 𝒙𝟒 𝒙̇𝟒 = 𝒙̈ 𝒙̇𝟐= (𝑴 + 𝒎)𝒎𝒈𝒍 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐𝒙𝟏− 𝒎𝒍 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐𝒖 𝒙̇𝟒= 𝑰 + 𝒎𝒍𝟐 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐𝒖 − 𝒎𝟐𝒍𝟐𝒈 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐𝒙𝟏
La ecuación de estado y salida tienen la forma 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖 [ 𝒙̇𝟏 𝒙̇𝟐 𝒙̇𝟑 𝒙̇𝟒 ] = [ 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 (𝑴 + 𝒎)𝒎𝒈𝒍 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 − 𝒎 𝟐𝒍𝟐𝒈 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎] [ 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 ] + [ 𝟎 − 𝒎𝒍 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 𝟎 𝑰 + 𝒎𝒍𝟐 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 ] 𝒖 [𝒚𝒚𝟏 𝟐] = [𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟎] [ 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 ]
LINEALIZACION DE MODELOS MATEMATICOS NO LINEALES.
Sistema no lineal. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por
lo tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada a la vez y sumando los resultados.
Linealización de sistemas no lineales. En la ingeniería de control, una operación normal
del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio y las señales pueden considerarse señales pequeñas alrededor del equilibrio. Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal.
Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales. Con la finalidad de obtener un
modelo matemático lineal para un sistema no lineal, se supone que las variables solo se desvían ligeramente de alguna condición de operación.
Considérese un sistema cuya entrada es 𝑥(𝑡) y cuya salida es 𝑦(𝑡). La relación entre 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡). se obtiene mediante
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Si la condición de operación normal corresponde a 𝑥̅ , 𝑦̅. La ecuación anterior se expande en series de Taylor alrededor de este punto
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥̅) + (𝑥 − 𝑥̅)𝑑𝑓 𝑑𝑥+ 1 2!(𝑥 − 𝑥̅)2 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2+ ⋯
Donde las derivadas 𝑑𝑓𝑑𝑥 ,𝑑𝑥𝑑2𝑓2 , …. Se evalúan en 𝑥 = 𝑥̅. Si la variación 𝑥 − 𝑥̅ es pequeña, es
posible no considerar los términos de orden superior en 𝑥 − 𝑥̅. Entonces la ecuación se escribe como 𝑦 ≈ 𝑓(𝑥̅) + (𝑥 − 𝑥̅)𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑦̅ + 𝐾(𝑥 − 𝑥̅) 𝐾 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥̅
Considérese un sistema no lineal cuya salida 𝑦 es una función de dos variables 𝑥1, 𝑥2 de
modo que
𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2)
Con la finalidad de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la serie de Taylor alrededor del punto de operación normal 𝑥̅1, 𝑥̅2 entonces
𝑦 = 𝑓(𝑥̅1, 𝑥̅2) + (𝑥1− 𝑥̅1) 𝜕𝑓 𝜕𝑥1+ (𝑥2− 𝑥̅2) 𝜕𝑓 𝜕𝑥2 + 1 2!(𝑥1− 𝑥̅1)2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥12+ 1 2!(𝑥2− 𝑥̅2)2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥22 + (𝑥1− 𝑥̅1)(𝑥2− 𝑥̅2) 𝜕2𝑓 𝜕𝑥1𝜕𝑥2 + ⋯
Donde las derivadas parciales se evalúan en 𝑥1 = 𝑥̅1, 𝑥2 = 𝑥̅2 . Cerca del punto de
operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante
𝑦 ≈ 𝑦̅ + (𝑥1− 𝑥̅1) 𝜕𝑓 𝜕𝑥1+ (𝑥2− 𝑥̅2) 𝜕𝑓 𝜕𝑥2 𝑦 = 𝑦̅ + 𝐾1(𝑥1− 𝑥̅1) + 𝐾2(𝑥2− 𝑥̅2) Donde 𝑦̅ = 𝑓(𝑥̅1, 𝑥̅2) 𝐾1 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥1 𝑒𝑛 𝑥1 = 𝑥̅1, 𝑥2 = 𝑥̅2 𝐾2 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥2 𝑒𝑛 𝑥1 = 𝑥̅1, 𝑥2 = 𝑥̅2
La técnica de Linealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede presentar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero puede no ser preciso para otras.
