Profesor Walker Meza
FÍSICA
FÍSICA FÍSICA
CINEMÁTICA
MCU Y MCUV
MOVIMIENTO CIRCULAR
MOVIMIENTO CIRCULAR
MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL DE TRAYECTORIA CIRCULAR, ES DECIR, EL MÓVIL SIEMPRE PRESENTA LA MISMA DISTANCIA DE SEPARACIÓN CON UN DETERMINADO PUNTO.
X Y
𝑟0 𝑟𝑓
𝜽𝟎 𝜽𝒇
OBSERVACION:
𝑟0 = vector posición inicial(m) 𝑟𝑓 = vector posición final(m)
θ0: posición angular inicial (rad) θf: posición angular final (rad)
∆θ: desplazamiento angular (rad)
∆θ = θf − θ0
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ VELOCIDAD ANGULAR MEDIA (𝜔
𝑚)
𝜔𝑚 = 𝜃𝐹 − 𝜃0
∆𝑡 Ƹ𝜇
CANTIDADES CINEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ VELOCIDAD ANGULAR (𝜔)
𝜔 = 𝑙í𝑚∆𝑡→0 ∆𝜃
∆𝑡
➢ ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA ( Ԧ𝛼
𝑚)
Ԧ
𝛼𝑚 = ∆𝜔
∆𝑡
➢ ACELERACIÓN ANGULAR ( Ԧ𝛼)
Ԧ
𝛼 = 𝑙í𝑚∆𝑡→0 ∆𝜔
∆𝑡
MOVIMIENTO CIRCULAR
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
(MCU) ✓ ES EL MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA CIRCULAR EN DONDE EL VALOR DE LA VELOCIDAD DEL MÓVIL SE MANTIENE CONSTANTE EN TODO INSTANTE.
V V V
𝝎 = 𝝎𝒎: 𝑪𝑶𝑵𝑺𝑻𝑨𝑵𝑻𝑬
𝜽 𝜽
∆𝑺
𝜽
∆𝑺
∆𝑺
✓ SE RECORREN EN LA CIRCUNFERENCIA DISTANCIAS IGUALES EN TIEMPOS
IGUALES.
✓ DESCRIBEN ÁNGULOS CENTRALES
IGUALES EN TIEMPOS IGUALES.
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ VELOCIDAD TANGENCIAL (𝐯) ➢ VELOCIDAD ANGULAR (𝝎)
ES LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA DEL MCU, SU VALOR NOS INDICA LA LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA RECORRIDA EN LA
UNIDAD DE TIEMPO Y ES TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA DE TRAYECTORIA.
ES LA CANTIDAD VECTORIAL QUE NOS INDICA LA RAPIDEZ Y DIRECCIÓN DEL ÁNGULO CENTRAL DESCRITO. SU DIRECCIÓN SE DETERMINA MEDIANTE LA REGLA DE LA MANO DERECHA.
ω
ω
ω
ω
“Regla de la Mano Derecha”
ω
ω
“Regla de la Mano Derecha”
ω
ω
v = 𝑅𝐸𝐶𝑂𝑅𝑅𝐼𝐷𝑂 (∆𝑆)
𝑇𝐼𝐸𝑀𝑃𝑂 (∆𝑡) :𝑚
𝑠
ω = 𝐷𝐸𝑆𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝐴𝑅 (∆𝜃)
𝑇𝐼𝐸𝑀𝑃𝑂 (∆𝑡) :𝑟𝑎𝑑
𝑠
∆𝑆
v 𝑡
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ PERIODO (T) ➢ FRECUENCIA (f)
𝑓 = 𝑁Ú𝑀𝐸𝑅𝑂 𝐷𝐸 𝑉𝑈𝐸𝐿𝑇𝐴𝑆 (𝑁) 𝑇𝐼𝐸𝑀𝑃𝑂 𝐸𝑀𝑃𝐿𝐸𝐴𝐷𝑂 (𝑡) TIEMPO QUE DEMORA EL MÓVIL EN
REALIZAR UNA VUELTA O UNA REVOLUCIÓN.
