Estadística Inferencial

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1

Sesión No. 3

Nombre: Distribuciones de probabilidades para variables. Parte I. Objetivo: Al finalizar la sesión, el estudiante explicará el concepto de variable aleatoria y sus propiedades. Así mismo describirá la diferencia entre variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua. Conocerá también las condiciones de aplicación de las distribuciones binomial e hipergeométrica.

Contextualización

Con frecuencia, cuando se realiza un experimento aleatorio puede ser que solamente nos interese el valor de determinadas magnitudes numéricas, y no todos los detalles del resultado del experimento. Estas magnitudes de interés que vienen determinadas por el resultado del experimento se conocen como variables aleatorias.

Para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome distintos valores, o pertenezca a un cierto intervalo existen distintos modelos de distribuciones de probabilidad. Estos modelos tienen un gran número de aplicaciones en situaciones de la vida cotidiana y en casi todas las áreas profesionales.

Como estudiante y profesionista requerirás conocimientos básicos y habilidad para organizar, analizar y transformar datos, así como para presentar la información para tomar buenas decisiones personales y de naturaleza profesional.

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Introducción al Tema

¿Cómo describir la probabilidad de que un evento se realice en el futuro?

Imagen recuperada de: users.york.ac.uk

A los conceptos vistos en las sesiones anteriores vamos a añadir en primer lugar el de variable aleatoria y su clasificación dependiendo de los valores numéricos que asuma.

A continuación, se presentarán dos de las distribuciones de probabilidad discreta utilizadas ampliamente: la binomial y la hipergeométrica, ya que resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y tomar decisiones de incertidumbre.

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Explicación

2.1 Variable aleatoria

¿Qué es una variable aleatoria?

En cualquier experimento, existen numerosas características que pueden ser observadas o medidas, pero en la mayoría de los casos la persona que realiza el experimento se enfoca en algún aspecto específico o aspectos de una muestra (Devore, 2008). Por ejemplo:

• Si cuentas el número de alumnos ausentes en la clase de Biología del viernes, el número puede ser 0, 1, 2,… El número de ausencias es una variable aleatoria.

• En una clínica veterinaria no se tiene manera de saber con exactitud cuántas mascotas enfermas van a ser atendidas de urgencias en un día cualquiera de modo que el número de mascotas enfermas del día siguiente es una variable aleatoria.

En general, cada resultado de un experimento puede ser asociado con un número especificando una regla de asociación. Esta regla de asociación se llama variable aleatoria, variable porque diferentes valores numéricos son posibles y aleatoria porque el valor observado depende de cuál de los posibles resultados experimentales resulte.

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 4 Definición:

Para un espacio muestral dado 𝑺de algún experimento, una variable aleatoria es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en 𝑺.

En lenguaje matemático:

Una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espació muestral y cuyo rango es el conjunto de los números reales.

Para designar a las variables aleatorias se utilizan las letras 𝑋, 𝑌 𝑜 𝑍, y los valores que asumen estas variables pueden denotarse por medio de las letras minúsculas correspondientes. Veamos algunos ejemplos:

• Si el espacio muestral es {lluvioso, soleado, frío}, se puede definir una variable aleatoria 𝑋 diciendo que 𝑋 = 5 si está lluvioso, 𝑋 = 25 si está soleado y 𝑋 = −3.2 si hace frío, es decir, 𝑋{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑜𝑙𝑜} = 5, 𝑋{𝑙𝑜𝑙𝑠𝑠𝑠𝑜} =

25 y 𝑋{𝑓𝑓í𝑜} = −3.2.

• Si el espacio muestral corresponde al lanzamiento de dos dados equilibrados, se puede establecer que, 𝑋 sea el cubo del número obtenido en el primer dado, 𝑌 el cuadrado del número obtenido en el segundo dado,

𝑍 la resta de los dos números que han salido, etc.

• Todo valor constante c puede ser también una variable aleatoria si se establece que 𝑐(𝑙) = 𝑐 para todo 𝑙 ∈ 𝑆 (Evans & Rosenthal, 2005). Entonces, 7 es una variable aleatoria, igual que 1 6⁄ o −4.5.

