Cap´ıtulo 1
Grafos
1.1.
Definiciones B´
asicas y Ejemplos
Definici´on 1.1.1. Un grafo simple G es un par (V, E) donde
V es un conjunto finito cuyos elementos se denominan v´ertices. Llamaremos orden deG al n´umero de v´ertices y lo denotaremos por |V|.
E es un subconjunto finito de V ×V, tal que si (a, b) ∈ E, entonces a 6= b y (b, a)∈E. Los elementos de E se denominan aristas.
Si (a, b)∈E, debido a que (a, b)∈E⇐⇒(b, a)∈E, denotamos la arista que conecta
a y b como{a, b}. Se dice que los v´ertices ay b son adyacentes cuando est´an conectados por una arista y los v´ertices a yb se denominan extremos de la arista.
Gr´aficamente representaremos los v´ertices por puntos y las aristas por l´ıneas que los unen. En los grafos simples, dos v´ertices, si son adyacentes, est´an unidos por una ´unica arista
Ejemplo:
El siguiente gr´afico representa un grafo con tres v´ertices y tres aristas:
Nosotros hemos dado la definici´on de un grafo simple, pero tambi´en existen otro tipo de grafos como:
arista. Dos o m´as aristas que unen el mismo par de v´ertices distintos se denominan multiaristas.
Pseudografo Una arista puede conectar un mismo v´ertice. Una arista que conecta un mismo v´ertice se denomina lazo.
Digrafo Un grafo en el cual las aristas son pares ordenados. Es decir, (a, b) 6= (b, a). Gr´aficamente, la arista (a, b) se representa con una flecha dirigida de a ab.
Ejemplo:
El grafo de la derecha es un multigrafo, y el de la izquierda es un pseudografo.
Otra
x y
Multiarista
lazo
Cuadro 1.1: Grafos no simples
A lo largo de este curso nos centraremos en los grafos simples, por lo tanto, la palabra grafo implicar´a grafo simple si no se indica lo contrario.
Definici´on 1.1.2. Llamaremos grado de un v´ertice al n´umero de aristas de las que es extremo. Se dice que un v´ertice es ’par’ o ’impar’ seg´un lo sea su grado.
Ejemplo:
En este grafo, el v´ertice 5 tiene grado cuatro, y los dem´as grado uno.
Dado un conjunto, podr´ıamos hablar de subconjuntos; dado un ret´ıculo, podr´ıamos hablar de ret´ıculos, y dado un grafo, tambi´en podremos hablar de subgrafos.
Definici´on 1.1.3. Sea G= (V, E)un grafo. Un subgrafo de Ges otro grafoG0 = (V0, E0),
tal que V0⊆V, E0⊆E y si{a, b} ∈E0, entoncesa, b∈V0.
2
1 3
4 5
Cuadro 1.2:
Definici´on 1.1.4. Sea G un grafo de orden n. La matriz de adyacencia de G es una la matriz con n filas y n columnas, denotada A = (aij), donde aij = 1 si los v´ertices i y j son adyacentes y aij = 0en otro caso.
La matriz de adyacencia de un grafo simple siempre es sim´etrica, es decir,aij =aji, y su diagonal es nula.
Ejemplo:
La matriz de adyacencia del grado de la figura 1.2 es:
v1 v2 v3 v4 v5
v1 v2 v3 v4 v5
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0
1.1.1.
Caminos y conexidad
Supongamos que tenemos un grafoG y dos de sus v´erticesx, y. Una de las preguntas que se pueden plantear es si a trav´es de las aristas del grafo, se puede ir desde el v´ertice
xal v´ertice y, es decir, si hay un camino que conecta xcon y.
Otra
sucesi´on finita no vac´ıa de aristas
{x, v1},{v1, v2}, ...,{vn, y}.
Si hay camino dex ay, entonces
los v´ertices xay se llaman los extremos del camino,
el n´umero de aristas del camino se denomina la longitud del camino,
si los v´ertices no se repiten el camino se dicepropio o simple,
llamaremos sendero a un camino que nunca pasa dos veces por la misma arista, aunque pueda repetir v´ertices,
cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado,
llamaremos ciclo a un circuito simple, es decir, un camino con extremos iguales donde el ´unico v´ertice que se repite es el inicial como punto de llegada,
llamaremossendero c´ıclico a un sendero que es cerrado, es decir, un camino con extremos iguales donde no se repiten aristas,
el v´erticey se dice accesible desde el v´ertice xsi existe un camino entre ellos. Todo v´ertice es accesible respecto a si mismo
Un ciclo de longitud k se llamak–ciclo.
Observad que si hay un camino entre 2 v´ertices, tambi´en habr´a un camino simple entre ellos.
Definici´on 1.1.6. Un grafo G es conexo si cada par de v´ertices est´a unido al menos por un camino.
Ejemplo:
En el grafo de la izquierda, observad que no hay camino entre el v´ertice x y el v´erticey, por lo tanto no es conexo.
x
y grafo no
conexo
grafo conexo 2 componentes
conexas
Definici´on 1.1.7. Una arista de un grafo G se dice de separaci´on si G es conexo pero al suprimir la arista, se divide en dos componentes conexos
Como ejemplo, el grafo del cuadro 1.2 es conexo y todas las aristas son de separaci´on.
