831 Se construye una “rueda giratoria” usando los principios básicos de una rueda de bicicleta. Cuando se está cerca de la parte de la “rueda giratoria” en movimiento, las fuerzas de rotación y el peso se combinan para producir mayor aceleración. ¿Por qué piensa que la aceleración en la parte superior de una “rueda giratoria” en movimiento no sea tan grande como en la parte inferior? Explicar.
12
Funciones vectoriales
Una función vectorial asigna a números reales vectores. Se puede usar una función vectorial para representar el movimiento de una partícula a lo largo de una curva. En la sección 12.3, se usa la primera y segunda derivada de un vector de posición para hallar velocidad y aceleración de una partícula.
Sección 12.1
Funciones vectoriales
• Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial. • Extender los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales.
Curvas en el espacio y funciones vectoriales
En la sección 10.2, se definió una curva plana como el conjunto de pares ordenados junto con sus ecuaciones paramétricas
y
donde y son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición puede extenderse de manera natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva en el espacio C es el conjunto de todas las ternas ordenadas junto con sus ecuaciones paramétricas
y
donde ƒ, g y h son funciones continuas de t en un intervalo I.
Antes de ver ejemplos de curvas en el espacio, se introduce un nuevo tipo de fun-ción, llamada función vectorial. Este tipo de función asocia a números reales vec-tores.
Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por
y
tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras.
Asegúrese de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funciones reales ƒ, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector, mientras que ƒ(t), g(t) y h(t) son números reales (para cada valor específico de t).
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, se puede usar una función vectorial para re-presentar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r(t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de flecha en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de va-lores crecientes de t. rsin t2 icos t2 j rsin t icos t j zht ygt, xft, ft, gt, ht g f ygt xft ft, gt
La curva Ces trazada por el punto final del vector posición r(t)
Figura 12.1
Definición de función vectorial
Una función de la forma
Plano. o
Espacio.
es una función vectorial donde las funciones componentes ƒ, g y h son fun-ciones del parámetro t. Algunas veces las funfun-ciones vectoriales se denotan como o rtft, gt rtft, gt, ht.
rtftigtjhtk rtftigtj
sen sen
A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una fun-ción vectorial r es la intersecfun-ción de los dominios de las funciones componentes ƒ, g
y h. Por ejemplo, el dominio de es el intervalo
EJEMPLO 1 Trazado de una curva plana
Dibujar la curva plana representada por la función vectorial
Función vectorial.
Solución A partir del vector de posición se pueden dar las ecuaciones
para-métricas y Despejando y sen t y utilizando la identidad
se obtiene la ecuación rectangular
Ecuación rectangular.
La gráfica de esta ecuación rectangular es la elipse mostrada en la figura 12.2. La curva está orientada en el sentido de las manecillas del reloj. Es decir, cuando t aumenta de 0 a 2π, el vector de posición r(t) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus puntos finales describen la elipse.
EJEMPLO 2 Trazado de una curva en el espacio
Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial Función vectorial.
Solución De las dos primeras ecuaciones paramétricas y y4 sen t, se
obtiene
Ecuación rectangular.
Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, cen-trado en el eje z. Para localizar en este cilindro la curva, se usa la tercera ecuación paramétrica En la figura 12.3, nótese que a medida que t aumenta de 0 a el punto sube en espiral por el cilindro describiendo una hélice. Un ejemplo de una hélice de la vida real se muestra en el dibujo inferior de la izquierda.
En los ejemplos 1 y 2 se dio una función vectorial y se pidió dibujar la curva co-rrespondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situación inversa: hallar una función vectorial para representar una gráfica dada. Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, su representación por medio de una función vectorial es inmediata. Por ejemplo, para representar en el espacio la recta dada por
y3t y
se usa simplemente la función vectorial dada por
Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica, el problema de representar la gráfica mediante una función vectoral se reduce a hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas. rt2ti3tj4tk. z4t x2t, x, y, z 4, zt. x2y216. x4 cos t 0 ≤ t ≤ 4. rt4 cos t i4 sin t jt k, x2 22 y2 321. cos2 tsin2 t1 cos t y 3 sin t. x2 cos t rt, 0≤ t ≤ 2. rt2 cos t i3 sin t j, 0, 1. rtln ti1t jt k
La elipse es trazada en el sentido de las manecillas del reloj a medida que taumenta de 0 a 2π
Figura 12.2
A medida que taumenta de 0 a se describen dos espirales sobre la hélice Figura 12.3
4,
En 1953 Francis Crick y James D. Watson descubrieron la estructura de doble hélice del ADN lo que llevó a la industria de la biotecnología de $30 miles de millones por año.
sen
sen sen
EJEMPLO 3 Representación de una gráfica mediante una función vectorial
Representar la parábola dada por mediante una función vectorial.
Solución Aunque hay muchas maneras de elegir el parámetro t, una opción natural
es tomar Entonces y se tiene
Función vectorial. Nótese en la figura 12.4 la orientación obtenida con esta elección particular de parámetro. Si se hubiera elegido como parámetro , la curva hubiera estado orientada en dirección opuesta.
EJEMPLO 4 Representación de una gráfica mediante
una función vectorial
Dibujar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide
y el cilindro parabólico Después, hallar una función vectorial que represente la gráfica.
