CUADERNO DE REFUERZO
MATEMÁTICAS PENDIENTES
1º BACHILLERATO
MATEMÁTICAS APLICADAS
NÚMEROS REALES ÁLGEBRA MATEMÁTICA FINANCIERA FUNCIONES
NOMBRE DEL ALUMNO:
NÚMEROS REALES
1º Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica: ⋅
2 5
3 4
a) a a b) 7 : 7
2º Calcula, utilizando la definición de logaritmo: − 3 27 41 log log 3º Efectúa y simplifica: 2 3 2 2 c) 12 2 48 b) 2 3 27 2 a) + + −
4º Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica: 2
: 2 b) a) 3 a⋅ a7 5 3
5º Utilizando la definición de logaritmo, calcula:
+ 3 232 3 81 log log 6º Efectúa y simplifica: 2 3 2 2 c) 12 2 48 b) 2 3 27 2 a) + + −
7º a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4500 000 por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.
Aproxima el resultado tomando dos cifras significativas y da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo que se comete al aproximar.
b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por término medio? Exprésalo en kilómetros.
8º Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los radicales en forma de potencia de exponente fraccionario:
5 5 b) a) 4 3 3 2 5 2 x x ⋅
9º Calcula, utilizando la definición de logaritmo: −
3 27 41
log log
10º Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
3 4 3 3 6 c) 18 2 98 b) 10 45 18 a) ⋅ − +
11º Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:
⋅ 3 5
4 2 6 3
a) 5 5 b) a
12º Halla el valor de x, utilizando la definición de logaritmo: 4 b) 4 16 a) logx = log3x = 13º Calcula y simplifica: 2 3 2 3 c) 125 3 45 b) 125 343 7 5 a) − + −
14ºEfectuar , simplificando al máximo el resultado
a)
−
+
+
−
9
+
3
=
4
75
27
2
48
2
3
12
4 b) = 6 2 3 3 3 3 9 c)Racionalizar − = 2 2 2 615º a) Escribe en forma de intervalo y representa : 1º Conjunto de los números reales mayores que 7 2º
{
x
∈
R
/
2
<
x
≤
4
}
b) Escribe en forma de desigualdad y representa 1º
(
−
∞
,
−
3
)
2º
[
−
2
,
4
]
16º Efectuar , simplificando al máximo el resultado
a) 2 8−3 50+2 72− 64−2 2 b)
( )
3 4 4 3 2 2 9 . 3 17º Racionalizar y simplificar al máximoa) 2 2 6− b) 3 2 3 3 −
18º Dados los intervalos A ={ x ∈R/ 2 ≤ x<4} , B = ( - 1 , 2 ] y C = { x ∈R/ x≥3} , representarlos . Calcular los conjuntos : A∪B,A∩B,A∩C,B∩C,A∪C y A∪B∪C
19º a) Simplifica los siguientes radicales
12
16
a
4b
8 = 3 4x
5x
7 = b) Saca del radical los factores que sea posible 3 4 5 75 28 y z x = 4 5 7 12 16 3 c b ac) Introduce dentro de la raíz y simplifica
3 3 6 2 4 9 3 2 a b b a =
20º Efectúa y simplifica al máximo las siguientes expresiones
a) 4
−
+
+
−
+
=
3
1
9
4
75
27
2
48
2
3
12
4 b) 53 16+33 250+23 54−3 2+3 64 = 21º Efectúa y simplifica el resultadoa) 3 16.(3 2)5. 4 = b) = 6 2 3 3 3 3 9 22º Racionaliza y simplifica si es posible
a) − = 2 2 2 6 b) = 5 4 2 c) = + − 3 5 3 5
23º Calcular las siguientes expresiones , sin hacer uso de la calculadora
a)
( )
2
3 4
5 5
log b) log5103 −log523 c)
3 3 3 3 1 9 3 . 3 log
24º Calcular las siguientes expresiones , sin hacer uso de la calculadora a)
( )
2
3 4
3 3
log b) log634 +log624 c) 3 3 3 2 1 4 2 . 2 log
ÁLGEBRA
1º Dados los polinomios :A(x) = x4+2x3-x2-2x B(x) = x5-x4-4x3+4x2 a) Descomponerlos factorialmente b) Calcular : m.c.d.(A(x),B(x)) m.c.m(A(x),B(x))
c) Simplificar la fracción algebraica:
) ( ) ( x A x B
2º RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES : a)
(
2x2 +1)(
x2 −3) (
= x2 +1)(
x2 −1)
−8 b) 3 1 9 1 2 3 2 − = + + − − x x x x x c) x + x+2 =2 d ) x4+2x3-x2-2x= 03º Dados los polinomios : A(x) = x5+2x4-x3-2x2 B(x) = x4-x3-4x2+4x c) Descomponerlos factorialmente d) Calcular : m.c.d.(A(x),B(x)) m.c.m(A(x),B(x))
c) Simplificar la fracción algebraica:
) ( ) ( x A x B 4º RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES :
a) x+2+ x+7 =5 b) x4 −x3 −4x2 +4x=0 c) x x x x x x x 2 2 12 2 5 9 2 + + = + + − + d)
(
2x2 +1) (
2 − x2 +2)(
.x2 −2)
=5 5º RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES :a) x+1− x−4 =1 b) x4 −x3 −4x2 +4x=0 c) x x x x x x x 2 2 12 2 5 9 2 + + = + + − + d)
(
2x2 +1) (
2 −3x2 +1)(
. x2 −1)
=x2 +86º Resolver los siguientes sistemas :
3 16 ) 1 ( 3 8 15 = + + + y x y2 −2y+1=x 3 12 1 2 7−x − +y = x+y =5
7º Resolver las siguientes inecuaciones : a) 3 5 2 4 7 2 2 2 4 2 + − + ≥ + − −x x x x b)
x
(
x
+
9
) (
−
5
x
−
2
)
>3x2 −20 c) 0 2 1 < − + x x8º Resolver el siguiente sistema de inecuaciones: 0 2 ) 1 ( 3 2 3 2 2 − − ≤ − ≤ − − x x x x x
9º Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
2 3 5 2 x y x x y − + = − + = − + = − + = − + = − − +− + = −= − − + = −
10º Resolver el sistema de inecuaciones
0 2 ) 1 ( 3 2 3 2 2 − − ≤ − ≤ − − x x x x x
11º Resolver el sistema de inecuaciones
x
(
x
+
9
) (
−
5
x
−
2
)
>3x2 −20 3 5 2 4 7 2 2 2 4 2−x− +x ≥ x+ − x+12º Efectuar y simplificar al máximo
1
5
3
1
2
`
.
