UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FUNCIONES
VECTORIALES DE
VARIABLE REAL
ING. OMAR CASTILLO PAREDES
1 INTRODUCCIÒN
Esta edición del presente material ha sido elaborado para servir de apoyo en el aprendizaje del tema de funciones vectoriales de una variable real para los estudiantes de Ingeniería Industrial de la Universidad Nacional del Callao.
Cada sección comprende el desarrollo teórico del tema, ejemplos de aplicación y ejercicios propuestos para fijar el aprendizaje, estos deben ser complementados con los ejercicios y problemas que aparecen al final del material a manera de reforzamiento de lo aprendido.
Se entiende que el lector está familiarizado con los temas de cálculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real y con la teoría vectorial fundamentalmente.
Sucesivamente se desarrollan la definición de las funciones de R en Rn, la gráfica del rango, la parametrización de curvas, el cálculo diferencial e integral, el triedro móvil curvatura , torsión y las fórmulas de Frenet Serret .
Cualquier sugerencia o comentario se agradecerá y servirá para mejorar futuras ediciones de este material.
OMAR CASTILLO PAREDES Callao, Agosto 2015 [email protected]
2
INDICE
Pág
Sección 1 Funciones de R en Rn 3
1.1 Definición 3
1.2 Operaciones con funciones vectoriales de una variable real 5
1.3 Curvas en Rn 6
1.4 Parametrizacón de curvas 7
Sección 2 Cálculo diferencial 11
2.1 Límites 11
2.2 continuidad 14
2.3 Diferenciabilidad 15
Sección 3. Integración 17
3.1Integración de funciones vectoriales de variable real 17
3.2 longitud de arco de curvas 18
3.3 Función longitud de arco 19
Sección 4 Triedro móvil 21
4.1 Vector tangente unitario 22
4.2 Vector normal y vector binormal 22 4.3 Componentes de la aceleración 23 4.4 Plano osculador, normal y rectificante 24
4.5 Curvatura y torsión 25
3
SECCIÓN 1. FUNCIONES DE IR EN IRn
1.1 Definición Una función que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en IRn se denomina función vectorial de variable real.
Simbólicamente;
F: I ⊂ IR ⇾IRn
t⟼ F(t)
La función F asocia a cada número real t ∈ IR un y solo un vector F(t) en IRn ; donde
F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) )
Cada fi es una función real de una variable real, t;
fi: Dom(fi)⊂ IR ⇾ IR ; ∀ i = 1 , 2, 3 , …, n
t⟼fi(t)
Dom(fi) es el dominio de la función real fi.
Las funciones fi son llamadas funciones coordenadas o componentes.
El dominio de F se denota por Dom(F) y es dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;
𝐷𝑜𝑚(𝐹) = ⋂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓𝑖)
𝑛
𝑖=1
NOTA.- El dominio de F es el mayor subconjunto de IR para el cual F(t) tiene sentido
Ejemplo 1. Sea la función vectorial F : IR ⇾ IR3, tal que 𝐹(𝑡) = (𝑡 , 1
√𝑡−1 , ln (4 − 𝑡))
Sus funciones componentes son: f1(t) = t ; f2(t) = 1
√𝑡−1 ; f3(t) = ln(4 – t ) , cuyos dominios
son:
Dom(f1) = IR ; Dom(f2) = ]1 , + ∞[ ; Dom (f3) = ]-∞ , 4 [
La intersección de los dominios es ]1 ,4 [ = Dom(F)
Ejemplo 2. Sea F(t) = ( 1,3, 0 ) + t (-1,-1,3 ) , t ∈ IR . A cada número real, t, la función F le asocia un radio vector en IR3 que termina en la recta que tiene dirección (- 1,-1,3) y pasa por
4 F(t) = ( 1 – t , 3-t , 3t) . Sus funciones componentes son f1(t) = 1- t ; f2(t) = 3- t ; f3(t) = 3t
Dom(f1) = Dom(f2) = Dom(f3) =IR ; luego Dom ( F) = IR y su rango son todos los puntos de la
recta L.
Ejemplo 3. Sea G(t) = ( 4 cost , 4 sent ) ; t ∈ [0, 2π ] G : [0, 2π ] ⇾ IR2
La función G asocia a cada ángulo polar, t , un punto de la forma x = 4cost , y = 4sent que pertenecen a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4
Ejemplo 4. Graficar el rango de F(t) = (t , t, t2 ) , para t∈[−6, 6]
En este caso es
x = t = y → x = y que es la ecuación del plano diagonal perpendicular al plano XY z=t2 equivale a la ecuación del cilindro parabólico z = x2.
La gráfica es la curva de intersección entre el plano y =x con el el cilindro z = x2
Ejemplo 5.-Graficar el rango de H(t) = ( sen(t), cos(t), t ) ; t ∈ [0, 8𝜋]
x y x y z X Y
5 La función asocia a cada ángulo t, un punto de la hélice circular recta, tal que
x= sent , y = cost , z = t
Este gráfico representa el movimiento del electrón en un campo magnético. Ejercicios
Graficar la curva que está representada por la función vectorial que se indica 1. (2sent,4cost,t) ; t≥ 0 2. (t , cost , sent ) ; t ≥0 3. (t , 2t , cost ) ; t ≥ 0 4. (4,2cost,3sent) 5. ti + t3 j +tk 6. (𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑒𝑡) 7. (𝑡2, 𝑡 + 1 , 𝑡 − 𝑡3)
1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES
Supongamos que las funciones F y G están definidas en el mismo intervalo I ⊂ IR F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) ) ; G(t) = ( g1(t) , g2(t) , g3(t) ,…, gn(t) )
Siendo las imágenes de F y G vectores en IRn , resulta natural definir las siguientes operaciones:
1. Adición de funciones
(F + G) (t) = F(t) + G(t) = ( f1(t) +g1(t) , f2(t) +g2(t) , f3(t) +g3(t) ,…, fn(t) + gn(t) )
2. Multiplicación de un escalar por una función
( kF)(t) =k(F(t)) = (kf1(t) , kf2(t) , kf3(t) ,…,kfn(t) ) -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 25 30 x Hélice circular recta
Y
z
6
3.Multiplicación escalar o producto interno de funciones :
(F⋅G)(t) = F(t) . G(t) = f1(t) g1(t) + f2(t) g2(t) + f3(t) g3(t) + ,…, +fn(t) gn(t)
4. Multiplicación vectorial (solo para n = 3)
(F x G) (t) = F(t) x G(t)
= (f2(t) g3(t) - f3(t) g2(t) , f1(t) g3(t) -f3(t) g1(t) , f2(t) g1(t) - f1(t) g2(t))
5. Multiplicación de una función real por una función vectorial
Sean 𝜑: 𝐼 ⊂ 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 una función real y F: I ⊂ IR ⇾IRn una función vectorial de variable
real
( φF)(t) =(φ(t)f1(t) , φ(t)f2(t) , φ(t)f3(t) ,…,φ (t)fn(t) )
Ejemplo 4Sea φ(t) = e t ; F(t) = ( cos t, sen t , t ) ; Dom (φ) = IR ; Dom (F) = [ 0 , 2π]
La función producto φ(t) F(t) es
φ(t) F(t) = (e tcos t , e tsen t , e tt ) ; Dom (φ F ) = [ 0 , 2π]
1.3. CURVAS EN IRn
Definición. Un camino o trayectoria en el espacio IRn es una función vectorial, continua en un intervalo I contenido en IR
Definición. Se llama curva en IRn, al conjunto C formado por la imagen o rango de una trayectoria o camino F: [a, b ] ⇾IRn .
