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Continuación numérica de órbitas periódicas.

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Academic year: 2022

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Continuaci´ on num´ erica de

´

orbitas peri´ odicas.

4.1. Introducci´ on.

En el cap´ıtulo anterior, estudiamos la estabilidad e inestabilidad del sis- tema de la Figura 2.1 para todos los puntos de equilibrio. En este cap´ıtulo, lo que pretendemos averiguar son las posibles estabilidades que se den en

´orbitas peri´odicas cuyos or´ıgenes son los puntos de equilibrio hallados an- teriormente. Para ello, tomaremos como origen de las ´orbitas peri´odicas los puntos de Hopf que aparecen en la Figura 4.1.

4.2. Algunas nociones sobre AUTO2000.

Antes de comenzar a calculas las ´orbitas peri´odicas a partir de los puntos HB mostrados en la Figura 4.1, daremos algunas nociones b´asicas de como funcionan ´estas en AUTO2000.

En primer lugar analizaremos los ficheros de tipo ‘x.ccc’. Para ello, toma- remos uno de ejemplo:

4 2 433 1 NDIM,IPS,IRS,ILP

2 2 10 NICP,(ICP(I),I=1 NICP)

100 4 3 2 1 0 0 0 NTST,NCOL,IAD,ISP,ISW,IPLT,NBC,NINT 218 0 100 0 100 NMX,RL0,RL1,A0,A1

218 5 2 8 7 5 0 NPR,MXBF,IID,ITMX,ITNW,NWTN,JAC

1e-7 1e-7 1e-5 EPSL,EPSU,EPSS

0.005 0.005 0.02 1 DS,DSMIN,DSMAX,IADS

0 NTHL,(/,I,THL(I)),I=1,NTHL)

66

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0 NUZR,(/,I,PAR(I)),I=1,NUZR)

En este fichero podemos observar tres diferencias fundamentalmente con respecto a los ficheros de equilibrio:

El valor de la variable IPS ha cambiado a 2 para ´orbitas peri´odicas.

El valor de la variable ISP tambi´en cambia a 2 para ´orbitas peri´odicas.

El vector ICP debe contener al PAR[10], ya que ´este simboliza al per´ıodo.

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.5

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

ν µ

µ = 0.9

µ = 0.69 µ = 0.58

HB3

HB22

HB11 HB21

HB12

Figura 4.1: Puntos de Hopf a partir de los que se continuar´an las ´orbitas peri´odicas.

El resto de las variables cambian los valores igual que en el caso de con- tinuaci´on de equilibrios, es decir, IRS establece el valor de la etiqueta a continuar, ISW marca el n´umero de par´ametros a continuar, etc. . . salvo la variable DS, cuyo signo ahora no tiene ninguna importancia, ya que s´olo existe una ´orbita peri´odica.

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Por otra parte, el resultado obtenido por pantalla desde la consola de AU- TO no es igual que para los equilibrios, ya que ahora en lugar de devolver los valores de las cuatro variables independientes, devuelve los valores m´aximos que alcanzan ´estas en cada iteraci´on. A continuaci´on mostramos parte de un fichero de bifurcaciones ‘b.xxx’:

L2-NORM MAX(1) MAX(2) PERIOD

5.00878E+00 6.91462E-01 4.85899E+00 6.34414E+00 5.00879E+00 6.95850E-01 4.86143E+00 6.34409E+00 5.00884E+00 7.02394E-01 4.86515E+00 6.34359E+00

En nuestro caso particular, L2-NORM representa la amplitud de la ´orbi- ta, MAX(1) y MAX(2) los valores m´aximos de ϕ y θ, respectivamente, y PERIOD el per´ıodo de la ´orbita.

Por ´ultimo, conviene saber que, en las ´orbitas peri´odicas, la estabilidad no viene marcada por los autovalores, sino que existen unos valores similares a ´estos llamados multiplicadores, y establecen la estabilidad siguiendo las siguientes reglas:

Trazar en el plano complejo una circunferencia de radio unidad centrada en el origen.

Dibujar los multiplicadores seg´un sus coordenadas reales e imaginarias.

Un multiplicador valdr´a siempre 1 y, si los otros tres est´an en el interior de la circunferencia, estamos ante una ´orbita estable.

Si alguno de los cuatro multiplicadores quedara fuera de la circunferen- cia, estar´ıamos ante una ´orbita inestable.

Establecidas ya unas pautas iniciales para manejar AUTO con ´orbitas peri´odicas, comenzaremos la continuaci´on de las mismas a partir de los puntos HB marcados en la Figura 4.1.