RESPUESTA EN EL TIEMPO
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda
INTRODUCCION
En capítulos anteriores el primer paso para analizar un sistema de control era obtener un modelo matemático del mismo. Una vez obtenido tal modelo se aplican los métodos de análisis para el comportamiento del sistema. Se hace uso de señales de prueba (escalón, rampa, parábola, impulso, etc.) para facilitar el análisis matemático y experimental de sistemas de control, para verificar también el comportamiento transitorio y estacionario de la respuesta del sistema.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN (con un polo dominante)
Si un sistema en lazo cerrado esta descrito por un solo polo localizado en 𝑠 = −1/𝑇, la correspondiente función de transferencia es
𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)=
𝐾 𝑇𝑠 + 1 Si se asume que r(t) es un escalón unidad, entonces
𝑐(𝑡) = 𝐾(1 − 𝑒−𝑇𝑡)
El tiempo que demora en asentarse la respuesta es:
𝑡𝑠 = 3.912𝑇 ≈ 4𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 2% 𝑡𝑠 = 2.996𝑇 ≈ 3𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 5% 0 T 2T 3T 4T 5T 0 0.5K K 5% asentamiento 2% asentamiento
Respuesta a un escalón con un modelo de un único polo Ejemplo 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)= 2 𝑠 + 3 = 2 3 1 3 𝑠 + 1 𝐾 =23 = 0.666, 𝑇 =13 = 0.333
close all; clear all; clc;
% Sistemade Primer Orden % C(s)/R(s)=2/(s+3)
n=[0 2]; d=[1 3]; step(n,d) grid
Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escalón Step Response Time (sec) A m p lit u d e 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 System: sys Time (sec): 1.97 Amplitude: 0.665 System: sys Time (sec): 1.33 Amplitude: 0.654 System: sys Time (sec): 1.01 Amplitude: 0.634
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN (con un par de polos dominantes)
Una función de interés particular está formada por la presencia de dos polos dominantes. La función de transferencia es 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)= 𝐾𝜔𝑛2 𝑠2+ 2𝜉𝜔 𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 Ejemplo 𝑇(𝑠) = 17 𝑠2+ 2𝑠 + 17
clear all; close all; clc;
n=[0 0 17]; d=[1 2 17]; step(n,d) grid 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 Step Response Time (sec) A m p lit u d e
SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
El comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de aquellos que poseen tres o más polos, depende fundamentalmente del carácter de los polos más lentos del sistema. El polo más lento es el que posee la constante de tiempo más grande, es decir aquel polo se encuentra más cerca del origen en el plano complejo S.
𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠)= 𝑝𝐾𝜔𝑛2 (𝑠 + 𝑝)(𝑠2+ 2𝜉𝜔 𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2) Ejemplo 𝑇(𝑠) = 17 (𝑠 + 2)(𝑠2+ 2𝑠 + 17)= 17 𝑠3+ 4𝑠2+ 21𝑠 + 34
clear all; close all; clc;
n=[0 0 0 17]; d=[1 4 21 34]; step(n,d) grid 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Step Response Time (sec) A m p lit u d e
Análisis del lugar de las raíces
Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda
Diseño de sistemas de control mediante el método
del lugar de las raíces
Sintonía de Controladores
Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda
REGLAS DE SINTONIZACION PARA CONTROLADORES PID Control PID de plantas.
