Geometr´ıa Riemanniana

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Joaqu´ ın P´ erez Mu˜ noz

Geometr´ıa Riemanniana

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Introducci´ on

Estos son los apuntes de la asignatura Geometr´ıa Riemanniana, optativa de quinto curso de la Licenciatura de Matematicas de la Universidad de Granada. Son de libre distribuci´on, y pueden bajarse de la p´agina web

http://www.ugr.es/local/jperez/

En ellos encontrarás los enunciados y demostraciones de los resultados contenidos en el programa de la asignatura, distribuidos por temas tal y como ésta se estructuró y aprobó en Consejo de Departamento. Algunas veces, las demostraciones están resumidas y dejan que el lector compruebe los detalles como ejercicio. Además de éstos, al final de cada tema hay una relación de ejercicios propuestos.

Como siempre en estos casos, los apuntes no estar´an libres de errores, y es labor con- junta del autor y de los lectores mejorarlos, un trabajo que nunca se termina. Si encuentras alg´un error, env´ıa un e-mail a [email protected]

Todo lo que se dice en los apuntes puede encontrarse, a menudo explicado con m´as pro- fundidad, en numerosos textos b´asicos. Recomiendo al lector interesado los siguientes:

V.I. ARNOLD, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer 1984.

M. BERGER, A panoramic View of Riemannian Geometry, Springer 2003.

M. DO CARMO, Riemannian Geometry, Birkh¨auser (1992).

W. KLINGENGERG, Riemannian Geometry, Walter de Gruyter (1982).

M. SPIVAK, A comprehensive introduction to Differential Geometry I-V, Publish or Perish (1979).

F. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott-Foresman (1971).

Granada, Diciembre de 2004.

Joaqu´ın P´erez Mu˜noz

i

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ii

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´ Indice general

1. Variedades Riemannianas. 1

1.1. Longitudes y distancias. . . 1

1.1.1. Curvas a distancia constante. . . 3

1.1.2. Billares. . . 3

1.2. El concepto de variedad Riemanniana. . . 6

1.3. Isometr´ıas, isometr´ıas locales, inmersiones isom´etricas. . . 10

1.4. M´etricas Riemannianas y acciones propiamente discontinuas. . . 11

1.5. Variedades Riemannianas en Mec´anica cl´asica. . . 13

1.5.1. Sistemas con 1 grado de libertad. . . 13

1.5.2. Sistemas con 2 grados de libertad. . . 17

1.5.3. El p´endulo doble. . . 18

1.5.4. Formulaci´on general de la mec´anica Lagrangiana. . . 19

1.5.5. Principios de conservaci´on y el Teorema de Noether. . . 21

2. C´alculo en variedades Riemannianas. 25 2.1. Gradiente de una funci´on. . . 25

2.2. La conexi´on de Levi-Civita. . . 26

2.3. Derivada covariante y transporte paralelo. . . 28

2.4. Geod´esicas y aplicaci´on exponencial. . . 31

2.5. Divergencia de un campo. . . 43

2.6. Hessiano de una funci´on. . . 44

2.7. Laplaciano de una funci´on. . . 45

2.8. Superficies parametrizadas. . . 46

2.9. Curvaturas. . . 47

2.10. Campos de Jacobi. . . 58

2.10.1. Campos de Jacobi en V.R. de curvatura seccional constante. . . 60

2.10.2. Campos de Jacobi y valores conjugados. . . 62

2.10.3. Campos de Jacobi y curvatura seccional. . . 64

2.10.4. Campos de Jacobi y coordenadas polares. . . 65 iii

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iv

3. Geometr´ıa y curvatura. 75

3.1. Distancia asociada a una m´etrica. . . 75

3.2. Entornos totalmente normales. . . 82

3.3. Completitud. El Teorema de Hopf-Rinow. . . 86

3.4. Variedades con curvatura seccional constante. . . 91

3.4.1. Espacios recubridores Riemannianos. . . 93

3.4.2. Clasificaci´on de las V.R. de c.s.c. . . 97

3.5. Variedades de curvatura negativa. . . 99

3.6. Variaciones de la energ´ıa. . . 100

3.7. Variedades de curvatura positiva. . . 110

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Cap´ ıtulo 1

Variedades Riemannianas.

Veremos en este primer tema los conceptos fundamentales de la asignatura, y los ejemplos más importantes de variedades, que nos servirán para ilustrar los conceptos. Pero antes daremos un recorrido por cuestiones de geometr´ıa elemental, que nos sugerirán algunas de las cuestiones a estudiar posteriormente en ambientes más generales.

1.1. Longitudes y distancias.

Cu´al es la curva m´as corta uniendo dos puntos del plano? ¿Y en una superficie de R³?

Sean S ⊂ R³ una superficie, α : [a, b] → S una curva p.p.a. (la longitud es invariante frente a reparametrizaciones) y f : [a, b] × (−ε, ε) → S una variaci´on de α (i.e. f ∈ C^∞([a, b] × (−ε, ε),R³), f (t, 0) = α(t)) con campo variacional V (t) = ^∂f_∂s(t, 0). Llamando L(·) =longitud(·), tenemos

Lema 1.1.1 (Primera f´ormula de variaci´on de la longitud) En la situaci´on ante- rior,

d ds

₀L(f (·, s)) = − Z b

a

hα⁰⁰(t), V (t)idt + hα⁰(b), V (b)i − hα⁰(a), V (a)i.

Demostraci´on.

d ds

₀L(f (·, s)) = d ds

₀

Z b a

∂f

∂t(t, s) dt =

Z b a

d ds

₀

∂f

∂t(t, s) dt =

Z b a

hα⁰(t), ∂²f

∂s∂t(t, 0)idt

= Z b

a

hα⁰(t), ∂²f

∂t∂s(t, 0)idt = Z b

a

hα⁰(t), V⁰(t)idt = − Z b

a

hα⁰⁰(t), V (t)idt + [hα⁰(t), V (t)i]^b_a. 2 1

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2 CAP´ITULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.

Si s´olo consideramos curvas que unan dos puntos p, q ∈ S, entonces las variaciones ser´an propias (f (a, s) = p, f (b, s) = q ∀s), luego V (a) = V (b) = 0 y

d ds

₀L(f (·, s)) = − Z b

a

hα⁰⁰(t), V (t)idt.