UNIDAD ( SI ):
segundo (s)
EJEMPLO:
El período del segundero de las agujas de un reloj es: 60 s
UNIDAD ( SI ):
1
𝑠 <> ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧 ( 𝐻𝑧)
✓ 1 rpm <> 𝑟𝑒𝑣
𝑚𝑖𝑛 <> 𝑟𝑒𝑣
60𝑠 <> 1𝐻𝑧
60
ADEMÁS:
✓ 1 rpm <> 𝑟𝑒𝑣
60𝑠 <> 2𝜋𝑟𝑎
60𝑠 <> (𝜋
30)𝑟𝑎𝑑
𝑠
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ RELACIONES DEL MCU:
✓ EL PERÍODO Y LA FRECUENCIA SON RECÍPROCOS.
𝑇 ∙ 𝑓 = 1
𝑓 = 1
𝑇 𝑇 = 1
𝑓
✓ DE LA RAPIDEZ LINEAL O TANGENCIAL:
v = ∆𝑆
∆𝑡 = 2𝜋𝑅
𝑇 = 2𝜋𝑅𝑓
✓ DE LA RAPIDEZ ANGULAR:
ω = ∆𝜃
∆𝑡 = 2𝜋
𝑇 = 2𝜋𝑓
✓ RELACIÓN ENTRE LA RAPIDEZ
TANGENCIAL Y LA RAPIDEZ ANGULAR:
v = 𝜔𝑅
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ ACELERACIÓN CENTRÍPETA( Ԧ𝑎 𝑐 )
V
V
V V
𝒂𝒄
𝒂𝒄
𝒂𝒄 𝒂𝒄
R
✓ ES AQUELLA CANTIDAD FÍSICA
VECTORIAL QUE NOS MIDE LA RAPIDEZ DE CAMBIO DE LA DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD TANGENCIAL LINEAL.
✓ SIEMPRE APUNTA HACIA EL CENTRO DELA CIRCUNFERENCIA.
𝑎
𝐶= v
2𝑅
𝑎
𝐶= ω
2R
: 𝑚 𝑠2
MOVIMIENTO CIRCULAR
θ
F= θ
0+ ωt
➢ POSICIÓN ANGULAR (𝜽) VS TIEMPO (t)
GRÁFICAS DEL MCU
𝜃(rad)
θ0 θF
𝑡
𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨
∆𝑡
∆𝜃
0
𝑃𝐸𝑁𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 = ∆𝜃
∆𝑡 = 𝜔
𝑡(𝑠)
➢ VELOCIDAD ANGULAR (𝝎) VS TIEMPO (t)
∆θ = ωt
𝜔(𝑟𝑎𝑑
𝑠 )
𝜔
𝑡 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝑯𝑶𝑹𝑰𝒁𝑶𝑵𝑻𝑨𝑳
0
𝐷𝐸𝑆𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝐴𝑅(∆𝜃) = Á𝑅𝐸𝐴 Á𝑅𝐸𝐴 = 𝜔𝑡
𝑡(𝑠)
MOVIMIENTO CIRCULAR
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
VARIADO (MCUV)
𝐯𝐅
𝐯𝟎 𝛚𝟎
∆𝑺 ∆𝜽
ES AQUELLA CANTIDAD FÍSICA VECTORIAL QUE NOS MIDE LA RAPIDEZ DE CAMBIO DE LA VELOCIDAD ANGULAR.
