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MAYOR DE SAN
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MARCOS
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Universidad del Perú, Decana De
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América
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Ciudad Universitaria, junio 201
Ciudad Universitaria, junio 201
INDICE
INDICE
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Investigar los cambios de energía potencial elástica en un sistema masa-Investigar los cambios de energía potencial elástica en un sistema masa-resorte.resorte.
EsEstatablblececer er didifefererencnciaias s enentrtre e la la enenerergígía a popotetencnciaial l elelásástictica a y y la la enenerergígíaa potencial gravitatoria.potencial gravitatoria.
IIII00
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ResorteResorte
Hojas de papel milimetradoHojas de papel milimetrado
Portapesas verticalPortapesas vertical
Regla graduada de un metroRegla graduada de un metro
Soporte universalSoporte universal
PrensaPrensa
uego de pesasuego de pesas
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Pesas He"agonalesPesas He"agonalesUNMSM
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#os s$lidos elásticos son a%uellos %ue se recuperan& más o menos rápidamente& a #os s$lidos elásticos son a%uellos %ue se recuperan& más o menos rápidamente& a su conformaci$n definida originalmente al cesar la causa de la deformaci$n. En su conformaci$n definida originalmente al cesar la causa de la deformaci$n. En realidad& todos los cuerpos son deformables. E"cedido un cierto límite el cuerpo realidad& todos los cuerpos son deformables. E"cedido un cierto límite el cuerpo pierde sus características elásticas. #os resortes se estiran cuando se le aplican pierde sus características elásticas. #os resortes se estiran cuando se le aplican fuer'as de tracci$n. ( mayor estiramiento mayor tracci$n& esto indica %ue la fuer'a fuer'as de tracci$n. ( mayor estiramiento mayor tracci$n& esto indica %ue la fuer'a no es constante. #a ley de Hoo)e nos da la relaci$n de la magnitud de la fuer'a no es constante. #a ley de Hoo)e nos da la relaci$n de la magnitud de la fuer'a F F x x
con la longitud
con la longitud x x de la de la deformaci$n.deformaci$n.
F
F x x
=−
=−
kxkx(1)
(1)
*o
*ondndee
kk
es es ununa a coconsnstatantnte e elelásástictica& a& su su vavalolor r dedepependnde e de de la la foformrma a y y el el sisigngnoo negativo indica %ue la fuer'a elástica del resorte siempre se opone a la deformaci$n negativo indica %ue la fuer'a elástica del resorte siempre se opone a la deformaci$n +estiramiento o compresi$n,.+estiramiento o compresi$n,.
El eco de %ue un resorte estirado tienda a regresar a su configuraci$n El eco de %ue un resorte estirado tienda a regresar a su configuraci$n +forma y tamao, original cuando deja de actuar la causa %ue lo deforma& nos indica +forma y tamao, original cuando deja de actuar la causa %ue lo deforma& nos indica %ue el resorte almacena energía potencial de naturale'a elástica
%ue el resorte almacena energía potencial de naturale'a elástica
U
U
ss cuyo valor es cuyo valor esigual al trabajo reali'ado por
igual al trabajo reali'ado por la fuer'a de estiramiento.la fuer'a de estiramiento. Se demuestra %ue al estirarse un
Se demuestra %ue al estirarse un resorte el trabajo reali'ado esresorte el trabajo reali'ado es
W
W
=
=
U U ss=(
=(
11//
22kxkx))
x x=
=
½½k xk x22(2)
(2)
*onde " es el estiramiento +elongaci$n, producido por la fuer'a promedio en *onde " es el estiramiento +elongaci$n, producido por la fuer'a promedio en el resorte.
el resorte.