2
6
2
1
2
1
1
2−
−
−
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
13º Resolver los sistemas a)
11
3
6
2
2 2 2 2=
−
=
+
y
x
y
x
b) 10 5 3 20 9 3 1 3 1 2 2 2 + + ≤ + − − ≥ − − x x x x x x x14º Dados los polinomios :
A(x) = x5-x4-4x3+4x2 B(x) = x4-4x2 e) Descomponerlos factorialmente
f) Calcular :
m.c.d.(A(x),B(x)) m.c.m(A(x),B(x)) c) Simplificar la fracción algebraica:
) ( ) ( x A x B
15º Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss
=
−
−
=
−
+
=
−
+
6
3
6
2
7
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
16º Resuelve las siguientes inecuaciones y da la solución en intervalos :
a) x− −x+ − >x 2 1 6 3 2 1 b) x
(
x+9) (
−5 x−2)
<3x2 −20 c) 0 1 2 ≥ − + x x17º Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones y calcula los vértices de la región solución : 1 1 4 2 2 ≤ ≥ − ≥ − ≤ + x y y x y x
18º Un comerciante ha vendido 600 pantalones , por los que ha obtenido a cambio 37440 euros . La venta se ha realizado de la siguiente forma .
- Vendió algunos pantalones a 72 euros la unidad
- En las rebajas vendió algunos de ellos con un 20% de descuento
- El resto lo vendió en la liquidación con un descuento del 40% sobre el precio inicial . Sabiendo que en la temporada de rebajas vendió la mitad que en los otros dos períodos juntos , calcula cuántos pantalones vendió durante la liquidación.
19º Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss
=
+
+
−
=
+
−
=
+
+
0
3
2
4
2
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
20º Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones y calcula los vértices de la región solución : 3 6 4 0, 0 x y x y x y + ≤ + ≤ + ≤ + ≤ + ≥ + ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
21º Una fabrica dispone de tres máquinas , A , B e C , para producir cierto artículo. Cuando trabajan las tres se fabrican 2000 unidades por día . Si A no funciona , pero a B y C si , la producción desciende un 25% . Y cuando A y B funcionan normalmente , pero C sólo las tres cuartas partes de su rendimiento normal , la producción baja un 10% . ¿Cuántas unidades fabrica a diario cada máquina?
22º Un grupo de estudiantes organiza una excursión para lo cuál alquilan un autocar cuyo precio es de 540 €. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 € menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno.
23º Resuelve, por el método de Gauss, el siguiente sistema de ecuaciones:
=
+
−
−
=
+
−
=
−
+
1
3
1
2
6
2
y
x
z
y
x
z
y
x
24º En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.
a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?
b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?
Justifica en cada caso tus respuestas.
25º Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de
descuento.
26º Calcula dos números, sabiendo que su suma es 42 y la suma de sus inversos es
72 7
27º El perímetro de una parcela rectangular es de 350 m y el triple de su largo es igual al cuádruple de su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
28º Las edades de Marta, Miguel y Carmen suman 94 años. Dentro de diecisiete años las edades de Marta y Miguel sumarán un siglo. Calcula sus edades, sabiendo que Marta le lleva siete años a Carmen.
29º Carmen se dispone a invertir 100.000 €. En el banco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A, al 4% de interés anual, y Fondo Riesgo B, al 6% de interés anual. Invierte una parte en cada tipo de fondo y al cabo del año obtiene 4.500 € de intereses. ¿Cuánto adquirió de cada
producto?
30º Los lados de un rectángulo se diferencian en 2 m. Si aumentáramos en 2 m cada lado, el área se incrementaría en 40 m2. Halla las dimensiones del rectángulo.
31º Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas : a) 3x+2 +3x+1+3x+3x−1 =120 b) 4x+1+2x+3 =320 c) 81 1 9 . 3 3 2−x = d) log ( 2x+8 ) = 1 + log x
e) logx+log(x+3)=2log(x+1)
32º Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales 28 2 . 2 3 . 4 127 2 3 . 5 1 1 = + = − − + y x y x
33º Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas : a) 3x+2 +3x+1+3x+3x−1 =120 b) 32x−1−8.3x−1 =3 c) 16 1 8 . 4 3 2−x = d) log ( x+9 ) = 1 + log x
MATEMÁTICA FINANCIERA
1ºPor un artículo que estaba rebajado un 12% hemos pagado 26,4 euros. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?
Solución:
El índice de variación es 0,88. Por tanto: 26,4 : 0,88 = 30
Antes de la rebaja costaba 30 euros.
Ejercicio nº 2.-
El precio sin I.V.A. de un determinado medicamento es de 15 euros. a) Sabiendo que el I.V.A. es del 4%, ¿cuanto costará con I.V.A.?
b) Con receta médica solo pagamos el 40% del precio total. ¿Cuánto nos costaría este medicamento si lo compráramos con receta?
Solución:
a) El índice de variación para un aumento del 4% es de 1,04. Por tanto, el medicamento con I.V.A. costará:
15 · 1,04 = 15,6 euros
b) Para calcular el 40% multiplicamos por 0,4: 15,6 · 0,4 = 6,24
El precio con receta sería de 6,24 euros.
Ejercicio nº 3.-
Calcula en cuánto se transforman 800 euros al 10% anual, en un año, si los periodos de capitalización son mensuales.
Solución: mensual. % 12 10 un a correspone anual 10% Un
Al cabo de 12 meses (un año) se habrá transformado en:
euros 77 , 883 1200 10 1 800 12 = + ⋅ Ejercicio nº 4.-
Calcula la cantidad total que tendremos si pagamos al final de cada año una anualidad
de 1500 euros durante 10 años, al 8% anual.
Solución:
• Como pagamos al final de cada año, los primeros 1500 euros estarán un total de 9 años y se habrán transformado en:
1500 · (1,08)9 euros
• Los 1500 euros del 2º año se transformarán, en 8 años, en: 1500 · (1,08)8 euro
• Los 1500 euros del 10º año son 1500 euros más.
