Funciones vectoriales

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

CAJAMARCA

CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÌA 

FACULTAD DE INGENIERÌA 

ESCUELA ACADÈMICA PROFESIONAL DE

ESCUELA ACADÈMICA PROFESIONAL DE

INGENIERÌA DE SISTEMAS

INGENIERÌA DE SISTEMAS

Análisis Matemático III

Análisis Matemático III

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales

Ing. Ramón Herrera Machuca.

Ing. Ramón Herrera Machuca.

Gamboa Fernández, Cristhian

Gamboa Fernández, Cristhian

CURSO:

CURSO:

TEMA:

TEMA:

DOCENTE:

DOCENTE:

ESTUDIANTE:

ESTUDIANTE:

Cajamarca, 15 de Diciembre del 2011.

Cajamarca, 15 de Diciembre del 2011.

(2)

Tabla de contenido

1.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL:

... 3

1.1.

DOMINIO

... 3

2.

IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN VECTORIAL

... 6

2.1.

DESCRIPCIÓN ACTUAL DEL ÁREA DE ALMACÉN

...

Error! Bookmark not defined.

3.

LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

... 7

3.1.

Diagrama General de CU del Sistema Web de Almacén

... 7

4.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INTEGRAL

... 9

4.1 Realizaciones de CU Diagrama de Clases y Secuencia de Análisis

... 11

5. integral de una función vectorial ... 12

(3)

1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL:

Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

 r(t) = f(t)i + g(t)j Plano  r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k Espacio

Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por

 r(t) = <f(t) , g(t)>  r(t) = <f(t) , g(t) , h(t)>

Debe quedar clara la distinción entre la función vectorialr y las funciones de variable real f, g y h.

Todas son funciones de la variable real t, peror (t) es un vector mientras que  f (t), g (t) y h (t)

son números (para cada valor especificado de t ).

Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contra dominio es un conjunto de vectores. . Las graficas de estas funciones son curvas, las cuales también pueden representarse mediante ecuaciones paramétricas

Una función vectorial es un conjunto de pares ordenados, cuya primera componente es un número real y cuya segunda componente es un vector n-dimensional (terna ordenada).

Es una función vectorial de R en.Que se puede escribir como

Son de interés particular las funciones vectoriales cuyos valores son vectores tridimensionales. Si la función es continua, su recorrido es una curva de R3. La variable t se denomina parámetro y es usual que se la defina dentro de un intervalo cerrado [a,b], al que se denomina intervalo paramétrico.

1.1.

DOMINIO

El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

(4)

EJEMPLO

Dibuje la curva que tiene la ecuaci6n vectorial

R(t) = 2costi + 2sentj + tk 0 <_ t <_ 4π

Solución las curvas paramétricas de la curva son:

x= 2cost y= 2sent z= t

El parámetro t de las dos primeras ecuaciones se elimina al elevar al cuadrado los dos miembros de estas ecuaciones y sumar los miembros correspondientes, obteniéndose:

Por tanto, la curva esta completamente contenida en el cilindro circular recto cuya directriz es la circunferencia + = 4 del piano xy y cuyas regladuras (o posiciones de su generatriz) son paralelas al eje z. La tabla I proporciona conjuntos de valores de x, y y z Para valores específicos de t. La figura con el cilindro muestra la curva

La curva del ejemplo se denomina, hélice circular. Una hélice mas general tiene la ecuacion vectorial R(t) = a cos + b sen + c (4)

(5)

x = a cost y = b sent z= c t

Donde a, b y c con constantes diferentes de cero. Cuando a = b, la curva es una hélice circular. Para eliminar t de las dos primeras ecuaciones paramétricas se escriben dichas ecuaciones como:

Al sumar los miembros correspondientes de estas dos ecuaciones se obtiene

Por tanto, la curva definida por (4) esta contenida completamente en el cilindro elíptico con regladuras paralelas a] eje z y cuya directriz es una elipse del piano XY. Como se muestra en la Figura siguiente

Una curva que tiene la ecuaci6n vectorial

(6)

2. IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN VECTORIAL

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la

curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 1.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t 

EJEMPLO

1: Dibujar la curva representada por la función vectorial

 

ti

sentj

2cos

3 0

2  

(7)

3. LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

3.1.

