Diferencial en Espacios Euclidianos
Guillermo Antonio Lobos Villagra - UFSCar
Walcy Santos - UFRJ
EMALCA - 2010
Cap´ıtulo 1. Teor´ıa local de curvas 1
1. Curvas planas y espaciales 1
2. Recta tangente a una curva 7
3. Longitud de arco 10
4. Campos de vectores a lo largo de curvas 12
5. Teor´ıa local: Referencial de Frenet 14
6. Teorema fundamental de curvas planas y espaciales 29
7. Lista de ejercicios 1 34
Cap´ıtulo 2. Teor´ıa local de superficies 39
1. Superficie parametrizada 39
2. Plano tangente 44
3. Primera forma fundamental 46
4. La aplicaci´on normal de Gauss y la segunda forma fundamental 48
5. Las ecuaciones de Gauss y Codazzi 61
6. Teorema fundamental de la Teor´ıa de Superficies 66
7. Lista de ejercicios 2 69
Bibliograf´ıa 77
Teor´ıa local de curvas
1. Curvas planas y espaciales El espacio euclidiano n-dimensional
Rn ={(x1, x2, ..., xn)/xi ∈R, i= 1,2, ..., n}.
es el espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´umeros realesR con las operaciones
v+w= (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn), v, w ∈Rn,
λv =λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, ..., λxn), λ∈R, v∈Rn.
Si{e1, ..., en} es la base can´onica de Rn, entonces cada vector v ∈ Rn es una com-binaci´on lineal v= n X i=1 xiei,
donde x1, x2, ..., xn ∈R son las coordenadas de v en esa base.
El productoescalar ointerior enRn es una aplicaci´on bilineal, sim´etrica y definida positiva, dada por
v·w= n X i=1 xiyi. La norma de un vector v enRn es kvk=√v·v= v u u tXn i=1 (xi)2.
A lo largo de todo este curso 0 ∈Rn significa el origen (0,0, ...,0) de Rn.
En este cap´ıtulo estudiamos las curvas planas y espaciales dependiendo si Rn es el plano Euclidianon = 2, o es el espacio Euclidianon = 3, respectivamente.
Definici´on 1.1. Unacurva continua enRn(n= 2,3) es una aplicaci´onα:I →Rn, definida en un intervalo I ⊂R y dada por
α(t) = n X i=1 xi(t)ei= (x1(t), x2(t)), sin= 2, (x1(t), x2(t), x3(t)), si n= 3. 1
tal que
l´ım
h→tα(h) =α(t), ∀t∈I.
Aqu´ıtes llamado elpar´ametro de la curvaαy cada funci´onxi :I →Res lai-´esima
funci´on coordenada de α.
Si α esta definida en un intervalo I = [a, b], los puntos α(a), α(b) son llamados de
punto inicial y punto final de α, respectivamente.
En particular, diremos que:
α es una curva cerrada si I = [a, b] y α(a) =α(b), es decir el punto inicial y final de α coinciden.
α es una curva simples si α es inyectiva en I, es decir, si α(t1) = α(t2), entonces t1 =t2.
Observaci´on 1.2. Una curva α : I → Rn es continua si, y s´olo si, las funciones coordenadasx1, ..., xn de α son funciones continuas, es decir, si
l´ım
h→txi(h) = xi(t), ∀t ∈I, ∀i= 1, ..., n. El conjuntoC(α) ={α(t)∈Rn / t∈I} es llamado eltrazo deα.
En estas notas una aplicaci´on f : I → Rn es de clase Ck (k = 0,1,2,3, ....), si f y sus derivadas f0, f00,...,f(k) existen y son todas aplicaciones continuas.
Recordemos que la derivada de primera orden f0 :I →Rn def es dada por
f0(t) = df
dt = l´ımh→0
f(t+h)−f(t)
h ,
la derivada de segunda ordenf00 :I →Rn def es dada por
f00(t) = d 2f dt2 = d dt µ df dt ¶ = (f0)0(t) = l´ım h→0 f0(t+h)−f0(t) h ,
de forma an´aloga son definidas las derivadasf(k):I →Rn de orden superior de f. Una aplicaci´on f : I → Rn es diferenciable, si f es de clase C∞, es decir, f es de clase Ck, para todo k = 0,1,2,3, ....
Definici´on 1.3. Una curva parametrizada (diferenciable) α : I → Rn es una apli-caci´on de clase C3 (C∞, respectivamente).
En t´erminos de las funciones coordenadas:
Una curva α : I → Rn es parametrizada (diferenciable) si, y s´olo si, sus funciones coordenadas x1, ..., xn son de clase C3 (C∞, respectivamente).
Observaci´on 1.4. Cada puntoα(t)del trazo de una curva α puede ser considerado
como una part´ıcula que “anda” a lo largo de su trazo, C(α), con su posici´on en el
instante de tiempo t, as´ı podemos definir su velocidad α0(t), aceleraci´on α00(t), etc..
En este sentido una curva α ser´a una parametrizaci´on de su trazo C(α).
De acuerdo con la observaci´on anterior, la velocidad de una part´ıcula α(t) en el instante de tiempo t es dada por
α0(t) = dα dt = l´ımh→0 α(t+h)−α(t) h = n X i=1 x0i(t)ei= (x0 1(t), x02(t)), sin= 2, (x0 1(t), x02(t), x03(t)), sin= 3. El vector velocidad α0(t) es siempre un vector tangente a la curva α en el punto
α(t) y su tama˜no ° °α0(t)°°=pα0(t)·α0(t) = v u u tXn i=1 (x0 i(t))2 = p (x0 1(t))2+ (x02(t))2, n= 2, p (x0 1(t))2+ (x02(t))2+ (x03(t))2, n= 3, es la velocidad con que se mueve α(t) sobre el trazo C(α) en el instantet. An´alogamente, laaceleraci´on de una part´ıculaα(t) en el instantet es dado por
α00(t) = dα0 dt = l´ımh→0 α0(t+h)−α0(t) h = n X i=1 x00i(t)ei = (x001(t), x200(t)), si n= 2, (x00 1(t), x002(t), x003(t)), sin= 3. Ejemplo 1.5. Algunas parametrizaciones de curvas planas y espaciales.
