Funciones de valores vectoriales

Funciones de valores vectoriales

En este capítulo

Una curva en el plano así como una curva C

en el espacio tridimensional

pue-den definirse mediante ecuaciones paramétricas. Al emplear las funciones como componentes

en un conjunto de ecuaciones paramétricas, podemos construir una función de valores

vectoria-les cuyos valores son los vectores de posición de los puntos sobre la curva C. En este capítulo

consideraremos el cálculo y las aplicaciones de estas funciones vectoriales.

655

12.1 Funciones vectoriales

12.2 Cálculo de funciones vectoriales 12.3 Movimiento sobre una curva 12.4 Curvatura y aceleración

Revisión del capítulo 12

Capítulo 12

y C z x r(t₀) (x(t₀), y(t₀), z(t₀)) x(t₀), y(t₀), z(t₀) 12Zill655-680.qxd 26/9/10 18:32 Página 655

12.1

Funciones vectoriales

Introducción Vimos en la sección 10.2 que una curva Cen el plano xypuede parametrizar-se mediante dos ecuaciones

(1) En ciencias e ingeniería muchas veces es conveniente introducir un vector rcon las funciones f y gcomo componentes:

(2) donde y En esta sección se estudian los análogos de (1) y (2) en tres dimen-siones.

Funciones de valores vectoriales Una curva Cen el espacio tridimensional, o una curva espacial, se parametriza mediante tres ecuaciones

(3) Como en la sección 10.2, la orientaciónde Ccorresponde a valores crecientesdel parámetro t. Al emplear las funciones en (3) como componentes, la contraparte en el espacio tridimensional de (2) es

(4)

donde j=80, 1, 09y Afirmamos que ren (2) y (4) es una función de

valores vectoriales, o simplemente una función vectorial. Como se ilustra en laFIGURA 12.1.1, para un número dado t0, el vector r(t0) es el vector de posiciónde un punto Psobre la curva C. En otras palabras, cuando varía t, podemos prever la curva Ccomo si fuera trazada por la punta de flecha móvil de

Rectas Ya se dio un ejemplo de ecuaciones paramétricas así como la función vectorial de una curva espacial en la sección 11.5 donde analizamos la recta en el espacio tridimensional. Recuerde, las ecuaciones paramétricas de una recta Lque pasa por un punto en el

espacio y es paralela a un vector son

Estas ecuaciones resultan del hecho de que los vectores y vson paralelos de modo que es un múltiplo escalar de v, esto es, . En consecuencia, una función vectorial de la recta Lestá dada por La última ecuación se expresa en las formas alternas

y

Si y son los vectores de posición de dos puntos distintos P0y P1,

entonces podemos considerar Una función vectorial

de la recta que pasa por los dos puntos es o

(5) r(t)⫽r0⫹t(r1⫺r0) ⫽8x1⫺x0, y1⫺y0, z1⫺z09. v⫽r1⫺r0 r1⫽8x1, y1, z19 r0⫽8x0, y0, z09 r(t)⫽(x0⫹at)i⫹(y0⫹bt)j⫹(z0⫹ct)k. r(t)⫽8x0⫹at, y0⫹bt, z0⫹ct9 r(t)⫽r0⫹tv. r⫺r0⫽tv r⫺r0 r⫺r0 x⫽x0⫹at, y⫽y0⫹bt, z⫽z0⫹ct, ⫺q 6 t 6 q. v⫽8a, b, c9, v⫽0, P0(x0, y0, z0) y C x r(t₀) x(t₀), y(t₀) (x(t₀), y(t₀)) a) Espacio bidimensional y C z x (x(t₀), y(t₀), z(t₀)) r(t₀) x(t₀), y(t₀), z(t₀) b) Espacio tridimensional FIGURA 12.1.1 Funciones vectoriales en los espacios bidimensional y tridimensional

r(t). k⫽80, 0, 19. i⫽81, 0, 09, x⫽f(t), y⫽g(t), z⫽h(t), aⱕtⱕb. j⫽80, 19. i⫽81, 09 x⫽f(t), y⫽g(t), aⱕtⱕb. r(t) 8f(t), g(t)9 f(t)i g(t)j, r(t) 8f(t), g(t), h(t)9 f(t)i g(t)j h(t)k, r(t) (1 t)r0 tr1.

Si el intervalo del parámetro es cerrado entonces la función vectorial (5) traza el

segmen-to de recta entre los puntos definidos por y En particular, si y r =

(1 -t)r₀+tr1, entonces la orientación es tal que r(t) traza el segmento de recta del punto P₀al

punto P1.

EJEMPLO 1 Gráfica de una función vectorial

Encuentre una función vectorial del segmento de recta del punto al punto P1 (1, 4, 5).

Solución Los vectores de posición correspondientes a los puntos dados son y Entonces, de (5) una función vectorial para el segmento de recta es

o

donde La gráfica de la ecuación vectorial está dada en laFIGURA 12.1.2.

EJEMPLO 2 Gráfica de una función vectorial

Grafique la curva Ctrazada por la función vectorial

Solución Las ecuaciones paramétricas de la curva Csonx=2 cos t, y=2 sent, Al

eli-minar el parámetro tde las primeras dos ecuaciones,

observamos que un punto sobre la curva yace en el cilindro circular Como adver-timos en laFIGURA 12.1.3y la tabla adjunta a la misma, cuando aumenta el valor de t, la curva se enrolla hacia arriba en una espiral cilíndrica o una hélice circular.

Curvas helicoidales La curva en el ejemplo 2 es una de varios tipos de curvas espaciales conocidas como curvas helicoidales. En general, una función vectorial de la forma

(6) describe una hélice circular. El número recibe el nombre de horquillade una hélice. Una hélice circular es sólo un caso especial de la función vectorial

(7) que describe una hélice elípticacuando La curva definida por

(8) se denomina hélice cónica. Por último, una curva dada por

(9) se llama hélice esférica. En (6)-(9) se supone quea,b,cy kson constantes positivas.

a⫽b. 2pc>k

FIGURA 12.1.3 Gráfica de la función vectorial del ejemplo 2

t x y z ␲/2 ␲/2 2 0 0 2 0 0 2␲ 2␲ 2 0 4␲ 4␲ 2 0 5␲/2 5␲/2 2 0 9␲/2 9␲/2 2 0 ␲ ␲ 0 2 3␲/2 3␲/2 0 2 7␲/2 7␲/2 0 2 3␲ 3␲ 0 2 2, 0, 3␲ 2, 0, 4␲ 2, 0, 2␲ (2, 0, 0) 0,2, 冹 冹 冹 冹 冹 冹 冹 冹 0,2, 冹 冹 0, 2, 冹 冹 冹 2, 0,␲冹 冹 冹 0, 2, 冹 0, 2, cilindro x2y24 z y x 2 7␲ 2 3␲ 2 9␲ 2 5␲ 冹 2 ␲ x2⫹y2⫽4. z⫽t. 0ⱕtⱕ1. r(t)⫽83⫺2t, 2⫹2t, ⫺1⫹6t9, r(t)⫽(1⫺t)83, 2, ⫺19⫹t81, 4, 59 r1⫽81, 4, 59. r0⫽83, 2, ⫺19 P0(3, 2, ⫺1) 0ⱕtⱕ1 r(b). r(a) [a, b] , 12.1 Funciones vectoriales 657 z x y P 0(3, 2,1) P₁(1, 4, 5)