𝛚𝐟
𝛂 = 𝜶𝒎: 𝑪𝑶𝑵𝑺𝑻𝑨𝑵𝑻𝑬
𝒂𝑻
➢ ACELERACIÓN ANGULAR( Ԧ𝛼)
𝛼 = 𝜔
𝑓− 𝜔
°∆𝑡
𝜔
𝑓: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ( 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 𝜔
°: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ( 𝑟𝑎𝑑
𝑠 )
∆𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠)
: 𝑟𝑎𝑑
𝑠
2MOVIMIENTO CIRCULAR
ES AQUELLA CANTIDAD FÍSICA VECTORIAL QUE NOS MIDE LA RAPIDEZ DE CAMBIO DEL VALOR DE LA VELOCIDAD TANGENCIAL
LINEAL.
➢ ACELERACIÓN TANGENCIAL(𝒂
𝑻)
𝑎
𝑇= v
f− v
°∆𝑡
v
𝑓: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ( 𝑚 𝑠 ) v
°: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ( 𝑚
𝑠 )
∆𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠)
: 𝑚 𝑠
2➢ RELACIÓN ENTRE LA MAGNITUDAD DE LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y
ANGULAR
𝑎
𝑇= v
f− v
°∆𝑡
𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅𝐼𝑍𝐴𝑀𝑂𝑆 𝐸𝐿 𝑅𝐴𝐷𝐼𝑂 (𝑅)
𝑎
𝑇= ω
fR − 𝜔
°𝑅
∆𝑡
𝑎
𝑇= ω
f− 𝜔
°𝑅
∆𝑡 𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸:
𝑎
𝑇= 𝛼𝑅
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ FÓRMULAS GENERALES
❖ FÓRMULAS TANGENCIALES
2
4 1
3
v
F= v
0+ 𝑎
𝑇t ΔS = v
F+ v
02 t
ΔS = v
0𝑡 + 1
2 𝑎
𝑇𝑡
2V
F2= V
02+ 2𝑎
𝑇ΔS
+ −
❖ FÓRMULAS ANGULARES
2
4 1
3
ω
F= ω
0+ 𝛼t Δθ = ω
F+ ω
02 t
Δθ = ω
0𝑡 + 1
2 𝛼𝑡
2ω
F2= ω
02+ 2αΔθ
+ −
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ ACELERACIÓN O ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ( Ԧ 𝑎)
V
𝒂𝒄
𝒂T
R
✓ MOVIMIENTO ACELERADO.
:𝑚 𝑠2 𝒂
𝜶
𝑎 = 𝑎
𝑇2+ 𝑎
𝐶20° < 𝛼 < 90°
V
𝒂𝒄 𝒂T
R 𝒂
𝜶
✓ MOVIMIENTO DESACELERADO.
90° < 𝛼 < 180°
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ POSICIÓN ANGULAR (𝜽) VS TIEMPO (t)
GRÁFICAS DEL MCUV
t(s) 𝜃(rad)
θ0
ℎ
𝑷𝑨𝑹Á𝑩𝑶𝑳𝑨
0
(ℎ; 𝑘)
θ
F= θ
0+ 𝜔
0t + 1
2 𝛼𝑡
2𝜃 − 𝑘 = 1
2𝛼(𝑡 − ℎ)2 𝛼 > 0
𝛼 < 0
𝐸𝑁 𝐸𝐿 𝑉É𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸 𝐷𝐸 𝐿𝐴 𝑃𝐴𝑅Á𝐵𝑂𝐿𝐴 𝐿𝐴 𝑉𝐸𝐿𝑂𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝐴𝑅 𝐸𝑆 𝑁𝑈𝐿𝐴
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ VELOCIDAD ANGULAR (𝝎) VS TIEMPO (t)
t(s) 𝜔(𝑟𝑎𝑑
𝑠 )
ω0 ωF
𝑡
𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨
∆𝑡
∆𝜔
0
𝑃𝐸𝑁𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 = ∆𝜔
∆𝑡 = 𝛼