1. Si P ∈ Rn es cualquier punto fijo. La curva definida por α(t) = P, t ∈ R,
no determina una curva simples llamada curva constante.
Aqu´ı la velocidad y la aceleraci´on de la curva constante es siempre nula, es decir, α0(t) = α00(t) = 0∈Rn, para todo t∈R.
2. Para cada P, Q∈ Rn puntos distintos, tenemos el vector V =Q−P ∈ Rn.
As´ı, la curva definida por
α(t) =P +tV, t∈R,
determina una recta parametrizada. En particular, si restringimos α al
in-tervalo [0,1], es decir, α|
[0,1], obtenemos una parametrizaci´on del segmento
de recta con punto inicial α(0) =P y punto final α(1) =Q.
Ahora, si f :R→R es cualquier funci´on biyectivaC∞, entonces la curva
parametrizada γ :R→Rn dada por
γ(t) =P +f(t)V, t∈R,
tiene el mismo trazo que α, o sea, C(γ) es tambi´en la recta que pasa por P
y Q. Por ejemplo, si f(t) =t3, en este caso, tenemos que
3. Sean a, b∈R cona≥b >0. Entonces la curva diferenciableα: [0,2π]→R, parametrizada por
α(t) = (acost, bsent), t∈[0,2π],
determina una elipse
C(α) = ½ (x, y)∈R2/ x 2 a2 + y2 b2 = 1 ¾ ,
cuando a > b, y en este caso la elipse tiene ejes mayor 2a y menor 2b. En
el caso de a=b la curva parametrizada
α(t) =a(cost,sent) = (acost, asent), t∈[0,2π], es un c´ırculo de radio a y centro el origen de R2. Aqu´ı el trazo
C(α) =©(x, y)∈R2/ x2+y2 =a2ª,
es la circunferencia de radio a y centro (0,0).
Por otro lado, la curva parametrizada β : [0,2π]→R2, definida por β(t) = (acos 2t, bsen 2t), t∈[0,2π],
posee el mismo trazo que la curva
α(t) = (acost, bsent), es decir,
C(α) =C(β), pero
β0(t) = 2α0(t) ⇒ kβ0(t)k= 2kα0(t)k, ∀t∈[0,2π].
4. Las parametrizaciones dadas por
α(t) = (t2, t3) y β(t) = (t2−1, t(t2 −1)), t∈R,
determinan una c´ubica cuspidal dada por la ecuaci´on y2 =x3 y una c´ubica
nodal dada por y2 =x3+x2, respectivamente.
5. La aplicaci´on α:R→R2, dada por
α(t) = (t,|t|), t∈R,
no es una curva diferenciable, en particular una curva parametrizada, pues
la segunda funci´on coordenada x2 de α dada por la funci´on valor absoluto
x2(t) =|t| no es de clase C3 en t = 0. Mas cualquier restricci´on de α para
un intervalo que no contenga el punto t = 0 es una curva parametrizada
6. La hip´erbola descrita por la ecuaci´on
x2
a2 −
y2
b2 = 1,
con a, b >0, es parametrizada por la curva diferenciable, dada por α(t) = (acosht, bsenht), t ∈R,
donde las funciones coseno hiperb´olico y seno hiperb´olico son dadas por
cosht= e t+e−t 2 e senht= et−e−t 2 . Observamos que C(α) = ½ (x, y)/ x 2 a2 − y2 b2 = 1 ¾ .
7. El gr´afico de una funci´on f :I →R de clase Ck, dado por
G ={(x, y)∈I×R/y =f(x)} ⊂R2,
es parametrizado por la curva α :I →R2 de clase Ck, dada por
α(t) = (t, f(t)), t∈I.
8. El conjunto de todos los puntos (x, y)∈R2, tal que y2 = 4x2(1−x2),
es llamado de lemniscata. Este conjunto puede ser descrito como siendo el
trazo de la curva parametrizada α: [0,2π]→R2, dada por
α(t) = (sent,sen 2t),
donde el par´ametro t es el ´angulo entre el vector P −O (determinado por
P = (x, y) sobre la lemniscata y el origen O de R2) y el eje Ox.
9. Una curva Lissajous es el trazo de la curva parametrizada β : R → R2, definida por
β(t) = (senat,senbt), a, b >0, a 6=b.
Este tipo de curva de Lissajous aparece en Mec´anica, cuando dos oscilaciones el´asticas ocurren simult´aneamente en planos ortogonales, por ejemplo, los
p´endulos duplos. La curva parametrizada β es claramente una generalizaci´on
de la curva del ´ıtem anterior que parametriza la lemniscata.
10. Una cicloide es la trayectoria descrita por un punto P = (x1, x2)∈R2, de la
circunferencia de radio r y centroO0, que gira sobre el eje Ox, sin deslizarse
y con aceleraci´on escalar constante.
Sea V el vector con punto inicial enO0 y punto final P, y sea t el ´angulo
entre la circunferencia y el eje Ox, suponiendo que P coincide con el origen O = (0,0), cuando t= 0.
Entonces el arco QP tiene la misma longitud que el segmento con punto
inicial en el origen O y punto final Q. Concluimos que rt y r son abscisa y
ordenada, respectivamente, de O0 consecuentemente, tenemos que
x1 =rt−rcos µ 3π 2 −t ¶ =rt−rsent, x2 =r−rsen µ 3π 2 −t ¶ =r−rcost,
son las coordenadas de P. As´ı, la cicloide puede ser descrita como siendo
el trazo de la curva parametrizada α:R→R2, dada por
α(t) = (rt−rsent, r−rcost).