C= {P∈IRn / P = F(t) ; t ∈ [ a , b ] }
Si t es el tiempo F(t) puede ser considerado como la trayectoria de una partícula.
NOTA.
1. La curva C se conoce como la TRAZA de F. Los vectores F(a) y F( b) son los extremos de la curva.
2. En la gráfica de una curva descrita por una función continua no puede haber interrupciones.
7 4. En casos de curvas es usual denotar la función con letras griegas con el propósito, más adelante, de distinguir a las funciones vectoriales de las funciones reales. Se utilizará ambas notaciones de acuerdo a la situación.
1.4. ECUACIONES PARAMETRICAS DE C.
Sea C: P = ⍺(t) , la curva descrita por la trayectoria o camino ⍺. Tal que
⍺ (t) = (⍺1 (t), ⍺2 (t), ⍺3 (t),… , ⍺n (t)) . Si P(x1 , x2 , … xn ) es un punto cualquiera que
pertenece a C ; entonces las ecuaciones reales : x1 = ⍺1 (t)
x2 = ⍺2 (t) ; t ∈ [ a , b ]
⋮
xn = ⍺n (t) Se llaman ECUACIONES PARAMETRICAS DE C y la función
⍺constituye una parametrización de la curva .
Ejemplo 1. La función ⍺ (t) = ( 1 – sent , 1 – cost ) , t ∈ [ 0 , 2π ] describe una curva C en el plano XY ; sus ecuaciones paramétricas son ,
x = 1 – sent y = 1 - cost
El parámetro t es el ángulo polar medido entre el radio vector OP y el semi eje positivo OX Su gráfica es una circunferencia.
Eliminando el parámetro de las ecuaciones dadas Sent = 1 – x ,cost = 1- y
Elevando al cuadrado y sumando, resulta
(x-1)² + ( y – 1 ) ² = 1 representa a una circunferencia de centro ( 1 ,1 ) y radio r = 1
Ejemplo 2. Esbozar la gráfica de la función vectorial ⍺ :[ 0 , 2π ]⇾ IR3 , tal que
⍺(t) = ( tcost , tsent , t ) Solución.
8 1) Calculamos algunos puntos por donde pasa la curva
2) Puesto que las coordenadas de ⍺ son funciones trigonométricas continuas, esperamos que la curva que describan no tenga interrupciones.
3) Si elevamos al cuadrado cada coordenada x = tcost; y = tsent ; y sumamos se obtiene x² + y² = t ².
Reemplazando z por t se tendrá la superficie x² + y ² = z²
que representa a un cono con vértice en el origen de coordenadas y eje, el eje Z . La curva trepa dicha superficie.
Gráfica de ⍺(t) = ( tcost , tsent , t ) para t en [0,10π]
Nota. En R3:
a) Una sola ecuación f(x, y, z) = 0, representa una superficie
-30 -20 -10 0 10 20 30 -5040 0 50 0 5 10 15 20 25 30 35 y x z T 0 π/2 π 3 π/2 2 π x(t) 0 0 - π 0 2 π y(t) 0 π/2 0 -3 π/2 0 z(t) 0 π/2 Π 3 π/2 2 π
9 b) Dos ecuaciones f(x, y, z) = 0 y g (x, y, z) = 0 , representan una curva . En este caso es conveniente parametrizar la curva; es decir, hallar una función en un solo parámetro que la describa, para lo cual se elige un parámetro adecuado.
Ejemplo 1. Hallar una parametrización para la curva de intersección de y = x2 +1 y el
plano P: y +z- 2 = 0. Solución
Hagamos x = t , donde t es un número real arbitrario
Reemplazando t en ambas ecuaciones, se obtiene y = t2 +1, z = 1 – t2 . Entonces
C: f(t) = ( t, t2 +1 , 1 – t2 ).
f es la parametrización de C.
Nota.- Se puede elegir y = t ,o z = t , dependiendo de la forma que tienen las ecuaciones de las superficies.
Ejemplo 2 .La intersección de los cilindros z = x2, z = 4 –y2 , se observa en el gráfico
-2 -1 0 1 2 -2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 x y=x.2+1 z=2-y y z -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4 x y z
10 Hagamos : x=2 cos(t) , y = 2sen(t) ,z= 4(cos(t))2, para 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 satisfacen las
ecuaciones de los cilindros y constituyen una parametrización de la curva de intersección de los cilindros. Se visualiza a continuación la curva C: x = 2cost, y = 2sent, , z= 4 cos2t ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Ejemplo3. Parametrizar la curva que resulta de interceptar el cilindro (x-1)2 + (y – 2)2 = 4
con el plano x + y+ z = 2 Solución.
1) Primera forma
Sea x = t ; reemplazando en las ecuaciones dadas ,resulta, (y – 2)2 = 4 - (t - 1)2 ⟹ 𝑦 = 2 ± √4 − (𝑡 − 1)2
𝑧 = 2 − 𝑡 − (2 ± √4 − (𝑡 − 1)2 ) ⟹ 𝑧 = −𝑡 ∓ √4 − (𝑡 − 1)2
Hallando el dominio del parámetro
4 − (𝑡 − 1)2 ≥ 0 ⟹ |𝑡 − 1| ≤ 2 ⟹ −1 ≤ 𝑡 ≤ 3 Debido a la variable y, es claro que C consta de dos ramas C1 y C2 descritas por:
𝛼1: { 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 2 + √4 − (𝑡 − 1)2 ; 𝑡 ∈ [−1, 3] 𝑧 = −𝑡 − √4 − (𝑡 − 1)2 𝛼2: { 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 2 − √4 − (𝑡 − 1)2 ; 𝑡 ∈ [−1, 3] 𝑧 = −𝑡 + √4 − (𝑡 − 1)2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y x z
11 b) Segunda forma
La directriz del cilindro es una circunferencia, por este motivo tomaremos como parámetro el ángulo polar t . Las ecuaciones polares son:
x – 1 = 2cost ⟹ x = 1 + 2cost
y – 2 = 2sent ⟹ y = 2 + 2sent , 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
reemplazando en la ecuación del plano , tenemos z = -1 – 2cost – 2sent ; entonces
𝐶: 𝛽: {
𝑥 = 1 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛𝑡 ; 𝑡 ∈ [0, 2𝜋] 𝑧 = −1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛𝑡
La ventaja de usar coordenadas polares es que al variar t en [0, 2𝜋] , la parametrización describe toda la curva C, a diferencia de la anterior.