FIGURA 12.1.2 Segmento de recta del ejemplo 1

La hélice definida por (6) se enrolla hacia arriba a lo largo

del eje z. La horquilla es la

separación vertical de los lazos de la hélice.

r(t) 2costi 2sentj tk, t 0.

x2 y2 (2cost)2 (2sent)2 22,

r(t) asenktcosti asenktsentj acosktk r(t) atcoskti btsenktj ctk

r(t) acoskti bsenktj ctk,

r(t) acoskti asenktj ctk

EJEMPLO 3 Curvas helicoidales

a) Si se intercambian, por ejemplo, las componentes yy zde la función vectorial (7), obte-nemos una hélice elíptica que se enrolla lateralmente a lo largo del eje y. Por ejemplo, con la ayuda de un SAC, la gráfica de la hélice elíptica

se muestra en laFIGURA 12.1.4a).

b) La figura 12.1.4b) muestra la gráfica de

e ilustra por qué una función vectorial de la forma dada en (8) define a una hélice cóni-ca. Para mayor claridad, se ha decidido suprimir la caja que por omisión rodea a la sali-da 3D de Mathematica.

EJEMPLO 4 Gráfica de una función vectorial

Grafique la curva trazada por la función vectorial

Solución Las ecuaciones paramétricas de la curva son las componentes de la función vectorial x=2 cos t, y=2 sen t, z⫽3. Como en el ejemplo 1, advertimos que un punto sobre la curva

debe yacer sobre el cilindro Sin embargo, puesto que la coordenada zde cualquier punto tiene el valor constante la función vectorial r(t) traza un círculo en el plano 3 uni-dades arriba y paralelo al plano xy. Vea laFIGURA 12.1.5.

EJEMPLO 5 Curva de intersección de dos superficies

Determine la función vectorial que describe la curva Cde intersección del plano y el paraboloide

Solución Primero se parametriza la curva C de intersección dejando Se deduce que

y De acuerdo con las ecuaciones paramétricas

vemos que una función vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano está dada por

Vea la FIGURA 12.1.6.

EJEMPLO 6 Curva de intersección de dos cilindros

Encuentre la función vectorial que describe la curva Cde intersección de los cilindros y Solución En el espacio bidimensional la gráfica de es una parábola en el plano xyy por ello en el espacio tridimensional es un cilindro parabólico cuyo bastidor es perpendicular al

y⫽x2 z⫽x3_. y⫽x2 r(t)⫽ti⫹2tj⫹(9⫺5t2)k. y⫽2x x⫽t, y⫽2t, z⫽9⫺5t2, ⫺q 6 _t 6 q_, z⫽9⫺t2_⫺(2t)2_⫽9⫺5t2_. y⫽2t x⫽t. z⫽9⫺x2_⫺y2_. y⫽2x z⫽3, x2_⫹y2_⫽4. 2 1 0 1 2 0 x a) Hélice elíptica z 2 4 40 20 0 y 4 2 0 0 x b) Hélice cónica z y 25 25 25 50 25 50 50 50 0 25 50 2550

FIGURA 12.1.4 Curvas helicoidales del ejemplo 3

z x y x2y24, z3 FIGURA 12.1.5 Círculo en un plano en el ejemplo 4 z9x2y2 y2x x2y29 C y z x FIGURA 12.1.6 Curva Cde intersección del ejemplo 5

r(t) tcosti tsentj tk r(t) 4costi tj 2sentk

plano xy, esto es, paralelo al eje z. Vea laFIGURA 12.1.7a). Por otro lado, puede interpretar-se como un cilindro cúbico cuyo bastidor es perpendicular al plano xz, esto es, paralelo al eje y. Vea la figura 12.1.7b). Como en el ejemplo 5, si se deja entonces y Una fun-ción vectorial que describe a la curva Cde intersección de los dos cilindros es entonces

(10) donde

La curva Cdefinida por la función vectorial (10) recibe el nombre de cúbica trenzada. Con la ayuda de un SAC se ha graficado en laFIGURA 12.1.8. Las partes a) y b) de la figura muestran dos perspectivas, o puntos de vista, distintas de la curva Cde intersección de los cilindros y En la figura 12.1.8c) advertimos la naturaleza cúbica de C uti-lizando un punto de vista que es hacia el plano xz. La cúbica trenzada tiene varias propiedades de interés para los matemáticos y por ello se estudia frecuentemente en cursos avanzados de geo-metría algebraica. 1 0.5 1 1 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 1 0.5 0 0 0.5 1 1 0.5 0 1 0.5 0 0 0.5 0.5 0 z x y y z x z 1 1 0 0 y x

a) Viendo hacia arriba la curva b) Viendo hacia abajo la curva c) Viendo en el plano xz

FIGURA 12.1.8 Cúbico trenzado del ejemplo 6

z⫽x3_. y⫽x2 r(t)⫽ti⫹t2_j⫹t3_k z x y x y x y 5 5 1 a) yx2 b) zx3 c) 2 2 1 4 3 2 1 0 0 0 z 5 5 1 1 2 2 5 4 32 1 2 1 0 0 4 3 2 1 0 5 z 0 2 ₁ 0 0

FIGURA 12.1.7 a) y b) dos cilindros; c) curva Cde intersección en el ejemplo 6

⫺q 6 _t 6 q_. r(t)⫽ti⫹t2_j⫹t3_k, z⫽t3_. y⫽t2 x⫽t, z⫽x3 12.1 Funciones vectoriales 659 Fundamentos

En los problemas 1-4, encuentre el dominio de la función vec-torial dada.

1. 2.

En los problemas 5-8, escriba las ecuaciones paramétricas dadas como una función vectorial

7. 8. x⫽ ⫺16t2_{, y⫽50t, z⫽10} x⫽e⫺t, y⫽e2t_{, z⫽e}3t r(t). r(t)⫽(t⫹1)i⫹ln(1⫺t2_)j r(t)⫽ 2t2_⫺9i⫹3tj

Ejercicios 12.1 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-38.

3. 4. r(t) e t_{i costj sen2tk} r(t) ti 1 2t 2 j sen 1tk 5. 6. x cos2_{t, y 2sen}2_{t, z t}2

x senpt, y cospt, z cos2_pt

En los problemas 9-12, escriba la función vectorial dada como ecuaciones paramétricas.

En los problemas 13-22, grafique la curva trazada por la fun-ción vectorial que se indica.

En los problemas 23 y 24, grafique la recta cuya función vec-torial se indica.

23. 24.

25. Encuentre una función vectorial para el segmento de recta en el espacio bidimensional con orientación tal que

traza la recta desde el punto hasta el Dibuje el segmento de recta.