La figura siguiente muestra un control PID de una planta. Si se puede obtener un modelo matemático de una planta, es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado. Sin embargo si la planta es tan complicada que no es fácil obtener su modelo matemático, tampoco es posible un enfoque analítico para el diseño de un controlador PID. En este caso, debemos recurrir a los enfoques experimentales para la sintonización de los controladores PID.
planta
)
1
1
(
T
s
s
T
K
d i p
+-El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones de desempeño se conoce como sintonización del controlador. Ziegler y Nichols sugirieron más reglas para sintonizar los controladores PID (lo cual significa establecer Kp, Ti y Td) con base en las respuestas escalón experimentales o basadas en el
valor de Kp que se produce en la estabilidad marginal cuando sólo se usa la acción de
control proporcional. Las reglas de Ziegler-Nichols son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemáticos de las plantas.
Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.
Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, con base en las
características de respuesta transitoria de una planta especifica. Tal determinación de los parámetros de los controladores PID o de la sintonización de los controles PID la realizan los ingenieros en el sitio mediante experimentos sobre la planta. Existen dos métodos denominados reglas de sintonización de Ziegler-Nichols.
Primer método.
En el primer método, la respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, como se observa en la figura 2. Si la respuesta no exhibe una curva con forma de S, este
método no es pertinente. Tales curvas de respuesta escalón se generan experimentalmente o a partir de una simulación dinámica de la planta.
La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la línea c(t)=K,
como se aprecia en la figura 2. En este caso, la función de transferencia C(s)/U(s) se
aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte del modo siguiente: 𝐶(𝑠) 𝑈(𝑠)= 𝐾𝑒−𝐿𝑠 𝑇𝑠 + 1
Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula
que aparece en la siguiente tabla.
Tipo de controlador Kp Ti Td P 0 PI 0 PID 2L 0.5L
Observe que el controlador PID sintonizado mediante el primer método de las reglas de Ziegler-Nichols produce
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝(1 +
1
𝑇𝑖𝑠+ 𝑇𝑑𝑠)
Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en 𝑠 = −1/𝐿.
Segundo método.
En el segundo método, primero establecemos Ti= y Td=0. Usando sólo la acción de
control proporcional, se incrementa Kp de 0 a un valor crítico Kcr en donde la salida exhiba
primero oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, no se aplica este método. Por tanto, la ganancia
crítica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimentalmente.
Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo
con la fórmula que aparece en la siguiente tabla. Tipo de controlador Kp Ti Td P 0.5Kcr 0 PI 0.45Kcr 0 PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr
Se debe observar que el controlador PID sintonizado mediante el segundo método de las reglas de Ziegler-Nichols produce:
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝(1 + 1 𝑇𝑖𝑠+ 𝑇𝑑𝑠) 𝐺𝑐(𝑠) = 0.6𝐾𝑐𝑟(1 + 1 0.5𝑃𝑐𝑟𝑠+ 0.125𝑃𝑐𝑟𝑠) = 0.075𝐾𝑐𝑟𝑃𝑐𝑟 (𝑠 +𝑃4 𝑐𝑟) 2 𝑠
Comentarios.
Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se han usado, junto con otras reglas, ampliamente para sintonizar controladores PID en los sistemas de control de procesos en los que no se conoce con precisión la dinámica de la planta. Tales reglas de sintonización han demostrado ser muy útiles durante muchos años. Por supuesto, las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se aplican a las plantas cuya dinámica se conoce. En estos casos, se cuenta con muchos enfoques analíticos y gráficos para el diseño de controladores PID, además de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols.
Si se conoce la función de transferencia de la planta, se calcula la respuesta escalón unitario o la ganancia critica Kcr y el periodo crítico Pcr. Sin embargo, la utilidad real de las
reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se vuelve evidente cuando no se conoce la dinamica de la planta, por lo que no se cuenta con enfoques analíticos o gráficos para el diseño de controladores.