Solución En la figura 12.5 se muestra la intersección de las dos superficies. Como
en el ejemplo 3, una opción natural para el parámetro es Con esta opción, se usa la ecuación dada para obtener Entonces
Como la curva se encuentra sobre el plano xy para z, hay que elegir la raíz cuadrada positiva y obtener las ecuaciones paramétricas siguientes.
y La función vectorial resultante es
Función vectorial. De los puntos (2, 4, 0) y (2, 4, 0) que se muestran en la figura 12.5, se ve que la curva es trazada a medida que t aumenta de 2 a 2.
2 ≤ t ≤ 2. rtt it2j
242t2t4 6 k, z242t 2t4 6 yt2, xt, z2 4 1 x2 12 y2 241 t2 12 t4 24 242t2t4 24 . yt2. yx2 xt. yx2. z ≥ 0 x2 12 y2 24 z2 4 1, x t rtt it21j. yt21 xt. yx21Hay muchas maneras de parametrizar esta gráfica. Una manera es tomar xt
Figura 12.4
NOTA Las curvas en el espacio pueden especificarse de varias maneras. Por ejemplo, la curva del ejemplo 4 se describe como la intersección de dos superficies en el espacio.
La curva Ces la intersección del semielipsoide y el cilindro parabólico Figura 12.5
Límites y continuidad
Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales se pueden aplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su límite, derivarlas, y así sucesivamente. La estrategia básica consiste en aprovechar la linealidad de las opera-ciones vectoriales y extender las definiopera-ciones en una base, componente por compo-nente. Por ejemplo, para sumar o restar dos funciones vectoriales (en el plano), se tiene
Suma.
Resta.
De manera similar, para multiplicar y dividir una función vectorial por un escalar, se tiene
Multiplicación escalar.
División escalar.
Esta extensión, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a funciones vectoriales se ilustra más ampliamente en la definición siguiente del límite de una función vectorial.
Si tiende al vector cuando la longitud del vector tiende a 0. Es decir,
como
Esto se ilustra de manera gráfica en la figura 12.6. Con esta definición del límite de una función vectorial, se pueden desarrollar versiones vectoriales de la mayor parte de los teoremas del límite dados en el capítulo 1. Por ejemplo, el límite de la suma de dos funciones vectoriales es la suma de sus límites individuales. También, se puede usar la orientación de la curva r(t) para definir límites unilaterales de funciones vectoriales. La definición siguiente extiende la noción de continuidad a funciones vectoriales.
t → a. rtL →0 rtL t → a, L rt f1t c i g1t c j. c0 rt c f1tig1tj c , cf1ticg1tj crtcf1tig1tj f1tf2tig1tg2tj. r1tr2tf1tig1tjf2tig2tj f1tf2tig1tg2tj r1tr2tf1tig1tjf2tig2tj
A medida que ttiende a a, r(t) tiende al límite L. Para que el límite Lexista, no es necesario que r(a) esté definida o quer(a) sea igual a L Figura 12.6
Definición del límite de una función vectorial
1. Si es una función vectorial tal que entonces Plano. siempre que existan los límites de y cuando
2. Si es una función vectorial tal que entonces
Espacio. siempre que existan los límites de f,g y cuando h t → a.
lim
t→a rt limt→a ft
i t→alim gtj limt→a htkrtftigtjhtk, r t → a. g f lim
t→a rt t→alim ft
i limt→a gtjrtftigtj, r lím lím lím lím lím lím lím
De acuerdo con esta definición, una función vectorial es continua en si y sólo si cada una de sus funciones componentes es continua en
EJEMPLO 5 Continuidad de funciones vectoriales
Analizar la continuidad de la función vectorial dada por
a es una constante.
cuando
Solución Cuando t tiende 0, el límite es
Como
se concluye que r es continua en Mediante un razonamiento similar, se con-cluye que la función vectorial r es continua en todo valor real de t.
Para cada la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5,
a es una constante.
es una parábola. Uno se puede imaginar cada una de estas parábolas como la inter-sección del plano vertical con el paraboloide hiperbólico
como se muestra en la figura 12.7. y2x2z ya rtt ia ja2t2k a, t0. a ja2 k r00iaja2k a ja2 k. 0 ia ja2 k lim
t→0 rt limt→0 t
i limt→0 aj limt→0a2t2
kt0.
rtt ia ja2t2k
ta.
ta
Para todo a, la curva representada por la función vectorial
es una parábola
Figura 12.7
rttiaja2t2k
Definición de continuidad de una función vectorial
Una función vectorial r es continua en un punto dado por si el límite de
cuando existe y
Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo.
lim
t→a rtra. t → a rt
ta
TECNOLOGÍA Casi cualquier tipo de dibujo tridimensional es difícil hacerlo a mano, pero trazar curvas en el espacio es especialmente difícil. El problema con-siste en crear la impresión de tres dimensiones. Las graficadoras usan diversas téc-nicas para dar la “impresión de tres dimensiones” en gráficas de curvas en el espa-cio: una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.
lím
lím lím
lím lím
En los ejercicios 1 a 8, hallar el dominio de la función vectorial. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
En los ejercicios 9 a 12, evaluar (si es posible) la función vecto-rial en cada valor dado de
9. a) b) c) d) 10. a) b) c) d) 11. a) b) c) d) 12. a) b) c) d)
En los ejercicios 13 y 14, hallar 13.
14.
Para pensar En los ejercicios 15 y 16, hallar ¿Es el resultado una función vectorial? Explicar.
15.
16.
En los ejercicios 17 a 20, asociar la ecuación con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c) y d).]
a) b) c) d) 17. 18. 19. 20.