t(s) 𝛼(𝑟𝑎𝑑
𝑠2 )
𝛼
𝑡 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝑯𝑶𝑹𝑰𝒁𝑶𝑵𝑻𝑨𝑳
0
𝜔𝐹 − 𝜔0 = ∆𝜔 = Á𝑅𝐸𝐴 Á𝑅𝐸𝐴 = 𝛼𝑡
➢ ACELERACIÓN ANGULAR(𝜶) VS TIEMPO (t)
MOVIMIENTO CIRCULAR
➢ TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS:
CASO 1 CASO 2
v𝐴 = v𝐵 𝑎𝑇𝐴 = 𝑎𝑇𝐵 𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 𝛼𝐴 = 𝛼𝐵
✓ 𝜔𝐴𝑅𝐴 = ω𝐵𝑅𝐵 ✓ 𝛼𝐴𝑅𝐴 = 𝛼𝐵𝑅𝐵 ✓ vA
RA = v𝐵
𝑅𝐵 ✓ 𝑎𝑇𝐴
RA = 𝑎𝑇𝐵
𝑅𝐵
FÍSICA
MOMENTO DE PRACTICAR
• PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN
MOVIMIENTO CIRCULAR
1. Los radios de dos engranajes en contacto tangencial son: 6cm y 10cm, la menor gira con una velocidad angular de 10 rad/s. ¿Qué velocidad angular mostrará el otro engranaje?
A) 2 rad/s B) 3 rad/s C) 4 rad/s D) 5 rad/s E) 6 rad/s
SOLUCIÓN:
A
B 𝟏𝟎𝒄𝒎 6𝒄𝒎
V
𝐴= 𝑉𝐵
𝜔
𝐴𝑅
𝐴= 𝜔
𝐵𝑅
𝐵𝜔
𝐴10𝑐𝑚 = 10
𝑟𝑎𝑑𝑠
6𝑐𝑚
𝜔
𝐴= 6
𝑟𝑎𝑑𝑠
MOVIMIENTO CIRCULAR
2. Una hélice está compuesta por 5 paletas que giran a razón de 360 RPM. Si la longitud de cada paleta es 0, 5 m. Calcular la aceleración centrípeta en m/s2, en las puntas exteriores de las paletas.
A) 72 B) 36 C) 144 D) 144 2 E) 72 2
SOLUCIÓN:
𝜔 = 360 𝑅𝑃𝑀 = 360 𝜋 30
𝑟𝑎𝑑
𝑠 = 12𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝐷𝐴𝑇𝑂𝑆:
𝑅 = 0,5𝑚
𝑎𝑐 = 𝜔2𝑅
𝑎𝑐 = 12𝜋 2(0,5)
𝑎𝑐 = 144𝜋2 1 2
𝑎𝑐 = 72𝜋2 𝑚 𝑠2
MOVIMIENTO CIRCULAR
3. Por el borde de una pista circular de radio una partícula se desplaza según la ecuación de posición angular:
unidades del S.I.
Halle la longitud recorrida (en m) en el intervalo de 0 a 1 s.
A) B) C)
D) E)
R = 6 m
t t ,2
6 12 60
= + +
0,2 0, 4 0,6
0,8 1,0
SOLUCIÓN:
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑡0 = 0 𝜃0 = 𝜋
6 + 𝜋
12(0) + 𝜋
60(0)2
𝜃0 = 𝜋 6𝑟𝑎𝑑
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑡𝐹 = 1𝑠 𝜃𝐹 = 𝜋
6 + 𝜋
12(1) + 𝜋
60(1)2
𝜃𝐹 = 𝜋
6 + 𝜋
12(1) + 𝜋
60(1)2 𝜃𝐹 = 4 𝜋
15𝑟𝑎𝑑 𝐿𝑈𝐸𝐺𝑂:
X Y
𝜽𝟎𝜽𝒇 𝑅 = 6𝑚
∆𝑺
∆𝜽
∆θ = θf − θ0
∆𝜃 = 4𝜋 15 − 𝜋
6
∆𝜃 = 4𝜋 15 − 𝜋
6
∆𝜃 = 𝜋
10𝑟𝑎𝑑
∆𝑆 = ∆𝜃𝑅
∆𝑆 = 𝜋 10(6)
∆𝑆 = 0,6𝜋𝑚
MOVIMIENTO CIRCULAR
4. Un móvil describe una trayectoria circular con una aceleración angular de 4 rad/s2. Si parte del reposo, determine el instante de tiempo en el que su aceleración centrípeta es 4 veces su aceleración tangencial.