#a /igura 0 muestra la posici$n "
#a /igura 0 muestra la posici$n "11 del e"tremo inferior de un resorte libre de la del e"tremo inferior de un resorte libre de la
acci$n de fuer'as e"ternas +
acci$n de fuer'as e"ternas +
sistema de referencia para medir los estiramientos del
sistema de referencia para medir los estiramientos del
resorte
resorte
,.,.Sea una masa
Sea una masa
m
m
sostenida en x sostenida en x 0 0
Se le ace descender estirando el resorteSe le ace descender estirando el resorteuna pe%ue
una pe%uea distanca distancia asta un ia asta un puntpuntoo x x 11. Si despu2s la masa se deja libre esta. Si despu2s la masa se deja libre esta
caerá a una posici$n
caerá a una posici$n x x 2 2 & luego continuará vibrando entre posiciones cercanas a& luego continuará vibrando entre posiciones cercanas a x x 11 y y
x
x 2 2 . *espu2s de un cierto tiempo la masa se detendrá. . *espu2s de un cierto tiempo la masa se detendrá.
3ajo estas condic
3ajo estas condiciones el trabajo reali'aiones el trabajo reali'ado para estirar el do para estirar el resoresorte derte de x x 11 aa x x 2 2 está está
dado por dado por
W
W
=
=
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22k xk x2222−
−
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22kk xx1122=
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11//
22((
x x2222−
−
x x1122))
(3)
(3)
Esto define el cambio de energía potencial elástica 45
Esto define el cambio de energía potencial elástica 45ss producido en el resorte. #a producido en el resorte. #a
energía se e"presa en joule. energía se e"presa en joule.
Por otro lado& el cambio de energía potencial gravitatoria 45
Por otro lado& el cambio de energía potencial gravitatoria 45gg e"perimentada por la e"perimentada por la
masa
masa
m
m
está dada por está dada porΔ
Δ U U gg
=
=
mg mg ΔΔ xx=
=
mgmg((
x x22−
−
x x11))
(4)
(4)
UNMSM
Par
Para a medmedir ir la la eneenergírgía a potpotencencial ial gragravitvitatoatoriaria
U
U
gg= mgy
= mgy
se se puepuede de conconsidsideraerar r elelsistema de referencia en la vertical& con
sistema de referencia en la vertical& con y y 0 0 en la base. En este caso otra forma deen la base. En este caso otra forma de
escribir la ecuaci$n +6, es escribir la ecuaci$n +6, es
Δ
Δ U U gg
=
=
mg mg yy11−
−
mg mg yy22=
=
mgmg((
y y11−
−
y y22))
*onde
*onde y y 11&& y y 2 2 se pueden determinar una ve' conocidas se pueden determinar una ve' conocidas x x 11 y y x x 2 2 . #lamando. #lamando
H
H
a la a ladistancia comprendida entre
distancia comprendida entre x x 0 0 e e y y 0 0 se encuentra %ue se encuentra %ue
y
y11
=
=
H H –– xx11 y y22=
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H H−
−
x x22H
H
es una cantidad fácilmente mensurable. es una cantidad fácilmente mensurable.II&
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4
PARTE A: DETERMINAR LA CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE
PARTE A: DETERMINAR LA CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE
0. 7ontamos el e%uipo tal como se muestra en la figura 8.9 y elija un punto de 0. 7ontamos el e%uipo tal como se muestra en la figura 8.9 y elija un punto de referencia para medir los estiramientos del resorte.
referencia para medir los estiramientos del resorte.
9. !olgamos la porta pesas del e"tremo inferior del resorte. Es posible %ue en estas 9. !olgamos la porta pesas del e"tremo inferior del resorte. Es posible %ue en estas condiciones se produ'ca un pe%ueo estiramiento& si es así anotamos la masa del condiciones se produ'ca un pe%ueo estiramiento& si es así anotamos la masa del porta pesas y el estiramiento producido en la
porta pesas y el estiramiento producido en la tabla0.tabla0.
:. (dicionamos sucesivamente masas y registra los estiramientos del resorte para :. (dicionamos sucesivamente masas y registra los estiramientos del resorte para cada una de ellas. !uide de no
cada una de ellas. !uide de no pasar el límite elástico del pasar el límite elástico del resorte.resorte.
