3 Funciones con valores vectoriales

Descargar (0)

Texto completo

(1)

GTP 3. Cálculo II - 2011 3.1 Trayectorias: velocidad y longitud de arco

3

Funciones con valores vectoriales

3.1

Trayectorias: velocidad y longitud de arco

1. Para cada una de las siguientes curvas determinar los vectores velocidad y aceleración para el valor especificado de t.

a) r(t) = 6ti+ 3t2j+t3k, en t= 0

b) σ(t) =¡cos2t,3tt3, t¢, en t= 0

2. Hallar los vectores velocidad y aceleración y la ecuación de la recta tangente para cada una de las siguientes curvas en el valor dado de t.

a) r(t) = costi+ sen 2t j,en t= 0

b) r(t) =√2ti+et j+e−t k, en t= 0

3. Probar que si σ es una trayectoria con aceleración nula entonces σ es una recta o un punto.

4. Hallar trayectorias σ(t) cuyas imágenes sean las curvas dadas. Graficar. a) {(x, y) :y =ex}

b) ©(x, y) : 4x2+y2 = 1ª

c) Una recta en R3 que pasa por el origen y el punto a d) ©(x, y) : 9x2+ 16y2= 4ª

5. Probar las siguientes reglas para trayectorias diferenciables en R3 a) dtd [σ(t)·ρ(t)] = dσdt ·ρ(t) +σ(t)·dt

b) dtd [σ(t)×ρ(t)] = dσdt ×ρ(t) +σ(t)×dt

c) dtd {σ(t)·[ρ(t)×τ(t)]}= dσdt·[ρ(t)×τ(t)]+σ(t)·hdρdt ×τ(t)i+σ(t)·£ρ(t)×dt (t)¤

6. Sea σ(t) una trayectoria, v(t) la velocidad y a(t) la aceleración. Supongamos que F:R3 R3, que m >0y que F[σ(t)] =ma(t). Probar que

d

dt[mσ(t)×v(t)] =σ(t)×F[σ(t)]

(Tasa de cambio del momento angular igual a torque). ¿Qué se puede concluir si F[σ(t)]

es paralelo a σ(t)?

7. Calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo propuesto. a) σ(t) = (sen 2πt,cos 2πt,2πt) en el intervalo [0,1]

b) s(t) =ti+t(sent)j+t(cost)k en el intervalo [0, π]

c) ti+tj+23t3/2k en el intervalo [t0, t1]

d) s(t) = (cosht,sinht, t) en el intervalo [0, t]1

1Existiendo programas de cálculo simbólico y numérico, no está entre los intereses centrales de este curso la

habilidad para el cálculo de integrales. Pero si no se tiene acceso a esas facilidades, cualquier tabla de integrales

le dirá que ] s

x2+a2dx=1

2

q

(2)

GTP 3. Cálculo II - 2011 3.2 Campos vectoriales

8. Sea c(t), a t b, una trayectoria. Sea s=ϕ(t) una nueva variable definida por la función ϕ estrictamente creciente de clase C1 en [a, b],con ϕ0 libre de ceros. Se define d: [ϕ(a), ϕ(b)]R3 por d=c ϕ−1. La trayectoria d es una reparametrización de c.

a) Ver que las curvas imágenes de c y d son las mismas. b) Probar que c y d tienen la misma longitud.

c) Si la función ϕ(t) se elige como

s=ϕ(t) =

Z t

a

°

°c0(τ)°°dτ ,

la curva d se dice parametrizada por la longitud de arco. Ver que en ese caso la longitud de d es la longitud del intervalo de parametrización de la variable s y

que ° ° ° °dsdd(s) ° ° ° °= 1.

3.2

Campos Vectoriales

1. Una partícula de masa m se mueve sobre una trayectoria r(t) de auerdo con la ley de Newton, en un campo de fuerza F=−∇V en R3, donde V es una función dada de energía potencial.

a) Probar que la energía

E = 1 2m

°

°r0(t)°°2+V (r(t))

es constante en el tiempo. (Idea: calcular dE/dt).

b) Probar que si la partícula se mueve sobre una superficie equipotencial entonces su rapidez es constante.