26. Determine una función vectorial para el segmento de recta en el espacio tridimensional con orientación tal que

traza la recta desde el punto hasta Dibuje el segmento de recta.

En los problemas 27-32, encuentre la función vectorial r(t) que describe la curva Cde intersección entre las superficies dadas. Dibuje la curva C. Emplee el parámetro indicado.

En los problemas 33-36, asocie la gráfica indicada con una de las funciones vectoriales en a)-d).

a) b) c) d)

33.

FIGURA 12.1.9 Gráfica del problema 33 34.

FIGURA 12.1.10 Gráfica del problema 34 35.

FIGURA 12.1.11 Gráfica del problema 35 36.

FIGURA 12.1.12 Gráfica del problema 36

37. Demuestre que los puntos sobre una hélice cónica

yacen sobre un cono elíptico cuya ecuación es z2 c2⫽ x2 a2 ⫹ y2 b2 . a 7 0, b 7 0, c 7 0, 0.5 1 0.5 0.5 1 1 0 0.5 10 0 7.5 5 2.5 0 1 x y z 11 0.5 0.5 x y 10 5 0 1 0.5 0.5 1 0 0 z 1 0.5 ₀ 0.5 0.5 1 1 1 0.5 0 x y 2 1.5 1 z 0.5 0 1 0.5₀ 1 6 4 z x y 2 0 6 4 2 0 0.5 (0, 0, 0). (1, 1, 1) r(t) (0, 3). (4, 0) r(t) r(t)⫽(2⫹3t)i⫹(3⫹2t)j⫹5tk r(t)⫽(4⫺4t)i⫹(2⫺2t)j⫹3tk r(t) 9. 10. 11.

12. r(t) 5sentsen3ti 5cos3tj 5costsen3tk r(t) lnti (1 t)j t3k r(t) tsent(i k) r(t) t2_{i sentj costk} 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. r(t) 8tcost, tsent, t29 r(t) et_{costi e}t_{sentj e}t_k r(t) ti t3_{j tk}

r(t)

H

12sent, 12sent, 2cost

I

, 0 t p>2

r(t) coshti 3senhtj r(t) 8et_{, e}2t9 r(t) 4i 2costj 3sentk r(t) ti 2tj costk, t 0 r(t) ti costj sentk, t 0 r(t) 2senti 4costj tk, t 0 27. 28. 29. 30. 31. 32. 3x 2y z 6, x 1; y t x y z 1, y x; x t z x2 y2, z 1; x sent x2 _y2 _{9, z 9 x}2_{; x 3cost} x2 _y2 _z2 _{1, y 2x; x t} z x2 _y2_{, y x; x t} cos3_{ti sen}3_{tj 5k}

r(t) costi sentj (1 sent)k

r(t) sen6ti tj tk r(t) ti cos3tj sen3tk

r(t)

38. Una variación de la hélice cónica del problema 37 está dada por

a) antes de graficar r(t) analice la orientación de la curva.

b) Utilice un SAC para graficarr(t). Experimente con el intervalo del parámetro y el punto de vista de la curva.

39. La función vectorial

describe también a una hélice cónica. Demuestre que los puntos sobre esta héli-ce cónica yahéli-cen sobre un cono elíptico cuya ecuación está dada en el problema 37.

40. Un caso especial de la curva en el problema 39 está dado por

a) Emplee un SAC para graficar r(t) en relación con -30

ⱕtⱕ30.

b) Reexamine la figura 12.1.4b). Luego discuta la dife-rencia geométrica básica entre la hélice cónica en el problema 37 y la que se da en el problema 39.

41. Demuestre que los puntos sobre una hélice esférica

yacen sobre una esfera de radio

42. Un caso especial de la curva en el problema 41 está dado por

Utilice un SAC para graficarr(t) respecto a k=_{1, 2, 3, 4,}

10, 20 y Experimente con diferentes

pers-pectivas de las gráficas.

43. a) Use un SAC para superponer las gráficas de los

cilin-dros y sobre los mismos ejes de

coordenadas.

b) Encuentre funciones vectoriales que describan las dos curvas de intersección de los cilindros.

c) Emplee un SAC para dibujar ambas curvas en el inci-so b). Superponga las curvas sobre los mismos ejes de coordenadas. Experimente con la perspectiva hasta que la visualización de las gráficas tenga sentido.

44. Suponga que r(t) es una función vectorial no constante que define a una curva C con la propiedad

donde es una constante. Describa geométricamen-te a la curva C.

Problemas con calculadora/SAC

45. Use un SAC para graficar la función vectorial

para Experimente con diferentes

perspecti-vas de la gráfica. Discuta por qué la curva se denomina una espiral toroidal.

46. Utilice un SAC para graficar la función vectorial

para -10pⱕtⱕ10py k=0.1, 0.2, 03. Experimente con

diferentes perspectivas de la gráfica. La curva se conoce como espiral esférica.

En los problemas 47 y 48, emplee un SAC para graficar la función vectorial dada relativa a los valores indicados de k. Experimente con diferentes perspectivas de la gráfica.

0ⱕtⱕ2p. a 7 ₀ 冟r(t)冟⫽a, z⫽4⫺y2 z⫽4⫺x2 0ⱕtⱕ2p. a 7 _0. a 7 0, b 7 0, c 7 0, k 7 0

12.2 Cálculo de funciones vectoriales 661

12.2

Cálculo de funciones vectoriales

Introducción En esta sección consideraremos el cálculo de funciones de valores vectoriales, en otras palabras, límites, derivadas e integrales de función vectorial. Como los conceptos son similares a los que se discutieron en la sección 10.3, se recomienda un repaso de esa sección.

Límites y continuidad La noción fundamental de límite de una función vectorial r(t) =

8f(t), g(t), h(t)9se define en términos de los límites de las funciones componentes.

El símbolo en la definición 12.2.1 puede, desde luego, sustituirse portSa+,tSa-,

tS q, o tS - q.

tS_a

Definición 12.2.1 Límite de una función vectorial

Si f(t), g(t) y h(t) existe, entonces (1) lím tS_a lím tS_a lím tS_a lím tSar(t)

H

límtSa f(t), lím tSa g(t), lím tSa h(t)

I

. 47.

48. r(t) senti costj ln(kt)sentk; k 101, 1

r(t) senktsenti senktcostj sentk; k 2, 4 sen(arctankt)k

r(t) cos(arctankt)costi cos(arctankt)sentj r(t) (10 sen20t)costi (10 sen20t)sentj cos2tk

r(t) senktcosti senktsentj cosktk.

r(t) asenktcosti asenktsentj acosktk r(t) 1 2e 0.05t_costi 1 2e 0.05t_{sentj e}0.05t_k. r(t) aektcosti bektsentj cektk, r(t) ti tcostj tsentk. 12Zill655-680.qxd 26/10/10 13:03 Página 661

Como una consecuencia inmediata de la definición 12.2.1, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 12.2.1 Propiedades de los límites

Suponga que aes un número real y r1(t) y r2(t) existe. Si r1(t) =L₁y r2(t) =L2,

entonces i) ii) iii) lím tSa lím tSa lím tSa lím tSa Definición 12.2.2 Continuidad

Una función vectorial res continuaen el número asi

i) es definido, ii) r(t) existe y iii) límr(t) =r(a).

tSa

lím

tSa r(a)

Definición 12.2.3 Derivada de una función vectorial

La derivada de una función vectorial res

(3) para toda tpara la cual existe el límite.