• En total, al final de los 10 años tendremos: 1500 + … + 1500 (1,08)8+ 1500 · (1,08)9
Esta es la suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica en la que: El primer término es a1= 1500. El décimo término es a10= 1500 · (1,08)9. La razón es r = 1,08. La suma será:
(
) (
)
= ⋅(
)
− = − − ⋅ ⋅ = 08 0 500 1 08 1 500 1 1 08 1 500 1 08 1 08 1 500 1 9 10 , , , , , S(
)
[
]
2172984 euros 08 0 1 08 1 500 1 10 , , , = − =Ejercicio nº 5.-
Nos han concedido un préstamo hipotecario (para comprar un piso) por valor de 80000
euros. Lo vamos a amortizar en 180 mensualidades con un interés del 5% anual. ¿Cuál es el valor de cada mensualidad que tendremos que pagar?
Solución:
• El capital es C = 80000 euros.
• El tiempo son n = 180 meses.
1200 5 anual 5% del interés El = → = • r i • La mensualidad será:
( )
( )
632,63 euros 1 1200 5 1 1200 5 1200 5 1 000 80 1 1 1 180 180 = − + ⋅ + = − + ⋅ + = n n i i i C m• Cada mes tendremos que pagar 632,63 euros.
Ejercicio nº 6.-
Halla en cuánto se transforman 3000 euros depositados durante un año al 8% anual si
los periodos de capitalización son trimestrales. Solución:
Como en un año hay 4 trimestres: trimestral 2% 4 8 anual 8% → =
Al cabo de un trimestre tendríamos: 3000 · 1,02 euros
Al cabo de cuatro trimestres (un año) serían: 3000 · 1,024= 3247,30 euros
Ejercicio nº 7.-
Hemos decidido ahorrar ingresando en un banco 1000 euros al principio de cada año.
Calcula la cantidad que tendremos ahorrado al cabo de 8 años, sabiendo que el banco nos da un 6% de interés.
Solución:
• Los 1000 euros del primer año se transforman, al cabo de 8 años, en: 1000 · (1,06)8 euros.
• Los 1000 euros del segundo años se transforman, al cabo de 7 años, en: 1000 · (1,06)7 euros.
• Los 1000 euros del último año se transforman, al cabo de un año, en: 1000 · (1,06) euros.
• Por tanto, al final de los ocho años tendremos, en total: 1000 · (1,06) + ... + 1000 · (1,06)7+ 1000 · (1,06)8
Esta es la suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica en la que: El primer término es a1= 1000 • (1,06) El octavo término es a8= 1000 • (1,06) 8 La razón es r = 1,06. Su suma será:
(
) (
)
(
)
(
) (
[
)
]
1049132 euros. 06 0 1 06 1 06 1 000 1 1 06 1 06 1 000 1 06 1 06 1 000 1 8 8 , , , , , , , , S = ⋅ − = − − ⋅ ⋅ =Al final de los ocho años tendremos 10491,32 euros.
Ejercicio nº 8.-
Un coche cuesta 12000 euros. Nos conceden un préstamo para pagarlo en 48
mensualidades con un interés del 6% anual. ¿Cuál será la cuota mensual que tendremos que pagar?
• El capital es C = 12000 euros.
• El tiempo son n = 48 meses.
FUNCIONES
1º El número , en miles de habitantes , de una determinada ciudad ha evolucionado según la siguiente tabla
Años 2007 2008 2009
Población 53 71 91
b) Mediante interpolación lineal calcula la población en el año 2008, utilizando los otros dos datos ¿Qué error se comete? (compara con el valor real de la tabla)
c) Obtén el polinomio interpolador de segundo grado correspondiente a los tres datos de la tabla
d) Mediante extrapolación , calcula la población en el año 2010
2º Dadas las funciones : f ( x ) = 4 1 x− g( x ) = 4x−2 h( x ) = 1 4 − x
a ) Clasificarlas y calcular su dominio
b) Calcular la expresión analítica de las siguientes funciones : 4f −h f .h f h
1
−
f f f −1
3ºHalla la expresión analítica de la función representada :
4º Busca la expresión analítica de la función que nos da el perímetro de un triángulo isósceles dependiendo de la longitud de los lados, sabiendo que el lado desigual mide la mitad que los lados iguales. Represéntala.
5º Representa la siguiente función:
2 2 5 si 1 1 si 1 2 3 si 2 x x y x x x + < − + < − + < − + < − = − − ≤ < = − − ≤ < = − − ≤ < = − − ≤ < ≥≥≥≥
6º Una central nuclear tiene 1 kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cada 5 años.
a) ¿Qué cantidad de esa sustancia tendremos al cabo de 10 años?
b) ¿Cuál es la función que da la cantidad de sustancia radiactiva según los años transcurridos, suponiendo que el ritmo de desintegración se mantiene?
7º Construye una función definida a trozos, compuesta por dos trozos de rectas y que cumpla las siguientes condiciones:
c) Pendiente 2 en x =0. d) Máximo en el punto (2, 3). Dibújala.
8º Dadas las funciones
2 1 ) (x x f = − , x x x g − − = 2 1 ) ( , h(x)= 2x−4
a) Clasificarlas y calcular su dominio
b) Calcular la expresión analítica de las siguientes funciones : f+2g , f.g , g f , f −1 , f g , h f 2x x<0 9º Representa la función f(x) = x2 −2x 0≤ x≤2 2−x x >2
10º Define como función a trozos y representa la función f(x)= x2 −2x
11º Los beneficios o pérdidas , en millones de euros , generados por cierta empresa durante los tres primeros meses del año 2009 vienen dados por la siguiente tabla :
Meses Enero Febrero Marzo
Beneficios -1 0,5 2
a) Halla el polinomio interpolador que se ajusta a estos datos.
b) Se añade la información del mes de abril , en el que hubo 4 millones de beneficio ; ¿cuál será el nuevo polinomio interpolador?
c) Extrapola los beneficios previsibles para el mes de mayo.
12º El número de habitantes de una determinada ciudad ha evolucionado según los datos de la siguiente tabla :
Años 1998 1999 2001
Población 53 71 91
Calcula el polinomio interpolador de segundo grado que pasa por los tres puntos , y utilízalo para estimar la población de la ciudad en el año 2000
13º Halla el dominio de las siguientes funciones:
1 2 )y = x− a 4 1 ) 2 − + = x x y b 1 1 2 ) 2 + + = x x y c 1 )y = x2 − d
14º En el gráfico de un puerto de montaña, que tiene una pendiente aproximadamente
constante, aparece que en el kilómetro 5 la altura sobre el nivel del mar es de 1.200 m, y en el kilómetro 13, de 2.100 m. Calcula por interpolación lineal la altura en el kilómetro 10. 15º La tabla muestra el número de turistas, en millones, que entraron en España en el período 1995-2005.