Como lo anterior es cierto ∀V ∈ X(α) con V (a) = V (b) = 0 y de esta forma podemos

“barrer” todos los vectores tangentes a S en puntos de α(a, b), se obtiene que la parte tangente α⁰⁰(t)^T de α⁰⁰(t) es cero ∀t ∈ (a, b) (y por continuidad, tambi´en en [a, b]).

Corolario 1.1.1 Si α es una curva con la menor longitud de entre todas las curvas en S uniendo p, q, entonces (α⁰⁰)^T ≡ 0.

En el caso particular de S = R², α⁰⁰ es tangente a S luego el Corolario 1.1.1 nos dice que α⁰⁰ = 0, y por tanto α es un segmento recorrido a velocidad 1. Tenemos entonces el resultado cl´asico

Corolario 1.1.2 La curva m´as corta entre dos puntos del plano es el segmento que los une.

En general, la condici´on (α⁰⁰)^T = 0 se enunciar´a diciendo que α es una geod´esica de S.

N´otese que esto no es suficiente para que la curva minimize la longitud entre sus extremos (pensar en un trozo de c´ırculo m´aximo enS²(1) con longitud estrictamente mayor que π).

El concepto de geodésica será uno de los centrales en el curso. Es interesante adelantar que este concepto y muchos otros que nos aparecerán, son intr´ınsecos: no dependen de cómo la superficie está metida en R³. De hecho, los formularemos en ambientes mucho más generales (variedades Riemannianas), donde el objeto sobre el que se hace geometr´ıa no tiene porqué tener dimensión 2 ni estar metido dentro de un espacio eucl´ıdeo de dimensión superior.

En el ejemplo anterior hemos visto una herramienta que también usaremos para obtener otros objetivos: el cálculo de variaciones. Como ilustraci´on, veamos otra situación en el que el cálculo de variaciones tiene interesantes aplicaciones geométricas y f´ısicas.

Lema 1.1.2 (Primera f´ormula de variaci´on de la distancia en R²) Sean α, β cur- vas C¹ (no nec. p.p.a.) en R² con α(t) 6= β(t) ∀t. Entonces,

d

dt|α(t) − β(t)| = hα⁰(t) − β⁰(t), α(t) − β(t)

|α(t) − β(t)|i.

Demostraci´on. C´alculo directo. 2

Veamos dos consecuencias del Lema 1.1.2.

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1.1. LONGITUDES Y DISTANCIAS. 3 1.1.1. Curvas a distancia constante.

Lema 1.1.3 Sea I ⊂ R un intervalo, R = {R_s}_s∈I una familia 1-param´etrica de rectas (o segmentos) y α, β dos curvas en R² sin puntos comunes y perpendiculares a las l´ıneas de R, i.e. ∀t ∈ Dom(α), ∃sα(t) ∈ I , ∃t1(t) ∈ Dom(β) tales que t1(t) es C¹ y

1. α(t) ∈ R_s_α_(t) y α⁰(t) ⊥ ~R_s_α_(t).

2. β(t₁(t)) ∈ R_s_α_(t) y β⁰(t₁(t)) ⊥ ~R_s_α_(t). Entonces, |α(t) − (β ◦ t1)(t))| es constante en t.

Demostraci´on. Usando el Lema 1.1.2 sobre α, β ◦ t₁, d

dt|α(t) − (β ◦ t₁)(t)| = hα⁰(t) − t⁰₁(t)β⁰(t₁(t)), α(t) − β(t₁(t))

|α(t) − β(t1(t))|i. (1.1) Como α(t) − β(t₁(t)) es paralelo a ~R_s_α_(t) y α⁰(t), β⁰(t₁(t)) ⊥ ~R_s_α_(t), el miembro de la derecha de (1.1) es cero. As´ı, |α − (β ◦ t₁)| es constante. 2 Del Lema 1.1.3, tomando β ≡ origen deR²y R = {rayos partiendo del origen}, se tiene que una curva α ⊂ R² es perpendicular a R si y s´olo si es (parte de) una circunferencia centrada en el origen.

1.1.2. Billares.

Sea Ω ⊂ R² un dominio acotado, convexo y con ∂Ω regular. Supongamos que una part´ıcula infinitesimal se mueve con velocidad constante a lo largo de un segmento en Ω, de forma que al llegar a ∂Ω sale rebotada siguiendo la ley

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Llamaremos una trayectoria a una poligonal como la anterior. Las trayectorias son impor- tantes es mec´anica (teor´ıa de choques) y en f´ısica at´omica (aceleradores de part´ıculas).

Dos importantes cuestiones sobre trayectorias son

¿Qu´e pasa con una trayectoria si el movimiento se considera perpetuo?

Hay resultados que dicen que bajo condiciones naturales, una trayectoria es periódica o densa. Las trayectorias peri´odicas son indudablemente interesantes desde el punto de vista f´ısico (si en un acelerador algunas part´ıculas siguen una trayectoria densa, los choques de éstas con cualquier placa no producirán una n´ıtida impresión en la misma; pero si encontramos una trayectoria periódica, tendremos incidencia una y otra vez en cierta zona definida de la placa).

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¿Podemos asegurar la existencia de trayectorias peri´odicas?

Sea k ∈ N. Considero k puntos p1, . . . , pk ∈ ∂Ω ordenados pero no necesariamente distintos. Podemos ver P = (p₁, . . . , p_k) como los vértices (ordenados c´ıclicamente) de una poligonal periódica en Ω, candidata a trayectoria periódica. Se trata de saber si podemos situar los v´ertices de P para que se cumpla la ley de incidencia-reflexi´on de ángulos. Dada una lista P como antes, llamaremos m ∈N al número de vueltas que la poligonal periódica asociada da alrededor de ∂Ω (en una estrella de 5 puntas con vértices en ∂Ω, es k = 5 y m = 2). Sea

C_k,m= {poligonales peri´odicas con k v´ertices en ∂D que dan m vueltas}

Es posible dotar a Ck,m de una topolog´ıa natural, basada en cómo se mueven los vértices de sus poligonales sobre ∂Ω. Como admitimos que dos o m´as vértices se colapsen en uno, puede probarse que C_k,m es compacto. La misma idea permite ver C_k,m como variedad diferenciable de dimensi´on k. Dada P ∈ Ck,m, se define la longitud L(P ) de P como la longitud total de los lados de la poligonal asociada. Admitiendo que la aplicaci´on l : C_k,m →R es C¹, veamos que

Lema 1.1.4 Si P ∈ C_k,m en un punto cr´ıtico de l, entonces P produce una trayectoria peri´odica.