Teorema 12.2.2 Diferenciación

Si las funciones componentesf,gy hson diferenciables, entonces la derivada de la función vectorial está dada por

(4) r(t)

Equivalentemente la función vectorial es continua en un número asi y

sólo si las funciones componentesf,gy hson continuas en a. Por brevedad, a menudo afirma-mos que una función vectorial es continua en un número asi

(2) Escribiendo (2) se supone que las condiciones i) y ii) de la definición 12.2.2 se cumplen en un número a.

Derivada de una función vectorial La definición de derivada de una función vectorial es el equivalente vectorial de la definición 3.1.1. En la siguiente definición se asume que h representa a un número real distinto de cero.

r(t)

r¿(t)

r(t)

r(t)⫽8f(t), g(t), h(t)9

La derivada de rtambién se escribe El siguiente teorema muestra que en un nivel práctico, se obtiene la derivada de una función vectorial diferenciando simplemente sus funcio-nes componentes. dr>dt. lím tSar1(t) . r2(t) L1 . L2. lím tSa[r1(t) r2(t) ] L1 L2 lím tSacr1(t) cL1, c un escalar lím tSar(t) r(a). r¿(t) lím hS0 r(t h) r(t) h r¿(t) 8f¿(t), g¿(t), h¿(t)9.

DEMOSTRACIÓN De (3) tenemos

Curvas suaves Cuando las funciones componentes de una función vectorial rtienen prime-ras derivadas continuas y para toda ten un intervalo abierto entonces rse dice que es una función suavey la curva Ctrazada por rse denomina curva suave.

Interpretación geométrica de r¿(t) Si el vector existe y no es 0en el punto Psobre la

curva Cdefinida por la función vectorial entonces la derivada se define como el vector tangentea la curva en P. La justificación de lo anterior es similar a la discusión que llevó a la definición 2.7.1 en la sección 2.7. Como puede verse en lasFIGURAS 12.2.1a)y b), para el

vector y el múltiplo escalar

son paralelos. Suponiendo que el límite

existe, entonces los vectores y se vuelven cada vez más cercanos cuando Como sugieren las figuras 12.2.1b) y c), la posición límite del vector es un vector sobre la recta tangente en P. También definimos la recta tangentecomo la recta que pasa por Pque es paralela al vector

EJEMPLO 1 El vector

Considere la curva Cen el espacio bidimensional que es trazada por un punto Pcuya posición está dada porr(t) =_{cos 2}ti+_sentj_, -p兾₂ⱕtⱕp兾_{2. Encuentre la derivada y grafique los}

vectores y

Solución La curva Ces suave debido a que las funciones componentes de r(t) =_{cos 2}ti+_sentj

tienen derivadas continuas y sobre el intervalo abierto De (4),

En consecuencia,

Para graficar C primero eliminamos el parámetro de las ecuaciones paramétricas x =_{cos 2}t_,

y=_sent_:

Puesto que advertimos que la curva C es la porción de la parábola

sobre el intervalo definido por Los vectores y se

dibu-jan tangentes a la curva Cen (1, 0) y A12, respectivamente. Vea laFIGURA 12.2.2. 1 2B, r¿₍p>₆₎ r¿₍₀₎ ⫺1ⱕxⱕ1. x⫽1⫺2y2 ⫺p>2ⱕtⱕp>2, (⫺p>2, p>2). r(t)⫽0 r¿₍p>_6). r¿₍₀₎ r¿_(t) r¿(t)

FIGURA 12.2.1Vector tangente en Psobre una curva C recta tangente P C z x y r(th)r(t) r(th) r(t) a) Vector secante recta tangente P C z x y r(th) r(t)

b) Múltiplo escalar del vector secante

r(th)r(t) h recta tangente P C z x y r(t) r(t) c) Vector tangente r¿(t). [r(t⫹h)⫺r(t) ]>h hS0. r(t⫹h) r(t) 1 h冤r(t⫹h)⫺r(t)冥⫽ r(t⫹h)⫺r(t) h r(t⫹h)⫺r(t) h 7 0 r¿(t) r(t), r¿(t) (a, b), r¿(t)⫽0

12.2 Cálculo de funciones vectoriales 663

C r(0) x y (1, 0) x12y2 , r 冹 冹 冹 冹 6 ␲ 2 1 2 1 FIGURA 12.2.2 Curva Cy vectores del ejemplo 1

8f¿(t), g¿(t), h¿(t)9. hlím hS0 f(t h) f(t) h , límhS0 g(t h) g(t) h , límhS0 h(t h) h(t) h i lím hS0h f(t h) f(t) h , g(t h) g(t) h , h(t h) h(t) h i r¿(t) lím hS0 1 h[8f(t h), g(t h), h(t h)9 8f(t), g(t), h(t)9] lím hS0 r(t h) r(t) h

x cos2t cos2t sen2t 1 2sen2t 1 2y2.

r¿(0) j y r¿(p>6) 13i 1

213j.

r¿(t) 2sen2ti costj.

EJEMPLO 2 Ecuaciones paramétricas

Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva Ccuyas ecuaciones

para-métricas son en el punto correspondiente a

Solución La función vectorial que produce la posición de un punto Psobre la curva está dada

por Ahora,

y

El vector es tangente a Cen el punto Pcuyo vector de posición es

esto es, en el punto Al emplear las componentes de advertimos que las

ecua-ciones paramétricas de la recta tangente son

Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior de una función vectorial se obtienen también diferenciando sus componentes. En el caso de la segunda derivada, tenemos (5)

EJEMPLO 3 Vectores y

Si entonces

y

En el siguiente teorema se enlistan algunas reglas de diferenciación para funciones vectoriales. r–(t)⫽(6t⫺4)i⫹e⫺tk. r¿(t)⫽(3t2⫺4t)i⫹4j⫺e⫺tk r(t)⫽(t3_⫺2t2_)i⫹4tj⫹e⫺t_k, r–(t) r¿(t) x⫽9⫹6t, y⫽6⫹5t, z⫽ ⫺21⫺7t. r¿(3), P(9, 6, ⫺21). r(3)⫽9i⫹6j⫺21k, r¿(3) r¿(3)⫽6i⫹5j⫺7k. r¿(t)⫽2ti⫹(2t⫺1)j⫺7k r(t)⫽t2 _i⫹(t2_{⫺t)j⫺7tk.} t⫽3. z⫽ ⫺7t y⫽t2_⫺t, x⫽t2_,