AÑO 1995 2000 2005
TURISTAS 54 74 92
a) Halla los valores para 1998, 2002 y 2008. b) ¿En qué año se superaron los 80 millones? 16ºA partir de los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 3):
b) Si utilizamos los tres puntos, ¿cuál será la función de interpolación cuadrática? c) ¿Qué valor toma para x = 1,5 en cada uno de los casos? ¿Y para x = 4?
17ºEn una ciudad se disputa una liga de baloncesto juvenil con 15 equipos. Cada equipo juega dos veces contra cada uno de los otros. Cada victoria supone tres puntos;
cada empate, uno, y las derrotas, cero. Uno de los equipos ha tenido las siguientes puntuaciones.
JORNADA 3 6 8
PUNTOS 4 6 14
a) ¿Qué puntuación podría tener en la jornada 5? ¿Y en la jornada 7? b) La liga se acaba en la jornada 28. ¿Qué puntuación podemos esperar para el equipo? ¿Es razonable el resultado?
18º Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones:
a) y = 2 4 4 1 2 + − x x ; b) y = -1 + 5 2 − x ; c) y=log21 x ; d) = 2x+3−1 e) y = x 3 2 f) y = 7x ; g) y =−x2+ 2x − 1. h) y = log4 x, i)
( )
2 1 si 2 3 si 2 x x f x x − < = ≥ 19º El coste diario de fabricación , en euros , de “x” artículos se expresa con la igualdad C(x) = 40x + 250 , y el ingreso diario de su venta , mediante I(x) = -- 2x2 + 100x
a ) Si se fabrican 10 artículo ¿cuäl será el ingreso obtenido ? ¿y el coste de fabricación? ¿y el beneficio?
b) Calcula la expresión analítica de la función que nos da los beneficios obtenidos en función del número de artículos fabricados . Representa dicha función.
c) ¿Qué cantidad de artículos se deben de fabricar al día para que su venta reporte un
BENEFICIO MÁXIMO ?
20º El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p(x) = 200 – 0.05x ( x = número de artículos fabricados ; p = precio en euros)
a) Si se fabrican y se venden 1000 artículos ¿Cuáles serán los ingresos obtrenidos?
b) Representa la función que nos da los INGRESOS en función del NÍMERO DE ARTÍCULOS vendidos . ¿De qué tipo es la función?
CUADERNOS DE REFUERZO
MATEMÁTICAS PENDIENTES
1º BACHILLERATO
MATEMÁTICAS APLICADAS
CUADERNO 2
-
Límites de funciones . Asíntotas . Continuidad-
Derivadas-
Aplicaciones de las derivadasNOMBRE DEL ALUMNO:
1 º La siguiente gráfica corresponde a la función f (x).
Calcula sobre ella:
( )
x lím f( )
x lím f( )
x lím f( )
x f lím x x x x→−∞ →+∞ →2− →2+ d) c) b) a)( )
x lím f( )
x límf( )
x f lím x x x 2 2 0 g) f) e) → − → − → − +- Estudia la continuidad y clasifica los puntos de discontinuidad
2º Calcula los siguientes límites:
1 3 2 2 3 2 2 2 5 1 2 3 c) 2 2 4 b) 10 3 6 a) + +∞ → +∞ → → + + + + − − − + − + x x x x x x lím x x x x lím x x x x lím d)
2
2
2
lim
2−
−
+
→x
x
x e) 2 3 21
1
2
lim
− →
+
−
x xx
x
f)(
x
x
)
x−
−
∞ →1
2lim
3º Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Si en algún punto no son continuas, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
( )
2 4 2 − − = x x x f( )
≥
+
<
≤
+
−
<
+
=
1
si
2
1
0
si
1
2
0
si
1
2
2x
x
x
x
x
x
x
x
g
4º Halla el valor de k para que f(x) sea continua en x=1 :
( )
>≤ + = 1 si 1 si 1 2 x k x x x f5º Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas: 1 1 ) ( − + = x x x f 1 ) ( 2 + = x x x g
6º Calcula los siguientes límites:
2 1 2 0 2 3 2 2 2 2
2
2
c)
1
1
b)
2
2
3
a)
x x x xx
x
x
lím
x
x
x
x
lím
x
x
x
x
lím
+
+
+
−
−
+
−
+
+
+
→ +∞ → − →7º Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Si en algún punto no son continuas, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
( )
≥
<
≤
<
=
2
si
4
2
1
si
1
si
2
2x
x
x
x
x
x
f
1 2 3 ) ( 2 − + − = x x x x f8º Dada la función 1 ) ( − = x x x f , calcula :
a) Sus asíntotas y comportamiento con respecto a ellas.
b) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2 c) ¿ Se puede hallar la recta tangente en x = 1 ?. Razona la respuesta
9º Un vendedor de pólizas de seguros tiene un sueldo fijo mensual de 1000 euros, mas una comisión que viene dada por la función 17x – 0,0025x3, donde x representa el número de pólizas vendidas.
Si el vendedor tiene mensualmente un gasto general de 200 euros, mas otro de 5 euros por póliza contratada, calcular el número de pólizas que debe contratar mensualmente para que su ganancia sea máxima, ¿a cuánto asciende dicha ganancia?
10º a) De la función f(x) = x3 + ax2 + bx + c se sabe que : - Tiene un punto de inflexión en x =1
- Tiene un máximo en el punto ( 0 , 0 )
Determina a . b y c b) Para a= -3 , b=0 y c=0 representar gráficamente la función f(x) estudiando : intervalos de crecimiento y decrecimiento , extremos relativos , intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión
11º Calcula los siguientes límites:
x x x x
x
x
lím
x
x
x
x
lím
x
x
x
lím
1 2 0 2 3 2 2 2 21
1
c)
1
1
b)
4
2
3
a)
+
+
−
−
+
−
+
−
→ +∞ → →12º Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Si en algún punto no son continuas, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
( )
≥
<
−
=
1
1
si
1
2x
si
x
x
x
x
f
1 2 3 ) ( 2 − + − = x x x x f13º Una empresa fabrica bicicletas y vende cada unidad de un determinado modelo a un precio P(x) (en euros) que depende del número x de bicicletas de ese modelo que tenga fabricado . Esa función es P(x) = 75 2 384 2 x − , 0<x≤60.
En la fabricación de las bicicletas se produce un gasto fijo de 100 euros más un gasto variable de 256 euros por cada bicicleta fabricada .
a) Calcula la función que expresa el beneficio obtenido por la empresa en la fabricación de x bicicletas .
b) ¿Cuántas bicicletas deberá fabricar la empresa para obtener el máximo beneficio? c) Para el número de bicicletas anterior , calcula el gasto , el ingreso y el beneficio .