21. Para pensar Las cuatro figuras siguientes son gráficas de la función vectorial
Asociar cada una de las gráficas con el punto en el espacio desde el cual se ve la hélice. Los cuatro puntos son
(20, 0, 0) y a) b) c) d) 10, 20, 10. 20, 0, 0, 0, 0, 20, rt4 cos t i4 sin t j t 4 k. 0.1 ≤ t≤ 5 rtt iln t j2t 3 k, 2≤ t≤ 2 rtt it2je0.75t k, 1 ≤ t≤ 1 rtcostisintjt2 k, 2 ≤ t≤ 2 rtt i2t jt2 k, ut4 sin t, 6 cos t, t2 rt3 cos t, 2 sin t, t2 utt2 i8jt3 k rt3t1i14t3 j4k rtut. rtt i3t j4t k rtsin 3t icos 3t jt k
rt. r9 tr9 rc2 r4 r0 rtt it32 jet4 k r1 tr1 rt4 r3 r2 rtln t i1 t j3t k r6 tr6 r r4 r0 rtcos t i2 sin t j r2 tr2 rs1 r0 r1 rt12t2 it1j t. Gt3t i 1 t1 jt2k Ftt3 it jt k, rtFt Gt where Gtsin t jcos t k Ftsin t icos t j, rtFt Gt where Gti4t j3t2 k Ftln t i5t j3t2 k, rtFtGt where Gtcos t isin t j Ftcos t isin t jt k, rtFtGt where rtsin t i4 cos t jt k rtln t iet jt k rt4t2 it2j6t k rt5t i4t j1 t kEjercicios de la sección 12.1
sen donde sen sen donde donde donde sen sen sen sen sen sen sen sen22. Dibujar tres gráficas de la función vectorial
vista desde el punto.
a) b) c)
En los ejercicios 23 a 38, dibujar la curva representada por la función vectorial y dar la orientación de la curva.
23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.
En los ejercicios 39 a 42, usar un sistema computacional para álgebra a fin de representar gráficamente la función vectorial e identificar la curva común.
39. 40. 41. 42.
Para pensar En los ejercicios 43 y 44, usar un sistema compu-tacional para álgebra a fin de representar gráficamente la fun-ción vectorial Para cada conjeturar sobre la trans-formación (si la hay) de la gráfica de Usar un sistema com-putacional para álgebra con objeto de verificar la conjetura. 43. a) b) c) d) e) 44. a) b) c) d) e)
En los ejercicios 45 a 52, representar la curva plana por medio de una función vectorial. (Hay varias respuestas correctas.)
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. Una partícula sigue una trayectoria recta que pasa por los puntos
(2, 3, 0) y (0, 8, 8). Hallar una función vectorial para la trayecto-ria. Usar un sistema computacional para álgebra a fin de repre-sentar gráficamente la función. (Hay varias respuestas correctas.)
54. El borde exterior de un tobogán tiene forma de hélice de radio
1.5 metros. El tobogán tiene una altura de 2 metros y da una vuelta completa de arriba abajo. Hallar una función vectorial para la hélice. Usar un sistema computacional para álgebra a fin de representar gráficamente la función. (Hay varias respuestas correctas.)
En los ejercicios 55 a 58, hallar funciones vectoriales que for-man los límites de la región en la figura. Dar el intervalo corres-pondiente al parámetro de cada función.
55. 56.
57. 58.
En los ejercicios 59 a 66, dibujar la curva en el espacio repre-sentada por la intersección de las superficies. Después represen-tar la curva por medio de una función vectorial usando el parámetro dado. Superficies Parámetro 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. x2y2z216, xy4 xt first octant xt first octant x2z24, y2z24 x2sin t x2y2z210, xy4 x1sin t x2y2z24, xz2 zt 4x24y2z216, xz2 x2 sin t x2y24, zx2 x2 cos t zx2y2, z4 xt zx2y2, xy0 x2 16 y2 9 1 x2 16 y2 4 1 x22y24 x2y225 y4x2 yx22 2x3y50 y4x uttit2j1 2t3k utt it2j1 8t3k utt it2j
1 2t34k utt2it j1 2t3k utt it22j1 2t3k rtt it2j1 2t3k ut6 cos t i6 sin t j12t k ut12t i2 sin t j2 cos t k ut2 costi2 sintj12tk ut2 cos t i2 sin t j2t k ut2cos t1i2 sin t j12t k rt2 cos t i2 sin tj12tk rt. ut, rt.rt 2 sin t i2 cos t j2 sin t k
rtsin t i
3 2 cos t 1 2 tj 1 2 cos t 3 2 k rtt i3 2 t 2j1 2 t 2k rt 1 2 t 2it j3 2 t 2krtcos tt sin t, sin tt cos t, t
rt
t, t2, 2 3t3 rtt2i2tj3 2tk rt2 sin t i2 cos t jet k rt3 cos t i4 sin t j t 2 k rt2 cos t i2 sin t jt k rtt i2t5j3t k rtt1i4t2j2t3k rt2 cos3 t i2 sin3 tj r3sec i2 tan j rt2 cos t i2 sin t j rcos i3 sin j rtt2tit2tj rtt3it2j rt1tit j rt3t it1j 5, 5, 5 10, 0, 0 0, 0, 20 rtt it j2k sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen (primer octante) (primer octante)67. Mostrar que la función vectorial
se encuentra en el cono Dibujar la curva.
68. Mostrar que la función vectorial
se encuentra en el cono Dibujar la curva.
En los ejercicios 69 a 74, evaluar el límite. 69. 70. 71. 72. 73. 74.
