UNIVERSIDAD NACIONAL DE
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÌA
FACULTAD DE INGENIERÌA
ESCUELA ACADÈMICA PROFESIONAL DE
ESCUELA ACADÈMICA PROFESIONAL DE
INGENIERÌA DE SISTEMAS
INGENIERÌA DE SISTEMAS
Análisis Matemático III
Análisis Matemático III
Funciones Vectoriales
Funciones Vectoriales
Ing. Ramón Herrera Machuca.
Ing. Ramón Herrera Machuca.
Gamboa Fernández, Cristhian
Gamboa Fernández, Cristhian
CURSO:
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TEMA:
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DOCENTE:
DOCENTE:
ESTUDIANTE:
ESTUDIANTE:
Cajamarca, 15 de Diciembre del 2011.
Cajamarca, 15 de Diciembre del 2011.
Tabla de contenido
1.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL:
... 31.1.
DOMINIO
... 32.
IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN VECTORIAL
... 62.1.
DESCRIPCIÓN ACTUAL DEL ÁREA DE ALMACÉN
...Error! Bookmark not defined.
3.
LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
... 73.1.
Diagrama General de CU del Sistema Web de Almacén
... 74.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INTEGRAL
... 94.1 Realizaciones de CU Diagrama de Clases y Secuencia de Análisis
... 115. integral de una función vectorial ... 12
1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL:
Se llama función vectorial a cualquier función de la forma
r(t) = f(t)i + g(t)j Plano r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k Espacio
Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por
r(t) = <f(t) , g(t)> r(t) = <f(t) , g(t) , h(t)>
Debe quedar clara la distinción entre la función vectorialr y las funciones de variable real f, g y h.
Todas son funciones de la variable real t, peror (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t)
son números (para cada valor especificado de t ).
Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contra dominio es un conjunto de vectores. . Las graficas de estas funciones son curvas, las cuales también pueden representarse mediante ecuaciones paramétricas
Una función vectorial es un conjunto de pares ordenados, cuya primera componente es un número real y cuya segunda componente es un vector n-dimensional (terna ordenada).
Es una función vectorial de R en.Que se puede escribir como
Son de interés particular las funciones vectoriales cuyos valores son vectores tridimensionales. Si la función es continua, su recorrido es una curva de R3. La variable t se denomina parámetro y es usual que se la defina dentro de un intervalo cerrado [a,b], al que se denomina intervalo paramétrico.
1.1.
DOMINIO
El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:
EJEMPLO
Dibuje la curva que tiene la ecuaci6n vectorial
R(t) = 2costi + 2sentj + tk 0 <_ t <_ 4π
Solución las curvas paramétricas de la curva son:
x= 2cost y= 2sent z= t
El parámetro t de las dos primeras ecuaciones se elimina al elevar al cuadrado los dos miembros de estas ecuaciones y sumar los miembros correspondientes, obteniéndose:
Por tanto, la curva esta completamente contenida en el cilindro circular recto cuya directriz es la circunferencia + = 4 del piano xy y cuyas regladuras (o posiciones de su generatriz) son paralelas al eje z. La tabla I proporciona conjuntos de valores de x, y y z Para valores específicos de t. La figura con el cilindro muestra la curva
La curva del ejemplo se denomina, hélice circular. Una hélice mas general tiene la ecuacion vectorial R(t) = a cos + b sen + c (4)
x = a cost y = b sent z= c t
Donde a, b y c con constantes diferentes de cero. Cuando a = b, la curva es una hélice circular. Para eliminar t de las dos primeras ecuaciones paramétricas se escriben dichas ecuaciones como:
Al sumar los miembros correspondientes de estas dos ecuaciones se obtiene
Por tanto, la curva definida por (4) esta contenida completamente en el cilindro elíptico con regladuras paralelas a] eje z y cuya directriz es una elipse del piano XY. Como se muestra en la Figura siguiente
Una curva que tiene la ecuaci6n vectorial
2. IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN VECTORIAL
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la
curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 1.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t
EJEMPLO
1: Dibujar la curva representada por la función vectorial
t
ti
sentj
r
2cos
3 0
t
23. LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
3.1.
Dia
Ejemplos:
Calcular el limite de:
2 2 0 1 cos 5 1 1 lim , t
t
tsent
t
t
Solución: 2 2 2 2 0 0 0 1 cos 5 1 1 1 cos 5 1 1 lim , lim , limt t t
t
tsent
t
tsent
t
t
t
t
Sea el límite:
2 0 1 cos5 1 lim tt
f
t
=
2 0 1 cos 5 1 cos 5 lim 1 cos5 tt
t
t
t
=
2 2 0 5 lim 1 cos5 tsen t
t
t
2 2 0 5 1 lim 1 cos5 tsen t
t
t
2 0 5 25 lim 5 1 cos 5 tsen t
t
t
=
2 0 5 1 25lim 5 1 cos 5 tsen t
t
t
25 2
0 2 1 1 2 lim ttsent
f
t
2 0 1 1 1 1 lim 1 1 ttsent
tsent
t
tsent
=
2 0 1 1 lim 1 1 ttsent
t
tsent
0 1 lim 1 1 tsent
t
tsent
0 1 lim 1 1 tsent
t
tsent
= 1 2Entonces el límite será: 2 2
0 1 cos 5 1 1 25 1 lim , , 2 2 t
t
tsent
t
t
1. Calcular el límite de:
7 5 tan 3 lim , , 3 2 t o
sen t sen t
t
t
sen t sen t
Solución: El límite de: 7 5 tan 3 7 5 tan 3lim , , lim , lim , lim
3 2 3 2
t o t o t o t o
sen t sen t
t
sen t
sen t
t
t
sen t sen t
t
sen t
sen t
Calculando los límites por separado y también levantando cada indeterminación. Sea: - 1 lim 7 t o
sen t
f
t
=lim 7 7
7 t osen t
t
= 7 7lim 7 t osen t
t
=7
lim 7 7 t osen t
t
- 2 lim 5 3 t osen t
f
sen t
= 5 lim 3 t o sen t t sen t =
5 5 5 lim 3 3 t o sen t t sen t =5
5
5
lim
3
3
t o sen t t sen t = 5 3
lim 5 5 3 3 t osen t
sen t
- 3 limtan3 2 t ot
f
sen t
= tan 3 lim 2 t o t t sen t t =
tan 3 3 3 lim 2 2 2 t ot
t
sen t
t
= tan3 3 3 lim 2 2 2 t o t t sen t t =3 2
lim 7 , 5 tan 3 , 7, ,5 3 3 2 3 2 t osen t sen t
t
t
sen t sen t
2. Analizar la continuidad de la función vectorial:
2 3 1 , 1 1 2,1 1t
t sit
t
f t
sit
Solución:Será continua si:
1 lim 1 t