14º a)De la función f(x) = x3 + ax2 + bx + c se sabe que : - Tiene un punto de inflexión en x =0
- Tiene un máxmo en el punto ( -1 , 0 )
Determina a . b y c b) Representar gráficamente la función f(x)=x3 −3x−2 estudiando : intervalos de crecimiento y decrecimiento , extremos relativos , intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión
15º CALCULA LA DERIVADAD DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
( )
(
)
( )
2 3 5 ) 2 ( 2 2) ) 1 2 ( . 1) + = + + = x x x f x sen x e x f x( )
f
( )
x
ln
(
x
x
)
x
x
x
x
x
f
4)
3
(
2
1
)
cos
3
3
2
3)
=
3−
+
+
+
=
(
)
− + = − − = x x ln x f x x x fe
e
x x ) ( 6) ) 1 2 .( 4 3 ) ( 5) 2 5 7) f (x) = ( 1 + x 2 ) . arctg x 8 ) f (x) = ( 2x+1 )3x -1 9 ) f(x) = cos x . Ln ( tg x ) 10) f(x) =3 sen2 ( 2x3 +5x -1 ) 11) f( x ) = arctg [ (1 + x ) / (1 – x) ] – arctg x(
)
2 2 2 ) 1 3 ( 4 13) 3 12) + = − = x x y x sen y( )
f
( )
x
ln
(
x
x
)
x
x
x
x
x
f
15)
3
(
2
1
)
cos
3
3
2
14)
=
3−
+
+
+
=
(
)
+ = − − = 1 3 2 17) ) 1 2 .( 4 3 16) 2 5 x x ln y x x y 18) f( x) = Ln x x + − 1 1 19) f(x) = ln 1 1 − +e
e
x x 20) f(x) = 1 1 + − x x 21) f(x) = 1 ) 1 ( + + x x Ln 22) f(x) = ) 3 ( 5 5 + x 23) f(x) = Lnxe
x 24) f(x) =Lnsenx
senx
−
+
1
1
25) f(x) = 5 ) 7 ( 3 x− 5 26) f(x) = Ln (x+1+x
2+
2
x
+
1
) 27) f(x) = xx 28) f(x) = xsenx 29) f(x) = xLnx 30) f(x) = sen2(x2+2x-2)2 31) f(x) = Ln3 ( 2x-1)216º Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
( )
6 3 2 2 2 3 − − − − = x x x x x x f17º Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
( )
≥ − < − + − = 1 si 3 1 si 1 2 x a x x ax x x f18º Estudia la continuidad de la función:
( )
≥ + < ≤ − − < − = 1 si 1 1 0 si 1 x 0 si 2 3 2 2 x x ln x x x x x f x19º ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 2?
a) b)
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
20º A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x = 0 y en x = 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
21º Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:
( )
− ≥ + + − < + − = 1 si 1 1 si 2 2 2 3 x ax x x a x x x f22º Estudia la continuidad de la siguiente función:
( )
> ≤ ≤ − − < − = − 1 x si 1 1 1 si 1 si 3 1 2 1 2 2 x x e x x x f x23º Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
( )
≥ + < ≤ + + ≤ − = 2 si 3 2 1 si 4 1 si 2 2 2 x b x x b ax x x x ax x f24º Estudia la continuidad de la siguiente función:
( )
≥ + < ≤ − − − < + = 2 si 1 3 2 1 si 2 1 si 3 2 2 x x x x x x x x f25º Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
( )
> + − ≤ + = 1 si 5 3 1 si 2 2 x a x x a x f x26º Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay:
( )
1 3 5 2 2 3 − − − − = x x x x x f27º Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
( )
≥ + < ≤ + + < − = 2 si 1 3 2 1 si 2 1 si 3 2 x x x a bx x x a x x f28º Halla las asíntotas de las siguientes: 4 1 ) ( 2− − = x x x f f(x) = 2 2 4 x x − 1 3 ) ( 2 + + = x x x f
( )
1 1 2 2 − + = x x x f( )
2 1 2 2 − + = x x x f29º Tras un estudio demográfico , se ha determinado que el número de habitantes de cierta población , en los próximos años , vendrá dado por la función f(x) =
1 2 7200 14500 + + x x , donde la
variable x es el número de años transcurridos de ahora en adelante . a) ¿Cuántos habitantes tiene la población actualmente?
b) ¿Y dentro de dos años?
c) Si se supone que la función fuese válida de forma indefinida, ¿crees que la población crecería indefinidamente o se estabilizaría en torno a determinado número de habitantes? Justifica la respuesta .
30º Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una
determinada población de una especie protegida vendrá dado , durante los próximos años , por la función :
f(t) = 3 3 9000 15000 + + t t
siendo t el número de años transcurridos Se pide :
a) Tamaño actual de la población
b) ¿Cómo evoluciona el tamaño de la población entre los años 4 y 9?
c) Si esta función fuese válida indefinidamente , ¿se estabilizaría el tamaño de la población ¿ Justifica la respuesta
31º Estúdase a evolución mensual do número de socios dunha entidade durante o ano obsérvase que está modelada pola seguinte función:
-x2+6x+a se 0≤x≤6
f(x) = 50 se 6<x≤8
50 – (x-8)(x-12) se 8<x≤12 onde x é o tempo en meses.
(a) Se inicialmente a entidade se fundou con 50 socios, determinar o valor de a.
(b) Determinar en que mes o número de socios foi máximo e en que mes o número de socios foi mínimo.
(c) Se para cubrir gastos a entidade necesitaba máis de 47 socios, ¿en que meses tivo perdas?
32º - En un colectivo se ha observado que el gasto en cierto producto, G (x) en euros, está relacionado con el salario, x en miles de euros, por medio de la siguiente expresión:
( )
1 200 2+ = x x x GCalcula razonadamente la cuantía del salario a la que corresponde el mayor gasto. ¿Cuál es ese gasto?
33º - La cantidad de agua recogida en un determinado año (en millones de litros) en cierto pantano, como función del instante de tiempo (en meses), viene dada a través de la expresión:
( )
0 12 1 6 10 2+ ≤ ≤ − = t t t f , ) (a) ¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? b) ¿Cuál fue esa cantidad máxima?