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• Si 𝐴 es un suceso cualquiera puede definirse una función indicadora de 𝐴, representada por 𝐼_𝐴, como la variable aleatoria

𝐼𝐴(𝑙) = �1 𝑙 ∈ 𝐴_{0 𝑙 ∉ 𝐴}

Que es igual a 1 para 𝐴 e igual a 0 para 𝐴𝑐

Dadas dos variables aleatorias 𝑋 e 𝑌 se puede efectuar con ellas cualquier tipo de operación matemática. Por ejemplo.

• _{𝑋(𝑙) = 𝑌}2_{(𝑙) = �𝑌(𝑙)�}2 _{= 𝑌(𝑙) ∙ 𝑌(𝑙)}

• si 𝑍 = 𝑋 − 𝑌, entonces 𝑍(𝑙) = 𝑋(𝑙) − 𝑌(𝑙)

• Considera el lanzamiento de un dado equilibrado de seis caras, de modo que:

• _{𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

• Sea 𝑋 el número que sale, es decir, 𝑋(𝑙) = 𝑙 para 𝑙 ∈ 𝑆

• Sea 𝑌 cinco más el doble del número que sale, o sea, 𝑌(𝑙) = 2𝑙 +

5

Si se define 𝑍 = 4𝑋 + 𝑌, entonces

𝑍(𝑙) = 4𝑋(𝑙) + 𝑌(𝑙) = 4𝑙 + 2𝑙 + 5 = 6𝑙 + 5

Por tanto 𝑍(1) = 11, 𝑍(2) = 17, etc.

Se escribe 𝑋 = 𝑌 para representar 𝑋(𝑙) = 𝑌(𝑙) para toda 𝑙 ∈ 𝑆; análogamente,

𝑋 ≥ 𝑌 representa 𝑋(𝑙) ≥ 𝑌(𝑙) para todo 𝑙 ∈ 𝑆, y 𝑋 ≤ 𝑌 indica 𝑋(𝑙) ≤ 𝑌(𝑙) para

todo 𝑙 ∈ 𝑆. Por ejemplo, 𝑋 ≤ 6 significa 𝑋(𝑙) ≤ 6 para todo 𝑙 ∈ 𝑆.

Si 𝑆 es infinito, entonces una variable aleatoria 𝑋 definida sobre 𝑆 puede tomar infinitos valores. Por último, suponiendo que 𝑋 es una variable aleatoria y que sabemos que pueden ocurrir diferentes resultados 𝑙 con diferentes probabilidades. En consecuencia, también 𝑋(𝑙) tomará diferentes valores con

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 6 diferentes probabilidades, probabilidades que se denominan la distribución de 𝑋 (Evans & Rosenthal, 2005).

Se acostumbra clasificar las variables aleatorias de acuerdo con el número de valores que pueden tomar: en variables aleatorias discretas, es decir, variables aleatorias que pueden tomar un número finito o contablemente infinito (tantos valores como números enteros hay); también hay variables aleatorias continuas, que se usan cuando manejamos cantidades medidas en una escala continua, por ejemplo, el peso, temperatura, distancia, entre otras. En esta sesión se considerarán sólo las variables aleatorias que son discretas.

2.2 Distribución binomial

¿Cómo se calcula una probabilidad binomial?

La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que tiene muchas aplicaciones. Está relacionada con un experimento aleatorio conocido como experimento de Bernoulli. Un experimento binomial tiene las siguientes propiedades:

1. El experimento está constituido por un número finito, 𝑛, de ensayos idénticos.

2. En un determinado ensayo del experimento sólo hay dos posibles resultados. A uno de ellos se le llama éxito y al otro fracaso.

3. La probabilidad de éxito de cada ensayo aislado es constante para todos los ensayos y recibe la denominación de 𝑝. La probabilidad de fracaso que se denota 𝑞 = 1 − 𝑝 es la misma en cada ensayo.