4.3. Continuaci´ on de ´ orbitas peri´ odicas a par- tir de puntos de Hopf.

Los puntos de Hopf que vamos a continuar en este apartado, vienen dados por los tres cortes a µ constante que aparecen en la Figura 4.1. En cada uno de los siguientes apartados, mostraremos, para cada uno de los cortes, las

´orbitas peri´odicas obtenidas, as´ı como un diagrama de sus multiplicadores que nos indicar´an la estabilidad de dichas ´orbitas.

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4.3.1. Continuaci´ on de los puntos de Hopf contenidos en la horizontal de valor µ = 0,58.

Como en el cap´ıtulo anterior ya mostramos la Figura 3.32 con el corte completo de la horizontal µ = 0,58, mostraremos ahora ´unicamente la parte de esa figura que nos interesa, y que se encuentra entre los dos puntos de Hopf HB11 y HB12. En la Figura 4.2 podemos apreciar la ´orbita peri´odica resultante de continuar el punto HB12.

0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

L2−NORM

ν

HB11 HB12

ÓRBITA PERIÓDICA

PD SOLUCIÓN II

Figura 4.2: ´Orbita peri´odica correspondiente a µ = 0,58.

Como podemos observar, partiendo del punto HB12, hemos continuado la ´orbita hasta llegar al punto HB11.

Tambi´en aparece en la Figura 4.2 un punto PD de ´orbita peri´odica, el cu´al podr´ıamos continuar para obtener una curva PD de ´orbitas peri´odicas. Sin embargo, en este proyecto, nos limitaremos a estudiar la estabilidad de las

´orbitas peri´odicas que obtengamos a partir de los puntos de Hopf ´unicamente.

A continuaci´on estudiaremos la estabilidad de la ´orbita peri´odica a partir de sus multiplicadores. Para ello, en la Figura 4.3 hemos dibujado la circun- ferencia de radio unidad con los multiplicadores m´as representativos de la

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´orbita peri´odica.

Im

Re

1

2 3.1 4.1

4.2 3.2

3.3

4.3

3.5

4.5 4.4

3.4

Figura 4.3: Multiplicadores para la ´orbita peri´odica con µ = 0,58.

En la Figura 4.3, hemos representado los cuatro multiplicadores, de los cuales el n´umero 1, siempre se encuentra en la coordenada 1 del eje real posi- tivo, el 2 apenas var´ıa su posici´on, y los otros dos son los que m´as se mueven.

Concretamente, para los multiplicadores 3 y 4 mostramos en la gr´afica dos l´ıneas de colores diferentes que indican sus distintas posiciones. Al principio los dos multiplicadores se encuentran a ambos lados de la circunferencia, has- ta que se unen fuera de ella y la van rodeando (posiciones 3.2 y 4.2). Llega un momento en que se vuelven a unir formando un multiplicador doble (3.3 y 4.3) para despu´es separarse cada uno en una direcci´on. El punto PD de la Figura 4.2, se da para las posiciones 3.4 y 3.5, cuando el multiplicador 3 llega a la circunferencia. A partir de ah´ı, el multiplicador 4 se va haciendo cada vez m´as grande, el multiplicador 2 m´as peque˜no y el 3 se queda dentro de la circunferencia en el semieje real negativo.

Al repasar el movimiento de los multiplicadores, observamos como no existe ning´un punto de la ´orbita que tenga todos los multiplicadores en el interior de la circunferencia, luego esta ´orbita nunca llegar´a a ser estable.

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4.3.2. Continuaci´ on de los puntos de Hopf contenidos en la horizontal de valor µ = 0,69.

El corte horizontal con valor de µ igual a 0,69 lo podemos ver representado en la Figura 4.1 como el par´ametro µ frente a ν, o en la Figura 3.35 en la que el eje de abscisas representa el valor de ν pero el de ordenadas nos proporciona los valores de la norma.

Una vez mostrado el corte en varios ejes de coordenadas, vamos a cen- trarnos en la ´orbita peri´odica cuyo origen es el punto HB22, perteneciente a la soluci´on III, y cuyo final es el punto HB21, perteneciente a la soluci´on II (ver Figura 4.4).

0.1 0.15 0.2 0.25

3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

ν

L2−NORM

SOLUCIÓN II SOLUCIÓN III

LP HB22

HB21 ÓRBITA

PERIÓDICA PD2

LP PD1

O. P. ESTABLE

Figura 4.4: ´Orbita peri´odica correspondiente a µ = 0,69.

En esta ocasi´on, en el punto HB del que partimos, coinciden dos ramas de equilibrios con distinta estabilidad, es decir, la que proviene de la soluci´on III es estable, y la que proviene de la soluci´on II es inestable, luego, a priori, no sabr´ıamos si cerca del equilibrio, la ´orbita peri´odica es estable o inestable.

