Cinematica Tangencial y Normal

COMPONE

COMPONENTES TANTES TANGENCINGENCIAL Y NORMALAL Y NORMAL

Integrantes:

Integrantes:

Brusliz mamani condori

Brusliz mamani condori

Jhoke lupaka lima

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

MECANICA

MECANICA

MECÁNICA DE MECÁNICA DE F!ID"# F!ID"# MECÁNICA DE MECÁNICA DE C!E$%" C!E$%" DEF"$MABE DEF"$MABE MECANICA DE MECANICA DE C!E$%" $I&ID"# C!E$%" $I&ID"# DINAMICA DINAMICA E#'A'ICA E#'A'ICA CINE'ICA CINE'ICA CINEMA'ICA CINEMA'ICA

NOCION DE

CINEMATICA

 La cinemática  (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

 También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento.

 n la cinemática se utili!a un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

 ob"etivos

 #eterminar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleración de una partícula que se encuentra moviéndose en un trayectoria curva.

APLICACIONES

Cuando un auto se mue(e en una cur(a e)perimenta una aceleraci*n+ de,ido al cam,io en la magnitud o en la direcci*n de la

(elocidad-.%odr/a !d- preocuparse por la aceleraci*n del

auto0-#i el motociclista inicia su mo(imiento desde el reposo e incrementa su (elocidad a raz*n constante- .C*mo podr/a determinar su (elocidad 1 aceleraci*n en la parte

POSICIÓN

Cuando la tra1ectoria de una  part/cula es conocida+ a (eces es con(eniente utilizar las coordenadas normal 3n4 1 tangencial 3t4 las cuales act5an en las direcciones normal 1 tangencial a la

tra1ectoria-En un mo(imiento plano se utilizan las (ectores unitarios u

t 1

u

n

El origen se encuentra u,icado

El e6e t es tangente a la tra1ectoria 1 positi(o en la direcci*n del mo(imiento 1 el e6e n es perpendicular al e6e t  1 esta dirigido hacia el centro de cur(atura

POSICIÓN

En un mo(imiento plano las direcciones n 1 t se encuentran de7inidas por los (ectores unitarios u

t1 un

El radio de cur(atura $, es la distancia perpendicular desde curva %asta el centro de curvatura en aquel punto.

La posición es la distancia & medida sobre la curva a partir de un punto ' considerado fi"o

VELCOIDAD

De,ido a 8ue la part/cula se

esta mo(iendo+ la posici*n #

est2 cam,iando con el

tiempo-a (elocidad

v

 es un (ector 8ue

siempre es tangente a la

tra1ectoria 1 su magnitud se

determina deri(ando respecto

del tiempo la posici*n # 9

73t4-%or lo tanto se tiene

:

t  v vu dS dt  

=

&

ACELERACIÓN

Consideremos el mo(imiento de una part/cula en una tra1ectoria cur(a plana

En el tiempo t  se encuentra en % con una (elocidad v en direcci*n

tangente 1 una aceleraci*n a dirigida hacia la conca(idad de la cur(a- a aceleraci*n puede

descomponerse en una

componente tangencial at 

3aceleraci*n tangencial4 paralela a la tangente 1 otra paralela a la

a aceleraci*n tangencial es la responsa,le del cam,io en el modulo de la (elocidad

a aceleraci*n normal es la responsa,le del cam,io en la direcci*n de la (elocidad

ACELERACIÓN

'racemos en A un (ector unitario - a aceleraci*n ser2

#i la tra1ectoria es una recta+ el (ector ser/a constante en magnitud 1 direcci*n+ por tanto

%ero cuando la tra1ectoria es cur(a la direcci*n de cam,ia  por lo tanto ; ; 3 4 ; t t  t  d ve de dv dv a e v dt dt dt dt   = = = + r ; < t  de dt  = ;_t  e ;_t  e ;_t  e ; < t  de ≠

 

ACELERACIÓN

Introduzcamos el (ector unitario normal a la cur(a 1 dirigido hacia el lado c*nca(o de la cur(a- #ea = el 2ngulo 8ue 7orma la tangente en A con el e6e )-Entonces se tiene

a deri(ada del (ector unitario

;_n e ; ; cos ; ; cos3 4 3 4 > > ; ; cos t  n n e i sen j e i sen j e sen i j β β  π π  β β  β β  = + = + + + = − + r r ; _; 3 4 cos ; ; t  t  n de d d   sen i j dt dt dt   de d  e dt dt   β β  β β  β  = − + = r

ACELERACIÓN

 Por otro lado se tiene

que

 Donde dS  es el pequeño

aro a lo lar!o del "o#i"iento en un dt$

 Las nor"ales a la ur#a

en A % A& se intersean en C$ Entones

 La ra'(n de a")io del

#etor unitario tan!enial es d d dS d   v dt dS dt dS   β ₌ β ₌ β  ? dS d  d  dS   ρ β  β   ρ  = =

;

_?