En los ejercicios 75 a 80, determinar el (los) intervalo(s) en que la función vectorial es continua.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
85. Sean y funciones vectoriales cuyos límites existen
cuan-do Demostrar que
86. Sean y funciones vectoriales cuyos límites existen
cuan-do Demostrar que
87. Verificar que el converso de lo que se afirma en el ejercicio 87
no es verdad encontrando una función vectorial r tal que sea continua en c pero r no sea continua en c.
88. Demostrar que si r es una función vectorial continua en c,
en-tonces es continua en c.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 89 a 92, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que pruebe que es falsa.
89. Si ƒ, g y son funciones polinómicas de primer grado, entonces
la curva dada por yg(t) y es una recta.
90. Si la curva dada por yg(t) y es una recta, entonces ƒ, g y son funciones polinómicas de primer grado de t.
91. Dos partículas que viajan a lo largo de las curvas
y chocarán.
92. La función vectorial se en-cuentra en el paraboloide xy2z2. rtt2it sin t jt cos t k ut2ti8t j rttit2j h zht xft, zht xft, h r r lim t→crtut limt→c rtlimt→c ut. t → c. ut rt lim t→crt ut limt→c rt limt→c ut. t → c. ut rt rt
8, t, 3t rtet, t2, tan t rt2etietjlnt1k rtt iarcsin t jt1k rtt it1 j rtt i1 t j lim t→e t i1 t j t t21 k lim t→0 1 t icos t jsin t k lim t→1t i ln t t21 j2t 2 k lim t→0t 2 i3t j1cos t t k lim t→0e t isin t t je t k lim t→2t i t24 t22t j 1 t k z2x2y2. rtet cos t iet sintjetk 4x2y2z2. rtt i2t cos tj2t sin tkDesarrollo de conceptos
81. Dar la definición de una función vectorial en el plano y en
el espacio.
82. Si es una función vectorial, ¿es la gráfica de la función vectorial una traslación horizontal de la gráfica de Explicar el razonamiento.
83. Considerar la función vectorial
Dar una función vectorial que sea la transformación especificada de
a) Una traslación vertical tres unidades hacia arriba b) Una traslación horizontal dos unidades en dirección del
eje x negativo
c) Una traslación horizontal cinco unidades en dirección del eje y positivo
84. Dar la definición de continuidad para una función
vecto-rial. Dar un ejemplo de una función vectorial que esté definida pero no sea continua en t2.
r. st rtt2it3jtk. rt? utrt2 rt
Proyecto de trabajo:
Hechicera o bruja
de Agnesi
En la sección 3.5 se estudió una curva famosa llamada hechicera de
Agnesi. En este proyecto se profundiza sobre esta función.
Considérese un círculo de radio a centrado en el punto (0, a) del eje y. Sea A un punto en la recta horizontal O el origen y B el punto donde el segmento OA interseca el círculo. Un punto P está en la hechicera de Agnesi si P se encuentra en la recta horizon-tal a través de B y en la recta vertical a través de A.
a) Mostrar que el punto A está descrito por la función vectorial
donde θes el ángulo formado por OA con el eje x positivo. b) Mostrar que el punto B está descrito por la función vectorial
c) Combinar los resultados de los apartados a) y b) para hallar la función vectorial r(θ) para la hechicera de Agnesi. Usar una graficadora para representar esta curva para
d) Describir los límites y
e) Eliminar el parámetro θy determinar la ecuación rectangular de
la hechicera de Agnesi. Usar una graficadora para representar esta función para y comparar la gráfica con la obtenida en el apartado c). a1 lim → r. lim →0 r a1. 0 < < . rBa sin 2ia1cos 2j, 0< < rA2a cot i2aj, y2a, sen sen sen sen lím lím lím lím lím lím sen sen lím lím sen lím lím lím lím lím lím
Sección 12.2
Derivación e integración de funciones vectoriales
• Derivar una función vectorial.• Integrar una función vectorial.
Derivación de funciones vectoriales
En las secciones 12.3 a 12.5 se estudian varias aplicaciones importantes que emplean cálculo de funciones vectoriales. Como preparación para ese estudio, esta sección está dedicada a las mecánicas de derivación e integración de funciones vectoriales.
La definición de la derivada de una función vectorial es paralela a la dada para funciones reales.
NOTA Además de la notación otras notaciones para la derivada de una función vecto-rial son
y
La derivación de funciones vectoriales puede hacerse componente por compo-nente. Para ver esto, considérese la función dada por
Aplicando la definición de derivada se obtiene lo siguiente.
Este importante resultado se enuncia en el teorema de la página siguiente. Nótese que la derivada de la función vectorial r es también una función vectorial. En la figura 12.8 se ve que es un vector tangente a la curva dada por y que apunta en la direc-ción de los valores crecientes de t.
rt rt ftigtj
lim t→0 ft tft t ilimt→0 gt tgt t j lim t→0 ft tft t i gt tgt t j lim t→0 ft tigt tjftigtj t rt lim t→0 rt trt t rtftigtj. dr dt. Dtrt, d dtrt, rt, Figura 12.8Definición de la derivada de una función vectorial
La derivada de una función vectorial r se define como
para todo t para el cual existe el límite. Si existe para todo c en un interva-lo abierto I, entonces r es derivable en el intervainterva-lo I. La derivabilidad de fun-ciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales. rc rt lim t→0 rt trt t lím lím lím lím lím lím
EJEMPLO 1 Derivación de funciones vectoriales
Hallar la derivada de cada una de las funciones vectoriales.
a) b)
Solución Derivando componente por componente se obtiene lo siguiente.
a)
Derivada.
b) Derivada.