Para saberlo, hay que hacer un estudio de los multiplicadores en dicha ´orbita peri´odica, y comprobar la estabilidad de la misma. El resultado de dicho

(7)

estudio lo podemos ver en la Figura 4.5.

2 1

3 2 2

2

3 3 3

Im

Re

Im

Re

2 3 1

II I

Im

Re

3

Im

Re

2 3

III IV

2 1 1

Figura 4.5: Multiplicadores para la ´orbita peri´odica con µ = 0,69.

La Figura 4.5 la hemos dividido a su vez en 4 figuras numeradas como I, II, III y IV. En todas ellas hemos obviado el multiplicador que siempre se encuentra en el semieje real positivo en la coordenada 1. Cada una de las cuatro figuras simboliza lo siguiente:

I. Esta posici´on , corresponde al principio de la ´orbita peri´odica, en el punto HB22. En ella vemos como los tres multiplicadores se encuentran dentro de la circunferencia de radio unidad, luego la ´orbita es estable en ese punto. A partir de ah´ı, el multiplicador 1 se mueve hacia el cero, y los multiplicadores 2 y 3 se unen formando una pareja conjugada

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que se va desplazando hacia el eje imaginario para terminar de nuevo en el eje real, aunque, esta vez, en la parte negativa del mismo. A partir de este momento, el multiplicador 2 se mueve hacia el borde de la circunferencia por su parte negativa, y el 3 se dirige al cero.

II. En esta figura se representa el primer punto de duplicaci´on de per´ıodo, llamado PD1 en la Figura 4.4. Este punto se caracteriza porque el mul- tiplicador 2 est´a saliendo por la parte real negativa de la circunferencia y, en nuestro caso, porque hace que nuestra ´orbita se haga inestable a partir de este punto. Por otra parte, podemos observar como el multi- plicador 3 se va acercando lentamente al cero, y el 1 se va desplazando hacia la derecha buscando el borde de la circunferencia.

III. La transici´on entre las figuras II y III, refleja como el autovalor 2 cambia de sentido y se dirige de nuevo a la circunferencia, aunque antes de llegar a ´esta, ser´a el multiplicador 1 el que la alcance por su parte real positiva. Llegados a esta situaci´on (III), estamos ante un punto l´ımite de ´orbitas peri´odicas, denominado en la Figura 4.4 LP, y que nos deja un segundo multiplicador fuera de la circunferencia de radio unidad.

IV. Por ´ultimo, representamos en esta figura el punto de duplicaci´on de per´ıodo PD2, en el que podemos ver como el multiplicador 2 vuelve a entrar por la parte real negativa dentro de la circunferencia. Sin embargo, al estar el multiplicador 1 fuera de la misma, la ´orbita sigue siendo inestable hasta llegar al punto HB21, donde termina.

Mostrado el espectro de los multiplicadores del corte horizontal que esta- mos tratando, podemos afirmar que en el punto HB22, la ´orbita peri´odica deriva de la parte de la soluci´on III que es estable, y que dicha estabilidad s´olo se mantiene hasta el punto PD1.

A continuaci´on, representaremos gr´aficamente nuestros dos grados de li- bertad ϕ y θ con los valores proporcionados por el AUTO para la ´orbita peri´odica estable. Evidentemente, al ser las dos soluciones peri´odicas, el re- sultado ser´a una curva cerrada. El resultado de la representaci´on gr´afica, lo podemos ver en la Figura 4.6, aunque con respecto a nuestro sistema, lo ideal ser´ıa pasar dicha gr´afica a coordenadas cartesianas adimensionales, pa- ra as´ı tener una idea m´as intuitiva del tipo de ´orbita estable que describir´ıa nuestro p´endulo. Para ello, escribiremos las coordenadas cartesianas locales del p´endulo en funci´on de los ´angulos ϕ y θ. El resultado ser´ıa el siguiente:

x=` · sin ϕ · cos θ y=` · sin ϕ · sin θ z=−` · cos ϕ

(9)

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 0.7

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

θ ϕ

Figura 4.6: Representaci´on del ´angulo ϕ frente a θ para la ´orbita peri´odica con µ = 0,69.