Teorema 12.2.3 Reglas de diferenciación

Considere quer,r1y son funciones vectoriales diferenciables y es una función escalar diferenciable.

f(t) r2

DEMOSTRACIÓN DE iv) Si r1(t) =8f1(t), g1(t), h1(t)9y r2(t) =8f2(t), g2(t), h2(t)9, entonces por (2) de la sección 11.3 el producto punto es la función escalar

Después de usar la regla del producto agrupamos los términos en rojo y los términos que se muestran en azul:

Nota: Puesto que el producto cruz de dos vectores no es conmutativo, el orden en el cual y aparecen en la parte v) del teorema 12.2.3 debe observarse estrictamente. Desde luego, en iv) y v) podemos efectuar el producto punto y el producto cruz primero y después diferenciar el escalar o la función vectorial resultantes.

r2 r1 r1(t) . r2(t)⫽f1(t)f2(t)⫹g1(t)g2(t)⫹h1(t)h2(t). r–(t) 8f–(t), g–(t), h–(t)9 f–(t)i g–(t)j h–(t)k. i) ii)

iii) (regla de la cadena)

iv) v) d dt[r1(t) r2(t) ] r1(t) r2¿(t) r¿1(t) r2(t) d dt[r1(t) . r2(t) ] r1(t) . r¿2(t) r1¿(t) . r2(t) d dt[r(f(t)) ] r¿(f(t))f¿(t) d dt[f(t)r(t) ] f(t)r¿(t) f¿(t)r(t) d dt[r1(t) r2(t) ] r¿1(t) r¿2(t) r1(t) . r2¿(t) r1¿(t) . r2(t). 8f1(t), g1(t), h1(t)9.8f¿2(t), g¿2(t), h¿2(t)9 8f¿1(t), g¿1(t), h¿1(t)9 . 8f2(t), g2 (t), h2(t)9 f1(t)f¿2(t) f¿1 (t)f2 (t) g1(t)g2¿(t) g¿1 (t)g2 (t) h1(t)h¿2(t) h1 ¿(t)h2(t) d dtr1(t) . r2(t) d dtf1(t)f2(t) d dtg1(t)g2(t) d dth1(t)h2(t)

Integrales de funciones vectoriales Si es una función vectorial continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral indefinida de restá definida por

La integral indefinida de r es otro vector donde C es un vector constante, tal que Debido a la continuidad de las funciones componentes f, gy h, la integral definida

de sobre puede definirse como

En otras palabras,

El teorema fundamental del cálculo, extendido a funciones vectoriales, es

donde Res una función vectorial tal que

EJEMPLO 4 Integrales

a) Si

donde Las componentes c1, c2y c3del último vector son

cons-tantes reales arbitrarias.

b) Si

Longitud de una curva espacial En la sección 10.3 vimos que la fórmula de la longitud de arco para una curva suave Cen el espacio bidimensional definida por las ecuaciones

paramétri-cas es

De manera similar, si Ces una curva suave en el espacio tridimensional definida por las ecua-ciones paramétricas

entonces como hicimos en la sección 10.3 podemos construir una integral definida utilizando una trayectoria poligonal, como se ilustra en laFIGURA 12.2.3, para llegar a la integral definida

(6) x⫽f(t), y⫽g(t), z⫽h(t), aⱕtⱕb, L⫽

冮

b a 2[f¿_{(t) ]}2⫹ _[g¿_(t)]2_dt⫽

冮

b aB adx_dtb2⫹ad_dtyb2dt. aⱕtⱕb, y⫽g(t), x⫽f(t), C⫽c1i⫹c2j⫹c3k. R¿(t)⫽r(t). [a, b] r(t) R¿(t)⫽r(t). R⫹C, r(t)⫽f(t)i⫹g(t)j⫹h(t)k

12.2 Cálculo de funciones vectoriales 665

FIGURA 12.2.3 Aproximación de la longitud de C(azul) por medio de la longitud de una trayectoria poligonal (rojo) y C x z (ƒ(b), g(b), h(b)) (ƒ(a), g(a), h(a)) b a r(t)dt R(t)d b a R(b) R(a), b a r(t)dt c b a f(t)dtdi c b a g(t)dtdj c b a h(t)dtdk. clím nSqa n k 1 f(t* k)¢tdi clím nSqa n k 1 g(t* k)¢tdj clím nSqa n k 1 h(t* k)¢tdk. b a r(t)dt lím nSqa n k 1 r(t* k)¢t r(t)dt c f(t)dtdi c g(t)dtdj c h(t)dtdk. r(t) (4t 3)i 12t2j 2 1 t2k, entonces 2t3_{i 2e} 2t_{j 2sen4tk C,} [ 2t3 c1]i [ 2e 2t c2]j [ 2sen4t c3]k r(t)dt c 6t2_dtd_i c _4e 2t_dtd_j c _8cos4tdtd_k r(t) 6t2i 4e 2tj 8 cos4tk, entonces L b a 2[f¿(t) ]2 [g¿(t) ]2 [h¿(t) ]2dt b a B adx dtb 2 ady dtb 2 adz dtb 2 dt 6i 8j pk. a i 4j 2 . p 4kb a5i 4j 2 . p 4kb 1 1 r(t)dt (2t2 3t)i 4t3j 2tan 1tkd 1 1 12Zill655-680.qxd 26/9/10 18:32 Página 665

que define la longitudLde la curva entre los puntos y Si la curva Cse traza por medio de una función suave de valores vectoriales entonces su longi-tud entre el punto inicial en t=ay el punto terminal en t=bpuede expresarse en términos de

la magnitud de

(7)

En (7), es

dependiendo de si Cestá en el espacio bidimensional o tridimensional, respectivamente. Función de la longitud de arco La integral definida

(8) se llama la función de longitud de arcopara la curva C. En (8) el símbolo ues una variable de integración sustituta. La función representa la longitud de Centre los puntos sobre la curva definida por los vectores de posición y Muchas veces es útil parametrizar una curva suave Cen el plano o en el espacio en términos de la longitud de arco s. Al evaluar (8) se expresa scomo una función del parámetro t. Si podemos resolver esa ecuación para ten térmi-nos de s, entonces es factible expresar r(t) =8f(t), g(t)9o r(t) =8f(t), g(t), h(t)9como

r(s) =8x(s), y(s)9 o r(s) =8x(s), y(s), z(s)9.

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para determinar una parametrización de lon-gitud de arco para una curva C.

EJEMPLO 5 Una parametrización de longitud de arco

Encuentre una parametrización de longitud de arco de la hélice circular del ejemplo 2 de la sec-ción 12.1:

r(t) =2 cos ti+2 sen tj+tk.

