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1 El movimiento

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Academic year: 2020

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(1)1. El movimiento. 1.

(2) Esquema de contenidos El movimiento Sistemas de referencia. Velocidad. Tipos de movimientos Posición. Velocidad y distancia de seguridad. Trayectoria y desplazamiento. Velocidad media y velocidad instantánea. Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme. Aceleración. Representación gráfica del MRU. Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Características de un MRU a partir de sus gráficas. Representación gráfica del MRUA. Movimiento de dos móviles. Movimiento de caída libre. Movimiento circular uniforme. Espacio recorrido en un movimiento circular Velocidad y aceleración en un MCU.

(3) ¿Qué es el movimiento?. • Es el de un cuerpo. de. un. . La. se ocupa de determinar cuáles son sus características..

(4) Sistemas de referencia Un sistema de referencia es un punto o un conjunto de puntos que utilizamos para determinar si un cuerpo se mueve.. Lineal o espacio unidimensional. Sistema de referencia. Observador. Estamos en movimiento. Plano o espacio bidimensional. Sistema de referencia. Observador. Estamos en reposo. Espacial o espacio tridimensional.

(5) Posición Sentido. Un vector es un segmento orientado. Además de indicar una cantidad (el módulo), hay que precisar su dirección y sentido. Módulo. Dirección Y Z. O. O. X. X. O. El vector de posición, 𝑟 , nos define el lugar que ocupa el objeto en cualquier instante. Su módulo se mide en metros en el S.I.. Y.

(6) Trayectoria y desplazamiento Trayectoria: línea imaginaria que recorre el cuerpo en su movimiento. Lineal o unidimensional. Plano o bidimensional. Espacial o tridimensional. Y. Z. → r1. O. → r2. → r. → r. → r1. O X. O El vector desplazamiento (en negro) coincide en dirección con la trayectoria en un movimiento lineal.. → r2. El vector desplazamiento (en negro) no coincide con la trayectoria. Y es la diferencia entre los vectores de posición r2 y r1. X. El vector desplazamiento tampoco coincide con la trayectoria. Tiene como origen el extremo del vector posición r1 y como extremo el mismo que el vector posición r2 .. Y.

(7) Vectores de posición. 𝑟=. 𝑥 2 + 𝑦2. Coordenadas polares. 𝑟=. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2.

(8) Velocidad media y velocidad instantánea. 2 h 30 min. Torrelodones (Madrid). 237 km. Benavente (Zamora). El velocímetro nos indica el valor de la velocidad en cada instante: es la velocidad instantánea. La velocidad media en un recorrido la calculamos dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo que hemos tardado en recorrerlo.. vmedia =. v. espacio recorrido tiempo. =. 237 km 2,5 h. = 94,8. km h.  r r  r0  se mide en m en el S .I s t t  to. El vector velocidad media tendrá la dirección y el sentido del vector desplazamiento..

(9) Velocidad instantánea. v. 4. Y. . r . r. 1. . r 3. . r. . r. 2. . r. 3. 2. . r. 4. 1. X. Se representa por un vector tangente a la trayectoria, cuyo origen es el punto considerado, y cuyo sentido es el de avance del móvil.

(10) Velocidad y distancia de seguridad Cuando un coche circula por una carretera, debe guardar una cierta distancia de seguridad, que depende de la velocidad y debe ser, como mínimo, el doble de la distancia que se recorre a esa velocidad en el tiempo de reacción.. En un adulto, el tiempo de reacción medio oscila entre 0,75 y 1 segundo. DISTANCIA DE DETENCIÓN 50 km/h. =. DISTANCIA DE REACCIÓN. En 1 s se recorren 14 metros.. 14 m. +. DISTANCIA DE FRENADA. 12 m 26 m. 90 km/h. En 1 s se recorren 25 metros.. 25 m. 40 m 65 m. 120 km/h. En 1 s se recorren 33,3 metros.. 33,3 m. 70 m 103,3 m.

(11) Aceleración Aceleración es una magnitud vectorial que mide lo que varía la velocidad de un móvil por unidad de tiempo. En el SI se mide en (m/s)/s =m/s2.. Se mide en m/s2 Aceleración tangencial (at). Mide lo que varía el módulo de la velocidad por unidad de tiempo. Aceleración centrípeta o normal (an). Mide lo que varía la dirección del vector velocidad por unidad de tiempo.. Para que un móvil tenga las dos componentes de la aceleración, debe tener un movimiento curvilíneo cuya velocidad cambie en módulo.. 𝑎 = 𝑎𝑡 + 𝑎𝑛.

(12) Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme Es un movimiento en el que se mantienen constante el módulo, la dirección, el sentido y la velocidad.. X0. Xf. La ecuación que determina la posición en cada instante en un MRU es: xf = x0 + v·t v = cte..    r  r0  v t.