Demostraci´on. Identificando pk+1 con p1 en P = (p1, . . . , pk), tenemos L(P ) =

Xk i=1

|p_i+1− p_i|.

Supongamos ahora que t 7→ P_t= (p₁(t), . . . , p_k(t)) es una curva C¹ en C_k,m con P₀ = P . As´ı,

d dt

₀L(Pt) = Xk i=1

d dt

₀|pi+1(t) − pi(t)|.

Usando el Lema 1.1.2 (para ello necesitamos la condici´on t´ecnica de que pi 6= pi+1 para cada i),

d dt

₀L(P_t) = Xk i=1

hp⁰_i+1(0) − p⁰_i(0), p_i+1− p_i

|pi+1− pi|i.

Como P en punto cr´ıtico de l, lo anterior se anula para toda variación de P en Ck,m. Elegimos tal variación de forma que sólo mueva el v´ertice p₂. Entonces, p⁰_i(0) = 0 siempre que i 6= 2 luego

0 = d dt

₀L(Pt) = hp⁰₂(0), p2− p1

|p₂− p₁|− p3− p2

|p₃− p₂|i. (1.2)

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1.1. LONGITUDES Y DISTANCIAS. 5 Veamos que (1.2) implica que se cumple la ley de incidencia-reflexión de ´angulos en p₂. Como dicha ley sólo afecta a ángulos, podemos trasladar enR² de forma que p2 = 0. As´ı,

p1

|p₁|+_|p^p³

3| es perpendicular a p⁰₂(0). Pero _|p^p¹

1|,_|p^p³

3| son unitarios luego ~0,_|p^p¹

1|,_|p^p³

3|, _|p^p¹

1|+ _|p^p³

3|

son los v´ertices de un rombo R, una de cuyas diagonales es d1= _|p^p¹

1|+ _|p^p³

3|. Como la otra diagonal d₂ de R es ortogonal a d₁, conclu´ımos que d₂ es paralela a p⁰₂(0), que a su vez genera Tp₂∂Ω. De aqu´ı es f´acil ver que la ley de incidencia-reflexi´on de ´angulos se cumple en p₂.

Repitiendo lo anterior para todo v´ertice de α, conclu´ımos que α es una trayectoria. 2 Corolario 1.1.3 Para cualesquiera k, m ∈ N, existe al menos una trayectoria peri´odica en C_k,m.

Demostración. Por el Lema 1.1.4, basta asegurar que existe al menos un punto cr´ıtico en Ck,m de l, y esto está asegurado por ser Ck,m compacto. 2 Dejemos ahora el Cálculo de Variaciones para profundizar más en distancias y longitudes de curvas. Supongamos que los habitantes de un mundo imaginario viven sobre una superficie conexa S ⊂R³ y que no pueden en ning´un momento abandonar S. ¿C´omo medir´ıan la distancia entre dos puntos p, q ∈ S? Pensando en lo que hacemos en el caso S =R², es l´ogico que tomen dicha distancia como la menor longitud de una curva γ en S que una p con q, si dicha curva existe. Pero ¿existe realmente una curva γ que realiza la distancia de p a q? Del Lema 1.1.1 se deduce que caso de existir, dicha curva γ ser´a una geod´esica, i.e. (γ⁰⁰)^T = 0 si parametrizamos γ por el arco. En algunas situaciones, γ no existe (tomar S =R²− {(0, 0)} y q = −p 6= (0, 0)), pero a´un as´ı tiene sentido definir

d(p, q) = inf{L(α) | α curva C^∞ a trozos uniendo p, q}, ∀p, q ∈ S,

ya que el ´ınfimo anterior siempre existe. Estudiaremos a fondo d y veremos que siempre define una distancia sobre S, y que esto puede generalizarse a variedades Riemannianas.

En el caso de una curva embebida y regular α : I →R³, la distancia correspondiente es d : α(I ) × α(I ) →R⁺₀ donde

d(p, q) = |L(α)^q_p| =

Z t₂ t₁

|α⁰(t)| dt ,

donde p = α(t₁), q = α(t₂) (nótese que no tiene porqu´e ser t₁ ≤ t₂). Tenemos entonces que (α(I ), d) es un espacio m´etrico (intr´ınseco, ya que para calcular distancias sólo necesitamos longitudes de curvas). El diámetro de (α(I ), d) es, claramente, la longitud total de α (que podr´ıa ser ∞).

Las variedades Riemannianas vistas como espacios métricos sólo son interesantes a partir de dimensión 2, como pone de manifiesto el siguiente

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Lema 1.1.5 Todas las curvas α : I → R³ embebidas y regulares con la misma longitud son isom´etricas como espacios m´etricos.

Demostración. Sea α : I → R³ una curva embebida y regular, con par´ametro t. Sea β : J ⊂ R → R³ una reparametrizaci´on por el arco de α, con parámetro s. Claramente, L(α) coincide con la longitud del intervalo J , que a su vez es el di´ametro del espacio métrico (J, d0) donde d0 es la distancia usual deR. El Lema estará probado (por transitividad) si vemos que los espacios m´etricos (α(I ), d), (J, d₀) son isom´etricos. Definimos F : (J, d₀) → (α(I ) = β(J ), d) mediante F (s) = β(s) = α(t(s)). Entonces,

d(F (s₁), F (s₂)) = |L(α)^t(s_t(s²⁾

1)| = |L(β)^s_s²

1| = |s₂− s₁| = d₀(s₁, s₂),

luego F es una isometr´ıa de espacios m´etricos. 2

Como hemos dicho, a partir de dimensión 2 el Lema 1.1.5 no tiene un enunciado equivalente. De hecho, veremos que la esfera no puede ser isométrica (ni siquiera localmente) al plano¹: la existencia de isometr´ıas locales entre variedades Riemannianas estará ´ıntima- mente ligada al concepto de curvatura, otro de los conceptos centrales que desarrollaremos en la asignatura.