Derivadas de orden superior de funciones vectoriales se obtienen por derivación sucesiva de cada una de las funciones componentes.
EJEMPLO 2 Derivadas de orden superior
Una función vectorial está dada por Hallar lo siguiente.
a) b) c) d) Solución a) Primera derivada. b) Segunda derivada. c) Producto escalar. d) Producto vectorial.
Nótese en el apartado c) que el producto escalar es una función real, no una función vectorial. 2 sin t i2 cos tjk cos t sin t 2 0 i sin t cos t 2 0 j sin t cos t cos t sin t k rtrt i sin t cos t j cos t sin t k 2 0 rt
rtsin t cos tsin t cos t0cos tisin tj rt cos tisin tj0k rt sin ticos tj2k rtrt rt
rt rt rt rtcos t isin tj2tk, rt 1 t2 i 1 t j2e 2tk 2t i rt2ti0j rt1 t iln tje 2tk rtt2i4jTEOREMA 12.1 Derivación de funciones vectoriales
1. Si donde ƒ y g son funciones derivables de t, entonces Plano.
2. Si donde ƒ, g y h son funciones derivables de t, entonces Espacio. rtftigtjhtk. rtftigtjhtk, rtftigtj. rtftigtj, sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen
La parametrización de la curva representada por la función vectorial
es suave en un intervalo abierto I si y son continuas en y para todo valor de t en el intervalo
EJEMPLO 3 Intervalos en los que una curva es suave
Hallar los intervalos en los que el epicicloide C dado por
es suave.
Solución La derivada de r es
En el intervalo los únicos valores de t para los cuales
son y Por consiguiente, se concluye que C es suave en los
intervalos
y como se muestra en la figura 12.9.
NOTA En la figura 12.9, nótese que la curva no es suave en los puntos en los que la curva tiene cambios abruptos de dirección. Tales puntos se llaman cúspides o nodos.
La mayoría de las reglas de derivación del capítulo 2 tiene su contraparte para funciones vectoriales, y varias de ellas se dan en el teorema siguiente. Nótese que el teorema contiene tres versiones de “reglas del producto”. La propiedad 3 da la deriva-da del producto de una función real ƒ y por función vectorial r, la propiederiva-dad 4 deriva-da la derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales y la propiedad 5 da la de-rivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales (en el espacio). Nótese que la propiedad 5 sólo aplica a funciones vectoriales tridimensionales, porque el produc-to vecproduc-torial no está definido para vecproduc-tores bidimensionales.
3 2, 2 , 3 2, 2, , 0, 2, 2 . 3 2, , 2, t0, rt0i0j 0, 2 ,rt5 sin t5 sin 5ti5 cos t5 cos 5tj. rt5 cos tcos 5ti5 sin tsin 5tj, 0 ≤ t ≤ 2
I. rt0 I h g, f, rtftigtjhtk
La epicicloide no es suave en los puntos en los que interseca los ejes
Figura 12.9
TEOREMA 12.2 Propiedades de la derivada
Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, ƒ una función real derivable de t y sea c un escalar. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Si entonces rt
rtc, rtrt0. Dtrftrftft Dtrtutrt)utrtut Dtrtutrtutrtut Dtftrtftrtftrt Dtrt ± utrt ± ut Dtcrtcrt sen sen sen senDemostración Para demostrar la propiedad 4, sea y
donde y son funciones derivables de t. Entonces,
y se sigue que
Las demostraciones de las otras propiedades se dejan como ejercicios (ver ejercicios 73 a 77 y ejercicio 80).
EJEMPLO 4 Aplicación de las propiedades de la derivada
Para las funciones vectoriales dadas por y hallar a) y b) Solución a) Como y se tiene b) Como y se tiene
NOTA Hacer de nuevo los apartados a) y b) del ejemplo 4 pero formando primero los pro-ductos escalar y vectorial y derivando después para comprobar que se obtienen los mismos resultados. 2j4tk. 0i2j4tk 2t 0 1 0 i t2 2 1 0j t2 2 2t 0k i t2 2 j 2t 0 k 1 0 0 Dtutututututut ut2i, ut2ti2 j 31 t. 2211 t
1 t2 i 1 t kt 2i2t jk 1t ijln tk2ti2j Dtrtutrtutrtut ut2ti2j, rt 1 t2 i 1 t k Dtutut. Dtrtut utt2i2tjk rt 1 t ijln tk rtutrtut. f1t)f2tg1tg2tf1tf2tg1tg2t Dtrtutf1tf2tf1tf2tg1tg2tg1tg2t rtutf1tf2tg1tg2t g2 g1, f2, f1, utf2tig2tj rtf1tig1tj E X P L O R A C I Ó NSea r(t) cos tisen tj. Dibujar la gráfica de Explicar por qué la gráfica es un círculo de radio 1 cen-trado al origen. Calcular y
Colocar el vector de manera que su punto inicial esté en el punto final de ¿Qué se obser-va? Mostrar que es
cons-tante y que para todo
¿Qué relación tiene este ejemplo con la propiedad 7 del teorema 12.2? t. rtrt0 rtrt r 4. r 4 r 4. r 4 rt.
Integración de funciones vectoriales
La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la derivada de una función vectorial.