6. Retiramos una de las masas y registre nuevamente los estiramientos producidos 6. Retiramos una de las masas y registre nuevamente los estiramientos producidos en el resorte para cada caso.
en el resorte para cada caso.
;. !ompletamos la tabla 0 calculando el promedio de las lecturas y determinando ;. !ompletamos la tabla 0 calculando el promedio de las lecturas y determinando los correspondientes estiramientos para cada masa usada.
los correspondientes estiramientos para cada masa usada.
Masa
Masaenen
((
kgkg))
Fuerza Fuerza((
N N X X( (
cmcm))
adicionandadicionandoo masasmasas
X X
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cmcm))
re
retirandotirando masasmasas
promed promedii X X
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'-UNMSM-PARTE B: DETERMINACION DE LA ENERIA POTENCIAL ELASTICA ! LA
PARTE B: DETERMINACION DE LA ENERIA POTENCIAL ELASTICA ! LA
ENERI
ENERIA POTENCIAL
A POTENCIAL RA"ITA
RA"ITATORIA
TORIA
<. Suspendemos aora una masa de 1.; =g +o cual%uier otra sugerida por el <. Suspendemos aora una masa de 1.; =g +o cual%uier otra sugerida por el profesor,& del e"tremo inferior del resorte y mientras las sostienes en la mano a'la profesor,& del e"tremo inferior del resorte y mientras las sostienes en la mano a'la descender de tal forma %u
descender de tal forma %ue el resorte se estire 0cm. Registra ese el resorte se estire 0cm. Registra este valor como te valor como "0."0. >. Soltamos la masa de manera %ue caiga libremente. *espu2s de dos o más >. Soltamos la masa de manera %ue caiga libremente. *espu2s de dos o más intentos
intentos observa observa la posici$n la posici$n apro"imada apro"imada del punto del punto más bamás bajo de jo de la caída. la caída. RegistreRegistre esta
esta lectura lectura como como "9."9.
Masa
Masaconstanteconstante
=
=
0.30.3 Kg Kg ; ; aceaceleraleracióciónndede lala gragravedvedadad=
=
9.789.78mm//
ss22 ; ; k k=
=
34.23834.238x x11 (m) (m) x x22 (m) (m) U U 1 1 (J) (J) U U 2 2
((
! !))
"" U U (J) (J) y y11 (( m) m) y y22 (m) (m) U U gg 1 1 (J) (J) U U gg 2 2((
! !))
"" U U gg (J) (J) "" U U
=
=
"" U U +
+
""0 0..0011 00..008855 00..000022 00..112244 00..112222 00..665555 00..5588 11..992222 1..7170022 00..2222 00..334422 0 0..0022 00..0099 00..000077 0..1013399 00..113322 0..6064455 00..557755 11..889922 11..668877 00..220055 00..333377 0 0..0033 00..009955 00..001155 00..115544 00..113399 00..663355 00..5577 11..886633 1..6167722 00..119911 00..3333 0 0..0044 00..11 00..002277 0..1017711 00..114444 00..662255 00..556655 11..883344 11..665588 00..117766 00..3322 ?. Repetimos los pasos +<, y
?. Repetimos los pasos +<, y +>, consideramos nuevos valores para "0 tales como+>, consideramos nuevos valores para "0 tales como 9cm& :cm& 6cm y ;cm. (notamos todos estos valores en la tabla
9cm& :cm& 6cm y ;cm. (notamos todos estos valores en la tabla 9 y completa seg@n9 y completa seg@n la informaci$n %ue as recibido.
la informaci$n %ue as recibido.
Donde: Donde: U U 11 == 11 2 2 k k xx11 2 2 ,, U U 22 == 1 1 2 2 k xk x22 2 2
:: Energía potencial elástica en las posicionesEnergía potencial elástica en las posiciones x x11 y x y x22
respectivamente. respectivamente.
U U gg
1
1
=
=
mg ymg y11 U U gg22=
=
mg ymg y22 :: Energía potencial elástica en las posicionesEnergía potencial elástica en las posiciones x x11 y y xx22respectivamente. respectivamente.