Verifique que:
α0(t) = (r−rcost, rsent), α00(t) =r(sent,cost), kα00(t)k=r
y C(α) = n (x, y)∈R2/x=rarc cos³1−y r ´ ∓p(2r−y)y o .
11. La espiral de Arqu´ımedes es el conjunto de todos los puntos (x, y)∈ R2 tal
que xtan Ãp x2+y2 a ! =y, a >0.
En coordenadas polares, la espiral de Arqu´ımedes es dada por la ecuaci´on:
r =aθ, a >0.
Usando este hecho podemos parametrizar la espiral de Arqu´ımedes, como
siendo el trazo de la curva parametrizada α: [0,+∞)→R2, definida por
α(t) = (atcost, atsent).
12. La parametrizaci´on dada por
γ(t) = (t, t2, t3), t∈R,
determina la c´ubica “twisted”. Las proyecciones de esta curva sobre cada
uno de los planos coordenados xy, xz e yz proporciona curvas planas dadas
por las ecuaciones y = x2 (par´abola), z = x3 (c´ubica) y z2 = y3 (c´ubica
cuspidal), respectivamente.
13. Sea a ∈ R. Una parametrizaci´on de una h´elice circular sobre un cilindro recto dado por el conjunto de todos los punto (x, y, z)∈R3 que satisfacen la ecuaci´on
es dada por la curva diferenciable α:R→R3, definida por
α(t) = (acost, asent, bt), t ∈R.
Aqu´ı el par´ametro t de α mide el ´angulo que el eje Ox hace con la recta que
pasa por el origen O de R3 y la proyecci´on ortogonal del puntoα(t) sobre el
plano xy, es decir, sobre el punto (acost, asent,0).
14. La curva parametrizada α: [π/2, π)→R2, dada por
α(θ) = µ cosθ+ ln tanθ 2,senθ ¶ , π 2 ≤θ < π,
donde θ es el ´angulo que el ejeOxhace con la recta que pasa por α(t)y tiene direcci´on el vector α0(t). El trazo C(α) es llamado de tractriz. Observe que
α ³π 2 ´ = (0,1) y l´ım θ→πα(θ) = (+∞,0).
Usando el hecho que
tan µ θ 2 ¶ =et,
una otra parametrizaci´on de la tractriz puede ser descrita por la siguiente curva β: [0,+∞)→R2, definida por
β(t) = (t−tanht,secht), t≥0. Aqu´ı, tanht = senht cosht = et−e−t et+e−t = e2t−1 1 +e2t =−cosθ y secht= 1 cosht = 2 et+e−t = 2et 1 +e2t = senθ. 2. Recta tangente a una curva Sea α:I →Rn una curva parametrizada, dada por
α(t) = n X i=1 xi(t)ei= (x1(t), x2(t)), sin= 2, (x1(t), x2(t), x3(t)), si n= 3. con vector tangente (o vector velocidad) de α ent0 ∈I, dado por
α0(t0) = n X i=1 x0i(t0)ei= (x01(t0), x20(t0)), sin= 2, (x01(t0), x02(t0), x03(t0)), si n= 3,
y con velocidad escalar de α en t0 ∈I, dada por ° °α0(t 0) ° °= v u u tXn i=1 (x0 i(t0))2 = p (x0 1(t0))2+ (x02(t0))2, sin= 2, p (x0 1(t0))2+ (x02(t0))2+ (x03(t0))2, sin= 3.
Definici´on 2.1. Diremos que una curva parametrizada α : I → Rn es regular en
t0 ∈I, si
α0(t
0)6= 0 ∈Rn.
Una curvaα esregular si α es regular en cada punto de I. Siα0(t
0) = 0 ∈Rn, para alg´un t0 ∈ I, diremos queα es una curva singular ent0 y el puntoα(t0) ser´a llamada una singularidad deα.
Geometricamente, cuando α0(t
0) 6= 0 ∈ Rn, tenemos que el vector tangente α0(t0) apunta en la direcci´on de una recta que: Pasa por el punto α(t0) y es limite de las rectas secantes aα que pasan porα(t0) y por α(t), cuando el par´ametro t tiende a
t0. La recta determinada por el vector α0(t0) es definida a seguir:
Definici´on 2.2. Sea α : I → Rn es una curva parametrizada y regular en t 0, definimos larecta tangente a la curvaα en α(t0) por
rt(l) =α(t0) +lα0(t0), l∈R.
Intuitivamente, el trazo de una curva regular es “sin puntas”, excepto por posibles puntos de auto intersecci´on. Sin embargo, localmente una curva α no tiene auto intersecci´on, como muestra el siguiente resultado.
Propocisi´on 2.3. Sea α : I → Rn una curva parametrizada y regular en t 0 ∈ I.
Entonces existe² >0, tal queα es inyectiva en el intervalo I0 ={t ∈I/|t−t0|< ²}.
Demostraci´on: Por hip´otesisα0(t
0)6= 0 ∈Rn, esto implica que existei∈ {1,2, ..., n} tal quex0
i(t0)6= 0. Luego, de la continuidad dex0i, existe un² >0, tal quex0i(t)6= 0, para todot∈I0 = (t0−², t0+²)∩I. En este caso, xi es una funci´on estrictamente mon´otona (es decir, estrictamente creciente o decreciente) y por lo tanto inyectiva, lo que implica que α|I0 tambi´en es inyectiva. ¤
Ejemplo 2.4. Seann≥2 yα :I →Rnla curva parametrizada por α(t) = (t, f(t)),
para cada t ∈ I, donde f : I → Rn−1 es una aplicaci´on de clase Ck con k ≥ 1.