Nota. Es recomendable utilizar coordenadas polares en el caso que la proyección ortogonal de la curva sobre su dominio resulte una circunferencia.
Ejercicios
Encuentre la función vectorial r(t) que describe la curva C de intersección entre las superficies dadas. Dibuje la curva y emplee el parámetro
1. z=𝑥2 + 𝑦2 , 𝑦 = 𝑥 ; 𝑥 = 𝑡 2. 𝑥2+ 𝑦2− 𝑧2 = 1 , 𝑦 = 2𝑥 ; 𝑥 = 𝑡 3. 𝑥2+ 𝑦2 = 9 , 𝑧 = 9 − 𝑥2 ; 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑡 4. z=𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 = 1 ; 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 5. x + y +z = 1 , y = x ; x = t 6. 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 4 , 𝑦 = 𝑥2 ; 𝑥 = 𝑡
Sección 2. Cálculo Diferencial 2.1. LIMITES
El concepto de límite de una función F: I ⊂ IR ⇾IRn es el mismo que para funciones reales
de una variable real, solo cambian los espacios.
Definición. Sea F: I ⊂ IR ⇾IRn una función definida en un intervalo abierto I de IR , sea t 0∈ I
un punto de acumulación de I; el vector B es el límite de F cuando t tiende a t0 , se escribe
lim
𝑡→𝑡0
12 Si y solo si dado cualquier ε>0 , existe un δ> 0 tal que
∀t∈ I ,0 <|𝑡 − 𝑡0| < 𝛿 ⟹ ‖𝐹(𝑡) − 𝐵‖ < 𝜀
Teorema .Sea F: I ⊂ IR ⇾IRn , tal que F(t) = ( f
1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) ) ; t0∈ I , I es un
intervalo abierto; B = ( b1 , b2 ,b3 , … ,bn ). Se cumple:
lim 𝑡→𝑡0 𝐹(𝑡) = 𝐵 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 lim 𝑡→𝑡0 𝑓𝑖(𝑡) = 𝑏𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, 3, … . , 𝑛 Demostración.
⟹)Supongamos que existe
lim
𝑡→𝑡0
𝐹(𝑡) = 𝐵
Entonces ∀ε>0 , existe un δ> 0 tal que ∀ t ∈ I ,0 <|𝑡 − 𝑡0| < 𝛿 ⟹ ‖𝐹(𝑡) − 𝐵‖ < 𝜀
Puesto que para todo i = 1,2,3..,n se tiene
|𝑓𝑖(𝑡) − 𝑏𝑖| ≤ √(𝑓1(𝑡) − 𝑏1)2+ ⋯ + (𝑓
𝑛(𝑡) − 𝑏𝑛)2 ≤ ‖𝐹(𝑡) − 𝐵 ‖ < 𝜀
Luego |𝑓𝑖(𝑡) − 𝑏𝑖| < 𝜀
Entonces existe 𝛿𝑖 = 𝛿 > 0 tal que si 0 < | 𝑡 − 𝑡0| < 𝛿 = 𝛿𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓𝑖(𝑡) − 𝑏𝑖| < 𝜀
Esto equivale a decir que, lim
𝑡→𝑡0
𝑓𝑖(𝑡) = 𝑏𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, 3, … . , 𝑛
La segunda parte se deja para el lector
OBSERVACION
El teorema afirma que el límite de la función vectorial F está completamente determinado por los límites de sus funciones coordenadas 𝑓𝑖 ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅 , esto permite escribir,
lim 𝑡⟶𝑡0 𝐹(𝑡) = ( lim 𝑡⟶𝑡0 𝑓1(𝑡), lim 𝑡⟶𝑡0 𝑓2(𝑡), lim 𝑡⟶𝑡0 𝑓3(𝑡), … , lim 𝑡⟶𝑡0 𝑓𝑛(𝑡))
Siempre que los límites del segundo miembro existan.
Ejemplos Calcular los límites de F(t) en el punto dado 1) F(t) = (𝑡 , 𝑒−𝑡 , 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛2𝑡
13 2) F(t) = (𝑡−1
𝑡2−1 , 𝑡 + 5 , ln (𝑡 + 1)) ; t = 1 Teorema. Si F: R→Rn , G: R→Rn , t
o es un punto de acumulación de DomF∩DomG y si
lim 𝑡⟶𝑡0 𝐹(𝑡) = 𝑎⃗ , 𝑦 𝑠𝑖 lim 𝑡⟶𝑡0 𝐺(𝑡) = 𝑏⃗⃗ , entonces 1. lim 𝑡⟶𝑡0 ( 𝐹(𝑡) ± 𝐺(𝑡)) = lim 𝑡⟶𝑡0 𝐹(𝑡) ± lim 𝑡⟶𝑡0 𝐺(𝑡) = 𝑎⃗ ± 𝑏⃗⃗ 2. lim 𝑡⟶𝑡0 ( 𝐹(𝑡). 𝐺(𝑡)) = lim 𝑡⟶𝑡0 𝐹(𝑡). lim 𝑡⟶𝑡0 𝐺(𝑡) = 𝑎⃗. 𝑏⃗⃗ 3. lim 𝑡⟶𝑡0 ( 𝐹(𝑡) × 𝐺(𝑡)) = lim 𝑡⟶𝑡0 𝐹(𝑡) × lim 𝑡⟶𝑡0 𝐺(𝑡) = 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ 4. Si φ: R→ R, con lim 𝑡⟶𝑡0 𝜑(𝑡) = 𝑘 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 ∈ 𝑅 , entonces lim 𝑡⟶𝑡0 (𝜑 𝐹)(𝑡) = lim 𝑡⟶𝑡0 𝜑(𝑡) lim 𝑡⟶𝑡0 𝐹(𝑡) Teorema.- si F: R → Rn , t
o es un punto de acumulación de DomF y si existe
lim
𝑡⟶𝑡0
𝐹(𝑡) = 𝑏 ⃗⃗⃗⃗ entonces existen lim
𝑡⟶𝑡𝑜+ 𝐹(𝑡) 𝑦 lim 𝑡⟶𝑡𝑜− 𝐹(𝑡) Además lim 𝑡⟶𝑡𝑜+ 𝐹(𝑡) = lim 𝑡⟶𝑡𝑜− 𝐹(𝑡) = 𝑏⃗⃗ Ejemplo. Calcular lim 𝑡⟶0( 𝑒 𝑡,𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 , 𝑡2 𝑡2 + 3𝑡3 ) = ( lim𝑡⟶0𝑒𝑡 , lim𝑡⟶0 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 , lim𝑡→𝑡0 𝑡2 𝑡2+ 3𝑡3 ) = ( 1, 1, 1 4 ) Proposición. Si lim 𝑡⟶𝑡0
𝐹(𝑡) = 𝐿⃗⃗ , demostrar que la longitud de F(t) se aproxima a la longitud de 𝐿⃗⃗ a medida que t se aproxima a to .