Esperamos que las ideas anteriores hayan motivado un estudio más detallado de diver- sos objetos geométricos como la longitud, la distancia o la curvatura en situaciones más generales. A continuación empezaremos con este trabajo.

1.2. El concepto de variedad Riemanniana.

A lo largo del resto del tema, Mⁿ denotar´a una variedad diferenciable.

Definici´on 1.2.1 Una m´etrica es una aplicaci´on g : X(M ) × X(M ) → F (M,R) = {aplics. de M enR} tal que ∀X, Y, X₁, X₂ ∈X(M ), ∀f ∈ C^∞(M,R),

1. g(X, Y ) = g(Y, X ),

2. g(X1+ X2, Y ) = g(X1, Y ) + g(X2, Y ), g(f X, Y ) = f g(X, Y ),

3. g(X, X ) ≥ 0 en M y si p ∈ M cumple g(X, X )(p) = 0, entonces X_p= 0.

De 1,2 deducimos que g es tensorial en funciones, luego pueden definirse las restricciones g|_U y g_p, donde U ⊂ M abierto y p ∈ M , de la siguiente forma:

Dados X, Y ∈X(U ) y p ∈ U , se define (g|U)(X, Y )(p) = g(X,e Y )(p), dondee X,e Y ∈e

X(M ) cumplenX |e V_p = X |V_p,Y |e V_p = Y |V_p, siendo Vp un abierto de U con p ∈ Vp.

1De hecho, ´este es el punto de partida de la cartograf´ıa.

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1.2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD RIEMANNIANA. 7 Dados v, w ∈ T_pM , se define g_p(v, w) = g(V, W )(p) donde V, W ∈X(M ) con V_p = v, Wp= w.

La idea para probar que g|_U est´a bien definida es la siguiente:

Lema 1.2.1 Sea g una m´etrica sobre M , X, Y ∈ X(M ) y U ⊂ M abierto. Si X |U = 0

´

o Y |U = 0, entonces g(X, Y )|U = 0.

Demostraci´on. Fijemos p ∈ U y veamos que g(X, Y )(p) = 0. Como {p}, M − U son cerrados disjuntos, ∃fp ∈ C^∞(M ) tal que fp|_{M −U} = 1 y fp(p) = 0. Supongamos primero que X |_U = 0. Entonces, X = f_pX en M (razonar por separado en U y en M − U ), luego g(X, Y ) = g(fpX, Y ) = fpg(X, Y ). Evaluando en p y usando que fp(p) = 0, tenemos g(X, Y )(p) = 0. Como g es sim´etrica, el caso Y |U = 0 puede reducirse al anterior. 2 Ahora la definici´on de g|_U no depende de las extensiones X,e Y de X, Y ∈e X(U ), ya que si tomamos otras extensiones X,b Y de X, Y , entoncesb X −e X est´b a en las condiciones del Lema 1.2.1 sobre el abierto V_p donde ambas extensiones coinciden con X , luego g(X −e X ,b Y )|Ve p = 0 y as´ı, g(X,e Y )(p) = g(e X,b Y )(p). Aplicando el Lema 1.2.1 ae Y −e Y y razonandob an´alogamente concluimos que g(X,b Y )(p) = g(e X,b Y )(p), luego g(b X,e Y )(p) = g(e X,b Y )(p).b

En cuanto a probar que gp esta bien definida, necesitamos otro resultado previo.

Lema 1.2.2 Sea g una m´etrica sobre M , X, Y ∈ X(M ) y p ∈ M . Si Xp = 0 ´o Yp = 0, entonces g(X, Y )(p) = 0.

Demostraci´on. De nuevo por simetr´ıa de g basta suponer que Xp = 0. Tomemos una carta local (U, φ = (x₁, . . . , x_n)) de M alrededor de p. As´ı, X |_U =^Pⁿ_i=1a_i_∂x^∂

i con a_i ∈ C^∞(U )

∀i. Como g|U est´a bien definida,

g(X, Y )(p) = (g|U)(X |U, Y |U)(p) = (g|U)(^P_iai ∂

∂x_i, Y |U)(p) =^P_iai(p)(g|U)(_∂x^∂

i, Y |U)(p).

Lo anterior se anula porque al ser Xp = 0, tenemos ai(p) = 0 ∀i = 1, . . . , n. 2 Y ahora un razonamiento an´alogo al que hac´ıamos para probar que g|_U está bien definida (cambiando el Lema 1.2.1 por el Lema 1.2.2) permite demostrar que g_p también lo está.

g_p es pues, un producto escalar definido positivo sobre T_pM .

Si g es una m´etrica sobre M y (U, φ = (x₁, . . . , x_n)) es una carta local, las funciones g_ij = (g|_U)(_∂x^∂

i,_∂x^∂

j) est´an en F (U,R) y la matriz (g_ij)_i,j se llama la matriz de g respecto a (U, φ).

Definici´on 1.2.2 Una m´etrica g sobre Mⁿse dice Riemanniana o diferenciable si ∀X, Y ∈ X(M ), g(X, Y ) ∈ C^∞(M ). Al par (M, g) se le llama una variedad Riemanniana (V.R.)

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Proposici´on 1.2.1 Sea g una m´etrica sobre M y {(U^α, φ^α)}_α un atlas en M . Son equiv- alentes:

1. g es una m´etrica Riemanniana.

2. ∀U ⊂ M abierto, ∀X, Y ∈X(U ), (g|U)(X, Y ) ∈ C^∞(U ).

3. ∀α, ∀i, j = 1, . . . , n, g_ij^α ∈ C^∞(U^α).

Demostraci´on. Ejercicio. 2

Definici´on 1.2.3 Sea (M, g) una V.R. Dado X ∈ X(M ), la norma de X es la funci´on kX k = ^pg(X, X ) ∈ C^∞(M − {p ∈ M | X_p = 0}). Dos vectores v, w ∈ T_pM se dicen ortogonales si lo son respecto a gp. Dos campos X, Y ∈ X(M ) se dicen ortogonales si lo son en cada p ∈ M .

