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Universidad IndustrialIndustrial dede SantanderSantander Facultad
Facultad dede IngenieríasIngenierías FísicoFísico
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MecánicasMecánicas EscuelaEscuela dede IngenieríaIngeniería CivilCivil
Mecánica
Mecánica dede FluidosFluidos
TALLER
TALLER EJERCICIOSEJERCICIOS
1.
1. ParaPara conservarconservar lala energíaenergía deldel agua,agua, unun “reductor“reductor dede flujo”flujo” eses instaladoinstalado enen lala cabezacabeza dede lala ducha
ducha comocomo sese muestramuestra enen lala FiguraFigura 1.1. SiSi lala presiónpresión enen elel puntopunto 11 permanecepermanece constanteconstante yy todas
todas laslas pérdidas,pérdidas, exceptoexcepto lala obtenidaobtenida porpor elel “reductor“reductor dede flujo”flujo” sonson despreciadas.despreciadas. Determine
Determine elel valorvalor deldel coeficientecoeficiente dede pérdidaspérdidas deldel “reductor“reductor dede flujo”flujo” sisi esteeste estáestá allí allí parapara reducir
reducir elel caudalcaudal porpor unun factorfactor dede 2.2. DesprecieDesprecie lala gravedad.gravedad.
Figura Figura 11
Solución Solución
Para
Para resolver resolver el el problema problema eses necesarianecesaria lala ecuaciónecuación dede energía.energía. NoNo hay hay queque modificarlamodificarla aúnaún porque
porque necesitamosnecesitamos primero primero loslos valoresvalores cuandocuando nono tenemostenemos aúnaún el el “reductor “reductor dede flujo”. flujo”. Para
Para poder poder determinar determinar lala presión, presión, queque comocomo el el enunciadoenunciado dice,dice, permanece permanece constante,constante, siendo
siendo el el punto punto22lala salidasalida dede lala ducha,ducha, sese tienetiene
2 2 2 2 Como
Como sese tratatrata dede unauna ducha,ducha, lala diferenciadiferencia dede alturasalturas eses despreciabledespreciable y y ademásademás nono tenemos
tenemos informacióninformación queque nosnos digadiga cuántocuánto es.es. Así Así mismomismo sabemossabemos queque lala presión presión enen el el punto
punto 22 eses lala presión presión atmosféricaatmosférica y y podemos podemos considerarlaconsiderarla 00 , , dede estaesta forma forma obtenemos,obtenemos, despejando despejando⁄⁄ 2 2 50
50 huecoshuecos dede diámetrodiámetro.. .
.
Reductor
Reductor dede FlujoFlujo
(1) (1)
Y reemplazando por los valores conocidos
2
Despejando
2
2
Ahora es necesario encontrar las velocidades en cada punto, para el punto
1
Donde
es el área del tubo. Así obtenemos
40.512
733.386
Ahora, para el punto
2
tenemos que
Donde
es el área de los huecos. Obteniéndose
5040.0512
1466.772
De esta forma, la presión es
1466.772
733.386
2
1466.772
733.386
2
8.068 10
Conociendo la presión, procedemos a calcular las velocidades cuando tenemos el “reductor de flujo”. Sabiendo que el caudal después de puesto el “reductor de flujo” es la mitad del obtenido inicialmente, entonces tenemos que para los nuevos caudales
Sabiendo que
12
12
12
12733.386
366.693
Y de la misma forma12
12
12
121466.772
733.386
Como en el caso en que existe el reductor, existen pérdidas es necesario establecer la ecuación de energía modificada, así
2
2
Donde
son las pérdidas obtenidas por la presencia del reductor.Como las pérdidas se dan sobre la carga de velocidad inicial, puede escribirse
2
2
2
De la misma forma que se hizo inicialmente se sabe que la diferencia de alturas
es despreciable, que la presión en el punto2
es la presión atmosférica y podemos considerarla0
, y que además la presión en el punto1
es de
8.068 10
Porque el enunciado lo menciona así. Y además de todo conocemos los valores de velocidad
De esta forma, despejando
de la ecuación de Bernoulli modificada, tenemos
2
Reemplazando por los valores conocidos
8.068 10
733.386
366.693
2
366.693
2
8.068 10
733.386
366.693
2
1
8.068 10
733.386
366.693
2
1
8.068 10
733.386
366.693
2
1
Despejando
.
2.
A través del sistema de tuberías mostrado en la
Figura 2fluye agua a una tasa de
0.3
⁄
, y la rugosidad es de
0.002
. El coeficiente de pérdidas para cada uno de
los filtros mostrados es
6.0
, y todas las pérdidas menores son despreciables.