En efecto,
‖F(t)‖ es la longitud de F(t) , y, ‖L⃗⃗‖ es la longitud de L⃗⃗ Debe demostrarse que
lim 𝑡⟶𝑡0 ‖𝐹(𝑡)‖ = ‖𝐿⃗⃗‖ , 𝑠𝑖 lim 𝑡⟶𝑡0 𝐹(𝑡) = 𝐿 ⃗⃗⃗⃗ lim 𝑡⟶𝑡0 𝐹(𝑡) = 𝐿 ⃗⃗⃗⃗ ⇔ ∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑡 − 𝑡0| < 𝛿 ⟹ ‖𝐹(𝑡) − 𝐿⃗⃗‖ < 𝜀 Pero
14 ‖𝐹(𝑡) − 𝐿⃗⃗‖ ≥ | ‖𝐹(𝑡)‖ − ‖𝐿⃗⃗‖ |
Como ‖𝐹(𝑡) − 𝐿⃗⃗‖ < 𝜀 , cuando |𝑡 − 𝑡0| < 𝛿, entonces | ‖𝐹(𝑡)‖ − ‖𝐿⃗⃗‖ | < 𝜀 En consecuencia
lim
𝑡⟶𝑡0
‖𝐹(𝑡)‖ = ‖𝐿⃗⃗‖
Ejercicios
Calcular el límite de las siguientes funciones en el punto dado 1. F(t) = ( 3t2 – 1 , (1-cost)/t , t3 – 1) ; to = 0 2. G(t) = (𝑡 + 1 𝑡 − 1⁄ , √1 − 𝑡3 , 2𝑡 4 − 𝑡⁄ 2 ) ; to = 1 3. H(t) = ( |𝑡 − 1|, [𝑥] , 3𝑡 ) ; to = 3 4. K(t) = ( 𝑒√𝑡−1, ln(𝑡) , 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡 ) ; t o = 0 5. J(t) = ( 𝑒2𝑡 , 𝑡𝑒−𝑡 , 𝑡 ) ; 𝑡 𝑜 = 2 2.2. CONTINUIDAD
Definición Sea F: I ⊂ IR ⇾IRn I es un intervalo abierto en IR
a) F es continua en 𝑡0𝜖 𝐼 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 lim
𝑡→𝑡0
𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡0)
b) F es continua en el intervalo abierto I si y solo , F es continua en todo t 𝜖 𝐼 c) F es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]
i) Si F es continua en el intervalo abierto ]𝑎, 𝑏[ lim
𝑡→𝑎+𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑎) ∧ lim𝑡→𝑏−𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑏) Teorema. Sea F: I ⊂ IR ⇾IRn I es un intervalo abierto en IR , tal que ,
F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) ).
Sea 𝑡0𝜖 𝐼 ; F es continua en 𝑡0 si y solo si 𝑓𝑖 es continua en 𝑡0 , ∀ 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
Ejemplo. La función definida por
F(t) = {( 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡 , 𝑐𝑜𝑠3𝑡 𝑐𝑜𝑠4𝑡) , 𝑡 ≠ 0 (3 4 , 1 ) , 𝑡 = 0
15 ¿Es continua en t = 0? lim 𝑡→0 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡 es de la forma 0 0 Aplicando el teorema de L’Hospital:
lim 𝑡→0 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡 = lim𝑡→0 3𝑐𝑜𝑠3𝑡 4𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 3 4 lim 𝑡→0 𝑐𝑜𝑠4𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 = 1
Por tanto, F es continua en t = 0 desde que,
lim
𝑡→0𝐹(𝑡) = (
3
4 , 1) = 𝐹 ( 0)
Teorema. Si las funciones F y G definidas de R en Rn son continuas en el punto to entonces
las funciones F± G, F.G, F×G son continuas en to. Si φ es una función real de una variable
real es continua en to , entonces φF es continua en to .
Ejercicios.
Determinar la continuidad de cada una de las siguientes funciones 1. F(t) = ( 1 𝑡+1 , 𝑡 4 , 𝑡2 2 ) en el punto P( 1 2, 1 4, 1 2) 2. F(t) ={(𝑡 − 1, 𝑡2−1 𝑡−1 ) , 𝑡 ≠ 1 (0,2) 𝑡 = 1 3. F(t)= (2|𝑡 − 1|, [𝑡 − 1], 𝑡 ) ; 𝑡 ∈ [−2, 2] 4. F(t) = { (−𝑡, −2𝑡, 𝑡 ) , 𝑡 ∈ [−2 , 0[ (2 − 𝑡 , 4 − 2𝑡 , 2 − 𝑡 ), 𝑡 ∈ [0,1] 2.3. DIFERENCIABILIDAD
Definición. Sea F: I ⊆ 𝑅 → 𝑅𝑛, una trayectoria definida sobre el intervalo abierto I por F=(f1, f2 ,…, fn) , entonces:
16 1. F es derivable en el punto 𝑎 ∈ I , si y solo si existe el límite,
lim ℎ→0 𝐹(𝑎 + ℎ) − 𝐹(𝑎) ℎ Se denota por 𝐹′(𝑎) , 𝐷𝐹(𝑎) , 𝑜 𝑑𝐹 𝑑𝑡(𝑎) y se denomina “derivada de F en 𝑎”
2. F es “derivable” en el intervalo I si y solo sí F es derivable en cada punto t que pertenece a I.
Teorema. Si F es derivable en 𝑎 , entonces F’ (𝑎) = ( f1’ (𝑎), f2’ (𝑎), f3’ (𝑎),…, fn’ (𝑎)) y
𝐷𝑜𝑚(𝐹′(𝑎)) = ⋂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓𝑖′(𝑎)) 𝑛
𝑖=1
Las propiedades de la derivada de funciones reales de una variable real se generalizan para los campos vectoriales; asì:
1. 𝐹+′(𝑡 𝑜) = lim ℎ→0+ 𝐹(𝑡𝑜+ ℎ) − 𝐹(𝑡𝑜) ℎ ∧ 𝐹− ′(𝑡 𝑜) = limℎ→0− 𝐹(𝑡𝑜+ ℎ) − 𝐹(𝑡𝑜) ℎ
2. F es derivable en un intervalo abierto ]𝑎, 𝑏[ si F es derivable en cada punto de ese intervalo
3. Si F y G son derivables en un intervalo [𝑎, 𝑏] entonces a) d dt(𝐹 ± 𝐺)(𝑡) = 𝐹′(𝑡) ± 𝐺′(𝑡) b) d dt(𝐹. 𝐺)(𝑡) = 𝐹 ′(𝑡). 𝐺′(𝑡) c) d dt(𝐹 × 𝐺)(𝑡) = 𝐹′(𝑡) × 𝐺′(𝑡) d) d dt(𝜑𝐺)(𝑡) = 𝜑 ′(𝑡)𝐺(𝑡) + 𝜑(𝑡)𝐺′(𝑡) ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜑: 𝑅 → 𝑅 e) Si 𝜑: 𝑅 → 𝑅 , 𝐹: 𝑅 → 𝑅𝑛 y existe F o φ, siendo φ derivable en to y F
derivable en φ(to ) entonces Fo φ es derivable en to, y:
(𝐹𝑜𝜑)′(𝑡𝑜) = [𝐹′(𝜑(𝑡𝑜)]𝜑′(𝑡𝑜)
4. Si la función F es derivable en un intervalo I , es continua allí. Ejemplo. La derivada de la función F(t) = ( etsent , cost , et) es
F’(t) = (etsent + etcost , -sent , et)
Definición.- Si C es una curva descrita por F y existe F’(t) y F’(t)≠0 ,∀ t∈ domF, entonces F’(t) es un vector tangente a la curva en el punto F(t).