Solución De r¿(t) = -2 sen ti+2 costj+k se encuentra Se deduce de (8) que

la longitud de la curva empezando en hasta un punto arbitrario definido por es

Al resolver para tse encuentra que Al sustituir respecto a ten

obtene-mos una función vectorial de la hélice como una función de la longitud de arco:

(9) Las ecuaciones paramétricas de la hélice son entonces

Advierta que la derivada de la función vectorial (9) respecto a la longitud de arco ses

y su magnitud es

El hecho de que indica que es un vector unitario. Esto no es coincidencia. Como hemos visto, la derivada de una función vectorialr(t)con respecto al parámetro tes un vector

r¿(s) 0r¿(s)0 ⫽1 r(t) t⫽s>15. s⫽ 15t s⫽

冮

t 0 15du⫽ 15ud t 0⫽ 15t. r(t) r(0) 0r¿(t)0 ⫽ 15. r(s) r(t). r(a) s(t) s(t)⫽

冮

t a 0r¿(u)0du 0r¿(t)0 r¿(t): r(t), (f(b), g(b), h(b)). (f(a), g(a), h(a)) Revise (5) en la sección 6.5.

Es particularmente fácil encon-trar una parametrización de lon-gitud de arco de una recta

Vea el problema 49 en los ejercicios 12.2. r(t)⫽r0⫹tv. 0r¿(t)0 2[f¿(t)]2 _{[g¿(t) ]}2 _o 0_r¿(t)0 _{2[f¿(t) ]}2 _{[g¿(t) ]}2 _{[h¿(t) ]}2 L b a 0r¿(t)0dt. 0r¿(s)0 A45sen 2 s 15 4 5cos 2 s 15 1 5 A 5 5 1. r¿(s) 2 15sen s 15i 2 15cos s 15j 1 15k x 2cos s 15, y 2sen s 15, z s 15 . r(s) 2cos s 15i 2sen s 15j s 15k.

tangente a la curva Ctrazada por r. Sin embargo, si la curva Cse parametriza en términos de la longitud de arco s, entonces:

• La derivada r¿₍s_{) es un vector tangente unitario. (10)}

Para ver por qué esto es así, recuerde que la forma de la derivada del teorema fundamental del cálculo, teorema 5.5.2, muestra que la derivada de (8) con respecto a tes

(11) Sin embargo, si la curva Ces descrita por una parametrización de longitud de arcor(s), enton-ces (8) muestra que la longitud sde la curva de a es

(12) Como , la derivada de (12) con respecto a ses

En la siguiente sección veremos por qué (10) es importante.

d dss⫽1 s⫽

冮

s 0 0r¿_(u)0_du. r(s) r(0) ds dt ⫽ 0r¿(t)0.

12.2 Cálculo de funciones vectoriales 667

Fundamentos

En los problemas 1-4, evalúe el límite dado o enuncie que éste no existe.

En los problemas 5 y 6, suponga que

Encuentre el límite dado.

En los problemas 7 y 8, determine si la función vectorial indi-cada es continua en t⫽1.

En los problemas 9 y 10, encuentre los dos vectores indicados para la función vectorial dada.

9. 10.

En los problemas 11-14, determine y para la función vectorial dada.

En los problemas 15-18, grafique la curva Cque es descrita por y grafique en el punto correspondiente al valor indicado de t.

En los problemas 19 y 20, encuentre ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva dada en el punto correspondien-te al valor que se indica de t.

19. 20.

En los problemas 21 y 22, determine un vector tangente uni-tario para la curva dada en el punto correspondiente al valor que se indica de t. Encuentre ecuaciones paramétricas de la recta tangente en este punto.

x⫽t3⫺t, y⫽ 6t t⫹1, z⫽(2t⫹1) 2 ; t⫽1 x⫽t, y⫽ 1 2t 2_{, z⫽} 1 3t 3_{; t⫽2} r¿_(t) r(t) r–_(t) r¿_(t)

Ejercicios 12.2 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-39.

r(t)⫽(3t⫺1)i⫹4t2j⫹(5t2⫺t)k; r¿_(1), r(1.1)⫺r(1) 0.1 r(t)⫽ 1 1⫹5ti⫹(3t 2_{⫹t)j⫹(1⫺t)}3 _{k; r¿(0),} r(0.05)⫺r(0) 0.05 d dss 0r¿(s)0 o 0r¿(s)0 1. 1. 2. 3. 4. y . 6 . 5 7.

8. r(t) senpti tanptj cosptk r(t) (t2 _2t)i 1 t 1j ln(t 1)k lím tSar1(t) .r2(t) lím tSa[ 4r1(t) 3r2(t) ] lím tSar2(t) 2i 5j 7k. lím tSar1(t) i 2j k lím tSqh e2t 2e2t _t, e t 2e t 5, tan 1_ti lím tS1h t2 1 t 1, 5t 1 t 1, 2et 1 2 t 1 i lím tS0 c sen2t t i (t 2) 5_{j tlntk}d lím tS2[t 3_{i t}4_{j t}5_k] 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. r(t) 3costi 3sentj 2tk; t p>4 r(t) 2i tj 4 1 t2k; t 1 r(t) t3_{i t}2_{j; t 1} r(t) 2costi 6sentj; t p>6 r(t) t2_{i t}3_{j tan} 1_tk r(t) 8te2t, t3, 4t2 t9

r(t) 8tcost sent, t cost9

r(t) lnti 1 tj, t 7 0 21. 22. r(t) (1 sen3t)i tan2tj tk; t p r(t) tet_{i (t}2 _{2t)j (t}3 _{t)k; t 0} 12Zill655-680.qxd 26/9/10 18:32 Página 667

En los problemas 23 y 24, encuentre una función vectorial de la recta tangente a la curva dada en el punto correspondiente al valor que se indica de t.

En los problemas 25-30, determine la derivada indicada. Suponga que todas las funciones vectoriales son diferenciables.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

En los problemas 31-34, evalúe la integral dada.

En los problemas 35-38, encuentre una función vectorial que satisfaga las condiciones indicadas.

En los problemas 39-42, encuentre la longitud de la curva tra-zada por la función vectorial dada en el intervalo que se indica.

En los problemas 43-46, emplee (8) y la integración de u=0

a u=t para determinar una parametrización de longitud de

arco para la curva dada. Verifique que es un vector unitario.

Piense en ello

47. Suponga que r es una función vectorial diferenciable para la cual para toda t. Demuestre que el vec-tor tangente es perpendicular al vector de posición

r(t) para toda t.

48. Si ves un vector constante y es integrable sobre demuestre que

49. Suponga que es una ecuación vectorial de

una recta, donde r0y v son vectores constantes. Utilice

la función de longitud de arco para

demostrar que una parametrización de longitud de arco

de la recta está dada por Demuestre

que es un vector unitario. En otras palabras, para obtener una parametrización de longitud de arco de una recta sólo se necesita normalizar al vector v.