34º El número de visitantes que acuden a una exposición fotográfico durante las dos semanas de duración de la misma , ha variado según la función:
N(t) = - t3 +24t2-117t + 570 1≤t≤14 donde t representa el día .Se pide , justificando la respuesta :
a) ¿Cuántos visitantes hubo el día de la inauguración? ¿Y el día de la clausura? b) ¿Qué día tuvo lugar la asistencia máxima de visitantes? ¿Qué día tuvo lugar la
asistencia mínima de visitantes?
c) ¿Cuáles fueron los valores máximo y mínimo de visitantes?
35º Dada la función f(x) =
x b
ax 36
2 + + , calcule a y b de manera que la gráfica de f pase por el punto (3 , 10) y tenga tangente horizontal en este punto
CUADERNOS DE REFUERZO
MATEMÁTICAS PENDIENTES
1º BACHILLERATO
MATEMÁTICAS APLICADAS
CUADERNO 1
ESTADÍSTICA DESCRÍPTIVA PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
NOMBRE DEL ALUMNO:
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1º El número de centros de salud en 20 ciudades es: 2 4 2 5 5 4 6 8 6 8
3 5 3 4 5 5 8 4 5 4 a) Calcula la media aritmética. b) Halla la moda.
2º Halla la mediana de las siguientes series estadísticas. a) 1, 7, 3, 2, 4, 6, 2, 5, 6
b) 4, 2, 1, 3, 8, 5, 3, 1, 6, 7
3º La tabla adjunta muestra las medidas, en cm, de unos bastones de esquí.
Medida en cm [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125)
Nª de bastones 4 9 12 10 3
a) Halla la media aritmética y la moda. b) Calcula la mediana.
c) Representa el histograma de frecuencias absolutas. d) Dibuja el diagrama de sectores.
4º Con la variable edad, en años, de una muestra de 100 personas se forma la siguiente tabla de frecuencias absolutas. Edad [10,30) [30,50) [50,70) [70,90) [90,110) Frecuencia absoluta acumulada 10 30 60 84
Completa la tabla y calcula la desviación típica. 5º Las calificaciones de Ana y Juan son las siguientes: Calificaciones de Ana: 4, 5, 6, 6, 7, 8
Calificaciones de Juan: 2, 3, 4, 4, 5, 6
¿Cuál de los dos alumnos tiene sus calificaciones más concentradas? 6º Dada la siguiente distribución, calcula:
Clase [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) Frecuencia absoluta 3 5 7 4 2 a) Los cuartiles Q1 y Q3. b) El decil D8. c) El percentil P80.
7º A un conjunto de datos de cinco números cuya media es 7,31 se le añaden los números 4,47 y 10,15.
¿Cuál es la media del nuevo conjunto de datos?
8º Un conjunto de cinco números naturales distintos tiene mediana 20 y media 17. ¿Cuál será el mayor número de esta serie?
9º Dada la distribución estadística definida por la siguiente tabla:
Clases [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)
Frecuencia absoluta acumulada
3 5 7 8 2 5
a) Calcula la media, la mediana y la moda. b) Halla la varianza y la desviación típica
10º Se tienen dos distribuciones cuyos datos son los siguientes:
Distribución A: 9, 5, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 9, 8, 1, 3, 5, 4, 2, 6, 3, 2, 5, 6, 7 Distribución B: 1, 1, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 5, 4, 3, 1, 2, 1, 5, 7, 8, 9, 9, 2, 1 a) Halla el rango de ambas distribuciones.
b) Halla la media aritmética y la desviación típica de ambas distribuciones.
c) Calcula el coeficiente de variación para discernir cuál de las dos distribuciones tiene los datos más concentrados.
11º Considera los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. a) Halla la media y la varianza.
b) Si cada número se multiplica por 3, obtén su media y varianza a partir de los resultados anteriores.
12º Obtén la media y el segundo cuartil de la variable X cuya distribución de frecuencias es:
i
x 2 4 6 8 10
i
f 2 3 4 1 5
¿Qué otro nombre recibe el segundo cuartil? b) Halla los cuartiles primero y tercero. c) Halla los deciles 3 y 7.
d) Halla los percentiles P10 y P90.
13ºLas edades de un grupo de 19 personas aparecen en la siguiente tabla:
Edad 14 15 17 18 19 20 21
Nª de personas 3 1 2 3 5 3 2
a) Halla la media, la moda y la mediana.
b) Halla el rango, la varianza y la desviación típica.
c) ¿Cuántos años tiene la persona de mayor edad, de entre las que se encuentran en el 40% de las personas con menor edad?
14º Los pesos, en kg, de 20 estudiantes son: 51, 47, 55, 53, 49, 47, 48, 50, 43, 60, 45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61.
a) Agrupa los datos en cinco clases de igual amplitud.
c) Halla la media de los datos.
d) Calcula los cuartiles primero y tercero.
15º Un especialista en pediatría obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses 9 10 11 12 13 14 15
Niños 1 4 9 16 11 8 1
a) Dibuja el polígono de frecuencias.
b) Calcula la mediana, la moda y la varianza. c) Halla el rango y el rango intercuartílico.
16º Se han lanzado dos dados 120 veces y cada vez se ha anotado su suma. Los resultados vienen reflejados en la siguiente tabla:
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nª de veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4 a) Calcula la media − x y la desviación típica s.
b) Halla el porcentaje de valores comprendidos en los siguientes intervalos: (
− x - s, x − x+ s), ( − x - 2s, − x + 2s) y ( − x - 3s, − x + 3s).
17º Un dentista observa el número de caries de cada uno de los 100 niños de un colegio. La información resumida aparece en la siguiente tabla:
Nª de caries Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 0 25 0.25 1 20 0.20 2 x z 3 15 0.15 4 y 0.05
18ºEl número de horas que 20 trabajadores perdieron por bajas médicas el año pasado es el siguiente:
0 3 4 8 10 12 12 15 15 17 19 21 21 23 25 26 32 33 40 60 a) Construye la tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de amplitud 10, indicando también las frecuencias absolutas y relativas acumuladas.
b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de las frecuencias relativas. c) Halla la media de días no trabajados por trabajador.
d) Halla el rango intercuartílico. e) Calcula el coeficiente de variación.
19º Se ha realizado un test, compuesto de 10 preguntas, a 40 alumnos de un grupo, con los siguientes resultados:
Respuestas [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10)
Nª de alumnos
4 9 15 7 5
a) Representa gráficamente la distribución. b) Calcula el valor de la moda.
d) ¿A partir de qué dato se encuentra el 70% de los alumnos que han obtenido la mejor nota?