17 T: P = F(t0) + k F’(t) ; k∈ R es la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto F(t0).
Ejercicios 1. Derivar a) F(t) = ( 𝑐𝑜𝑠23𝑡, cos 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 , ln (3𝑡 + 9)) b) F(t) = (√𝑡3 3− 6𝑡,1−√𝑡 𝑡2−3𝑡 , 𝑡𝑎𝑛𝑡) c) F(t) = ln(t-1) , 1/ t+2 , sec(πt)
2. Demostrar que si ‖𝐹‖ es constante entonces F y F’ son ortogonales sobre Dom(F’) 3. Encontrar la ecuación de la recta tangente en cada caso:
a) X= 4 cost , y = 3sent ; t ∈ [0,2𝜋] en el punto (4, 0 ) b) F(t) = (tcost ,tsent,t/2π ) en el punto (0, 0 , 0 ) c) F(t) = ( tcost, 4sent , t2 ) en el punto ( -π, 0 , 𝜋2)
Sección 3. Cálculo Integral
3.1. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
Definición.- Una función vectorial F: R → Rn es integrable cuando lo son todas sus
componentes, se define: ∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡 = (∫ 𝐹1(𝑡)𝑑𝑡 , 𝑏 𝑎 ∫ 𝐹2(𝑡)𝑑𝑡 , ∫ 𝐹3(𝑡)𝑑𝑡 , 𝑏 𝑎 … , ∫ 𝐹𝑛(𝑡)𝑑𝑡 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 ) 𝑏 𝑎 PROPIEDADES
1. Si F: R → Rn es continua en [𝑎, 𝑏] entonces existe ∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡𝑏 𝑎
2. Si F: R → Rn es continua en R y g(t) = ∫ 𝐹(𝑢)𝑑𝑢𝑡
𝑎 entonces g es derivable y g’(t)=
F(t) ; ∀ t∈ R.
3. Si F: R → Rn tiene derivada continua sobre [𝑎, 𝑏] y si 𝐹⃗′(𝑡) = 𝐹(𝑡) allí, entonces
∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 𝑎𝑏 ⃗⃗⃗⃗ (𝑏) − 𝐹⃗(𝑎)
4. Si tanto F como ‖𝐹‖ son integrables en [𝑎, 𝑏 ] entonces ‖∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡 𝑏 𝑎 ‖ ≤ ∫‖𝐹(𝑡)‖ 𝑣 𝑎
18
Ejemplo. La integral
∫(sent, cost, sect)dt = (−cost, sent, ln|sect + tant|]𝟎𝝅/𝟒
𝝅 𝟒 𝟎 = (−√2 2 , √2 2 , ln(√2 + 1) − (−1 , 0 , 0 )
∴ ∫(sent, cost, sect)dt
𝝅 𝟒 𝟎 = (−√2 2 + 1 , √2 2 , ln(√2 + 1)
3.2. LONGITUD DE ARCO DE CURVA
Una función vectorial F:[𝑎, 𝑏] → Rn es regular si F es de clase C1[𝑎, 𝑏] y F’(t)≠ 0, ∀ t ∈ [𝑎, 𝑏].
Una curva regular admite alguna parametrización regular; lo mismo se puede asegurar para las curvas regulares `por trozos`.
Dada una curva C con vector de posición r(t), se define la longitud de arco de curva entre los puntos r(a) y r(b) al supremo de las longitudes de las poligonales inscritas a la curva entre dichos puntos, en caso de existir. En este caso se dice que la curva es rectificable. Se precisa en la siguiente
Definición. Si 𝒫 es el conjunto de todas las particiones que se pueden definir en el intervalo [𝑎, 𝑏]; la curva C descrita por una función F:[𝑎, 𝑏] → 𝑅𝑛 se dice que es rectificable si el
conjunto {LP / P∈ 𝒫 } tiene una cota superior.
Donde LP es la longitud de la poligonal generada por la partición P, y
𝐿𝑃 = ∑‖𝐹(𝑡𝑖) − 𝐹(𝑡𝑖−1)‖ 𝑛
𝑖=0
Si C es una curva rectificable y r: [𝑎, 𝑏 ] → Rn es una parametrización de C, entonces la longitud
L de la curva C es el supremo del conjunto { LP / P∈ 𝒫 }
TEOREMA Si C es una curva regular, entonces es rectificable y su longitud es
𝑙(𝐶) = ∫‖𝑟′(𝑡)‖𝑑𝑡
𝑏
𝑎
Donde r: [𝑎, 𝑏 ] → Rn es una parametrización regular de C.
Si una curva es regular a trozos, su longitud se calcula sumando las longitudes de cada tramo regular.6
19
Ejemplo. Calcular la longitud de arco de parábola descrito por F(t) = ( t2 , 2t ) ; t∈[0,1] En este caso F’ ( t ) = (2t, 2) y ‖𝐹′(𝑡)‖ = √4𝑡2 + 4 = 2√𝑡2 + 1 𝑙(𝐶) = 2 ∫ √𝑡2 + 1 1 0 𝑑𝑡 = √2 + ln (√2 + 1) Ejercicios
I. Evaluar cada integral dada 1. ∫(𝑡 , 3𝑡2 , 4𝑡3)𝑑𝑡 2 −1 2. ∫(√2𝑡 + 1𝑖 − √𝑡𝑗 + 𝑠𝑒𝑛5𝑡 𝑘)𝑑𝑡 4 0 3. ∫(𝑡𝑒𝑡, 𝑒−2𝑡 , 𝑡𝑒𝑡2)𝑑𝑡 4. ∫ 1 1 + 𝑡2(1, 𝑡 , 𝑡2)𝑑𝑡
II. Calcular la longitud de arco de curva dado 1. F(t) = acosti +asentj +ctk ; 0≤ t≤ 2π 2. F(t) = ( t , tcost, tsent) ; 0 ≤ t≤ π
3. F(t) = (𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 , 𝑒𝑡) ; 0 ≤ t≤ 3π
2.3.FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO La integral definida
𝑠(𝑡) = ∫‖𝑟′(𝑢)‖
𝑡
𝑎
𝑑𝑢
Se llama la “función longitud de arco” para la curva C; u es una variable de integración sustituta. La función s(t) representa la longitud de C entre los puntos sobre la curva definida por los vectores posición r(a) y r (t). Muchas veces es útil parametrizar una curva suave C en el plano o en el espacio en términos de la longitud de arco, s.