A) 1 s B) 2 s C) 5 s
D) 6 s E) 7 s
SOLUCIÓN:
𝒂𝒄 = 𝝎𝟐𝑹
𝒂T=𝜶𝑹
R
𝒂 𝜶
𝐿𝑈𝐸𝐺𝑂:
𝑎𝐶 = 4𝑎𝑇 𝜔2𝑅 = 4𝛼𝑅
𝜔2 = 4𝛼 𝜔2 = 4(4)
𝜔 = 4𝑟𝑎𝑑 𝑠
𝜔𝐹 = 𝜔0 + 𝛼𝑡
4 = 0 + 4𝑡 4 = 4𝑡
𝑡 = 1𝑠
MOVIMIENTO CIRCULAR
5. Un ventilador gira a razón de 240 rpm, y al desconectarse inicia un movimiento uniformemente retardado con una aceleración de rad/s2. ¿Cuántas revoluciones habrá experimentado durante los 2 primeros segundos?
A) 6 B) 7 C) 12
D) 14 E) 16 SOLUCIÓN:
𝜔° = 240 𝑅𝑃𝑀 = 240 𝜋 30
𝑟𝑎𝑑
𝑠 = 8𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝐷𝐴𝑇𝑂𝑆:
𝛼 = 𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑠2 𝑡 = 2𝑠
Δθ = ω
0𝑡 + 1
2 𝛼𝑡
2Δθ = 8𝜋 2 − 1
2 𝜋(2)
2Δθ = 16𝜋 − 2𝜋
Δθ = 14𝜋𝑟𝑎𝑑
𝐿𝑈𝐸𝐺𝑂:
N = ∆𝜃
2𝜋𝑟𝑎𝑑 : NÚMERO DE VUELTAS N = 14𝜋𝑟𝑎𝑑
2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 7 vueltas
MOVIMIENTO CIRCULAR
6. Una partícula con MCUV parte del reposo con = 2 rad/s2. ¿Cuántas vueltas habrá dado en el primer minuto de su movimiento?
A) 3600 B) 1600 C) 1800 D) 2000 E) 2500
SOLUCIÓN:
𝜔° = 0 𝐷𝐴𝑇𝑂𝑆:
𝛼 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠2 𝑡 = 60𝑠
Δθ = ω
0𝑡 + 1
2 𝛼𝑡
2Δθ = 1
2 2𝜋(60)
2Δθ = 3600𝜋 rad
𝐿𝑈𝐸𝐺𝑂:
N = ∆𝜃
2𝜋𝑟𝑎𝑑 : NÚMERO DE VUELTAS N = 3600𝜋𝑟𝑎𝑑
2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 1800 vueltas
MOVIMIENTO CIRCULAR
7. ¿Cuántas vueltas da un disco que parte del reposo en el tiempo de 1 min? Si al cabo de ese tiempo tiene una velocidad de 300 R.P.M. (Su movimiento es uniforme variado).