((
y y=
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H H−
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x x))
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4
UNMSM
1
1 GrafGrafique e intique e intérprérprete las fuete las fuerzaerzas aplics aplicadas veadas versus lorsus los estirs estiramienamientos del retos del resorte usorte usandsandoo los valores de la tabla
los valores de la tabla 1. En el 1. En el experimento desarexperimento desarrollado ¿F es proporcional a x?rollado ¿F es proporcional a x?
00'' 00** 00;; 00<< 00-- 00?? 00// 00>> ' ' * * ; ; < <
! versus "
! versus "
distan#ia $%& distan#ia $%& 'uer(a $N& 'uer(a $N&Para el caso de la exer!enc!a s! lo es, "es#o $"e al #omarse s%lo dos &alores de las Para el caso de la exer!enc!a s! lo es, "es#o $"e al #omarse s%lo dos &alores de las masas ($"e lo'ran "n es#!ram!en#o del resor#e) se o#!ene "na rec#a, o sea "na "nc!%n masas ($"e lo'ran "n es#!ram!en#o del resor#e) se o#!ene "na rec#a, o sea "na "nc!%n l!
l!nenealal, , oo#e#en!n!enendo do asas* * #o#ododos s lolos s &a&aloloreres s $"$"e e se se enenc"c"enen#r#ran an sosorre e eses#a#as s rerec#c#asas roorc!onales.
roorc!onales. 2
2 A A partpartir de ir de la rla r!fica !fica F vs F vs x. dex. determitermine la ne la consconstantetante" # de" # del resl resorteorte..
Fuerza
Fuerza
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N N))
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x x #istancia#istancia((
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y y xyxy xx22
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F F=
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34.23834.238 x x+
+
0.5710.571 F F=−
=−
k $k $ xx Por lo #an#o: Por lo #an#o: k k=
=
34.23834.238 N N//
mm $$ %alle %alle el !reel !rea ba&o la ba&o la curva curva en la a en la r!ficr!fica F 's xa F 's x. ¿F(s. ¿F(sicameicamente qunte que sine sinifica eifica esta !rsta !rea?ea?
UNMSM
00'' 00** 00;; 00<< 00-- 00?? 00// 00>> 0-' ' '0-* * *0-; ;
;0-Para +allar el rea al!camos la !n#e'ral en la "nc!%n, de -=0.0025 +as#a x= 0.0715 Para +allar el rea al!camos la !n#e'ral en la "nc!%n, de -=0.0025 +as#a x= 0.0715
∫
∫
0.0025 0.0025 0.0715 0.0715 Fdx Fdx=
=
∫
∫
0.0025 0.0025 0.0715 0.0715 34.238 34.238 x x+
+
0.5710.571dxdx Donde el rea esDonde el rea es 0.2140.214 %% reresen#a la ener'*a o#enc!al els#!ca. reresen#a la ener'*a o#enc!al els#!ca.
)
) *i la r!*i la r!fifica de F ca de F 's x 's x no fueno fuera linra lineaeal l papara el estra el estiriramamieientnto dado dado de o de ciciererto resto resorortete enco
encontrantrar r la la enerener(a (a potepotenciancial l almacalmacenadenada. a. *ue*uerencrenciaia " " en en matem!tica matem!tica superior superior sese usa la interal + otros
usa la interal + otros métodos" averiuar e indicarlos en su respuesta.métodos" averiuar e indicarlos en su respuesta. ! la 'r!ca / &s - no es l!neal con los da#o
! la 'r!ca / &s - no es l!neal con los da#os o#en!ds o#en!dos en el laora#oos en el laora#or!o, r!o, en#onen#oncesces "na de las maneras de +allar la ener'*a o#enc!al 'ra&!#a#or!a es al!cando el m#odo de "na de las maneras de +allar la ener'*a o#enc!al 'ra&!#a#or!a es al!cando el m#odo de m*n!mos c"adrados as* la 'r!ca / &s - nos saldr "na l*nea rec#a con es#os m*n!mos c"adrados as* la 'r!ca / &s - nos saldr "na l*nea rec#a con es#os res"l#ados odremos calc"lar la ener'*a o#enc!al els#!ca. la orma 'eneral de +allar la res"l#ados odremos calc"lar la ener'*a o#enc!al els#!ca. la orma 'eneral de +allar la ene
ener'*r'*a a o#o#encenc!al !al elsels#!ca#!ca, , sea c"al sea c"al sea sea la la 'r'r!ca es !ca es oor r el el m#om#odo do ma#ma#emem#!co de#!co de !n#e'rales.