Al evaluar la integral anterior se obtiene s en términos de t ; si es posible resolver esa ecuación en términos de s, podemos expresar r(t) = ( x(t) , y(t), z(t)) en términos de s,
r(s) = (x(s) , y(s) , z (s)).
Ejemplo. Encontrar una parametrizaciòn de longitud de arco de la hélice circular r(t) = (2cost, 2sent,t)
20 Solución
r’(t) = (-2sent,2cost,1), entonces ‖𝑟′(𝑡)‖ = √5 , luego
s(t) = ∫ √5𝑑𝑢 = √5𝑢]0𝑡 0𝑡 = √5𝑡 → 𝑠 = √5𝑡 de donde t = 𝑠
√5 . al sustituir s en r(t) obtenemos una función vectorial de la hélice como una
función de la longitud de arco
𝑟(𝑠) = (2𝑐𝑜𝑠 𝑠 √5 , 2𝑠𝑒𝑛 𝑠 √5 , 𝑠 √5 ) Las ecuaciones paramétricas de la hélice son, entonces
x= 2𝑐𝑜𝑠 𝑠 √5 , 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑠 √5 , 𝑧 = 𝑠 √5
Se advierte que la derivada de la función vectorial r(s) con respecto a s, es 𝑟′(𝑠) = (− 2 √5𝑠𝑒𝑛 𝑠 √5 , 2 √5𝑐𝑜𝑠 𝑠 √5 , 1 √5 ) Cuya magnitud es ‖𝑟′(𝑠)‖ = √(− 2 √5𝑠𝑒𝑛 𝑠 √5) 2 + (2 √5𝑐𝑜𝑠 𝑠 √5) 2 + (1 √5) 2 =1 Luego ‖𝑟′(𝑠)‖ = 1 ,
Anteriormente se ha visto que la derivada de una función vectorial r (t) con respecto al parámetro t es un vector tangente a la curva C trazada por r. pero si la curva se parametriza en términos de la longitud de arco entonces
La derivada r’(s) es un vector tangente unitario
Ejemplo.- Probar que la hipocicloide r(t) = (𝑐𝑜𝑠3𝑡 , 𝑠𝑒𝑛3𝑡 ) ; 𝑡 ∈ [0,2𝜋] es una curva regular
a trozos y calcular su longitud total. Solución
Derivando la función, se tiene r’(t) = (−3𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 , 3𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡) Haciendo r’(t) = 0 1) −3𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 = 0 → 𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 0 ò 𝑠𝑒𝑛𝑡 = 0 2) 3𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 = 0 → 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 0 ò 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 0 De sent = 0 implica t = 0 ó t = π , ó t = 2π De 𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 0 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑡 =𝜋 2ó 𝑡 = 3𝜋 2
21 Estos valores satisfacen ambas ecuaciones, luego,
r’(t) = 0 si t = 0 ,π/2 , π, 3π/2 , 2π
entonces , la curva C no es una curva regular en [0,2𝜋]
Pero r es regular en cada subintervalo [ 0 ,π/2] , [ π/2, π] , [π, 3π/2 ], [ 3π/2, 2π]. Sea 𝑙1 la longitud de la curva 𝐶1 : P = 𝑟1(𝑡) , 𝑡 ∈ [ 0 ,π/2]
𝑟1(𝑡) = (t) = (𝑐𝑜𝑠3𝑡 , 𝑠𝑒𝑛3𝑡 ) → ‖𝑟′(𝑡)‖ = √9𝑐𝑜𝑠4𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 9𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡
‖𝑟′(𝑡)‖ = √9𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡(𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡) = √3(𝑐𝑜𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡)2 = |3𝑐𝑜𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡|
Como cost ≥0 y sent≥ 0 para t ∈ [ 0 ,π/2] entonces
𝑙1 = ∫ 3𝑐𝑜𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡 = 3𝑠𝑒𝑛2𝑡 2 ]0 𝜋 2 𝜋 2 0 =3 2 Por la simetría de la curva
𝑙1(𝑡) = 𝑙2(𝑡) = 𝑙3(𝑡) = 𝑙4(𝑡) =3 2
Ejemplo. Sea C la curva descrita por r (t) = (sen3t, cos3t, 2𝑡3/2), t ∈[0, 𝜋].
a) Hallar la longitud total de la curva
b) Parametrizar C bajo el parámetro longitud de arco s. Solución a) r’(t)= (3𝑐𝑜𝑠3𝑡, −3𝑠𝑒𝑛3𝑡 , 3√𝑡) → ‖𝑟′(𝑡)‖ = 3√1 + 𝑡 𝑙 = ∫ 3√1 + 𝑡 𝜋 0 𝑑𝑡 = 2[(1 + 𝜋)32− 1] b) sea 𝑙(𝑡) = ∫‖𝑟′(𝑢)‖𝑑𝑢 = 𝑡 0 ∫ 3√1 + 𝑢 𝑡 0 𝑑𝑢 = 2[(1 + 𝑡)3/2− 1] Si l(t) = s , entonces 𝑙−1(𝑠) = 𝑡 S = 2[(1 + 𝑡)3/2− 1] , despejando t resulta t = (𝑠 2+ 1) 3/2 − 1
22 G(s) = (𝑠𝑒𝑛3 [(𝑠 2+ 1) 3/2 − 1] , 𝑐𝑜𝑠3 [(𝑠 2+ 1) 3/2 − 1] , 2 [(𝑠 2+ 1) 3/2 − 1] 3/2 ) Ejercicios
Determinar una parametrización de longitud de arco r(s) para la curva dada. Verificar que r’(s) es un vector unitario. 1. r(t) = 9sent i + 9cost j 2. r(t) = (5cost,23t+5sent) 3. r(t) = (1+2t , 5 – 3t , 2 + 4t) 4. r(t) = 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 , 1 ) Ejemplo de aplicación.
La posición de una partícula en movimiento es dada por F(t)= (t2 , t , 3t), dibujar la gráfica de la curva definida por F(t) y los vectores velocidad y aceleración para t=1
Solución
Se tiene x = t2 , y = t , entonces x = y2 es la directriz de la superficie cilíndrica que se
interceptará con el plano z = 3y para dar lugar a la curva C que es la trayectoria de la
partícula la cual se encuentra arriba de la parábola que se encuentra en el plano XY. Cuando t = 1, el vector posición F(1) = ( 1 , 1 , 3) indica que la partícula se encuentra en el punto P(1 ,1 ,3) sobre C.
