Leonard Euler y la Teoría
de Grafos
¿Qué tienen en común
un pasatiempo de los habitantes de una ciudad europea del siglo XVIII;
Colorear el mapa de Colombia;
Planear un viaje de vacaciones;
Evitar problemas cómo el del apagón del jueves pasado?
Y ¿Qué tienen en común estas cosas con Leonard Euler, el matemático suizo, que
nació en 1807 y murió el 7 de septiembre de 1783 y cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras?
¿Qué tienen en común las siguiente imágenes?
Simulación Química Artificial
Conectividad de Internet
Mapa de Internet, Coloreado por
direcciones IP
WWW: Jerarquía Topológica
Conexiones de Viajes
Todas ellas son ejemplos de problemas que se pueden modelar usando la
Teoría de
Grafos
, que es una rama de lasMatemáticas y tiene mucho interés en las Ciencias de la Computación, y cuyo
precursor fue precisamente Leonard Euler.
La Teoría de Grafos, una rama de la Topología, es el estudio de estructuras matemáticas que se usan para modelar relaciones entre
objetos de una colección.
En 1736, época en la que vivió en Prusia,
Euler resolvió el problema conocido como el Problema de los siete puentes de
Königsberg.
La siguiente es una traducción textual del
artículo que Euler escribió sobre el problema de los puentes de Königsberg.
“El problema, que entiendo es bien conocido, dice lo siguiente: En el pueblo de Königsberg, en Prusia, hay una isla llamada Kneiphof,
rodeada por dos ramas del río Pregel: Hay siete puentes, a, b, c, d, e, f, y g cruzando las dos ramas, como se muestra en la figura
La pregunta es si una persona puede
caminar de tal forma que pueda cruzar cada uno de estos puentes una vez, pero no más que una vez.
Me han dicho que algunos insisten en que esto es imposible y que otros tienen dudas, nadie es capaz de afirmar que es posible.
Con base en lo anterior, he formulado el siguiente problema general…”
Euler continúa en su trabajo formulando una teoría general que resuelve el problema
particular y da origen a toda una nueva rama de las matemáticas, la Teoría de grafos.
Reconstruyamos la forma como resolvió Euler el problema de los siete puentes:
Primero, analicemos los puentes y el río
Ahora, olvidémonos de las distracciones
Concentrémonos en la información pertinente
Simplifiquemos las cosas aún más:
Por último llegamos simplemente a
Esta figura es
un Grafo
Un grafo está formado por
Vértices
Un grafo está formado por
Vértices
y
Aristas
Un grafo, (grafico o red) se refiere a una colección de vertices o nodos y una
colección de aristas, donde cada arista conecta dos vértices.
Se usa como una abstracción de la relación entre objetos. Los grafos consisten
exclusivamente de vértices y aristas. Todas las características del sistemas se eliminan o se reunen dentro de estos conceptos
Grado de un vértice
= Número de aristas
Grado 3
Grado 5 Grado 3
Grado 3
Clave de la Solución
Estudiar los vértices impares
Llegamos a este Vértice
Ahora salimos de este
Vértice.
Al volver otra vez No importa el camino
No se puede salir.
Tiene que ser un Vértice Final
Este análisis se le hace a todos los vértices.
Por tanto, se tiene que
No es posible que haya un camino como
el buscado, ya que hay cuatro vértices
impares.
Variación: Si tenemos un puente mas
*
En términos de la teoría de grafos
Un camino euleriano en un grafo es un
recorrido que usa cada arista exactamente una sola vez.
Un circuito euleriano es un camino euleriano que empieza y termina en el mismo punto.
En caso de que exista tal camino se dice que el grafo es Euleriano.
El problema de los puentes de Königsberg corresponde a responder a encontrar un camino euleriano.
Si se exige iniciar y terminar en el mismo punto, corresponde a encontrar un circuito euleriano
La solución que dió Euler al problema establece que:
Un grafo contiene un circuito euleriano si y sólo si todos sus vértices son pares.
Un grafo contiene un camino euleriano si y sólo si tiene dos vértices impares y los otros vértices pares.
Además, cualquier camino euleriano
empieza en uno de los vértices impares y termina en el otro.
La solución a este problema dada por Euler es considerada el primer teorema de Teoría de Grafos.
Euler reconoció que la información clave era el número de puentes y la lista de sus
extremos, y que no importaba la posición exacta, sino posiciones relativas.
Estas ideas fueron precursoras de la Topología, que se llamó inicialmente Geometría in Situs.
La diferencia entre el mapa exacto de la
ciudad y la situación de los puentes y el grafo esquemático es un buen ejemplo de la forma de pensamiento topológico, al que no le
interesa las distancias ni las formas rígidas.
ota Histórica: Situación actual de los
puentes de Königsberg, ahora Kaliningrad.
Dos de los puentes fueron destruidos por bombardeos durante la Segunda Guerra Mundial.
Otros dos fueron demolidos y reemplazados por autopistas modernas. Los otros tres puentes permanecen, aunque sólo dos de ellos son los originales de la época de Euler, pues el otro fue reconstruido en 1935.
Así que ahora el problema de los puentes de Königsberg es diferente.
La Característica de Euler fue definida inicialmente para poliedros.
Se usó para probar varios teoremas acerca de ellos, incluyendo la clasificación de los
sólidos platónicos.
Hoy es un concepto muy importante en la Topología.