2. Suponer que las isotermas en una región son esferas centradas en el origen. Probar que el campo vectorial deflujo de energía actúa sobre rayos con centro en el origen.

3. Mostrar que σ(t) = ¡e2t,ln|t|,1/t¢, para t 6= 0, es una línea de flujo para el campo de

velocidad F(x, y, z) =¡2x, z,z2¢.

4. Calcular el rotacional,×F, de los siguientes campos vectoriales. a) F(x, y, z) =xi+yj+zk

b) F(x, y, z) =yzi+xzj+xyk

c) F(x, y, z) =¡x2+y2+z2¢(3i+ 4j+ 5k)

d) F(x, y, z) = yzxi2++xzy2j++zxy2k

5. Calcular la divergencia ·F de cada uno de los campos del ejercicio4. 6. Verificar que el campo

V (x, y) = y x2+y2i− x x2+y2j es incompresible. 7. Sea F(x, y, z) = 3x2yi+¡x3+y3¢j

(3)

GTP 4. Cálculo II - 2011 4.1 Integrales de trayectoria

a) Verificar que rotF= 0

b) Hallar una función f tal que F=f

c) ¿Es cierto quea)es condición necesaria para la existencia de la f de b)? 8. Probar las siguientes identidades.

i) (f +g) =f +g

ii) (cf) =cf

iii) (f g) =fg+gf

iv) div (F+G) = divF+ divG v) rot (F+G) = rotF+ rotG vi) div (fF) =fdivF+F·f

vii) div (F×G) =G·rotF−F·rotG viii) div rotF= 0

ix) rot (fF) =frotF+f×F x) ·(fggf) =f2gg2f

9. Sean r(x, y, z) = (x, y, z) y r =px2+y2+z2=krk.Probar las siguientes identidades. a) (1/r) =r/r3 si r6= 0

b) 2(1/r) = 0 si r6= 0.(2 =¡∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2¢=∆, el "laplaciano") c) ∇·¡r/r3¢= 0

d) ×r= 0

4

Integrales sobre trayectorias y super

fi

cies

4.1

Integrales de trayectoria

1. Evaluar las siguientes integrales de trayectoria Rσf(x, y, z)ds, donde a) f(x, y, z) =x+y+z y σ :t7→(sent,cost, t), t[0,2π]

b) f(x, y, z) = cosz, y σ como en la partea) c) f(x, y, z) =xcosz y σ :t7→ti+t2j, t[0,1]

d) f(x, y, z) =yz y σ :t7→(t,3t,2t), t[1,3]

2. Reparametrizaciones. Supongamos que σ : I1 → R3 es una trayectoria y que h :

I I1 es una biyección de clase C1. Si I = [a, b] y I1 = [a1, b1], necesariamente será

h(a) =a1, h(b) =b1 (caso crec.), o bien h(a) =b1, h(b) =a1 (caso decrec.). Si definimos ρ=σh,ρ es una trayectoria de la cual se dice que reparametriza a la curva σ∗. En el caso crec. decimos que ρ conserva la orientación y en el caso decrec. que la invierte. Nótese que kρ0(t)k=kσ0(h(t))k |h0(t)|

(4)

GTP 4. Cálculo II - 2011 4.2 Integrales de línea

b) Sl la longitud de la curvaR σ∗ es , y k(s) es la función longitud de arco: k(s) = s

a1kσ

0(τ)k, la inversa h = k−1 : [0, ]

→ [a1, b1] da, con el procedimiento descripto, una reparametrización ρ llamada parametrización con la longitud de arco. Pruebe que kρ0(t)k= 1 para todo valor de t y que, por lo tanto,

Z ρ f ds= Z 0 f[ρ(t)]dt.

a

b

a

b

1

b

a

1

a

1 1

b

t

t

s

s

σ

ρ

a

b

a

b

σ

ρ

La flecha sobre la curva indica el sentido en que es recorrida por ρ

4.2

Integrales de línea

1. Sea F(x, y, z) = xi+yj+zk. Evaluar la integral de F a lo largo de cada una de las trayectorias siguientes.

a) σ(t) = (t, t, t) ; 0t1 b) σ(t) = (cost,sent,0) ; 0t

c) σ(t) = (sent,0,cost) ; 0t2π d) σ(t) =¡t2,3t,2t3¢;1t2

2. Evaluar las siguientes integrales.

a) Rσxdyydx, σ(t) = (cost,sent), 0t2π.