;

t  n

de

e

dt 

=

ρ 

ACELERACIÓN

Re"pla'ando esta euai(n en la aelerai(n se tiene Es deir las aeleraiones tan!enial % nor"al se esri)en  La magitud de la aceleración total será > ; ; ; ; ; ; t  t  t n t t n n de dv a e v dt dt   dv v a e e dt  a a e a e  ρ  = + = + = + r r r > ; : ; t t t n dv v ar = e ar = e > > t n a

=

a

+

a

CASOS ESPECIALES

. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta

ρ → ∞

9@ a

_n

 9 (

>



ρ = 0 =>

a 9 a

t

 9 (

a componente tangencial representa la raz*n

de cam,io de la magnitud de la (elocidad

>- a part/cula se mue(e en la cur(a a (elocidad

constante

 a

t

9 ( 9 < 9@ a 9 a

n

 9 (

>



ρ

a componente normal representa la raz*n de

cam,iode la direcci*n de la (elocidad



4 a componente tangencial de la acelerac*n es constante+ a_t 9 3a_t4_c

-#_o and v_o son la posici*n 1 la (elocidad de la part/cula en t 9 <

- a part/cula se mue(e a lo largo de la ra1ectoria dada por 1 9 73)4- Entonces el radio de cur(atura es

> < < < > > < < ? 3 4 > 3 4 >3 4 3 4 c c c c c c  s s v t a t  v v a t   v v a s s = + + = + = + − >  > > > ? 3  4   dy dx d y d x  ρ  = +

CA#"# E#%ECIAE#

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2_{-5) j m/s. Calcular las}

componentes tanencial ! normal de la aceleraci"n en el instante t =2 s# $i%uar el vector velocidad' el vector aceleraci"n ! las componentes tanencial ! normal en dico instante#

 El vector velocidad del movimiento de

una partícula viene dado por v

=(3t-2)i+(6t2-5) j m/s. Calcular las

componentes tanencial ! normal de

la aceleraci"n en el instante t =2 s#

$i%uar el vector velocidad' el vector aceleraci"n ! las componentes

E*e"plo +,

 n carro de carreras * via"a alrededor de una pista %ori!ontal circular que tiene un radio de + m. &i el carro incrementa su rapide! a ra!ón constante de -, ms-partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcan!ar una aceleración de -,/ ms-. 0*uál es su velocidad en ese instante.

Solui(n

 &e sabe que la aceleración

tangencial es constante e igual a

 La aceleración normal será

 La aceleración total será

 La velocidad en este instante será > < >+? : < >+? t  t  a m s  Entonces v v a t   v t  = = + = + > > > > 3>+? 4 <-<  < n v t  a t m s  ρ  = = = > > > > > > > > > > ; ; ; ; >+? <-<BE >+? C<-<BE D >+ B >+? C<-<BE D B+FG t t n t n v a a e e a e t e a t  t  t   ρ 

=

+

=

+

=

+

=

+

=

r r

>-?

?<-> 

v

=

t

=

m s

E*e"plo

+-na ca"a parte del reposo en 1

e incrementa su rapide! a

ra!ón de a_t  = (#2t) m/s2

y via"a a lo largo de la pista %ori!ontal mostrada. #etermine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por 2

E*e"plo

+-La posición de la ca"a en

cualquier instante es & medida a partir del punto fi"o en 1.

La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es < < >

<->

3?4

<->

< ?

3>4

t  v t  a v t  dv tdt   v t  = = = =

∫

∫ 

&

E*e"plo

+-3ara determinar la velocidad en

2, primero es necesario

determinar & 4 f(t), después obtener el tiempo necesario para que la ca"a llegue a 2. es decir #e la geometría se tiene s_{B 4 5 6 -}π _{(-)/ 4 7./- m.} ntonces tenemos > > < <  <-? <-? <+< 34 S t  ds v t  dt  ds t dt   S t  = = = =

∫

∫ 



H+?> <+<

+H

t  t s = =

E*e"plo

+-8empla!ando el tiempo en las ecuaciones () y (-) resulta

n el punto 2 el radio de curvatura es $ 4 - m, entonces la aceleración será

La aceleración total será

&u modulo y dirección serán

> > 3 4 <->3I-HE4 ?-?AF : <-?3I-HE4 A->AF :  B t B  B a v m s v m s = = = = = & > > 3 4  B ->>   B n  B v a m s  ρ  = = > + ; ; ; ; ? ? + >>  B  B t B t n v a a e e  ρ  = + + r r > > > > ?+?AF CI+ >B>D I+ AH  a a m s = + = ?_->>_{ GG+G} ?+? tg  θ = − = °