Entonces α es regular en I, pues α0(1, f0(t)) 6= 0 ∈ Rn, para cada t ∈ I. Aqu´ı el
trazo de α es el gr´afico de f.
Propocisi´on 2.5. (Regra de la cadena) Sean α : I → Rn una curva diferenciable
en I y f :J →R una funci´on real diferenciable en un intervalo abierto J ⊂R tal
quef(J)⊂ I. Entonces la funci´on compuesta α◦f :J →Rn es diferenciable en J
y (α◦f)0(s) = α0(f(s))f0(s) ´o d(α◦f) ds = dα dt dt ds.
Teorema 2.6. (Teorema de la funci´on inversa en R) Sea f : I ⊂ R → R una funci´on diferenciable tal que f0(t0) 6= 0, para alg´un t
0 ∈ I. Entonces existe un
intervalo J ⊂ I tal que f(J) es un intervalo abierto de R y la funci´on restricci´on
f|J es un difeomorfismo deJ sobre f(J), es decir,f|J es una funci´on diferenciable,
con funci´on inversa (f|J)−1 diferenciable. En particular tenemos que: ¡
f−1¢0(s) = 1
f0(f−1(s)), ∀s∈J.
Una aplicaci´on de los dos resultados anteriores, es dada en el siguiente resultado, donde mostramos que cualquier curva diferenciable regular es localmente un gr´afico de una funci´on diferenciable.
Propocisi´on 2.7. Sea α : I → R2 una curva diferenciable y regular en t0 ∈ I.
Entonces, existe δ >0, tal que
C¡α|(t0−δ,t0+δ)
¢
=C(β),
donde β : J → R2 es una curva, dada por β(t) = (t, f(t)) ´o β(t) = (f(t), t), para
alguna funci´on diferenciable f :J →R con J un intervalo abierto de R.
Demostraci´on: Sea α :I →R2 dada por
α(t) = 2 X
i=1
xi(t)ei, t∈I. Comoα es una curva regular en t0, sabemos que
α0(t 0) = 2 X i=1 x0 i(t0)ei 6= (0,0). Sin perdida de generalidad podemos suponer que x0
1(t0) 6= 0. En este caso, por el teorema de la funci´on inversa, existe un intervalo abierto (t0−δ, t0+δ), tal que la funci´on coordenada x1|(t0−δ,t0+δ) es un difeomorfismo sobre el intervalo
J =x1((t0−δ, t0+δ)). Sea β : J → R2 una curva definida por β(t) = (α◦x−1
1 )(t), como la composici´on de funciones diferenciables es una funci´on diferenciable, tenemos queβ es una curva
diferenciable y β(t) = 2 X i=1 (xi◦x−11 )(t)ei = (t, f(t)), dondef es una funci´on diferenciable, dada por
f(t) = (x2◦x−11 )(t), t ∈J.
La demostraci´on en el caso dex2(t0)6= 0, es an´aloga al caso anterior, as´ı el trazo de
αcoincide localmente en un entorno de α(t0) con el trazo de una curva de la forma
β(t) = (f(t), t). ¤
Verifique si el resultado anterior vale para curvas en R3. 3. Longitud de arco
Un concepto fundamental en la geometr´ıa de curvas es la longitud de arco de una curva parametrizada.
Sea α:I →Rn una curva parametrizada, dada por
α(t) = n X
i=1
xi(t)ei, ∀t∈I. La funci´onLα :I →R, dada por
Lα(t) = Z t
t0
kα0(l)kdl, ∀t ∈I,
dondet0 ∈I, es llamadalongitud de arco. Como kα0k es una funci´on continua enI, la funci´onLα es de claseC1, y por el teorema fundamental del c´alculo, tenemos que
L0
α(t) =kα0(t)k, ∀t∈I.
Observaci´on 3.1. Siα :I →Rnes una curva diferenciable y regular enI, entonces
la funci´on longitud de arco Lα :I →R es una funci´on inyectiva de clase C∞ en I.
Definici´on 3.2. Sea α : [a, b]→Rn una curva parametrizada. Para cualquier valor del par´ametro t ∈ (a, b], definimos su longitud de arco de α entre los puntos a y t
por el n´umero Lα(t) = Z t a kα0(l)kdl = Z t a à n X i=1 (x0 i(l))2 !1/2 dl.
Es decir, la distancia que una part´ıcula se movi´o - la longitud de arco de su trayec-toria - es la integral de su velocidad.
Observaci´on 3.3. La funci´on longitud de arco Lα de una curva parametrizada α
est´a determinada de forma ´unica, a menos de una constante.
Definici´on 3.4. Diremos que una curva α : I → Rn esta parametrizada por la
longitud de arco, si el par´ametro t, es a menos de una constante, igual a Lα(t), es decir,
Lα(t) =t+c, ∀t∈I, dondec es una constante.
Propocisi´on 3.5. Una curva α : I → Rn est´a parametrizada por la longitud de arco si, y s´olo si,
kα0(t)k= 1, ∀t∈I.
Demostraci´on: Usamos el hecho que L0
α(t) = kα0(t)k y que Lα(t) = t+c, para cadat ∈I, concluimos que
kα0(t)k=L0α(t) = 1, ∀t∈I.
Rec´ıprocamente, sikα0(t)k= 1, para todot∈I, entonces
Lα(t) = Z t t0 kα0(l)kdl = Z t t0 dl=t−t0, ∀t∈I, por lo tanto,α est´a parametrizada por la longitud de arco. ¤
Teorema 3.6. Cualquier curva regular α : I → Rn puede ser reparametrizada por
la longitud de arco. M´as precisamente, fijandot0 ∈I, existe una biyecci´onh:J →I
de clase C∞ definida en un intervalo J sobre I, con 0 ∈ J y h(0) = t
0, de manera
que la curva β : J → Rn, dada por β(s) = (α◦h)(s), satisface que kβ0(s)k = 1.
