Teoría de Grafos Introducción Grafos isomorfos

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Cap´ıtulo 1

Teor´ıa de Grafos

1.1. Introducci´

on

Definici´on. Denominaremos pseudomultigrafo a una terna (V, E, γ), donde

V yE son conjuntos y

γ:E→ {{u, v}:u, v∈V}.

El conjuntoV se denomina conjunto de v´ertices y sus elementos v´ertices y el conjuntoE, conjunto de aristas, y sus elementos aristas.

Se denotaráG= (V, E) o si se referencian más de un grafo,V(G) yE(G) serán los conjuntos de vértices y aristas, respectivamente.

Diremos que u, v∈V son adyacentes si {u, v} ∈E. Denotaremos #V el número de vértices y #E el número de aristas.

Diremos que una arista a es un lazo siγ(a) = (u, u) para alg´un u ∈V. Diremos que dos aristasa, a′ _{son paralelas si}_γ₍_a₎₆₌_γ₍_a′_).

Diremos que un pseudomultigrafo es un grafo si no tiene lazos ni aristas paralelas. Diremos que es un pseudografo si no tiene aristas paralelas y diremos que es un multigrafo si no tiene lazos.

Ejemplo 1.1. Ejemplos de multigrafos, pseudografos y grafos.

Definici´on. Denominamos digrafo o grafo dirigido a (V, E, s, t), dondeV, E

son conjuntos ys, t:E→V son aplicaciones. Es decir, las aristas consisten en pares ordenados de v´ertices (s(a) ser´ıa el v´ertice origen de la aristaa y

t(a) el destino).

Ejemplo 1.2. Ejemplos de digrafos.

1.1.1. Grafos isomorfos

Definici´on. Dados dos grafos G = (V, E, γ) y G′ _{= (}_V′_{, E}′_{, γ}′_{), diremos}

que son isomorfos si existen biyecciones f:V → V′_, _g_: _E _→ _E′ _{tales que}

g(γ(a)) = γ′₍_f₍_a_{)). Es decir, si “renombrando los v´ertices y aristas del}

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Ejemplo 1.3. Ejemplos de grafos isomorfos.

Definici´on. SeaGun grafo yu∈V(G). Se llama grado deu al n´umero de aristas que lo tienen como extremo y se denotagr(u).

Proposici´on 1.4. Si G y G′ _{son isomorfos y} _f _{es la biyecci´}_{on entre los} v´ertices, entoncesgr(u) =gr(f(u)).

Ejemplo 1.5. Uso del grado para ver que dos grafos no son isomorfos. Teorema 1.6. Sea G= (V, E) un grafo yV ={v1, . . . , vp}. Entonces

p

X

i=1

gr(vi) = 2#E.

Corolario 1.7. Todo grafo tiene un n´umero par de v´ertices de grado impar.

Ejemplo 1.8. Comprobemos el resultado con un ejemplo.

Definici´on. SeaGun grafo. Un subgrafo deGes cualquier grafoH tal que

V(H)⊂V(G) y E(H)⊂E(G).

Diremos que un subgrafo H de un grafoGes completo si se verifica que sia∈E(G) yγ(a)⊂V(H), entoncesa∈E(H). Es decir, si dos vértices del subgrafo estaban conectados por una arista en el grafo, entonces también lo están en el subgrafo, o, dicho de otro modo,H se ha obtenido “eliminando vértices deG”.

Ejemplo 1.9. Ejemplos de subgrafos de un grafo dado.

Proposici´on 1.10. SiH es un subgrafo deG, entonces#V(H)≤#V(G),

#E(H)≤#V(G) y grH(u)≤grG(u) para todo u∈V(H).

1.1.2. Grafos regulares y completos

Definici´on. Un grafo se dice que es regular si todos sus v´ertices tienen el mismo grado. Si ese grado esk, entonces el grafo es k-regular.

Ejemplo 1.11. Grafos regulares.

Todos los grafos regulares de 6 v´ertices.

Definici´on. Un grafo se dice completo si todo par de v´ertices son los ex-tremos de una arista.

Ejemplo 1.12. Grafos completos.

Proposición 1.13. Dos grafos completos son isomorfos si y sólo si tienen el mismo número de vértices.

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1.2. Grafos eulerianos y hamiltonianos

Definición. Un camino de un grafoGes una sucesión de vértices de G. Un camino de un multigrafo G es una sucesión alterna de vértices y aristas que los conectan.