A)150 VUELTAS B) 200 C) 100
D) 300 E) 50
SOLUCIÓN:
𝜔° = 0 𝐷𝐴𝑇𝑂𝑆:
𝑡 = 60𝑠
𝜔𝑓 = 300 𝑅𝑃𝑀 = 300 𝜋 30
𝑟𝑎𝑑
𝑠 = 10𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑠
Δθ = ω
F+ ω
02 t
Δθ = 10π + 0
2 60
Δθ = 300π 𝑟𝑎𝑑
𝐿𝑈𝐸𝐺𝑂:
𝑠
N = ∆𝜃
2𝜋𝑟𝑎𝑑 : NÚMERO DE VUELTAS N = 300𝜋𝑟𝑎𝑑
2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 150 vueltas
MOVIMIENTO CIRCULAR
8. Un disco cuya aceleración angular es constante e igual a 2 rad/s2 gira un ángulo de 100 rad en 5 s. ¿Cuánto tiempo (en s) ha estado en movimiento antes de comenzar el intervalo de 5 s, si partió del reposo?
A) 6,0 B) 7,5 C) 9,0
D) 9,5 E) 12,0
SOLUCIÓN:
𝑳𝑰𝑵𝑬𝑨𝑳𝑴𝑬𝑵𝑻𝑬:
𝛼 = 2𝑟𝑎𝑑 𝑠2
∆𝜃 = 100𝑟𝑎𝑑 5𝑠
𝜔𝐴 = 0
𝑡
𝐴 𝐵 𝐶
𝜔𝐵
𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑩𝑪:
∆𝜃 = 𝜔0𝑡 + 1 2𝛼𝑡2
100 = 𝜔𝐵5 + 1
22(5)2 100 = 𝜔𝐵5 + 25
𝜔𝐵 = 15𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝑨𝑩:
𝜔𝐹 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 15 = 0 + 2𝑡
𝑡 = 7,5𝑠
MOVIMIENTO CIRCULAR
9. Se tiene un disco que está girando y se sabe que la velocidad en la periferia es 20m/s y la velocidad tangencial a 6m de la periferia es de 5m/s. Hallar el radio del disco:
A) 6m B) 8m C) 10m
D) 12m E) 20m
SOLUCIÓN:
A B
𝑹
6𝒎
𝑹 − 𝟔𝒎
𝜔
𝐴= 𝜔
𝐵20 𝑚/𝑠
𝑅 = 5 𝑚/𝑠 𝑅 − 6𝑚 𝑉
𝐴𝑅
𝐴= 𝑉
𝐵𝑅
𝐵4(𝑅 − 6𝑚) = 𝑅 4R − 24𝑚 = 𝑅
R = 8𝑚
MOVIMIENTO CIRCULAR
10. Si se tienen dos ruedas, interiormente tangenciales, siendo la velocidad angular de
"A" a 4rad/s. Se pide calcular la velocidad angular de B.
A) 5rad/s B) 10rad/s C) 15rad/s D) 20rad/s E) 20rad/s
A
B
2m 5m
SOLUCIÓN:
V
𝐴= 𝑉𝐵
𝜔
𝐴𝑅
𝐴= 𝜔
𝐵𝑅
𝐵𝜔
𝐵= 10
𝑟𝑎𝑑𝑠
4
𝑟𝑎𝑑𝑠
5𝑚 = 𝜔
𝐵2𝑚
MOVIMIENTO CIRCULAR
11. Una partícula describe un movimiento circular cuya ecuación de posición angular en función del tiempo está dada por 𝜽 = 𝝅 + 𝟑𝝅𝒕 + 𝝅𝒕𝟐, en unidades del S.I. Determine la velocidad
angular media (en rad/s) entre t = 23 s y t = 33 s
A) B) C)
D) E)
25 27 30
31 32
SOLUCIÓN:
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑡0 = 23𝑠
𝜃0 = 𝜋 + 3𝜋 (23) + 𝜋(23)2 𝜃0 = 599𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑡𝐹 = 33𝑠
𝜃𝐹 = 𝜋 + 3𝜋 (33) + 𝜋(33)2 𝜃𝐹 = 1189𝜋𝑟𝑎𝑑
𝜔𝑚 = 𝜃𝐹 − 𝜃0
∆𝑡
𝜔𝑚 = 1189𝜋 − 599𝜋 10
𝜔𝑚 = 590𝜋 10 𝜔𝑚 = 59𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠
MOVIMIENTO CIRCULAR
12. Una partícula parte del reposo en to = 0 con M.C.U.V con una aceleración
angular en trayectoria cuyo radio es 2 m. Determine la relación del módulo de la aceleración centrípeta con respecto al módulo de la aceleración tangencial en el instante .