50. Emplee los resultados del problema 49 para encontrar una parametrización de longitud de arco de cada una de las siguientes rectas.

a) b) r(t)⫽81⫹t, 1⫹2t, 10⫺t9 r(t)⫽81⫹3t, 2⫺4t9⫽81, 29⫹t83, ⫺49 r¿(s) r(s)⫽r0⫹s v 0v0. s⫽ 兰₀t0r¿(u)0du r(t)⫽r0⫹tv 兰b av . r(t)dt⫽v .兰 b ar(t)dt. [a, b], r(t) r¿_(t) 0r(t)0 ⫽c r¿(s) r(s) r(t) d dt[t 3_r(t2_{) ]} d dt[r1(2t)⫹r2(1>t) ] d dt[r1(t)⫻(r2(t)⫻r3(t)) ] d dt[r(t) . (r¿(t)⫻r–(t)) ] d dt[r(t) . (tr(t))] d dt[r(t)⫻r¿(t) ]

12.3

Movimiento sobre una curva

Introducción Suponga que una partícula o cuerpo se mueve a lo largo de la curva Cde mane-ra que su posición en el tiempo testá dada por la función de valores vectoriales

Podemos describir la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de derivadas de Velocidad y aceleración Si f,gy htienen segundas derivadas, entonces los vectores

(1) (2) se denominan la velocidady la aceleraciónde la partícula, respectivamente. La función escalar (3) es la rapidezde la partícula. La rapidez se relaciona con la longitud de arco. De (7) de la sec-ción 12.2 se observa que si una curva Ces trazada por una función de valores vectoriales suave r(t). r(t)⫽f(t)i⫹g(t)j⫹h(t)k. 0v(t)0 0r¿(t)0 2[f¿(t) ]2 _{[g¿(t) ]}2 _{[h¿(t) ]}2 a(t) r–(t) f–(t)i g–(t)j h–(t)k v(t) r¿(t) f¿(t)i g¿(t)j h¿(t)k 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. r(t) et_{costi e}t_{sentj k} r(t) (1 2t)i (5 3t)j (2 4t)k r(t) 5costi 12tj 5sentk r(t) 9senti 9costj r(t) 3ti 13t2_j 2 3t3k; 0 t 1 r(t) etcos2ti etsen2tj et k; 0 t 3p r(t) ti tcostj tsentk; 0 t p r(t) acosti asentj ctk; 0 t 2p 23. 24. 31. 32. . 4 3 . 3 3 35. 36. 37. 38. r¿(0) i j k, r(0) j 5k

r–(t) sec2_{ti costj sentk;}

r–(t) 12ti 3t 1>2j 2k; r¿(1) j, r(1) 2i k r¿(t) tsent2_{i cos2tj; r(0)} 3 2i r¿(t) 6i 6tj 3t2k; r(0) i 2j k 1 1 t2(i tj t 2_k)dt (tet_{i e} 2t_{j te}t2 k)dt 4 0 A12t 1i 1tj senptkBdt 2 1 (ti 3t2j 4t3k)dt r(t) 86e t>2, e2t, e3t9; t 0 r(t) 8cost, sent, t9; t p>3

entonces su longitud entre el punto inicial en t=ay el punto terminal en t=bestá dada por

En vista de (1) y (3), esto es lo mismo que

(4) Si es la posición de la partícula sobre la curva Cen el tiempo t1, entonces en vista de la discusión en la sección 12.2 acerca de la interpretación geométrica de conclui-mos que

• v(t1) es tangente a la curva Cen P.

Se hacen comentarios similares para curvas trazadas por la función vectorial

EJEMPLO 1 Gráfica de la velocidad y la aceleración

La posición de una partícula en movimiento está dada por Grafique la

curva Cdefinida porr(t) y los vectoresv(2) ya(2).

Solución Puesto que la trayectoria de la partícula está por arriba de la parábola

que yace en el plano xy. Cuando t=2, el vector de posición

indi-ca que la partícula está en el punto sobre C. Ahora,

de modo que

Estos vectores se ilustran en laFIGURA 12.3.1.

Si una partícula se mueve con una rapidez constante c, entonces su vector de aceleración es perpendicular al vector de velocidad v. Para ver lo anterior, advierta que

Diferenciamos ambos lados con respecto a t, y con la ayuda del teorema 12.2.3iv) obtenemos

Entonces, (5)

EJEMPLO 2 Gráfica de la velocidad y la aceleración

Suponga que la función vectorial del ejemplo 4 de la sección 12.1 representa la posición de una partícula que se mueve en una órbita circular. Grafique los vectores de velocidad y aceleración en

Solución La función de valores vectoriales

es el vector de posición de una partícula que se mueve en una órbita circular de radio 2 en el plano z⫽3. Cuando t⫽p兾4, la partícula está en el punto En este caso,

y

Puesto que la rapidez es constante para todo tiempo t, se sigue de (5) quea(t) es per-pendicular av(t). (Verifique lo anterior.) Como se muestra en laFIGURA 12.3.2, los vectores

y

se dibujan en el punto P. El vector es tangente a la trayectoria circular en tanto que apunta a lo largo de un radio hacia el centro del círculo.

a(p>4) v(p>4) 0v(t)0 ⫽2 PA12, 12, 3B. t⫽p>4. P(4, 2, 5) r(2)⫽4i⫹2j⫹5k x⫽y2 y⫽t, x⫽t2, r(t)⫽t2i⫹tj⫹52 tk. r(t)⫽f(t)i⫹g(t)j. r¿_(t) P(x1, y1, z1) L⫽ 兰_ab0r¿_(t)0_dt. r(t),

12.3 Movimiento sobre una curva 669

FIGURA 12.3.1 Vectores de velocidad y aceleración del ejemplo 1

FIGURA 12.3.2 Vectores de velocidad y aceleración del ejemplo 2 y x z P(4, 2, 5) v(2) a(2) (4, 2, 0) C xy2 y x z a plano z3 P( , , 3) 4 ␲ v₄␲ 2 2 L b a 0v(t)0dt. dv dt . v 0 o a(t) .v(t) 0 para toda t. d dt(v.v) v. dv dt dv dt .v 2v. dv dt 0. 0v02 _c2 _{o v.v c}2_. v(2) 4i j 5 2k y a(2) 2i. v(t) r¿(t) 2ti j 5 2k y a(t) r–(t) 2i aap 4b 2cos p 4i 2sen p 4j 12i 12 j vap 4b 2sen p 4i 2cos p 4j 12i 12 j a(t) r–(t) 2costi 2sentj. v(t) r¿(t) 2senti 2costj r(t) 2costi 2sentj 3k 12Zill655-680.qxd 26/9/10 18:32 Página 669

Aceleración centrípeta Para el movimiento circular en el plano, descrito mediante r0cos vti+r0sen vtj,r0y constantes, es evidente que Esto significa que el vec-tor aceleración apunta en la dirección opuesta a la del vector de posiciónr(t). Afirma-mos entonces quea(t) es la aceleración centrípeta. Vea laFIGURA 12.3.3. Si y se deja como ejercicio demostrar que Vea el problema 17 en los ejercicios 12.3.