20º Un centro de enseñanza tiene tres grupos de 1.º de Bachillerato. La nota media de los alumnos del grupo A es de 5,7 puntos, la de los del grupo B es de 5,6, y la de los del grupo C es de 5,5. En el grupo A hay 30 alumnos, y se sabe que en el grupo C hay 5 alumnos más que en el grupo B. Si la nota media de todos los alumnos de 1.º de Bachillerato del centro es de 5,6 puntos, ¿cuántos alumnos de 1.º de Bachillerato hay en el mismo?
21º Eligiendo tres números al azar entre el 0 y el 9, se forma un número de tres cifras.
Si la media de las tres cifras es 5, y su moda, 7, ¿cuál es el mayor número que se puede formar de esta manera?
22º Se ha realizado una encuesta preguntando por el número de personas que habitan el hogar familiar y el número de habitaciones que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la información obtenida:
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?
23º Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que contenían, así como las kilocalorías por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
( )
2,5 e( )
10.¿Son válidas estas estimaciones?(Sabemos que 0,85).Calcula
b) yˆ yˆ r =
24º Considera la siguiente distribución:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas.
b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las dos variables?
25º La nota media en matemáticas de 50 alumnos de 1º de Bachillerato es de 6 con una desviación típica de 2,45. La recta de regresión de las notas de matemáticas respecto a las notas de física es y = 0,99x − 0,92 (y = nota de matemáticas, x = nota de física).
a) Calcula la nota media que se obtiene en física.
b) La pendiente de la recta de regresión de x sobre y,¿ qué signo tendrá?
26º En seis modelos de zapatillas deportivas se ha estudiado el peso, en gramos, que tiene (para el número 42) y su precio, en euros. La información obtenida se recoge en esta tabla:
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?
27º En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1º de bachillerato en Matemáticas y en Inglés, obteniéndose la información que se recoge en la siguiente tabla:
a) Halla la recta de regresión de y sobre x.
b) Calcula la nota que sacará en Inglés un alumno de 5,5 en Matemáticas . ¿Es fiable esta estimación? Razona la respuesta
28º Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:
a) Halla las dos rectas de regresión y calcula el coeficiente de correlación
b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las dos variables?
29º Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones referidas a una distribución bidimensional son ciertas o no:
a) Si | r | = 1, los puntos de la nube están alineados.
b) Si la covarianza es positiva, el coeficiente de correlación es negativo. c) Si | r | es próximo a 0, la correlación es débil.
d) Una estimación solo es fiable si | r | = 1.
30º En una distribución bidimensional se han obtenido 15 medidas de las variables X e Y. A partir de estos datos conocemos:
Σxi= 36 Σyi= 33 r = 0,90
I. ¿Cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X?
a) y = 1,35x + 1,04 b) y =−0,8x + 4,12 c) y = 0,70x + 0,52 d) y = 3,7 − 1,2x II. Halla la recta de regresión de X sobre Y.
31º Se ha analizado en distintos modelos de impresoras cuál es el coste por página (en céntimos de euro) en blanco y negro y cuál es el coste por página si esta es en color. La siguiente tabla nos da los seis primeros pares de datos obtenidos:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) ¿Cuánto nos costaría imprimir una página en color en una impresora en la que el coste por página en blanco y negro fuera de 12 céntimos de euro? ¿Es fiable la estimación? (Sabemos que r = 0,97).
32º De una distribución bidimensional (x, y) conocemos: La recta de regresión de Y sobre X : y = 11,98 − 1,99x La recta de regresión de X sobre Y : y = 12 − 2x
PROBABILIDAD
1º Extraemos dos cartas de una baraja española y vemos de qué palo son. a) ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene?
b) Describe los sucesos:
A = "Las cartas son de distinto palo" B = "Al menos una carta es de oros" C = "Ninguna de las cartas es de espadas" escribiendo todos sus elementos.
c) Halla los sucesos B ∪ C y B ' ∩ C. 2º De dos sucesos, A y B, sabemos que:
P[A' ∩ B'] = 0 P[A' ∪ B'] = 0,5 P[A'] = 0,4 Calcula P[B] y P[A ∩ B].
3º Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que: P[A'] = 0,6 P[B] = 0,3 P[A' ∪ B'] = 0,9
a) ¿Son independientes A y B? b) Calcula P[A' / B].
4º Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean:
a) Las dos de oros.
b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros.
d) La primera de copas y la segunda de oro.
5º En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.
Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?
b) Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés?
c) ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
6º Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna?
7º En una oposición, un alumno ha preparado 18 temas de los 30 de que consta el programa. Se eligen al azar tres temas. Calcula la probabilidad de que se sepa exactamente dos temas. 8º De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Describe los sucesos:
A = "Mayor que 6" B = "No obtener 6" C = "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos.
9º Sabiendo que:
P[A ∩ B] = 0,2 P[B'] = 0,7 P[A ∩ B'] = 0,5 Calcula P[A ∪ B] y P[A].
10º º De dos sucesos A y B sabemos que:
P[A'] = 0,48 P[A ∪ B] = 0,82 P[B] = 0,42 a) ¿Son A y B independientes?
b) ¿Cuánto vale P[A / B]?
11º Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
− A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
− A 92 personas les gusta leer.
− A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
12º El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? b) Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD D. BINOMIAL - D.NORMAL
1º Se lanzan dos dados cúbicos con las caras numeradas del 1 al 6. Se considera la variable aleatoria X, que asigna a cada elemento del espacio muestral la diferencia positiva de las caras obtenidas.
a) Representa la función de probabilidad.
b) Halla la media, la varianza y la desviación típica. c) Calcula P(X ≤3).
2º Un jugador lanza tres monedas. Gana tantos euros como caras obtenidas excepto cuando aparecen tres cruces, que pierde 10 euros. Si X es la variable aleatoria que indica la ganancia, calcula:
a) El conjunto de valores de la variable aleatoria X. b) La función de probabilidad de la variable X. c) La media de la distribución y su desviación típica. d) ¿Es favorable el juego al jugador?
3º El director de marketing de un equipo de baloncesto ha calculado que el porcentaje de seguidores en una ciudad es del 35%. Se escoge al azar una muestra formada por 10 personas y se considera la variable que expresa el número de seguidores en la muestra.
a) Estudia si la variable sigue una distribución binomial. b) En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.
4º El 30% de los tornillos de una gran partida son defectuosos. Si se cogen tres tornillos al azar, calcula
la probabilidad de que: a) Los tres sean defectuosos. b) Solamente dos sean defectuosos. c) Ninguno de ellos sea defectuoso.
5º En un grupo de 16 personas, 10 son varones, y 6, mujeres. Se eligen al azar 3 personas del grupo.