Historia
El artículo Solutio problematis ad geometriam situs petinentis, escrito por Euler sobre los siete puentes de Königsberg y publicado en 1736 en la revista anual de la Academia de San Petersburgo, Tomo VIII, pág. 128-140 es claramente el primer artículo en esta
teoría y por tanto su punto de partida.
Hay una traducción en la enciclopedia Sigma, El Mundo de las Matemáticas, tomo 4,
páginas 164-171.
Problema del Caballo
Euler presentó el primer artículo matemático sobre el problema del Caballo. Curiosamente está publicado en francés, que no era la
costumbre de la época: “Solution d'une question curieuse qui ne paroit soumise à aucune analyse”, Mémoires de l'Academie
Royale des Sciences et Belles Lettres, Année 1759, vol.15, pp.310–337, Berlín 1766.
En palabras de Euler:
Me encontré un día en un juego de ajedrez y alguien propuso el siguiente problema:
recorrer con un caballo todas las celdas de un tablero de ajedrez, sin pasar dos veces por la misma celda e iniciando en una celda dada…
La formula de Euler, que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro fue generalizada por Cauchy y L´Huillier y se
constituye en el origen de la Topología.
El artículo de Vandermonde sobre el
problema del caballo del ajedrez continúa con las ideas de la Geometría in Situs, iniciadas por Leibniz y Euler
Pasado más de un siglo del trabajo de Euler sobre los puentes de Königsberg, Cayley
estudió un tipo particular de grafos, los árboles. Su motivación fue el estudio de problemas que provenían del cálculo
diferencial.
Los árboles tiene muchas aplicaciones en la
Química Teórica, especialmente en lo que se refiere al problema de enumeración de grafos con ciertas propiedades. El origen de parte de la terminología que se usa hoy en la
Teoría de Grafos proviene de esta
interacción con las ideas de la Química.
El término “grafo” fue introducido por
Sylvester en un artículo publicado en 1878 en la revista Nature.
El desarrollo de la Topología entre 1860 y 1930 aportó grandes contribuciones a la Teoría de grafos, en particular con los
trabajos de Jordan, Kuratowski y Whitney.
Otro aporte importante fue el empleo de técnicas del álgebra moderna.
Un ejemplo de la aplicación de estas técnicas se encuentra en el trabajo del físico Gustav Kirchhoff, quien publicó en 1845 la ley de circuito de Kirchhoff, que permite calcular el voltaje y la corriente en circuitos eléctricos.
Uno de los problemas más famosos de la Teoría de Grafos es el problema de los cuatro colores:
¿Es verdad que en cualquier mapa dibujado en el plano se pueden colorear sus regiones con cuatro colores, de tal forma que dos regiones que tengan un borde común tengan diferente color?
El problema de los cuatro colores fue propuesto por primera vez por Francis Guthrie en 1852
El primer registro escrito es una carta de De Morgan a Hamilton de ese mismo año.
Durante el tiempo que estuvo el problema sin resolver se propusieron muchas pruebas
incorrectas, incluso de matemáticos tan importantes como Cayley.
Este problema permaneció sin resolverse
por más de un siglo y su prueba, dada
en 1976 por Kennet Appel y Wolfgang
Haken, involucró el uso del computador
para chequear las propiedades de 1936
tipos de configuraciones. Este trabajo
es imposible de hacer a mano.
Esta solución creó todo una discusión entre la comunidad científica, en
especial la comunidad matemática sobre
¿Qué es una prueba?
Hoy en día esa discusión está más o menos resuelta, y la solución de Appel y Haken se considera una prueba correcta.
En 1996 Robertson, Seymour, Sanders y Thomas publicaron una prueba más simple de este problema. También requiere el uso del computador.
Una rama más reciente de la Teoría de grafos es conocida como Teoría de Grafos
Aleatorios e involucra la introducción de métodos probabilísticos.
Esta es una rama con mucha investigación.
Aplicaciones
Antes de la introducción de grandes
redes de computadores, la Teoría de Grafos era un campo de carácter
teórico, sin gran interés por sus aplicaciones prácticas.
Era una rama de la Topología, que está
dentro de las Matemáticas “Puras”.
Ejemplos de estructuras que se pueden modelar por grafos aparecen por todas partes y muchos problemas de interés
práctico se pueden representar por grafos.
La estructura de un sitio web se puede
representar por un grafo dirigido: los vértices son las páginas web disponibles en el sitio y existe una arista dirigida entre la página A y la página B si y sólo si la página A contiene un vínculo a la página B.
A partir del momento en el que el análisis de
redes adquirió un interés comercial, la Teoría de Grafos se convirtió en una rama de las
Matemáticas Aplicadas, y despertó un gran interés, no sólo en el mundo académico sino también en la comunidad general.
La estructura de un grafo se puede extender si se le asigna a cada arista un “peso” o
“etiqueta”.
Los grafos con peso se usan para modelar, por ejemplo, las redes viales, donde cada arista representa una carretera que une dos
ciudades y el peso representa la longitud de cada carretera.
Las redes son digrafos con peso, y su
estudio tiene muchas aplicaciones prácticas.
El Análisis de Redes es por tanto una rama de la Teoría de Grafos.
La Teoría de Grafos se usa para estudiar moléculas en Química y en Física.
De igual forma se tienen problemas de diseño de rutas de viajes, problemas de
Biología, diseño de tarjetas para computador.
En este momento es un problema importante el diseño de algoritmos que permita
manipular eficientemente grafos complejos.