Movimiento curvilíneo en el plano Muchas aplicaciones importantes de las funciones vecto-riales ocurren en la descripción del movimiento curvilíneo en un plano. Por ejemplo, los movimien-tos planetarios y de proyectiles se efectúan en un plano. Al analizar el movimiento de proyectiles balísticos de corto alcance, se empieza con la aceleración de la gravedad escrita en forma vectorial

Si, como se ilustra en laFIGURA 12.3.4, se lanza un proyectil con una velocidad inicialv0=v0cos ui

+v₀sen uj, desde una altura inicial entonces

donde implica que Por tanto,

Al integrar de nuevo y utilizar se obtiene

Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas para la trayectoria del proyectil son

(6) Vea (3) de la sección 10.2.

Existe un interés natural en determinar la altura máxima Hy la distancia horizontalR máxi-ma, o alcance, a la que llega el proyectil. Como se muestra en laFIGURA 12.3.5, estas cantidades son los valores máximos dey(t) y x(t), respectivamente. Para calcular estos valores se

determi-nan los tiempos y para los cuales y respectivamente. Luego

(7)

EJEMPLO 3 Movimiento de proyectiles

Un obús es lanzado desde el nivel del suelo con una rapidez inicial de 768 pies/s a un ángulo de elevación de 30°. Encuentre

a) la función vectorial y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del obús,

b) la altura máxima alcanzada,

c) el alcance del obús y

d) la rapidez en el impacto. Solución

a) En términos de vectores, la posición inicial del proyectil es y su velocidad ini-cial corresponde a

(8) s0⫽0

FIGURA 12.3.5 Altura y alcance máximos de un proyectil

H x y a) Altura máxima H R y b) Alcance R x y(t2)⫽0, y¿(t₁)⫽0 t2 7 0 t1 r(0)⫽s0 C1⫽v0. v(0)⫽v0 v(t)⫽

冮

(⫺gj)dt⫽ ⫺gtj⫹C1, s0⫽s0 j, a(t)⫽ ⫺gj. a⫽y2>_r 0. a⫽ 0a(t)0, y⫽ 0v(t)0 a(t)⫽r–(t) r–⫽ ⫺␻2r. ␻ r(t)⫽ FIGURA 12.3.3Vector de aceleración centrípeta a

FIGURA 12.3.4 Proyectil balístico

v(t1) a(t1) r(t2) v(t2) x y v0 (y0 sen␪)j (y0 cos␪)i s0j ␪

El proyectil se dispara o lanza en vez de autoimpulsarse. En el análisis del movimiento de balís-tica de largo alcance, debe tomarse en cuenta la curvatura de la Tierra. H ymáx y(t1) y R xmáx x(t2). x(t) (y0cosu)t, y(t) 1 2gt 2 _(y 0senu)t s0. r(t) (y0cosu)ti c 1 2gt 2 _(y 0senu)t s0dj. v(t) (y0cosu)i ( gt y0senu)j. v0 (768cos30°)i (768sen30°)j 38413i 384j.

Al integrar y utilizar (8), se obtiene

(9) Al integrar (9) y emplear se encuentra la función vectorial

Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del obús son

(10)

b) De (10) advertimos que cuando

Entonces, de acuerdo con la primera parte de (7), la altura máxima Halcanzada por el obús es

c) De (6) vemos que cuando

De la segunda parte de (7), el alcance Rdel obús es

d) De (9) obtenemos la rapidez de impacto del obús: y(t)⫽0 dy>dt⫽0 x(t)⫽38413t, y(t)⫽ ⫺16t2⫹384t. r(t)⫽A38413tBi⫹(⫺16t2⫹384t)j. s0⫽0 v(t)⫽A38413Bi⫹(⫺32t⫹384)j. a(t)⫽ ⫺32j

12.3 Movimiento sobre una curva 671

NOTAS DESDE EL AULA

En la página 667 vimos que la tasa de cambio de la longitud de arco es la misma que la rapidez Sin embargo, como veremos en la siguiente sección, nose deduce

que la aceleración escalar es la misma que Vea el problema 18 en los

ejercicios 12.3. 0a(t)0 ⫽ 0r–_(t)0_. d2L>dt2 0v(t)0 ⫽ 0r¿_(t)0_. dL>dt

r(t)

Fundamentos

En los problemas 1-8,r(t) es el vector de posición de una par-tícula en movimiento. Grafique la curva y los vectores de velocidad y aceleración en el tiempo indicado. Encuentre la rapidez en ese tiempo.

1. 2. 5. 6. 7. 8.

9. Suponga que es el

vec-tor de posición de una partícula en movimiento.

a) ¿En qué puntos la partícula pasa por el plano xy?

b) ¿Cuáles son su velocidad y aceleración en los puntos del inciso a)?

10. Suponga que una partícula se mueve en el espacio de mane-ra que para todo tiempo t. Describa su trayectoria.

11. Un obús se lanza desde el nivel del suelo con una rapidez inicial de 480 pies/s a un ángulo de elevación de 30°. En-cuentre:

a) una función vectorial y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del obús,

b) la altura máxima alcanzada,

c) el alcance del obús y

d) la rapidez en el impacto.

12. Vuelva a trabajar el problema 11 si el obús se lanza con la misma rapidez inicial y el mismo ángulo de elevación pero desde un acantilado a 1 600 pies de altura.

13. Un automóvil se empuja con una rapidez de 4 pies/s desde un escarpado acantilado frente al mar que tiene una altura de 81 pies. Encuentre la rapidez a la cual el auto-móvil golpea el agua.

14. Un pequeño proyectil se lanza desde el nivel del suelo con una rapidez inicial de 98 m/s. Encuentre los ángulos posibles de elevación de manera que su alcance sea de 490 m.

15. Un mariscal de campo de futbol americano lanza una “bomba” de 100 yardas a un ángulo de 45° con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la rapidez inicial del balón en el punto de lanzamiento?

16. Un mariscal de campo lanza un balón de futbol con la misma rapidez inicial a un ángulo de 60° desde la hori-zontal y después a un ángulo de 30° desde la horihori-zontal. Muestre que el alcance del balón es el mismo en cada caso. Generalice este resultado para cualquier ángulo de lanzamiento0 6 u 6 p>2. a(t)⫽0 r(t)⫽t2_i⫹(t3_⫺2t)j⫹(t2_⫺5t)k r(t)⫽ti⫹t3_{j⫹tk; t⫽1} r(t)⫽ti⫹t2_j⫹t3_{k; t⫽1} r(t)⫽ti⫹tj⫹t3_{k; t⫽2} r(t)⫽2i⫹(t⫺1)2_{j⫹tk; t⫽2} r(t)⫽t2_i⫹ 1 t2j; t⫽1 r(t)⫽t2_i⫹1 4t4 j; t⫽1

Ejercicios 12.3 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-39.

0v(24)0 2A38413B2 ( 384)2 768 pies/s. R x(24) 38413(24) 15 963 pies. 16t(t 24) 0 o t 0, t 24. H y(12) 16(12)2 _{384(12) 2 304 pies.} 32t 384 0 o t 12. 3. 4. r(t) 2costi (1 sent)j; t p>3 r(t) cosh2ti senh2tj; t 0 12Zill655-680.qxd 26/9/10 18:32 Página 671