En general, para aquellas plantas con una dinámica complicada y sin integradores, se han aplicado las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Sin embargo, si la planta tiene un integrador, en algunos casos estas reglas no son pertinentes. Para ilustrar una situación en las que las reglas de Ziegler-Nichols no se aplican, consideremos el caso donde un sistema de control con realimentación unitaria tiene una planta cuya función de transferencia es de la siguiente manera:
𝐺(𝑠) = (𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 5)
Debido a la presencia de un integrador no se aplica el primer método. Como se sabe la respuesta escalón de esta planta no tendrá una curva de respuesta con forma de S; más bien, la respuesta se incrementa con el tiempo. Asimismo, si se intenta el segundo método, el sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional no exhibirá oscilaciones sostenidas, sin importar el valor que pueda tomar la ganancia Kp.
Si es posible aplicar en la planta las reglas de Ziegler-Nichols, la planta con un controlador PID sintonizado mediante estas reglas exhibirá un sobrepaso máximo aproximado de10% a 60% en la respuesta escalón. En promedio el sobrepaso máximo aproximado es de 25%. En un caso especifico, siempre es posible en forma experimental hacer una sintonización precisa para que el sistema en lazo cerrado exhiba respuestas transitorias satisfactorias.
Análisis de la Respuesta en Frecuencia
Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda
Con el término respuesta en frecuencia, se requiere hacer referencia a la respuesta de un sistema en estado estacionario a una entrada sinusoidal. Una ventaja de este método es que se puede utilizar los datos que se obtienen de las medidas sobre el sistema físico sin deducir su modelo matemático.
Por lo general se usan tres representaciones graficas de las funciones de transferencia sinusoidales: diagrama de Bode o diagrama logarítmico, diagrama de Nyquist o diagrama polar y diagrama de magnitud logarítmico contra la fase (diagrama de Nichols)
)
( jw
G
G
( jw
)
)
( jw
G
)
( jw
G
w
w
)
(
Re
G
jw
)
(
Im
G
jw
Nichols Nyquist Bode
La salida en estado estacionario de una función de transferencia de un sistema se puede obtener directamente de la función de transferencia sinusoidal, es decir sustituyendo en la función de transferencia 𝑠 por 𝑗𝜔 , don de 𝜔 es la frecuencia. La respuesta en estado estacionario puede darse como
𝐺(𝑗𝜔) = 𝑀𝑒𝑗𝜑 = 𝑀∠𝜑
Donde M es el cociente de amplitud de las señales sinusoidales de entrada y salida y 𝜑 es el desplazamiento de fase entre ambas señales.
Diagramas de Bode
Un diagrama de Bode está formado por dos graficas: una es la grafica del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia sinusoidal, y la otra es la grafica del ángulo de fase; ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica.
|𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔|𝐺(𝑗𝜔)|
Ganancia constante
𝐺(𝑗𝜔) = 𝐾∠0 |𝐺(𝑗𝜔)| = 𝐾 𝜑(𝜔) = ∠𝐺(𝜔𝑗) = 0° |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝐾 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜑(𝜔) = 0 ) (
0 0 0 90 0 45 0 90 0 45 40 20 0 20 40