b) Rσxdx+ydy, σ(t) = (cosπt,senπt), 0t2.

c) Rσyzdx+zxdy+xydz, donde σ es la poligonal (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

d) Rσx2dxxydy+dz,donde σ es la parábola z=x2, y = 0, desde (1,0,1) hasta

(1,0,1).

3. Considerar la fuerza F(x, y, z) =xi+yj+zk.Calcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la parábola y=x2, z= 0, desde x=1 hasta x= 2.

4. Sea σ una trayectoria suave

a) Suponer que F es perpendicular a σ0(t) en σ(t).Probar que

Z

σ

(5)

GTP 4. Cálculo II - 2011 4.3 Superficies parametrizadas

b) Si F es paralelo a σ0(t) en σ(t) (esto es, si F[σ(t)] =λ(t)σ0(t) con λ(t)>0),

probar que Z σ F·ds= Z σk Fkds

5. Sea σ una trayectoria y T el vector tangente unitario (T=σ0/kσ0k). ¿Qué es RσT·ds ?

6. Probar que si C es una curva cerrada y F un campo gradiente, entonces la integral de F a lo largo de C no depende de la particular trayectoria σ con que se parametrice la curva. ¿Cuánto vale esa integral?

7. Evaluar Z

C

2xyz dx+x2z dy+x2y dz,

cuando C es una curva simple que conecta (1,1,1) con (1,2,4).

8. Suponer que f(x, y, z) = 2xyzex2i+zex2j+yex2k. Si f(0,0,0) = 5, hallar f(1,1,2).

9. Consideremos el campo gravitacional (r= (x, y, z), r=krk) F(r) = −r

r3, r6=0.

Mostrar que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre una partícula que se mueve desde r1 hasta r2 a lo largo de cualquier trayectoria sólo depende de los radios

r1 y r2.

4.3

Superficies parametrizadas

1. Hallar una expresión para el plano tangente a la superficie dada en el punto indicado. a) x= 2u, y=u2+v, z=v2, en (0,1,1) b) x=u2v2, y=u+v, z=u2+ 4v, en ¡1 4, 1 2,2 ¢

2. Hallar una expresión para un vector unitario normal a las siguientes superficies. a) x= 3 cosθsenφ, y= 2 senθsenφ, z= cosφ

para θ[0,2π] y φ[0, π].

b) x= senv, y=u, z= cosv

para 0v2π y 1u3.

3. Considerar la superficie en R3 parametrizada por

Φ(r, θ) = (rcosθ, rsenθ, θ), 0r1, 0θ4π.

a) Esbozar y describir la superficie.

b) Hallar una expresión para una normal (unitaria) a la superficie.

c) Hallar una expresión para el plano tangente a la superficie en un punto genérico

(x0, y0, z0).

4. Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen hallar la ecuación para el plano que es tangente a ella en el punto ¡1,1,√2¢, considerando a la esfera como:

(6)

GTP 4. Cálculo II - 2011 4.5 Integrales de funciones escalares

a) Una superficie parametrizada por Φ(θ, φ) = (2 cosθsenφ,2 senθsenφ,2 cosφ) ;

b) Una superficie de nivel de f(x, y, z) =x2+y2+z2;

c) La gráfica de g(x, y) =p4x2y2.

*5. Sea Φ una superficie suave; esto es,Φ es de clase C1 y Tu×Tv 6=0 en (u0, v0). a) Usar el teorema de la función implícita para mostrar que la imagen de Φ cerca de

(u0, v0) es la gráfica de una función C1 de dos variables, digamos z=f(x, y) (esto se cumplirá si la componente z de Tu×Tv es distinta de cero).

b) Mostrar que el plano tangente en Φ(u0, v0) generado porTu y Tv coincide con el

plano tangente a la gráfica de z=f(x, y) en ese punto.

