OAB una rectar paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA yOB en los puntos A0 y B0 respectivamente. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos comunes a las rectas AB0 y BA0 que se obtienen al variar dicha paralela.
Mart´ınez, J. (1969): Elementos de Matem´aticas. (p. 530)
Soluci´on de Francisco Javier Garc´ıa Capit´an
La aplicaci´on A0 → B0 de la recta OA en la recta OB es una
ho-mograf´ıa. Es m´as, es una proyecci´on, y cuando la paralela pasa por
O tenemos A0 = O = B0, por lo tanto, el eje de homograf´ıa pasa
por O. Como cuando la paralela a la AB es la recta que pasa por los
puntos medios de los OA y OB, el punto AB0 ∩BA0 es el baricentro
del tri´angulo, el lugar geom´etrico buscado es la mediana del tri´angulo
correspondiente al v´erticeO.
Exactamente el mismo razonamiento sirve para responder a los enun-ciados:
a1. Hallar el lugar de los puntos comunes a las rectas AB0 y BA0 si ABC es acut´angulo, y r es paralela a AB, cortando a los lados CB y CA en los puntos A0 y B0 respectivamente.
a2. Hallar el lugar de los puntos comunes a las rectas AB0 y BA0 si ABC es obtus´angulo, y r es paralela a AB, cortando a los lados CB y CA en los puntos A0 yB0 respectivamente.
Ahora, consideramos los cinco enunciados siguientes:
b. En un tri´angulo rect´angulo OAB una recta s perpendicular a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A0 y B0 re-spectivamente. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos comunes a las rectas AB0 y BA0 que se obtienen al variar dicha perpendicular. b1. En un tri´angulo acut´angulo CAB una recta s perpendicular a AB corta a los lados CB y CA en los puntosB0 yA0 respectivamente. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos comunes a las rectas AB0 y BA0 que se obtienen al variar dicha perpendicular.
b2. En un tri´angulo obtus´angulo en C , CAB, una recta s perpendicular a AB corta a los lados CB y CA en los puntos B0 yA0 respectivamente. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos comunes a las rectas AB0 y BA0 que se obtienen al variar dicha perpendicular.
c. En un tri´angulo acut´angulo trazamos una recta s perpendicular a BC, que corta a los lados CB y CA en los puntos B0 y A0 respectiva-mente. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos comunes a las rectas AB0 y BA0 que se obtienen al variar dicha perpendicular.
c1. En un tri´angulo obtus´angulo en A, trazamos una recta s perpen-dicular a BC, que corta a los lados CB y CA en los puntos B0 y A0 respectivamente. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos comunes a las rectas AB0 y BA0 que se obtienen al variar dicha perpendicular.
De igual forma que en el encunciado ano interviene que el tri´angulo sea rect´angulo, acut´angulo u obtus´angulo, podemos considerar los cinco enunciados anteriores como caso particular del problema siguiente:
d. SeanABC un tri´angulo y `una recta cualquiera. Una recta variable perpendicular a` cortaAB yAC en los puntos B0 yC0. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos de intersecci´on BC0 ∩CB0 al variar dicha perpendicular.
En este caso la aplicaci´onB0 →C0es una homograf´ıa, pero no es una
proyecci´on, por lo que el lugar de los puntos de intersecci´onBC0∩CB0
es una c´onica que pasa por B y C, siendo las tangentes a la c´onica
en estos puntos las perpendiculares a ` trazadas por ellos. El v´ertice
A tambi´en est´a sobre la c´onica, ya que se obtiene cuando se considera
la perpendicular a ` trazada por A. Por tanto, conocemos tres puntos
por los que pasa la c´onica y las tangentes en dos de ellos, por lo que podemos trazar la c´onica.
Pero, para hacerlo m´as f´acil, hemos dicho que las tangentes en B y
enC son ambas perpendiculares a`y por tanto paralelas, por lo que el
polo de la rectaBC, que es el punto de intersecci´on de ambas tangentes,
estar´a en el infinito. Como consecuencia, el centro de la c´onica, que es
el polo de la recta del infinito, deber´a estar sobre la rectaBC, y debe
ser el punto medio de BC.