Lo ´unico que resta ahora, es adimensionalizar las coordenadas cartesianas, y para ello, lo ´unico que haremos ser´a dividir ambos miembros de las tres ecuaciones por `, obteniendo el vector de posici´on en coordenadas locales y adimensionalizado:

X=sin ϕ · cos θ Y=sin ϕ · sin θ Z=− cos ϕ

Una vez que tenemos las ecuaciones adimensionales que nos definen las coordenadas cartesianas a partir de los ´angulos ϕ y θ, simplemente tenemos que hacer una gr´afica en tres dimensiones que nos represente en los ejes cartesianos la ´orbita peri´odica estable que representamos en la Figura 4.6 en coordenadas esf´ericas. Esta gr´afica la podemos ver representada en la Figura 4.7, y en ella vemos como ser´ıa la trazada del p´endulo en el caso de esta ´orbita peri´odica estable. Lo m´as curiosa de ella es, que el par´ametro que var´ıa es siempre la relaci´on de brazos, lo cu´al no es muy intuitivo, ya

(10)

que lo m´as razonable ser´ıa variar la velocidad de giro. Sin embargo, como el corte horizontal del que proviene esta ´orbita es a µ constante y ν variable, el resultado obtenido es el esperado.

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15

−1

−0.5 0

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

b

X l

Y

Figura 4.7: ´Orbita peri´odica con µ = 0,69 en coordenadas cartesianas.

4.3.3. Continuaci´ on del punto de Hopf contenido en la horizontal de valor µ = 0,9.

El corte horizontal con valor de µ igual a 0,9 lo podemos ver representado en la Figura 4.1 como el par´ametro µ frente a ν, o en la Figura 3.37 en la que el eje de abscisas sigue representando el valor de ν pero el de ordenadas nos proporciona los valores de la norma. Este corte contiene una ´unica soluci´on que, como vimos en el cap´ıtulo anterior, s´olo es estable para valores de ν superiores al del punto HB.

En la Figura 4.8 podemos ver la ´orbita peri´odica obtenida al continuar el punto HB del corte horizontal que estamos tratando. De nuevo obtenemos un punto de bifurcaci´on de doble per´ıodo PD y un punto l´ımite LP.

Si observamos la rama de la soluci´on III, podemos ver como la ´orbita peri´odica contin´ua a la parte inestable de la misma, luego, a falta de estudiar los multiplicadores, podr´ıamos decir que la ´orbita peri´odica es inestable. No obstante, haremos, a continuaci´on, un estudio de los multiplicadores y los representaremos gr´aficamente como en los dos casos anteriores.

A la hora de representar los multiplicadores, hemos omitido el que siempre se encuentra en el semieje real positivo con valor real 1, debido a que este multiplicador siempre permanece inalterable en esa posici´on en las ´orbitas peri´odicas. Dicho esto, en la Figura 4.9 hemos trazado las posiciones m´as

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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 4.75

4.8 4.85 4.9 4.95 5 5.05 5.1 5.15

ν

HB

ÓRBITA PERIÓDICA SOLUCIÓN III

LP PD L2−NORM

Figura 4.8: ´Orbita peri´odica correspondiente a µ = 0,9.

relevantes de los tres multiplicadores restantes y, a continuaci´on, explicaremos brevemente cada uno de los esquemas que all´ı se muestran:

I. Nos encontramos en la posici´on inicial desde donde parte la ´orbita peri´odica. En ella podemos ver que existe una pareja de multipicadores conjugados en la parte real positiva y dentro de la circunferencia de radio unidad, sin embargo, el otro multiplicador ya se encuentra fuera de la misma en el eje real positivo luego, como ya dijimos en este mismo apartado, la ´orbita hereda la inestabilidad de la rama de la soluci´on III de la que partimos. La evoluci´on de los tres multiplicadores la podemos ver en la misma figura, en la que el multiplicador 1 tiende a alejarse de la circunferencia, y el 2 y el 3 se dirigen a la circunferencia y al cero, respectivamente.

II. Llegamos a un punto de bifurcaci´on de doble per´ıodo, ya que el mul- tiplicador 2 ha alcanzado la circunferencia por la parte real negativa.

Mientras, el multiplicador 3 avanza lentamente hacia el cero y el 1 se aleja por el eje real positivo.

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III. En esta figura, hemos mostrado el punto l´ımite de la ´orbita peri´odica, en la que el multiplicador 1, tras haber cambiado el sentido en el eje real, entra en la circunferencia por la parte real positiva. Adem´as, el multiplicador 2 se aleja de la circunferencia y el 3 se sigue acercando a cero.

IV. Por ´ultimo, terminamos con la evoluci´on de los multiplicadores antes de que finalicen su recorrido. En esta figura podemos ver como el autovalor 2 se aleja por la parte real negativa y fuera de la circunferencia, el 3 se sigue acercando lentamente al cero, aunque nunca llegar´a a ´el, y el multiplicador 1 entra en la circunferencia y va disminuyendo su valor en el eje real positivo.

1

I

Im

Re

3

Im

Re

3

III IV

2 1

2 2

2

3 3 3

Im

Re

Im

2 3

II

Re

1

2 1

Figura 4.9: Multiplicadores para la ´orbita peri´odica con µ = 0,9.

Referencias

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