Aqu´ıs es el par´ametro de longitud de arco.
Demostraci´on: Sea α:I →Rn una curva parametrizada y regular en I, queremos
reparametrizar α por la longitud de arco. Por la regularidad de α, tenemos que
L0
α(t) =kα0(t)k>0, ∀t∈I.
As´ı,Lα es una funci´on estrictamente creciente. LuegoLα es inyectiva. Ahora, por la continuidad deLα, tenemos que la imagen del intervaloI por Lα es un intervalo J, es decir,Lα(I) =J. De aqu´ı concluimos que Lα tiene una funci´on inversah:J →I que es diferenciable y tal que h(0) = t0, pues Lα(t0) = 0 ∈ J. As´ı la aplicaci´on
β:J →Rn, dada por
β(s) = (α◦h)(s),
es una curva parametrizada por la longitud de arco. De hecho, basta usar la regla de la cadena y la f´ormula de la derivada de una funci´on inversa que es dada por
h0(s) = 1
L0
α(h(s))
= 1
para obtener que β0(s) = (α◦h)0(s) =α0(h(s))h0(s). Por lo tanto, kβ0(s)k=kα0(h(s))h0(s)k= ° ° ° °α0(h(s))kα0(h1(s))k ° ° ° °= 1. As´ı concluimos que cada puntoβ(s) se mueve con velocidad 1. ¤
Ejemplo 3.7. A seguir damos reparametrizaciones de curvas b´asicas.
1. Un c´ırculo de radio a en R2 fui parametrizado por la curva
α(t) = (acost, asent), t∈[0,2π],
luego el vector velocidad y su velocidad en el instante t son dados por
α0(t) = (−asent, acost) y kα0(t)k=a, t∈[0,2π].
Por otro lado, podemos probar que la curva β, dada por
β(s) = ³ acoss a, asen s a ´ , s ∈[0,2aπ],
es una reparametrici´on de la curva α por la longitud de arco. Para ver esto,
usamos la regla de la cadena, para obtener que el vector velocidad β0(s) y su
velocidad en cada instante t, son dadas por
β0(s) = (−sen s
a,cos s
a) y kβ
0(s)k= 1, ∀s ∈[0,2aπ].
2. La siguiente curva α, dada por
α(s) = µ 1 3(1 +s) 3/2,1 3(1−s) 3/2,√s 2 ¶ , ∀s∈(−1,1), esta parametrizada por la longitud de arco, pues
α0(s) = µ 1 2(1 +s) 1/2,−1 2(1−s) 1/2,√1 2 ¶ y kα0(s)k= 1, ∀s∈(−1,1). 4. Campos de vectores a lo largo de curvas
Intuitivamente, un campo de vectores V a lo largo de una curva parametrizada
α:I →Rn es una aplicaci´on que a cada t ∈I asocia un vector con origen en α(t). Luego para determinarV(t), basta conocer la extremidad final del vector V(t), una vez que su extremidad inicial esα(t).
Definici´on 4.1. Uncampo de vectores de clase Cka lo largo de una curvaα:I →Rn de clase Ck, es una aplicaci´on V :I →Rn de clase Ck. Geom´etricamente, un campo de vectores V a lo largo de una curva α es dado, en cada punto α(t), por el vector de extremidades α(t) y V(t).
Ejemplo 4.2. Sea α:I →Rn una curva parametrizada y regular enI, dada por α(t) = n X i=1 xiei, t∈I,
entonces T :I →Rn, definido por
T(t) =α0(t), t∈I,
es un campo de clase Ck a lo largo de la curva α, llamado campo tangente de α.
1. Si α:I →R2 es una curva parametrizada por la longitud de arco, el campo
tangente T de α es un campo unitario, es decir,
kT(s)k= 1, ∀s∈I.
La aplicaci´on N :I →R2, dada por
N(s) = (−x2(s), x1(s)),
define un campo de clase Ck a lo largo de la curva α. Observe que,
T(s)·N(s) = −x1(s)x2(s) +x2(s)x1(s) = 0, ∀s∈I,
es decir, N(s) es perpendicular a T(s). Luego, el campo N es llamado un
campo normal de α. Como α esta parametrizada por la longitud de arco, el
campo normal N es tambi´en un campo unitario de clase Ck. De hecho:
kN(s)k2 = (−x
2(s))2+ (x1(s))2 =kT(s)k2 = 1, ∀s ∈I.
2. Sea α : I → R3 una curva regular parametrizada por la longitud de arco.
Entonces la funci´on f :I →R, dada por f(s) =kT(s)k2 es constante, luego
f0(s) = 2T(s)·T0(s) = 0, s∈I.
Por lo tanto, si kT0(s)k 6= 0, ∀s∈I, podemos definir un campo unitario N
de clase Ck a lo largo de la curva α, dado por
N(s) = T 0(s)
kT0(s)k, ∀s∈I.
El campo N es llamado campo normal principal de α, pues cada N(s) es
ortogonal a T(s) para cada s∈I.
En general, dados V, W : I → Rn campos de clase Ck a lo largo de una curva
α:I →Rn y f :I →Rfunci´on de clase Ck, podemos definir los campos
V +W :I →Rn y f V :I →Rn
por
(V +W)(t) = V(t) +W(t) y (f V)(t) = f(t)V(t), t∈I,
Adem´as, sea V es un campo de claseCk a lo largo de α, dado por V(t) = n X i=1 xi(t)ei, t ∈I, sik > 0, definimos la derivada deV por
V0(t) = n X
i=1
x0i(t)ei, t ∈I.
En este caso, obtenemos la aplicaci´onV0 :I →Rn que es un campo de claseCk−1 a lo largo deα.
Las siguientes relaciones son f´acilmente verificadas: (V +W)0(t) = V0(t) +W0(t)
(f V)0(t) = f0(t)V(t) +f(t)V0(t)
(V ·W)0(t) = V0(t)·W(t) +V(t)·W0(t), t∈I.