(13) Representación gráfica del MRU Un móvil parte de un punto situado a una distancia de dos metros con respecto al origen de coordenadas y lleva una velocidad constante de 5 m/s.. xf = x0 + v ⋅ t → xf = 2 + 5t. La gráfica x-t es una línea recta que corta al eje de ordenadas en la posición inicial (x0). La gráfica v-t es una línea horizontal, paralela al eje de abscisas, que corta al eje de ordenadas en el valor de la velocidad del móvil..

(14) Características de un MRU a partir de sus gráficas. Valor del espacio inicial x0 = 92,5 m. Para conocer la velocidad, leemos los valores tiempo y posición (t, x) de dos puntos de la línea y aplicamos la expresión de la velocidad:. x2 – x1 v=. t2 – t1. 30 – 80 =. 10 – 2. = – 6,25 m/s. La ecuación del MRU correspondiente a la gráfica es: xf = x0 + v·t → x = 92,5 − 6,25 ⋅ t. Pendiente de la recta.

(15) Movimiento de dos móviles 20 km. Villarriba. Villabajo. 1. Elegimos un origen del sistema de referencia. 2. Elegimos un origen de tiempos x=0m. x = 20 000 m. v = 10 m/s. v = 8 m/s tA= t – 600 s. tI = t. Ignacio. 3. Planteamos las ecuaciones de movimiento de cada corredor. Sale a las once en punto. Sale a las once y diez. x = 10 t 10 t = 20 000 – 8 (t-600). Alejandro. x = 20 000 – 8 (t-600) 10 t + 8 t = 20 000 + 4800. 18 t = 24 800. t = 24 800/18 = 1377,8 s. 4. La posición a la que se encuentran es. 1377,8 s = 23 min. x = 10 t = 10 · 1377,8 = 13 778 m = 13,8 km de Villarriba. A las 11 h 23 min.

(16) Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un movimiento cuya trayectoria es una línea recta y cuya aceleración es constante. Ecuación de posición. Aceleración tangencial.    12 r  r0  v0t  at 2.    v  v0  a  t. Ecuación de velocidad.

(17) Representación gráfica del MRUA Un móvil se desplaza en línea recta desde un punto situado a 2 metros del origen con una velocidad inicial de 3 m/s y una aceleración constante de 2 m/s2.. xf = x0 + v0 ⋅ t + 1/2 at2. La gráfica v-t será: vf = v0 + at. xf = 2 + 3 t + t2. v=3+2t.

(18) Movimiento de caída libre MRUA Cuando baja, su velocidad es cada vez más negativa, es decir, su módulo aumenta, pero su signo es negativo, ya que el móvil va hacia abajo.. v0 < 0 (lanzamos hacia abajo) ó v0=0 (se deja caer) v<0. Cuando lanzamos un cuerpo hacia arriba, su velocidad disminuye hasta que se hace cero.. Las ecuaciones del movimiento de caída libre son:. v0 > 0 vf = 0. En ambos casos, la aceleración “g” es de 9,8 m/s2.. V  V  9,8.t Punto más alto. 0.

(19) 19.

(20) Composición de dos movimientos uniformes perpendiculares. • La ecuación de velocidad será: v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes. • La ecuación de la posición será: r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j • Realmente son dos ecuaciones independientes con el “tiempo” común: vx = k ; vy = k’ ; x = x 0 + vx · t ; y = y 0 + v y · t • Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en la otra :. •. vy y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta (trayectoria) vx.

(21) Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando una velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s a la izquierda y qué tiempo tardará en conseguirlo?. 50 m. 𝑽barca = (5 ·cos  𝒊 + 5 ·sen  j) m/s . 𝑽río = –3 m/s i. Ecuaciones escalares de velocidad: Vx= 5 m/s · cos  – 3 m/s ; Vy= 5 m/s · sen .

(22) Ecuaciones escalares de posición • x = (5 m/s · cos  – 3 m/s) · t Para cruzar justo enfrente x = 0.   =arc cos 3/5 = 53’13 º • y = 5 m/s · sen  · t = 5 m/s · 0,8 · t Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t  t = 12,5 s 0 = 5 m/s · cos  – 3 m/s  cos  = 3/5. 50 m. . X. 22.

(23) Tiro horizontal. 23.

(24) ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL. Para un observador en tierra, la trayectoria es parabólica. Para un pasajero del avión, el movimiento es vertical y en caída libre. Para el observador en caída libre, el móvil posee un MRU horizontal 24.