Ejemplos de variedades Riemannianas.

1. El espacio eucl´ıdeo n-dimensional. M =Rⁿ, g0(X, Y ) =^Pⁿ_i=1XiYi donde X = (X₁, . . . , X_n), Y = (Y₁, . . . , Y_n) ∈X(Rⁿ) ≡ C^∞(Rⁿ,Rⁿ).

2. Métricas conformes y homot´eticas. Si (M, g) es una V.R. y f ∈ C^∞(M,R⁺), entonces f g es otra métrica Riemanniana sobre M , que se dice conforme a g. Si f es constante, a f g se le llama métrica homotética a g (ejercicio: probar que “ser conforme a” y “ser homotética a”definen relaciones de equivalencia en el conjunto de métricas Riemannianas sobre una variedad diferenciable).

3. El espacio hiperb´olico n-dimensional (modelo del semiespacio).

M = (Rⁿ)⁺ = {x ∈Rⁿ | x_n > 0}, g = _x¹₂

ng₀. N´otese que g_x(e₁, e₁) = _x¹₂

n, luego ke₁k se hace mayor cuanto m´as nos aproximamos al borde de (Rⁿ)⁺.

4. El espacio hiperb´olico n-dimensional (modelo de la bola).

M =Bⁿ(0, 1) = {x ∈Rⁿ |kxk₀ < 1}, g = ⁴

(1−kxk²₀)²g₀. De nuevo ke₁k se hace mayor cuanto m´as nos aproximamos al borde deBⁿ(0, 1), y g se acerca a g0 cuando x → 0.

5. El grupo lineal general.

M = M_n(R) ≡ Rⁿ², g(B, C)(A) = Traza(B·C^t), ∀A ∈ M_n(R), ∀B, C ∈X(M_n(R)) ≡ C^∞(Mn(R), Mn(R)).

6. M´etrica producto.

Sean (M₁ⁿ, g1), (M₂^m, g2) V.R.. Se define la m´etrica producto de g1 y g2 como [(g₁× g₂)(Z₁, Z₂)] (p₁, p₂) =

X2 i=1

(g_i)_p_i(dπ_i)_(p

1,p₂)(Z₁

(p1,p2 ), (dπ_i)_(p

1,p₂)(Z₂

(p1,p2)

,

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1.2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD RIEMANNIANA. 9

∀Z₁, Z₂ ∈ X(M₁ × M₂), (p₁, p₂) ∈ M₁× M₂, donde π₁, π₂ son las proyecciones de M1× M2 sobre sus factores. Que g1× g2 es una m´etrica se deduce directamente de la ecuaci´on

(g₁× g₂)_(p₁_,p₂₎((v₁, v₂), (w₁, w₂)) = X2 i=1

(g_i)_p_i(v_i, w_i), (1.3) donde pi ∈ Mi y vi ∈ Tp_iMi (ejercicio). En cuanto a la diferenciabilidad, usaremos la Proposici´on 1.2.1: tomemos cartas locales (U, φ = (x1, . . . , xn)), (V, ϕ = (x_n+1, . . . , x_n+m)) en M₁, M₂. As´ı, (U × V, φ × ϕ) es una carta en M₁× M₂ con funciones coordenadas zi = xi◦ π1 si i ≤ n, ai = xi ◦ π2 si i ≥ n + 1, y es posible construir un atlas de M₁× M₂ con cartas producto de esta forma. Bastar´a entonces probar que las funciones g_ij = (g₁× g₂)(_∂z^∂

i,_∂z^∂

j) son C^∞ en U × V . Pero (gij)i,j=1,...,n+m= (g₁)_ij ◦ π₁ 0

0 (g₂)_ij◦ π₂

!

(ejercicio), de donde la diferenciabilidad de g_ij se deduce directamente. N´otese que (1.3) implica que vectores del tipo (v₁, 0), (0, v₂) ∈ T_p₁M₁ × T_p₂M₂ son siempre ortogonales en la m´etrica producto. Adem´as, si los campos Z1, Z2 ∈ X(M1× M2) son proyectables (i.e. Z1 ≡ (X1, X2), Z2 ≡ (Y1, Y2) con Xi, Yi∈X(Mi), entonces

(g₁× g₂) ((X₁, X₂), (Y₁, Y₂)) = X2 i=1

g_i(X_i, Y_i) ◦ π_i.

7. M´etrica pullback por una inmersi´on.

Sea F : Mⁿ→ N^m una inmersi´on y g una m´etrica Riemanniana sobre N . Se define F^∗g (m´etrica pullback de g por F ) mediante

(F^∗g)(X, Y )(p) = g_{F (p)}(dFp(Xp), dFp(Yp)), ∀X, Y ∈X(M ), ∀p ∈ M.

F^∗g es claramente una m´etrica sobre M . Para ver su diferenciabilidad, tomemos X, Y ∈ X(M ) y probemos que (F^∗g)(X, Y ) ∈ C^∞(M ). Basta que dado p ∈ M , exista un abierto U ⊂ M conteniendo a p donde (F^∗g)(X, Y )|_U sea C^∞. Como F es inmersi´on, ∃V ⊂ M abierto conteniendo a p tal que F : V → N es embebimiento.

As´ı, F (V ) es una subvariedad de N difeomorfa a V y podemos proyectar los campos X |_V, Y |_V a F_∗(X |_V), F_∗(Y |_V) ∈ X(F (V )). Como F (p) ∈ F (V ), ∃X ,e Y ∈e X(N ) y

∃ un entorno abierto de F (p) en F (V ) (que puedo escribir de la forma F (U ) con p ∈ U ^abto.⊂ V ) tales que (F_∗X )|_{F (U )}=X|e _{F (U )}, (F_∗Y )|_{F (U )} =Y |e _{F (U )}. Ahora es f´acil ver que (F^∗g)(X, Y ) = g(X,e Y ) ◦ F en U , luego (Fe ^∗g)(X, Y ) ∈ C^∞(U ).