Propocisi´on 4.3. Sean V, W : I → Rn dos campos de clase Ck a lo largo de
α:I →Rn. Entonces
1. Si kVkes constante, entoncesV0(t)es perpendicular aV(t), para cada t∈I,
es decir,
V(t)·V0(t) = 0, ∀t∈I.
2. Si V(t) y W(t) son perpendiculares para cada t∈I, entonces V0(t)·W(t) = −V(t)·W0(t), ∀t∈I.
Demostraci´on: Derivando la ecuaci´on V(t)·V(t) = c, donde c es una constante
real, obtenemos que
2V0(t)·V(t) = 0,
esto prueba la primera parte. Para probar la segunda parte, basta derivar la ecuaci´on
V(t)·W(t) = 0, as´ı
0 = (V(t)·W(t))0 =V0(t)·W(t) +V(t)·W0(t). ¤
5. Teor´ıa local: Referencial de Frenet Si preguntamos:
Una respuesta esta en lacurvatura de cada una de las curvas, es decir, la tendencia de cada curva cambiar de direcci´on. Para ver esto asociamos a cada curvaα:I →Rn
parametrizada por la longitud de arco un “referencial m´ovil” que entendemos como siendo una base ortonormal deRn(n = 2,3) escogida en cada ponto de la curva, en el cason = 3 este referencial es llamado de “triedro m´ovil”.
Sea α:I →Rn una curva parametrizada por la longitud de arco. Entonces α0(s) es un vector tangente y unitario a la curvaα en s. Como vimos en la secci´on anterior esto define el campo tangente T a lo largo de α, dado por
T(s) =α0(s) = n X i=1 x0i(s), ∀s∈I. Supongamos quen = 2:
Definimos el campo N a lo largo de α, tal que para cada s ∈ I, el conjunto
{T(s), N(s)}sea una base ortonormal orientada positiva de R2, es decir, existe una rotaci´on que lleva e1 = (1,0) en T(s) y e2 = (0,1) en N(s). Por lo tanto, el campo
N es dado por
N(s) = (−x02(s), x01(s)), ∀s ∈I.
Como vimos en la secci´on anterior este campo N es el campo normal a lo largo de
α y verifica que:
N(s)·T(s) = 0 y kN(s)k= 1, ∀s∈I.
Definici´on 5.1. Sea α :I →R2 una curva parametrizada por la longitud de arco. El referencial
{T(s), N(s)}, ∀s∈I,
es llamado elreferencial de Frenet deα. Ahora, supongamos quen = 3:
Si T0(s) 6= 0, para todo s ∈ I, entonces en la secci´on anterior definimos el campo normal principalN a lo largo de la curva α :I →R3, dado por
N(s) = T 0(s)
kT0(s)k, ∀s∈I. An´alogamente,N verifica:
N(s)·T(s) = 0, y kN(s)k= 1, ∀s∈I.
SiT0(s) = 0, para alg´un s∈I, el vector normal principal no es definido en s. Observaci´on 5.2. Si α : I → Rn es una curva diferenciable parametrizada por la
longitud de arco, entonces los campos tangente T y normal (principal) N de α son
Antes de determinar un triedro m´ovil para una curva espacial parametrizada por la longitud de arco vamos introducir el concepto de curvatura.
Definici´on 5.3. Sea α:I →Rn una curva parametrizada por la longitud de arco. 1. Si n= 2, la funci´on κ:I →R, definida por
T0(s) = κ(s)N(s), ∀s∈I, es llamada curvatura deα.
2. Si n= 3, la funci´on κ:I →R, definida por
κ(s) =kT0(s)k, ∀s∈I, es llamada curvatura deα.
En cada caso el valorκ(s) es llamado la curvatura de α en s.
Observaci´on 5.4. Si α : I → Rn es una curva parametrizada por la longitud de
arco, entonces la curvatura de α en s verifica que:
κ(s) = 0 ´o κ(s) =T0(s)·N(s) =−N0(s)·T(s). En particular:
1. Si n= 2, entonces
κ(s) =−x001(s)x02(s) +x002(s)x01(s).
Luego, κ(s) >0 cuando T esta girando en el sentido contrario a las agujas
del reloj en un entorno de s; κ(s) <0 cuando T esta girando en el sentido
de las agujas del reloj; y κ(s) = 0 cuando T0(s) = 0. 2. Si n= 3, entonces κ(s)≥0, ∀s ∈I. Pues, por definici´on
κ(s) =p(x00
1(s))2+ (x002(s))2+ (x003(s))2 ≥0, ∀s ∈I.
Si κ(s) = 0, el vector normal principal en ese punto no puede ser definido.
En general, κ es una funci´on diferenciable, cuando α tambi´en lo es.
Geometricamente, ya quekT(s)k= 1 y|κ(s)|=kT0(s)k, la funci´on curvatura es una media de la variaci´on de la direcci´on deT y por lo tanto, de la variaci´on del cambio de direcci´on de la recta tangente de α en el punto α(s). As´ı la curvatura es una medida de cuanto una curva deja de ser una recta. De hecho, el siguiente resultado caracteriza las rectas como las curvas cuya curvatura es id´enticamente cero.
Propocisi´on 5.5. La curvatura de una curva regular α :I →Rn es id´enticamente
Demostraci´on: Supongamos que k = 0 enI. Como
0 =|k(s)|=kT0(s)k ⇒ T0(s) = 0∈Rn, ∀s∈I. Ya que el campo tangente T esta definida en un intervalo I, obtenemos que
α0(s) =T(s) = V
0, ∀s∈I,
dondeV0 es un vector constante. Integrando la ´ultima igualdad, obtenemos que
α(s) = α(s0) + Z s
s0
T(l)dl =α(s0) +V0(s−s0), ∀s∈I,
esto muestra que el trazo deα, C(α), esta sobre una recta que pasa por α(s0) y es paralela al vectorV0.