Dia

Ejemplos:

Calcular el limite de:

2 2 0 1 cos 5 1 1 lim , t 

t

tsent  

t

Solución: 2 2 2 2 0 0 0 1 cos 5 1 1 1 cos 5 1 1 lim , lim , lim

t t t 

t

tsent

t

tsent  

t

t

t

t

 

  

Sea el límite:

 

2 0 1 cos5 1 lim t 

 f 

=



2 0 1 cos 5 1 cos 5 lim 1 cos5 t 

t

t

=

2 2 0 5 lim 1 cos5 t 

sen t  

t

2 2 0 5 1 lim 1 cos5 t 

sen t  

t

(8)

2 0 5 25 lim 5 1 cos 5 t 

sen t 

t

=

2 0 5 1 25lim 5 1 cos 5 t 

sen t 

t

25 2

 

0 2 1 1 2 lim t 

tsent 

 f 



2 0 1 1 1 1 lim 1 1 t 

tsent

tsent  

t

tsent  

=

  

2 0 1 1 lim 1 1 t 

tsent 

t

tsent  

0 1 lim 1 1 t 

sent 

tsent 

0 1 lim 1 1 t 

sent 

tsent 

= 1 2

Entonces el límite será: 2 2

0 1 cos 5 1 1 25 1 lim , , 2 2 t 

t

tsent  

t

 

 

1. Calcular el límite de:

7 5 tan 3 lim , , 3 2 t o

sen t sen t

t  

t

sen t sen t  

Solución: El límite de: 7 5 tan 3 7 5 tan 3

lim , , lim , lim , lim

3 2 3 2

t o t o t o t o

sen t sen t

t

sen t

sen t

t  

t

sen t sen t

t

sen t

sen t  

   

Calculando los límites por separado y también levantando cada indeterminación. Sea: - 1 lim 7 t o

sen t 

 f 

=lim 7 7

 

7 t o

sen t 

 = 7 7lim 7 t o

sen t 

 =7

lim 7 7 t o

sen t 

- 2 lim 5 3 t o

sen t 

 f 

sen t 

= 5 lim 3 t o sen t  t  sen t   =

 

 

5 5 5 lim 3 3 t o sen t  t  sen t   =

5

5

5

lim

3

3

t o sen t  t  sen t   = 5 3

(9)

lim 5 5 3 3 t o

sen t 

sen t 

- 3 limtan3 2 t o

 f 

sen t 

= tan 3 lim 2 t o t  t  sen t   t   =

 

 

tan 3 3 3 lim 2 2 2 t o

sen t 

 = tan3 3 3 lim 2 2 2 t o t  t  sen t  t   =3 2

lim 7 , 5 tan 3 , 7, ,5 3 3 2 3 2 t o

sen t sen t

t  

t

sen t sen t  

2. Analizar la continuidad de la función vectorial:

 

 

2 3 1 , 1 1 2,1 1

t sit  

 f t 

sit 





 

Solución:

Será continua si:

   

1 lim 1 t 

 f t

a)

 

2 3 1 1 lim , 1 t 

 f t

 

-2 1 1 lim 1 t  t  t     =

  

1 1 1 lim 1 t 

t

= 1

lim 1 t 

=2 - 3 1 lim t  t   =1

 

2 3 1 1 lim , 2,1 1 t 

b)

 f 

   

1

2,1

Como

   

1 lim 1 t 

 f t

entonces es continua en

1.

4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INTEGRAL

Sean f 

1

, f 

2

y f 

3

tres funciones reales de una variable real t. Entonces, para todo número

t en el dominio común a f 

1

, f 

2

y f 

3

, existe un vector R definido por:

(10)

Si existen:

La función vectorial R es continua en t

1

si y solo si:

R(t

1

) existe.

La derivada de una función vectorial R es una función representada por R', y definida

por:

R'(t) =

si dicho límite existe.

Si R es una función vectorial definida por

R(t) = f 

1

(t)i + f 

2

(t) j + f 

3

(t)k

y R(t) existe, entonces:

(11)

La interpretación geométrica para la

derivada de R es el vector tangente a la

curva C en el punto P.

La figura de la derecha muestra una

porción de la curva C, que es la gráfica de

R. En la figura OP es la representación de

posición de R(t), OQ es la representación

de posición de R(t +  t) y así PQ es la

representación del vector [ R(t +  t)

-R(t)]. Cuando  t tiende a cero, el vector

[R(t +  t) - R(t)]/  t tiene una

representación que se aproxima a un

segmento rectilíneo dirigido, tangente a la

curva C en P.

R'(t) representa la velocidad instantánea v con la que el extremo de R describe la

curva en cuestión. De la misma manera, d v /dt = R''(t) es la aceleración instantánea a

lo largo de dicha curva.

4.1

Fórmulas de derivación

Sean A, B y C funciones vectoriales derivables de un escalar u y  una función escalar

derivable de u.

(12)

4.2 Derivadas parciales de un vector

Si A y B son funciones de x, y, z, se tiene:

5. INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea R(u) = R

1

(u)i + R

2

(u) j + R

3

(u)k un vector función de una sola variable escalar

u, en donde R

1

(u), R

2

(u), R

3

(u), se suponen continuas en un intervalo dado. En estas

condiciones:

se llama integral indefinida de R(u).

Si existe un vector S(u) de forma que

se verifica que

en donde C es un vector constante arbitrario independiente de u.

La integral definida entre los límites de u = a y u = b es

(13)

Figure

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