(15)

8. La esfera Sⁿ(R).

Dado R > 0, sea Sⁿ(R) = {x ∈ Rⁿ⁺¹ | kxk = R}. Como la inclusi´on i : Sⁿ(R) ,→

Rⁿ⁺¹es un embebimiento, tiene sentido g = i^∗g₀(m´etrica can´onica sobreSⁿ(R)). As´ı, dados p ∈ Sⁿ(R) y v, w ∈ T_pSⁿ(R) = hpi^⊥, es g_p(v, w) = g₀(v, w) y dados X, Y ∈ X(Sⁿ(R)) = {F ∈ C^∞(Sⁿ(R),Rⁿ⁺¹) | g₀(F (p), p) = 0 ∀p ∈ Sⁿ(R)}, g(X, Y ) = Pn+1

i=1 XiYi.

9. El grupo ortogonal.

Dado n ∈N, el grupo ortogonal es O(n) = {A ∈ M_n(R) | A · A^t= I_n}. O(n) es una subvariedad de dimensi´on n(n − 1)/2 de Mn(R), con

TAO(n) = {AB | B^t= −B}, ∀A ∈ O(n).

Como la inclusi´on i : O(n) ,→ Mn(R) es un embebimiento y sobre Mn(R) tenemos la métrica est´andar (g₀)_A(B, C) = Traza(B · C^t), deducimos que g = i^∗g₀ es una m´etrica Riemanniana sobre O(n), llamada su métrica canónica.

1.3. Isometr´ıas, isometr´ıas locales, inmersiones isom´ etricas.

Definici´on 1.3.1 Una isometr´ıa entre dos V.R. (M₁ⁿ, g1), (M₂ⁿ, g2) es un difeomorfismo φ : M1 → M2 tal que ∀p ∈ M1, dφp es una isometr´ıa vectorial entre (TpM1, (g1)p) y (T_{F (p)}M₂, (g₂)_{F (p)}) (esto ´ultimo equivale a que g₁ = φ^∗g₂). En tal caso, (M₁ⁿ, g₁), (M₂ⁿ, g₂) se dicen variedades Riemannianas isom´etricas.

“Ser isométrica a” es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las V.R. (ejerci- cio). El conjunto Iso(M, g) de todas las isometr´ıas de una V.R. en s´ı misma tiene estructura de grupo con la composición.

Ejemplos.

1. La aplicaci´on φ : Mn(R) → Rⁿ² dada por φ(A) = (a11, . . . , ann) si A = (aij)i,j

es una isometr´ıa si en Mn(R), Rⁿ² consideramos sus respectivas metricas usuales (ejercicio).

2. Las V.R. (Sⁿ(R), g) y (Sⁿ(1), R²g) son isom´etricas (ejercicio).

3. La transformaci´on de M¨obius φ(z) = _i−1²ⁱ ^z−1_z+i es una isometr´ıa entre los modelos D(0, 1) y (R²)⁺del plano hiperb´olico (ejercicio).

4. Las traslaciones a izquierda lA : O(n) → O(n), lA(B) = AB y a derecha rA: O(n) → O(n), rA(B) = BA, son isometr´ıas de (O(n), g) en s´ı m´ısmo (ejercicio).

(16)

1.4. M ´ETRICAS RIEMANNIANAS Y ACCIONES PROPIAMENTE DISCONTINUAS.11 Definici´on 1.3.2 Una isometr´ıa local entre dos V.R. (M₁ⁿ, g₁), (M₂ⁿ, g₂) es un difeomor- fismo local φ : M1 → M2 tal que g1 = φ^∗g2). En tal caso, (M₁ⁿ, g1), (M₂ⁿ, g2) se dicen variedades Riemannianas localmente isom´etricas.

Definici´on 1.3.3 Una inmersi´on isométrica entre dos V.R. (M₁ⁿ, g₁), (M₂^m, g₂) es una inmersi´on φ : M₁ → M₂ tal que g₁ = φ^∗g₂). As´ı, una isometr´ıa local es una inmersión isométrica entre variedades de la misma dimensi´on. Y si F : Mⁿ → (N^m, g) es una inmersi´on, entonces F : (M, F^∗g) → (N, g) es una inmersi´on isométrica.

1.4. M´ etricas Riemannianas y acciones propiamente discon- tinuas.

Definici´on 1.4.1 Sea Mⁿuna variedad diferenciable y G un grupo algebraico. Una acci´on es una aplicaci´on λ : G × M → M tal que ∀g, g₁, g₂∈ G, ∀p ∈ M ,

1. e · p = p,

2. g1· (g2· p) = (g1· g2) · p.

Dado g ∈ G, se define λg : M → M por λg(p) = g · p. Entonces, λg es una biyecci´on, con inversa λ_g−1.

La acci´on λ se dice diferenciable cuando ∀g ∈ G, λ_g es un difeomorfismo de M en s´ı misma (i.e. cuando λg ∈ C^∞(M, M )), y se dice propiamente discontinua cuando ∀p ∈ M ,

∃U ⊂ M abierto conteniendo a p tal que U ∩ λg(U ) = Ø ∀g ∈ G − {e}.

Toda acci´on λ sobre M define una relaci´on de equivalencia sobre M : p ∼G q ⇔ ∃g ∈ G | g · p = q.

Llamemos π : M → M/G = M/ ∼G a la proyecci´on can´onica de M en su cociente. π es continua si en M/G consideramos la topolog´ıa cociente, y abierta (porque π⁻¹(π(O)) =

∪_g∈Gλ_g(O), ∀O ⊂ M ).

Proposici´on 1.4.1 Si la acci´on λ es diferenciable y propiamente discontinua, entonces existe una ´unica estructura diferenciable D sobre M/G que convierte a π en difeomorfismo local. Adem´as, la topolog´ıa subyacente a D es la topolog´ıa cociente.

Demostraci´on. Existencia.

Consideremos en M/G la topolog´ıa cocienteT /G de la topolog´ıa T de M . Dado p ∈ M , sea U un abierto de M conteniendo a p dado por la discontinuidad de la acci´on λ. Entonces, π|U : U → π(U ) es un homeomorfismo (es continua, sobreyectiva, inyectiva y abierta).

(17)

Ahora podemos definir las cartas de M/G como la composici´on de π|_U con cartas de M cuyo abierto coordenado est´e contenido en U . Variando U y aplicando este procedimiento, se obtiene un atlas diferenciable sobre M/G, que genera una estructura diferenciable D que hace a π difeomorfismo local (ejercicio).