4. Los ensayos son independientes, lo cual significa que el resultado de un ensayo no influye en el resultado del otro.

Si se presentan las tres últimas propiedades, se dice que los ensayos son generados por un proceso de Bernoulli. Si, además, se presenta la propiedad 1,

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 7 se trata de un experimento binomial. En un experimento binomial lo que interesa es el número de éxitos en 𝒏 ensayos. Si 𝑥 denota el número de éxitos en 𝑛 ensayos, es claro que 𝑥 tomará los valores 0, 1, 2,…, 𝑛. Dado que el número de estos valores es finito, 𝑥 es una variable aleatoria discreta. A la distribución de probabilidad correspondiente a esta variable aleatoria se le llama distribución de probabilidad binomial (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008).

Para construir una probabilidad binomial particular es necesario conocer lo siguiente (Render, Stair, & Hanna, 2012):

𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑠𝑓𝑜 𝑠𝑠 𝑠𝑛𝑙𝑠𝑒𝑜𝑙

𝑝 = 𝑙𝑠 𝑝𝑓𝑜𝑝𝑠𝑝𝑙𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 é𝑥𝑙𝑥𝑜 𝑠𝑠 𝑙𝑛 𝑙ó𝑙𝑜 𝑠𝑛𝑙𝑠𝑒𝑜

Sean:

𝑥 = 𝑠𝑙 𝑛ú𝑚𝑠𝑓𝑜 𝑠𝑠 é𝑥𝑙𝑥𝑜𝑙

𝑞 = 1 − 𝑝 = 𝑝𝑓𝑜𝑝𝑠𝑝𝑙𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑠𝑐𝑠𝑙𝑜

La fórmula binomial es:

𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑷𝒅 𝒙 é𝒙𝑷𝒙𝑷𝒙 𝒅𝒏 𝒏 𝒅𝒏𝒙𝑷𝒆𝑷𝒙 = 𝒇(𝒙) =_{𝒙! (𝒏 − 𝒙)! 𝒑}𝒏! 𝒙_𝒒𝒏−𝒙

Veamos algunos ejemplos:

Si la probabilidad de que cualquier elector registrado en el INE (seleccionado al azar de las listas del padrón oficial) vote en una elección determinada es 0.70.

¿Cuál es la probabilidad de que dos de cinco electores registrados voten en la

elección?

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Solución

Este experimento tiene las características de un experimento binomial con: 1. Cantidad de ensayos idénticos realizados, 𝑛 = 5 .

2. En cada ensayo hay dos resultados posibles: voten (éxito) o no voten (fracaso).

3. .La probabilidad de éxito y de fracaso son iguales en todos los ensayos, siendo 𝑝 = 0.70 y 𝑞 = 0.3.

4. Los ensayos son independientes porque los electores se eligen aleatoriamente.

Como se satisfacen las cuatro propiedades

𝑋: Variable aleatoria discreta (número de electores registrados que votan) Sustituyendo en la fórmula 𝑛 = 5, 𝑥 = 2, 𝑝 = 0.70, 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0.70 =

0.30 se tiene

𝒇(𝟐) =_{𝟐! (𝟓 − 𝟐)! (𝟎. 𝟕𝟎)}𝟓! 𝟐_{(𝟏 − 𝟎. 𝟕𝟎)}𝟓−𝟐

𝒇(𝟐) =𝟓 × 𝟒 × 𝟑!

𝟐! × 𝟑! (𝟎. 𝟒𝟒)(𝟎. 𝟎𝟐𝟕) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟐𝟑

La probabilidad de que dos de cinco electores voten en una elección es de 0.1323

La probabilidad de que una familia que hace ejercicio en cierto club deportivo aproveche la promoción especial de membresía Fitness es 0.30. Obtén las probabilidades de que, entre seis familias que se ejercitan en este club haya 0, 1, 2, 3, 4, 5, o 6 familias que aprovechen la promoción.

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Solución:

1. El experimento consiste en 7 ensayos idénticos; cada ensayo consiste en que una familia aproveche la promoción especial de Membresía Fitness. 2. En cada ensayo hay dos resultados posibles: la familia aprovecha la

membresía (éxito) o la familia no la aprovecha (fracaso).