Se denominan extremos del camino al primer y al último vértice. El primer vértice se denomina extremo inicial y el último extremo final.

Decimos que un camino es cerrado si los extremos son el mismo vértice. Decimos que dos vértices de un grafo están conectados si existe un camino que los tiene como extremos. En ese caso también se dice que el camino conecta dichos vértices.

La longitud de un camino es el número de aristas que comprende. En el caso de grafos coincide con el número de vértices del camino menos uno.

Decimos que un camino es simple si no repite v´ertices.

Decimos que un camino cerrado es un ciclo si no repite v´ertices salvo los extremos.

Decimos que un camino cerrado es un circuito si no se repite ninguna arista (en particular, todo ciclo es un circuito).

Ejemplo 1.15. Ejemplos de ciclos y circuitos.

Teorema 1.16. Si en un grafoGexiste un camino que conecta dos v´ertices distintos, entonces existe un camino simple que conecta los mismos v´ertices.

Ejemplo 1.17. Construcci´on de un camino simple a partir de un camino.

1.2.1. Grafos conexos

Definición. Decimos que un grafo es conexo si todo par de vértices están conectados.

Si un grafo no es conexo se dice disconexo.

La relación “estar conectados” es una relación de equivalencia. Dado un grafo, cada una de las clases de equivalencia por la relación anterior se denominan componentes conexas.

Proposición 1.18. Un grafo es conexo si y sólo si tiene una única compo-nente conexa.

Ejemplo 1.19. Componentes conexas.

1.2.2. Grafos eulerianos

Definici´on. Decimos que un camino es euleriano si contiene todas las aristas sin repetir ninguna.

Decimos que un circuito es euleriano si contiene todas las aristas. Ejemplo 1.20. Caminos y circuitos eulerianos.

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Ejemplo 1.21. Transformaci´on de multigrafos en grafos.

Definici´on. Decimos que un grafo es euleriano si admite un circuito eule-riano. Es decir, existe un camino cerrado que recorre todas las aristas sin repetir ninguna.

Ejemplo 1.22. Grafos eulerianos y no eulerianos.

Teorema 1.23. Un grafo conexo es euleriano si y s´olo si todo v´ertice tiene grado par.

Un grafo conexo admite un camino euleriano si y s´olo si todo v´ertice tiene grado par excepto dos que tienen grado impar.

Demostraci´on. Algoritmo para la obtenci´on de un circuito/camino eule-riano.

1.2.3. Grafos hamiltonianos

Definici´on. Decimos que un camino simple es hamiltoniano si contiene todos los v´ertices.

Decimos que un ciclo es hamiltoniano si contiene todos los v´ertices. Decimos que un grafo es hamiltoniano si admite un ciclo hamiltoniano. Teorema 1.24. Sea G un grafo con n≥3 v´ertices. Entonces

Si el n´umero de lados es mayor o igual que (n−1)(n−2)/2 + 2, entonces el grafo es hamiltoniano.

Si para cada par de v´ertices no adyacentes se verifica que gr(v) +

gr(w)≥n, entonces Ges hamiltoniano.

Teorema 1.25. Sea G = (V, E) tal que #V ≥ 3. Si G es hamiltoniano, entonces para cada subconjuntoU ⊂V, el subgrafo deG cuyos vértices son los de V\U y cuyas aristas son las de G que no tienen extremos en U (es decir, el subgrafo obtenido eliminando los vértices de U y las aristas que contienen dichos vértices) tiene a lo sumo#U componentes.

Demostraci´on. Basta considerar el ciclo hamiltoniano. Ejemplo 1.26. Un grafo no hamiltoniano.

Teorema 1.27. Todo grafo completo con tres o m´as v´ertices es hamilto-niano.

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1.3. Grafos dirigidos. ´

Arboles. Exploraci´

on de

gra-fos

1.3.1. Matriz de adyacencia

Definici´on. Sea G = (V, E) un grafo y V = {v1, . . . , vn} su conjunto de

v´ertices. Se define la matriz de adyacencia deG, MG, como la matriz

cua-drada

MG = (mi,j)1≤i≤n,1≤j≤n,

tal que mi,j = 1 si vi y vj son adyacentes y mi,j = 0 si vi y vj no son

adyacentes.

SiGes un digrafo, se define la matriz de adyacencia de modo quemi,j = 1

si hay una arista que comienza envi y termina envj ymi,j = 0 en otro caso.

Proposici´on 1.29. Si G y G′ _{tienen la misma matriz de adyacencia,} en-tonces son isomorfos.