dB G K log 20 Polos en el origen 𝑮(𝒔) = 𝟏 𝒔 𝐺(𝑗𝜔) = 1 𝑗𝜔= −𝑗 1 𝜔= 1 𝜔∠−90° |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 | 1 𝑗𝜔| = −20𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜑(𝜔) = −90°Análogamente para un polo múltiple en el origen, se tiene 𝑮(𝒔) = 𝟏 𝒔𝑵 𝐺(𝑗𝜔) = 1 (𝑗𝜔)𝑁 = 1 (𝑗)𝑁(𝜔)𝑁 = (−𝑗)𝑁 1 𝜔𝑁 = 1 𝜔𝑁∠−90°𝑁 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵= 20𝑙𝑜𝑔 | 1 (𝑗𝜔)𝑁| = −20𝑁𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜑(𝜔) = −90°𝑁
) (
0 0 0 90 0 45 0 90 0 45 40 20 0 20 40
dB G 1 . 0 1 10 100 1000 0.1 1 10 100 1000 Cero en el origen 𝑮(𝒔) = 𝒔 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑗𝜔 = 𝜔∠−90° |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔|𝑗𝜔| = 20𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜑(𝜔) = 90°Análogamente para un polo múltiple en el origen, se tiene 𝑮(𝒔) = 𝒔𝑵 𝐺(𝑗𝜔) = (𝑗𝜔)𝑁 = (𝑗)𝑁𝜔𝑁= 𝜔𝑁∠90°𝑁 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵= 20𝑙𝑜𝑔|(𝑗𝜔)𝑁| = 20𝑁𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜑(𝜔) = 90°𝑁
)
(
0 0 0 90 0 45 0 90 0 45 40 20 0 20 40
dBG
1 . 0 1 10 100 1000 0.1 1 10 100 1000Polo en el eje real
𝑮(𝒔) = 𝟏 𝒔 + 𝟏 𝐺(𝑗𝜔) = 1 1 + 𝑗𝜔= 1 √1 + 𝜔2∠𝜑 = 1 1 + 𝜔2− 𝑗 𝜔 1 + 𝜔2
𝑡𝑎𝑛𝜑 = −1 + 𝜔1 2 1 + 𝜔2 → 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(−𝜔) |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵= 20𝑙𝑜𝑔 | 1 √1 + 𝜔2| = −10𝑙𝑜𝑔|1 + 𝜔 2| 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜔 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜔 0 0.000 -0.0000 0.1 -0.043 -5.7106 1 -3.010 -45.000 10 -20.043 -84.289 100 -40.000 -89.427 1000 -60.000 -89.943 ∞ ∞ -90.000
close all; clear all; clc;
%bode
n=[0 1]; d=[1 1]; bode(n,d) grid
Para la forma asintótica:
𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 → 0 → |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 0 𝑑𝐵 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 → ∞ → |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = −20𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑑𝐵 -40 -30 -20 -10 0 M ag ni tu de (d B) 10-2 10-1 100 101 102 -90 -45 0 Ph as e (d eg ) Bode Diagram Frequency (rad/sec)
) ( 0 0 0 90 0 45 0 90 0 45 40 20 0 20 40 dB G 1 . 0 1 10 100 1000 0.1 1 10 100 1000
Cero en el eje real
𝑮(𝒔) = 𝒔 + 𝟏 𝐺(𝑗𝜔) = 1 + 𝑗𝜔 = √1 + 𝜔2∠𝜑 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝜔 → 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜔 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵= 20𝑙𝑜𝑔 |√1 + 𝜔2| = 10𝑙𝑜𝑔|1 + 𝜔2| 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜔 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜔 0 0.000 0.0000 0.1 0.043 5.7106 1 3.010 45.000 10 20.043 84.289 100 40.000 89.427 1000 60.000 89.943 ∞ ∞ 90.000
Para la forma asintótica:
𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 → 0 → |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 0 𝑑𝐵 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 → ∞ → |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵= 20𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑑𝐵 ) (
0 0 0 90 0 45 0 90 0 45 40 20 0 20 40
dB G 1 . 0 1 10 100 1000 0.1 1 10 100 1000close all; clear all; clc;
%bode
d=[0 1]; bode(n,d) grid Factores cuadráticos 𝑮(𝒋𝝎) = [𝟏 + 𝟐𝝃 (𝒋 𝝎 𝝎𝒏) + (𝒋 𝝎 𝝎𝒏) 𝟐 ]±𝟏
Los sistemas de control suelen tener factores cuadráticos de la forma
𝐺(𝑗𝜔) = 1 1 + 2𝜉 (𝑗𝜔𝜔 𝑛) + (𝑗 𝜔 𝜔𝑛) 2
Si 𝜉 > 1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con polos reales.
Si 0 < 𝜉 < 1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos conjugados.