2rad / s2
=
t =10 s
y
2m x
A) 350 B) 300 C) 250
D) 200 E) 100
SOLUCIÓN:
𝐶Á𝐿𝐶𝑈𝐿𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝐴 𝐴𝐶𝐸𝐿𝐸𝑅𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 𝑇𝐴𝑁𝐺𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴𝐿
𝑎𝑇 = 𝛼𝑅 𝑎𝑇 = (2)(2)
𝑎𝑇 = 4𝑚 𝑠2
𝐶Á𝐿𝐶𝑈𝐿𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝐴 𝐴𝐶𝐸𝐿𝐸𝑅𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 𝐶𝐸𝑁𝑇𝑅Í𝑃𝐸𝑇𝐴
𝜔𝐹 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 𝜔𝐹 = 0 + (2)(10) 𝜔𝐹 = 20𝑟𝑎𝑑
𝑠 𝑎𝐶 = 𝜔2𝑅
𝑎𝐶 = 20 2(2) 𝑎𝐶 = 800𝑚
𝑠2 𝑎𝐶
𝑎𝑇 = 800
4 = 200
MOVIMIENTO CIRCULAR
13. Una partícula inicia su movimiento circular con una aceleración de 3 rad/s2. ¿Después de qué tiempo (en s) el vector aceleración forma un ángulo de 37° con el vector velocidad?
A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5
D) 2,0 E) 2,5
SOLUCIÓN:
𝒂𝒄 = 𝝎𝟐𝑹
𝒂T=𝜶𝑹
R
𝒂 𝟑𝟕°
𝑡𝑎𝑛37° = 𝑎𝐶
𝑎𝑇 = 𝜔2𝑅 𝛼𝑅 3
4 = 𝜔2 3 𝜔 = 1,5𝑟𝑎𝑑
𝑠 𝜔𝐹 = 𝜔0 + 𝛼𝑡
1,5 = 0 + 3𝑡 1,5 = 3𝑡
𝑡 = 0,5𝑠
MOVIMIENTO CIRCULAR
14. La gráfica nos muestra la posición angular en función el tiempo de un rotor. Entonces con relación a las siguientes proposiciones indique verdadero (V) o falso (F).
(t)
t(s) (rad)
8 10
1
t1
Parábola
y x
Ventilador
I. En el instante t = 1s la rapidez angular es máxima.
II. La aceleración angular del rotor
es de
III. Se verifica que t1 = 2s.
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVF E) VFF
4 k rad / s
= −
SOLUCIÓN:
t(s) (rad)
8 10
1
t1
0
ℎ; 𝑘 = (1; 10𝜋)
𝜃 − 𝑘 = 1
2𝛼(𝑡 − ℎ)2 PARA t=0s, 𝜃 = 8π𝑟𝑎𝑑
8𝜋 − 10𝜋 = 1
2𝛼(0 − 1)2
−2𝜋 = 1
2𝛼(1) Ԧ
𝛼 = −4 𝑘𝑟𝑎𝑑 𝑠2 𝐹 ( 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜)
V( 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑌) F( 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 𝑡1 > 2𝑠)
MOVIMIENTO CIRCULAR
15. La partícula de la figura realiza MCUV en sentido antihorario. Si parte del reposo en “A” y pasa por “B” luego de 0,5 s, determine la aceleración tangencial en C (en m/s2).
A
2m C
B x
A) B) C)
D) E)
10 i
− 9 j 8 i 15 j
− 20 i
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆 + 8𝜋 Ƹ𝑗 𝑚
𝑠
2¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
16. La partícula inicia su movimiento desde el punto “A” como se muestra. Si experimenta un MCUV con halle su aceleración cuando pasa por B por primera vez.