Determine la potencia suministrada al agua por la bomba si la presión inmediatamente
antes de la bomba es la misma inmediatamente después del último filtro.
Figura 2 Bomba
Filtros
.
Solución
Como podemos ver existe la presencia de una bomba. La bomba nos va a proporcionar una altura
, la cual estará encargada de vencer las pérdidas que vamos a obtener por la presencia de los filtros,
, y las pérdidas por longitud,
. Por esta razón vamos a obtenerque
Visto de otra forma, mediante la ecuación de energía modificada podemos decir que:
2
2
Donde los puntos
1
y2
son el punto inmediatamente antes de la bomba y el punto inmediatamente después de los filtros, respectivamente.Si sabemos por principio de conservación de la masa que los caudales se conservan y el área del tubo es la misma, entonces
Las alturas
y
son iguales o se desprecia su diferencia
.Y como el problema nos dice que la presión en ambos puntos es la misma, entonces
.De esta forma vamos a obtener nuevamente que
El término
puede escribirse como
2
2
Donde
es el coeficiente de pérdidas por longitud, dado por la ecuación de Darcy‐
Weisbach como
Y
es el coeficiente de pérfidas debido a los filtros, de tal forma que si para un filtro tengo un coeficiente
, para
filtros, mi coeficiente es
. Con esto podemos reescribir asíPara determinar la velocidad sabemos que
Entonces
0.3
4 212
13.75
Tenemos todo para hallar
, excepto el factor de fricción
, por esto es necesario recurrir al diagrama de Moody. Para esto necesitamos determinar el número de Reynolds
Donde
es la viscosidad cinemática del fluido, en este caso se tomará para el agua 1.2110
es la velocidad media del flujo y
es el diámetro de la tubería De esta forma 13.75 212
1.2110
1.894 10
Además necesitamos la relación
Donde
es la rugosidad del tubo y
, el diámetro del mismo. Así 0.0022
1.00 10
Con el diagrama de Moody se encuentra
De esta forma
2 5
13.75
232.20.0215 80 21256
118.37
Para determinar la potencia, sabemos que esta tiene unidades de
. Así podemos decir que la potencia
Siendo
, la potencia,
, el peso específico del fluido, y
el caudal Con 62.40
.
3.
La fuente mostrada en la
Figura 2está diseñada para proveer un chorro de agua que
alcance una altura entre
2.0
y
4.0
sobre la boquilla de forma periódica. Para
lograr esto el agua contenida en la pileta entra en una bomba, pasa a través de un
regulador de presión que mantiene la presión constante después de la válvula de control.
La válvula es controlada electrónicamente para proveer la altura de agua deseada. Para
una altura de
2.0
, el coeficiente de pérdidas de la válvula es de
50
. Conociendo
que el área del tubo es de
5
veces el área de la boquilla de salida. Determine el coeficiente
de pérdidas de la válvula para la altura máxima permisible. Desprecie todas las pérdidas a
excepción de la pérdida obtenida por la válvula.
Figura 3 Bomba Regulador de Presión Válvula
.
Solución
Para comenzar, es necesario establecer tres puntos sobre los cuales se va a aplicar la ecuación de Bernoulli modificada. Estos tres puntos se muestran en la Figura 3.1
Figura 3.1
Para comenzar, debemos encontrar el valor de la velocidad para cualquier altura,
. Estableciendo nuestro nivel de dátum en el punto 1, aplicamos la ecuación de energía, obteniendo
2
2
Sabiendo que
0
y
0
, ya que estamos en la atmósfera, con
1
,
1
, y que la velocidad en el punto2
es
0
se obtiene1
2 1
Entonces
2
2
Para 2.0
, se obtiene
29.812
6.264
Como sabemos que el diámetro del tubo es
5
veces mayor al de la boquilla de salida, y por principio de conservación de la masa
Donde obviamente
y
son las áreas de la boquilla y el tubo, respectivamente, y como5
5
5
Podemos determinar
6.2645
1.253
Aplicando ahora la ecuación modificada de energía entre los puntos
1
y2
, obtenemos
2
2
Donde
son las pérdidas obtenidas por la válvula, y podemos escribirlo como
2
2
2
Siendo
es el coeficiente de pérdidas por la válvula, obtenemos
2 50
2
49
2
Reemplazando
1 2 49 1.253
29.81
6.921
Como podemos ver,
⁄
no depende de la altura del chorro
, entonces permanece constante así
varíe. Haciendo ahora todo nuestro procedimiento para 4.0
obtenemos
29.814
8.859
8.8595
1.772
2
2
2
En este momento
no es conocido, pero el resto de valores sí, entonces, reemplazando en la ecuación modificada de energía entre los puntos1
y2
6.921 1.772
29.81
1.772
29.81 1 4
Despejando
.