Teorema 1.30. Dos grafos G y G′ _{son isomorfos si y s´}_{olo si existe una} matriz de permutacionesP (es decir, en cada fila/columna deP hay ex´ acta-mente una posici´on en la que hay un 1 y en todas las dem´as un 0) tal que

P MG =MG′P.

Ejemplo 1.31. Ejemplos de grafos con distinta matriz de adyacencia e isomorfos.

1.3.2. Digrafos

Definición. SeaGun digrafo. Se denomina camino enGa toda sucesión de vérticesv1v2. . . vn tales que existe una arista que comienza envi y termina

envi+1. El v´erticesv1 se denomina origen y elvnfin. Denominamos longitud

de un camino al n´umero de aristas que comprende.

Teorema 1.32. Sea G= (V, E) un grafo (digrafo),V ={v1, . . . , vn} yMG

su matriz de adyacencia. Entonces la posici´on (i, j) de la matriz M_Gk es el n´umero de caminos de longitud k que comienzan envi y terminan en vj.

Demostraci´on. Se demuestra por inducci´on. Ejemplo 1.33. Algunos ejemplos.

Corolario 1.34. SeaG= (V, E)un grafo (digrafo),V ={v1, . . . , vn}yMG

su matriz de adyacencia. Sea

C =M1 G+M 2 G+. . .+Mn− 1 G , C= (ci,j)1≤i≤n,1≤j≤n.

Existe un camino entrevi yvj si y s´olo sici,j 6= 0. En particularGes conexo

si y s´olo si ci,j 6= 0 para todo i, j.

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1.3.3. Recorrido de grafos

Definici´on. Decimos que G= (V, E) es un grafo etiquetado si existe una funci´ond:E →N_{que asigna un valor a cada arista. Denominamos etiqueta}

o distancia de e ∈ E al valor d(e). Si {u, v} ∈ E denotamos d(u, v) =

d({u, v}). Si {u, v} 6∈E, podemos considerar d(u, v) = +∞.

En un grafo etiquetado, definimos longitud de un camino como la suma de las etiquetas de las aristas.

Teorema 1.36(Algoritmo de Dijkstra). SeaG= (V, E)un grafo etiquetado por una funci´on L. Sean x, y∈V. El camino de longitud m´ınima entrex e

y se puede obtener por el siguiente procedimiento:

1. Generamos T =V y L(x) = 0, L(v) = +∞ para todo v∈V.

2. Calculamos v∈V tal queL(v) = m´ın{L(w) : w∈T}.

3. Si v=y, entonces hemos terminado y la distancia es L(y).

4. En caso contrario, hacemos T → T\{v}, L(w) → m´ın{L(w), L(v) +

d(v, w)} y volvemos a2.

1.3.4. Arboles´

Definici´on. Decimos que un grafo G es un ´arbol si es conexo y no tiene ciclos.

Si no es conexo ni tiene ciclos decimos que es un bosque.

Teorema 1.37. Un grafoT es un árbol si y sólo si cada dos vértices distintos deT se conectan por un único camino simple.

Demostraci´on. Se demuestran las dos implicaciones Ejemplo 1.38. Ejemplo de ´arbol

Definición. Dado un grafo conexoG, se denomina árbol maximal recubri-dor o generarecubri-dor de G a cualquier árbol que sea subgrafo de G y contenga todos los vértices.

Definición. Dado un grafo etiquetado conexoG, se denomina árbol genera-dor minimal deGa un árbol generador de modo que la suma de los pesos de sus aristas sea m´ınima dentro del conjunto de todos los árboles generadores.

1.4. Mapas

1.4.1. Grafos planos

Definición. Un grafo (multigrafo) se dice que es plano si admite una re-presentación gráfica en el plano de modo que cada arista corta únicamente

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a otra arista en un vértice que sea extremo de ambas. Dicha representación gráfica se denomina mapa.

Ejemplo 1.39. Ejemplos de grafos planos y no planos.

Definición. Dado un mapa, se denomina región a un camino cerrado tal que en su interior no hay ni vértices ni aristas. El número de regiones de un grafo es independiente del mapa asociado y se denota #R. El camino cerrado que rodea una región no siempre es un circuito.

Ejemplo 1.40. Ejemplos de regiones de grafos.

Definici´on. Se denomina grado de una regi´on a la longitud del camino que la rodea.

Teorema 1.41. Sea G un grafo plano y R el conjunto de regiones de un mapa asociado. Entonces

X

r∈R

gr(ri) = 2#E.