La antiderivada de una función vectorial es una familia de funciones vectoriales que difieren entre sí en un vector constante Por ejemplo, si es una función vec-torial tridimensional, entonces al hallar la integral indefinida se obtienen tres constantes de integración
donde y Estas tres constantes escalares
for-man un vector como constante de integración,
donde
EJEMPLO 5 Integración de una función vectorial
Hallar la integral indefinida
Solución Integrando componente por componente se obtiene
t i3j dt t 2 2 i3tjC. t i3j dt. Rtrt. RtC FtiGtjHtkC1iC2jC3k rt dtFtC1iGtC2jHtC3k Htht. Gtgt, Ftft, ht dtHtC3 gt dtGtC2, ft dtFtC1, rt dt, rt C.Definición de la integral de una función vectorial
1. Si donde y son continuos en entonces la inte-gral indefinida (o antiderivada) de r es
Plano. y su integral definida en el intervalo es
2. Si donde g y son continuos en
entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es
Espacio. y su integral definida en el intervalo es
b a rt dt b a ft dti b a gt dtj b a ht dtk. a ≤ t ≤ b rt dtft dtigt dtjht dtk a, b, h f, rtftigtjhtk, b a rt dt b a ft dti b a gt dtj. a ≤ t ≤ b rt dtft dtigt dtj a, b, g f rtftigtj,El ejemplo 6 muestra cómo evaluar la integral definida de una función vectorial.
EJEMPLO 6 Integral definida de una función vectorial
Evaluar la integral
Solución
Como ocurre con las funciones reales, se puede reducir la familia de primitivas de una función vectorial a una sola primitiva imponiendo una condición inicial a la función vectorial Esto se demuestra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 7 La primitiva de una función vectorial
Hallar la primitiva de
que satisface la condición inicial
Solución
Haciendo usando el hecho que se tiene
Igualando los componentes correspondientes se obtiene y
Por tanto, la primitiva que satisface la condición inicial dada es rt
12 sin 2t3
i2 cos t4jarctan t1k. C31. C13, 2C2 2, 3i2jk. r00C1i2C2j0C3k r03i2jk, t0 12 sin 2tC1i2 cos tC2jarctan tC3k cos 2t dti 2 sin t dtj 1 1t2 dtkrt
rt dtr03 i2jk. rtcos 2ti2 sin tj 1
1t2 k r. r 34iln 2j
1 1 ek 34t43 1 0ilnt1 1 0je t 1 0k 1 0 rt dt 1 0 t13 dti 1 0 1 t1 dtj 1 0 et dtk 1 0 rt dt 1 0 3 t i 1 t1 je t k dt. sen sen sen senEn los ejercicios 1 a 6, dibujar la curva plana representada por la función vectorial y dibujar los vectores y para el valor dado de Colocar los vectores de manera que el punto inicial de esté en el origen y el punto inicial de esté en el punto final de ¿Qué relación hay entre y la curva?
1. 2.
3. 4. 5. 6.
7. Investigación Considerar la función vectorial
a) Dibujar la gráfica de Usar una graficadora para
veri-ficar la gráfica.
b) Dibujar los vectores y en la
gráfica del apartado a).
c) Comparar el vector con el vector
8. Investigación Considerar la función vectorial
a) Dibujar la gráfica de Usar una graficadora para verificar
la gráfica.
b) Dibujar los vectores y en la
gráfica del apartado a).
c) Comparar el vector con el vector
En los ejercicios 9 y 10, a) dibujar la curva en el espacio repre-sentada por la función vectorial, y b) dibujar los vectores y
para el valor dado de 9.
10.
En los ejercicios 11 a 18, hallar
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
En los ejercicios 19 a 26, hallar a) y b)
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.
En los ejercicios 27 y 28 se dan una función vectorial y su gráfica. La gráfica también muestra los vectores unitarios
y Hallar estos dos vectores unita-rios e identificarlos en la gráfica.
27. 28.
Figura para 27 Figura para 28
En los ejercicios 29 a 38, hallar el (los) intervalo(s) abierto(s) en que la curva dada por la función vectorial es suave.
29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.
En los ejercicios 39 y 40, usar las propiedades de la derivada para encontrar lo siguiente.
a) b) c) d) e) f) 39. 40. ut1 t i2 sin tj2 cos tk rtti2 sin tj2 cos tk, rtti3tjt2k, ut4tit2jt3k t> 0 Dt[
rt)
], Dt[rtut] Dt[3rtut] Dt[r(tut] rt rt rtt it21j1 4tk rtti3tjtan tk rtetiet j3tk rtt1i1 t jt 2k rt 2t 8t3 i 2t2 8t3 j r 2 sin i12 cos j r sin i1cos j r2 cos3i3 sin3j rt 1 t1 i3tj rtt2 it3j t0 1 4 rttit2je0.75t k , t0 1 4 rtcos tisin tjt2k, rt0
/
rt0
. rt0
/
rt0
rtet, t2, tan t
rtcos tt sin t, sin tt cos t, t
rtti2t3j3t5k rt12t2itj1 6t3k rt8 cos t i3 sin tj rt4 cos ti4 sin tj rtt2tit2tj rtt3i1 2t2j rtrt. rt rtarcsin t, arccos t, 0 rtt sin t, t cos t, t
rtsin tt cos t, cos tt sin t, t2
rtet i4j rt4t it2t jln t2k rta cos3 t ia sin3 tjk rt1 t i16tj t2 2 k rt6ti7t2jt3k rt. t02 rttit2j3 2k, t03 2 rt2 cos ti2 sin tjtk, t0. rt0 rt0 r1.25r1 1.251 . r(1 r1.25r1 r1, r1.25, rt. rtti4t2j. r12r14 1214 . r14 r12r14 r14, r12, rt. rttit2j. t00 rtetie2tj, t0 2 rtcos tisin tj, t01 rt1tit3j, t02 rtt2 i1 t j, t01 rttit3j, t02 rtt2 itj, rt0 rt0. rt0 rt0 t0. rt0 rt0
Ejercicios de la sección 12.2
sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen senEn los ejercicios 41 y 42, hallar a) y b)
por derivación del producto, después aplicar las propiedades del teorema 12.2.