0 10 20 30 40 M a g n itu d e ( d B ) 10-2 10-1 100 101 102 0 45 90 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec)
|𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 | 1 1 + 2𝜉 (𝑗𝜔𝜔 𝑛) + (𝑗 𝜔 𝜔𝑛) 2| = −20𝑙𝑜𝑔 |1 + 2𝜉 (𝑗 𝜔 𝜔𝑛) + (𝑗 𝜔 𝜔𝑛) 2 | = −20𝑙𝑜𝑔√(1 − (𝜔 𝜔𝑛) 2 ) 2 + (2𝜉 𝜔 𝜔𝑛) 2
Para bajas frecuencias 𝜔 ≪ 𝜔𝑛 , la asíntota es una recta horizontal en 0 dB:
|𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 ≈ −20𝑙𝑜𝑔1 = 0 𝑑𝐵
Para bajas frecuencias 𝜔 ≫ 𝜔𝑛 , la asíntota es una recta con pendiente -40 dB/década:
|𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 ≈ −20𝑙𝑜𝑔 ( 𝜔 𝜔𝑛) 2 = −40𝑙𝑜𝑔 (𝜔 𝜔𝑛) 𝑑𝐵
La asíntota de alta frecuencia corta a la de baja frecuencia en la frecuencia esquina 𝜔 = 𝜔𝑛:
|𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 ≈= −40𝑙𝑜𝑔 (
𝜔𝑛
𝜔𝑛) = −20𝑙𝑜𝑔1 = 0 𝑑𝐵
Las dos asíntotas son independientes de ξ. Cuando 𝜔 = 𝜔𝑛 hay un pico de resonancia.
El ángulo de fase es:
𝜑(𝜔) = 𝑡𝑎𝑛−1[ 2𝜉 𝜔 𝜔𝑛 1 − (𝜔𝜔 𝑛) 2] 𝜔 𝜑(𝜔) 0 0° 𝜔𝑛 −90° ∞ −180°
0 10 20 10 20 30 40 1 . 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
2
4
6 10 asintotas 1 . 0 5 . 0 7 . 0 0 . 1 º 0 º 30 º 60 º 90 º 120 º 150 º 180 1 . 0 0 . 1 1 . 0 0.2 0.4 0.6 0.81
2
4
6 8 10 n
dB
8Las curvas de respuesta en frecuencia para el factor
𝐺(𝑗𝜔) = 1 + 2𝜉 (𝑗 𝜔
𝜔𝑛) + (𝑗 𝜔 𝜔𝑛)
2
pueden obtenerse si simplemente se invierte el signo de la magnitud logarítmica y del ángulo de fase del factor.
Frecuencia de resonancia 𝝎𝒓 y el valor pico de resonancia 𝑴𝒓.
𝐺(𝑗𝜔) = 1 1 + 2𝜉 (𝑗𝜔𝜔 𝑛) + (𝑗 𝜔 𝜔𝑛) 2
|𝐺(𝑗𝜔)| = 1 √(1 − ( 𝜔𝜔 𝑛) 2 )2+ (2𝜉𝜔𝜔 𝑛) 2 𝑔(𝜔) = (1 − (𝜔 𝜔𝑛) 2 ) 2 + (2𝜉 𝜔 𝜔𝑛) 2
Se tendrá un valor máximo de |𝐺(𝑗𝜔)| cuando 𝑔(𝜔) sea mínima. Esto ocurre cuando: 𝜔 = 𝜔𝑟 = 𝜔𝑛√1 − 2𝜉2 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝜉 ≤ 0.707
𝑀𝑟 = |𝐺(𝑗𝜔)|𝑚𝑎𝑥 = 1 2𝜉√1 − 𝜉2
Para 𝜉 > 0.707, entonces 𝑀𝑟 = 1
Cuando 𝜉 → 0, entonces 𝑀𝑟 → ∞
El ángulo de fase a la frecuencia de resonancia:
∠𝐺(𝑗𝜔𝑟) = −𝑡𝑎𝑛−1√1 − 2𝜉2
𝜉
Márgenes de ganancia y fase
Si se considera un sistema realimentado inicialmente estable, es útil saber que características determinadas del modelo se pueden perturbar antes de que se produzca inestabilidad. El margen de ganancia y el margen de fase proporcionan este tipo de información.