Ejemplo 1.42. Poliedros regulares.

Teorema 1.43. SeaM un mapa conexo, que representa al grafoG= (V, E). Entonces

#V −#E+ #R= 2.

Corolario 1.44. SeaG= (V, E)un grafo plano conexo, con#V2. Entonces

#E ≤3#V −6.

Demostraci´on. (El grado de las regiones es al menos tres) Ejemplo 1.45. K5 no es plano.

Corolario 1.46. Sea G= (V, E) un grafo plano, conexo, #V >2. Supon-gamos que enG no existe ning´un subgrafo isomorfo aK3. Entonces

#E ≤2#V −4.

Ejemplo 1.47. K3,3 no es plano.

1.4.2. Teorema de K. Kuratowsky

Definici´on. Sea G = (V, E) un grafo, u, v ∈ V y {u, v} ∈ E. Una subdi-visi´on elemental de G a partir de la arista {u, v} es un nuevo grafo G′ ₌

(V′_{, E}′_{) tal que} _V′ ₌_V _{∪ {}_w_} _y _E′ _{= (}_E_\{_{u, v}_}₎_{∪ {}_{u, w}_{} ∪ {}_{w, v}_}_{, donde}

w6∈V.

Una subdivisi´on de un grafo G es un grafo G′ _{resultande de hacer un}

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Ejemplo 1.48. Ejemplo de subdivisi´on

Teorema 1.49 (Teorema de Kuratowsky). Un grafo G es plano si y sólo si no contiene ningún subgrafo que sea isomorfo a una subdivisión de K5 o

K3,3.

Ejemplo 1.50. Ejemplo de aplicaci´on.

1.4.3. Pseudomultigrafo dual

Definici´on. Sea M un mapa. Diremos que dos regiones son adyacentes si tienen una arista en com´un.

Dado un grafo planoG, el pseudomultigrafo dual GM se define como un

pseudomultigrafo construido del siguiente modo: 1. Los v´ertices deGM son las regiones de G.

2. Para cada arista e∈ E, definimos una arista deGM que conecta las

dos regiones adyacentes ae.

El pseudomultigrafo dual GM es un grafo plano. Basta representar G

como un mapa y GM encima de modo que cada vértice esté en una región

del mapa y cada arista de GM corte a G unicamente en la arista´ e que es

adyacente a las dos regiones.

Ejemplo 1.51. Algunos pseudomultigrafos duales.

1.5. Problema de los cuatro colores

Definición. Sea G = (V, E) un grafo y C = {1, . . . , k} un conjunto al que denominaremos de kcolores. Una coloración de Gconkcolores es una aplicación γ: V → C de modo que si u, v ∈ V y {u, v} ∈ E, entonces

γ(u)6=γ(v).

Ejemplo 1.52. Ejemplos de coloraciones

Teorema 1.53 (K. Appel, W. Haken, J. Koch). Todo grafo plano admite una coloraci´on con a lo sumo cuatro colores.

Corolario 1.54. Todo mapa admite una coloraci´on de las regiones con a lo sumo cuatro colores de modo que dos regiones adyacentes tengan distinto color.

Definici´on. Un grafo G = (V, E) se dice que es bipartito si existe una coloraci´on con dos colores.

Un grafo se dice bipartito completo si es bipartito y todo v´ertice colo-reado con el primer color esta conectado con todo v´ertice colocolo-reado con el

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segundo color. Estos grafos est´an determinados por los n´umeros n1, n2 de

v´ertices coloreados con el primer y segundo color, respectivamente, y los denotaremosKn1,n2.

Teorema 1.55. Un grafo es bipartito si y s´olo si no tiene ciclos con longitud impar.

Demostración. Por inducción sobre el número de aristas.

Definición. Denominamos número cromático de un grafoGal menor n´ ume-ro de colores que son necesarios para colorearlo.

Dado un grafoGyn∈N_{. Denotaremos} _p₍_{G, n}_{) al n´}_{umero de}

coloracio-nes distintas conncolores que admite el grafo G.

Teorema 1.56. Sea Gun grafo yu, vdos v´ertices adyacentes. Seaeel lado que los une. Entonces

p(Ge, n) =p(G, n) +p(G′e, n),

donde Ge es el subgrafo de G obtenido al eliminar e de G y G′e es el grafo

obtenido al identificar en Ge los v´ertices u y v.

Ejemplo 1.57. Obtención del polinomio cromático de un grafo y de su número cromático.