Calcula la probabilidad de:
a) Seleccionar exactamente dos varones. b) Seleccionar al menos un varón.
6º La opinión que tiene la población sobre la gestión de su Ayuntamiento es favorable en el 30% de
los casos, y desfavorable en el resto. Elegidas 10 personas al azar, halla la probabilidad de que:
a) Exactamente tres la consideren favorable. b) Ninguno la considere desfavorable.
7º Se reparten unas invitaciones sabiendo que el 40% asistirán al acto. Se seleccionan al azar 10 invitados. Calcula la probabilidad de que:
a) Solo tres acudan al acto. b) Acudan más de tres.
8º En una ciudad se sabe que la probabilidad de padecer la gripe en el mes de enero es de
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. Se escoge una muestra al azar formada por 30 personas. Se pide:
a) Esperanza matemática y su interpretación. b) Varianza.
9º En la especie ovina, el color de lana blanco domina sobre el negro. Por ello, al cruzar una oveja de lana
blanca con un carnero de lana negra, la probabilidad de que la descendencia sea blanca es de 0,75. Si se
realizan 8 cruzamientos de este tipo, ¿cuál es el número medio de corderos blancos esperado?
10º Una determinada marca de CD ha detectado en su departamento de control de calidad que son defectuosos el 5%. En una muestra formada por 25 CD se pide:
a) Probabilidad de que no haya ninguno defectuoso. b) La media y la desviación típica de esta distribución.
11º Un jugador de ajedrez tiene una probabilidad de ganar una partida de 0,25. Si juega cuatro partidas, calcula la probabilidad de que gane más de la mitad.
12º Se lanza una moneda cuatro veces. Calcula la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
13º El 4% de los CD para ordenador que fabrica una determinada empresa resultan defectuosos. Los CD
se distribuyen en cajas de 5 unidades. Calcula la probabilidad de que en una caja no haya ningún disco
defectuoso.
14º Un examen de opción múltiple está compuesto por 9 preguntas, con 4 posibles respuestas cada una,
de las cuales solo una es correcta. Suponiendo que uno de los estudiantes que realiza el examen responda al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 6 preguntas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?
15º Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determina la probabilidad de que entre 4 cerrojos elegidos al azar:
a) Uno sea defectuoso.
b) Como mucho, dos sean defectuosos.
16º En un proceso de fabricación, la probabilidad de que una unidad producida pase el control de calidad es del 90%. En un lote de 8 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que todas pasen el control de calidad? ¿Y de que lo pasen al menos 6?
17º Si de 650 alumnos de 1.o de Bachillerato sólo 200 aprueban Matemáticas, halla la probabilidad de
que al elegir 5 de estos alumnos al azar: a) Ninguno apruebe Matemáticas. b) Aprueben, a lo sumo, 2.
c) Al menos 4 aprueben.
18º Se tienen muchos datos que siguen una distribución normal de media 20 y desviación típica 2. Calcula, explicando el método utilizado, el porcentaje de datos que superan el valor 23, y justifica que ese porcentaje es idéntico al porcentaje de datos inferiores a 17.
19º La longitud de las truchas de una piscifactoría sigue una normal N(23,75; 3). Solo se comercializan a cuya longitud está comprendida entre 20 y 26 cm.
a) ¿Qué porcentaje del total representan?
b) ¿Cuál es la longitud para la cual el 80% de la población tiene una longitud superior?
20º El peso de una carga de naranjas, en gramos, sigue una distribución N (175, 12). Calcula la probabilidad de que una naranja elegida al azar pese:
a) Más de 200 gramos. b) Entre 150 y 190 gramos.
21º La edad de un determinado grupo de personas sigue una distribución N (35, 10). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegido al azar, tenga:
a) Más de 40 años. b) Entre 23 y 47 años.
22º Una cadena hotelera quiere ofrecer a un grupo de personas nuevos destinos turísticos. Para realizar la selección, tiene en cuenta dos factores: la edad y los ingresos mensuales. Se selecciona aleatoriamente un grupo de personas cuyas edades e ingresos siguen unas distribuciones N (44, 5) y N (1 900, 150), respectivamente.
a) Calcula el porcentaje de personas cuya edad está comprendida entre 38 y 50 años.
b) Halla el porcentaje de personas cuyos ingresos mensuales están entre 1 675 y 2 095 euros. c) Para la cadena hotelera, son adecuadas las personas que cumplan los requisitos dados en
a), y b). ¿Qué porcentaje de ellas puede disfrutar de la oferta hotelera?
23º El diámetro medio de las piezas producidas en una fábrica es de 45 mm.
a) Halla su desviación típica sabiendo que la probabilidad de que una pieza tenga su diámetro mayor de 50 mm es igual a 0,0062.
b) Si se analizaran 850 piezas, ¿Cuántas tendrán el diámetro comprendido entre 39,7 mm y 43,5 mm?
24º El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución N (10, 2). Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:
a) Menos de 7 horas. b) Entre 8 y 13 horas.
25º El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N (192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:
a) Superior a 200 unidades. b) Entre 180 y 220 unidades.
26º La demanda diaria de un cierto producto es una variable continua x (medida en toneladas) cuya función de probabilidad es la siguiente:
Demuestra que es una función de densidad
a) Superior a 2 toneladas.
b) Esté entre 1,5 y 2,5 toneladas.
27º En un determinado vehículo se sabe que la velocidad que indica el marcador tiene un error que sigue una distribución N (10, 5). Calcula, sin utilizar la tabla de la N (0, 1), la
probabilidad de que el error en la velocidad indicada por el marcador: a) Sea más de 10 km/h.
b) Esté entre 5 km/h y 15 km/h. c) Esté entre 0 km/h y 20 km/h.
28º En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencia 50 veces, ¿cuál es la probabilidad de sacar roja en más de 20 ocasiones?
29º Calcula el valor de k en cada caso, sabiendo que x sigue una distribución N (10, 4):
[
]
0,9986 a) px <k =[
]
0,0808 b) px >k =30º El 60% de una población de 20 000 habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos al azar 50 personas de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 30 personas con los ojos oscuros?
31º El número de plazas para cursar 1º de Medicina en cierta universidad representa el 5% del alumnado de 2º de Bachillerato. Este año, las notas medias de los alumnos que acababan Bachillerato siguen una distribución normal de media 6,3 y desviación típica 0,8. Calcula la nota media mínima que debe tener un alumno para cursar la carrera de Medicina.
32º Un examen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos
posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte más de 60 respuestas.