(25) La. sometido a. , el cuerpo queda. :. SOBRE EL EJE X: (mru) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente , este es el MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este seguiría indefinidamente en línea recta).. SOBRE EL EJE Y: (mrua) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado (aceleración de la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA.. Componente horizontal: x= v0 t Componente vertical: y = y0 - ½ gt2 Ecuación de la posición: r = v0 t i +(y0 - ½ gt2) j. Ecuación de la velocidad Vx=Vo; ; Vy=-gt V= Voi-gtj 25.

(26) El movimiento oblicuo (parabólico). 26.

(27) Es una composición de : un MRU en el eje horizontal (de las “x”) y un MRUA (caída libre) en el eje vertical (de las “y”).. (Vy=0). Ecuaciones del movimiento:. 1 2 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 . 𝑡 − 𝑔𝑡 2. 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑥 . 𝑡. r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j 𝑟. v0x = v0 · cos  𝑉0𝑥 = 𝑉𝑥. v0y = v0 · sen  𝑉𝑦 = 𝑉𝑜𝑦 − 𝑔𝑡. v = v0x · i + (v0y – g · t) · j (y=0). a=–g·j 27.

(28) Espacio recorrido en un movimiento circular Un movimiento circular es el que tiene un móvil cuya trayectoria es una circunferencia. C’. s =arco. B’ A’. φ = ángulo. A. B. Cuando el disco gira un ángulo ϕ (se lee «fi»), los tres puntos A, B y C se desplazan hasta las posiciones A', B' y C'.. C. r = radio. Cuando el ángulo barrido se mide en radianes, la relación entre el ángulo (ϕ) y el espacio lineal (s) que describe el móvil es: arco = ángulo ⋅ radio s=ϕ⋅r. Periodo (T): Es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Se mide en segundos. Frecuencia (): Es el número de vueltas que da por unidad de tiempo. Se mide en hertzios = s–1.. 1  T. s. 1.

(29) Velocidad y aceleración en un MCU. En un movimiento circular se define la velocidad angular (ω) como la relación entre el ángulo recorrido (ϕ) medido en radianes, y el tiempo que tarda en recorrerlo.. Un móvil con movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial (que mide la variación del módulo del vector velocidad), pero sí tiene aceleración normal o centrípeta (que mide lo que varía la dirección del vector velocidad).. Como s = ϕ ⋅ r y podemos definir la velocidad (v) como 𝑣 = ∆ϕ ⋅ r 𝑣= → 𝑣 = 𝜔. 𝑟 ∆𝑡. ∆𝑆 ∆𝑡. →.

(30) Ecuaciones movimiento circular uniforme Se cumple que a  0 at = 0 (v = cte); an = k (como v = cte  R = cte) La velocidad angular es constante:  =  · k  = = 2 / T = 2 rad ·  Ecuación escalar que nos permite calcular el ángulo descrito en radianes:.  =  · t + 0.

(31) Ejemplo:. Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.. 90 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝜔= . . = 3𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎. 𝑣 = 𝜔. 𝑟 = 3𝜋. 0,75 = 7,1 𝑚/𝑠 Δ𝜑 = 𝜔. 𝑡 = 3𝜋. 10 = 30𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 15 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠. 31.

(32) Movimiento circular uniformemente acelerado. Se cumple que a  0;  at = k. an  k’. Δ𝑣 Δ 𝜔. 𝑟 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎𝑡 = = = 𝛼. 𝑟 𝑒𝑛 𝑚/𝑠 2 Δ𝑡 Δ𝑡 Donde α es la aceleración angular, que mide la variación de la velocidad angular respecto el tiempo, se mide en rad/s2. Componentes intrínsecas. Δ𝜔 𝜔 − 𝜔0 𝛼= = Δ𝑡 𝑡. Reagrupando términos en la ecuación anterior se puede obtener la siguiente ecuación:. 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼. 𝑡 La expresión que nos permite calcular el ángulo descrito por el objeto en un MCUA será:. 1 2 𝜑 = 𝜑0 + 𝜔0 𝑡 + 𝛼𝑡 2. 32.

(33) Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.. 𝜔 − 𝜔𝑜 5−0 𝑎) 𝛼 = = = 0,083 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 𝑡 60. 𝑏) 𝜔 25 𝑠 = 𝜔𝑜 + 𝛼. 𝑡 = 0 + 0,083 . 25 = 2,1 𝑟𝑎𝑑/𝑠 v= 𝜔 . r = 2,1 . 0,15= 0,31 m/s 𝑐) 𝑎𝑡 = 𝛼 . 𝑟 = 0,083 . 0,15 = 0,012 m/s2 an= ω2.r= α2.t2.r = 0,0832 . 0,15 . t2= 1,03.10-3. t2 m/s2 1 𝑑) 𝜑 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 = 𝛼. 𝑡 2 = 0,5 . 0,083. 602 = 150 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 23,9 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 2 Recuerda: 1 vuelta = 2π radianes. 33.

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Referencias

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