Si una variación en un parámetro del sistema produce que uno o más polos en la función del sistema en lazo cerrado atraviesen el eje 𝑗𝜔, la condición de corte (como se muestra en la figura) sitúa uno o más polos en lazo cerrado directamente sobre el eje 𝑗𝜔. Por lo tanto hay algún valor de 𝜔 para el que
| 𝐺(𝑗𝜔)
1 + 𝐺(𝜔)𝐻(𝑗𝜔)| = ∞ Y esta condición no puede ocurrir a menos que
𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔) = −1 Expresando en términos de magnitud y ángulo
|𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔)| = 1
jw
Si no hay polos de la función en lazo cerrado en el semiplano derecho, esta condición representa una transición entre estabilidad e inestabilidad.
La condición de cruce también se puede visualizar de forma diferente. Suponga que el lazo se rompe temporalmente en algún punto y que se ¡introduce una entrada sinusoidal después de la ruptura. Conviene darse cuenta de que hay otro signo menos en el lazo (adjunto al símbolo de suma). Si se satisfacen las condiciones de magnitud y ángulo, la señal sinusoidal atravesara el lazo y regresara como un duplicado exacto de la señal inyectada. Si se vuelve a conectar el lazo, está claro que una señal en esta frecuencia particular será autosostenida.
Obsérvese que la condición del ángulo de fase para un cruce se satisface si el desfase de la función en lazo abierto alcanza +180º o -180º. Sin embargo si la magnitud y el ángulo están ambos cerca de la condición de transición, es un resultado típico de los polos que exceden en número a los ceros finitos. Por lo tanto un problema potencial de estabilidad se observa normalmente con un desfase en la proximidad de -180º.
El margen de ganancia y de fase se define de forma que proporcionan una medida de la proximidad de una situación dada a la condición de transición. Si un sistema es inicialmente estable y un cambio en los parámetros produce la detección de un cruce en el eje 𝑗𝜔, el cruce debe representar estabilidad marginal. Obsérvese que lo contrario no es necesariamente cierto – si un sistema es inicialmente inestable, una detección de un cruce con el eje 𝑗𝜔 no es una condición marginal de estabilidad a menos que no existan otras raíces de la ecuación característica en el semiplano derecho. Por lo tanto, si el margen de ganancia y el margen de fase se definen en términos de un sistema que es inicialmente estable, la proximidad a la inestabidad puede ser verdaderamente expresada en términos de la proximidad a las condiciones de cruce en el eje 𝑗𝜔.
El margen de ganancia. Considere un sistema que es inicialmente estable, el margen de
ganancia es la razón (normalmente expresada en dB) por la que la ganancia del lazo se permite que cambie antes de que se alcance la condición de inestabilidad.
Un diagrama de la respuesta en frecuencia en lazo abierto 𝑀(𝜔)𝑒𝑗𝜑(𝜔), presenta la razón requerida. Como la función de fase en lazo abierto no está afectada por un cambio en el factor de ganancia del lazo, la razón por la que la ganancia se debe modificar para alcanzar la inestabilidad es la razón de la ganancia unidad a la real ganancia medida en la frecuencia de cruce de fase, 𝜔𝑝𝑐 donde la fase cruza -180º. Por lo tanto, el margen de
ganancia se puede expresar como 1/𝑀(𝜔𝑝𝑐). El radio en dB es +20log (𝑀(𝜔1 𝑝𝑐)) o simplemente −20𝑙𝑜𝑔 𝑀(𝜔𝑝𝑐) 1 . 0 1 10 100 º 0 º 90 º 180 º 270 º 112 º 68 MF 2 0 10 20 30 14 dB MG 20 1 2 10 100 1 . 0 10 20 ) ( dB Ganancia
Dicho de la forma más simple, el margen de ganancia es el numero de dB que se debe
incrementar la ganancia en lazo abierto para que alcance 0 dB a la frecuencia a la que el desfase en lazo abierto es -180º.