Rec´ıprocamente, siC(α) est´a contenido en una recta y la curvaαest´a parametrizada por la longitud de arco, entonces
α(s) =P0+sV0, ∀s∈I,
donde kV0k = 1. Luego, T(s) = α0(s) = V0 y por lo tanto, T0(s) = 0 ∈ Rn. As´ı, concluimos que la curvaturaκ(s) = 0, para todo s∈I. O sea, κ= 0. ¤
Supongamos quen = 2.
Definici´on 5.6. Sea α :I →R2 una curva parametrizada por la longitud de arco. Los camposT y N satisfacen las ecuaciones de Frenet que son dadas por
T0(s) =κ(s)N(s), N0(s) =−κ(s)T(s).
Ahora supongamos que n= 3.
Vamos determinar cuando es posible determinar un triedro m´ovil para el caso de una curva espacial parametrizada por la longitud de arco.
Siκ(s) = 0, para algun s, entonces el vector normal principal no esta definido en s, luego no ser´a posible determinar un triedro m´ovil para este tipo de puntos. De hecho, si el conjunto {s∈ I/κ(s) = 0} es discreto, entonces la curva quedar´a dividida por los puntos de este conjunto y en los intervalos determinado por eses puntos s´ı se tendr´a un triedro m´ovil. Ahora si el conjunto es un intervalo, vimos que en dicho intervalo, la curva ser´a un segmento de recta.
Por lo tanto, supongamos que la curvaturaκ 6= 0 enI, entonces podemos definir un nuevo campo a lo largo de la curvaα:I →R3 como sigue:
Definici´on 5.7. Elvector binormal de una curva α:I →R3 en s es definido por B(s) = T(s)×N(s) = det T(se)1·e1 T(se)2·e2 T(se)3·e3 N(s)·e1 N(s)·e2 N(s)·e3 . Esto define un campoB :I →R3 a lo largo de α, llamado campo binormal . Observaci´on 5.8. Por definici´on el campo binormalB de una curvaα es un campo
unitario y ortogonal a los campos tangente T y normal principal N de α. Es decir,
kB(s)k= 1 y B(s)·T(s) =B(s)·N(s) = 0, ∀s∈I.
Definici´on 5.9. Sea α :I →R3 una curva parametrizada por la longitud de arco. El referencial
{T(s), N(s), B(s)}, ∀s∈I,
que es ortonormal y orientado por la regla de la mano derecha enR3, es llamado el
triedro m´ovil (otriedro de Frenet) de α.
Ahora vamos determinar las ecuaciones de Frenet para una curva espacial α en la cual esta definido un triedro de m´ovil.
Comenzamos expresando el vector N0(s) como combinaci´on lineal de T(s), N(s) y
B(s), entonces el concepto de torsi´on de una curvaα :I →R3 aparece naturalmente: Como{T(s), N(s), B(s)}es una base ortonormal de R3, tenemos que
N0(s) = (N0(s)·T(s))T(s) + (N0(s)·N(s))N(s) + (N0(s)·B(s))B(s), ya que,
N0(s)·N(s) = 0 y N0(s)·T(s) =−T0(s)·N(s) = −κ(s)N(s)·N(s) =−κ(s), obtenemos que
N0(s) =−κ(s)T(s) + (N0(s)·B(s))B(s). As´ı el concepto de torsi´on es definido a seguir:
Definici´on 5.10. Definimos la torsi´on de la curva α en s por
τ(s) =N0(s)·B(s), Usando esta definici´on, tenemos que
N0(s) = −κ(s)T(s) +τ(s)B(s).
De forma an´aloga expresamosB0(s) como combinaci´on lineal deT(s), N(s) yB(s).
B0(s)·B(s) = 0, B0(s)·T(s) =−T0(s)·B(s) =−[k(s)N(s)]·B(s) = 0 y
Luego,
B0(s) =−τ(s)N(s).
Por lo tanto, las ecuaciones de Frenet son las siguientes:
T0(s) = κ(s)N(s)
N0(s) = −κ(s)T(s) +τ B(s)
B0(s) = −τ(s)N(s).
O equivalentemente las ecuaciones de Frenet en forma matricial: T 0(s) N0(s) B0(s) = −κ0(s) κ(0s) τ(0s) 0 −τ(s) 0 | {z } matriz antisim´etrica NT((ss)) B(s) .
Observaci´on 5.11. Sea α : I → R3 una curva parametrizada por la longitud de
arco. Sabemos que la curvaturaκde la curvaαes siempre no negativa. Sin embargo,
la torsi´on τ tiene un signo como veremos a seguir en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.12. Consideramos la h´elice circular parametrizada por la longitud de arco α(s) = ³ acoss c, asen s c, b s c ´ , dondec=√a2+b2 y b∈R. Entonces T(s) = α0(s) = 1 c ³ −asen s c, acos s c, b ´ T0(s) = α00(s) = 1 c2 ³ −acoss c,−asen s c,0 ´ = a c2 |{z} κ(s) ³ −coss c,−sen s c,0 ´ | {z } N(s) , B(s) = T(s)×N(s) = 1 c ³ bsens c, bcos s c, a ´ B0(s) = 1 c2 ³ bcoss c, bsen s c,0 ´ =− b c2 |{z} τ(s) ³ coss c,sen s c,0 ´ | {z } N(s) , As´ı la curvatura κ(s) = a c2 = a a2+b2 y la torsi´on τ(s) = b c2 = b a2+b2 son con-stantes. Como κ >0, entonces a > 0, pero la torsi´on ser´a positiva cuando la h´elice sea diestra (derecha) si b > 0 y la torsi´on ser´a negativa cuando la h´elice sea zurda (izquierda) sib < 0.