Unicidad.

Si M/G admite una estructura diferenciable D⁰ que hace de π un difeomorfismo local y llamamosT ⁰a la topolog´ıa subyacente a D⁰, entonces π : (M,T ) → (M/G, T ⁰) es continua, sobreyectiva y abierta, luego identificaci´on. Por tanto,T ⁰=T /G. Ahora considero las aplicaciones M → (M/G, D)^π ¹^M/G→ (M/G, D⁰), cuya composici´on es π. Como las dos π son difeomorfismos locales, conclu´ımos que 1_M/G es diferenciable de (M/G, D) en (M/G, D⁰).

El rec´ıproco es igual, con lo que D = D⁰. 2

Teorema 1.4.1 Sea λ : G × M → M una acci´on diferenciable y propiamente discontinua, y g una m´etrica Riemanniana sobre M . Entonces, son equivalentes:

1. Existe una m´etrica Riemanniana g⁰ sobre M/G que hace a π : (M, g) → (M/G, g⁰) isometr´ıa local.

2. λh∈ Iso(M, g) ∀h ∈ G.

Adem´as, g⁰ es ´unica (cuando exista).

Demostración. Si g⁰ existe, entonces dados p ∈ M y u, v ∈ T_pM se tendrá g_p(u, v) = g⁰_π(p)(dπ_p(u), dπ_p(v)). Como π es sobreyectiva y dπ_pbiyectiva, la última ecuación determina a g⁰. Adem´as dado h ∈ G,

g_h·p((dλ_h)_p(u), (dλ_h)_p(v)) = g_π(p)⁰ (d(π ◦ λ_h)_p(u), d(π ◦ λ_h)_p(v))

= g_π(p)⁰ (dπp(u), dπp(v)) = gp(u, v)

luego λh ∈ Iso(M, g). Rec´ıprocamente, si λh es una isometr´ıa entonces la definici´on g⁰_[p](u⁰, v⁰) := gp((dπp)⁻¹(u⁰), (dπp)⁻¹(v⁰))

no depende del representante p ∈ [p]. Es f´acil comprobar que g⁰es una m´etrica (ejercicio).

Su diferenciabilidad se tendr´a si vemos que g⁰(X⁰, Y⁰) ∈ C^∞(M/G) ∀X⁰, Y⁰ ∈ X(M/G).

Pero X⁰, Y⁰ producen campos X, Y ∈ X(M ) invariantes por la acci´on λ (i.e. (λh)∗X = X, (λ_h)_∗Y = Y ∀h) tales que X_π(p)⁰ = dπ_p(X_p), Y_π(p)⁰ = dπ_p(Y_p) ∀p. Es f´acil ver que g⁰(X⁰, Y⁰) ◦ π = g(X, Y ). Como g(X, Y ) ∈ C^∞(M ), tenemos que g⁰(X⁰, Y⁰) ∈ C^∞(M/G).

por ´ultimo, que π : (M, g) → (M/G, g⁰) se hace isometr´ıa local es evidente (ejercicio). 2 Ejemplos.

(18)

1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MEC ´ANICA CL ´ASICA. 13 1. El espacio proyectivo real RPⁿ.

Si A es la aplicaci´on ant´ıpoda sobreSⁿ(1), entonces el grupo G = {1Sⁿ⁽¹⁾, A} act´ua diferenciable, propia y discontinuamente sobreSⁿ(1), luego existe una única métrica g⁰ sobre Sⁿ(1)/G = RPⁿ que convierte a π en isometr´ıa local. A g⁰ se le llama la métrica estándar sobreRPⁿ.

2. Toros llanos Tⁿ_B.

Dada una base B = {v₁, . . . , v_n} de Rⁿ, el grupo de traslaciones G = {T_v | v ∈ Zv₁⊕ . . . ⊕Zv_n} act´ua diferenciable, propia y discontinuamente sobre Rⁿ, donde Tv es la traslaci´on de vector v. El cociente Rⁿ/G = Tⁿ_B es un toro n-dimensional (difeomorfo a S¹× . . . ×Sⁿ⁾ ¹), y la m´etrica g⁰₀ inducida sobre Tⁿ_B por g₀ se llama la m´etrica llana sobreTⁿ_B.

1.5. Variedades Riemannianas en Mec´ anica cl´ asica.

Muchos sistemas f´ısicos, sobre todo en Mecánica, pueden modelarse usando una variedad diferenciable, y las ecuaciones de movimiento del sistema resultan ser las ecuaciones de Euler-Lagrange para un funcional definido sobre curvas en la variedad. Esta formulación, que en f´ısica se conoco como Mecánica Lagrangiana, a menudo se sustenta en una variedad Riemanniana, y los principios de conservación clásicos (energ´ıa, momento angular, etc.) pueden verse como invarianza del lagrangiano frente a un grupo de difeomorfismos de la variedad. Veamos algunos ejemplos de este tipo.

1.5.1. Sistemas con 1 grado de libertad.

Supongamos que una part´ıcula se mueve en una trayectoria rectil´ınea x(t) con

¨

x(t) = f (x(t)), (1.4)

donde f ∈ C^∞(R) (éste es el caso de, por ejemplo, un movimiento oscilatorio rectil´ıneo como un muelle². Estamos interesados en describir los movimientos del sistema, que son las soluciones del EDO anterior. La teor´ıa general de EDO nos dice que x(t) est´a determinada un´ıvocamente por x(0), ˙x(0). Se llama espacio de configuraciones al conjunto cuyos puntos describen completamente la posición del sistema en un momento dado. En nuestro caso x(t) ∈ R, luego el espacio de configuraciones es R. La energ´ıa cinética de x(t) es T =

2La ley de Hooke dice: “La deformación que experimenta un muelle al ejercer sobre él una cierta fuerza es directamente proporcional a magnitud de dicha fuerza, i.e. F = −kx donde F es la fuerza aplicada, k es la constante de elasticidad del muelle y x la posición del extremo móvil del muelle. Como la 2â ley de Newton asegura que F = m¨x donde m es la masa del objeto móvil suspendido del muelle, tenemos

¨

x = −_m^kx, que es una ecuaci´on del tipo de (1.4).