4.4

Area de una superficie

1. Hallar el área de la esfera unitaria S representada paramétricamente por

x= cosθsenφ, y= senθsenφ, z= cosφ.

2. Sea Φ(u, v) = (uv, u+v, uv) y sea D el disco unitario en el plano uv. Hallar el área de Φ(D).

3. Hallar el área de la parte de la esfera unitaria cortada por el cono zpx2+y2.

4. Mostrar que si T(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), entonces para los vectores Tu y Tv

vale la fórmula kTu×Tvk= s ∂(x, y) ∂(u, v) ¸2 + ∙ ∂(y, z) ∂(u, v) ¸2 + ∙ ∂(x, z) ∂(u, v) ¸2 .

5. Hallar el área de la porción de esfera unitaria que queda fuera del cilindro x2+y2 = 1/2.

4.5

Integrales de funciones escalares

1. Calcular RSxy dS cuando S es la superficie del tetraedro con lados z= 0, y = 0, x+z= 1

y x=y

2. Sea Φ:DR2 R3 una superficie parametrizada y llamemos

E= ° ° ° ° ∂Φ ∂u ° ° ° ° 2 , F = ∂Φ ∂u · ∂Φ ∂v, G= ° ° ° ° ∂Φ ∂v ° ° ° ° 2 . a) Mostrar que kTu×Tvk= √

EGF2 y deducir fórmulas para el área A(S) y para integrales de escalares sobre S: RSf dS

b) En qué se convierte la fórmula si Tu ⊥Tv?

c) Usar lo anterior para calcular la superficie de una esfera de radio R.

3. Calcular RSz dS, donde S es el hemisferio superior de radio a, esto es, el conjunto de los

(x, y, z) con z=pa2x2y2.

4. Evaluar RSxyz dS, donde S es el triángulo con vérices (1,0,0),(0,2,0) y (0,1,1).

(7)

GTP 5. Cálculo II - 2011 5.1. Teorema de Green

6. Una superficie metálica S tiene la forma de un hemisferio z = pR2x2y2, 0

x2+y2 R2.La densidad de masa en (x, y, z)S está dada por m(x, y, z) =x2+y2.

Hallar la masa total de S.

7. Sea S la esfera de radio R.

a) Usar argumentos de simetría para probar que

Z S x2 dS= Z S y2 dS = Z S z2 dS.

b) Usar este hecho para evaluar con muy pocos cálculosRSx2 dS.

c) Ayuda esto en el ejercicio anterior?

8. Se define el promedio de la función f sobre la superficie S por

fS= 1

A(S)

Z

S f dS.

(El nümero fS es el que provoca que RS¡f¡(x, y, z)fS¢¢ dS= 0) a) Hallar el promedio de z2 sobre la esfera unidad.

b) Se define el centro de gravedad (x, y, z) de una superficie S tomando como co-ordenadas los valores promedio de las funciones coco-ordenadas. Por ejemplo, x =

1

A(S)

R

Sx dS.Calcular el centro de gravedad del triángulo de vértices(1,0,0),(0,1,0)

y (0,0,1).

9. Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer octante de la esfera de radio R

4.6

Integrales de funciones vectoriales

1. Supongamos que la temperatura en un punto de R3 está dada por T(x, y, z) = 3x2+ 3z2. Calcular el flujo de calor a través de la superficie x2+z2 = 2, 0 y 2. Considerar F=−∇T.

2. Calcular elflujo de calor a través de la esfera unidad S si T(x, y, z) =x. Puede interpretar físicamente su respuesta?

3. Sea S la superficie cerrada formada por el hemisferio x2+y2+z2 = 1, z 0 y su base

x2+y21, z= 0. Sea E el campo eléctrico definido por E(x, y, z) = 2xi+ 2yj+ 2zk.

Calcular el flujo eléctrico a través de S.

4. El campo de velocidad de unfluido está descripto por F = √yj (medido en metros por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de fluido por segundo están cruzando la su-perficie x2+z2 =y, 0y1, en la dirección en que y crece.

5. Evaluar RS(×F)·dS, donde S es la superficie x2 +y2 + 3z2 = 1, z 0 y F = yixj+zx3y2k.Tomar la normal unitaria n apuntando hacia arriba.