Construcci´on de la c´onica. En la figura siguiente,P es un punto
cualquiera y` es la polar trilineal deP respecto deABC. Por un punto
cualquiera X deBC trazamos una perpendicular a `, que corta en B0
y C0 a AB y AC respectivamente. Al variar X sobre BC, el punto
Q=BC0∩CB0 describe la c´onica Γ(P). Sabiendo que el punto medio
deBC es el centro de la c´onica, conA,B,C,Qy el punto sim´etrico de
Q respecto del punto medio deBC tenemos cinco puntos de la c´onica.
l A B X C B' C' Q Q'
An´alisis de la c´onica, primera parte. Si consideramos ` como
la polar trilineal de un punto P, ¿qu´e tipo de c´onica es la c´onica que
hemos obtenido, que llamaremos Γ(P), seg´un las posiciones de P?
Usando coordenadas baric´entricas, si P = (u : v : w), podemos ver
que Γ(P) tiene la ecuaci´on
SBuv+SCuw−a2vwyz
= SCvw+SAvu−b2wuzx+ SAwu+SBwv −c2uvxy,
y el discriminante de esta c´onica es la expresi´on
δ(P) =−4(SCvw−b2wu+SAuv)(SBvw+SAwu−c2uv),
por lo que el tipo de c´onica va a depender de la posici´on deP respecto
de las circunc´onicas Γb y Γc que tienen por perspectores los puntos
Jb = (SC : −b2 : SA) y Jc = (SB : SA : −c2), que son los puntos del
infinito de las perpendiculares a CA y AB respectivamente.
Construcci´on de una circunc´onica con perspector infinito. Para acabar de hacer el an´alisis, presentamos un m´etodo original para construir una circunc´onica con perspector un punto del infinito.
Con-cretamente, dado un punto S veamos c´omo es la construcci´on de la
circunc´onica pyz + qzx+rxy = 0 cuyo perspector es el punto del
infinito (p:q:r) de la recta AS.
En primer lugar, observemos que por serp+q+r= 0, la circunc´onica
pasar´a por el baricentroG del tri´angulo ABC.
A B C S X W V M G
Necesitamos un quinto punto de la c´onica. Para obtenerlo, hallamos
X = AS ∩BC y trazamos paralelas a AB y AC por X que cortan
en V y W a AC y AB respectivamente. Pues bien, el punto M =
BV ∩CW est´a sobre la c´onica buscada. En efecto, puede obtenerse
que M = (qr:q2
:r2
), que, de nuevo por ser p+q+r = 0 cumple la
ecuaci´onpyz+qzx+rxy= 0.
Observemos adem´as que el punto medio deA = (qr+q2
+r2 : 0 : 0) y M = (qr:q2 :r2 ) es el punto ((q+r)2 :q2 :r2 ) = (p2 :q2 :r2 ), que es el centro de la circunc´onica.
An´alisis de la c´onica, segunda parte. Usando la construcci´on
anterior, podemos dibujar las c´onicas Γb y Γc que, como hemos dicho,
tienen por perspectores los puntos del infinito de las alturasBH yCH.
Cada vez que el punto P atraviese alguna de las dos hip´erbolas Γb y
Γc, la c´onica Γ(P) pasar´a de elipse a hip´erbola o viceversa.
l A B C P X B' C' Q G
Cuando el punto P est´a, por ejemplo, sobre la hip´erbola Γb, resulta
que su polar trilineal es perpendicular a la rectaCAy Γ(P) degenera en
la rectaCAy su paralela porB, siendo ´esta ´ultima el lugar geom´etrico
de los puntos Q. l A B X C P B' Q
Para terminar, observamos algunas propiedades de los centros Ob y
1. Por ser Jb y Jc puntos del infinito, los centros Ob y Oc de las hip´erbolas est´an en la elipse inscrita de Steiner. En general si
J = (p:q: r) es infinito, la circunc´onica con perspector J tiene
su centro en el punto J2
= (p2
:q2
:r2
), que estar´a en la elipse inscrita de Steiner. A B C G Ob Oc X393 Mb Mc
2. Las rectas BOb y COc son cevianas del cuadrado baric´entrico
del ortocentro, el puntoX393.
Otra visi´on de la c´onica Γ(P). Si U es el punto sim´etrico de A
respecto del punto medio de B y C, y m es la perpendicular a ` por
U, la c´onica Γ(P) es la conjugada isot´omica de la recta m0 conjugada
arm´onica de m respecto de las rectas U B y U C. Esta recta m0 es la
tangente a Γ(P) en U. l m m' A B C P X B' C' Q U