(19)

1

2[ ˙x(t)]², que puede verse como la evaluación en ˙x(t) ∈R = T_x(t)R de la forma cuadrática T (p, v) = ¹₂|v|², (p, v) ∈ TR. La energ´ıa potencial s´olo depende de la posición:

V (x) = − Z x

0

f (ξ) dξ.

Claramente, el potencial V determina a f , luego determina la ecuaci´on (1.4) llamada ecuación del movimiento. Adem´as, si cambiamos el potencial sumándole una constante, no cambian ni la EDO (1.4) ni los movimientos. Desde el punto de vista de la mecánica Lagrangiana, uno considera el lagrangiano L(x, ˙x) = T ( ˙x) − V (x) ∈ C^∞(TR). Fijados P, Q ∈ R, sea F el espacio de funciones γ : [0, 1] → R de clase C¹ tales que γ(0) = P, γ(1) = Q. Sobre F tenemos el funcional

Φ(γ) = Z 1

0

L(γ, ˙γ)dt,

cuyos puntos cr´ıticos son exactamente las ecuaciones de movimientos del sistema. Para ver esto, tomemos una variaci´on γ_s : [0, 1] → R de γ definida en |s| < ε, con γ_s(0) = P, γ_s(1) = Q ∀s. Llamando η(t) = ^∂γ_∂s^s(t, 0) al campo variacional de γ_s,

d ds

₀Φ(γs) = Z 1

0

d ds

₀L(γs, ˙γs) dt

= Z 1

0

∂L

∂x(γ(t), ˙γ(t))∂γs

∂s(t, 0) dt + Z 1

0

∂L

∂ ˙x(γ(t), ˙γ(t))∂ ˙γs

∂s (t, 0) dt

= Z 1

0

∂L

∂x(γ, ˙γ)η dt +

∂L

∂ ˙x(γ, ˙γ)η

1 0

− Z 1

0

∂

∂t

∂L

∂ ˙x(γ, ˙γ)

η dt.

Como la variaci´on es propia, η(0) = η(1) = 0 y d

ds

₀Φ(γs) = Z 1

0

∂L

∂x − ∂

∂t

∂L

∂ ˙x

(γ, ˙γ) η dt.

Por tanto, los puntos cr´ıticos de Φ sobre F son las funciones x : [0, 1] →R tales que

∂L

∂x = ∂

∂t

∂L

∂ ˙x

. (1.5)

A (1.5) se les llama las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema. En nuestro caso, ^∂L_∂x =

−^dV

dx = f (x) y ^∂L_{∂ ˙}_x = ^dT_{d ˙}_x = ˙ xluego _∂t∂x^∂²^L = ¨x. Ahora de (1.4) y (1.5) deducimos que Los puntos cr´ıticos de Φ en F coinciden con los movimientos del sistema.

(20)

1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MEC ÁNICA CL ÁSICA. 15 La energ´ıa total del sistema es E = T + V ∈ C^∞(TR, R), que depende de la posici´on y de la velocidad, y el sistema admite una ley de conservación de la energ´ıa: Si x(t) es un movimiento, entonces E(x(t), ˙x(t)) es constante (en términos anal´ıticos, E es una primera integral de (1.4)): en efecto,

d

dtE(x(t), ˙x(t)) = d dt

1

2[ ˙x(t)]²− Z x(t)

0

f (ξ)dξ

!

= ˙ x(t) (¨x(t) − f (x(t))) = 0.

El sistema (1.4) es una EDO de segundo orden, y por tanto equivalente a un sistema de dos EDO de primer orden:

( x = y˙

˙

y = f (x), (1.6)

sistema que puede verse sobre el llamado espacio de fases, que en nuestro caso no es m´as que TR = R × R y que en general es el fibrado tangente del espacio de configuraciones. El sistema (1.6) determina un campo X ∈X(TR), X_(x,y)= (y, f (x)). A las curvas integrales de X se es llama curvas de fases. As´ı, una curva α(t) = (x(t), y(t)) ∈ TR es curva de fase si y s´olo si x(t) es un movimiento del sistema, y encontrar los movimientos de nuestro sistema equivale a calcular las curvas de fases. Como por cada punto de una variedad para una

´

unica curva integral de un campo dado sobre la misma, tenemos otra forma de justificar el que para cada x(0), ˙x(0) ∈R existe una ´unico movimiento con esas condiciones iniciales.

N´otese que una curva de fase podr´ıa reducirse a un s´olo punto del espacio de fases, y que esto ocurre precisamente en un cero del campo X . A los ceros de X en el espacio de fases se las llama posiciones de equilibrio.

La ley de conservaci´on de la energ´ıa puede enunciarse diciendo que si x(t) es un movimiento, entonces (x(t), ˙x(t)) cae en un subconjunto {E = c} ⊂ TR (c ∈ R). Cabe preguntarse cu´ando {E = c} es una hipersuperficie de TR (en este caso, cu´ando es una curva regular y embebida). Por el teorema de la funci´on impl´ıcita, esto ocurre cuando c ∈R sea valor regular de E. Dados (x0, y0) ∈ TR, ( ˙x, ˙y) ∈ T_(x₀_,y₀₎TR,

dE_(x₀_,y₀₎( ˙x, ˙y) = dT_y₀( ˙y) + dV_x₀( ˙x) = y₀y − ˙˙ xf (x₀).

Si y0 6= 0, entonces dE_(x₀_,y₀₎(0, y0) = y₀² 6= 0. Si y0 = 0 pero f (x0) 6= 0, tenemos dE_(x₀_,y₀₎(f (x0), 0) = −f (x0)² 6= 0. Y si y0 = 0 y f (x0) = 0 entonces dE_(x₀_,y₀₎ = 0 luego deducimos:

Los ´unicos puntos cr´ıticos de E son las posiciones de equilibrio en el espacio de fases.

Las posiciones de equilibrio est´an sobre el eje {y = 0} del espacio de fases, y corresponden a los (x0, 0) tales que x0 es punto cr´ıtico de la energ´ıa potencial (i.e.

dV

dx(x0) = 0).