6. Evaluar RS(×F)·dS, donde F=¡x2+y4¢i+3xyj+¡2xz+z2¢k y S es la superficie

(8)

GTP 5. Cálculo II - 2011 5.2. Teorema de Stokes

5

Teoremas integrales del Análisis Vectorial

5.1

Teorema de Green

1. Evaluar RCy dxx dy, donde C es la frontera del cuadrado [1,1]×[1,1] orientada positivamente.

2. Hallar el área del disco de radio R usando el teorema de Green.

3. Verificar el teorema de Green para el disco de centro (0,0) y radio R y las funciones: a) P(x, y) =x+y, Q(x, y) =y b) P(x, y) = 2y, Q(x, y) =x

4. Hallar el área encerrada entre un arco de cicloide: x = a(θsenθ), y = a(1cosθ)

(a >0, 0θ2θ) y el eje x. 3 6 9 12 15 18 21 3 6 x y

5. Sea D una región para la que se cumple el teorema de Green y sea f una función armónica

en D. Probar que Z ∂D ∂f dydx− ∂f ∂xdy= 0.

6. Demostrar que las siguientes formas diferenciales son exactas y encontrar una función po-tencial.

a) y dx+x dy b) yex dx+ [ex+ (y+ 1)ey]dy

c) coshxcosy dxsenhxseny dy d) ¡coty+x2¢dxxcsc2y dy

7. Resolver los siguientes problemas con valores iniciales. a) (y1)dx+ (x3)dy= 0, y(0) = 2/3

b) x dy+y2dx= 0, y(1) = 0.2

8. a) Verificar el teorema de la divergencia para F=xi+yj y el disco unitario.

b) Evaluar la integral de la componente normal de 2xyiy2j alrededor de la elipse

x2 a2 +

y2 b2 = 1.

(9)

GTP 5. Cálculo II - 2011 5.3. Teorema de Gauss

5.2

Teorema de Stokes

1. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior z = p1x2y2, z 0, y el campo vectorial radial F(x, y, z) =xi+yj+zk

Ley de Faraday

Si E(t, x, y, z) y H(t, x, y, z) representan los campos eléctrico y magnético en el tiempo

t y S es una superficie a la que se aplica el teorema de Stokes, entonces

Z ∂S E·ds=∂ ∂t Z S H·dS

2. Sea S una superficie con frontera ∂S y supongamos que E es un campo eléctrico perpendicular a ∂S. Mostrar que elflujo magnético inducido a través de S es constante en el tiempo.

3. Sea S la superficie cilíndrica con tapa formada por el cilindro

S1 = © (x, y, z) :x2+y2= 1,0z1ª y la tapa S2= n (x, y, z) :x2+y2+ (z1)2 = 1, z1o y sea F(x, y, z) =¡zx+z2y+x¢i+¡z3yx+y¢j+z4x2k. Calcular RS(×F)·dS.

4. Sea S el triángulo con vértices (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1). Verificar el teorema de Stokes para F(x, y, z) =yzi+xzj+xyk en esta superficie.

5.3

Teorema de Gauss

1. Sea S una superficie cerrada. Usar el teorema de Gauss para mostrar que si F es un campo vectorial C2, entonces RS(×F)·dS= 0.

2. Sea F=x3i+y3j+z3k. Evaluar la integral de superficie de F sobre la esfera unitaria. 3. Evaluar R∂ΩF·dS, donde F=xi+yj+zk y Ω es el cubo unitario (en el primer octante).

Realizar los cálculos directamente y verificar usando el teorema de la divergencia. 4. Repetir el ejercicio3. para

a) F=i+j+k b) F=x2i+y2j+z2k

5. Evaluar RSF·dS, donde F= 3xy2i+ 3x2yj+z3k y S es la esfera unitaria. 6. Probar las identidades de Green

Z ∂Ω fg·ndS = Z Ω ¡ f2g− ∇f ·g¢dV Z ∂Ω (fggf)·ndS = Z Ω ¡ f2gg2f¢dV

Figure

Actualización...

Referencias

Related subjects :