41. 42.
En los ejercicios 43 y 44, hallar el ángulo entre y en función de t. Usar una graficadora para representar Usar la gráfica para hallar todos los extremos de la función. Hallar todos los valores de t en que los vectores son ortogonales.
43. 44.
En los ejercicios 45 a 48, usar la definición de la derivada para hallar
45. 46.
47. 48.
En los ejercicios 49 a 56, hallar la integral indefinida.
49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.
En los ejercicios 57 a 62, evaluar la integral definida.
57. 58.
59.
60.
61. 62.
En los ejercicios 63 a 68, hallar para las condiciones dadas. 63. 64. 65. 66. 67. 68.
En los ejercicios 73 a 80, demostrar la propiedad. En todos los casos, suponer que r, u y v son funciones vectoriales derivables de t, que f es una función real derivable de t, y que c es un escalar. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79.
80. Si es una constante, entonces
81. Movimiento de una partícula Una partícula se mueve en el plano xy a lo largo de la curva representada por la función vec-torial
a) Usar una graficadora para representar r. Describir la curva.
b) Hallar los valores mínimo y máximo de y
82. Movimiento de una partícula Una partícula se mueve en el plano yz a lo largo de la curva representada por la función vec-torial
a) Describir la curva.
b) Hallar los valores mínimo y máximo de y
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.
83. Si una partícula se mueve a lo largo de una esfera centrada en
el origen, entonces su vector derivada es siempre tangente a la esfera.
84. La integral definida de una función vectorial es un número real. 85.
86. Si r y u son funciones vectoriales derivables de t, entonces 87. Considerar la función vectorial
Mostrar que rty rtson siempre perpendiculares una a otra.
rtet sin tiet cos tj. Dtrtutrtut. d dtrtrt r. r rt2 cos tj3 sin tk. r. r rttsin ti1cos tj. rtrt0. rtrt rtutvtrtutvt Dtrtutvtrtutvt Dtrtrtrtrt Dtrftrftft Dtrtutrtutrtut Dtftrtftrtftrt Dtrt ± utrt ± ut Dtcrtcrt r12i rt 1 1t2 i 1 t2 j 1 t k, r012ijk rttet2 iet jk, r04 j r03k, rt 4 cos tj3 sin tk, r00 r06003i600j, rt 32j, r0i2j rt3t2j6t k, r02i rt4e2ti3etj, rt
3 0 t it2j dt 2 0 tiet jtetk dt 4 0sec t tan titan tj2 sin t cos tk dt
2 0 a cos tia sin tjk dt 1 1 tit3j3t k dt 1 0 8titjk dt et sin tiet cos tj dt sec2 ti 1 1t2 j dt et isin tjcos tk dt 2t1i4t3j3t k dt ln ti1 t jk dt 1 t ijt 32 k dt 4t3 i6tj4t k dt 2tijk dt rt0, sin t, 4t rtt2, 0, 2t rtt i3 t j2tk rt3t2i1t2j rt. rtt2itj rt3 sin ti4 cos tj t. rt rt utjtk rtcos t isin t jt k, utt4k rtti2t2jt3k, Dt[rtut] Dt[rtut]Desarrollo de conceptos
69. Dar la definición de la derivada de una función vectorial.
Describir cómo hallar la derivada de una función vectorial y dar su interpretación geométrica.
70. ¿Cómo se encuentra la integral de una función vectorial? 71. Las tres componentes de la derivada de la función
vecto-rial u son positivas en Describir el comportamiento de u
72. El componente z de la derivada de la función vectorial u es
0 para t en el dominio de la función. ¿Qué implica esta información acerca de la gráfica de u?
tt0. tt0. sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen .
Sección 12.3
Velocidad y aceleración
• Describir la velocidad y la aceleración relacionadas con una función vectorial. • Usar una función vectorial para analizar el movimiento de un proyectil.
Velocidad y aceleración
Ahora se combina el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vectoriales a fin de formar un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Se empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un obje-to en el espacio puede desarrollarse de manera similar.)
Conforme un objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x y la coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar ƒ y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir y Por tanto, el vector de posición toma la forma
Vector de posición.
Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que se pueden usar la primera y la segunda derivada de la función vectorial r para hallar la velocidad y la aceleración del objeto. (Hay que recordar del capítulo anterior que la velocidad y la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto
que se aproxima al punto a lo largo de la curva
dada por como se muestra en la figura 12.10. A medida que
la dirección del vector (denotado por ) se aproxima a la dirección del movimiento en el instante t.
Si este límite existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva en el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usado en la definición de Por tanto, la dirección de da la dirección del movimiento en el instante t. La magnitud del vector
da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, se puede usar para hallar la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes.
rt rtxtiytjxt2yt2 rt rt rt. lim t→0 r t limt→0 rt trt t r t rt trt t rrt trt r PQ \ t → 0, rtxtiytj, C Pxt, yt yt t Qxt t, rtxtiytj. rt yyt. xxt E X P L O R A C I Ó N Exploración de velocidad
Considérese el círculo dado por
Usar una graficadora en modo paramétrico para representar este cír-culo para varios valores de ω. ¿Cómo afecta ωla velocidad del punto final cuando se traza la curva? Para un valor dado de ω, ¿parece ser stante la velocidad? ¿Parece ser con-stante la aceleración? Explicar el razonamiento.
rtcos tisin tj.