3. Las probabilidades de que haya compra de membresía y de que no haya compra de esta se supone que son iguales en cada ensayo, siendo

𝑝 = 0.30 y 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0.70.

4. Los ensayos son independientes porque las familias se eligen de forma aleatoria.

Como estos cuatro puntos se satisfacen, es un experimento binomial. Ahora, sustituyendo 𝑛 = 6, 𝑝 = 0.30 y 𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 𝑒 6 respectivamente en la fórmula de distribución binomial se obtiene:

𝒇(𝟎) =_{𝟎! (𝟔 − 𝟎)! (𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔! 𝟎_{(𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔−𝟎_{= 𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟔}

𝒇(𝟏) =_{𝟏! (𝟔 − 𝟏)! (𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔! 𝟏_{(𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔−𝟏_{= 𝟎. 𝟑𝟎𝟐𝟓}

𝒇(𝟐) =_{𝟐! (𝟔 − 𝟐)! (𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔! 𝟐_{(𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔−𝟐_{= 𝟎. 𝟑𝟐𝟒𝟏}

𝒇(𝟑) =_{𝟑! (𝟔 − 𝟑)! (𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔! 𝟑_{(𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔−𝟑_{= 𝟎. 𝟏𝟏𝟓𝟐}

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𝒇(𝟓) =_{𝟓! (𝟔 − 𝟓)! (𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔! 𝟓_{(𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔−𝟓_{= 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟐𝟏}

𝒇(𝟔) =_{𝟔! (𝟔 − 𝟔)! (𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔! 𝟔_{(𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟎)}𝟔−𝟔_{= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟑}

Los valores de 𝑓(0), 𝑓(1), 𝑓(2), 𝑓(3), 𝑓(4), 𝑓(5)𝑒 𝑓(6) corresponden a la distribución de probabilidad para el número de familias que aprovechan la promoción.

Una ventaja importante de definir una variable aleatoria y su correspondiente distribución de probabilidad es que una vez que se conoce la distribución de probabilidad, es relativamente fácil determinar la probabilidad de diversos eventos que pueden ser útiles para tomar decisiones.

La distribución binomial también puede ser expresada de manera gráfica. La representación gráfica de la distribución binomial para el número de familias que aprovechan la promoción especial de Membresía Fitness se muestra a continuación.

Este problema se pudo haber resuelto empleando un diagrama de árbol de probabilidades, sin embargo, para resolver problemas más grandes, dichos diagramas se hacen más complicados. De manera similar, el uso de la fórmula binomial puede llegar a ser complicada cuando se tenga que realizar cálculos

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 11 que incluya, por ejemplo 21 factorial. Por tal motivo, se han construido tablas de distribución de probabilidad binomial (Levin & Rubin, 2004). Para usar las tablas es necesario especificar los valores de 𝑛, 𝑝 y 𝑥 en el experimento binomial de que se trate. Para el ejemplo, 𝑛 = 6, 𝑝 = 0.30 y 𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 𝑒 6 se lee directamente los valores de la tabla.

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 12 La distribución binomial tiene un valor esperado o media (𝜇) y una desviación estándar (𝜎).

Simbólicamente se representan como:

𝝁 = 𝒏𝒑 En la que: 𝒏 = 𝑛ú𝑚𝑠𝑓𝑜 𝑠𝑠 𝑠𝑛𝑙𝑠𝑒𝑜𝑙 𝒑 = 𝑝𝑓𝑜𝑝𝑠𝑝𝑙𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑥𝑠𝑛𝑠𝑓 é𝑥𝑙𝑥𝑜 𝝈 = �𝒏𝒑𝒒 Donde: 𝒏 = 𝑛ú𝑚𝑠𝑓𝑜 𝑠𝑠 𝑠𝑛𝑙𝑠𝑒𝑜𝑙 𝒑 = 𝑝𝑓𝑜𝑝𝑠𝑝𝑙𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 é𝑥𝑙𝑥𝑜 𝒒 = 𝑝𝑓𝑜𝑝𝑠𝑝𝑙𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑠𝑐𝑠𝑙𝑜

Del ejemplo se tiene que la media y la desviación estándar de la distribución binomial son:

𝝁 = 𝑛𝑝 = (6)(0.30) = 1.8

𝝈 = �𝑛𝑝𝑞 = �(6)(0.30)(0.70) = 1.12 2.3 Distribución hipergeométrica

¿Qué es y para qué se utiliza la distribución hipergeométrica?