4 rad / s k ,2
→
=
x y
R = 2m
A) B
B) C) D) E)
4 2 j 5 i
− − 5 2 j 8 i
− + 8 2 j 8 i
− − 5 − 2 j 2 i 8 +2 j 10 i
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆
− 8𝜋
2Ƹ𝑗 − 8𝜋 Ƹ𝑖
¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
17. Un disco parte del reposo con M.C.U.V con una aceleración angular de . Determine el número de vueltas que efectúa durante el quinto segundo de su movimiento.
A) 24 B) 34 C) 44 D) 54 E) 64
24 rad / s 2
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆 54 𝑉𝑈𝐸𝐿𝐴𝑆
¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
18. Identifique si cada proposición que se presenta a continuación es verdadera (V) o falsa (F) y marque la alternativa correcta.
I. En un MCUV la rapidez cambia de manera uniforme.
II. En un MCU la orientación de la velocidad cambia de manera uniforme.
III. En el movimiento circular la velocidad y aceleración solo forman ángulos agudos.
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FVF E) FFV SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆:
VVF
¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
19. Indique las afirmaciones correctas respecto de una partícula con movimiento circular.
I. El producto escalar de su velocidad por su velocidad angular es nulo.
II. La aceleración de la partícula está dirigida hacia el centro de giro.
III. El radio vector dirigido desde el centro de la trayectoria es de módulo constante.
A) Solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I y III
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆:
I y III
¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
20. Indicar las afirmaciones correctas respecto de las cantidades angulares en un movimiento circular.
I. La velocidad angular media tiene la misma dirección que el desplazamiento de la partícula.
II. La velocidad angular es un vector perpendicular al plano del movimiento.
III. La aceleración angular expresa la razón de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo.
A) Solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆:
II y III
¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
21. Una partícula que mantiene un M.C.U tiene una velocidad (en m/s) al pasar por el punto A. Determine la aceleración centrípeta (en m/s2) al pasar por el punto B considerando que el radio de la trayectoria es 25 m.
V 9 i 12 j
= +
A B
A) B) C) D) E)
9 i
9 i
− 9 j
15 i
15 i
−
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆:
+9 መ𝐼 𝑚 𝑠
2¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
22. Un disco gira con una velocidad angular cuya grafica vs t se muestra en la figura. Determine el número de vueltas que ha efectuado entre los instantes t = 6 s y t = 8 s.
t(s) 40
8 ω (rad/s)
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆:
5 VUELTAS
¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
23. Un disco parte del reposo en to = 0 con una aceleración angular de . Determine su desplazamiento angular (en rad) durante el cuarto segundo de su movimiento.
A) B) C)
D) E)
4 rad / s 2
10 12 14
16 18
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆:
14𝜋 𝑟𝑎𝑑
¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
24. Una polea que rota a razón de 1800 R.P.M. en to = 0, desacelera a razón de cada segundo. Determine el desplazamiento angular (en rad) hasta el instante en el cual rota a 600 R.P.M.
A) B) C)
D) E)
2 rad / s
100 200 400
600 800
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆:
800𝜋 𝑟𝑎𝑑
¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
MOVIMIENTO CIRCULAR
25. Una partícula en to = 0 parte del reposo con una aceleración angular constante de
𝟖𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐. Si el radio de la trayectoria es 2 m, determine aproximadamente el módulo de su aceleración (en m/s2) en t = 1 s.
A) B) C)
D) E)
67 96 129
163 184
SOLUCIÓN:
𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴 𝐸𝑆:
402𝜋 𝑚 𝑠
2¡ 𝐼𝑁𝑇É𝑁𝑇𝐴𝐿𝑂!
FÍSICA
PRACTICA Y APRENDERÁS