La velocidad es V(t) = F’(t) = ( 2t, 1, 3) y La aceleración a(t) = (2,0 ,0 ).
Si la partícula se mueve con velocidad constante k, entonces su vector aceleración es perpendicular al vector velocidad.
En efecto, si v(t) = K entonces ‖v(𝑡)‖ = K; es decir v.v = K2
derivando ambos miembros, se tiene v.dv dt+ dv dt. v = 0 esto es igual a 2v. dv dt = 0 ⇔v.a = 0
23
Sección 4. EL TRIEDRO MOVIL.
Si F: [ a, b ] → IR n es una función diferenciable de clase C2 en el intervalo dado y F
describe una curva C tal que en cada punto de la curva existen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí , el vector tangente, el vector normal y el vector binormal
4.1. VECTOR TANGENTE UNITARIO
Definición. Sea C la curva descrita por F: [a ,b] → 𝑅𝑛 diferenciable y de clase C2 en su
dominio.
a) Si existe F’(t) y F’(t)≠ 0 , ∀ 𝑡 ∈ [a , b ], entonces F’(t) se llama “Vector tangente a C” en el punto F(t); se denota por T(t), y
𝑇(𝑡) = 𝐹′(𝑡) ‖𝐹′(𝑡)‖
Si para algún to elemento de [ a , b ] , de modo que F´ (to ) = 0 entonces
𝑇(𝑡) = lim
𝑡→𝑡𝑜
𝐹′(𝑡) ‖𝐹′(𝑡)‖ Siempre que el límite exista .
b) La recta LT que pasa por el punto F(t) y tiene la dirección del vector tangente , se
llama recta tangente a la curva C en el punto F(t); su ecuación es :
LT : P= F(t) + r F’(t) ; r ∈ R
El vector T´ (t) es ortogonal al vector T (t) . A todo vector que tiene la dirección del vector T´(t) se le denomina vector normal a la curva C .
F’(t) F(t)
24
4.2. VECTOR NORMAL Y VECTOR BINORMAL
Definición.- La recta que pasa por el punto F(to ) y tienen la dirección del vector T ´ (t) se
denomina recta normal a la curva C en el punto F(to ) .
Definición.- El vector NORMAL PRINCIPAL a la curva C en el punto F(t) tienen la
dirección del vector T´ (t) , o sea :
Gráficamente, el vector normal principal se representa siempre en el lado cóncavo de la curva .
VECTOR BINORMAL
Definición ..- El vector BINORMAL es el vector unitario perpendicular a los vectores
tangente y normal principal:
B(t) = T(t) x N(t)
En consecuencia en cada punto F(t) de la curva C existen asociados los vectores T ; N y B. Estos vectores unitarios mutuamente ortogonales se llama TRIADA MOVIL por que en cada punto de C forman un sistema de ejes rectangulares, como se vé en la figura a continuación.
La segunda derivada de F puede descomponerse en función de estos vectores.
) ´( ) ´( ) ( t T t T t N
25
4.3. COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN
Si la función F es diferenciable y continua sobre [a,b], la longitud de la curva desde (a, F(a)) hasta un punto arbitrario ( t , f(t) ) es :
𝐿(𝑡) = ∫‖𝐹′(𝑡)‖𝑑𝑡 ⇒ 𝐿′(𝑡) = ‖𝐹′(𝑡)‖ 𝑡 𝑎 Pero 𝐹′(𝑡) = ‖𝐹′(𝑡)‖𝑇(𝑡) = 𝐿′(𝑡)𝑇(𝑡) , entonces F′(t) = 𝐿′(𝑡)𝑇(𝑡) Derivando nuevamente 𝐹′′(𝑡) = 𝐿′′(𝑡)𝑇(𝑡) + 𝐿′(𝑡)𝑇′(𝑡) pero T’(t) = ‖𝑇′(𝑡)‖𝑁(𝑡) , entonces 𝐹′′ (𝑡) = 𝐿′′(𝑡)𝑇(𝑡) + 𝐿′(𝑡)‖𝑇′(𝑡)‖𝑁(𝑡)
Es decir, la segunda derivada del vector F(t) tienen componentes en la dirección de T y en l a dirección de N , a la componente en la dirección del vector T(t) se le denomina componente
tangencial de la aceleración y a la componente en la dirección del vector N(t) se denomina componente normal de la aceleración .
Si F(t) describe el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una curva C , entonces la primera derivada de F(t) es la velocidad y ésta tiene dirección tangencial . La segunda derivada es la aceleración y tienen una componente tangencial, llamada aceleración tangencial y una componente normal llamada aceleración normal:
aT = F´´ (t) . T(t) = L´´(t) ; aN = F´´(t) . N(t) = L´ (t) // T´(t) //
Los vectores T y N se encuentran en un plano denominado PLANO OSCULADOR, B(t) es un vector que es normal al plano osculador .
Ejemplo. Escribir las componentes tangencial y normal de la aceleración de un móvil que se desplaza según la trayectoria descrita por F(t) = 5cos3t i + 5sen3tj + tk , cuando t = 𝜋
4 Solución 𝑇(𝑡) = 𝐹 ′(𝑡) ‖𝐹′(𝑡)‖= (−15𝑠𝑒𝑛3𝑡 , 15𝑐𝑜𝑠3𝑡 , 1) √226 ⟹ 𝑇 ( 𝜋 4) = 1 √226(− 15√2 2 , − 15√2 2 , 1)
26 𝑁(𝑡) = 𝑇 ′(𝑡) ‖𝑇′(𝑡)‖= ( (−45𝑐𝑜𝑠3𝑡 , −45𝑠𝑒𝑛3𝑡 , 0) 45 ) ⟹ 𝑁 ( 𝜋 4) = ( √2 2 , − √2 2 , 0 )) 𝐹′′(𝑡) = (−45𝑐𝑜𝑠3𝑡 , −45𝑠𝑒𝑛3𝑡 , 0 ) ⟹ 𝐹′′(𝜋 4) = (45 √2 2 , −45 √2 2 , 0 ) 𝑎𝑇 = 𝐹′′( 𝜋 4) . 𝑇 ( 𝜋 4) = (45 √2 2 , −45 √2 2 , 0 ). 1 √226(− 15√2 2 , − 15√2 2 , 1) = 0 ⇒ 𝑎𝑇 = 0 𝑎𝑁 = 𝐹′′(𝜋 4) . 𝑁 ( 𝜋 4) = (45 √2 2 , −45 √2 2 , 0 ). ( √2 2 , − √2 2 , 0 )) = 90 ⇒ 𝑎𝑁= 90 Ejercicios
Escribir las componentes tangencial y normal de la aceleración en 𝑡𝑜, si F(t ) describe la
trayectoria de una partícula en el tiempo t. 1) F(t) = (t, t2 , t3 ) ; 𝑡 𝑜= 1 2) F(t) = ( 2cos3t , 2sen3t, t3) ; 𝑡 𝑜 = 𝜋 3 3) F(t) = 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑒𝑡𝑡) ; 𝑡𝑜 = 0
4.4. PLANO OSCULADOR, NORMAL Y RECTIFICANTE
La ecuación del plano osculador en el punto P es:
P : [ P – F ( t ) ] . B( t ) = 0
Los vectores N y B se encuentran en un plano denominado PLANO NORMAL PRINCIPAL Los vectores T y B se encuentran en un plano llamado PLANO RECTIFICANTE.