La distribución hipergeométrica es otro caso de una distribución de variable aleatoria discreta, está estrechamente relacionada con la distribución binomial. Pero difieren en dos puntos: en la distribución hipergeométrica los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito varía de ensayo a ensayo (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008).

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 13 La función de probabilidad hipergeométrica se emplea para calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 𝑛 elementos, seleccionados sin reemplazo, se tengan 𝑥 éxitos y 𝑛 − 𝑥 fracasos de los 𝑁 − 𝑓 fracasos.

La fórmula de la distribución de probabilidad hipergeométrica es la siguiente:

𝒇(𝒙) =�

𝑷 𝒙��𝑵−𝑷𝒏−𝒙�

�𝑵_𝒏�

Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑓, donde:

𝑓(𝑥) = Probabilidad de 𝑥 éxitos en 𝑛 ensayos.

𝑛 = Número de ensayos.

𝑁 = Número de elementos en la población.

𝑓 = Número de elementos en la población considerados como éxitos.

𝑁 − 𝑓 = Número de elementos considerados como fracasos que hay en dicha

población. Además:

�𝑵_𝒏� =_{𝒏!(𝑵−𝒏)!}𝑵! Representa el número de maneras en que es posible tomar una

muestra de tamaño 𝑛 de una población de tamaño 𝑁.

�𝑷_𝒙� = _{𝒙!(𝑷−𝒙)!}𝑷! Representa el número de formas en que se toman 𝑥 éxitos de un

total de 𝑓 éxitos que hay en la población.

�𝑵−𝑷_𝒏−𝒙� =_{(𝒏−𝒙)!{(𝑵−𝑷)−(𝒏−𝒙)}!}(𝑵−𝑷)! Representa el número de maneras en que se pueden

tomar 𝑛 − 𝑥 fracasos de un total de 𝑁 − 𝑓 que hay en la población.

Por ejemplo, de 50 carteles para un congreso, 12 no cumplen con los requisitos establecidos. Si se seleccionan aleatoriamente diez carteles para revisarlos,

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 14 ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los diez no cumpla los requisitos?

Solución

Se debe determinar 𝑓(𝑥) = 3. Sustituyendo en la fórmula.

𝒇(𝒙) =�

12 3��387�

�50₁₀� = 0.2703

Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente tres de los diez no cumpla los requisitos es de 0.2703.

Ahora práctica comprobando el resultado obtenido.

En resumen, las características de la distribución hipergeométrica son las siguientes (Lind, Marchal, & Wathen, 2012):

1. Los resultados de cada ensayo de un experimento se clasifican en dos categorías exclusivas: éxito o fracaso.

2. La variable aleatoria es el número de éxitos de un número fijo de ensayos. 3. Los ensayos no son independientes.

4. Los muestreos se realizan con una población finita sin reemplazo y

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Conclusión

En esta sesión pudiste ver que la variable que toma diferentes valores como resultado de un experimento se designa como variable aleatoria. Esta puede ser discreta si se origina de un proceso de conteo y continua si se origina de un proceso de medición.

También hemos visto los supuestos y su utilidad de dos de las distribuciones de probabilidad que representan variables aleatorias discretas: la binomial y la hipergeométrica. Recuerda que todas las suposiciones que conforman la base de una distribución deben cumplirse para obtener resultados significativos.

¿Qué distribución utilizarías para describir el número de llamadas que llegan a un conmutador?

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Para aprender más

¿Cuál es distribución hipergeométrica?

• Rincón, L. (15 de diciembre de 2013). Distribución hipergeométrica. [Archivo de video] Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=kkcLnDT1Oa0

¿Cuáles son los aspectos más destacados de la distribución binomial?