Si se debe decrementar la ganancia hasta que alcance 0 dB, entonces el margen de ganancia es, por supuesto negativo. Un ejemplo de medida del margen de ganancia se muestra en la figura. Si la fase no alcanza -180º a ninguna frecuencia, entonces no hay límite impuesto en el cambio de ganancia para que el sistema permanezca estable, y el margen de ganancia es infinito.
La inestabilidad producida por un incremento en la ganancia es una situación común; por lo tanto, la razón requerida para alcanzar la inestabilidad es normalmente mayor que uno y el margen de ganancia expresado en dB es normalmente positivo. No obstante, hay algunos modelos de sistemas que requieren de una reducción en la ganancia para alcanzar la inestabilidad, y el caso general permite la posibilidad de que un aumento o una disminución conduzcan a la inestabilidad. Por lo tanto, puede existir tanto hacia arriba un margen de ganancia como hacia abajo un margen de ganancia o ambos.
El margen de fase. Considere un sistema que es inicialmente inestable, el margen de fase es una medida del retraso de fase adicional que está permitido antes de alcanzar -180º a la frecuencia donde 𝑀(𝜔) = 1 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 20𝑙𝑜𝑔𝑀 = 0 𝑑𝐵.
Puesto que el retraso de fase adicional es 𝜑(𝜔) − (−180°), el margen de fase se puede expresar como 𝜑(𝜔) + 180°, cuando se evalúa en la frecuencia de cruce de ganancia, 𝜔𝑔𝑐
para la cual 20𝑙𝑜𝑔𝑀 = 0. Si la ganancia permanece menor que la unidad para todas las frecuencias, el sistema permanece estable con cualquier valor de retardo de fase añadido. Un ejemplo de medida de margen de fase se ilustra en la figura anterior.
Es importante entender que aunque los márgenes de ganancia y de fase están determinados utilizando la función de transferencia en lazo abierto, proporcionan medidas de estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado.
positivo MG positivo MF G dB G dB G G negativo MG negativo MF º 90 90º º 180 180º º 270 270º estable sistema inestable sistema Criterio de estabilidad
Un sistema controlado (es decir, el sistema completo) es estable si y solo si los dos márgenes de estabilidad (el margen de ganancia y el margen de fase) son positivos.
Diagramas Polares
El diagrama polar (diagrama de Nyquist), de una función de transferencia sinusoidal 𝐺(𝑗𝜔) es una grafica de la magnitud de 𝐺(𝑗𝜔) con respecto al ángulo de fase de 𝐺(𝑗𝜔) en coordenadas polares, cuando w varia de cero a infinito. Por tanto, el diagrama polar es el lugar geométrico de los vectores |𝐺(𝑗𝜔)|∠𝐺(𝑗𝜔) cuando 𝜔 varia de cero a infinito. En graficas polares los ángulos de fase son positivos si se miden en el sentido contrario al de las agujas del reloj a partir del eje real positivo. Cada punto en el diagrama polar de 𝐺(𝑗𝜔) representa el punto terminal de un vector en un valor determinado 𝜔.
Factores integral y derivativo (𝒋𝝎)∓𝟏. 𝐺(𝑗𝜔) = 1 𝑗𝜔= −𝑗 1 𝜔 = 1 𝜔∠ − 90° 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑗𝜔 = 𝜔∠90°
Factores de primer orden (𝟏 + 𝒋𝝎𝑻)∓𝟏 𝐺(𝑗𝜔) = 1 1 + 𝑗𝜔𝑇= 1 √1 + 𝜔2𝑇2∠ − 𝑡𝑎𝑛 −1𝜔𝑇 𝐺(𝑗0) = 1∠0° 𝐺 (𝑗1 𝑇) = 1 √2∠ − 45° 2 2 1 1 T w 2 2