!n#e'rales.
UNMSM
UNMSM P7ina >P7ina >
(0.0715, 2.934) (0.0715, 2.934) (0.0715,0.489 (0.0715,0.489 (0.0025,0.489 (0.0025,0.489
a ec"ac!%n de la rec#a es: a ec"ac!%n de la rec#a es:
y
y
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34.23834.238 x x−
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0.5710.571Para +allar la ener'*a o#enc!al almacenada es con el "so de !n#e'rales, lo +allaremos Para +allar la ener'*a o#enc!al almacenada es con el "so de !n#e'rales, lo +allaremos de la s!'"!en#e manera: de la s!'"!en#e manera:
∫
∫
0.0025 0.0025 0.0715 0.0715((
3.99843.9984 x x−
−
0.71250.7125))
dxdx@ es34 es i76al a 0*'< %
@ es34 es i76al a 0*'< %
,, -bse-bserve de srve de sus resus resultadultados la péros la pérdida de edida de enerner(a pote(a potenciancial ravil ravitatortatoria + el aumeia + el aumento dento de la ener(a potencial del resorte cuando las masas cae ¿qué relacin /a+
la ener(a potencial del resorte cuando las masas cae ¿qué relacin /a+ entre ellas?entre ellas? a relac!%n $"e ex!s#e en#re la ener'*a o#enc!al 'ra&!#a#or!a la ener'*a o#enc!al del a relac!%n $"e ex!s#e en#re la ener'*a o#enc!al 'ra&!#a#or!a la ener'*a o#enc!al del resor#e es la
resor#e es la ∆∆ med!da $"e la ener'*a 'ra&!#a#or!a !erde, de!do al decremen#o de la med!da $"e la ener'*a 'ra&!#a#or!a !erde, de!do al decremen#o de la al#"ra, la ener'*a o#enc!al del resor#e a"men#a s" ener'*a de!do a $"e se &a
al#"ra, la ener'*a o#enc!al del resor#e a"men#a s" ener'*a de!do a $"e se &a !ncremen#ando la deormac!%n del resor#e.
!ncremen#ando la deormac!%n del resor#e. 0
0 GrGrafiafique sique simultmult!ne!neameamente las dos fornte las dos formas de enermas de ener(a en func(a en funcin de los estiin de los estiramramienientostos d
deel l rreessoorrttee. . **uueerreenncciiaa"" .é
.é una una interpretacin interpretacin adecuada adecuada tanto tanto a a laslas curvas obtenidas como a la interpretacin a los
curvas obtenidas como a la interpretacin a los punto de interpolacin.punto de interpolacin.
med!da $"e la ener'*a o#enc!al els#!ca a"men#a la ener'*a o#enc!al 'ra&!#a#or!a, med!da $"e la ener'*a o#enc!al els#!ca a"men#a la ener'*a o#enc!al 'ra&!#a#or!a, ex!s#!endo as* "na #endenc!a a $"e la ener'*a del s!s#ema se man#en'a
ex!s#!endo as* "na #endenc!a a $"e la ener'*a del s!s#ema se man#en'a..
00>> 00.. 00.. 00'' 00'' 00'''' 0-0' 0' 0'-0* 0* 0*-7ravi3a34ria 7ravi3a34ria elas3ica elas3ica
¿En la¿En las intes interaccracciones iones tratatratadas endas entre la mtre la masa + easa + el resol resorte se crte se conseonserva la erva la enerner(a?(a?