Conforme se aproxima al vector velocidad Figura 12.10 t→0, r t lím lím sen
Para el movimiento a lo largo de una curva en el espacio, las definiciones son
si-milares. Es decir, si entonces
EJEMPLO 1 Hallar la velocidad y la aceleración
a lo largo de una curva plana
Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por
Vector posición.
Solución
El vector velocidad es
Vector velocidad. La rapidez (en cualquier instante) es
Rapidez. El vector aceleración es
Vector aceleración.
Las ecuaciones paramétricas de la curva del ejemplo 1 son y
Eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación rectangular Ecuación rectangular.
Por tanto, la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen, como se muestra en la figura 12.11. Como el vector velocidad
tiene una magnitud constante pero cambia de dirección a medida que t aumenta, la partícula se mueve alrededor del círculo con una rapidez constante.
vtcos t 2isin t 2j x2y24. y2 cos t 2. x2 sin t 2 atrt 1 2 sin t 2 i 1 2 cos t 2 j. rt
cos2t 2sin 2 t 21. vtrtcos t 2 isin t 2 j. rt2 sin t 2 i2 cos t 2 j. Speedvt rt xt2yt2zt2. Acceleration at rt xtiytjztk Velocityvt rt xtiytjztk rtxtiytjztk,NOTA En el ejemplo 1, nótese que los vectores velocidad y aceleración son ortogonales en todo punto y en cualquier instante. Esto es característico del movimiento con rapidez constante. (Ver ejercicio 53.)
La partícula se mueve alrededor del círculo con rapidez constante
Figura 12.11
Definiciones de velocidad y aceleración
Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivada y r es una función vectorial dada por entonces el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se definen como sigue.
Speedvt rt xt2yt2 Accelerationat rt xtiytj Velocityvt rt xtiytj rtxtiytj, Velocidad Aceleración Rapidez Velocidad Aceleración Rapidez sen sen sen sen sen sen
EJEMPLO 2 Dibujo de los vectores velocidad y aceleración en el plano
Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por Vector posición.
y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando y
Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas y se puede
determinar que la curva es una parábola dada por como se muestra en la figura 12.12. El vector velocidad (en cualquier instante) es
Vector velocidad. y el vector aceleración (en cualquier instante) es
Vector aceleración.
Cuando los vectores velocidad y aceleración están dados por y
Cuando los vectores velocidad y aceleración están dados por y
Si el objeto se mueve por la trayectoria mostrada en la figura 12.12, nótese que el vector aceleración es constante (tiene una magnitud de 2 y apunta hacia la derecha). Esto implica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vértice de la parábola, y la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de la parábola.
Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen trayec-torias parabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas, el vector aceleración apunta siempre hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medida que se aproxima al vértice de su trayectoria y disminuye cuando se aleja del vértice. (Ver figura 12.13.)
EJEMPLO 3 Dibujo de los vectores velocidad
y aceleración en el espacio
Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dada por
Vector posición. y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando
Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas y se puede
determi-nar que la trayectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por Como el objeto parte de y se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, como se muestra en la figura 12.14. Como se tiene
Vector velocidad. y
Vector aceleración.
Cuando los vectores velocidad y aceleración están dados por y a1r16j. v1r1i3j3k t1, atrt6tj. vtrti3t2j3k rtt it3j3tk, 0, 0, 0 z3t, yx3. yt3, xt t1. t ≥ 0 rtt it3j3t k, a22i. v222ij4ij t2, a02i. v020ijj t0, atrt2i. vtrt2t ij xy24, yt, xt24 t2. t0 rtt24it j
En todo punto en la curva, el vector aceleración apunta a la derecha Figura 12.12
En todo punto de la órbita del cometa, el vector aceleración apunta hacia el Sol Figura 12.13
Hasta aquí se ha tratado de hallar la velocidad y la aceleración derivando la fun-ción posifun-ción. En muchas aplicaciones prácticas se tiene el problema inverso, hallar la función posición dadas una velocidad o una aceleración. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 4 Hallar una función posición por integración
Un objeto parte del reposo del punto P(1, 2, 0) y se mueve con una aceleración Vector aceleración.
donde se mide en pies por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después de segundos.
Solución A partir de la descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir
las condiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene
Como el objeto parte del punto se tiene
Para hallar la función de posición, hay que integrar dos veces, usando cada vez una de las condiciones iniciales para hallar la constante de integración. El vector velocidad es
donde Haciendo y aplicando la condición inicial
se obtiene
Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es Vector velocidad. Integrando una vez más se obtiene
donde Haciendo y aplicando la condición inicial
se tiene
Por tanto, el vector posición es
Vector posición.
La posición del objeto después de segundos está dada por como se muestra en la figura 12.15.
r2i4j4k, t2 rti
t 2 2 2jt 2k. C41, C52, C60. r0C4iC5jC6ki2j r0i2j, t0 CC4iC5jC6k. t2 2 jt 2kC rt vt dt t j2t k dt vtt j2t k. C1C2C30. v0C1iC2jC3k0 v00, t0 CC1iC2jC3k. tj2tkC vt at dt j2k dt i2j. 1i2j0k r0x0iy0jz0k x, y, z1, 2, 0, v00. t2 at atj2kEl objeto tarda 2 segundos en moverse del punto (1, 2, 0) al punto (1, 4, 4) a lo largo de C.