OTRAS FORMAS DE EXPRESAR LOS VECTORES UNITARIOS DEL TRIEDRO MOVIL
Tx N = B , Nx B = T , B x T = N ; asimismo puede demostrarse que :
// ) ´( ] ) ´´( ) ´( //[ ) ´( ] ) ´´( ) ´( [ ) ( // ) ´´( ) ´( // ) ´´( ) ´( ) ( t f x t f x t f t f x t f x t f t N t f x t f t f x t f t B
27
4.5. CURVATURA Y TORSIÓN
La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura
Si F(t) es el vector posición de un punto sobre una curva C entonces en el punto P existe un vector tangente unitario T (t) . Como este vector es de magnitud constante, entonces en cada punto de C lo único que varía es su dirección. Por ejemplo si C es una curva plana, entonces su dirección está dada por el ángulo de inclinación de la tangente, es decir,
T(t) = cos θ i + sen θ j , derivando con respecto al ángulo se tendrá
T (t) = - sen θ i + cos θ j; vector que es ortogonal con T(t) ,es unitario y su dirección es dada por el ángulo (π/2 + θ ) ;
Por regla de la cadena, T´(t) = [ T θ (t) ] θ t
Como el vector normal principal N(t) tiene la dirección del vector T´(t) , entonces T (t) = N( t ) , Si θ t > 0 y T (t) = - N( t ) , Si θ t < 0 .
Si S unidades es la medida de la longitud del arco medida desde un punto arbitrario de modo que S t > 0 , entonces por regla de la cadena , se tiene
TS ( t) = T (t) θ S .
La norma del vector será: // TS ( t) // = // T (t)// // θ S // ; donde // T (t) // = 1 ;
entonces
// TS ( t) // = // θ S //
En esta ecuación, // θ S // mide la rapidez de cambio de la medida del ángulo que da la dirección
del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco y recibe el nombre de CURVATURA DE LA CURVA C en el punto P .
Definición.- Sea C una curva en el espacio tridimensional. Si T (t) es el vector tangente unitario
a la curva en el punto P y, s unidades es la medida de la longitud de arco medida desde un punto arbitrario Po= F(𝑡𝑜) hasta un punto P1 = F(𝑡1 ) sobre la curva, de tal manera que S t > 0
28 lim 𝑡1→𝑡𝑜 ‖𝑇(𝑡1) − 𝑇(𝑡𝑜)‖ |𝑙(𝑡1) − 𝑙(𝑡𝑜)| = ‖𝑇′(𝑡𝑜)‖ 𝑙′(𝑡𝑜) = 𝑘(𝑡𝑜) En general, se escribe, K (t) = T s ( t).
La curvatura de C en P es la magnitud de este vector . Puede demostrarse que :
Por otro lado, La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene.
El vector 𝐵′(𝑡)
𝑙′(𝑡) describe el cambio del vector binormal respecto a la distancia a lo largo de la
curva C definida por F(t). Pero:
𝐵′(𝑡)
𝑙′(𝑡) ∥ 𝜏𝑁 → 𝐵
′(𝑡) = 𝜏𝑙′𝑁
Como el vector de una curva plana es constante entonces la torsión es nula; τ es la medida del torcimiento de la curva con respecto al plano osculador.
Definición.- La torsión es el número que expresa la medida de la rapidez de variación del
vector binormal respecto a la medida de la longitud de arco de la curva, / / = // B s (t) //
Puede demostrarse que:
𝜏(𝑡) =[𝐹
′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)] ∙ 𝐹′′′(𝑡)
‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖2
Ejercicios
1.- Dada la curva: f ( t ) = ( t , ln ( sect) ; ln (sec t +tan t)) , hallar T , N , B y la ecuación del plano osculador en el punto donde la curva corta al plano XZ.
3 // ) ´( // // ) ´´( ) ´( // ) ( t f t f x t f t K
29 2.- Encontrar la ecuación del plano osculador a la curva f(t) = ( 1 – 4/3 t3, 1-2t² , t ) , que sea
paralelo al plano P : x = -2 . 3.- Para la curva definida por:
F(t) = ( t , (1+t)/ t , (1 – t ²) / t) ; Escribir la ecuación del plano osculador, normal y rectificante para t = 1
4.- Escribir las ecuaciones de los planos normal y rectificante para la curva dada en 3
5.- Hallar la ecuación de la recta tangente y la del plano normal a la curva descrita en el punto dado:
a) F(t) = ( asen2t , bsentcost , acos2t ) en t = π/4 b) r(t) = ( 1 √2𝑒 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 , 1 , 1 √2𝑒 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 ) en t = 0 c) F(t) = ( 𝑡 4 4 , 𝑡3 3 , 𝑡2 2 ) en t = 1
6.- Sobre la curva dada por F(t) = ( t + 1 , t2 – 1 , t3 ) ; hallar un punto donde el vector tangente unitario sea perpendicular al plano P : x+2y+3z – 1 = 0 .
7. Calcular la curvatura y la torsión de la curva dada por: a) F(t) = ( cost,sent, t) , t = 0 b) F(t) = ( t3 , 4t-5 , t2) , t = 3 c) F(t) = ( t , 3 2𝑡 2 ,3 2𝑡 3) , t=2 d) F(t) = (𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑒𝑡) , t = 0
FORMULAS DE FRENET – SERRET : Si K es la curvatura , es la torsión ; T , N , B son los vectores unitarios del triedro en un punto de una curva , entonces se pueden demostrar las siguientes ecuaciones , llamadas “Fórmulas de Frenet - Serret” :
N L B T KL B L N N L K ' ' ) 3 ' ' ' ) 2 ' ' ) 1
30 BIBLIOGRAFÍA
1. Haasser, B. Lasalle, S. Sullivan, R. (2005) Análisis Matemático. Vol I. Editorial Trillas. México.
2. Purcell, E. (2010) Cálculo con geometría analítica. Prentice Hall hispanoamericana S.A. México
3. Stewart, J.(2013) Cálculo Multivariable . International Thompson editores. México 4. Thomas, G. (2012) Cálculo Multivariable Addison Wesley Iberoamericana. México