Es
Estrtricictatamementnte e aablblanando do no no se se coconsnserverva a la la enenerergígía a pupues es ininflfluyuyenen fuer'as
fuer'as e"ternas como e"ternas como la resistencia dela resistencia del aire& campos el aire& campos el2ctricos gravitatorios yl2ctricos gravitatorios y
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ma
magngn2t2ticicos os de de lolos s mamateteriarialeles s dedel l lalaboboraratotoririo& o& pepero ro esestatas s vavariariacicionones es sese pueden considerar contantes. En este caso la masa y el resorte se conserva la pueden considerar contantes. En este caso la masa y el resorte se conserva la ene
energírgía a porpor%ue %ue priprimermero o cuacuando ndo sossostentenemoemos s el el resresortorte e en en ununa a posposiciici$n $n elel cuerpo tiene una energía potencial gravitatoria y cuando lo
cuerpo tiene una energía potencial gravitatoria y cuando lo soltamos gran partesoltamos gran parte de la energía potencial gravitatoria se transforma en energía potencial elástica de la energía potencial gravitatoria se transforma en energía potencial elástica desarrollada por el estiramiento del resorte.
desarrollada por el estiramiento del resorte.
3
3 4uan4uando la mado la masa de 5sa de 5., #. 6., #. 6ara # meara # menorenores que $s que $578m" 578m" o masa o masa de 1.1de 1.15#. p5#. para # mara # m!s!s de,5 78m" /a lleado a la mitad de su ca(da" ¿4u!l es el valor de la suma de las de,5 78m" /a lleado a la mitad de su ca(da" ¿4u!l es el valor de la suma de las ener(as potenciales?
ener(as potenciales? 9
9 GrGrafafiqique la ue la susuma ma de las de las enenerer((as poteas potencnciaialeles s en funen funcicin de n de lolos s esestirtiramamieientntos del os del rreessoorrttee. . **uueerreenncciiaa
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" coloque coloque en en un un solo solo sistema sistema de de e&es e&es ¿:ué ¿:ué puede dedu
puede deducir usted de ecir usted de este rafico?ste rafico?
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n el caso de la ener'*a 2, la 'r!ca m"es#ra "na #endenc!a a "na l*nea rec#a es or$"e n el caso de la ener'*a 2, la 'r!ca m"es#ra "na #endenc!a a "na l*nea rec#a es or$"e la ener'*a #!ende a ser cons#an#e ero de!do a las "eras no conser&a#!&as, no lo es. !n la ener'*a #!ende a ser cons#an#e ero de!do a las "eras no conser&a#!&as, no lo es. !n emar'o oser&amos $"e en la ener'*a 1 la &ar!ac!%n es maor de!do a al'"nos errores emar'o oser&amos $"e en la ener'*a 1 la &ar!ac!%n es maor de!do a al'"nos errores de med!c!%n la al#a de rec!s!%n.
de med!c!%n la al#a de rec!s!%n.
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15 ¿;a¿;a&o qué &o qué concondicdicioniones la es la susuma de ma de la enerla ener(a ciné(a cinétictica a + + la enerla ener(a poten(a potenciacial l de unde un sistema permanece constante?
sistema permanece constante?
a s"ma de la ener'*a c!n#!ca o#enc!al de "n s!s#ema ermanecer cons#an#e a s"ma de la ener'*a c!n#!ca o#enc!al de "n s!s#ema ermanecer cons#an#e c"ando ac#en solo "eras conser&a#!&as en el s!s#ema, es dec!r $"e solo ac#en la "era c"ando ac#en solo "eras conser&a#!&as en el s!s#ema, es dec!r $"e solo ac#en la "era
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d"ran#e s" mo&!m!en#o. d"ran#e s" mo&!m!en#o.
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!n#ernas $"e ac#an en d!c+o s!s#ema son o#enc!ales. !n#ernas $"e ac#an en d!c+o s!s#ema son o#enc!ales.
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#!emo. #!emo.
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