4.
A través de una tubería de
60
de longitud y
0.3
de diámetro, se bombea agua
desde un tanque más bajo hasta otro más alto donde la diferencia de cotas entre
superficies de agua es de
10
como se muestra en la
Figura 4. La suma de los
coeficientes de pérfidas menores es de
14.5
. Si la bomba proporciona
40
y el
caudal de agua es de
0.20
⁄
. Determine la rugosidad del tubo.
Figura 4 Bomba
Solución
Para solucionar el problema es necesario aplicar la ecuación de energía modificada, estableciendo nuestro dátum en la superficie del agua del tanque más bajo (Punto
1
), así
2
2
Donde
,
y
son la altura proporcionada por la bomba, las pérdidas por longitud y las pérdidas menores, respectivamente.Sabemos que las presiones
y
son nulas o iguales, así que se eliminarán. Además, si los tanques mantienen su nivel de agua, las velocidades en cada punto serán nulas. Sabemos también que
0
y
10
. De tal manera que
10
Lo cual puede escribirse como
10
2
2
Siendo
el coeficiente de pérdidas menores y
el coeficiente de pérdidas por longitud, el cual según la ecuación de Darcy‐
Weisbach, es
Así
10
2
Determinando la velocidad del flujo
0.20
40.3
2.829
Determinando la altura proporcionada por la bomba
40000
98100.20
20.387
Reemplazando20.387 10 2.829
29.81 600.314.5
Despejando
0.055
Como tenemos
y necesitamos la rugosidad del tubo, debemos recurrir al diagrama de Moody. Para esto, debemos calcular el número de Reynolds
Utilizando en este caso, para el agua
1.002 10
⁄
, se obtiene 2.8290.3
1.002 10
8.470 10
Entrando en el diagrama de Moody se obtiene
0.028
Entonces, despejando la rugosidad,
0.0280.3
.
5.
Usted entra a trabajar a una empresa y después de unos meses se da cuenta de que su
jefe es un man muy bruto de esos que se graduaron a punta de copia en todos los
exámenes y que además de todo se las tira de mucha mierda. Él le dice a usted que las
pérdidas menores, es decir, obtenidas por los accesorios del sistema son siempre
despreciables comparadas con las pérdidas por fricción en los conductos rectos. Esta es su
oportunidad para demostrarle que es una bestia y hacerlo quedar mal frente a todos.
Demuéstrelo con los cálculos apropiados basándose en la
Figura 5, teniendo en cuenta
que el agua recorre el sistema entrando por el punto
y saliendo por el punto
con un
caudal de
0.020
⁄
, y que el diámetro de la tubería es de
0.75
.
Figura 5
Solución
La solución consiste simplemente en verificar cómo es cada una de las pérdidas respecto a la otra.
Primero hallamos las pérdidas por longitud. Para esto debemos calcular la longitud total recorrida por el agua, siendo esta
6 641
17
Determinando la velocidad del flujo
0.020
40.7512
Codo de 90°.
.
.
.
Codo de 90° Reducción a.
Válvula de Bola Cerrada Te Tubería de Hierro Galvanizado A B 6.519
Ahora se determina el número de Reynolds
Con
para el agua como1.21010
⁄
6.5190.7512
1.210 10
3.367 10
Como se sabe que la tubería es de hierro galvanizado, remitiéndose al diagrama de Mooduy, en la lista de rugosidades puede verse que
0.0005
De esta manera
0.0005
0.7512
8.00 10
Encontrando ahora en el diagrama el valor de
, se obtiene 0.0372
Calculando las pérdidas por longitud
2
0.0372 170.75 6.519
232.2
.
Ahora deben calcularse las pérdidas menores, o por accesorios. Para esto nos remitimos a la carta que les entregué junto con el diagrama de Moody. De allí podemos ver que para una tubería de diámetro
0.75
(3 4⁄
). Los coeficientes de pérdidas para los diferentes accesorios presentes en el problema son:Accesorio
Codo Recto 90° 0.63
“Te” de Derivación 3.0
Cono de Reducción 0.5
Se sabe entonces que las pérdidas por accesorios están dadas por
2
Reemplazando
6.519
232.220.633.00.5
.
Pueden darse cuenta que las pérdidas por accesorios son mucho mayores a las pérdidas por longitud, siendo estas apenas un