Ahora vamos determinar cuales son las “ecuaciones de Frenet” de una curva regular
Primero reparametrizamosαpor la longitud de arco, obteniendo la curva β =β(s), tal que
α(t) =β(s(t)),
luego por la regla de la cadena tenemos
α0(t) = (β◦s)0(t) =β0(s(t))s0(t) =υ(t)T(s(t)), donde
υ(t) = s0(t) =kα0(t)k 6= 0,
es la velocidad de la curva α en el instante t. Derivando en la variable t y usando la regla de la cadena en (T ◦s)(t), obtenemos un vector normal unitario N como funci´on de t, como sigue
(T ◦s)0(t) =T0(s(t))s0(t) =υ(t)κ(s(t))N(t).
Usando la notaci´on de Leibniz para derivadas, tenemos que
dT dt = dT ds ds dt =υκN, o equivalentemente, κN = dT ds = dT dt ds dt = 1 υ dT dt.
Definici´on 5.13. Sean α: I →Rn una curva parametrizada regular y β :J →Rn una reparametrizaci´on por la longitud de arco deα. Definimos la curvatura deα en
t∈I por la curvatura de β en el punto s∈J que corresponde al punto t∈I. El pr´oximo resultado, que es dejado como ejercicio, dice como determinar la cur-vatura de una curva regular en el plano Euclidiano que no necesariamente esta parametrizada por la longitud de arco.
Propocisi´on 5.14. Seaα:I →R2 una curva regular, definida porα(t) = x
1(t)e1+
x2(t)e2. Entonces la curvatura de α en t∈I es dada por la f´ormula
k(t) = x 0 1(t)x002(t)−x001(t)x02(t) p ((x0 1(t))2+ (x02(t))2)3 .
Ejemplo 5.15. Dada la siguiente parametrizaci´on de la tractriz: α(θ) = (cosθ+ ln tanθ
2,senθ),
π
2 ≤θ < π,
vamos calcular su curvatura. Entonces, α0(θ) = (−senθ+ cscθ,cosθ), y luego,
pues π
2 ≤θ < π. Como, T(θ) =
α0(θ)
υ(θ), tenemos que
T(θ) =− 1
cotθ(−senθ+ cscθ,cosθ) =−tanθ(cotθcosθ,cosθ) = (−cosθ,−senθ). Por lo tanto, κN = dT ds = dT dθ ds dθ = 1 υ(θ) dT dθ = (senθ,−cosθ) −cotθ = (| {z }−tanθ) κ (senθ,−cosθ) | {z } N . O sea,
κ(θ) =−tanθ > 0 y N(θ) = (senθ,cosθ), π
2 ≤θ < π.
Ejemplo 5.16. Calculamos κ, T, υ, N, B y τ para la curva parametrizada dada por
α(t) = (3t−t3,3t2,3t+t3), t∈R.
Determinamos primeroα0(t), T y υ como sigue:
α0(t) = 3(1−t2,2t,1 +t2), entonces υ(t) =kα0(t)k= 3√2(1 +t2) y T(t) = α 0(t) υ(t) = 1 √ 2 µ 1−t2 1 +t2, 2t 1 +t2,1 ¶ .
Ahora, el campo normal principal N como sigue:
κN = dT ds = dT dt ds dt = 1 υ(t) dT dt = 1 3(1 +t2)2 | {z } κ µ − 2t 1 +t2, 1−t2 1 +t2,0 ¶ | {z } N .
A seguir encontramos el campo binormal B utilizando su definici´on
B(t) =T(t)×N(t) = √1 2 µ −1−t2 1 +t2,− 2t 1 +t2,1 ¶ .
Finalmente obtenemos la torsi´on τ por derivaci´on de B como sigue: −τ N = dB ds = dB dt ds dt = 1 υ(t) dB dt = − µ 1 3(1 +t2)2 ¶ | {z } τ µ − 2t 1 +t2, 1−t2 1 +t2,0 ¶ | {z } N .
Por ´ultimo, observamos que la curvatura y la torsi´on de esta curva son iguales, es decir:
τ(t) = 1
3(1 +t2)2 =κ(t), ∀t∈R.
Observaci´on 5.17. Seaα:I →R2 es una curva regular parametrizada por la
longi-tud de arco, con curvaturaκ(s), para cadas∈I. A seguir damos una interpretaci´on
geom´etrica del signo (positivo o negativo) de la curvatura κ de α:
1. Siκ(t0)>0,entonces para cadatsuficientemente pr´oximo det0,α(t)est´a en
el semiplano determinado por la recta tangente a la curva α enα(t0)para el
cual apunta N(t0).
De hecho, basta verificar que la funci´on
f(t) = (α(t)−α(t0))·N(t0)≥0,
para t pr´oximo de t0. Adem´as observe que
f(t0) =f0(t0) = 0 y f00(t0) =κ(t0)>0.
Luego,t0 es un punto cr´ıtico def y comof00 >0, entoncesf tiene un m´ınimo
relativo estricto en t0. Como f(t0) = 0, podemos concluir la afirmaci´on.
Del mismo modo, si κ(t0)<0, podemos concluir que f posee un m´aximo
relativo estricto en t0, y por lo tanto, α(t)pertenecer´a al semiplano
determi-nado por la recta tangente de α en t0 para el cual apunta −N(t0). 2. Supongamos nuevamente que κ(t0)>0. Para cada ρ >0, sean
Pρ=α(t0) +ρN(t0) y
Cρ el c´ırculo de centro en Pρ y radio ρ.
Entonces, para cada valor de t suficientemente peque˜no, afirmamos que
α(t) esta en el interior de Cρ, si ρ < 1
κ(t0), y
α(t) esta contenido en el exterior de Cρ, si ρ > 1
κ(t0).
De hecho, si consideramos la funci´on g definida por