• Trujillo, G. M. (26 de septiembre de 2011). Distribución binomial. Universitat Politècnica de València [Archivo de video] Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=sGfGVwiRs3I

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Actividad de Aprendizaje

Instrucciones:

Con la finalidad de profundizar en los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión, ahora tendrás que realizar las siguientes actividades:

Actividad 1

Elabora un mapa conceptual detallado en el que incluyas los tres subtemas vistos en esta sesión. Puedes realizarlo en cualquier programa especializado en mapas conceptuales, al final tendrás que guardarlo en formato PDF.

Actividad 2

Resuelve los siguientesproblemas.

1. La revisión aduanal se efectúa en el aeropuerto aleatoriamente, de la siguiente manera: En la salida se encuentra un semáforo, si al pasar una persona se activa la luz roja se realizará la revisión; en caso de activarse la verde, el viajero sale tranquilamente sin revisión. La luz roja aparece con una frecuencia del 10%. Si se consideran 18 viajeros. Se desea conocer:

a. La probabilidad de que 3 o más sean revisados. b. Menos de 5 sean revisados.

c. ¿Cuántos de los siguientes 100 viajeros se espera sean revisados? 2. En el aeropuerto internacional de la ciudad de México debido a la gran

afluencia de pasajeros sólo se revisa el 10% de estos a la salida. Si de un grupo de 20 turistas, 12 tienen compras muy por arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 20 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas revisadas tengan que

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 18 pagar los impuestos correspondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto?

Puedes realizarlo en un procesador de textos, al final tendrás que guardarlo en formato PDF junto con la otra actividad, es decir, en un solo archivo, entrega tu actividad de acuerdo a las indicaciones de tu profesor.

Recuerda que estas actividades te ayudarán a comprender los conceptos de variable aleatoria, distribuciones binomial e hipergeométrica y sus múltiples aplicaciones.

Esta actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo siguiente:

• Tus datos generales.

• Título del trabajo.

• Mapa conceptual con la información solicitada.

• Ejercicios resueltos completamente y correctos.

• Ortografía y redacción.

• Procedimiento correcto.

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Bibliografía

• Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10 ed.). México: Cengage Learning.

• Berenson, M. L., & Levine, D. M. (1996). Estadística básica en administración. Conceptos y aplicaciones. México: Pearson Educación.

• Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (8 ed.). México: Cengage Learning.

• Evans, M. J., & Rosenthal, J. S. (2005). Probabilidad y estadística. La ciencia de la incertidumbre. México: Reverté.

• Freund, J. E., & Simon, G. A. (1994). Estadística elemental (8 ed.). México: Prentice Hall.

• Freund, J. E., & Walpole, R. E. (1990). Estadística matemática con aplicaciones (4 ed.). México: Prentice-Hall.

• Levin, R. I., & Rubin, D. S. (2004). Estadística para administración y economía (7 ed.). México: Pearson Educación.

• Lind, D. A., Marchal, W. G., & Wathen, S. A. (2012). Estadística aplicada a los negocios y economía (15 ed.). México: McGraw-Hill.

• Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2015). Introducción a la probabilidad y estadística (14 ed.). México: Cengage Learning.

• Render, B., Stair, R. M., & Hanna, M. E. (2012). Métodos cuantitativos para los negocios (11 ed.). México: Pearson Educación.

• Triola, M. F., & Pineda Anaya, M. L. (2004). Probabilidad y Estadística. México: Pearson Education.

(21)

• Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (1999). Probabilidad y estadística para ingenieros (6 ed.). México: Prentice-Hall.

• Wooldridge, J. M. (2006). Introducción a la econometría. Un enfoque moderno (2 ed.). España: Paraninfo.

Cibergrafía

• Badii, M., & Castillo, J. (marzo de 2009). Distribuciones probabilísticas de uso común. Daena: International Journal of Good Conscience, 4(1), 149-178. Obtenido de

http://www.spentamexico.org/v4-n1/4(1)%20149-178.pdf

• Rincón, L. (15 de diciembre de 2013). Distribución hipergeométrica. [Archivo de video] Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=kkcLnDT1Oa0

• Trujillo, G. M. (26 de septiembre de 2011). Distribución binomial. Universitat Politècnica de València [Archivo de video] Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=sGfGVwiRs3I